11. CRITERI DI RESISTENZA

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1 . CRITERI DI RESISTENZA La vrfca d rtnza ha o copo d tabr o tato tnona d'mnto truttura anazzato è ta da provocarn cdmnto nto com rottura o nrvamnto. I probma fondamnta è quo mttr n razon paramtr crtc d matra, a tnon d nrvamnto o qua d rottura r, ottnut con mpc prov monoaa d trazon o compron, con a rtnza d'mnto oggtto ad uno tato d tnon n gnr baa o traa. A quto copo, ua ba d orvazon prmnta baat u mccanmo fco con cu matra gung ao tato mt, ono tat vuppat dvr tor ch prndono nom d crtr d rtnza. In partcoar, crtr d rtnza forncono d combnazon d tnon ffttvamnt agnt (prncpa o cartan), dtt tnon quvant, ( ) f,, o g( x y z xy yz zx ),,,,, (.) ch poono r confrontat con tnon d nrvamnto rottura d matra. Pr mot crtr a tnon quvant dpnd oo da tnon prncpa mama mnma. Pr cacun un crtro d rtnza, cdmnto n un punto da truttura vrfca a tnon quvant raggung vaor mt d rottura o nrvamnto, coè : con,r. (.) Na pratca, avo ca partcoar, truttur ono progttat affnché tnon mam agnt mantngano uffcntmnt a d otto d qu crtch. S dfnc tnon ammb una frazon opportuna da tnon ch provoca dannggamnto. La dfnzon ottn ntroducndo un fattor n> com gu: amm (.) n I vaor n è dtto coffcnt d curzza uo vaor (tpcamnt. n, n acun ca n4) è mpoto da normatv o cto da progttta n ba a condrazon rguardant: 'ncrtzza u'nttà d carco ua modatà d appcazon (urt, octazon d montaggo traporto), 'ncrtzza u proprtà d matra (proprtà nza, varazon dovut aa avorazon, uura tmpratura n rczo), 'mprcon d modo matmatco pr cacoo d tnon (uo d tor mpfcat), a pob prnza d atr tnon (dovut aa avorazon o a montaggo), prcootà d cdmnto, coto. Pr vrfcar un mnto d gomtra nota è n condzon d curzza, cacoa vaor da tnon quvant confronta con a tnon ammb tramt una dquazon d quto tpo: (.4) amm Quto tpo d cacoo è dtto d vrfca. In acun ca è pob crvr a n funzon d un paramtro gomtrco da truttura (D) rcavar qut'utmo mponndo ch a guag vaor ammb: ( D ) (.5) amm Quto tpo d cacoo è dtto d progtto. Tora da mama tnon norma o d Rankn-Navr Quta tora affrma ch cdmnto vrfca quando a mama tnon prncpa agnt guaga a tnon d nrvamnto o a tnon d rottura d matra. In pratca oo a mama tnon prncpa produc cdmnto atr poono r tracurat. Sano t c rpttvamnt tnon d nrvamnto n trazon n compron rt rc anaogh tnon d rottura tutt condrat con gno approprato (ngatvo pr qu d compron): è a maggor d tnon prncpa a mnor, cdmnto pr nrvamnto o rottura avvn quando: t o c ( <0),r. (.6a,b) r Introducndo rapporto tra tnon mt a trazon a compron r t c (.7).

2 ch, not, è un numro ngatvo, (6) poono r nttzzat com gu: max (.8), r t La (8) connt d dfnr una tnon quvant da confrontar con a oa tnon ammb a trazon amm t /n com gu: max, r (.9) Condrando tnon prncpa non ordnat, ma ta ch ano a mama a mnma o vcvra, n pano -, g tat d tnon mt pr da (6) ono rapprntat da un quadrato (vd fg.). Quta rapprntazon può r utzzata anch n cao d tato d tnon baa con 0. S tnon ono ordnat ( > ) ara gnata n grgo na fgura (pr a qua arbb < ) non dv r condrata. No tato d tnon tangnza puro, rapprntato daa na tratto-punto n fg., ha - con max ( - )/( + )/. Appcando crtro d Navr (6) a quto cao ottn ch cdmnto vrfca quando cu corrpond max ( + )/. Dat prmnta motrano ch quta vntuatà può r condrata ratca pr matra frag, mntr n cao d matra dutt o nrvamnto vrfca pr vaor da tnon tangnza moto mnor. N pano n - n cacuno tato d tnon è rapprntato mdant crch d Mohr d cu quo trno è ratvo a pano n cu agcono tnon prncpa pù vat n moduo. In fg., ad mpo, ono rportat n na trattggata, crch mt a trazon compron mpc con na puntggata cao d t c. In partcoar, pr crtro d Navr, g tat d tnon mt ono rapprntat da crch d Mohr tangnt a rtt para a'a avnt quazon t c motrat n fg.. Su pano d Mohr è pob dfnr una curva mt data da nvuppo d tutt crch d Mohr ch rapprntano tat d tnon mt. Pr crtro d Navr ta curva mt è a crconfrnza tangnt a rtt t c rapprntata con na puntggata n fgura. Quto crtro: può r utzzato pr matra con comportamnto non mmtrco, tpcamnt frag, pr prvdr a rottura t rt, c rc, è po n contrato con dat prmnta, rutando ccvamnt conrvatvo, n zon dov tnon ono d gno dcord a tnon d compron è a maggor n vaor aouto, condra oo tnon mam n vaor aouto, tracurando 'fftto d qu ntrmda mnma, ndca ch a tnon tangnza d nrvamnto è par a, fac n cao d compron drotatca par a - prvdndo cdmnto. Tora da mama tnon tangnza o Trca Quta tora affrma ch cdmnto (pr nrvamnto) vrfca quando a mama tnon tangnza n mnto dvn ugua aa mama tnon tangnza n provno d trazon a momnto do nrvamnto. S uppon ch a cr d matra a dovuta aa oa tnon tangnza. E' una tora fac da uar d è po n accordo con rutat prmnta; a è uata pr prdr o nrvamnto d è qund vada pr matra dutt. In un provno oggtto a trazon mpc a tnon tangnza mama ao / nrvamnto è data da: c t ( ) t ( ) 0 (.0) Pr uno tato gnra d tnon tnon d tago mam agnt n pan prncpa ono dat da,,,; (.) Lo nrvamnto vrfca quando max, coè, condrando tnon prncpa non ordnat, ( ), (.) max c t Fg.. - Crtro d Navr n pano (ραεγγιαο περ t c ). Fg.. - Crtro d Trca. c O n t Fg.. Rapprntazon d crtro d Navr n pano d Mohr. n.

3 na qua gnfca vaor aouto, da cu: max,,,;. (.) La tnon quvant è da confrontar con amm /n è data da max,,;,. (.4) N cao baa con 0 tnon agnt n pano - a (4) dvnta max(,, ) (.5) In quta pron nota ch a mama tnon tangnza n cao pano è qua agnt n pano - oo tnon ono d gno oppoto. La fg. motra una rapprntazon grafca dg tat mt dcrtt da (5) n pano -. No pazo, con tnon non ordnat, () ono quazon d pan d un agono avnt pr a d mmtra a trttrc dg a. N pano n - n (fg.4) g tat d tnon mt ono rapprntat da crch tangnt a rtt para a'a avnt quazon: ± /. L curva mt è rapprntata da t rtt d quazon ± /. Quto crtro: condra oo tnon mama mnma, tracurando fftto d qua ntrmda, ndca ch a tnon tangnza d nrvamnto è par aa mtà d (q.0), va pr matra con comportamnto mmtrco, tpcamnt dutt, fac n cao d trazon trpa par a prvdndo a rtnza. La tora d'nrga d dtoron o d Von M-Hncky Quta tora affrma ch o nrvamnto d matra vrfca quando 'nrga d dformazon mmagazznata raggung un vaor crtco. Ta vaor può r dtrmnato con a prova d trazon d è par a nrga d dformazon ratva aa tnon monoaa d nrvamnto. Ea è mno mpc da utzzar rptto aa tora da mama tnon tangnza, ma pr matra dutt è qua ch dà rutat pù adrnt a tuazon ra. Quta tora può r mpgata oo pr dfnr campo d nrvamnto. Ea prnd orgn da'orvazon ch matra dutt carcat drotatcamnt (tnon prncpa d ugua vaor gno), pr qua o tato tnona provoca ocamnt una varazon d voum, ma non d forma, hanno una rtnza ao nrvamnto upror rptto a vaor ottnuto da mpc prov d trazon. Pr ottnr crtro d Von M dtrmna avoro d dtoron d com dffrnza tra avoro tota quo ch provoca una varazon d voum v o confronta con quo ratvo a cao d trazon mpc. Vautazon d avoro d dtoron La vautazon d avoro d dtoron ffttua n gunt pa: vauta avoro d dformazon tota, cacoa a tnon mda m agnt vauta avoro da a computo v, avoro d dtoron vauta com dffrnza d - v. I avoro pr untà d voum computo da tnon prncpa è dato da: ε dov,, ; (.6) ottundo ε mdant a gg d Hook, 'nrga tota d dformazon tota è: + + [ + + ν( + + )]. (.7) E La octazon agnt u cubtto untaro n cacuna drzon può r condrata com a omma d una tnon mda, dfnta com + + m ν Fg..4 Rapprntazon d crtro d Trca n pano d Mohr. ν, (.8).

4 da tnon (,,) data daa dffrnza tra a tnon ffttvamnt agnt a tnon mda ta, coè m. E' vdnt ch a m provoca oo una varazon d voum d'mnto mntr producono a dtoron d forma d cubtto. L'nrga d dformazon dovuta aa oa varazon d voum ottn ottundo a tr tnon prncpa a componnt mda: E [ ] ( ν ) ( ν ) ( ) 6ν + + v m m m (.9) ovvro: E 6E ν [ ( )] v E (.0) L'nrga d dtoron ottn gundo a dffrnza tra v : + ν E [ + + ( + + )] d v ; (.) not ch 'nrga d dtoron è zro. Lavoro d dtoron n cao d trazon mpc N cao da prova d trazon, ao nrvamnto ha, 0, da cu 'nrga d dtoron ruta: Dtrmnazon d crtro Eguagando q.() () ottn ( + + ) d + ν (.) E + + (.) daa qua drva a condzon mt ao nrvamnto: ( + + ) + (.4) + Tnon quvant La razon (4) prmtt d dfnr a tnon quvant (dtta d Von M) pr o tato d tnon traa da confrontar con qua ammb: + + ( + ) ( ) ( ) ( ) (.5) Du tat tnona dfnt da dvr vaor d componnt d tnor dg forz, ma avnt o to vaor da data daa (5) ono quvant a fn d'nrga d dformazon ( qund do nrvamnto). La (5) può r rcrtta pr un tma d a non prncpa fornc: ( + + ) + ( + ) x + y + z x y y z z y xy yz zx (.6) + Pr tato tnona pano con 0 a (5) traforma n a (6) a ua vota dvnta (.7) + x + y x y xy (.8) + L pron (5-8) poono r utzzat mdant razon (4) (5) pr fn d vrfca o progtto tnndo conto ch a ch può r nrta è oo qua d nrvamnto. Sottundo n (5-8) a poto d ottngono tuazon mt pr var ca d tato tnona. N cao d tato d tnon puramnt tangnza con -, utzzando a (8), ao nrvamnto ottn: (.9).4

5 La (9) può r ottnuta utzzando anch a (8) ch n quto cao rduc a /. I confronto con 'anaoga razon ottnuta con a tora da mama tnon tangnza motra ch crtro d'nrga d dtoron ndca una rtnza ao nrvamnto a tago apprzzabmnt pù ata (d 5.4%). No pazo - - 'q. (4) rapprnta un cndro avnt pr a a trttrc dg a d rfrmnto. N pano - (con 0) a ua tracca è una d q.(7) (vd fg.5). Quto crtro: va pr matra con comportamnto mmtrco, condra tutt tnon prncpa, ndca ch a tnon tangnza d nrvamnto è qua n trazon, fac n cao d trazon trpa prvdndo a rtnza. Crtro da tnon ottadrca Quto crtro affrma ch o nrvamnto n matra dutt avvn quando a tnon ottadrca raggung vaor crtco. L tnon quvant ottnut con quto crtro concdono con qu ottnut co crtro d Von M (5-8). I 4 pan ottadrc (fg.6) ono carattrzzat da fatto ch vror d norma n formano con g a prncpa ango ugua. In partcoar chamat dtt ango α, β γ, ha: α β γ co (.0,) tzzando quazon ch conntono d ottnr tnon pr agnata gactura può motrar ch tnon norma tangnza agnt u pan ottadrc (dtt tnon ottadrch) ono rpttvamnt + + h ( ) ( ) ( ) + + La () può r crtta anch com Fg..5 Crtr d Navr, Trca, Von M. h (.,) ( + ) h + + (.4) + xy n h, h γ h β n α h α n compron n trazon p n toron Fg.6. - no d 4 pan ottadrc. Fg..7 Tnon ottadrch ao nrvamnto. Fg..8 La curva mt d Mohr crch mt pr trazon trpa, trazon, toron compron. N cao d tato d compron drotatco, pr qua non vrfca nrvamnto n matra, tnon prncpa concdono con a h mntr a h ruta nua. Quto fa rtnr ch qut utma a a caua do nrvamnto. In partcoar n un provno oggtto ad uno tato d tnon monoaa tnon ottadrch ao nrvamnto (fg.7) dvntano: h h (.5,6) N cao mutaa o nrvamnto vrfca quando a tnon ottadrca () raggung vaor crtco: ( ) + ( ) + ( ) h (.7) a tnon quvant, ch concd con qua d Von M (5), può r pra com: ( ) + ( ) + ( ) (.8).5

6 Crtro d Mohr I crtro d Mohr potzza ch a cr d matra vrfch n pano n cu razza una combnazon crtca d tnon tangnza norma. Ta combnazon vngono dntfcat u pano d Mohr n - n mponndo pr ogn n una n ch provoch a rottura traccando corrpondnt crcho Mohr; a curva mt d Mohr, pcfca pr matra anazzato, è nvuppo d crch ottnut (fg.8). Ovvamnt g tat tnona cu crch d Mohr maggor ono tangnt aa curva mt ono tat tnona mt. I punt d tangnza d crch mt con a curva d Mohr rapprntano o tato tnona agnt n pano n cu avvn a rottura. Sfruttando proprtà d crch d Mohr ch è pob dtrmnar a drzon d ta pan (fg.9). Pr traccar curv d Mohr arbb ncaro ffttuar amno prov d trazon, compron, toron, pù una prova n tato trpo d octazon carattrzzato dao tato tnona p. Nonotant a prnza d quach punto ratvo a tat traa, curv d Mohr tracurano fftto da tnon ntrmda. L curv d Mohr hanno gunt carattrtch: ono mmtrch rptto a'a, prché a rottura non dpnd da gno d, n daa part d ngatv tndono a dvntar para a'a, prché pr compron drotatca non ha rottura,,, daa part d potv curv ntrcano 'a n punto p, ch, pr φ matra frag, tnd a concdr con rt, n n quto punto a tangnt aa curva dv r vrtca prché cdmnto a trazon avvn pr dtacco. Fg..9 Vrfca d rtnza utzzando a curva mt d Mohr. S a curva d Mohr pr matra condrato è dponb, quto crtro è, probabmnt, pù ffcac. La vrfca dv r ffttuata confrontando maggor d crch d Mohr rapprntatv do tato d tnon agnt con crcho mt ratvo ao to tato (fg.9). Qut utmo ottn ampfcando d un fattor n crcnt tutt tnon prncpa n, n, n fno a quando crcho ottnuto non ruta tangnt aa curva mt: fattor n pr cu ottn crcho mt è coffcnt d curzza. I punto d tangnza d coordnat, (fg.9) dtrmna a gactura d pano n cu vrfca a cr d matra; a norma a pano forma angoo φ / con a drzon. Poché pr n0 crcho d Mohr dgnra n un punto concdnt con orgn, traccando a congungnt tra orgn punto mt, ntrzon con crcho do tato tnona agnt prmtt d dtrmnar grafcamnt punto d coordnat /n, /n com n fg.9. n ν t c t n ι λ φ α ν c t (a) (b) (c) Fg..0 Tora d Couomb Mohr: a) curva mt, b) a rtta tangnt a crch mt d trazon compron ratv paramtr, c) a pzzata mt n pano - a confronto con quo da mama tnon norma. Crtro d Couomb-Mohr La curva mt d Mohr può r appromata utzzando oo crch d Mohr mt a trazon compron a rtta tangnt a uddtt crch com motrato n fg.0. Ta rtta u pano d Mohr ha quazon + µ (.9) na qua è ntrzon con a n µtanα è coffcnt angoar. La rtta d Couomb ha pndnza par ad απ/-φ crch mt ono tangnt ad a n punt a cu congungnt con cntro d crcho ( raggo) forma un angoo par a φπ/-α. Sut a gunt razon: µ tan π φ tan φ (.40) S non ordnano n no dcrcnt tnon prncpa, n ba a condrazon gomtrch u pano d Mohr, crtro può r pro da gunt quazon (quvant a 6 pr a prnza d vaor aouto): c.6

7 + m( + ) + m( + ) + m( + ) (.4a-c) n qua cotant (ch è a coordnata n d punto d tangnza d crcho mt d cao d tato d tnon puramnt tangnza aa rtta mt fg.0) d m poono r pr n funzon d damtr d crch mt a trazon compron, concdnt con t c rpttvamnt, mdant gunt razon c t c t m + c t (.4,4) c t L 6 quazon (4) rapprntano 6 pan ch no pazo formano un vrtc n punto /m. N cao pano, condrando 0 non ordnando, (4) aumono a gunt forma: ( + ) + m + m + m (.44a-c) Qut pron poono r utzzat anch n cao traa ono a mama a mnma tnon agnt o vcvra. Pr m0 ( t - c ) crtro d Couomb-Mohr è quvant a quo d Trca. N prmo trzo quadrant dov hanno o to gno a tora d Mohr qua d Navr concdono. La condzon mt può r pra mpcmnt com max, t mn, c (.45a,b) N condo quarto quadrant dov tnon hanno gno oppoto, du tor dffrcono. In partcoar combnazon mt ono pr daa gunt razon: max, mn, + (.46) t c Ordnando tnon prncpa n modo ch > > ntroducndo rapporto r tra tnon mt a trazon compron (7), n ba a (45-46) a tnon quvant da confrontar con qua ammb a trazon amm t /n, è data daa gunt pron: max, r, + r (.47) La na avnt pndnza / -, ch rapprnta o tato d tnon puramnt tangnza, ntrca contorno d rombo n punto d coordnat - < t. L anaoga ntrzon con a na rapprntatva da tora d Navr fornc, nvc, t, ch è una carattrtca d mot matra frag. In qut matra, n ca n cu tnon ono dcord a tnon d trazon è a mama n vaor aouto o è comunqu vcna a qua d compron (n cao d tato d tnon puramnt tangnza ono ugua), a rottura avvn n pan norma ad a. Pr octazon d quto tpo crtro d Couomb-Mohr ruta ccvamnt conrvatvo vn modfcato opportunamnt. Crtro d Couomb-Mohr modfcato I crtro d Couomb-Mohr modfcato è rapprntato n fg. a confronto con quo orgna. I vaor, t t rapprntato n fgura è vaor d compron pr qua a rottura a trazon prva ancora u qua pr corrmnto dovrbb r dtrmnato t prmntamnt; tuttava, oprando n modo conrvatvo aum t a pzzata mt utzzata è qua rapprntata con na pa n fg.. t In quto cao, n prmo trzo quadrant vagono ancora (45), n c t condo quarto quadrant, a tnon potva è maggor n moduo d qua ngatva, a condzon mt è ancora pra da (45), vcvra ( >0 <0 > oppur <0 >0 > ) a condzon mt è rapprntata da: t, c Fg.. I crtro d Couomb Mohr modfcato. max, c + t mn, + (.48) c t c Oprando com n cao prcdnt, rcordando a dfnzon (7) tnndo conto d (45) da (48), pron d tnon quvant è data da: max, r, ( + r) + r (.49).7