Manuale blu 2.0 di matematica. Equazioni, disequazioni e funzioni S Geometria analitica L. Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

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1 Riesci ottenere 6 romi spostndo solo 6 fimmiferi? Mssimo Bergmini Ann Trifone Grziell Brozzi Mnule lu.0 di mtemtic 3 Equzioni, disequzioni e funzioni S Geometri nlitic L

2 Vlore ssoluto (modulo) = se $ 0 - se 1 0 Formule di lger Equzioni e disequzioni con il vlore ssoluto A ( ) = soluzione A ( ) se 1 0 =! se $ 0 Proprietà delle potenze m n m n $ = m : n = m- n (! 0) m n m n ( ) = $ ( $ ) n = n $ n n n l = n (! 0) - n 1 = n (! 0) Proprietà dei logritmi log( $ c) = log logc ( 0, c 0) log l = log-logc c ( 0, c 0) log = c$ log ( 0) c Prodotti notevoli (! ) =! ( c) = c c c (! ) 3 = 3! 3 3! 3 Scomposizione in fttori - = ( )( - ) 3! 3 = (! )( " ) ( ) = ( )( ) Rdicli m = m $ m m : = m : (! 0) m n = n m n m = ( ) ( $ 0) 1 = ( 0) se n dispri n n se m pri, ', $ 0 se n pri! = - - -! Equzioni Secondo grdo c = 0! 4c se! 0, = - - Biqudrtic 4 c = 0, = z " z z c = 0 A ( ) A ( ) 1 k k soluzione se k 1 0 -k 1 A ( ) 1 k se k $ 0 6! R se k 1 0 A ( ) 1-k0 A( ) k se k $ 0 Equzioni e disequzioni irrzionli n n n A ( ) = B( ) A ( ) 1 B( ) A ( ) B( ) A ( ) = [ B ( )] n se n dispri A ( ) $ 0 * B ( ) $ 0 se n pri A ( ) = [ B ( )] A ( ) 1 [ B ( )] n se n dispri A ( ) $ 0 * B ( ) 0 se n pri n A ( ) 1 [ B ( )] A ( ) [ B ( )] n se n dispri B ( ) 10 B ( ) $ 0 ( 0 ( se n pri A ( ) $ 0 A ( ) [ B ( )] n Disequzioni esponenzili e logritmiche y log log y Alfeto greco lf et gmm c delt d èpsilon f zet g et h tet i, j iot k cpp l lmd m mi, mu n y se 1 1 y se y se 1 1 y se ni,nu o i p òmicron q pi r ro t sigm v, w tu ipsilon y fi { chi psi } omèg ~ Bergmini, Trifone, Brozzi Mnule lu.0 di mtemtic 3 Znichelli 011 Moduli SL

3 Mssimo Bergmini Ann Trifone Grziell Brozzi Mtemtic.lu.0 Equzioni, disequzioni e funzioni Geometri nlitic S L

4 Copyright 01 Znichelli editore S.p.A., Bologn [683] I diritti di elorzione in qulsisi form o oper, di memorizzzione nche digitle su supporti di qulsisi tipo (inclusi mgnetici e ottici), di riproduzione e di dttmento totle o przile con qulsisi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotosttiche), i diritti di noleggio, di prestito e di trduzione sono riservti per tutti i pesi. L cquisto dell presente copi dell oper non implic il trsferimento dei suddetti diritti né li esurisce. Le fotocopie per uso personle (cioè privto e individule, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettute, nei limiti del 15% di ciscun volume, dietro pgmento ll S.I.A.E del compenso previsto dll rt. 68, commi 4 e 5, dell legge prile 1941 n Tli fotocopie possono essere effettute negli esercizi commercili convenzionti S.I.A.E. o con ltre modlità indicte d S.I.A.E. 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Ecel è un mrchio registrto dell Microsoft Corp L inter oper è frutto del lvoro comune di Mssimo Bergmini e Ann Trifone. Hnno collorto ll relizzzione di questo volume Dvide Bergmini, Enrico Bergmini e Lis Cecconi. Copertin: Progetto grfico: Miguel Sl & C., Bologn Relizzzione: Roerto Mrchetti Immgine di copertin: Artwork Miguel Sl & C., Bologn Prim edizione: ferio 01 L impegno mntenere invrito il contenuto di questo volume per un quinquennio (rt. 5 legge n. 169/008) è comunicto nel ctlogo Znichelli, disponiile nche online sul sito i sensi del DM 41 dell 8 prile 009, All. 1/B. File per diversmente ili L editore mette disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disili motori o con disturi specifici di pprendimento i file pdf in cui sono memorizzte le pgine di questo liro. Il formto del file permette l ingrndimento dei crtteri del testo e l lettur medinte softwre screen reder. 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5 Mssimo Bergmini Ann Trifone Grziell Brozzi Mtemtic.lu.0 Equzioni, disequzioni e funzioni Geometri nlitic S L

6 SOMMARIO TEORIA ESERCIZI Le geometrie Di numeri lle strutture lgeriche IX XIII CAPITOLO 1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Qundo è più conveniente importre un ene dll estero nziché produrlo? L rispost pg Le disequzioni e le loro proprietà 30. Le disequzioni di primo grdo Le disequzioni di secondo grdo Le disequzioni di grdo superiore l secondo e le disequzioni frtte I sistemi di disequzioni ESPLORAZIONE Noleggire film Le equzioni e le disequzioni con il vlore ssoluto Le equzioni e le disequzioni irrzionli 1 6 LABORATORIO DI MATEMATICA Le disequzioni 6 Reltà e modelli 73 Verso l esme di Stto 74 CAPITOLO LE FUNZIONI Perché il re di Persi fece mozzre l test ll inventore del gioco degli sccchi? L rispost pg Le funzioni e le loro crtteristiche Le proprietà delle funzioni e le funzioni composte 8 10 ESPLORAZIONE L crittogrfi Le successioni numeriche ESPLORAZIONE I conigli di Fioncci Le progressioni ritmetiche Le progressioni geometriche LABORATORIO DI MATEMATICA Le funzioni 106 Reltà e modelli 148 Verso l esme di Stto 149 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL V

7 SOMMARIO Con l geometri nlitic puoi comprendere il funzionmento dell TAC? L rispost pg. 184 CAPITOLO 3 IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA TEORIA ESERCIZI 1. Le coordinte di un punto su un pino L lunghezz e il punto medio di un segmento. Il ricentro di un tringolo L equzione di un rett L form esplicit e il coefficiente ngolre ESPLORAZIONE I root crtesini Le rette prllele e le rette perpendicolri L posizione reciproc di due rette L distnz di un punto d un rett I luoghi geometrici e l rett I fsci di rette LABORATORIO DI MATEMATICA L rett 185 Reltà e modelli 36 Verso l esme di Stto 37 CAPITOLO 4 LA CIRCONFERENZA Come si può conoscere il dimetro di un grosso tronco con molt precisione? L rispost pg L circonferenz e l su equzione Rett e circonferenz Le rette tngenti Determinre l equzione di un circonferenz L posizione di due circonferenze I fsci di circonferenze ESPLORAZIONE Ertostene e il meridino terrestre 57 LABORATORIO DI MATEMATICA L circonferenz 59 Reltà e modelli 30 Verso l esme di Stto 303 CAPITOLO 5 LA PARABOLA In qunto spzio si ferm un utomoile in cors? L rispost pg L prol e l su equzione L posizione di un rett rispetto un prol Le rette tngenti un prol Come determinre l equzione di un prol ESPLORAZIONE Le coniche di Apollonio I fsci di prole LABORATORIO DI MATEMATICA L prol 330 Reltà e modelli 379 Verso l esme di Stto 380 VI Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

8 SOMMARIO Come può fre un girdiniere per crere un iuol form di ellisse? L rispost pg. 401 CAPITOLO 6 L ELLISSE TEORIA ESERCIZI 1. L ellisse e l su equzione ESPLORAZIONE L ellisse in rchitettur 393. Le posizioni di un rett rispetto un ellisse Come determinre l equzione di un ellisse L ellisse e le trsformzioni geometriche LABORATORIO DI MATEMATICA L ellisse 40 Reltà e modelli 430 Verso l esme di Stto 431 CAPITOLO 7 L IPERBOLE Perché le torri di rffreddmento hnno form iperolic? L rispost pg L iperole e l su equzione ESPLORAZIONE Proietti, stelliti, comete 443. Le posizioni di un rett rispetto un iperole Come determinre l equzione di un iperole L iperole trslt L iperole equilter LABORATORIO DI MATEMATICA L iperole 455 Reltà e modelli 488 Verso l esme di Stto 489 Prolemi di riepilogo su circonferenz, prol, ellisse, iperole 493 CAPITOLO 8 LE CONICHE Com è possiile ottenere prole, ellissi e iperoli proiettndo un fscio di luce su un sfer? L rispost pg Le sezioni coniche L equzione generle di un conic L definizione di un conic medinte l eccentricità Le disequzioni di secondo grdo in due incognite ESPLORAZIONE Le proprietà ottiche delle coniche Le coniche e i prolemi geometrici LABORATORIO DI MATEMATICA Le coniche 514 Reltà e modelli 546 Verso l esme di Stto 547 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL VII

9 SOMMARIO CAPITOLO C1 COLLEGAMENTI TEORIA ESERCIZI LE SEZIONI CONICHE: IL PUNTO DI VISTA SINTETICO 1. I teoremi di Dndelin C C8 Il segmento prolico C8 Qule porzione dell superficie del qudrto rosso è occupt dl segmento prolico del Gtewy Arch di St. Louis, Missouri? L rispost pg. C7 IL CALCOLO APPROSSIMATO 1. Le pprossimzioni C9 C14. L propgzione degli errori C11 C14 VELOCITÀ DI VARIAZIONE DI UNA GRANDEZZA 1. Grndezze vriili C17. Velocità medi e istntne di vrizione C18 C MATHS IN ENGLISH 1. Polr nd Crtesin Coordintes nd how to convert them E E3. The numer E4 E5 3. Fltlnd A Romnce of Mny Dimensions E6 E7 MATHS TALK Let s red the equtions E8 FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI IX: Picsfive/Shutterstock; XII: Bink Hgge/Shutterstock; XIV: pcndwe.mylog.it; XV (): Frns Hls, Crtesio. c Prigi, Musée du Louvre; XV (): mthdl.m.org; XV (c): Klus Wohlfhrt, owpd.mfo.de; XVI: Vsilij Kndinskij, Improvviszione 33, Amsterdm, Stedelijk Museum; 1, 5 (): Ronld Sumners/Shutterstock, Luminis/Shutterstock, Hfng/ Shutterstock; 15 (): Bentley Smith, 005; 15 (): Losevsky Pvel/Shutterstock; 15 (c): Alert Einstein Psden, courtesy of the Archives, Cliforni Institute of Technology, Psden, Cliforni; 5 (): Luis Fernnd Gonzles/ Shutterstock; 73 (): Ily Andriynov/Shutterstock; 73 (): optus.com.u; 77, 105 (): Gl_Kn/Shutterstock; 93: IVN Mrk & Donge, 007; 105 (): Correggio, Assunzione di Mri, 1530, Prm; 148 (): spi/shutterstock; 148 (): kp/shutterstock; 148 (c): Nthn Till/Shutterstock; 148 (d): Yuri Arcurs/Shutterstock; 153, 184 (): Photomk/Shutterstock; 165 (): Yurij Cstelfrnchi, Oliviero Stock, Mcchine come noi. L scommess dell intelligenz rtificile, Editore Lterz; 165 (): Nicol Nosengo, L estinzione dei tecnosuri, Sironi editore; 184 (): Petukhov Anton/Shutterstock; 36 (): Homydesign/Shutterstock; 36 (): Arti_Zv/Shutterstock; 41, 58 (): Sergieiev/Shutterstock, Prism_68/Shutterstock; 58 (): Mikhil Olykinen/Shutterstock; 58 (c): Vsilij Kndinskij, Alcuni cerchi, 196; 307, 39 (): Fred Goldstein/Shutterstock; 34: Holly Miller, 008; 39 (): Jose AS Reyes/Shutterstock; 379 (): Tomsz Trojnowski/Shutterstock; 379 (): 385, 401 (): Milos Luznin/Shutterstock; 393 (): Adm & Jde, 008; 393 (): Tine Strnge, 007; 430: 435, 454 (): Kmeel4u/Shutterstock; Thd/iStockphoto; 454 (): Jlqf/Shutterstock; 488 (): Roerto Mrinello/Shutterstock; 488 (): NASA; 501, 513 (): Myrthe Krook/Shutterstock; 546: Xtrek/Shutterstock; C1, C7 (): Steve Collender/Shutterstock; C1, C7 (): Ffooter/Shutterstock; C17 (): Yurchyks/Shutterstock; C17 (): Aron Amt/Shutterstock; E1: Jn Bptist Weeni, Ritrtto di Crtesio ( ), Centrl Museum, Utrecht; E5: The Rhind Mthemticl Ppyrus. The British Museum, London. VIII Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

10 Le geometrie? Ci sono diversi modi per ffrontre un prolem di geometri? In geometri, che cos grntisce l verità? Un geometri, due pprocci Negli Elementi di Euclide (vissuto intorno l 300.C.), i postulti erno le proposizioni poste fondmento dell teori e non oggetto di dimostrzione e vevno l oiettivo di grntire, con l loro evidenz, l verità e l esistenz dei contenuti dell geometri, che vev il compito di descrivere il mondo rele. Le dimostrzioni fcevno poi discendere logicmente di postulti proposizioni, dette teoremi, in modo tle d portre l interlocutore d ccettrne l verità. Quest concezione suisce, dl punto di vist metodologico, un profond modific nel XVII secolo. Crtesio, Torricelli, Pscl e ltri contestno gli ntichi di non chirire qusi mi come sono rrivti lle dimostrzioni. In prticolre, Arnuld e Nicole, esponenti di quell corrente not come Logic di Port Royl, nell Logic o rte di pensre, del 166, lmentno che gli ntichi si preoccupvno «più di convincere che di illuminre lo spirito». Essi ricordno che vi sono due modi di produrre un dimostrzione: il primo è quello tipico delle dimostrzioni euclidee e vviene per sintesi; il secondo vviene per nlisi, ossi per scomposizione del prolem in sottoprolemi sempre più semplici prtire dll oggetto d determinre. L nlisi consente di seguire psso psso l dimostrzione o l risoluzione del prolem, in modo tle che chi l segue h l impressione di verl trovt egli stesso. Per i mtemtici del XVII secolo, Crtesio in primis, l nlisi è preferiile ll sintesi, perché permette di sviluppre metodi che iutno risolvere prolemi e scoprire proprietà. N el Discorso sul metodo, del 1637, Crtesio descrive quttro regole, trovte utilizzndo l mtemtic, per iture l «mente nutrirsi di verità e non ccontentrsi di flse rgioni». A noi interessno soprttutto l second e l terz, che prlno di nlisi e sintesi. Consistono nel: ogni prolem preso in esme in tnte prti qunto fosse «dividere possiile e richiesto per risolverlo più gevolmente»; condurre ordintmente i [ ] pensieri comincindo dlle cose più semplici e fcili d conoscere, per slire poco poco, come per grdi, sino ll conoscenz delle più complesse.» Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL IX

11 Le geometrie Attività Com è possiile determinre l circonferenz circoscritt un tringolo? Il metodo sintetico Dto il tringolo ABC, disegn gli ssi di AB e AC, trcciti per i loro punti medi D ed E, che si incontrino in F (figur 1). Il punto F può trovrsi, second di come è ftto il tringolo, ll interno o ll esterno del tringolo, oppure sul lto BC. Consider soltnto il cso di F interno (negli ltri l dimostrzione è nlog). Dimostr che F è il centro dell circonferenz circoscritt. A E S D F C S Figur 1 B Il metodo nlitico Nel pino crtesino, consider il tringolo di vertici A(0; ), B(-; 0) e C(4; 0), come in figur. y A B O C Figur Dimostr che un circonferenz, indicto con P(; y) un suo generico punto e detti G(G; yg) il suo centro e r il suo rggio, h equzione: ( - G) (y - yg) = r. Per trovre l equzione dell circonferenz circoscritt l tringolo, puoi or procedere in due modi diversi. 1. Determin: le coordinte del centro G(G; yg) come punto di incontro degli ssi di due dei lti del tringolo, per esempio BC e AC; per frlo, scrivi le equzioni dei due ssi e poi mettile sistem determinndo le coordinte di G; l misur del rggio r, che è l distnz di G d uno dei vertici, per esempio GC.. Imponi che le coordinte dei vertici soddisfino l equzione dell circonferenz. Ottieni tre equzioni nelle incognite G, yg e r. Risolvi il sistem. X Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

12 Tnte geometrie Le geometrie non euclidee Nell prim metà del XIX secolo, János Bolyi e Nikolj Ivnovič Ločevskij, occupndosi del quinto postulto di Euclide, che fferm l unicità dell prllel condott d un punto esterno un rett, giunsero negrlo costruendo un geometri in cui per un punto esterno un rett dt pssno lmeno due prllele. In seguito Bernhrd Riemnn considerò un geometri nell qule per un punto esterno un rett dt non pss lcun prllel. L costruzione di modelli di tli geometrie dimostrv che, lmeno dl punto di vist logico, le geometrie non euclidee vevno lo stesso diritto di quell euclide di esistere e di essere studite. Spzio fisico e geometri Le geometrie non euclidee minvno ll se l ide di Euclide che i postulti, per poter essere considerti tli, dovessero essere evidenti. I mtemtici continuvno, però, considerre l geometri euclide come l unic dtt descrivere lo spzio fisico. Nei primi nni del XX secolo Alert Einstein utilizzò i risultti di Riemnn per relizzre l su ide di spzio collegt ll reltività generle, descritto d un geometri vriile determint dll presenz e dll distriuzione di msse. In tl modo i postulti dell geometri euclide persero non solo l proprietà dell evidenz, m nche quell di essere le uniche proposizioni descrivere relmente come è ftto lo spzio fisico. TERRA Secondo l reltività generle, l presenz di un mss modific l geometri dello spzio-tempo che, metforicmente, si incurv, come suggerisce il reticolto presente nell immgine, dove è rppresentt l devizione dll line rett dei rggi luminosi provenienti d un stell dovut ll presenz del cmpo grvitzionle del Sole. G. B. Shw, in un prnzo in onore di Einstein, si espresse in questi termini nei confronti dell reltività generle: «Newton inventò un line rett, e così fu l legge di grvitzione. [...] Per 300 nni noi credemmo [ ] in quell universo newtonino. [...] Poi venne un giovne professore. Disse un scco di cose e noi lo chimmmo un lsfemo. [...] che il mondo non è un mondo rettilineo; è un mondo curvo. I corpi celesti si muovono lungo curve perché quello è per loro il modo nturle di procedere, e così l intero universo newtonino crollò e fu sostituito dll universo di Einstein». SOLE Stell Stell pprente Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL XI

13 Le geometrie Hilert e il formlismo Aimo visto che per Euclide un dimostrzione è un rgionmento che prtendo di postulti, ossi d premesse vere perché evidenti, rriv conclusioni ncor vere. Le geometrie non euclidee portno ll esigenz di lierre gli enti geometrici dl loro trdizionle significto. Dvid Hilert, uno dei più grndi mtemtici del secolo XX, è il principle esponente di un nuov corrente di pensiero che prende il nome di formlismo. Nel 1899, in Grundlgen der Geometrie (Fondmenti di Geometri), Hilert sostituisce l teori di Euclide con un sistem formle molto diverso d un punto di vist concettule: gli enti primitivi sono indefiniti e le loro proprietà sono crtterizzte esclusivmente dlle relzioni fr essi stilite dgli ssiomi. Per Hilert l verità degli ssiomi e l esistenz degli enti geometrici è grntit non dll evidenz, m dll non contrdditorietà degli ssiomi stessi e degli enunciti che d essi si ricvno medinte le regole logiche. Si rccont che Hilert, in un discussione con ltri mtemtici in un sl d spetto di un stzione, i spiegto il suo punto di vist dicendo: «Si deve poter dire ogni volt l posto di punti, rette, pini : tvoli, sedie, occli di irr». Lo scrittore Rymond Queneu si è divertito, nel suo Fondmenti dell lettertur secondo Dvid Hilert del 1976, sostituire punti, rette, pini con prole, frsi, prgrfi, e vedere quli frsi del linguggio prlto potevno soddisfre gli ssiomi. Per esempio, un frse costituit d un sol prol, come «Sì» oppure «Pstt», non soddisf l ssiom «In un frse ci sono lmeno due prole», che corrisponde quello di Hilert «Su un rett ci sono lmeno due punti». Prov riformulre il quinto postulto di Euclide delle prllele ll mnier di Queneu. Attività L nscit delle geometrie non euclidee e le loro crtteristiche: svilupp questo tem e rissumi i risultti dell tu ricerc in un presentzione multimedile. D leggere: Drio Plldino, Cludi Plldino, Le geometrie non euclidee, Crocci, 008; Rento Betti, Ločevskij. L invenzione delle geometrie non euclidee, Bruno Monddori, 005; Herert Meschkowski, Mutmenti nel pensiero mtemtico, Bollti Boringhieri, 1999, second edizione. Cerc nel We: geometrie non euclidee, quinto postulto, geometri spzio fisico, geometri sferic XII Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

14 Di numeri lle strutture lgeriche? Le proprietà delle operzioni fr numeri possono essere estese enti diversi? 1 Alger: non solo numeri Le trsformzioni del tringolo equiltero in sé Considerimo un tringolo equiltero di vertici 1,, 3 e il suo centro G, punto di intersezione degli ssi (figur 1). Muovimo il tringolo con un rotzione ntiorri R 1 di 10 intorno G: il vertice 3 si spost nel vertice 1, il vertice 1 in e in 3 (figur ). R 1 trsform il tringolo equiltero in sé e può essere indict medinte l permutzione dei vertici che l crtterizz con l scrittur: 1 3 R 1 = d 3 1 n Considerimo or tutte le trsformzioni geometriche che mutno il tringolo equiltero in sé: S 1 = simmetri rispetto ll sse del lto -3; S = simmetri rispetto ll sse del lto 3-1; S 3 = simmetri rispetto ll sse del lto -1; R 1 = rotzione in senso ntiorrio di 10 intorno G; R = rotzione in senso ntiorrio di 40 intorno G; I = identità (o rotzione di 360 intorno G). Le sei trsformzioni corrispondono lle sei permutzioni dei vertici del tringolo equiltero. Il concetto di permutzione non rigurd soltnto i numeri, m si può definire per oggetti qulsisi. Le permutzioni di n oggetti distinti sono tutti i possiili ordinmenti di quegli oggetti. 10 G 3 Figur Figur G Attività Con un crtoncino relizz un tringolo equiltero come quello dell figur e fi un po di prtic nell ottenere le trsformzioni elencte. Scrivi poi l permutzione reltiv, nell form che imo utilizzto per quell di R 1. Per esempio, verific che c 1 3 m corrisponde R 3 1. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL XIII

15 Di numeri lle strutture lgeriche Un operzione fr trsformzioni Considerimo l operzione di composizione tr le trsformzioni elencte. Indichimo con T l insieme delle sei trsformzioni. È possiile verificre che è un operzione intern: comunque si compongno due elementi di T, si ottiene ncor un elemento di T. Attività Consider ncor il tringolo di figur 1 ed esegui prim l simmetri S 1 e poi pplic l tringolo ottenuto l rotzione R, ossi esegui R S 1. R S 1 è ugule un ltr delle sei trsformzioni. Qule? Complet l tell dell operzione. I R 1 R S 1 S S 3 I I R 1 R S 1 S S 3 R 1 R 1 R R R S 1 S 1 S S S 3 S 3 L struttur di gruppo Dto un insieme A e un legge di composizione intern #, definit fr gli elementi di A, si dice che (A, #) è un struttur di gruppo se: ) # è ssocitiv, cioè ( # ) # c = # ( # c) per ogni,, c di A; ) esiste l elemento neutro e di A tle che # e = e # = per ogni di A; c) per ogni di A esiste l elemento inverso -1 di A tle che # -1 = -1 # = e. Attività Verific che (, ), dove è l insieme dei numeri interi e l operzione di ddizione, è un struttur di gruppo. In prticolre: qul è l elemento neutro? Assegnto un numero intero, qul è il suo inverso? Verific che l struttur (T, ), dove T è l insieme delle trsformzioni del tringolo equiltero in sé e l loro legge di composizione, è un struttur di gruppo. In prticolre, determin l elemento neutro dell struttur e, per ogni trsformzione, l su invers. Per esempio, l invers di S 3 è ncor S 3, perché S 3 S 3 = I. Il cuo di Ruik può essere studito mtemticmente. Chimimo moss se l rotzione di 90 in senso orrio di un fcci: le mosse se sono in totle sei. Si può pssre d un ll ltr delle permutzioni possiili del cuo medinte l composizione di un numero finito di mosse se. In questo cso si dice che le mosse se generno l insieme M di tutte le possiili mosse del cuo. L insieme delle mosse M e l operzione di composizione fr mosse costituiscono un struttur di gruppo. XIV Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

16 Un mtemtic in evoluzione I Greci Per i Greci l lger vev senso soltnto se er interpretile geometricmente. Ecco come Euclide (vissuto intorno l 300.C.) scrive l identità ( ) =, che noi interpretimo geometricmente come nell figur 3: «Se si tgli cso un line rett, il qudrto del tutto è ugule ll somm dei qudrti delle prti e del doppio del rettngolo contenuto dlle prti». Figur 3 Gli Ari Insieme i Cinesi e gli Indini, gli Ari hnno dto un grosso contriuto llo sviluppo dell lger. Al-Khuwrizmi (vissuto nel IX secolo d.c.) h fornito un trttzione dettglit delle equzioni di secondo grdo e l uso sistemtico di pssggi lgerici nel suo testo His l-jr w l-muql. Come vedi dl titolo, l prol lger è proprio di origine r. Altri contriuti sono di Al-Krji ( ) e Al-Smwl (duecento nni dopo) che si dedicrono, in prticolre, llo studio dei monomi e dei polinomi. Gli Itlini Importnte è nche il contriuto degli lgeristi itlini del Cinquecento e in prticolre di Girolmo Crdno e Nicolò Trtgli, che ffrontrono l risoluzione delle equzioni di terzo e qurto grdo, e di Rffele Bomelli, che contriuì ll diffusione dell lger sincopt (un lger con prole revite l posto delle vriili e delle operzioni). Crtesio Solo con Crtesio ( ) l lger inizi d ffrncrsi dll interpretzione geometric, riuscendo, in tl modo, dre nuove idee ll stess geometri. Crtesio scrive che, volendo studire le mtemtiche, si rese conto che per «studirle in prticolre» dovev «rffigurrle in form di linee», m per «comprenderne molte insieme» dovev invece «esprimerle con qulche cifr fr le più revi possiili». Pecock Nel XIX secolo, il mtemtico inglese Pecock fferm che l lger non deve essere ridott un semplice generlizzzione dell ritmetic: «Nell lger ritmetic le definizioni delle operzioni determinno le regole; nell lger simolic le regole determinno il significto delle operzioni». Quest impostzione pre definitivmente l strd ll lger come scienz strtt. Noether e Vn der Werden Nel 1930 il mtemtico Vn der Werden, llievo di Emmy Noether, scrive il liro Modern Alger in cui fferm che «l indirizzo strtto, formle o ssiomtico, cui l lger deve il suo rinnovto sviluppo, h condotto un serie di concetti nuovi e ll considerzione di nuove connessioni e di fecondi risultti». Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL XV

17 Di numeri lle strutture lgeriche Bourki Lo sviluppo delle conoscenze mtemtiche nel secolo XX è stto tlmente imponente che lcuni mtemtici hnno vvertito il isogno di cercre di individure concetti unificnti che potessero iutre gestire l complessità e l eccessiv ricchezz dei diversi cmpi di ricerc. Proprio quell ide espress d vn der Werden, ossi l considerzione di «nuove connessioni» fr le vrie teorie, port, intorno gli nni 30 del secolo XX, un gruppo di giovni e rillnti mtemtici, che si presentno con lo pseudonimo collettivo di Bourki, individure nel concetto di struttur uno strumento per trttre in modo unitrio le conoscenze mtemtiche. Cpire l mtemtic vuol dire, secondo i ourkisti, coglierne il suo spetto strutturle: l ricerc mtemtic divent quindi ricerc di strutture nscoste, sempre più generli e strtte. Nel XX secolo nche ltre discipline hnno percorso l strd dello studio delle relzioni indipendenti dgli oggetti descritti. Un giorno, Monco, rccont Kndinsky, «prendo l port dello studio, vidi dinnnzi me un qudro indescriviilmente ello. All inizio rimsi slordito, m poi mi vvicini quel qudro enigmtico, ssolutmente incomprensiile nel suo contenuto e ftto esclusivmente di mcchie di colore. Finlmente cpii: er un qudro che vevo dipinto io e che er stto ppoggito l cvlletto cpovolto [ ] Quel giorno mi fu perfettmente chiro che l oggetto non vev posto, nzi er dnnoso i miei qudri». Vssily Kndinsky, Improvviszione 33, Cerc nel We: Attività Il concetto di struttur in mtemtic e le sue ppliczioni in ltre discipline: svilupp questo tem, relizzndo, come sintesi, un presentzione multimedile. Le forme dei cerchioni dei pneumtici delle utomoili possono essere studiti medinte i concetti di simmetri e di gruppo. Ne puoi trovre esempi come quello dell figur in D leggere: Giulino Spirito, Mtemtic senz numeri, Newton Compton, 004. In Stewrt, L elegnz dell verità, Einudi, 008. Keith Devlin, Il linguggio dell mtemtic, Bollti Boringhieri, 00; cpitolo: L mtemtic dell ellezz. lger strtt, strutture lgeriche, lger Boole, Klein progrmm Erlngen, gruppo rosoni, cristlli XVI Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

18 CAPITOLO 1 [numerzione r] [numerzione devngri] [numerzione cinese] EQUAZIONI E DISEQUAZIONI MADE IN... Negli ultimi nni i prodotti «mde in Chin» hnno invso il mercto mondile e spinto gli ltri Pesi trovre nuove strtegie per restre competitivi. Qundo è più conveniente importre un ene dll estero nziché produrlo? L rispost pg. 5 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

19 TEORIA CAPITOLO 1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le disuguglinze sono enunciti fr espressioni che confrontimo medinte le seguenti relzioni d ordine: 1 (minore), (mggiore), # (minore o ugule), $ (mggiore o ugule). Per esempio: 1 1 5, 3 1 $. Se un disequzione è scritt nell form normle P() 0, con P() polinomio nell incognit ridotto in form normle, il grdo dell disequzione è il grdo di P(). Anlog definizione si h con 1, #, $. Non esistono frzioni con denomintore nullo. Per revità, indicheremo le condizioni di esistenz con C.E. 1. LE DISEQUAZIONI E LE LORO PROPRIETÀ DEFINIZIONE Disequzione Un disequzione è un disuguglinz in cui compiono espressioni letterli per le quli cerchimo i vlori di un o più lettere che rendono l disuguglinz ver. Le lettere per le quli si cercno vlori sono le incognite. I vlori delle incognite che rendono ver l disuguglinz sono le soluzioni dell disequzione. Ci occuperemo, per il momento, di disequzioni un sol incognit e cercheremo di determinre l insieme delle soluzioni nell insieme R dei numeri reli. ESEMPIO L disequzione 5-0 h come insieme delle soluzioni S = {! R 1 5}, che indichimo, per revità, con 1 5. Un disequzione è numeric se nell equzione non compiono ltre lettere oltre ll incognit. È letterle se invece contiene ltre lettere, che possono nche essere chimte prmetri. Un disequzione è inter se l incognit compre soltnto nei numertori delle eventuli frzioni presenti nell disequzione. Se invece l incognit è contenut nel denomintore di qulche frzione, llor l disequzione è frtt. ESEMPIO L disequzione è frtt e h senso solo qundo 5! 0, cioè per ogni! - 5. Dicimo nche che l su condizione di esistenz è! - 5. DEFINIZIONE Condizioni di esistenz Le condizioni di esistenz di un disequzione sono quelle condizioni che le vriili devono soddisfre ffinché tutte le espressioni scritte ino significto. Gli insiemi delle soluzioni potrnno nche essere unioni di intervlli. Gli intervlli Spesso gli insiemi delle soluzioni delle disequzioni che studieremo srnno prticolri sottoinsiemi di R chimti intervlli. DEFINIZIONE Intervllo limitto Dti due numeri reli e, con 1, si chim intervllo limitto l insieme dei numeri reli compresi fr e. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

20 PARAGRAFO 1. LE DISEQUAZIONI E LE LORO PROPRIETÀ TEORIA DEFINIZIONE Intervllo illimitto Dto un numero rele, si chim intervllo illimitto l insieme dei numeri reli che precedono, oppure l insieme dei numeri reli che seguono. Distinguimo i seguenti csi, dove rppresentimo gli intervlli in tre modi diversi: con un disuguglinz, medinte prentesi qudre o con un rppresentzione grfic. Intervlli limitti Intervlli illimitti < <. Intervllo perto ]; [.. Intervllo chiuso [; ]. < >. Intervllo perto illimitto superiormente ]; [. <. Intervllo perto illimitto inferiormente ] ; [. c. Intervllo perto destr [; [. < d. Intervllo perto sinistr ]; ]. c. Intervllo chiuso illimitto superiormente [; [. d. Intervllo chiuso illimitto inferiormente ] ; ]. ESEMPIO 1. ; ; E, ossi # #, è un intervllo limitto chiuso; è l estremo infe- 5 5 riore, 17 l estremo superiore Un intervllo si dice chiuso qundo include i propri estremi, in cso contrrio si dice 3;56, ossi 1 5, è un intervllo perto illimitto inferiormente. 5 Le disequzioni equivlenti DEFINIZIONE Disequzioni equivlenti Due disequzioni si dicono equivlenti se hnno lo stesso insieme di soluzioni. ESEMPIO e - 1 sono disequzioni equivlenti perché hnno per soluzioni i vlori dell intervllo 3. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL 3

21 TEORIA CAPITOLO 1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Vlgono i seguenti princìpi. I memri di un disequzione sono le due espressioni che si trovno sinistr (primo memro) e destr (secondo memro) del segno di disuguglinz. PRINCIPIO Primo principio di equivlenz Dt un disequzione, si ottiene un disequzione ess equivlente ggiungendo entrmi i memri uno stesso numero o espressione. ESEMPIO L disequzione è equivlente ll disequzione , ottenut sommndo - entrmi i memri. Nell esempio precedente, dopo l ppliczione del primo principio, il termine sprisce dl secondo memro e compre l primo con il segno cmito. In questo senso possimo dire che un termine può essere trsportto d un memro ll ltro dell disequzione cmindogli il segno. PRINCIPIO Secondo principio di equivlenz Dt un disequzione, si ottiene un disequzione ess equivlente: moltiplicndo o dividendo entrmi i memri per uno stesso numero (o espressione) positivo. moltiplicndo o dividendo entrmi i memri per un numero (o espressione) negtivo e cmindo il verso dell disuguglinz. Quest operzione equivle moltiplicre per - 1 i memri dell disequzione e invertire il verso. In prticolre, se si cmi il segno di tutti i termini di un disequzione e si inverte il verso dell disuguglinz, si ottiene un disequzione equivlente. ESEMPIO 5 1. L disequzione 1 è equivlente ll disequzione 5. L second si ottiene dll prim moltiplicndo entrmi i memri per è equivlente 1 9. L second disequzione si ottiene dll prim moltiplicndo entrmi i memri per - 1 (ovvero cmindo il segno di tutti i termini) e invertendo il verso dell disuguglinz.. LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Le disequzioni intere di primo grdo possono sempre essere scritte in un delle seguenti forme, dopo ver opportunmente pplicto i princìpi di equivlenz:, $, 1, #, con,! R. Risolvendo, ottenimo, second dei vlori di : Con S indichimo l insieme delle soluzioni. se 0, ; se 0, S = ; se = 0, 0 $ se = 0, S = ; se 1 0, S = R ; se 1 0, 1. 4 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

22 PARAGRAFO. LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO TEORIA Un rgionmento nlogo vle nche per le ltre tre disequzioni. Un esempio di disequzione numeric inter è # 1, 4 4 che, risolt, h come soluzione $, mentre un esempio di disequzione letterle è - 1 $. Per risolvere un disequzione di questo tipo occorre discutere 3 le sue soluzioni l vrire di. ESEMPIO Risolvimo l disequzione ( 1), discutendo le sue soluzioni l vrire di. Svolgimo i clcoli e portimo sinistr i termini in cui compre l incognit e destr gli ltri: Rccoglimo l primo memro: (1 - ) 1 3. Distinguimo tre csi. Se 1-0, ossi se 1 1, il coefficiente dell incognit è positivo. Perciò dividimo entrmi i memri per 1 - e non cmimo il verso dell disuguglinz: Se 1 - = 0, ossi = 1, sostituimo il vlore 1 d nell disequzione (1 - ) 1 3: (1-1) 1 1 3, ossi L disequzione è sempre verifict, per qulsisi vlore di. Se 1-1 0, ossi 1, il coefficiente dell incognit è negtivo. Quindi, in questo cso, dividimo entrmi i memri per 1 - e cmimo il verso dell disuguglinz: In sintesi l insieme delle soluzioni dell disequzione è: 3 < 1 3 > 1 1 per 1 1, 3 1 ; 1 - per = 1, 6! R ; per 1, Se 1-0, llor - - 1, ossi 1 1. Figur 1 Rppresentzione delle soluzioni l vrire di. Discutere le soluzioni di un disequzione letterle permette di ottenere le soluzioni di infinite disequzioni numeriche, quelle che si hnno sostituendo nell equzione dt vlori prticolri ll letter (o lle lettere). Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL 5

23 TEORIA CAPITOLO 1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Per esempio, nell disequzione precedente, ( 1), possimo sostituire ll letter il vlore - 7 e ottenere l seguente disequzione numeric: ( 1). Senz eseguire i clcoli, utilizzndo il qudro delle soluzioni e tenendo conto che , ricvimo: " Lo studio del segno di un prodotto Considerimo un disequzione costituit d un prodotto di inomi di primo grdo messo confronto con il numero 0, per esempio: ( - 1)(3 )( 4) 0. Per risolverl possimo studire il segno del prodotto l vrire di. Studimo il segno dei singoli fttori e rppresentimo i risultti in uno schem grfico (figur ): " 1, 3 0 " - 3, 4 0 " - 4. Figur segno di 1 0 segno di 1 0 segno di 3 0 segno di 3 0 segno di 4 0 segno di 4 0 segno di ( 1) (3 ) ( 4) Disegnimo un rett orientt e segnimo su di ess i vlori per cui i fttori si nnullno. Sotto ll rett, usndo un rig per ogni fttore, scrivimo 0 nei punti in cui i fttori si nnullno, dei segni dove sono positivi, dei segni dove sono negtivi.. Aggiungimo un rig per il prodotto. I punti in cui si nnull sono quelli in cui uno dei fttori è nullo. Il segno si ricv pplicndo «in verticle» l regol dei segni. Per finire, evidenzimo in gillo gli intervlli in cui l disequzione è verifict. L disequzione richiede che il prodotto si positivo, quindi l insieme delle soluzioni è: Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

24 PARAGRAFO 3. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO TEORIA 3. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Ogni disequzione inter di secondo grdo nell incognit può essere ricondott ll form normle c 0, con! 0, o lle nloghe che si ottengono con i segni 1, # o $. Possimo sempre fre riferimento i csi in cui il coefficiente è positivo. Inftti, se è negtivo, st cmire segno tutti i termini e invertire il senso dell disuguglinz. Per determinre le soluzioni di un disequzione di secondo grdo si consider l equzione ssocit c = 0 e si distinguono tre csi, second del segno del discriminnte D: D 0, D = 0 e D 1 0. D = - 4c. L equzione ssocit h 0 Il segno del trinomio c qundo 0 Se D 0, l equzione ssocit l trinomio h due rdici distinte 1 e. Possimo scrivere: c = ( - 1 )( - ). Il segno del trinomio dipende dl segno dei tre fttori:, ( - 1 ), ( - ). Supponimo 0 e 1 1. Ottenimo il qudro dei segni dell figur. Il prodotto ( - 1 )( - ) è positivo, ossi concorde con, per vlori di esterni ll intervllo che h per estremi le rdici, è negtivo per vlori interni. Studindo il cso di 1 0, si trov che vle l stess regol: il segno del polinomio è concorde con (cioè negtivo) per vlori di esterni ll intervllo delle rdici. Se > 0 segno di segno di 1 segno di segno di ( 1 ) 1 ( ) REGOLA Se l equzione c = 0 h D 0, ossi due soluzioni reli distinte 1 1, llor: > 0, Δ > 0 c > 0 c < 0 l disequzione c 0 (con 0) è verifict per 1 1 < 1 1 0, ossi per vlori 1 > 1 < < esterni ll intervllo di estremi 1, ; l disequzione c 1 0 (con 0) è verifict per 1 1 1, ossi per vlori interni ll intervllo di estremi 1,. 1,! D = -. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL 7

25 TEORIA CAPITOLO 1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESEMPIO Risolvimo l disequzione: D = 1-4$ 3$ (-)= 5 e 1, 1! 5 =. 6 L equzione ssocit è = 0, con D = 5 0; le sue rdici sono: 1 = - 3 ; = 1. L disequzione è verifict per vlori interni ll intervllo delle rdici: L equzione ssocit h = 0 Il segno del trinomio c qundo = 0 Se D = 0, l equzione ssocit h un rdice doppi 1 =. Possimo scrivere: Se > 0 1 c = ( - 1 ). Considerndo 0, ottenimo il qudro dell figur. Essendo ( - 1 ) $ 0, il prodotto ( - 1 ) risult concorde con (quindi positivo) per qulunque vlore di, escluso il vlore 1, in cui si nnull. Vle lo stesso risultto nel cso di 1 0, ossi ( - 1 ) risult concorde con (quindi negtivo) per qulunque vlore di! 1. segno di segno di ( 1 ) segno di ( 1 ) 0 0 REGOLA Se l equzione c = 0 h D = 0, ossi h due soluzioni reli coincidenti 1 = : l disequzione c 0 (con 0) è verifict per qulunque vlore di diverso d 1 ; l disequzione c 1 0 (con 0) non è mi verifict. > 0, Δ = 0 c > 0 c < 0 1 { 1 } ESEMPIO Risolvimo l disequzione: D = $ 4 $ 5 = = = 0 0 e 1=,. 50 L equzione ssocit = 0 h D = 0, quindi h due soluzioni coincidenti: 1 = = 5. L disequzione è verifict per ogni! R, con! 5. 8 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

26 PARAGRAFO 3. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO TEORIA L equzione ssocit h 1 0 Il segno del trinomio c qundo 1 0 Considerimo il trinomio c. Rccoglimo (! 0): c l. Considerimo il termine come il doppio prodotto $ $ ; ggiungimo e toglimo entro prentesi il qudrto di : Poiché < c l - l F. l = l, ottenimo: < c l - F. 4 c Sommimo le due frzioni, - : 4 c 4c - -( -4c) D - = = = Aimo trsformto il trinomio c nel seguente prodotto: ; l -D E. 4 -D Essendo D 1 0, l espressione è positiv. Anche l somm dentro le prentesi qudre è llor positiv per ogni vlore 4 di. Pertnto, qundo D 1 0, il trinomio c ssume sempre lo stesso segno del coefficiente. REGOLA Se l equzione c = 0 h D 1 0, ossi non h soluzioni reli: l disequzione c 0 (con 0) è verifict per qulunque vlore di ; l disequzione c 1 0 (con 0) non è mi verifict. > 0, Δ < 0 c > 0 c < 0 ESEMPIO Risolvimo l disequzione L equzione ssocit = 0 h D 1 0. L disequzione non è mi verifict. D = 9-4$ 1$ 1 =- 39. L interpretzione grfic delle disequzioni di secondo grdo Le soluzioni di c 0 ( 0) Per dre un interpretzione grfic dell disequzione di secondo grdo c 0, 0 si consider l prol di equzione y = c tenendo conto che per 0 l prol h l concvità rivolt verso l lto; si cercno gli eventuli punti di intersezione dell prol con l sse, ponendo y = 0, ovvero c = 0; si consider l prte di prol che st nel semipino dei punti di ordint positiv (y 0). Le soluzioni dell disequzione sono dte dlle scisse dei punti dell prol che hnno ordint positiv. Studimo solo il cso di 0, perché se 1 0 st cmire segno tutti i termini e verso ll disuguglinz. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL 9

27 TEORIA CAPITOLO 1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI I csi corrispondono D 0, D = 0, D 1 0. Si possono presentre tre csi diversi, ossi che l prol y = c intersechi l sse in due punti, in un punto o in nessun punto (figur 3). c > 0 c > 0 c > 0 y y y 1 O O 1 = O < 1 V >. L prol intersec l sse in due punti: 1 e. Le soluzioni dell disequzione sono < 1 >. 1. L prol intersec l sse in un solo punto, ossi è tngente ll sse nel vertice; 1 e sono coincidenti. L disequzione è verifict per ogni vlore rele 1. c. L prol non intersec l sse. Tutti i suoi punti hnno ordint positiv. L disequzione è sempre verifict. Figur 3 Figur 4 Le soluzioni di c 1 0 ( 0) Nel cso dell disequzione c 1 0 si procede scegliendo l prte di prol che st nel semipino delle y negtive (figur 4). y c < 0 y c < 0 y c < 0 O 1 O O 1 = 1 < <. L prol intersec l sse in due punti: 1 e. Le soluzioni sono 1 < <. nessun soluzione,. L prol intersec l sse in un solo punto, ossi è tngente ll sse nel vertice. Poiché non ci sono suoi punti con ordint negtiv, l disequzione non è mi verifict. nessun soluzione, c. L prol non intersec l sse. Non ci sono suoi punti con ordint negtiv: nche in questo cso l disequzione non è mi verifict. ESEMPIO y y = 3 y y = y y = Figur 5 3 O 1 < < < 0 O > 0 5 c O < 0 nessun soluzione 10 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

28 PARAGRAFO 4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E LE DISEQUAZIONI FRATTE TEORIA 4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E LE DISEQUAZIONI FRATTE Le disequzioni di grdo superiore l secondo IN PRATICA Videolezione 1 Dto un polinomio P() di grdo mggiore di, le disequzioni del tipo P() 1 0 o P() 0 sono di grdo superiore l secondo e possono essere risolte scomponendo in fttori di primo e secondo grdo il polinomio P() e studindo il segno del prodotto di polinomi che si ottiene. In prticolri csi di disequzioni, possimo utilizzre metodi specifici, che esminimo negli esempi, 3 e 4. ESEMPIO 1. Risolvimo l disequzione Scomponimo in fttori medinte l regol di Ruffini. Se sostituimo nel polinomio i divisori del termine noto 6, scoprimo che 1 è uno zero del polinomio. Applichimo l regol di Ruffini: " = ( - 1)( - - 6) Ricord che se un polinomio h zeri in Z, questi devono essere divisori del termine noto. Perciò i possiili zeri interi del polinomio sono!1,!,!3,!6. L disequzione inizile è equivlente : ( - 1)( - - 6) 0. Studimo il segno del polinomio inizile esminndo il segno dei due polinomi fttori: per 1; per L disequzione è verifict per vlori di esterni ll intervllo delle rdici 1 = - e = 3 dell equzione ssocit ( 1) ( 6) Figur 6 Il qudro dei segni. Dl qudro dell figur 6 ricvimo che l disequzione è verifict per , ossi ]- ; 1[, ]3; 3[. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL 11

29 TEORIA CAPITOLO 1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI In generle, un equzione iqudrtic nell incognit è riconduciile ll form: 4 c = 0,! 0.. Risolvimo l disequzione iqudrtic $ 0. L equzione ssocit = 0 è un equzione iqudrtic. Per risolverl, introducimo l incognit usiliri z e ponimo = z: z - 13z 36 = 0 " z 1 = 4, z = 9. L disequzione di qurto grdo, nell incognit, è equivlente ll disequzione di secondo grdo, nell incognit usiliri z. Ottenimo z - 13z 36 $ 0 per z # 4 0 z $ 9, d cui Essendo = z, sostituimo z i due vlori trovti e ottenimo: = 4, = $ 0 per # 4 0 $ 9, ossi: - # # 0 ( # $ 3). 3. Risolvimo l disequzione inomi 3-8 # 0. In generle, un equzione inomi è riconduciile ll form: n = 0, con! 0 e n intero positivo. L equzione ssocit 3-8 = 0 è un equzione inomi, con esponente n = 3 dispri. L su soluzione è: 3 = 8, d cui = 8 =. 3 L disequzione è verifict per: #, ossi ] - 3; ]. Osservzione. Per giustificre il risultto precedente, ricordimo che 3-3 = ( - )( ). Quindi 3-8 = ( - )( 4). Inoltre il trinomio D 4, che h = , ssume sempre 4 segno positivo, e questo spieg perché il segno di 3-8 dipende solo dl segno del fttore ( - ). In generle, un equzione trinomi nell incognit è riconduciile ll form: n n c = 0, con! 0 e n intero positivo. Osserv che le equzioni iqudrtiche sono prticolri equzioni trinomie: quelle nelle quli n =. 4. Risolvimo l disequzione trinomi L equzione ssocit = 0 è un equzione trinomi. Per risolverl, introducimo l incognit usiliri z e ponimo 3 = z: z - 3z = 0 per z 1 = 1, z =. Procedimo in mnier nlog ll esempio. L disequzione di sesto grdo, nell incognit, è equivlente ll disequzione di secondo grdo, nell incognit usiliri z. 1 Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL

30 PARAGRAFO 4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E LE DISEQUAZIONI FRATTE TEORIA Ricvimo z - 3z 0 per z z, d cui per , vle dire: Le disequzioni frtte Un disequzione è frtt se contiene l incognit l denomintore. Può essere sempre trsformt in un disequzione del tipo A( ) 0 B( ) o in ltre nloghe con i diversi segni di disuguglinz. Per risolvere un disequzione frtt doimo studire il segno dell frzione A ( ), esminndo quelli di A() e di B(). Doimo imporre B()! 0 per l B ( ) condizione di esistenz dell frzione. ESEMPIO Risolvimo l disequzione: - 1 $ Il denomintore deve essere non nullo, perciò: C.E.: ! 0 "! - )! 4. Studimo il segno del numertore. Si h per Studimo il segno del denomintore: risolvimo IN PRATICA Videolezione Per ottenere un qulsisi disequzione frtt in quest form, trsportimo tutti i termini l primo memro e li scrivimo con denomintore comune. Può succedere che A() si un costnte. In questo cso il numertore è sempre positivo o sempre negtivo. Con C.E. indichimo le condizioni di esistenz dell frzione. Si ottengono ponendo il denomintore diverso d 0. Le rdici dell equzione ssocit sono - 1 e 4, quindi: per Figur 7 Rppresentzione grfic delle soluzioni. Il simolo indic che l frzione non esiste qundo il denomintore è L disequzione i è verifict per: 0 0 # # Un frzione è ugule 0 qundo il suo numertore è ugule 0. A ( ) Pertnto = 0 nel B ( ) cso in cui A() = 0. Bergmini, Trifone, Brozzi MANUALE BLU.0 DI MATEMATICA - Vol.3 Znichelli 01 Moduli SL 13