Fononi e vibrazioni reticolari i fononi fonone di modo comune.

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1 Fonon brazon rtcolar L brazon dl rtcolo poono tudar, pnando al dualmo onda corpucolo, com partcll la cu nrga è quantzzata: fonon. S tratta d ocllazon latch dl rtcolo, drmo ch poono r cctat trmcamnt o dalla radazon lttromagntca comportano propro com foton, ono coè boon. Anch l ond onor ch propagano n un crtallo ono fonon. La proa dlla quantzzazon dll nrga dl fonon troa nl comportamnto dlla capactà trmca d old crtalln al arar dlla tmpratura. Un mtodo mplc pr dtrmnar la rlazon d dpron fononca cont nllo tudo d fnomn d dffuon anlatca d fac nutronc. L ntrazon con l altr partcll camp an com l fonon a un momnto K In raltà quto è un punto concttualmnt puttoto dlcato, nfatt, cczon fatta pr l fonon a K =, tutt gl altr ca mplcano la coordnata rlata dgl atom dl crtallo. Pr quto moto, ad mpo, una molcola d drogno arbb coordnata brazonal ntrnuclar r -r ch è una coordnata rlata non ha momnto lnar. La coordnata dl cntro d maa, nc, può ar momnto lnar corrpond al moto unform dl cntro d maa. uttaa pr gl cop pù pratc è com l fonon a un uo momnto ch oddfa a lgg d conrazon ch, n crtall, poono ntndr com rgol d lzon. Solo l fonon a K= ha un momnto fco, n quto cao parla d fonon d modo comun.

2 Sappamo ch n un proco d cattrng alla ragg, n cu n conolto un foton, al la rlazon: k' k G Val la pna d orar ch, nl cao d un proco d rflon, l crtallo rncula con un momnto G Nl cao d proc anlatc d comunqu conrar l momnto, qund dono alr l rlazon: k' K k G crazond un fonon k' k K G aorbmnto d Inoltr d alr la lgg d conrazon dll nrga: Rcordamo ch algono l rlazon: Foton c c k n n ' p k Fonon unfonon K Endo la loctà dl uono.

3 In un proco d dffuon dl foton può pnar ch l onda latca dl crtallo modfch localmnt la concntrazon atomca qund produca una arazon local dll ndc d rfrazon. In quto modo l proprtà ottch dl mzzo ngono modulat dall onda onora. Allo to modo può mmagnar ch l onda lumnoa produca dll dformazon mccanch dl mzzo n modfch, qund, l proprtà latch. Orando ch la loctà dl uono è molto pù pccola dlla loctà dlla luc, può concludr ch l fonon può portar a ( crato) olo una pccola part dll nrga dl foton. Quta condrazon è trttamnt lgata con la frqunza d ocllazon carattrtca d fonon ch è molto mnor dlla frqunza d ocllazon d un onda lttromagntca: ck K ck K foton (, k ) foton (,k) fonon (,K)

4 ma ' K k n k' k, k n k K f,k c o n è l ndc rfrazon, qund:,k n n K n n c c Qut ultma, qund, è la frqunza d fonon prodott da un proco d cattrng anlatco (ad angolo f ) d foton. I old ono carattrzzat anch da uno pttro fononco carattrtco ch può r tudato utlzzando dr ond la pù ffcac è cottuta da un faco d nutron. In quto cao: k k' G K k k k' P ncdnt k ncdnt n n n P k n o l gno + corrpond alla crazon d un fonon mntr l gno corrpond all aorbmnto d un fonon.

5 Vbrazon d rtcol monoatomc. S condr un crtallo la cu ba a cottuta da un olo atomo, ad mpo un rtcolo cubco. Quando un onda propaga nl crtallo, ntr pan crtalln muoono n fa. S l onda è longtudnal pan muoono paralllamnt alla drzon d propagazon. S l onda è traral pan muoono n drzon ortogonal alla drzon d propagazon. In qut condzon può tudar l moto d un ntro pano fando l attnzon u un ngolo atomo d coordnata u l problma rduc ad un cao undmnonal. Il problma può tudar nl coddtto lmt armonco, facndo l pot ch l forz ch producono gl potamnt d pan ano d tpo latco ch, qund, poa applcar la lgg d Hook condo la qual forz dformazon latch ono proporzonal pr l tramt d una cotant latca. ao ral Lgg d Hook

6 Immagnamo, qund, l notro tma com cottuto da una catna lnar d atom d maa, pot tutt alla ta dtanza conn da moll d cotant latca p a p u - u - u u + u + In qut pot la forza ch agc ull -mo atomo può crr com: F p p u u ) o l trmn fra parnt rapprnta lo potamnto. S not ch l modllo propoto prd un olo tpo d cotant latch, ntualtà non ncaramnt ra ad mpo nl cao d ocllazon traral longtudnal. L quazon dl moto dl pano, nll pot ch l ntrazon ano lmtat a prm cn ch l cotant latch ano mpr ugual, è: d u u u u ) dt L oluzon dll quazon dl moto dono crcar nlla forma d un onda corrnt: p u u() kat Endo a la dtanza fra pan.

7 alcolando l drat ottn: du u() dt d u u() dt ) kat ) kat L quazon dl moto dn: odo acutco u() ka t u ka t ( ) ka t ka ) ) ) ka ka ) S not ado ch : co ka) ka ka co ka) )

8 Qund: co ka) Rcordando l formul d duplcazon dgl arch può crr: co co co ka ka ka) co n ka ka ka ka ka) co n n n ka) n ka ka co ka n Qund: ) oè: n ka

9 n ka om d la rlazon d dpron fononca rpt prodcamnt al d fuor dll ntrallo ch racchud la prma zona d rlloun (-/a +/a). Vloctà d Gruppo Pr un pacchtto d ond la loctà d gruppo è dfnta com : g K Qut ultma rapprnta la loctà con cu tramtt l nrga nl mzzo, nl notro cao troa: g Agl trm dlla zona d rlloun a co K a Qund l argomnto dl cono è oè g = l ch gnfca ch l onda corrpondnt è un onda tazonara!!

10 In quto cao <<, qund: Lmt a grand lunghzz d onda co ) ) co ) ) ) Il lmt a grand lunghzz d onda è anch dtto lmt al contnuo, poché, n quto cao la loctà d propagazon dll onda è propro la loctà dl uono d è ndpndnt dalla frqunza. K a

11 Rtcolo con du atom pr clla prmta In quto cao ogn clla è cottuta da du atom con maa dra com nl cao dll Nal. In raltà non è ncaro ch ano dr l ma, la rlazon d dpron d mod ch poono propagar nl tma cambano anch ono dr l cotant latch. fnamo l problma con l gunt pot: ) l ntrazon an olo fra prm cn ) L cotant d forza ono tutt ugual ) L ma ono dr. In quto cao l quazon dl moto ono: ) ) u u u dt u d u u u dt u d Anch n quto cao crchamo l oluzon nlla forma d ond corrnt, taolta, prò, d tnr prnt ch l ampzz u pan par dpar poono r dr. tt d h qut ampzz, poamo crr : ) t t u u h

12 ) ) ) ) t t t t u u dt u d dt du h h Qund, l quazon dl moto pr la maa n pozon+ dn: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) co co co h h h h h h h Allo to modo, ma uando l quazon pr la maa, troa: ) ) co h

13 ) ) ) ) co co h h S tratta d un tma d quazon lnar omogno, la cu oluzon ottn dall annullar dl dtrmnant d coffcnt: ) ) co co ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) n n n co co n co co co co - ) n

14 S K è pccolo, << pr cu ottn: K ) a ranca Ottca ranca Acutca S a è l prodo dl rtcolo, la prma zona d rlloun è dfnta da alor d K compr nll ntrallo /a, +/a. Al bordo zona troano alor : Qund l frqunz compr fra qut du alor d ono probt non t una oluzon n forma d onda aggant. Entual oluzon dll quazon dl moto dl tma danno alor compl d K qund l onda è ancnt ( morza). Pr K= la prma dll du oluzon, troa : h oè gl atom brano uno contro l altro tnndo fo l cntro d maa. Quto tpo d ocllazon può produrr n un crtallo onco utlzzando l campo lttromagntco d un onda lumnoa, da cò l nom d branca ottca. Pr la branca acutca nc, a K= troa = z=h,

15 odo ottco odo acutco La prnza d mpurzz nl rtcolo può dar luogo a fonon localzzat on una mplc analoga con l foton dll onda lttromagntca poamo affrmar ch l nrga d brazon dl rtcolo crtallno è quantzzata; un onda latca con frqunza ha un nrga par a: n Il trmn ½ rapprnta l nrga d punto zro ch appar pr fonon com pr foton com congunza dlla loro qualnza ad un ocllator armonco quanttco con frqunza. Infn oramo ch l numro d fonon può quanttcamnt r dcrtto dalla tattca d o-entn: n Qund aumntando la tmpratura aumnta l numro d fonon, l ch, clacamnt, gnfca ch gl atom hanno una maggor ampzza d brazon. ) k

16 apactà trmca dl rtcolo La capactà trmca a olum cotant, da un punto d ta trmodnamco, calcola com: S Ando ndcato con S l ntropa dl tma, con E l nrga ntrna con la tmpratura. E noto ch a tmpratura ambnt la capactà trmca d qua tutt old al NK,, ndo N l numro d partcll dl oldo. A tmpratur pù ba la capactà trmca dcrc com ngl olant com n mtall, fanno tuttaa cczon matral uprconduttor. Inoltr old magntc motrano un groo contrbuto alla capactà trmca quando la tmpratura acna al alor pr cu momnt magntc ordnano. Quto comportamnto può r faclmnt compro rcordando ch l ordn modfca n manra otanzal l alor dll ntropa dl oldo ( S=k log(w) ). E molto ntrant crcar d alutar l contrbuto alla capactà trmca douto a mod normal dl rtcolo. I mod normal dono r condrat fra d loro ndpndnt, qund l nrga d un modo dpnd olo dalla frqunza dl modo da n, l numro d occupazon d fonon. A tmpratura ambnt d all qulbro trmco l numro d occupazon d può alutar uando la tattca d o - Entn: n k E

17 odllo d Entn L nrga mda d un ocllator d frqunza è : n S abbamo N ocllator, tutt ocllant a frqunza l nrga total è: E N n N n Qund la capactà trmca dgl ocllator arbb: E Nk ) ) ) ) k Ad alt tmpratur (/k pccolo), ottundo N con N (poché ogn partclla ha n fftt tr grad d lbrtà può qund otnr tr mod d ocllazon ndpndnt), troa: Nk (Lgg d ulong Ptt) A ba tmpratur dcrc com ) ntr rultat prmntal Indcano un andamnto com. In fftt l modllo fallc prché è tato potzzato ch tutt gl ocllator hanno la ta frqunza.

18 ontggo d mod normal All qulbro trmco l nrga d un nm d ocllator con frqunz k : E n k k k acun <n k > è lgato ad k dalla funzon d dtrbuzon: n k Sottuamo, allora, la omma con un ntgral, nll pot ch l crtallo pogga ()d mod d brazon nll ntrallo d frqunz compr fra +d: ) n ) E d, Pr calcolar la capactà trmca bata drar E rptto a, l ch rduc ad oprar u <n(,)>. Rta l problma d alutar la dntà dgl tat (() pr ntrallo untaro d frqunza. Supponamo d condrar prma l cao mplc dlla catna lnar monoatomca d lunghzza L con N+ partcll pot a dtanza a una dall altra. Ipotzzamo, noltr ch l partcll n pozon = d =N ano f.

19 acuno d mod normal dcrr com un onda tazonara: u u kt ) n ) o k è lgata a K dalla rlazon d dpron mpot dall condzon al contorno: K / L, K π/l π/l... Pr K=/L troa: u n a / L) fononca. I alor d K ono N ) π / L La oluzon u annulla pr = pr S= N com rchto dal fatto ch qut punt ono fat. In altr parol abbamo N- oluzon ndpndnt alor d K prm, tant ono anch l partcll ch muoono nlla catna. Il numro d mod pr ntrallo untaro d K è dtto dntà dgl tat nllo pazo K. Nl cao dlla catna lnar monoatomca d cotant rtcolar a, t un modo pr cacun ntrallo K=/L pr cu la dntà dgl tat W(K) è: W K ) L/π pr K π/a pr K π / a

20 ntra conocr l numro d tat pr ntrallo untaro d frqunz (): ) d w K ) dk d d ) w K d dk d La loctà d gruppo d/(dk) può ottnr dalla rlazon d dpron. S ottn una ngolartà ogn olta ch la rlazon d dpron (K) è orzzontal (d/(dk)=). S utlzza l appromazon dl mzzo contnuo, o d by, =K pr cu è la loctà dl uono : d/dk=. In quta pot la () n una dmnon arà zro pr K>/a altro aum l alor: ) L Lo pttro, qund, è troncato a =/a n modo ch l numro d mod è mpr N. Il alor ottnuto pr la è la dntà dgl tat pr cacuna polarzzazon, poché ono pobl tr dr polarzzazon pr cacun alor d K, è ncaro ommar la () ull tr polarzzazon uando alor propr dlla loctà dl uono pr cacuna polarzzazon. Pr N ocllator a frqunza E ha ()=Nd(- E ).

21 Rcordando la rlazon d dpron pr una catna monoatomca: o m Endo m la frqunza mama La rlazon nra ch lga K alla frqunza è: dk d a m m m a K m n a Poamo prcò calcolar la dntà dgl tat (): ) w K ) m dk d m L a n Qund: ) om d la dntà dgl tat è ngolar quando = m, l ch dra dal fatto ch la loctà d gruppo è zro quando K=/a. Edntmnt quto comportamnto è aldo olo nl cao mplc d un rtcolo monoatomco nll appromazon a prm cn. Nl cao d un rtcolo batomco la branca ottca darà luogo a ngolartà all frqunza pù alt pù ba ch dlmtano lo pttro, la do la tangnt dlla rlazon d dpron è parallla (d/dk=). m

22 ntà dgl tat n tr dmnon on un ragonamnto analogo a qullo gà applcato al cao n una dmnon, condramo un cubo d lato L ch contn N atom. Il ttor d onda K è dtrmnato dall condzon: p K K y K z) p K L) K y L) K z L) ) y z y z I alor d K, K y, K z prm ono: ; ; L ; L... N L In altr trmn ad ogn alor d K prmo corrpond un olum dllo pazo K par a (/L). Qund l numro d mod prm pr ogn tato d polarzzazon, n quto cao è: L w( K) Qund la dntà dgl tat n tr dmnon pr ntrallo d frqunza compra fra +d dnta: L ) d d K w K ) cr d K cr L ntgral ndo to alla uprfc dllo pazo K pr cu l frqunz ono compr fra +d

23 ondramo ado un lmnto d ara ds nllo pazo K ulla uprfc a frqunza cotant. In quto modo l lmnto d olum nllo pazo K compro fra du uprfc la cu dffrnza n frqunza è d, non è altro ch un clndro d ba ds d altzza dk : d dk dk K K Qund la dntà dgl tat può crr com: L L ds ) d d K d cr K ) L ds g o g è la loctà d gruppo. Rta da calcolar l ntgral ch è to alla uprfc a frqunza cotant. A tal copo appromamo l tma ad un mzzo contnuo (appromazon d by). In quto cao la loctà d gruppo concd con la loctà dl uono =K, qund:

24 ) L L K ds ds g La frqunza è dtrmnata dalla condzon : 6 L d L N La frqunza corrpond ad un ttor d onda K = / dllo pazo K do : ) L N K 6 E facl ntur ch K rapprnta l raggo dlla fra ch contn K prm nllo pazo K. Raumndo l appromazon d by cont nll utlzzar n c dlla ral rlazon d dpron qulla lnar =K,, noltr, ottuc alla corrtta rgon d ntgrazon dllo pazo K (ch arbb la zona d rlloun), una rgon frca.

25 Nlla raltà l calcolo dlla funzon d dtrbuzon () può r anch molto complo affronta con l uo d laborator lttronc, quto prché dono troar l numro d punt ch gaccono n pccol ntrall ugual d alor d. L funzon d dtrbuzon pr rtcol ral hanno po dll ngolartà not com ngolartà d an Ho, l orgn dll qual rd nl fatto ch n qu partcolar punt dllo pazo K la loctà d gruppo è nulla. odllo d by pr la capactà trmca rtcolar L nrga E all qulbro trmco ra: E d ) n, ) a: ) Qund: E L L n d - Qut ultma è alda pr ogn tato d polarzzazon. Ipotzzando ch la loctà a ndpndnt dalla polarzzazon, dorà moltplcar l nrga pr tr:

26 d L d L E - Ponndo K K d K L E In quto modo poamo dfnr una tmpratura d by attraro la frqunza d taglo. Infatt: ) L N K 6 ) L N K K 6 d NK E 9

27 Pr ottnr la capactà trmca è ncaro dffrnzar l nrga rptto alla tmpratura: d d d L d de ) ) d NK d K L d de 9 Nl lmt pr alt tmpratur quando >> la capactà trmca approma al alor claco NK, nfatt n quto cao può luppar n r: = + + troa: 9 9 NK d NK d de K NK d de

28 Lmt a ba tmpratur Quando la tmpratura è molto baa può tndr l ntgral ull frqunz all nfnto, n quto cao ha: d NK E 9 S tratta qund d olgr l ntgral: 5 d d NK NK E 5 NK c In concluon a ba tmpratur c è proporzonal a. L appromazon è molto buona prché a ba tmpratur ono att olo mod acutc a grand lunghzza d onda dl crtallo, ch ffttamnt dono l mzzo com contnuo.

29 oncludamo orando ch la lgg ora ddotta può rcaar anch con un ragonamnto pù mplc, S or ch a ba ono att olo mod con K L nrga d qut mod è crca K. Nllo pazo K l olum occupato da mod cctat è dll ordn d (K/K ). S c ono N atom armo n total N(/) mod cctat, cacuno con nrga K. L nrga ntrna, qund è: E N K c NK

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