Opzioni americane. Capitolo Il modello

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1 Capitolo 5 Opzioni americane 5. Il modello Consideriamo un modello di mercato finanziario così come descritto nel Paragrafo 4.2. Il mercato è quindi formato da d+ titoli di prezzi S 0 n, S n,..., S d n, dove S 0 n = + r n denota il prezzo del titolo non rischioso e S n,...,s d n i prezzi dei d titoli rischiosi al tempo n. Indicheremo ancora con F n n la filtrazione associata, rispetto alla quale S n n = S 0 n, S n,...,s d n n è adattato, ricordando che F n dà l evoluzione del mercato fino al tempo n. Supponiamo d ora in poi che il mercato sia privo di arbitraggio e completo: esiste ed è unica la misura equivalente di martingala P, tale che il processo dei prezzi scontati dei titoli rischiosi è una F n -martingala. Denoteremo, al solito, con E l aspettazione valutata sotto P. In questo capitolo intendiamo studiare il prezzo e la copertura delle opzioni americane. Ricordiamo che un opzione americana è caratterizzata dal fatto di poter essere esercitata in un qualsiasi istante minore od uguale alla maturità N. Per caratterizzare un opzione americana è quindi necessario precisare per ogni tempo n, il payoff, Z n. Cioè la quantità di denaro che occorre sborsare se il detentore dell opzione decide di esercitarla al tempo n. Poiché il payoff al tempo n deve, ragionevolmente, essere noto al tempo n, siamo condotti alla seguente definizione, nella quale identifichiamo un opzione con il suo payoff. Definizione 5... Un opzione americana è una famiglia di v.a. positive Z n n, adattata alla filtrazione F n n. Ad esempio, per una call o una put americana, scritta sul titolo di prezzo S n n, si avrà rispettivamente Z n = Z call n = S n K + Z n = Z put n = K S n +. 02

2 Nella problematica delle opzioni americane è opportuno anche considerare il problema dal punto di vista del detentore: quando conviene esercitare il diritto di opzione? In particolare occorre modellizzare l istante aleatorio, τ, in cui l opzione viene esercitata. Poiché è ragionevole supporre che questo istante dipenda dall evoluzione del mercato, dovrà essere {τ = n} F n, per ogni n. Ovvero, ricordando il paragrafo 4.4, supporremo che τ sia un F n -tempo d arresto. Poniamo T 0,N = {F n n tempi d arresto a valori in {0,,...,N}}. l insieme di tutti i tempi d arresto della filtrazione F n n. Vedremo che il prezzo di un opzione americana è pari a sup τ T 0,N E [ + r τ Z τ. 5. Cioè il prezzo è uguale al sup, al variare della strategia d esercizio, della media dei payoff scontati, media fatta rispetto alla probabilità di rischio neutro. Vedremo inoltre che il sup nella relazione precedente è in realtà un massimo e, dunque, esiste almeno una strategia di esercizio ottimale. Come si vede lo studio delle opzioni americane è naturalmente legato a quello della determinazione del tempo di esercizio ottimale. Molti degli oggetti che introdurremo sono propri della teoria dell arresto ottimo. 5.2 Il problema dell arresto ottimo Per stabilire il prezzo equo di un opzione americana, cominciamo procedendo con un induzione all indietro. Vediamo come. Consideriamo un opzione americana Z n n e indichiamo con U n il suo prezzo al tempo n. Attenzione alla solita possibilità di confusione di questa terminologia: Z n è il payoff dell opzione, cioè quanto deve sborsare il venditore per onorare il contratto, qualora il detentore decida di esercitare l opzione al tempo n; U n è invece il giusto prezzo che il venditore deve ricevere come compenso dell opzione e che ora determineremo. Tempo N. Il compratore dell opzione decide di esercitare il suo diritto d opzione: il venditore deve sborsare una quantità di denaro pari a U N = Z N. Tempo N. Ci sono due possibilità.. Il compratore dell opzione decide di esercitare il suo diritto d opzione all istante N. In tal caso, il venditore deve pagare un ammontare pari a Z N. 03

3 2. Il compratore decide di non esercitare l opzione all istante N ma all istante N. In questo caso, il venditore deve essere pronto, all istante N, a pagare all istante N una quantità di denaro pari a Z N. Per onorare questo contratto, abbiamo visto che all istante N il venditore deve possedere, in media, + r N N E Z N F N = + r E U N F N. Dunque, all istante N il venditore deve possedere una quantità di denaro U N che deve coprire le due possibilità appena elencate, e cioè U N = max Z N, + r E U N F N. Tempo n = N 2, N,...,0. Si procede per ricorrenza in modo analogo a quanto già visto. Supponiamo quindi che la quantità U n+ sia ben definita, essendo U n+ l ammontare di denaro che il venditore dell opzione deve possedere all istante successivo n + per poter onorare il contratto d opzione. Allora:. se il compratore dell opzione decide di esercitare il suo diritto d opzione all istante n, allora il venditore deve possedere una quantità di denaro pari a Z n ; 2. se invece il compratore decide di non esercitare l opzione all istante n, allora il venditore deve essere pronto, all istante n, a pagare all istante n + una quantità di denaro pari a U n+, dunque deve possedere + r n+ n E U n+ F n = + r E U n+ F n. Dunque, all istante n il venditore deve possedere una quantità di denaro U n che deve coprire le due possibilità appena elencate, e cioè U n = max Z n, + r E U n+ F n. U n rappresenta quindi il prezzo dell opzione all istante n. Ricapitolando, siamo condotti a considerare il processo U n n definito da U N = Z N e per n = N, N 2,...,0, 5.2 U n = max Z n, +r E U n+ F n Vedremo, nel prossimo paragrafo, che U n n è effettivamente il prezzo dell opzione al tempo n. In questo paragrafo studieremo le sue proprietà e 04

4 metteremo in evidenza come esso interviene nel problema dell arresto ottimo, cioè nella determinazione dei tempi di arresto per i quali il sup nella 5. è raggiunto. Abbiamo visto che, per le opzioni europee, i prezzi scontati costituiscono una P -martingala. Vale la stessa proprietà anche nel caso americano? La risposta è no. Vale però il risultato seguente. Proposizione Sia U n il prezzo di un opzione americana di payoff Z n n al tempo n, n = 0,,...,N, dato da 5.2. Siano Ũn n e Z n n rispettivamente il processo di prezzo e di payoff scontato: Ũ n = U n S 0 n = + r n U n e Zn = Z n S 0 n = + r n Z n. Allora Ũn n è una P -supermartingala ed inoltre è la più piccola supermartingala che domina Z n n, cioè tale che Ũn Z n. Un po di terminologia: dato un processo X n n, si chiama inviluppo di Snell di X n n la più piccola supermartingala che domina X n n. Il problema del calcolo del prezzo delle opzioni americane si riconduce quindi al calcolo dell inviluppo di Snell del processo di payoff Z n n. Osserviamo che, da 5.2, segue immediatamente che Ũ N = Z N e per n = N, N 2,...,0, Ũ n = max Zn, E Ũn+ F n 5.3 Dimostrazione della Proposizione Da 5.3, si ha Ũ n E Ũn+ F n e Ũ n Z n, dunque Ũn n è una P -supermartingala che domina Z n n. Mostriamo che è la più piccola. Sia Ṽn n un altra P -supermartingala che domina Z n n : mostriamo che Ṽn Ũn. Intanto, si ha ṼN Z N = ŨN. Ma allora, Ṽ N E ṼN F N E ŨN F N e quindi, poiché deve essere ṼN Z N, Ṽ N max ZN, E ŨN F N = ŨN. Dunque, si ha anche ṼN ŨN. Procedendo per ricorrenza, otteniamo che Ṽn Ũn per ogni n, da cui la tesi. Continuiamo a studiare le proprietà di martingala associate a U n n. 05

5 Proposizione Sia ν 0 = inf{n 0 t.c. Ũn = Z n }. Allora ν 0 è un F n -tempo d arresto a valori in {0,,...,N} e il processo arrestato Ũn ν 0 0 n N è una F n -martingala. Dimostrazione. Osserviamo che, poiché U N = Z N e dunque ŨN = Z N, evidentemente dev essere ν 0 N, cioè ν 0 è a valori in {0,,...,N}. ν 0 è evidentemente un tempo d arresto. Infatti si può scrivere ν 0 = inf{n 0; Ũn Z n = 0} e dunque ν 0 è un tempo d ingresso vedi Esempio??. Poniamo Ũν 0 n = Ũn ν 0 e osserviamo che n ν 0 Ũ ν 0 n = U 0 + {ν0 j} Ũj = U 0 + j= n {ν0 j} Ũj, j= dove naturalmente Ũj = Ũj Ũj. Si noti che, per ogni j, la v.a. {ν0 j} è F j -misurabile, perché {ν0 j} = {ν0 j } e {ν 0 j } F j, poiché ν 0 è un tempo d arresto. Dunque se i ha Ũ ν 0 n+ Ũν 0 n = {ν0 n+} Ũn+ Ũn, E Ũν 0 n+ Ũν 0 n F n = E {ν0 n+} Ũn+ Ũn F n 5.4 Ora, sull insieme {ν 0 n + }, si ha Ũn > Z n, dunque e quindi, poiché {ν 0 n + } F n, {ν0 n+}ũn = {ν0 n+}e Ũn+ F n E [ {ν0 n+}ũn+ Ũn F n = E [ {ν0 n+}ũn+ E Ũn+ F n F n = = {ν0 n+}e [ Ũ n+ E Ũn+ F n F n = 0 da cui, sostituendo in 5.4 si ha la tesi. La Proposizione ha una conseguenza importante. Corollario Il tempo d arresto ν 0 soddisfa le seguenti uguaglianze: U 0 = Ũ0 = E Z ν0 F 0 = sup ν T 0,N E Z ν F 0, ricordiamo che T 0,N è l insieme degli F n -tempi d arresto che prendono valori in {0,,...,N}. 06

6 Dimostrazione. Per definizione di ν 0, si ha Ũν 0 = Z ν0. Poiché Ũν 0 n n è una martingala e Ũν 0 N = Ũν 0, si ha U 0 = Ũ0 = Ũν 0 0 = E Ũν 0 N F 0 = E Ũν 0 F 0 = E Z ν0 F 0. Ora, prendiamo un qualsiasi tempo d arresto ν T 0,N. Per la Proposizione 5.2., Ũn n è una P -supermartingala, quindi cfr. Proposizione anche Ũν n n = Ũn ν n è una P -supermartingala. Inoltre, essendo Ũn Z n per ogni n, si ha anche Ũν Z ν. Ma allora, U 0 = Ũ0 E Ũν N F 0 = E Ũν F 0 E Z ν F 0, da cui segue la tesi. Osserviamo che, con un occhiata più attenta alla dimostrazione del Corollario 5.2.3, un tempo d arresto τ è ottimale se e solo se succedono insieme due cose: Il processo arrestato U τ n n è una martingala. 2 U τ = Z τ. 5.3 Prezzo e copertura delle opzioni americane Vediamo ora come si può costruire un portafoglio di copertura di un opzione americana di payoff Z n n. Abbiamo osservato che il processo U n n, costruito nel paragrafo precedente, è tale che i suoi valori scontati Ũn n costituiscono una supermartingala. Sia allora Ũ n = M n Ãn la sua decomposizione di Doob vedi il paragrafo??. Dunque M n n è una martingala, mentre Ãn n è un processo crescente predicibile. Consideriamo l opzione europea di payoff M N = + r N MN e sia V n φ n il suo portafoglio replicante, di cui abbiamo studiato le proprietà nel paragrafo 4.6. Poiché il portafoglio attualizzato Ṽnφ n è una martingala rispetto a P, si ha Ṽ n φ = E [ṼNφ F n = E [ M N F n = M n. Dunque, moltiplicando per il fattore di sconto + r n, V n φ = + r n Mn = U n + + r n à n U n Z n Dunque con un capitale pari a U 0 = V 0 φ = E [ M N F 0, 07

7 è possibile costituire un portafoglio ammissibile che garantisce ad ogni istante n di coprire il payoff dell opzione Z n. La condizione di assenza di arbitraggio garantisce dunque che il prezzo dell opzione, c 0, non può essere superiore a U 0 = V 0 φ. Mostriamo anzi che la condizione di assenza di arbitraggio implica che c 0 = U 0. Infatti, se il detentore dell opzione usa la strategia ottimale di arresto per stabilire l istante in cui esercitare l opzione e quindi la esercita al tempo ν 0, allora si ha V ν0 φ = + r ν 0 Mν0 = U ν0 + + r ν 0 Ã ν0 Il Lemma 5.3. qui sotto, implica che Ãν 0 = 0. Quindi V ν0 φ = + r ν 0 Mν0 = U ν0 = Z ν0. Dunque in questo caso la strategia φ copre esattamente il payoff dell opzione. Lemma Siano X n n una supermartingala e A n n il suo processo crescente associato dato dalla decomposizione di Doob. Siano τ un tempo di arresto e X τ n n la supermartingala ottenuta arrestando X n n al tempo τ. Allora il processo crescente associato a X τ n n è A τ n n, dove A τ n = A n τ. Dimostrazione. Intanto il processo A τ n n è predicibile, poiché si può scrivere n A τ n = A k {τ=k} + A n {τ>n } k=0 e nel termine a destra figurano tutte quantità F n -misurabili. Inoltre, posto M n = X n +A n, si ha, grazie al teorema di arresto, che M n τ n è una martingala. Poiché A τ 0 = A 0 = 0 e M n τ = X n τ + A n τ = X τ n + A τ n, per l unicità del processo crescente nella decomposizione di Doob, la tesi è dimostrata. Tornando alla questione che ci interessava, il processo crescente A ν 0 n n associato a U ν 0 n n è dato da A ν 0 n = A n ν0. Poiché, d altra parte, U ν 0 n n è una martingala il suo processo crescente associato è nullo. Dunque A ν0 = 0. Ricapitolando, il prezzo all istante 0 è dato dalla formula 5. o equivalentemente, in maniera più esplicita, dalla 5.2 con n = 0, oppure da U 0 = E [ + r ν 0 Z ν0 F 0 che poi è esattamente quanto ci aspettavamo, come descritto nell introduzione a questo capitolo. Questo risultato si generalizza facilmente per il calcolo del prezzo dell opzione in ogni istante n = 0,,...,N. Riassumiamo qui di seguito il risultato generale, senza riportarne la dimostrazione per la quale, basta semplicemente riadattare quelle appena viste. 08

8 Proposizione Il prezzo di un opzione americana al tempo n, n = 0,,...,N è dato dalla formula 5.2 o equivalentemente da U n = E [ + r νn n Z νn F n = sup ν T n,n E [ + r ν n Z ν F n, dove T n,n denota l insieme dei tempi d arresto a valori in {n,...,n} e ν n T n,n è definito da ν n = inf{j n; U j = Z j }. Intuitivamente, un opzione americana di processo di payoff Z n n deve costare di più dell opzione europea di payoff h = Z N, poiché il detentore può esercitare l opzione in un qualsiasi momento tra l emissione e la maturità N. Quest affermazione è precisata dalla seguente Proposizione Siano rispettivamente C n il prezzo di un opzione americana di processo di payoff Z n 0 n N e c n il prezzo dell opzione europea associata, cioè di payoff h = Z N e maturità N. Allora, C n c n, per ogni n = 0,,...,N. Inoltre, se c n Z n per ogni n allora C n = c n, per ogni n = 0,,...,N. Dimostrazione. Osserviamo che C N = Z N = c N. Siano C n n e c n n i processi scontati. Ricordando che C n n è una P -supermartingala e c n n una P -martingala, si ha C n E C N F n = E c N F n = c n per ogni n = 0,,...,N. Dunque, C n c n. Supponiamo ora che si abbia c n Z n. Allora c n n, che è una martingala, è una P -supermartingala che domina il payoff scontato Z n n. Poiché C n n è l inviluppo di Snell di Z n n, necessariamente dev essere c n C n, da cui segue che c n = C n e quindi c n = C n, per ogni possibile n. Esempio Prezzi delle call europea ed americana Consideriamo una opzione call sul titolo di prezzo S n n : Z n = Z call n = S n K +. Indichiamo con C n il prezzo della call americana al tempo n e con c n il prezzo della call europea: c n = E [ + r N n S N K + F n. 09

9 Mostriamo che in questo caso si ha c n = C n. Per la Proposizione 5.3.2, basta far vedere che c n Z n = Sn K + per ogni n = 0,,...,N. Ricordiamo che il prezzo scontato c n = + r n c n è una martingala. Dunque, applicando la disuguaglianza di Jensen alla funzione convessa x x +, c n = E [ + r N S N K + F n E [ + r N S N K F n + = E [ S N F n K + r N = S n K + r N + + Moltiplicando per + r n, si ottiene c n + r n S n K + r N + = S n K + r N n + S n K + dove abbiamo usato il fatto che + r N n. Osserviamo infine che, dalla Proposizione 5.3.2, si ha C n = sup ν T n,n E [ + r ν n Z ν F n = E [ + r N n Z N F n = cn dunque il tempo ottimale di esercizio è sempre, nel caso della call, ν n = N: la cosa migliore è esercitare direttamente a maturità. Vedremo che la situazione pu o essere diversa per opzioni diverse dalla call e, in particolare, per le put, delle quali studieremo il comportamento qualitativo nell ambito del modello CRR nel prossimo paragrafo. 5.4 Prezzo e copertura di una put americana nel modello CRR In questo paragrafo, consideriamo il modello CRR. Ricordiamo che in tal caso il mercato consiste del titolo non rischioso, S 0 n = + r n, e di un solo titolo rischioso, di prezzo S n = S 0 T T n. Supponiamo che il mercato sia privo di arbitraggio e completo, cioè r a, b. Sotto la misura equivalente di martingala P, le variabili aleatorie T,...,T n sono indipendenti ed identicamente distribuite e tali che P T = + a = p = P T = + b, dove p = r a b a. Consideriamo una opzione put americana, di maturità N e prezzo d esercizio K: Z n = Z put n = K S n +. 0

10 Proposizione Il prezzo della put americana al tempo n è dato da P n = P am n, S n, dove la funzione P am n, x è definita da essendo P am N, x = K x + e per n = N, N 2,...,0 P am n, x = max K x +, +r, fn +, x fn +, x = p P am n +, x + a + pp am n +, x + b. Dimostrazione. Da 5.2, si ha P N = Z N = K S N + = P am N, S N. Al tempo n = N, sempre da 5.2 si ha Osserviamo che P N = max K S N +, + r E P N F N. E P N F N = E P am N, S N F N = E P am N, S N T N F N. Ora, poiché S N è F N -misurabile e T N è indipendente da F N, l ultima media condizionata vale E P am N, S N T N F N = E P am N, x T N. x=sn Posto allora segue che fn, x = E P am N, x T N, E P N F N = fn, S N, da cui si ottiene P N = P am N, S N, dove Ora, P am N, x = max K x +, + r fn, x. fn, x = E P am N, x T N = P am N, x +ap+p am N, x +b p, dunque la tesi è vera per n = N. Procedendo analogamente per n = N 2,...,0, si ottiene il risultato finale

11 Osservazione La funzione P am 0, x introdotta nella Proposizione 5.4. si può anche rappresentare nel modo seguente: P am 0, x = sup ν T0,N E + r ν K x V ν + dove V 0 = e V n = T T n, n =,...,N. Infatti, dalla Proposizione si ha per ogni scelta di S 0. P am 0, S 0 = P 0 = sup ν T 0,N E + r ν K S ν + = sup ν T 0,N E + r ν K S 0 V ν La rappresentazione 5.5 consente di effettuare uno studio qualitativo del prezzo dell opzione all istante iniziale. Queste informazioni, riassunte nella Proposizione 5.4.3, consentono di tracciare il grafico della funzione x P am 0, x, come riportato in Figura x Figura 5. Andamento del prezzo al tempo 0 di una opzione put americana, al variare del prezzo del titolo di base in ascisse. I valori sono a =., b =.2, r =.02, K = 0.9, N = 20. Qui il valore x è dell ordine di Il prezzo si annulla per x > K + a N = 7.4. A puntini è disegnato l andamento delle corrispondente opzione europea. Proposizione La funzione x P am 0, x è continua, non crescente e convessa. 2 Supponiamo a < 0. Esiste un punto x [0, K tale che. per x [0, x, P am 0, x = K x + ; 2. per x x, K/ + a N, P am 0, x > K x + ; 3. per x K/ + a N, P am 0, x = 0. Dimostrazione.. Dalla Proposizione 5.4., segue immediatamente che x P am N, x = K x + è continua. Dunque, anche x fn, x = pp am N, x + a + pp am N, x + b è continua e quindi anche x P am N, x = maxk x +, + r fn, x lo è essendo il max tra 2

12 funzioni continue. Procedendo analogamente, si prova che x P am n, x è continua per ogni n = N 2,...,, 0. Le altre due proprietà seguono direttamente dalla rappresentazione 5.5 e dal fatto che x K x V ν + è non crescente e convessa. Ad esempio, per quanto riguarda la convessità, preso α [0, si ha: E + r ν K αx + αx 2 V ν + αe + r ν K x V ν + + αe + r ν K x 2 V ν + e passando al sup per ν T 0,N si ottiene la tesi. 2. Poniamo gx = P am 0, x K x +. Poiché P am 0, x K x +, gx 0. In particolare g0 = 0, perché, usando 5.5, 0 g0 = sup E + r ν K K K K = 0. ν T 0,N } {{ }, ν 0 Invece, gk > 0. Infatti, gk = K sup E + r ν V ν + K E + r V + ν T 0,N nel secondo passaggio si è scelto ν =. Ora, V = T e E +r V + = +r a + p+ b + p = +r ap > 0 quindi gk > 0. Dividiamo ora lo studio della funzione g in due casi: i x [0, K e ii x > K. i Se x [0, K, allora gx = P am 0, x K x è una funzione continua e convessa essendo somma di una funzione convessa continua e di una funzione lineare. Poniamo allora x = inf{x > 0 : gx > 0}. Ovviamente, x < K perché gk > 0 ed inoltre si ha: gx = 0 per ogni x [0, x e gx > 0 per ogni x x, K. Infatti, se per assurdo esistesse un x x tale che gx > 0 allora, dalla definizione di x, dovrebbe anche essere x x, il che non è vero a meno che non si sia scelto x = x. Osservando però che, dal teorema della permanenza del segno ricordiamo che g è continua, dev essere gx = 0, segue allora che in effetti gx = 0 per ogni x [0, x. Prendiamo ora un x x, K e mostriamo che gx > 0. Osserviamo intanto che, sempre dalla definizione di x, deve esistere una successione {x n} n tale che x n x e gx n > 0. Ora, se x > x allora 3

13 x > x n per qualche n, dunque x n = tx + tx per qualche t 0,. Usando la convessità di g, si ha 0 < gx n = gtx + tx tgx + tgx = tgx, il che prova che gx > 0 per ogni x x, K. ii Se invece x > K, allora gx = P am 0, x è una funzione non negativa e, dal punto., anche non crescente. Poiché gk > 0, nell intervallo in questione g è positiva, tende a decrescere e una volta raggiunto lo zero, si mantiene indenticamente nulla. Ricapitolando, quanto visto in i e ii prova l asserzione a. Per verificare b e c, basta far vedere che x = K/+a N è il più piccolo punto > K in cui x P am 0, x si annulla. Cerchiamo allora x tale che P am 0, x = 0. Dalla 5.5 dev essere K x V ν + = 0 per ogni ν T 0,N, dunque x K/V ν per ogni ν T 0,N. Allora x = max Ω K max = ν T 0,N V ν K min Ω min ν T0,N V ν. Ora, poiché V ν = T T ν e T n { + a, + b}, allora min Ω min V ν = ν T 0,N min + n {0,...,N} an = + a N perché, ricordiamo 0 < + a <. Dunque x = K/ + a N e la tesi è dimostrata. 4

14 Bibliografia [ P. Baldi 2000 Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni. Pitagora Editrice. [2 F. Black, M. Scholes 973 The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 8, [3 P. Billingsley 995 Probability and measure. Whiley. [4 J.C. Hull 2002 Options, futures and other derivatives. 5th edition. Prentice Hall. [5 D. Lamberton, B. Lapeyre 2000 Introduction to Stochastic calculus in finance. Springer. [6 M. Musiela, M. Rutkowski 998 Martingale methods in financial modelling. Springer. [7 S.M. Ross 2003 An elementary introduction to Mathematical Finance. Options and other topics. Second edition. Cambridge University Press. [8 D.M. Salopec 997 American put options. Addison Wesley Longman Inc. [9 D. Williams 99 Probability with martingales. Cambridge University Press. 5