La nuova soluzione della Catastrofe Ultravioletta di Rayleigh- Jeans e la nuova forma di energia

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1 Carl Santagata La nuva luzine della Catatrfe Ultraviletta di Rayleigh- Jean e la nuva frma di energia 7 giugn 005 inf@carlantagata.it Abtract E pibile individuare in md preci l errre init nel mdell adttat da Lrd Rayleigh e Sir Jame Jean (R&J) [8] la cui luzine cnduce alla fama catatrfe ultraviletta. L individuazine del crrett mdell da adttare cnduce ad una nuva frmula che i accrda ai riultati perimentali del Crp Ner e che, a differenza di quella prpta da Planck [9], prevede l eitenza di una nuva frma di energia che da cnt anche dei fenmeni di radiattività. Ea permette inltre di determinare la temperatura ltre la quale la materia è all tat di plama (IV tat della materia) e cnente di tabilire la ditribuzine energetica in quet tat. E anche pibile capire che l iptei di Planck, ecnd la quale l energia è quantizzata, nn può prevedere queta nuva frma di energia, in quant, pur e ea è eenzialmente crretta, è altrettant frtemente limitata. Infatti è pibile dimtrare ia perimentalmente e tericamente [1] che l iptei di Planck ecnd il quale E = hν n, fndamentale piattafrma dell attuale Meccanica Quantitica, è rigramente ricnducibile alla claica teria delle rinanze [1], fenmen che i verifica l per dipli legati. Ea dunque nn può decrivere anche gli effetti della inizzazine ai quali va attribuita queta nuva frma di energia.

2 Intrduzine Secnd la relazine di Larmr [] la ptenza emea da un dipl cillante è data dalla nta relazine qa W = (1.1) C dve q è la carica cillante, a è la ua accelerazine media e C è la velcità della luce. Rayleigh e Jean (R.&J.) cnideran un cillatre armnic per il quale è verificata la nta relazine ma= k x, (1.) Da queta relazine i ha che kx k 1 1 a = = mv = mv ( πν ). m m m (1.) Ora la ptenza che un camp di radiazine cn ditribuzine pettrale E( ν, T ) cede all cillatre è [] π q W ' = E( ν, T). (1.) m In cndizini tazinarie deve eere W = W ' e quindi i ha 8πν E( ν, T) = mv. (1.5) C Piché dalla Meccanica Claica i ha che i ttiene mv =, 8π E( ν, T) = v. (1.6) C Queta relazine, critta in funzine della lunghezza d nda ed indicand cn P Vl la ptenza per unità di vlume diventa P Vl = C, (1.7) λ la quale cnduce alla catatrfe ultraviletta.

3 fig. 1 Cme i vede dalla fig. 1, anche e la frmula di R.&J. cnduce alla catatrfe ultraviletta, pur empre ea, per valri di λ crecenti tende alla luzine eatta. Cme erva anche T. Kuhn [], purtrpp però nn c è nulla di cmune tra la (1.7) e la frmula di Planck 1 P = (1.8) 5 λ exp 1 λ a men che nn i tituica nell una nell altra delle due luzini la relazine λ =, (1.9) nel qual ca né l una né l altra riucirebber a riprdurre fedelmente i riultati perimentali. Queta ptrebbe embrare una quetine marginale, vite le cnferme a pteriri ttenute dalla M.Q. ma, cme megli vedrem, ea è invece di etrema imprtanza. Oerviam ubit che il mdell adttat da R.&J. è ctituit dall cillatre armnic. E ntriamente è la priezine ull ae delle acie di maa che i muve u di una circnferenza e quindi la ituazine è analga a quella di un atrnm mdern che vlee crivere le effemeridi di un pianeta ignrand che, in genere, le rbite decritte in un camp centrale cn una legge inveramente prprzinale al quadrat della ditanza n delle ezini cniche. Il pett che il mdell adttat da R.&J. ia perfettibile è raffrzat dal fatt che la luzine di R.&J., per grandi lunghezze d nda, tende ai riultati perimentali.

4 L cillatre keplerian Se cnideriam una maa che in un camp centrale culmbian decrive una generica cnica data dalla nta equazine p r = 1 + ε cϕ (1.10) e ci prpniam l tudi del mt di detta maa ull ae delle acie abbiam che u tale ae ea è ggetta alla frza dve e è la carica dell elettrne. F x e = x (1.11) r Pnend e x c( ϕ ) = (1.1) r e mp ω = (1.1) abbiam che l accelerazine è data dalla relazine a d x ω x = = dt x 1 ε p (1.1) la quale i riduce al mdell adttat da R.&J. l quand ε = 0. La figura n. che egue rappreenta la (1.10) per vari valri di ε il quale può appartenere all intervall. ε [ 0, ] (1.15) fig.

5 Ea ttlinea l etrema pvertà del mdell uat da R.&J. e in gran parte della Fiica Terica. Piché a ni interea l accelerazine media che ubice la maa e queta ccupa mediamente la pizine [] x pε = 1 ( ε ) (1.16) avrem che l accelerazine media del dipl keplerian è data dalla relazine a ( 1 ε ) d x ε = = pω. (1.17) dt 1 1+ ε Nella fig. è rappreentat il quadrat della (1.17) in funzine di ε, nell intervall ε [ 0,1] (1.18) e che quindi rappreenta l i dipli legati. fig. La fig. () rappreenta invece ia i dipli legati per i quali ε [ 0,1], che quelli inizzati crripndenti all intervall ε [ 1, ]. 5

6 fig. Prima di paare alla luzine del prblema del Crp Ner è pprtuna l integrazine della (1.1). Per ea i ha 1 1 ω x ω x Ett = mv + m = mv + m x x 1 ε 1 ε p p (1.19) e quindi l energia ttale i equiripartice tra quella cinetica e quella ptenziale, quet ultima data dall equazine E tt ω x = m x 1 ε p. (1.0) Queta equazine, al variare diε, è riprtata in fig. 5. 6

7 fig. 5 Se i ruta il grafic della fig. 5 i ha il diegn riprtat in fig. 6 fig. 6 che è mlt imile alle equazini perimentali di Mre e Rydberg relative alle mlecle diatmiche [5] ed ttenut cn l iptei di frze attrattive e repulive del nucle ulla carica eterna. 7

8 La luzine della catatrfe ultraviletta Rifacend il raginament di R.&J., tituiam all accelerazine media dell cillatre armnic quella data dall cillatre keplerian. In tal ca, per la (1.17), avrem che Atte: E ( 1 ε ) ε 1+ ε m a m ( ν, T ) = = pω πc πc 1. (1.1) che l eccentricità è definita dal rapprt tra due lunghezze, prrem λ ε = ; (1.) λ che l accelerazine data dalla (1.17) è relativa ad un unic itema di riferiment cn l rigine nel fuc di tutte le cniche rappreentate in fig., mentre le lunghezze d nda pte ull ae delle acie e relative alla curva del crp ner n relative ad un itema di riferiment etern ai vari fuchi delle cniche, più eattamente criverem che λ ε = λ + λ ; (1.) che le grandezze λ e λ pn eere definite dalle relazini λ = α (1.) λ = β, (1.5) dve α e β n ctanti da determinari affinché la (1.1) rappreenti i riultati perimentali, ciò dett i ha λ λ 1 m a 9 m λ + λ λ + λ E( ν, T ) = = p ω dν 6 πc πc 1 λ 1+ λ + λ (1.6) ppure che 8

9 λ 1 λ + λ E C dλ m a 9 λ C ( ν, T ) = = π 6 πc πc λ ( λ + λ) 1 λ e quindi la ptenza vlumica diventa λ 1 λ + λ PVl = C dλ. 6 ( λ + λ) 1 λ 1+ λ + λ 1+ λ + λ (1.7) (1.8) Remark Le pizini (1.) e (1.5) ptrebber embrare ad hc. Invece è pprtun ervare [6] che l energia di un qualiai dipl elettric (nn plarizzat) può criveri e π17 e E = = ψ π17ψ e ricrdand che e i pne [1,6] i ttiene π 17e = λ = π17ψ E =. λ Per un particlare cillatre del crp ner (per eempi quell per il quale la ptenza vlumica P Vl aume il maim valre) i può crivere da cui dicende che E = = α, λ λ max max 1 = α Ciò vviamente vale anche per λ che appare nella (1.8) e ciè piam dire che 9

10 λ = γ e quindi il rapprt λ / λ è una ctante aluta che nn dipende dal valre aunt dalla temperatura. Affinché la (1.8) rappreenti i riultati perimentali (legge di Planck) ccrre prre λ = e λ = (1.9) Queti valri pn cmunque eere determinati cn più preciine. La fig. n. 7 fig. 7 permette il cnfrnt tra l equazine di Planck e la (1.8) per una temperatura di 5000 K. La fig. n. 8, riprta il cnfrnt per una temperatura di 000 K. Si può ntare che i grafici n del tutt identici eccett che per una quetine di cala. 10

11 fig. 8 Circa la preciine delle previini c è da dire che una frmula che megli rappreenta i riultati perimentali è quella di Pringheim & Lummer [7], anch ea empre di rigine perimentale 1 P =. 5 λ λ exp + exp 1 λ La fig. 9 cnente il cnfrnt tra la frmula di Planck e quella che gli fu uggerita ucceivamente da Pringheim & Lummer (P. & L.) [7]. Da ea i pn ervare ancra delle enibili differenze tra le due. In prpit è pprtun ervare che la (1.8), cn una più pprtuna celta dei parametri α, β e del rapprt λ / λ [10], può apprimare la relazine perimentale di (P. & L.) megli di quant nn l faccia la frmula di Planck. 11

12 fig. 9 Ciò dett, prima di parlare delle tanziali differenze tra la luzine di Planck (1.8) e quella data dalla (1.8) è pprtun eprimere quet ultima in funzine della frequenza. Ea riulta eere data dall equazine νν ν 1 8π ( ) ν ν + ν ν E(, T) = d 6 C ν + ν 1 νν ν 1+ ( ν + ν) ν ν ν ν (1.0) cn le crripndenti pizini 1 1 ν = e ν =. (1.1) h h La (1.0) ha due maimi dati da e tre minimi ν =.78 e ν = 71.5 (1.) h h max1 max ν min = 0, ν 1 min = 18.66, ν min = (1.) h 1

13 Se i rappreenta la (1.8) in tutt l intervall λ [ 0, ] dalla fig. 10 ea ha l andament rilevabile fig. 10 La fig. 11 rappreenta la tea frmula in funzine della frequenza, ia la (1.0), cnfrntata cn quella di Planck, per una temperatura di 5000 K fig. 11 1

14 Cme i può vedere megli da queta figura e dalla eguente, mentre la frmula di Planck, dp aver raggiunt il maim, raggiunge il punt di null per una frequenza pari 15 a circa ν min.5 10, la (1.0) ha un altr maim che appena i intravede nella fig. 1 e che megli i apprezza nella fig. 1. fig. 1 fig. 1 Nuv maim, che per 15 ν max T=5000 K, i ha per una frequenza pari a circa 1

15 E immediat rilevare che queta nuva frma di energia, nn prevedibile cn la teria di Planck per le ragini che ubit vedrem, è dvuta al fatt che il mdell ctituit dall cillatre keplerian prevede anche i dipli inizzati. Infatti la fig. rappreenta tutte le pibili ezini cniche, ia quelle legate (circnferenze ed ellii) che quelle legate (parable ed iperbli), curve quete ultime ulle quali la particella è cmunque ggetta ad accelerazini e quindi è ancra pienamente applicabile la relazine di (Larmr). Anche la fig. anticipa quet riultat. Invece, cme megli i vedrà più dettagliatamente [1], l enigmatica equazine di Planck ecnd la quale l energia arebbe quantizzata in bae all empirica relazine E = hν n= Ωn (1.) nn è altr che una cndizine più generale di rinanza di un cmune cillatre armnic e pertant riguarda l ed ecluivamente dipli legati [1]. Da qui la ua impibilità di predire queta nuva frma di energia. D altra parte Planck fu indtt a crivere la (1.) per pter giutificare a pteriri una frmula già ricavata perimentalmente e che megli decriveva i delicati riultati racclti dai vari ricercatri [7]. Ma, cme dicevam, la (1.) può eere riletta cme una più ampia cndizine di rinanza di un qualiai riunatre [1], empre cn la frte limitazine che ea tratta, purtrpp mlt uperficialmente, l dipli legati. Fenmen di Rinanza che ctituice invece il più ptente ed unic fenmen fiic attraver il quale una qualiai frma di energia (luce viibile cmprea), può eere arbita, emea, diffratta, rifratta riflea dalla materia cn la quale interagice. La ptenza integrale della (1.0), cmprea nell intervall ν 0, ν min e ciè ν= νmin ( ) ν 6.6 (1.5) ν T ν = 0 E = E d dl.., cmpete ai dipli legati. Ea è praticamente cincidente cn quella frnita da Planck. Invece la ptenza integrale della (1.0), cmprea nell intervall ν ν, min e ciè ν = ( ) ν.98 (1.6) ν T ν= ν E = E d d.., min riguarda i dipli inizzati. La ptenza integrale cmpleiva cmprea nell intervall ν [ 0, ] è pari a. ν = ( ) ν (1.7) ν ν = 0 E + E = E d dl.. d.., T 15

16 Il multifrme apett della legge di Culmb. Cme megli vedrem [1,6], tra l ampiezza ψ di cillazine della carica e la lunghezza d nda elettrmagnetica che ea prduce uite la nuva relazine( 1 ) λ = π17 ψ. (1.8) Dalla (1.8) i ricava che l energia del crp ner è data dalla relazine λ 1 λ + λ E = 1 λ 1+ λ + λ 6 (1.9) che, tenut cnt della (1.8), può eere ricritta nel md eguente ψ ψ 1 1 ψ + ψ ψ + ψ E = = mc 1 ψ 1 ψ ψ + ψ ψ + ψ 6 6. (1.0) E evidente che la frza (media) agente ulla carica è data de F =. (1.1) dψ Ricaverem la frza dalla (1.9) e ciè de F =, (1.) dλ tenend pi cnt della (1.8) ucceivamente. Ea è λ λ 8 1 λ 6 1 λ λ + λ λ + λ F = λ 1 λ 1 1 λ + λ λ + λ ( λ λ) ( λ λ) (1.) 1 1 π17e 1 λmax = = = π 17 ψ. 5 5 mc 5 1 Si erva che 16

17 La fig. 1 la rappreenta per una temperatura di 5000 K. fig. 1 Queta legge di frza arebbe incmprenibile e per niente paragnabile alla legge di Culmb e nn teneim in cnt l imprtante rul dell eccentricità, empre cmpletamente tracurat (v. fig. e fig. ). I padri fndatri dell attuale M.Q. hann empre e lamente tenut in cnt l cillatre armnic. L unica eccezine è ctituita da Smmerfeld il quale, penand di trvare una teria più ampia di quella di Bhr, fu frtemente delu. La fig. 1 intetizza l unic mdell ecluivamente utilizzat in fiica terica. fig. 1 In quet ca, ebbene i cnideri l eccentricità dell rbita kepleriana, i cnidera il l ca in cui i diametri delle cniche ian tutti uguali tra lr. 17

18 Il plama, IV tat della materia Il raggi claic dell elettrne è dat da Tenut cnt che i ha R e e =. mc π 17e = Se impniam che il λ min della (1.8) ( il d nda Cmptn (cutt-ff) avrem λ π17e h π17 Re = = = = λ. Cmp mc mc mc ν min della (1.0)) cincida cn la lunghezza e π17e h 1 min π17 ( ) = = = = = (1.) mc mc mc mc da cui e quindi T plama h 1 λ Cmp = = mc k T mc = K (1.5) 18.66k uperata queta temperatura i dipli legati diventan empre più rari e quindi la ditribuzine dell energia del crp ner è data dall equazine (1.0) che viene rappreentata in fig. (15) per una temperatura di K, relativamente all intervall d eitenza dei dipli inizzati ν ν, min. 18

19 fig. 15 Ulteriri viluppi arann ggett di una nta ucceiva. Reference [1] C. Santagata, Le Frequenze di Rinanza e la Frmula di Planck [] W. Heitler, The Quantum Thery f Radiatin, Oxfrd (1960) [] T. Kuhn, Black-bdy thery and quantum dicntinuity, New Yrk, Oxfrd Univerity Pre, (1978) [] Tierand, Traité de Mecanique Celete, Tme I, Pari (1889) [5] P. Fleury & J.P. Mathieu, Atmi, Mlecle, Nuclei, Vl 8, par. -11, Zanichelli Blgna (1965) [6] C. Santagata, Nuve relazini quantitiche [7] H. Kangr, Early Hitry f Planck Radiatin law, Taylr & Franci L.t.d.,Lndn (1976) [8] W. Strutt &, Lrd Rayleigh, Remark upn the law f cmplete radiatin, Philphical Magazine, 1990, XLIX, pp [9] M. Planck, Uber irreverible Strahlungvrgage, Sitzungberichte der Kniglich- Preubichen Akademie der Wienchaften Berlin, 1897 (I), pp , ibid., (II), pp ; pp ; ibid., 1898 (II), pp. 9-76; ibid., 1899 (I), pp ID., Zur Therie de Geetze der Energieverteilung im Nrmalpectrum, in Verhandlungen der Deutchen Phyikalichen Geellchaft, 1900, II, pp ID., Ueber irreverible Strahlungvrgange, in Annale der Phyik, 1900, 06, pp ID., Ueber da Geetz der Energieverteilung im Nrmalpectrum, in Annale der Phyik, 1901, 09, pp [10] C. Santagata, Claical fundatin f quantum ptulate, in Jurnal f Infrmatin & Optimizatin Science, Vl. 17 (1996), N 1, pp