Equazioni differenziali di Sturm-Liouville

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1 Fcoltà di Scienze Mtemtiche, Fisiche e Nturli Corso di Lure Triennle in Mtemtic Tesi di Lure Equzioni differenzili di Sturm-Liouville Cndidt: Glori Sbrn Reltore: Prof. Polo Acquistpce Anno Accdemico 2012/2013

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3 Alessio

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5 Indice Introduzione ii 1 Opertori tr spzi di Bnch Opertori lineri Opertori ggiunti Teori spettrle Opertori comptti Teori spettrle degli opertori comptti Opertori tr spzi di Hilbert Sistemi ortonormli Opertori utoggiunti Il teorem spettrle Problemi i limiti di Sturm-Liouville L opertore differenzile Opertori integrli L opertore inverso Rppresentzione delle soluzioni Bibliogrfi 48 i

6 Introduzione Lo scopo dell elborto è dre un rppresentzione delle soluzioni del clssico problem di Sturm-Liouville, ossi lo studio di certe equzioni differenzili ordinrie del secondo ordine, soggette prticolri condizioni l contorno. Dto un opertore di Sturm-Liouville L dell form Lu = (pu ) + qu, con p C 1 [, b], q C[, b] e p > 0 in [, b], ci proponimo di risolvere l equzione Lu = f con u D, dove è il dominio di L e D = {u C 1 [, b] : ( pu ) L 2 (, b), B 1 u = B 2 u = 0}, B 1 u = α 1 u() + β 1 u (), B 2 u = α 2 u(b) + β 2 u (b), con α 1, α 2, β 1, β 2 costnti reli tli che α 1 + β 1 > 0, α 2 + β 2 > 0 sono le condizioni l contorno. L importnz di questo tipo di problem differenzile deriv d vri ftti, dei quli due prticolrmente significtivi. Anzitutto, qulunque equzione differenzile ordinri del secondo ordine può essere espress, con un opportuno rtificio, sotto form di equzione di Sturm-Liouville; si trtt dunque di problemi dell mssim generlità che comprendono in sé molti tipi di equzioni utili in fisic mtemtic come le equzioni di Bessel, di Legendre, ed ltre. Il secondo ftto, conseguenz del primo, è che le proprietà spettrli dell opertore di Sturm-Liouville e l sviluppbilità in opportune serie di Fourier delle soluzioni costituiscono le bsi del metodo di seprzione delle vribili, che permette di risolvere un buon numero di problemi i limiti per equzioni lle derivte przili. Più precismente, l opertore che rppresent le soluzioni del problem di Sturm-Liouville è un opertore integrle comptto e utoggiunto nello spzio di Hilbert L 2 (, b), e le sue utofunzioni formno un bse ortonormle per L 2 (, b); le soluzioni del problem i limiti si rppresentno come somm delle loro serie di Fourier rispetto tle bse. Il problem è descritto in dettglio nel terzo e ultimo cpitolo, dove si discute in prim generlità l questione dell risolubilità, utilizzndo il teorem ii

7 spettrle e il teorem dell lterntiv di Fredholm. Per giungere questo risultto occorrono lcuni prerequisiti di nlisi funzionle: nel primo cpitolo vengono introdotte le definizioni e lcune importnti proprietà degli opertori comptti tr spzi normti, in prticolre tr spzi di Bnch; nello specifico si nlizzno in dettglio le loro proprietà spettrli. Nel secondo cpitolo sono stte nlizzte le proprietà degli opertori comptti tr spzi di Hilbert e sono stti introdotti gli opertori utoggiunti, con reltive proprietà: l teori spettrle in questo cso è complet, e generlizz direttmente quello che è vero negli spzi euclidei per mtrici reli e simmetriche: un opertore comptto e utoggiunto in uno spzio di Hilbert possiede un bse ortonormle compost solo d utovettori, corrispondenti d utovlori reli; inoltre vle il teorem spettrle, trmite il qule ogni elemento dell immgine dell opertore è somm di un serie di Fourier rispetto ll bse ortonormle di utovettori. iii

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9 Cpitolo 1 Opertori tr spzi di Bnch Dedicheremo questo cpitolo introdurre le ppliczioni lineri, dette opertori, tr due spzi normti; vedremo le loro proprietà soprttutto nel cso in cui gli spzi sino, in prticolre, spzi di Bnch. 1.1 Opertori lineri Definizione Sino E e F due spzi normti reli (complessi). Un ppliczione T : E F è chimt opertore linere se verific: T (αe + βe ) = αt (e) + βt (e ) per ogni e, e E e per ogni α, β R (per ogni α, β C). Osservzione L scrittur ust per indicre T (e) srà T e. Definizione Un opertore linere T : E F è detto limitto se esiste M positivo tle che T e F M e E per ogni e E. L insieme degli opertori lineri limitti d E F è uno spzio vettorile e viene indicto con L(E, F ). Vedimo or come, sugli spzi normti, l limittezz di un opertore linere equivle ll continuità. Proposizione Se E e F sono spzi normti e T : E F è un opertore linere, i seguenti ftti sono equivlenti: (i) T è limitto; (ii) esiste e 0 E tle che T è continuo nel punto e 0 ; (iii) T è lipschitzino: esiste K 0 tle che T e T e F K e e E per ogni e, e E. Dimostrzione. Che (iii) (ii) è ovvio, mostrimo quindi le ltre impliczioni. 1

10 Cpitolo Opertori lineri (i) (iii) Per ipotesi, essendo T limitto, esiste M positivo tle che T e F M e E per ogni e E. Per linerità dunque: T e T e F = T (e e ) F M e e E e, e E. (ii) (i) Per l ipotesi di continuità per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tle che e e 0 E δ T e T e 0 F ε; se E = {0} per linerità T = 0 e l tesi è quindi ovvi. Si dunque e E \ {0}. Ponendo w = si h: δe e E δ e E T e = T w = T (w + e 0 ) T e 0, dto che (w + e 0 ) e 0 E = w E = δ llor T w F ε. Quindi T e F = e E T w F ε δ δ e E e E \ {0}. T è dunque limitto perché l disuguglinz è ovvi per e = 0. Osservzione Con l norm: T L(E,F ) = sup e 0 T e F = sup T e F e E e E =1 L(E, F ) è uno spzio normto. L(E, E). Qundo F = E scrivimo L(E) nziché Osservzione Sino E e F due spzi normti e si T L(E, F ), llor se x n x in E si h T x n T x in F. Ricordimo l definizione di spzio di Bnch: Definizione Uno spzio normto (E, ) è detto spzio di Bnch se è completo rispetto ll distnz indott: d(x, y) = x y. Teorem Sino E e F due spzi normti; llor L(E, F ) è uno spzio di Bnch se lo è F. Dimostrzione. Si prend {T n } successione di Cuchy in L(E, F ), quindi per ogni ε > 0 esiste ν N tle che T n T m L(E,F ) < ε per ogni n, m ν; dunque: T n e T m e F < ε e E e E n, m ν. 2

11 Cpitolo Opertori lineri Ne segue che per ogni e E l successione {T n e} è di Cuchy in F ; essendo F uno spzio di Bnch, l successione vrà un limite, che chimimo T (e). Osservimo che T così definit pprtiene L(E, F ), è inftti linere ed è un opertore limitto perché per ogni e E T e F = lim n T n e F lim inf n [ T n T ν L(E,F ) e E + T ν e F ] [ε + T ν L(E,F ) ] e E. Ci rimne d verificre che T n T in L(E, F ); si h inftti che per e E con e E = 1 T n e T e F = lim m T ne T m e F lim inf n T n T m L(E,F ) ε n ν, e quindi: T n T L(E,F ) = sup e E =1 T n e T e F ε per ogni n ν. Osservzione Segue dll definizione che dti due opertori lineri T, T L(E) vle: T T T T. Un lgebr normt e complet in cui l precedente disuguglinz è soddisftt è chimt lgebr di Bnch. Non tutti gli opertori lineri fr spzi di Bnch sono limitti. L situzione tipic, dti E e F spzi di Bnch, è quell di un opertore linere T, definito su un sottospzio D(T ) E (dominio di T ), vlori in F, il qule è chiuso, ossi il grfico di T è chiuso come sottoinsieme di E F. Ciò equivle dire che se {x n } D(T ), x n x in E, T x n y in F llor x D(T ) e T x = y. Esempio Sino E = F = C[, b], con f E = sup t [,b] f(t) = f per ogni f E. Ponimo: T f = f D(T ) = C 1 [, b] E chiro che T : D(T ) E E è ben definito. L opertore T non è limitto: non può esistere lcun M > 0 tle che f M f f E. Inftti, scegliendo f(t) = (t ) n, si h f = n(b ) n 1, f = (b ) n, e dovrebbe risultre n M(b ) per ogni n N, che è ssurdo. Tuttvi, T è chiuso: inftti se {f n } D(T ), f n f in C[, b] e f n g in C[, b], è noto che risult f C 1 [, b] e f = g. 3

12 Cpitolo Opertori ggiunti 1.2 Opertori ggiunti Definizione Si T L(E, F ), L opertore ggiunto di T si indic con T L(F, E ), è linere ed è crtterizzto dll seguente relzione: (T Φ)(x) = Φ(T x) x E, Φ F. Vedimo, senz dimostrrle, lcune fcili proprietà dell opertore ggiunto. Proposizione Sino E e F spzi normti. Se T L(E, F ), llor T L(F, E ) e T L(E,F ) = T L(F.E ). Proposizione Sino E, F e G spzi normti. Vlgono le seguenti proprietà: (i) Se T, S L(E, F ), llor (T + S) = T + S. (ii) Se α C e T L(E, F ), llor (αt ) = αt. (iii) Se T L(F, G) e S L(E, F ), llor (T S) = S T L(G, E ). (iv) Se T L(E), llor T = T ; (v) Se T L(E) ed esiste T 1 L(E), llor esiste nche (T ) 1 L(E ), e vle: (T ) 1 = (T 1 ). 1.3 Teori spettrle Lo scopo di questo prgrfo è quello di introdurre e studire l struttur dell insieme dei vlori λ C tli che l opertore λi T, con T : D(T ) E E opertore linere chiuso e con E spzio di Bnch, si invertibile con inverso continuo. Definizione Si E uno spzio di Bnch e si dt l equzione T x = λx+y; se per ogni y E esiste un unic soluzione per x llor il punto λ è detto regolre per T. L insieme ρ(t ) dei λ regolri è detto insieme risolvente di T. Se T x = λx + y non mmette un unic soluzione, λ non è regolre; l insieme dei λ non regolri per T viene indicto con σ(t ) ed è chimto spettro di T. Osservzione Un numero complesso λ è regolre per T se e soltnto se λi T : D(T ) E è un opertore iniettivo con inverso (λi T ) 1 : E D(T ) continuo. Si inftti λ un punto regolre per T : per definizione λi T : D(T ) E è bigettivo, quindi l inverso (λi T ) 1 è ben definito 4

13 Cpitolo Teori spettrle d E in E. Esso è nche chiuso, perche se {y n } E, y n y in E e x n := (λi T ) 1 y n x in E, llor risult: x n D(T ), x n x in E, (λi T )x n = y n y in E. Dunque (λi T ) 1 y = x, ossi (λi T ) 1 è chiuso. M ogni opertore linere chiuso, con dominio tutto lo spzio, è continuo in virtù del teorem del grfico chiuso (corollrio ). Ne segue l tesi. L opertore (λi T ) 1 si chim opertore risolvente di T ; Osservzione Un numero complesso è regolre per T se e soltnto se (λi T ) : D(T ) E è iniettivo con immgine R(λI T ) dens in E e inverso (λi T ) 1 : R(λI T ) E continuo. Per provre questo ftto bst mostrre che se (λi T ) è iniettivo con immgine dens, llor è nche surgettivo. Si inftti y E; per densità, esiste {y n } R(λI T ) tle che y n y in E. Ponimo x n = (λi T ) 1 y n ; x n è ben definito, x n D(T ) e per l continuità di (λi T ) 1, {x n } è di Cuchy in E, esiste quindi x E tle che x n x in E. M siccome (λi T ) è chiuso, deducimo x D(T ) e (λi T )x = y, cioè y R(λI T ). Esempio Si T : C n C n un ppliczione linere, in questo cso l equzione λx T x = 0 h x = 0 come unic soluzione se e soltnto se λ non è un utovlore di T, per cui lo spettro σ(t ) è proprio l insieme degli utovlori di T, e i vettori non nulli x E tli che λx T x = 0 sono gli utovettori di T reltivi ll utovlore λ. Dimostrimo or un risultto generle che ci permetterà di studire un importnte proprietà del rggio spettrle, grndezz fondmentle dell teori spettrle. Proposizione Si T L(E). Allor esiste lim T n 1/n n L(E). Dimostrzione. Si r := lim inf T n 1/n L(E). E chiro che 0 r T L(E). Sino ε > 0 e m N + tli che r ε < T m 1/m L(E) < r + ε. Per ogni n > m sceglimo k N + tle che km < n (k + 1)m; llor: T n 1/n L(E) = T km T n km 1/n L(E) T km 1/n L(E) T (n km)/n L(E) T m 1/m L(E) ]mk/n T (n km)/n L(E) < (r + ε) mk/n T (n km)/n L(E). 5

14 Cpitolo Teori spettrle Dto che 1 n km m, si h che T (n km)/n n n n L(E) tende 1 per n che tende ; e poiché 1 m km < 1, si h nche che (r + n n ε)mk/n tende r + ε per n che tende. Quindi per ogni ε > 0 lim sup T n 1/n L(E) r + ε = lim inf T n 1/n n n L(E) + ε. Definizione Si T L(E). Il rggio spettrle di T, che indichimo con r(t ) è r(t ) = sup{ λ : λ σ(t )}. Proposizione Si T L(E); il rggio spettrle di T verific: Dimostrzione. Ponimo r(t ) = lim n T n 1/n L(E). σ = lim n T 1/n L(E) Se λ > σ esiste δ > 0 tle che λ > σ + δ; per n sufficientemente grnde si vrà λ n > (σ + δ) n > T n L(E). Si verific quindi che l opertore S = k=0 T nk λ n(k+1) è ben definito come elemento di L(E), e soddisf S(λ n I T n ) = (λ n I T n )S = I e cioè S = (λ n T n ) 1. Ne segue, posto U = n 1 h=0 λ h T n 1 h, che U L(E), US = SU e che US(λI T ) = (λi T )US = I, ossi US = (λi T ) 1 ; inoltre US = n 1 h=0 λ h T n 1 h = n 1 k=0 p=0 k=0 T nk λ n(k+1) = T nk+p λ nk+p+1 = 6 n 1 k=0 h=0 m=0 T m λ m+1. T nk+n 1 h λ nk+n h =

15 Cpitolo Teori spettrle Quindi, se λ > σ, λ ρ(t ) e (λi T ) 1 = T m m=0. In prticolre λ m+1 σ r(t ). Provimo l ltr disuguglinz: si λ > r(t ), llor, per definizione, λ ρ(t ) e l funzione (λi T ) 1 è olomorf in ρ(t ). Ess h dunque uno sviluppo di Lurent che converge in L(E) per ogni λ ρ(t ). Per unicità: (λi T ) 1 = m=0 T m λ m+1 λ ρ(t ). Quindi lim m T m L(E) λ m 1 = 0 per ogni λ > r(t ). Fissimo ε > 0 e sceglimo λ tle che λ = r(t ) + ε, llor, per m grnde si h: T m L(E) < λ m+1 = (ε + r(t )) m+1 e dunque: σ = lim T m 1/m m L(E) ε + r(t ) ε > 0. Osservzione Come dirett conseguenz dell proposizione bbimo che, dto T L(E), se λ > r(t ) l equzione T x = λx + y è sempre univocmente risolubile. Prim di ndre vnti con lo sviluppo dell teori spettrle enuncimo lcuni risultti preliminri: Teorem L insieme degli opertori di L(E) che hnno inverso limitto è un insieme perto. Dimostrzione. Supponimo che T bbi un inverso limitto. Cerchimo δ tle che S T E < δ implic che S h un inverso limitto. Scrivimo S = T (T S) = T (I T 1 (T S)). Ponimo δ = 1 T 1 E : S T E < δ implic T 1 (T S) E < 1, quindi l serie formle di potenze: [T 1 (T S)] n n=0 converge in L(E) e definisce un opertore U che inverte I T 1 (T S); quindi S h un inverso limitto. Enuncimo or un teorem fondmentle, chimto teorem dell mpp pert (cfr [3]), grzie l qule risulterà che in uno spzio di Bnch ogni trsformzione limitt invertibile possiede utomticmente un invers limitt. 7

16 Cpitolo Opertori comptti Teorem (Teorem dell mpp pert). Sino E e F due spzi di Bnch e si T L(E, F ) un opertore surgettivo. Allor T è un ppliczione pert, cioè per ogni perto Γ E l insieme T (Γ) è perto in F. Corollrio (Teorem del grfico chiuso). Sino E e F spzi di Bnch e si T : E F un opertore linere chiuso. Allor T L(E, F ). Dimostrzione. Si G T = {(x, T x) : x E}; per ipotesi G T è un sottospzio chiuso in E F, quindi è uno spzio di Bnch. L mpp Γ : G T E (x, T x) x è linere e bigettiv. Dunque è pert, ossi Γ 1 è continu. Perciò esiste c > 0 tle che x + T x c x, d cui segue che T è continuo. Corollrio Sino E e F spzi di Bnch e si T L(E). Se T è iniettivo e surgettivo llor è un isomorfismo e quindi T 1 L(F, E). Dimostrzione. T 1 è sicurmente linere e, per il teorem precedente, è un ppliczione pert; dunque l controimmgine di un perto medinte T 1 è pert. Quindi, essendo continu, T 1 L(F, E). Osservzione A mggior rgione se un opertore T L(E) è iniettivo e surgettivo T 1 è continuo. Vedimo desso un ultim proprietà che f d corollrio l teorem dell mpp pert: Proposizione Si T L(E), llor lo spettro σ(t ) è chiuso. Dimostrzione. Supponimo che λ ρ(t ); T λi è iniettivo e surgettivo e quindi, per il corollrio , h un inverso limitto. Dto che l insieme degli opertori che possiedono un inverso limitto è un insieme perto, esiste δ > 0 tle che λ µ < δ implic che T µi h un inverso limitto, quindi nche µ ρ(t ), e dunque l insieme risolvente, ρ(t ), è perto e lo spettro è chiuso. 1.4 Opertori comptti Introducimo or un clsse di opertori, detti opertori comptti, che hnno buone proprietà spettrli nche negli spzi di dimensione infinit, e che ci permetternno, nei prossimi cpitoli, di studire lcune ppliczioni dell teori delle equzioni integrli. 8

17 Cpitolo Opertori comptti Definizione Sino E e F spzi normti. Un opertore linere T : E F è detto comptto o completmente continuo se l immgine trmite T di un insieme limitto di E è un insieme reltivmente comptto (cioè chiusur comptt) di F. Osservzione Segue dll definizione che gli opertori comptti sono continui e che, se dim(f ) =, non vle il vicevers, inftti I : F F non è comptto. Inoltre in uno spzio euclideo n-dimensionle ogni trsformzione linere è comptt. Proposizione Si E uno spzio di Bnch e si T L(E). Allor l opertore T è comptto se e soltnto se ogni successione limitt {x n } E possiede un sottosuccessione {x n } tle che {T x n } è convergente. Dimostrzione. Si T comptto e si {x n } E limitt, llor {T x n } è reltivmente comptto; dto che uno spzio di Bnch è in prticolre uno spzio metrico, l compttezz equivle ll compttezz per successioni; quindi {T x n } possiede un sottosuccessione {T x n } convergente. Vicevers supponimo per ssurdo che l immgine trmite T di un insieme limitto di E non si reltivmente comptt; llor esiste {T x n } T (E) che non h sottosuccessioni convergenti, m ogni successione limitt {x n } E possiede un sottosuccessione {x n } tle che {T x n } è convergente. Poiché {T x n } {T x n } ciò è ssurdo. Osservzione Sino E, F e G spzi normti, sino T L(E, F ) e S L(F, G); se lmeno un tr gli opertori T e S è comptto, llor S T è comptto. Vedimo or lcune delle proprietà principli degli opertori comptti tr spzi normti. Proposizione Si T L(E), con E spzio normto, tle che l su immgine R(T ) si di dimensione finit; llor T è comptto. Teorem Si E uno spzio normto e F uno spzio di Bnch. Si {T n } n N + un successione di opertori comptti d E F tle che T n T in L(E, F ) (equivlentemente T n T L(E,F ) 0), llor T è un opertore comptto. In prticolre, se E è uno spzio di Bnch, il sottospzio degli opertori comptti è chiuso in L(E). Dimostrzione. Si {x n } E tle che x n E K per ogni n N: dobbimo dunque provre che {T x n } h un sottosuccessione convergente in F. 9

18 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti T 1 è comptto, esistono quindi un elemento y 1 F e un sottosuccessione {x (1) n } {x n } tle che T 1 x (1) n y 1 in F per n ; Iterndo il procedimento, per ogni k N +, essendo T k comptto esistono un elemento y k F e un sottosuccessione {x (k) n } {x n (k 1) } tle che T i x n (k) y i in F per n i = 1, 2,..., k. Considerimo l successione {x (n) n }, che è nch ess un sottosuccessione di {x n }, per l qule vle T i x (n) n y i in F per n qulunque si i N +. Fissto ε esiste k ε N + tle che T T k L(E,F ) < ε; dto che T kε x (n) n y kε, esiste ν ε N tle che: T kε (x (n) n x (m) m ) F < ε per ogni n, m ν ε. Quindi per ogni n, m ν ε : T x (n) n T x (m) m F = T x (n) n + T kε x (m) m T kε x (n) n F + T kε (x n (n) x (m) m ) F + T x (m) m F < 2εK + ε. Abbimo perciò che l successione {T x (n) n } è di Cuchy in F ; essendo poi F completo, ess srà convergente in F. Come immedit conseguenz del precedente teorem bbimo il seguente: Corollrio Si E uno spzio normto e F uno spzio di Bnch. Gli opertori che sono limiti in L(E, F ) di successioni di opertori d immgine finito-dimensionle sono comptti. Osservzione Il vicevers è in generle flso Teori spettrle degli opertori comptti Comincimo col dire che se bbimo un trsformzione linere T d uno spzio euclideo n-dimensionle in se stesso ci sono l più n utovlori distinti λ, ed essi sono i λ tli che T λi è non invertibile. Un x 0 tle che T x = λx si dice utovettore di T reltivo ll utovlore λ, e chimimo inoltre utospzio di λ l insieme : {x : T x = λx} (cioè lo spzio generto dgli utovettori reltivi llo stesso utovlore). Introducimo l nozione di spzio dule: Definizione Si E uno spzio normto. Il suo dule è lo spzio L(E, R) (o L(E, C) se E è complesso) che si denot con E. Gli elementi di E si chimno funzionli lineri (continui) su E. Osservzione Dto che R e C sono spzi completi E è uno spzio di Bnch per ogni spzio normto E. 10

19 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti Per poter dimostrre un risultto che metterà in relzione compttezz e dulità enuncimo le seguenti: Definizione Un sottoinsieme K di uno spzio normto E è totlmente limitto se per ogni ε > 0 esiste un fmigli finit {x 1,..., x N } di punti di K tli che K N j=1b(x j, ε), dove B(x j, ε) = {x E : x x j E < ε}. Osservzione I sottoinsiemi comptti di uno spzio normto E sono totlmente limitti. E importnte l seguente Proposizione Se E è uno spzio di Bnch e Y E è un insieme totlmente limitto, llor Y è reltivmente comptto. Dimostrzione. Si {x h } Y, provimo che {x h } possiede un sottosuccessione convergente: ciò implicherà l tesi. Per ogni n N +, l totle limittezz di Y implic che esistono y (n) 1,..., y m (n) n Y tli che Y mn j=1b(y (n) j, 1 ). 2n Quindi, scelto n = 1, lmeno un tr le plle B(y (1) j, 1) conterrà infiniti x 2 h, ossi esiste {x (1) h } {x h} tle che x (1) h x(1) k E < 1. Iterndo, per ogni n esiste {x (n) h } {x(n 1) h } tle che x (n) h x (n) k E < 1. Ne segue che per l n sottosuccessione digonle {x (n) n } vle x n (n) x (m) m E < 1 per ogni n > m. m Quindi {x (n) n } è di Cuchy in E, e dunque converge. Proposizione Sino E e F spzi normti e si T L(E, F ). Se T è comptto, llor T è comptto; vicevers, se T è comptto e F è uno spzio di Bnch, llor T è comptto. Dimostrzione. Si T comptto. Per provre che T è comptto dobbimo dimostrre che se W è un sottoinsieme limitto di F llor T (W ) è totlmente limitto in E : dto che E è completo, ne seguirà, per l proposizione , che T (W ) è reltivmente comptto in E, e dunque l tesi. Si ε > 0: posto S = {x E : x E = 1}, essendo T comptto l insieme T (S) è totlmente limitto in F. Quindi esistono x 1,..., x n S tli che min T x T x i F < ε x S. 1 i n Definimo l opertore G : F C n ponendo Gf = (f(t x 1 ),...,.f(t x n )) per ogni f F. Allor n Gf 2 n = f(t x i ) 2 n f 2 F T 2 L(E,F ), 11

20 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti di modo che G L(F, C n ). Dto che G h immgine finito-dimensionle, l insieme G(W ) è totlmente limitto in C n : quindi esistono f 1,..., f m W tli che min 1 j m Gf j Gf n < ε f W. Quindi, fissto f W, è possibile scegliere un indice j 0 tr 1 e m (dipendente d f) tle che f(t x i ) f j0 (T x i ) < ε, i = 1,..., n. Vlutimo desso l quntità T f j0 T f E = sup f j0 (T x) f(t x). x S Per ogni fissto x S, si i 0 l indice tr 1 e n (dipendente d x) tle che T x T x i0 F < ε; si h f j0 (T x) f(t x) f j0 (T x) f j0 (T x i0 ) + f j0 (T x i0 ) f(t x i0 ) + f(t x i0 ) f(t x) ( ) ( f j0 F + f F )ε + ε Dll rbitrrietà di x S, segue che min 1 j m T f j T f E T f j0 T f Ciò prov che T (W ) è totlmente limitto in E. L prov dell impliczione oppost è nlog sup f F f W ( sup f F f W ε. ) ε f W. Proposizione Si E uno spzio normto finito-dimensionle con dim E = d, llor E è uno spzio di Bnch isomorfo R d. Dimostrzione. Si {u 1,..., u d } un bse di E e si E il dule di E. Per i = 1,..., d si ϕ i E definito d ϕ i (u j ) = δ ij. Allor per ogni x E, x = d j=1 j u j, si h ϕ i (x) = d j=1 j δ ij = i. Ciò premesso, ponimo I( 1,..., d ) = d i u i. I è un ppliczione linere surgettiv e iniettiv d R d d E. Se mettimo su R d l norm d i, si h d Ç å d I( 1,... d ) E = i u i i mx u j E, 1 j d E 12

21 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti e d ltr prte se x = I( 1,..., d ), si h ( d d d d ) i = ϕ i (x) ϕ i E x E = ϕ i E I( 1,..., d ) E. Ciò prov che I : R d E è un isomorfismo. In prticolre, se {x n } E è di Cuchy in E, e se x n = d n i u i, llor { n i } R è di Cuchy, quindi esiste i R tle che n i i per i = 1,..., d, e dunque ( n 1,..., n d) ( 1,..., d ) in R d. Ne segue che x n = d n i u i d i u i in E, perciò E è completo. Proposizione Si F un sottospzio chiuso proprio di uno spzio normto E. Dto δ > 0, esiste un x E tle che x E = 1 e d(x, F ) 1 δ. Dimostrzione. Sceglimo un qulunque y / F, llor d = d(y, F ) > 0 poiché F è chiuso. Esiste z F tle che d z y E d. Ponimo: 1 δ x = z y z y E ; notimo che se u F, z y x u E = u = z y 1 z y E E z y z y E u E E con z z y E u F, quindi: x u E d z y E 1 δ. Proposizione Si T un opertore comptto e si λ 0; llor l immgine R(T λi) è chius. Dimostrzione. Si {(T λi)z n } un successione convergente e si M > 0 tle che z n M. Esiste un sottosuccessione {z n } tle che {T z n } si convergente, dunque nche {(T λi)z n } è convergente. Pertnto {T (T λi)}z n = λz n converge e, dto che λ 0, {z n } converge. Assumimo dunque che {(T λi)x n } converg un certo elemento y, dobbimo fr vedere che y R(T λi). Se x n M per l osservzione precedente esiste {x n } convergente un certo x, quindi: (T λi)x n (T λi)x = y. 13

22 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti Rimne tuttvi l possibilità che {x n } si illimitt. Per trttre questo cso definimo: E λ = {u E : T u = λu}, E λ è il nucleo dell opertore (T λi) ed è chiuso perché T è continuo. Osservimo che se, per infiniti indici, x n E λ, llor T x n λx n 0 R(T λi). Supponimo invece che, definitivmente, x n / E λ e si F n lo spzio generto d x n e d E λ ; E λ è un sottospzio chiuso proprio di F n dunque, per l proposizione , esiste z n F n tle che z n = 1 e d(z n, E λ ) 1. Se 2 scrivimo z n = n x n + u n, con u n E λ, nessun sottosuccessione di { n } converge 0; inftti se esistesse n tle che n 0 vremmo: (T λi)z n = (T λi)( n x n ) = n (T λi)x n 0, perché per ipotesi (T λi)x n è convergente. Usndo quest osservzione e il ftto che esiste {z n } {z n } per l qule T z n converge, vremmo z n z per qulche z; dunque (T λi)z = 0, d cui z E λ. Questo è ssurdo perché d(z n, E λ ) 1 per ogni n. Di conseguenz possimo concludere che { 1 2 n } è limitt e che quindi: (T λi)( 1 n z n ) = (T λi)x n y, con { 1 n z n } uniformemente limitt: possimo quindi ridurci l primo cso considerto. Proposizione Si T L(E) comptto, llor non possono vlere simultnemente i seguenti ftti: (i) {x n } n=1 sono vettori linermente indipendenti; (ii) T x n = λ n x n ; (iii) λ n λ 0. Dimostrzione. Supponimo che vlgno tutte e tre le condizioni. Si E n lo spzio generto d x 1,..., x n. E n è chiuso ed è un sottospzio proprio di E n+1 ; per l proposizione esiste y n = n j=1 c n j x j E n con y n E = 1 e d(y n, E n 1 ) 1. Per m < n bbimo T y 2 n T y m = (T y n λ n y n ) T y m +λ n y n, con n z nm = (T y n λ n y n ) T y m = ( c n n j T x j λ n c n j x j ) T y m = j=1 n n m = ( c n j λ j x j c n j λ n x j ) c m j T x j = j=1 j=1 j=1 n 1 = ( c n n 1 m j λ j x j c n j λ n x j ) c m j λ j x j, j=1 j=1 j=1 14

23 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti che quindi pprtiene E n 1. Per n bbstnz grnde si vrà: T y n T y m E = λ n y n + z nm E = λ n y n + z nm E λ n d(y n, E n 1 ) λ n 2 λ 4. D questo segue che {T y n } non può vere un sottosuccessione convergente, in contrddizione col ftto che T si comptto. Corollrio Si T L(E) comptto con S = T λi e λ 0, llor il nucleo di S (e quindi l utospzio di T reltivo λ) h dimensione finit. Teorem Si T L(E) comptto, llor lo spettro σ(t ) è un sequenz di punti, diversi d 0, che hnno come unico limite possibile il punto 0; nel qul cso nche 0 σ(t ). I punti dell successione sono utovlori di molteplicità finit. Dimostrzione. Innnzitutto fccimo vedere che se λ σ(t ), λ 0, llor λ è un utovlore. Mostreremo quindi che se λ 0 non è un utovlore llor T λi è invertibile. Si E n = R(T λi) n, provimo che E n è chiuso: poiché (T λi) n = = ( 1) n 1 ( n h=1 ( n h n h=1 ) λ n ( ) n T h ( 1) n h λ n h + ( 1) n λ n I = h T h ( 1) h 1 λ n h λ n I ) = ( 1) n 1 (G λ n I), dove G è un opertore comptto, dto che somm e prodotto di opertori comptti sono opertori comptti. Dunque E n = R(G λ n I) è chiuso per l proposizione Vle inoltre: E 0 E 1 E 2... Osservimo che esiste un intero n tle che E n = E n+1, perchè se così non fosse potremmo trovre, per ogni n, un x n E n tle che d(x n, E n+1 ) 1 2 e x n E = 1. Avremmo quindi che per m > n T x n T x m = (T λi)x n (T λi)x m λx m + λx n = y + λx n con y E n+1. M llor T x n T x m E d(λx n, E n+1 ) λ, il che 2 contrddice l compttezz dell opertore T. Quindi vle definitivmente E n = E n+1, e questo implic che E n 1 = E n. Inftti, si x E n 1 ; esiste y E tle che: x = (T λi) n 1 y, e dunque : (T λi)x = (T λi) n y E n = E n+1. 15

24 Cpitolo Teori spettrle degli opertori comptti Esiste quindi z tle che (T λi)x = (T λi) n+1 z; m (T λi) è iniettivo perché λ non è un utovlore di T ; quindi x = (T λi) n z E n, d cui E n 1 = E n. Proseguendo in questo modo ottenimo che E 1 = E 0 e che infine R(T λi) = E, ossi T λi è nche surgettivo come volevmo dimostrre. In conclusione simo rrivti dire che ogni elemento non nullo di σ(t ) è un utovlore; per l proposizione , ognuno di essi h molteplicità finit; e 0 è l unico punto limite possibile degli utovlori di T. Corollrio Se T è comptto e T λi è iniettivo, llor T λi è nche surgettivo. Proposizione Si E uno spzio normto e si T L(E) comptto e iniettivo. Allor 0 ρ(t ) se e solo se E h dimensione finit. Dimostrzione. Se E h dimensione finit ogni opertore linere d E in E è continuo e comptto, quindi l iniettività ssicur l surgettività e l continuità dell opertore inverso, per cui 0 st nell insieme risolvente ρ(t ). Vicevers se 0 ρ(t ) llor T è nche surgettivo e T 1 L(E), per cui, dto che l composizione di due opertori comptti è un opertore comptto, I = T 1 T è comptto e quindi E h dimensione finit. Corollrio Se E è uno spzio normto di dimensione infinit e T L(E) è un opertore comptto, llor 0 pprtiene llo spettro σ(t ). 16

25 Cpitolo 2 Opertori tr spzi di Hilbert Lo scopo di questo cpitolo è quello di studire le proprietà degli opertori comptti d uno spzio di Hilbert in sé, e di introdurre un ltr clsse di opertori, detti utoggiunti, trmite i quli potremo studire il teorem spettrle negli spzi di Hilbert. 2.1 Sistemi ortonormli Ricordimo l definizione di spzio di Hilbert e di spzio seprbile: Definizione Uno spzio di Hilbert è uno spzio di Bnch in cui l norm è indott d un prodotto sclre. Definizione Uno spzio topologico E si dice seprbile se esiste un sottoinsieme D numerbile e denso in E. In questo prgrfo cercheremo di scrivere ogni elemento di uno spzio di Hilbert come combinzione linere di elementi di un bse fisst. Definizione Un fmigli {x α } α A di elementi di uno spzio di Hilbert H si chim sistem ortonormle se: 1 se α = β (x α, x β ) H = δ αβ = α, β A. 0 se α β {x α } α A è detto completo se (x, x α ) H = 0 per ogni α implic che x = 0. Un bse ortonormle è un sistem ortonormle completo. Esempio (1) {e 1,..., e N } è un bse ortonormle per R N. (2) Il sistem trigonometrico 1 2π, 1 π cos nx, 1 + sin nx; n N π 17

26 Cpitolo Sistemi ortonormli è un bse ortonormle per L 2 ( π, π). Un ppliczione del Lemm di Zorn ci permette di dimostrre l seguente: Proposizione Ogni spzio di Hilbert H {0} h un bse ortonormle. Proposizione In uno spzio di Hilbert seprbile un bse ortonormle {x α } α A è l più numerbile. Dimostrzione. x α x β = 1 2 per ogni α β, dunque le plle B(x α, 2 ) sono tutte disgiunte. Si D un insieme numerbile denso in H, llor A è 1 numerbile perché ogni pll B(x α, 2 ) contiene un elemento di D. Dimostrimo or un importnte risultto: Proposizione (disuguglinz di Bessel). Si {x α } α A un sistem ortonormle in uno spzio di Hilbert H. Allor: (i) per ogni x H l insieme E x = {α A : (x, x α ) H 0} è l più numerbile; (ii) risult: α E x (x, x α ) H 2 x 2 H. Dimostrzione. (i) Si E x,p = {α A : (x, x α ) H > 1 }, si h llor che p E x = p N +E x,p. E x,p h crdinlità finit; se così non fosse, scegliendo x α1,..., x αn E x,p con N sufficientemente grnde si rriv d un ssurdo; inftti: 0 N x 2 N N (x, x αk ) H x αk = x 2 H + (x, x αk ) H 2 2 (x, x αk ) H 2 = k=1 H k=1 N = x 2 H (x, x αk ) H 2. k=1 Poiché gli α k pprtengono E x,p si h: N p 2 N k=1 (x, x αk ) H 2 x 2 H con N rbitrrio, m questo è impossibile. (ii) Si {α n } n N = E x. Per qunto visto, per ogni N N, si h: per N si ottiene l tesi. N (x, x αk ) H 2 x 2 H; k=1 18 k=1

27 Cpitolo Sistemi ortonormli Come bbimo visto, dto un sistem ortonormle {x α } α A su uno spzio di Hilbert H non seprbile, l insieme degli indici α tli che (x, x α ) H 0 è l più numerbile; di conseguenz per ogni x H l serie (x, x αi ) H x αi converge. Inftti dll disuguglinz di Bessel si h che: N M 2 N (x, x αn ) H x αn (x, x αn ) H x αn = (x, x αn ) H 2 < ɛ n=0 n=0 H n=m+1 per N > M > M ɛ, ed essendo { N n=0 (x, x αn ) H x αn } un successione di Cuchy, ess converge in H. Definizione Si H uno spzio di Hilbert, si {x α } α A un sistem ortonormle completo in H e si x H. Detti α n gli indici tli che (x, x αn ) H 0, i numeri (x, x αn ) H si dicono coefficienti di Fourier di x, e l serie n=0 (x, x αn ) H x αn si dice serie di Fourier di x. Teorem Si H uno spzio di Hilbert e si {x α } α Ex ortonormle. Sono ftti equivlenti: (i) {x α } è completo; (ii) {x α } = 0; (iii) vle l identità di Bessel: (x, x α ) H 2 = x 2 H x H; α E x (iv) vle l identità di Prsevl: (x, y) H = (x, x α ) H (y, x α ) H x, y H; α E x E y un sistem (v) per ogni x H l serie di Fourier di x, α E x (x, x α ) H x α, converge in H e l su somm è x. Dimostrzione. (i) (ii) è un ovvi conseguenz dell definizione di sistem ortonormle completo. (v) (ii) Se x {x α }, llor: x = (x, x α ) H x α = 0 x α = 0. α E x α E x (ii) (v) Che l serie di Fourier di x converg in H bbimo visto essere un conseguenz dell disuguglinz di Bessel, dobbimo provre che l su somm è x. Supponimo quindi che l serie converg d un elemento z. Per ogni rbitrrio β E x e per l continuità del prodotto sclre si h: Ñ é (z, x β ) H = (x, x α ) H x α, x β = (x, x α ) H (x α, x β ) H = (x, x β ) H α E x α E x H 19

28 Cpitolo Opertori utoggiunti per cui z x {x α }, e quindi z = x. (iii) (v) è conseguenz dell seguente uguglinz: per ogni x H, per ogni N N + e per ogni α 1,..., α N E x N x 2 N (x, x αn ) H x αn = x 2 H (x, x αn ) H 2. n=1 H n=1 (iv) (iii) L identità di Bessel si ottiene d quell di Prsevl ponendo x = y. (iii) (iv) Spendo che vle: x + y 2 H = x 2 H + y 2 H + 2Re(x, y) H e nche: x + y 2 H = (x, x α ) H + (y, x α ) H 2 = α E x E y = (x, x α ) H 2 + (y, x α ) H 2 + 2Re (x, x α ) H (y, x α ) H, α E x α E y α E x E y si ricv Re(x, y) H = Re Ä α E x E y (x, x α ) H (y, x α ) H ä. Per l prte immginri si oper in mnier nlog considerndo x + iy. Completimo quest sezione enuncindo il noto teorem di rppresentzione di Riesz. Teorem (teorem di Riesz). Si H uno spzio di Hilbert e si H il suo spzio dule, llor per ogni ϕ H esiste un unico z H tle che: (i) ϕx = (x, z) H per ogni x H, (ii) z H = ϕ H. Osservzione L ppliczione j : H H, definit d j(ϕ) = z, è un isomorfismo isometrico tr H e H; j è in prticolre surgettiv perché, dto z H, si h j(ϕ) = z con ϕx = (x, z) H. 2.2 Opertori utoggiunti Nell definizione bbimo introdotto l nozione di opertore ggiunto. Nel cso di uno spzio di Hilbert quest nozione v precist. Poiché H e H sono isomorfi, spesso tli spzi vengono identificti confondendo l elemento z H con il funzionle x (x, z) H di H. Ciò semplific molti discorsi, m comport un modific nell definizione dell ggiunto di un opertore 20

29 Cpitolo Opertori utoggiunti T L(H). Si j : H H l isomorfismo cnonico fornito dl teorem (teorem di rppresentzione di Riesz), vle: Se T L(H), si h T L(H ) e ϕx = (x, j(ϕ)) H x H, ϕ H. (x, j(t ϕ)) H = (T ϕ)x = ϕ(t x) = (T x, j(ϕ)) H x H, ϕ H, ossi, posto y = j(ϕ), (x, jt j 1 y) H = (T x, y) H x, y H. Ciò premesso, nel cso di opertori T L(H), è consuetudine identificre l opertore ggiunto T L(H ) con l opertore jt J 1 L(H). Pertnto: Definizione Si T L(H). L opertore ggiunto di T si indic con T L(H), ed è crtterizzto dll relzione: (T x, y) H = (x, T y) H x, y H. Osservzione Con l identificzione sopr descritt, le proprietà dell opertore ggiunto in uno spzio di Hilbert sono le stesse espresse nell proposizione 1.2.3; l unic importnte differenz è che, qundo lo spzio di Hilbert è complesso, l ppliczione d L(H) in sé definit dll mpp T T è ntilinere, poiché: (αt ) = αt α C. Definizione T L(H) è detto utoggiunto (o hermitino) se T = T, cioè se verific: (T x, y) H = (x, T y) H x, y H. Esempio Si T : C n C m un opertore linere. Se T si rppresent con un mtrice { ij } m n rispetto ll bse cnonic, l ggiunto T si rppresent con l mtrice trspost coniugt { ji }; in prticolre T : C n C n è utoggiunto se e solo se l mtrice { ij } è rele e simmetric, quindi gli utovlori di un opertore utoggiunto sono reli. 21

30 Cpitolo Il teorem spettrle 2.3 Il teorem spettrle Il nostro obiettivo è quello di dimostrre che in uno spzio di Hilbert H esiste un bse ortonormle compost solo d utovettori di un opertore comptto e utoggiunto T in L(H). Ci servirà l nozione di convergenz debole: Definizione Si E uno spzio normto e si {x n } E. Dicimo che {x n } converge debolmente d un elemento x E se vle F x n F x in R per ogni funzionle F E. In tl cso si scrive x n x. Osservzione Si vede fcilmente, come conseguenz dell disuguglinz di Bessel, che se {x n } è un bse ortonormle per uno spzio di Hilbert H, llor x n 0. Proposizione Si H uno spzio di Hilbert e si T L(H). Allor T è comptto se e soltnto se per ogni {x n } H tle che x n x in H risult T x n T x in H. Come dirett conseguenz enuncimo l seguente: Proposizione Si H uno spzio di Hilbert e si T L(H). Allor T è comptto se e soltnto se per ogni {x n } H tle che x n x in H risult (T x n, x n ) H (T x, x) H. Anlizzimo desso l struttur dello spettro degli opertori comptti e utoggiunti in uno spzio di Hilbert. Lemm Si H uno spzio di Hilbert e si T L(H) un opertore utoggiunto. Allor: (i) gli utovlori di T sono reli; (ii) utovettori reltivi d utovlori distinti sono tr loro ortogonli. Dimostrzione. (i) Se T x = λx con x 0, llor λ x 2 H = (T x, x) H = (x, T x) H = λ x 2 H, e quindi λ R. (ii) Se T x = λx e T x = λ x con x,x 0 e λ λ, llor λ(x, x ) H = (T x, x ) H = (x, T x ) H = λ (x, x ) H = λ (x, x ) H, per cui x e x sono ortogonli. 22

31 Cpitolo Il teorem spettrle Lemm Si T un opertore comptto e utoggiunto nello spzio di Hilbert H, llor lmeno uno tr i due numeri ± T L(H) è un utovlore di T. Dimostrzione. Se T = 0 llor ogni x 0 è utovettore reltivo ll utovlore 0. Supponimo T 0 e sceglimo {x n } tle che x n H = 1 e T x n H T L(H). Allor quindi: di conseguenz 0 (T 2 x n T x n 2 Hx n, T 2 x n T x n 2 Hx n ) H = = T 2 x n 2 H 2 T x n 4 H + T x n 4 H T 2 L(H) T x n 2 H T x n 4 H 0; T 2 x n T x n 2 Hx n 0, T 2 x n T 2 L(H)x n 0. Essendo T 2 comptto, esiste {x n } {x n } tle che T 2 x n converge. Poiché T 2 x n T 2 L(H) x n 0 possimo concludere, essendo T 0, che x n è convergente per qulche x H con x H = 1. M, bbimo quindi: T 2 x T 2 L(H)x = lim(t 2 x n T 2 L(H)x n ) = 0, (T + T L(H) I)(T T L(H) I)x = 0. Se (T T L(H) I)x = 0, x è un utovettore di T reltivo ll utovlore T L(H) ; ltrimenti (T T L(H) I)x è un utovettore di T reltivo ll utovlore T L(H). Introducimo or il teorem che st ll bse di questo cpitolo: Teorem (teorem spettrle). Si T L(H) un opertore comptto e utoggiunto nello spzio di Hilbert H. (i) Se l immgine dell opertore T h dimensione finit n, llor T possiede n utovlori reli λ 1,..., λ n diversi d 0 (non necessrimente distinti), più l utovlore 0 qundo dim H > n, ed esiste un sistem ortonormle {x 1,..., x n } di utovettori reltivi i λ i, tle che n T x = λ i (x, x i ) H x i x H; 23

32 Cpitolo Il teorem spettrle vle inoltre: {λ i } 1 i n se dim H = n, σ(t ) = {λ i } 1 i n {0} se dim H > n. (ii) Se l immgine di T h dimensione infinit, llor T possiede un infinità numerbile di utovlori reli {λ i } i N +, diversi d 0 (non tutti necessrimente distinti), tli che λ i λ i+1 per ogni i N + e λ i 0 per i, ed esiste un sistem ortonormle {x i } i N + di utovettori reltivi i λ i, tle che T x = λ i (x, x i ) H x i x H; vle inoltre: σ(t ) = {λ i } i N + {0}. In prticolre, ogni utovlore di T h molteplicità finit e il sistem ortonormle {x i } è completo in H (cioè è un bse ortonormle di H) se e solo se 0 non è utovlore di T. Dimostrzione. Per T = 0 si h che n = 0 e l unico utovlore di T è 0, quindi gli enunciti sono bnlmente veri. Si T 0. Come giustificto dl lemm si dunque λ 1 R un utovlore di T con λ 1 = T L(H) e si x 1 un corrispondente utovettore di norm unitri. Chimimo M 1 il sottospzio generto d x 1 e notimo che il sottospzio M1 è invrinte per T perché: y M 1 (T y, x 1 ) H = (y, T x 1 ) H = λ 1 (y, x 1 ) H = 0 T y M 1. Si h llor che l restrizione T M 1 è un opertore comptto e utoggiunto nello spzio di Hilbert M1. Sempre grzie l lemm esiste un utovlore λ 2 R con λ 2 = T L(M 1 ) λ 1 e un suo corrispondente utovettore x 2 di norm unitri. Si M 2 il sottospzio generto d M 1 e x 2 ; M2 è ncor invrinte per T, e quindi l restrizione T M 2 è un opertore comptto e utoggiunto nello spzio di Hilbert M2. Iterndo in questo modo il procedimento si hnno due possibilità: 1. Se l dimensione dell immgine di T è finit, llor esiste n N + tle che T M n = 0; se dim H = n questo signific che Mn = {0}, se invece dim H > n llor Mn = ker T, cioè tle sottospzio è generto d utovettori reltivi ll utovlore 0; 2. Se l dimensione dell immgine di T è infinit, llor esiste un successione {λ i } i N + R tle che λ i è utovettore non nullo di T e λ i λ i+1 per 24

33 Cpitolo Il teorem spettrle ogni i N +. Inoltre λ i 0 per i, inftti i corrispondenti utovettori x i formno un sistem ortonormle e quindi, in virtù dell osservzione 2.3.2, convergono debolmente 0 in H; dto che T è comptto, T x i = λ i 0, grzie ll proposizione D qunto detto segue in prticolre che ogni utovlore h molteplicità finit. Provimo or che vle l formul di rppresentzione; per qunto rigurd il cso 1 l verific è bnle: n n n T x = (T x, x i ) H x i = (x, T x i ) H x i = λ i (x, x i ) H x i x H. Per l verific nel cso 2 prendimo x H e ponimo y i = x i j=1 (x, x j ) H x j. Dto che y i Mi si vrà T y i H λ i+1 y i H ; essendo: i y i 2 H = x 2 H (x, x j ) H 2 x 2 H i N +, j=1 si h T y i H λ i+1 x H 0 per i. Osservndo che si ottiene per i i i T y i = T x (x, x j ) H T x j = T x λ j (x, x j ) H x j, j=1 j=1 T x = λ i (x, x i ) H x i x H. Adesso fccimo vedere che T non h ltri utovlori λ 0 distinti di λ i ; inftti, se x 0 fosse un utovettore di norm unitri reltivo λ, per il lemm vremmo che: λx 0 = T x 0 = i λ i (x 0, x i ) H x i = 0, e cioè x 0 = 0 che è ssurdo. Prendimo or λ C {0} distinto di λ i e fccimo vedere che λ ρ(t ). Non è escluso che 0 si utovlore di T : visto che T è utoggiunto risult che l chiusur dell immgine di T è l ortogonle di ker T. Si y H; l equzione λx T x = y si scrive nel modo seguente: (λ λ i )(x, x i ) H x i + λp ker T x = (y, x i ) H x i + P ker T y. i i 25

34 Cpitolo Il teorem spettrle d cui segue: (λ λ i )(x, x i ) H = (y, x i ) H i, λp ker T x = P ker T y. Dunque l equzione λx T x = y h come unic soluzione: x = i posto d = min i λ λ i, vle d > 0 e x 2 H = i (y, x i ) H λ λ i x i + 1 λ P ker T y; (y, x i ) H 2 λ λ i + P ker T y 2 H 2 λ 2 Ç 1 d + 1 å y 2 2 λ H; 2 quindi λ ρ(t ). Si h dunque l tesi in virtù del corollrio Si T L(H) un opertore comptto e utoggiunto nello spzio di Hilbert H, sino {λ i } gli utovlori di T e {x i } l corrispondente bse ortonormle di utovettori. Fissto y H voglimo risolvere l equzione T x λ i0 x = y, dove λ i0 è un utovlore di T. Sussiste l seguente lterntiv, not nell lettertur mtemtic come lterntiv di Fredholm: Teorem Nelle ipotesi precedenti vle: (i) se λ i0 0, llor l equzione dt h le infinite soluzioni: x = (y, x i ) H x i + ξ, ξ ker(t λ i0 I), (2.1) λ i λ i0 λ i λ i0 se e solo se y (ker(t λ i0 I)). (ii) Se λ i0 = 0, llor l equzione dt h le infinite soluzioni: x = λ i 0 (y, x i ) H λ i x i + ξ, ξ ker T, (y,x i ) H 2 λ 2 i se e solo se y (ker T ) verific λi 0 <. (iii) Se λ i0 R e se y / (ker(t λ i0 I)), llor l equzione dt non h soluzioni. Dimostrzione. (i) Si λ i0 0 e si {x ij } j=1,...,m {x i } i N un bse di ker(t λ i0 I). Allor essendo T x = λ i (x, x i ) H x i, l equzione T x λ i0 x = y si scrive: λ i (x, x i ) H x i λ i0 (x, x i ) H x i = (λ i λ i0 )(x, x i ) H x i = (y, x i ) H x i. 26

35 Cpitolo Il teorem spettrle Dunque: (λ i λ i0 )(x, x i ) H = (y, x i ) H i N +, (2.2) e in prticolre deve essere (y, x i ) = 0 per i = i 1,..., i m, mentre per λ i λ i0 : (x, x i ) H = (y, x i) H λ i λ i0. Quindi le soluzioni dell equzione T x λ i0 x = y sono tutti e soli i vettori dell form (2.1). (ii) Se λ i0 = 0, vle qunto detto, m ffinché x = (x,x i ) H λi 0 λ i x i H è ovvimente necessrio che λi 0 (iii) è ovvi conseguenz di (2.2). (x,x i ) 2 λ 2 i <. Osservimo infine che l rppresentzione fornit dl teorem spettrle crtterizz gli opertori comptti e utoggiunti, come mostr l seguente: Proposizione Si H uno spzio di Hilbert e si T L(H) definito d: T x = λ i (x, x i ) H x i x H, i dove l somm può essere si finit che infinit, {λ i } è un fmigli di numeri reli tli che λ i λ i+1 con λ i 0 e {x i } è un sistem ortonormle in H l più numerbile. Allor T è un opertore comptto e utoggiunto, i λ i sono i suoi utovlori non nulli e gli x i i corrispondenti utovettori. Dimostrzione. T è utoggiunto perchè vle (T x, y) H = (x, T y) H per ogni x, y H. Dimostrimo che T è nche comptto: prendimo {y n } H successione tle che y n y H; llor vle: T (y n y) = λ i (y n y, x i ) H x i. i Dto che λ i 0, per ogni ε > 0 esiste ν N + tle che λ i < ε per ogni i > ν. Vle inoltre che lim n (y n y, x i ) H = 0 per i = 1,..., ν; dunque dll disuguglinz di Bessel (proposizione 2.1.7) e dll ortonormlità degli {x i } si ottiene: ν lim sup T (y n y) 2 H lim sup λ i 2 (y n y, x i ) H 2 + n n + lim sup ε 2 (y n y, x i ) H ε 2 sup y n y 2 H, i>ν n grzie ll rbitrrietà di ε bbimo che T y n T y. In virtù dell proposizione si h l tesi. 27

36 Cpitolo 3 Problemi i limiti di Sturm-Liouville Lo scopo di questo cpitolo è quello di pplicre l teori spettrle degli opertori per dre un rppresentzione delle soluzioni di un prticolre problem detto problem di Sturm-Liouville, ossi lo studio di equzioni differenzili ordinrie con certe condizioni l contorno. 3.1 L opertore differenzile Si M un opertore differenzile del secondo ordine su [, b]: Mu = αu + βu + γu, u C 2 [, b], (3.1) dove α, β e γ sono funzioni reli continue in x, con α(x) 0. Dll teori delle equzioni differenzili è noto il seguente risultto: Teorem Dt f C[, b] e due sclri A, B C, nelle ipotesi precedenti il problem di Cuchy h un unic soluzione u C 2 [, b]. Mu = f in [, b] u() = A u () = B Un opertore come quello introdotto precedentemente può essere sempre semplificto e scritto nell form: Lu = (pu ) + qu, (3.2) 28

37 Cpitolo L opertore differenzile con p C 1 [, b], q C[, b] e p > 0 in [, b]; inftti, moltiplicndo l equzione Mu = f per l funzione 1 Ç å x α(x) exp β(ξ) α(ξ) dξ, e ponendo: Ç å x β(ξ) p(x) = exp α(ξ) dξ, q(x) = γ(x) Ç å x α(x) exp β(ξ) α(ξ) dξ, si ricv fcilmente 1 Ç å x α(x) exp β(ξ) α(ξ) dξ Mu = pu u p + qu = (pu ) + qu, e dunque, Mu = f se e solo se Ç å x β(ξ) Lu = f(x)α(x) exp α(ξ) dξ. In questo modo lo studio delle equzioni differenzili del secondo ordine, coefficienti reli, può essere ricondotto llo studio di opertori differenzili dell form (3.2). Considerimo desso l equzione di Sturm-Liouville: Lu = f, con L opertore del tipo (3.2) e u soggett condizioni gli estremi diverse d quelle di Cuchy, srà perciò necessrio restringere il dominio di L. Definimo dunque dove D = {u C 1 [, b] : ( pu ) L 2 (, b), B 1 u = B 2 u = 0}, B 1 u = α 1 u() + β 1 u (), B 2 u = α 2 u(b) + β 2 u (b), e α 1, α 2, β 1, β 2 sono costnti reli tli che α 1 + β 1 > 0, α 2 + β 2 > 0. Osservzione Possimo vedere L come un trsformzione linere L : D L 2 (, b) L 2 (, b). L scelt delle condizioni l contorno B 1 e B 2 rende L utoggiunto nello spzio di Hilbert L 2 (, b): risult inftti, integrndo due volte per prti e ricordndo che p e q sono funzioni reli, (Lu, v) L 2 (,b) = ( (pu ) + qu)v dx = 29

38 Cpitolo L opertore differenzile = [ p(u v uv )] b + Or notimo che [ p(u v uv )] b = 0, cioè: u( (pv ) + qv)dx = (u, Lv) L 2 (,b) u, v D. p(b)[u (b)v(b) u(b)v (b)] + p()[u ()v() u()v ()] = 0; inftti il rispetto delle condizioni l contorno: B1 u = α 1 u() + β 1 u () = 0 B 1 v = α 1 v() + β 1 v () = 0, implic l nnullrsi del determinnte u()v () u ()v() del sistem. Chimeremo utofunzioni di L gli utovettori di L, cioè le funzioni u D tli che Lu = λu per qulche utovlore λ. Proposizione Si L l opertore definito in D L 2 (, b) dll equzione (3.2). Allor: (i) gli utovlori di L sono reli; (ii) utofunzioni corrispondenti d utovlori distinti sono ortogonli; (iii) gli utovlori di L formno un insieme l più numerbile. Dimostrzione. Gli enunciti (i) e (ii) si dimostrno come nel lemm Per dimostrre l enuncito (iii) osservimo che se l insieme degli utovlori fosse più che numerbile, llor lo spzio di Hilbert seprbile L 2 (, b) possiederebbe un sistem ortonormle di utovettori più che numerbile; questo è ssurdo per l proposizione Dimostrimo desso un importnte risultto: Proposizione Si L l opertore definito in D L 2 (, b) dll equzione (3.2). Allor gli utovlori di L formno un successione inferiormente limitt. Dimostrzione. Si u D un utofunzione reltiv ll utovlore λ, con u L 2 (,b) = 1. Si h: λ =λ u 2 L 2 (,b) = (Lu, u) L 2 (,b) = = p(b)u (b)u(b) + p()u ()u() + [ (pu ) + qu]u dx = (p u 2 + q u 2 )dx. Il nostro scopo è quello di minorre gli ddendi dell ultimo membro. Notimo che essendo u un funzione continu in [, b], h minimo positivo in un punto z [, b]: poiché u L 2 (,b) = 1, si h 1 = u(x) 2 dx (b ) u(z) 2, 30

39 Cpitolo L opertore differenzile cosicché dobbimo vere u(z) = min u(x) 1. x [,b] b Di conseguenz, grzie ll disuguglinz di Cuchy-Schwrz, ottenimo: z u(x) u(x) u(z) + u(z) = u (y) dy + u(z) x 1 b u (y) 2 dy + x [, b]. b Notimo desso che se u() = 0 oppure u () = 0, vle p()u ()u() = 0; ltrimenti, se u()u () 0, dll condizione B 1 u = 0 ottenimo β 1 0, dunque: p()u α 1 ()u() p u() 2 c b Con un stim nlog: e infine: u (y) 2 dy + β 1 1 b c 1 u (y) 2 dy + c 2. p(b)u (b)u(b) c 1 u (y) 2 dy + c 2, λ p()u ()u() p(b)u (b)u(b) + min p(x) u 2 dy x [,b] c 3 u 2 dy c 4 u (y) 2 dy c 5 = = Ñ c 3 u 2 dy c 4 2 c 3 é 2 c 6 >. Osservzione Abbimo ssunto p > 0 in [, b]; se fosse p < 0 in [, b], l successione degli utovlori di L srebbe limitt superiormente. Provimo infine un ultim proprietà dell opertore di Sturm-Liouville L: Proposizione Si L l opertore definito in D L 2 (, b) dll equzione (3.2). Ogni utovlore di L h molteplicità 1. 31