Proprietà spettrali degli operatori limitati

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1 Cpitolo 3 Proprietà spettrli degli opertori limitti 3.1 Lo spettro di un opertore limitto Definizione Si A B(H). Un numero complesso λ pprtiene l risolvente ρ(a) di A se l opertore A λi è invertibile (cioè è bigettivo) e h inverso limitto. L insieme σ(a) : C\ρ(A) è detto spettro di A. Se λ ρ(a), l opertore R λ (A) (A λi) 1 è detto opertore risolvente di A in λ. Definizione Si A B(H). Si dice che un numero λ C è un utovlore di A se l equzione (A λ)x 0 mmette soluzioni non nulle. Un vettore x H che soddisf l equzione precedente è detto utovettore di A reltivo λ. Chirmente, se λ è un utovlore di A, llor λ σ(a). e lo spettro puntule σ p (A) consiste esttmente degli utovlori di A. Se λ è un utovlore di A, llor il corrispondente insieme di utovettori M λ {x H : (A λ)x 0} è un sottospzio chiuso di H. L su dimensione (finit o infinit che si) è chimt molteplicità di λ. Teorem Si A B(H). Vlgono le seguenti ffermzioni. (i) ρ(a) è un sottoinsieme perto del pino complesso. (ii) L funzione λ ρ(a) R λ (A) B(H) è un funzione nlitic in ogni componente conness di ρ(a). (iii) Per ogni λ, µ ρ(a), gli opertori R λ (A) e R µ (A) commutno e vle l relzione R λ (A) R µ (A) (λ µ)r λ (A)R µ (A).

2 32 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Dimostrzione (i): Fissimo λ 0 ρ(a) e comincimo con il considerre l serie di elementi di B(H) Si h: n+p kn+1 (λ λ 0 ) k [R λ0 (A)] k (λ λ 0 ) n [R λ0 (A)] n. (3.1) n+p kn+1 λ λ 0 k [R λ0 (A)] k n+p kn+1 λ λ 0 k [R λ0 (A)] k. Se λ λ 0 < [R λ0 (A)] 1, l serie (3.1) soddisf, perciò, l condizione del criterio di Cuchy rispetto ll norm di B(H) ed è quindi convergente. Ponimo, llor, { } X(λ, A) R λ0 (A) I + (λ λ 0 ) n [R λ0 (A)] n. Clcolimo X(λ, A)(A λi). Tenendo conto dell continuità dell moltipliczione rispetto ll norm di B(H) si h { } X(λ, A)(A λ) R λ0 (A) I + (λ λ 0 ) n [R λ0 (A)] n (A λi) R λ0 (A) { { I + R λ0 (A) + } (λ λ 0 ) n [R λ0 (A)] n ((A λ 0 I) (λ λ 0 )I) } (λ λ 0 ) n [R λ0 (A)] n+1 ((A λ 0 I) (λ λ 0 )I) I + (λ λ 0 ) n [R λ0 (A)] n (λ λ 0 )R λ0 (A) (λ λ 0 ) n+1 [R λ0 (A)] n+1 I. Quindi (A λ) 1 esiste e (A λ) 1 X(λ, A). In conclusione, se λ 0 ρ(a), tutti i λ tli che λ λ 0 < [R λ0 (A)] 1 pprtengono l risolvente. Dunque ρ(a) è perto. (ii): Come dimostrto nel punto precedente, l funzione λ R λ (A) si può esprimere in un intorno di un punto λ 0 ρ(a) medinte un serie di potenze in λ λ 0. Ess è, quindi, nlitic. (iii): Si h per λ, µ ρ(a), R λ (A) R µ (A) R λ (A)(A µi)r µ (A) R λ (A)(A λi)r µ (A) R λ (A)(A µi A + λi)r µ (A) (λ µ)r λ (A)R µ (A). Quest stess uguglinz mostr che R λ (A) ed R µ (A) commutno. Lemm Se λ > A, llor λ ρ(a) e vle il seguente sviluppo in serie, detto di Neumnn: R λ (A) 1 ( ) A n. λ λ n0 Dimostrzione Si h: n+p kn+1 A k λ k n+p kn+1 A k λ k n+p kn+1 A k λ k.

3 3.1. Lo spettro di un opertore limitto 33 Dll ipotesi λ > A segue che l serie n0 soddisf l condizione del criterio di Cuchy ed è, perciò, convergente in B(H). Si X λ l su somm. Si h, llor, (A λi) 1 λ X λ 1 λ (A λi) ( ) n A λ n0 A n+1 λ n+1 + A n λ n I. Corollrio Si A B(H). Allor σ(a) {λ C : λ A }. Corollrio Si A B(H). Risult A n λ n n0 lim R λ(a) 0. λ Dimostrzione Se λ > η > A, dll dimostrzione del lemm precedente segue che n0 R λ (A) 1 λ n0 A n η n 1 λ η η A 0, per λ +. Proposizione Si A B(H). Lo spettro di A, σ(a), non è vuoto. Dimostrzione Se lo fosse, l funzione risolvente λ R λ (A) srebbe nlitic sull intero pino complesso. In prticolre, esisterebbe A 1 B(H). Per il corollrio 3.1.6, l funzione risolvente srebbe nche limitt sull intero pino. Il teorem di Liouville implicherebbe, llor, ess dovrebbe essere costntemente null. Questo è impossibile perché R 0 (A) A 1. Esercizio Si consideri l opertore di moltipliczione T g studito nell Esempio 2.1.3, con g C(I). Si dimostri che σ(t g ) g(i). Si consideri poi l opertore di moltipliczione T g studito nell Esercizio 2.1.4, con g L (I). Indict con m l misur di Lebesgue in [0, 1], si provi che in questo cso σ(t g ) coincide con l immgine essenzile Im ess (g) di g, dove Im ess (g) {λ C : m{x I : g(x) λ < ɛ} > 0, ɛ > 0}. Definizione Si A B(H). Il rggio spettrle r(a) di A è definito d r(a) sup{ λ ; λ σ(a)}. Teorem Si A B(H). Si h r(a) lim n An 1/n. Di conseguenz, r(a) A. Se A A, llor r(a) A

4 34 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Dimostrzione Ponimo ν inf{ A n 1/n : n N}; proveremo che ν lim n A n 1/n. Si ɛ > 0; llor esiste m N tle che A m 1/m < ν + ɛ. Per n > m si può scrivere n pm + q con 0 q m 1. Poiché q/n 0, risult pm/n 1. Quindi Questo implic che lim sup n A n 1/n A pm+q 1/n A m p/n A q/n < (ν + ɛ) pm/n A q/n. A n 1/n < lim sup(ν + ɛ) pm/n A q/n lim (ν + n n ɛ)pm/n A q/n ν + ɛ; per l rbitrrietà di ɛ, ottenimo lim sup A n 1/n ν. n D ltr prte, per ogni n N, ν A n 1/n ; quindi, ν lim inf n A n 1/n. In conclusione, lim n An 1/n ν. Con un semplice dttmento dei noti teoremi sulle serie di potenze l cso di serie coefficienti in un spzio di Bnch, si vede che l serie h rggio di convergenz R pri R λ (A) 1 λ n0 ( ) n A λ lim sup A n 1/n lim n n An 1/n, nel senso che ess converge per λ > R e non converge per λ < R. Quindi r(a) lim n A n 1/n. D ltr prte se fosse r(a) < lim n A n 1/n, ogni η C con r(a) < η < lim n A n 1/n pprterrebbe ρ(a); in tutt le regione λ > r(a), l funzione f(λ) R λ (A) mmetterebbe sviluppo di Lurent convergente; in ltre prole, l corrispondente serie di Neumnn R η (A) n0 A n η n+1 dovrebbe essere convergente dunque in un punto che h modulo minore del suo rggio di convergenz. Il che è impossibile. Se A è simmetrico, llor A 2 A 2 e A 2k A 2k. Quindi, r(a) lim k A 2k 1/2k A Esempio Si I [, b]. Si K(x, y) un funzione misurbile e limitt nel tringolo y x b. Nello spzio L 2 (I) considerimo l opertore (di Volterr di II tipo) definito d (A K f)(x) K(x, y)f(y)dy, f L 2 (I). L funzione K(x, y) è dett nucleo integrle dell opertore A K. Un semplice ppliczione dell disuguglinz di Schwrz mostr che A K f L 2 (I) per ogni f L 2 (I) e che A K è limitto (si ved l sezione 3.2.3). Il nostro scopo è di clcolre il rggio spettrle di A K. Prim di procedere notimo che se K 1 (x, y)

5 3.1. Lo spettro di un opertore limitto 35 e K 2 (x, y) sono due nuclei integrli di questo tipo, il prodotto degli opertori A K1 e A K2 si può esprimere nch esso medinte un nucleo integrle. Per il teorem di Fubini, si h, inftti (A K1 A K2 f)(x) Se si pone si h K 1 (x, y)(a K2 f)(y)dy ( y ) K 1 (x, y) K 2 (y, z)f(z)dz dy (K 1 K 2 )(x, z) (A K1 A K2 f)(x) z K 1 (x, y)k 2 (y, z)dy, (K 1 K 2 )(x, z)f(z)dz. ( ) f(z) K 1 (x, y)k 2 (y, z)dy dz. z K 1 K 2 si chim prodotto di convoluzione di Volterr dei due nuclei. Se K 1 K 2 : K, scriveremo, per brevità, K (2) invece di K K, etc. Sull bse di quest premess è chiro che si può scrivere (A n Kf)(x) Notimo che essendo K limitto, si h K (2) (x, z) z K (n) (x, z)f(z)dz. K 1 (x, y)k 1 (y, z)dy C2 (x z). Assumimo che si Si h llor K (n+1) (x, z) K (n) (x, z) Cn (n 1)! (x z)n 1. (3.2) z K (n) (x, y) K(y, z) dy C n+1 (n 1)! z (x y) n 1 dy Cn+1 n! (x z) n. Quindi l (3.2) è vlid per ogni n N. (A n Kf)(x) 2 ( 2 K (n) C (x, y) f(y) dy) 2n ( ((n 1)!) 2 (x y) n 1 f(y) C 2n ((n 1)!) 2 (x y) 2n 2 dy C 2n (x ) 2n 1 ((n 1)!) 2 2n 1 f 2. f(y) 2 dy ) 2 Infine integrndo tr e b, rispetto d x, si ottiene, A n Kf 2 (C(b ))2n (n!) 2 f 2 e, dunque, A n K (C(b ))n n!

6 36 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti A questo punto possimo concludere che r(a K ) 0. Un interessnte ppliczione di questo risultto rigurd l ricerc di soluzioni dell equzione integrle K(x, y)f(y)dy λf(x) g(x) dove g(x) è un fisst funzione di L 2 (I). L conclusione è che quest equzione possiede, per ogni λ 0, un e un sol soluzione in L 2 (I). Lscimo l lettore l verific di quest ffermzione. Concludimo quest sezione elencndo lcune proprietà elementri dello spettro di un opertore. Proposizione Si A B(H). Allor, σ(a ) {λ : λ σ(a)} e R λ (A ) R λ (A). Dimostrzione Entrmbe seguono fcilmente dll (c) dell Proposizione Opertori comptti C è un clsse di opertori limitti, detti comptti o nche completmente continui che condivide diverse proprietà degli opertori lineri negli spzi di dimensione finit Definizioni ed esempi Definizione Un opertore A definito nello spzio di Hilbert H si dice comptto se l immgine {Ax n } di ogni successione {x n } limitt in H contiene un sottosuccessione convergente. Indicheremo con K(H) l insieme degli opertori comptti in H. Proposizione Ogni opertore comptto è limitto; cioè K(H) B(H). Inoltre, K(H) B(H) se, e soltnto se, H è di dimensione finit. Dimostrzione Supponimo che A non si limitto. Allor, esiste un successione {x n } H tle che x n 1 e Ax n +. Dll successione {Ax n } non si può, quindi estrrre un sottosuccessione convergente. Se dimh +, l opertore I, identità di H, non è un opertore comptto. In questo cso, inftti, esiste un sistem ortonormle numerbile {e n } di vettori di H, cioè e n 1, (e n, e m ) 0, se n m. Poiché e n e m 2 (e n e m, e n e m ) e n 2 + e m 2 2 dll successione {e n } non si può estrrre lcun sottosuccessione convergente. Se, infine, dimh n < +, lo spzio H essendo isomorfo C n è loclmente comptto. Se A B(H), dt un successione limitt {x n }, nche l successione {Ax n } è limitt. D ess si può quindi estrrre un sottosuccessione convergente. Teorem Le seguenti ffermzioni sono equivlenti.

7 3.2. Opertori comptti 37 (i) A è comptto. (ii) Se x n x debolmente e y n y debolmente, llor (Ax n, y n ) (Ax, y). (iii) Se x n x debolmente, llor Ax n Ax nell norm dello spzio di Hilbert. Dimostrzione (i) (ii): Se non fosse così esisterebbe ɛ 0 tle che per infiniti vlori dell indice n, (Ax n, y n ) (Ax, y) ɛ 0. (3.3) Si può quindi trovre un sottosuccessione di {x n } che soddisf (3.3). Continuimo d indicrl con {x n }. L successione {x n } è limitt in norm (Principio di uniforme limittezz), quindi d {x n } si può estrrre un sottosuccessione {x nk } tle che {Ax nk } si convergente. Risult Ax nk Ax. Inftti visto che x nk x, debolmente, e Ax nk z si h: M (Ax nk, y) (z, y), y H. (Ax nk, y) (x nk, A y) (x, A y) (Ax, y), y H. D questo segue fcilmente che z Ax. Utilizzndo questo ftto, bbimo quindi ɛ 0 (Ax nk, y nk ) (Ax, y) (Ax nk Ax, y nk ) + (Ax, y nk y) Ax nk Ax y nk + (Ax, y nk y) 0, e quest è un contrddizione. (ii) (iii): Sppimo che se x n x debolmente, llor nche Ax n Ax debolmente. Dunque, posto v n x n x e z n Ax n Ax, si h Ax n Ax 2 (Ax n Ax, Ax n Ax) (Av n, z n ) 0. (iii) (i): Si {x n } un successione limitt in norm; senz ledere l generlità, possimo supporre che x n 1, per ogni n N. Il teorem di Bnch-Alglou grntisce che l bocci unitri di H è debolmente comptt. Quindi d {x n } si può estrrre un sottosuccessione {x nk } debolmente convergente un x dell stess bocci unitri. Allor Ax nk Ax. Dimo desso lcuni esempi. Esempio Si P il proiettore su un sottospzio M di H di dimensione finit. Allor P è comptto. Vicevers se un opertore di proiezione P è comptto llor l su immgine P H è un sottospzio di dimensione finit. Esempio Si H uno spzio di Hilbert e y, z due vettori fissti di H. L opertore Ax (x, y)z, x H è comptto. Inftti se {x n } è un successione limitt, l successione {Ax n } mmette certmente un sottosuccessione convergente, perché dll successione limitt di numeri complessi (x n, y) è possibile estrrre un sottosuccessione convergente, per il Teorem di Bolzno-Weierstrss. Esempio Generlizzndo l esempio precedente possimo ffermre che ogni opertore (di rngo finito) del tipo Ax n (x, y j )z j, con y 1,..., y n e z 1,..., z n vettori fissti di H è un opertore comptto. j1

8 38 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Definizione Un opertore A è detto di rngo finito se R(A) : AH è un sottospzio di dimensione finit di H. Se A è un opertore di rngo finito, llor esistono dei vettori y 1,..., y n e z 1,..., z n in H tli che n Ax (x, y j )z j, x H. j1 Per vederlo, supponendo che dimr(a) n, fissimo un bse di R(A), che possimo supporre ortonormle. Si ess {z 1,..., z n }. Allor esistono dei numeri complessi non tutti nulli λ 1,..., λ n, tli che n Ax λ j z j. j1 Non rest desso che scegliere i vettori y 1,..., y n in modo che (x, y j ) λ j. Lscimo l lettore di verificre che quest scelt è sempre possibile. Dll discussione precedente e dll esempio segue subito che Proposizione Ogni opertore di rngo finito è comptto Lo spzio degli opertori comptti Proposizione L insieme K(H) degli opertori comptti in H è un sottospzio chiuso in norm di B(H). Quindi K(H) è uno spzio di Bnch rispetto ll norm di B(H). Dimostrzione Sino A, B opertori comptti e {x n } un successione limitt di vettori di H. Allor esiste un sottosuccessione {x nk } tle che l successione {Ax nk } è convergente. Dll successione {x nk } si può estrrre un sottosuccessione x nkh in modo che Bx nkh si concergente. L successione {Ax nkh + Bx nkh } è, dunque, convergente. Per dimostrre che K(H) è chiuso, considerimo un successione {A n } di opertori comptti tli che A n A 0, per n, per qulche A B(H). Dobbimo dimostrre che A è comptto. Si {x n } un successione limitt di vettori di H. Indichimo con {x 1 n} un sottosuccessione di {x n } tle che A 1 {x (1) n } si convergente. Adesso estrimo d {x (1) n } un sottosuccessione {x (2) n } in modo che A 2 {x (2) n successioni {x (k) n } e così vi. Ponimo y n x (n) n. Poiché {y n } è un sottosuccessione di ognun delle }, per ogni k fissto {A k y n } è convergente. Si ɛ > 0 e k sufficientemente grnde perché si A A k < ɛ e prendimo N così grnde che risulti A k y n A k y n+p < ɛ per ogni n > N, p > 0. Allor, Ay n Ay n+p (A A k )(y n y n+p ) + A k (y n y n+p ) (2M + 1)ɛ dove M sup x n. L successione {Ay k } è quindi di Cuchy e, perciò, convergente. In conclusione, A è un opertore comptto. Proposizione Se A è comptto e B è limitto, llor AB e BA sono comptti. Dimostrzione Si {x n } un successione limitt e {x nk } un sottosuccessione tle che {Ax nk } è convergente. Allor nche {BAx nk } è convergente, per l continuità di B. Anlogmente, essendo B limitto, l successione {Bx n } è limitt; quindi, d {A(Bx n )} si può estrrre un sottosuccessione convergente.

9 3.2. Opertori comptti 39 Lemm Si A B(H). Se l opertore A A è comptto, nche A è comptto. Dimostrzione Si {x n } un successione limitt ( x n C) e {x nk } un sottosuccessione tle che {A Ax nk } è convergente. Si h Ax nk Ax nh 2 (Ax nk Ax nh, Ax nk Ax nh ) (A A(x nk x nh ), x nk x nh ) A A(x nk x nh ) x nk x nh. Tenuto conto che x nk x nh 2C, concludimo che Ax nk Ax nh 2 2C A A(x nk x nh ) 0 per n, m +. Quindi l successione {Ax nk }è convergente. Proposizione Se A è comptto, nche A è comptto. Dimostrzione Se A è comptto, per l Proposizione , nche AA è comptto. M AA (A ) A. Per il Lemm , nche A è comptto. In conclusione, Proposizione K(H) è uno *-idele chiuso di B(H) Opertori integrli L proposizione ci permette di dimostrre che sono comptti lcuni tipi di opertori integrli. Considerimo lo spzio di Hilbert L 2 ([, b]). Per brevità, ponimo Q [, b] [, b] e considerimo un funzione K(x, y) L 2 (Q). Porremo ( 1/2 K 2,Q K(x, y) dxdy) 2. Q Dto che K 2,Q < +, dl teorem di Fubini segue che l integrle esiste per qusi tutti gli x [, b]. Inoltre Quindi l funzione [ K(x, y) 2 dy ] K(x, y) 2 dy dx K(x, y) 2 dxdy K 2 2,Q. Q [ k(x) ] 1/2 K(x, y) 2 dy è un elemento di L 2 ([, b]) e k 2 K 2,Q. Si desso f(x) L 2 ([, b]). L integrle K(x, y)f(y)dy

10 40 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti è definito per tutti gli x dove k(x) è finit. Mostrimo che l funzione g(x) K(x, y)f(y)dy pprtiene d L 2 ([, b]). Si h, inftti, utilizzndo l disuguglinz di Schwrz, e g 2 2 In conclusione, posto K(x, y)f(y)dy 2 K(x, y)f(y)dy (A K f)(x) K(x, y) 2 dy 2 dx K(x, y)f(y)dy, f(y) 2 dy k(x) 2 f 2 2 k 2 (x)dx f 2 2 K 2 2,Q f 2 2. f L 2 ([, b]), si definisce un opertore linere limitto in L 2 ([, b]) con l proprietà A K K 2,Q. (3.4) L funzione K(x, y), che determin l opertore A K, è detto nucleo (integrle) dell opertore. Un nucleo K(x, y) è detto di rngo finito se esistono delle funzioni ξ j, η j L 2 ([, b]), j 1,... n tli che n K(x, y) ξ j (x)η j (y). In questo cso, il corrispondente opertore A K è di rngo finito. Inftti, n (A K f)(x) K(x, y)f(y)dy ξ j (x)η j (y) f(y)dy j1 j1 n ξ j (x) j1 f(y)η j (y)dy n (f, η j )ξ j (x). j1 Osservzione Un nucleo K L 2 (Q) viene chimto nche nucleo di Hilbert-Schmidt. Teorem Per ogni nucleo K(x, y) L 2 (Q) esiste un successione {K n (x, y)} di nuclei di rngo finito tli che K K n 2,Q 0 per n +. Dimostrzione Comincimo con il porre { K(x, y) (x, y) Q : K(x, y) N K N (x, y) 0 ltrove Si h lim K(x, y) K N (x, y) 2 0. N +

11 3.2. Opertori comptti 41 Inoltre K(x, y) K N (x, y) 2 K(x, y) 2, per ogni (x, y) Q. Il teorem di convergenz domint di Lebesgue implic llor che K(x, y) K N (x, y) 2 dxdy 0. Fissto ɛ > 0, è, llor, possibile scegliere N in modo che Q K K N 2,Q < ɛ 2. L funzione K N (x, y) è sommbile in Q. Dunque è possibile trovre un successione di funzioni grdint {u N,n }, con u N,n (x, y) N, che converge qusi ovunque K N (x, y). L successione delle funzioni K N (x, y) u N,n (x, y) 2 è limitt ( K N (x, y) u N,n (x, y) 2 < 4N 2 ) e converge zero qusi ovunque. Ancor il teorem di convergenz domint di Lebesgue ci permette di dire che K N u N,n 2 2,Q K N (x, y) u N,n (x, y) 2 dxdy 0. Per n grnde bbstnz, srà dunque K N u N,n 2,Q ɛ 2. Quindi Q K u N,n 2,Q K K N 2,Q + K N u N,n 2,Q < ɛ. Per concludere, non rest che osservre che ogni funzione grdini su Q si può esprimere nell form n ξ j (x)η j (y). j1 con ξ i, η j funzioni grdini su [, b]. Teorem Per ogni nucleo K(x, y) L 2 (Q), l opertore A K definito d è comptto. (A K f)(x) K(x, y)f(y)dy, f L 2 ([, b]), Dimostrzione Intnto osservimo che A K è limite, nell norm di B(H) di un successione di opertori di rngo finito. Si, inftti, {K n } l successione di nuclei di rngo finito che pprossim K, nell norm 2,Q. Si h llor, per l (3.4), A K A Kn K K n 2,Q 0 per n. L ffermzione segue llor dll compttezz degli opertori di rngo finito e dl ftto che K(H) è chiuso nell norm di B(H). Esempio Si K(x, y) n j1 ξ j(x)η j (y) un nucleo di rngo finito. Cerchimo le condizioni su λ C per cui esistono soluzioni dell equzione integrle K(x, y)f(y)dy λf(x) g(x), g L 2 ([, b)]. (3.5)

12 42 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Possimo supporre che le funzioni ξ i sino linermente indipendenti. ( n ) b ξ j (x) η j (y)f(y)dy λf(x) g(x), o, in breve, j1 n (f, η i )ξ i λf g. (3.6) i1 Quest stess equzione ci permette di ffermre che, se λ 0, l soluzione f(x) deve vere l form Sostituendo nell (3.6), si ottiene n 1 λ g + 1 λ Cioè, i1 f(x) 1 λ g(x) + 1 λ n α i ξ i (x). i1 n α j ξ j (x), η i ξ i j1 n 1 λ (g, η i) + 1 λ i1 n α i ξ i 0. i1 n α j (ξ j, η i ) α i ξ i 0. Dto che le funzioni ξ i sono linermente indipendenti, deve essere 1 λ (g, η i) + 1 n α j (ξ j, η i ) α i, i 1, 2,... n, λ j1 j1 che ponendo β i (g, η i ), c ij (ξ j, η i ) e ricordndo che α i α j δ ij, dove δ ij indic il simbolo di Kronecker, si scrive infine n (c ij λδ ij )α j β i, i 1, 2,... n. j1 Simo quindi pervenuti d un sistem linere di n equzioni nelle n incognite α 1,..., α n. Esso mmette un e un sol soluzione se, e soltnto se, λ non si nnull il determinnte det(c ij λδ ij ) è non nullo. Come vedremo tr poco questi vlori di λ costituiscono il risolvente ρ(a K ) dell opertore A K corrispondente l nucleo K. Lo spettro di A K è costituito di λ che nnullno il determinnte det(c ij λδ ij ). Essi sono utovlori di A K. In definitiv, l equzione integrle (3.5) mmette un e un sol soluzione per ogni λ tle che det(c ij λδ ij ) L teori spettrle degli opertori comptti Il nostro intento è di studire desso le proprietà degli utovlori, se ne esistono, di un opertore comptto. L prim osservzione d fre è che se A è comptto in H con dim H, llor 0 σ(a). Inftti, in questo cso A non può vere inverso limitto. In quel che segue indicheremo con σ p (A), lo spettro puntule di A cioè l insieme degli utovlori non nulli di un opertore A

13 3.3. L teori spettrle degli opertori comptti 43 Lemm Si λ un utovlore non nullo dell opertore comptto A. Allor il sottospzio M λ di H degli utovettori reltivi λ, cioè M λ {x H : (A λ)x 0}, h dimensione finit. Dimostrzione Se così non fosse, srebbe possibile trovre un successione (infinit) {x k } di utovettori di A due due ortogonli e tli che x n 1, per ogni n N. Dll compttezz di A segue llor che dll successione {Ax n } si dovrebbe poter estrrre un sottosuccessione convergente. M questo è impossibile perché Ax n Ax m 2 λ 2 x n x m 2 λ 2 ( x n 2 + x m 2 ) 2 λ 2. Lemm Si A un opertore linere definito in H. Si {y n } un fmigli di utovettori corrispondenti gli utovlori distinti {λ n }, cioè, (A λ n )y n 0, λ n λ k, per n k. Allor vettori dell insieme {y n } sono linermente indipendenti. Dimostrzione Supponimo che l ffermzione non si ver e si k il minimo nturle tle che y 1,..., y k sino linermente dipendenti. Si h certmente y k k 1 i1 β iy i, perché i vettori y 1,..., y k 1 sono linermente indipendenti. Si h, llor k 1 (A λ k I)y k (A λ k I) β i y i i1 k 1 β i (λ i λ k )y i 0 I coefficienti β i (λ i λ k ) non sono tutti nulli, perché non lo sono i β i e gli utovlori sono tutti diversi. L conclusione è che i vettori y 1,..., y k 1 sono linermente dipendenti; il che contrddice l definizione di k. Lemm Si A un opertore comptto. L insieme σ p (A) degli utovlori di A è finito o numerbile ed mmette l più il punto 0 come punto di ccumulzione. i1 Dimostrzione Per prim cos dimostrimo che l insieme degli utovlori di A non può vere un punto di ccumulzione λ con λ 0. Se così non fosse, esisterebbe un successione di utovlori {λ n } distinti con utovettori y n tli che 0 λ n λ 0. Si M n il sottospzio genenerto di vettori {y 1,, y n }. M n è invrinte per A. Poiché {y 1,, y n } sono linermente indipendenti, M n 1 è un sottospzio proprio di M n. Quindi M n contiene un elemento x n tle che x n 1 ed ortogonle M n 1. In questo modo si costruisce un successione {x n } di vettori di H, limitt. L successione {λ 1 n x n } è limitt. Fremo vedere che d {λ 1 n Ax n } non si può estrrre lcun sottosuccessione convergente. Inftti, se m < n, λ 1 n Ax n λ 1 m Ax m x n (λ 1 m Ax m λ 1 n (A λ n )x n ). Il secondo termine destr pprtiene M n 1, perché x m M n 1, M n 1 è invrinte per A e (A λ n )x n M n 1. Quest ultim ffermzione nsce dll considerzione che e che pplicndo A λ n si ottiene x n α 1 y 1 + α 2 y α n y n, (A λ n )x n α 1 (A λ n )y 1 + α 2 (A λ n )y α n 1 (λ n 1 λ n )y n 1 + α n (A λ n )y n α 1 (λ 1 λ n )y 1 + α 2 (λ 2 λ n )y α n 1 (λ n 1 λ n )y n 1 + α n (λ n λ n )y n α 1 (λ 1 λ n )y 1 + α 2 (λ 2 λ n )y α n 1 (λ n 1 λ n )y n 1.

14 44 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Quindi, λ 1 n Ax n λ 1 m Ax m 2 x n 2 + (λ 1 m Ax m λ 1 n (A λ n I)x n ) 2 1. L disuguglinz precedente mostr che nessun sottosuccessione di {λ 1 n Ax n } può essere convergente. L insieme σ p (A) è limitto, perché è limitto σ(a). Se σ p (A) non h punti di ccumulzione, llor, per il teorem di Bolzno - Weierstrss, esso è finito. In cso contrrio, 0 è l unico punto di ccumulzione. Dunque in l di fuori di ogni disco {λ C : λ 1 n } può cdere solo un numero finito di utovlori. In questo cso, quindi, σ p (A) è numerbile. Corollrio Gli utovlori di un opertore comptto A costituiscono un insieme finito o numerbile. In quest ultimo cso, disposti i {λ n } in successione, risult lim n λ n 0. Dimostrzione Come bbimo visto, 0 è l unico possibile punto di ccumulzione dell successione {λ n } e l di fuori di ogni disco di centro l origine e rggio ɛ cde solo un numero finito di elementi dell successione. Questo prov l sserto. Lemm Si A un opertore comptto. Se µ 0 non è un utovlore di A, llor R(A µi) è chiuso. Dimostrzione Supponimo che (A µi)x n y. Dobbimo provre che y R(A µi). Comincimo con il provre che l successione {x n } è limitt. Altrimenti, si potrebbe ssumere ( meno di pssre d un sottosuccessione) che x n. Posto x n x n / x n, l successione {x n} è limitt e (A µ)x n 0. Rimpizzndo {x n} con un sottosuccessione, possimo supporre che {Ax n} stess si di Cuchy d ffermre Ax n w. Questo implic che µx n w e, dunque, (A µi)w 0. Poiché w lim µx n µ > 0, si conclude che w 0. Quindi w è un utovettore di A reltivo µ, il che contrddice l ipotesi. Dto che {x n } è limitt, {Ax n } contiene un successione di Cuchy; rimpizzndo, ncor un volt, {x n } con un sottosuccessione, possimo supporre che {Ax n } stess si di Cuchy. Si Ax n v. Allor µx n Ax n (A µi)x n v y. Applicndo A, µax n A(v y). Dunque, (A µi)x n A(v y) µ (v y) 1 (A µi)(v y). µ e, quindi, y µ 1 (A µi)(v y) R(A µi). Lemm Si A un opertore comptto. Se µ 0 non è un utovlore di A, llor esiste c > 0 tle che (A µi)x c x, per ogni x H. Dimostrzione Se così non fosse, per ogni k N esisterebbe x k H, con x k 1 tle che (A µi)x k 1, k N. k Dunque, (A µi)x k 0. Dll successione {x k } si può estrrre un sottosuccessione {x kj } tle che Ax kj y H. Si h, llor Dto che x kj 1, y 0. Si h, infine x kj 1 µ (Ax k j (A µi)x kj ) y µ. Dunque, µ è un utovlore di A; contro l ipotesi. (A µi)y lim j (A µi)x k j 0.

15 3.3. L teori spettrle degli opertori comptti 45 Osservzione Il lemm implic che se µ 0 non è un utovlore di A, l opertore (A µi) 1, che è definito in R(A µi) è limitto. In prticolre, se R(A µi) H, llor (A µi) 1 B(H). Lemm A B(H). Allor N(A ) R(A). Quindi R(A) N(A ). Dimostrzione Si x N(A ). Allor si h x N(A ) 0 (A x, y) (x, Ay), y H x R(A). Dll uguglinz N(A ) R(A) segue che N(A ) R(A) R(A). Lemm Se λ è un utovlore di A, llor λ è un utovlore di A. Dimostrzione Se λ non fosse utovlore di A, llor esso mmetterebbe inverso definito in R(A λi); di conseguenz esisterebbe nche l inverso di A λi e, dunque λ non potrebbe essere utovlore di A. Osservzione Per simmetri, il lemm precedente implic che è vero nche il vicevers e dunque σ p (A) σ p (A ). Notimo, infine, che si può dimostrre nche che, se λ è un utovlore di A di molteplicità n llor λ, come utovlore di A, h l stess molteplicità. Proposizione Si A un opertore comptto. Allor σ(a) σ p (A) {0}. Dimostrzione Intnto è chiro che σ p (A) {0} σ(a). Si desso µ C \ σ p (A), µ 0. Allor µ non è un utovlore di A (v. lemm e osservzione ). Dl lemm segue llor che R(A µi) N(A µi) {0}. Dunque R(A µi) H. M R(A µi) è chiuso (Lemm 3.3.5) e, quindi, (A µi) 1 è ovunque definito in H e, perciò, (A µi) 1 B(H) (Osservzione 3.3.7). In conclusione σ(a) σ p (A) {0}. In definitiv bbimo dimostrto il seguente Teorem (di Riesz - Schuder) Lo spettro di un opertore comptto A è un insieme finito o un insieme numerbile che non h punti di ccumulzione diversi d 0. Ogni elemento non nullo di σ(a) è un utovlore di molteplicità finit. Un numero λ C \ {0} è utovlore di A se, e soltnto se, λ è un utovlore di A. Corollrio Si A un opertore comptto. Un numero complesso λ 0 o è un elemento di ρ(a) oppure è un utovlore isolto di molteplicità finit.

16 46 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Esempio Nelle proposizioni precedenti il punto 0, che è sempre un elemento di σ(a) è stto lscito d prte nelle nostre considerzioni. Il motivo è che 0 può non essere un utovlore e, se lo è, non è necessrimente di molteplicità finit. Per vedere qulche esempio, considerimo uno spzio di Hilbert H seprbile e si {e n } un bse ortonormle in H. Definimo Ax n (x, e n )e n, dove { n } è un successione di numeri complessi tli che lim n n 0. Allor A è limite in norm degli opertori di rngo finito k A k x n (x, e n )e n ed è, perciò, comptto. se n 1 n, n N+, llor, come si vede fcilmente, 0 non è utovlore di A. Se n 1 n per n 5 e n 0 per n < 5, llor 0 è un utovlore di molteplicità 4. L utospzio reltivo 0 è inftti generto d e 1, e 2, e 3, e 4. Se n 1 n per n pri e n 0 per n dispri, 0 è un utovettore di molteplicità infinit. Il reltivo sottospzio è, inftti, generto di vettori e n con n dispri. Corollrio Si A K(H) e λ C \ {0}. Allor, o l equzione (A λi)x y mmette un, e un sol, soluzione per ogni y H oppure l equzione (A λi)x 0 mmette soluzioni non nulle. Il corollrio precedente è un generlizzzione l cso strtto del fmoso teorem dell lterntiv di Fredholm che stbilisce l ffermzione corrispondente per le equzioni integrli dell form K(x, y)f(y)dy λf(x) g(x) nello spzio di Hilbert L 2 ([, b)] e K L 2 ([, b] [, b]). Come bbimo già visto, gli opertori di questo tipo sono comptti. Lemm Si A B(H). Se A è simmetrico, llor (i) ogni utovlore di A è rele; (ii) utovettori corrispondenti d utovlori distinti sono ortogonli. Dimostrzione (i): Se Ax λx, x 0, llor (Ax, x) λ x 2 e (x, Ax) λ x 2. Dunque λ λ. (ii): Sino x, y utovettori corrispondenti gli utovlori λ e µ, rispettivmente. Allor (Ax, y) λ(x, y); (x, Ay) µ(x, y). M (Ax, y) (x, Ay). Dunque, se λ µ, si h (x, y) 0.

17 3.3. L teori spettrle degli opertori comptti 47 Teorem (Hilbert - Schmidt) Si A un opertore simmetrico comptto in uno spzio di Hilbert seprbile. Allor, esiste un sistem ortonormle {e k } che è un bse di H, tle che Ae k λ k e k. Dimostrzione Per ogni utovlore λ k sceglimo un bse ortonormle che gener il sottospzio degli utovettori reltivi λ k (includendo gli utovettori di 0, se questo è un utovlore). L insieme di tutti gli utovettori così ottenuto, {e k }, è un sistem ortonormle in H, perché utovettori corrispondenti d utovlori distinti sono ortogonli. Si M il sottospzio chiuso di H generto d {e k }. M è invrinte per A ed nche M lo è. L restrizione di A d M, A M, è un opertore comptto con rggio spettrle r(a M ) nullo, perché tutti gli utovettori di A pprtengono d M. M A M r(a M ) 0. Dunque, M {0}. Inftti, se 0 y M, dovrebbe essere Ay 0 ed y, essendo un utovettore, dovrebbe pprtenere M. In conclusione M H. Osservzione Abbimo dto il teorem di Hilbert - Schmidt nell su formulzione clssic, supponendo cioè che lo spzio di Hilbert si seprbile. Nel cso in cui lo spzio non si seprbile, l dimostrzione precedente rest vlid con l sol differenz che non sppimo, priori, se l utospzio reltivo 0 è seprbile o no: un bse si trov comunque m potrebbe non essere numerbile. Se 0 non è un utovlore di A, llor l bse che si ottiene è certmente numerbile e lo spzio è utomticmente seprbile. Se {e k } è l bse di utovettori costruit nel teorem precedente, ogni vettore y H (che supponimo seprbile) mmette l rppresentzione y (y, e n )e n Agendo con l opertore A che è continuo, si h Ay (y, e n )Ae n λ n (y, e n )e n. (3.7) Se indichimo con P n il proiettore sul sottospzio unidimensionle generto d e n (cioè, P n y (y, e n )e n ), l precedente uguglinz si scrive nche come Ay λ n P n y, y H. Si noti che nell precedente uguglinz i λ n non sono necessrimente distinti. Concludimo con il seguente teorem sull rppresentzione spettrle di un opertore simmetrico comptto. Teorem Si A un opertore simmetrico comptto in uno spzio di Hilbert seprbile. Si {λ n } l successione (possibilmente finit) dei suoi utovlori. Esiste llor un successione (possibilmente finit) di proiettori {Q n }, di rngo finito, due due ortogonli e con l proprietà Q n I, tli che A λ n Q n (3.8) dove l convergenz dell serie è intes nell norm di B(H).

18 48 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Dimostrzione Si {λ n } l successione degli utovlori distinti di A. Indichimo con Q n il proiettore sull utospzio reltivo λ n. Sppimo che i Q n sono di rngo finito, e due due ortogonli. Inoltre l loro somm dà l opertore identico perché gli utovettori costituiscono un bse ortonormle di H. L (3.7) si riscrive nel modo seguente Ay λ n Q n y, y H. Questo ci dice che l serie in (3.8) converge nell topologi forte di B(H). Ponimo A k k λ n Q n. Dobbimo dimostrre che A A K 0 per k. Si h (A A k )y 2 nk+1 nk+1 λ n Q n y 2 λ n 2 Q n y 2 sup λ n 2 y 2. n k+1 Dunque, perché lim n λ n 0. A A k sup λ n 2 0 per k, n k+1 Possimo desso dre l form cnonic di un opertore comptto. Teorem Si A un opertore comptto nello spzio di Hilbert seprbile H. Allor, esistono due sistemi di vettori ortonormli {e n }, {v n }, non necessrimente completi, e dei numeri positivi {λ n }, con lim λ n 0, tli che n A λ n (, e n )v n. L somm può essere finit o infinit. In quest ultimo cso, l serie converge in norm. I numeri {λ n } si chimno vlori singolri di A. Dimostrzione L opertore A A è comptto e simmetrico. Quindi esiste un sistem ortonormle {e n } tle che A Ae n µ n e n se µ n 0, mentre A A si nnull sul complemento ortogonle del sottospzio generto d {e n } (che è non nullo se 0 è un utovlore di A A). Poichè A A 0, i µ n sono positivi; inftti (A Ae n, e n ) µ n (e n, e n ) µ n 0, m er già escluso che µ n 0. Si λ n µ n e ponimo v n Ae n /λ n. Si h (v n, v m ) 1 λ n λ m (Ae n, Ae m ) 1 λ n λ m (A Ae n, e m ) δ nm.

19 3.4. Opertori di clsse trcci e di Hilbert - Schmidt 49 Cioè i {v n } costituiscono un sistem ortonormle. Si h poi, per ogni x H, x (x, e n )e n + (x, e k)e k, dove gli {e k } sono gli utovettori eventulmente corrispondenti ll utovlore 0. Applicndo l opertore A, il termine reltivo gli {e k } si nnull (inftti A Ae k 0 implic Ae k 0). Dunque, Ax (x, e n )Ae n λ n (x, e n ) Ae n λ n (x, e n )v n. λ n L convergenz in norm dell serie si dimostr in modo simile qunto ftto nel teorem Corollrio Si A K(H), con H seprbile. Allor, A è limite in norm di opertori di rngo finito. Esercizio Nello spzio di Hilbert L 2 (I), I [0, 1] si consideri, l opertore (Af)(x) 0 f(t)dt, k1 f L 2 (I). Dopo ver verificto che l espressione dt sopr definisce un opertore limitto in L 2 (I), provre che A è comptto e che r(a) 0. Dimostrre che 0 non è un utovlore di A. Esercizio Si I [0, 1] ed {E k } k N un fmigli di sottoinsiemi misurbili di [0, 1] due due disgiunti e l cui unione restituisce [0, 1]. Per ogni k N, si indichi con χ k (x) l funzione crtteristic di E k. Si {λ k } un successione di numeri complessi tendente 0. Dimostrre che ogni λ k è un utovlore dell opertore A definito d ( ) (Af)(x) λ k χ k (x) f(x), f L 2 (I). k0 Verificre che ogni λ k è un utovlore di A. Esistono ltri elementi dello spettro di A? L opertore A è comptto? In quli csi il punto 0 è un elemento dello spettro di A? 3.4 Opertori di clsse trcci e di Hilbert - Schmidt Si H uno spzio di Hilbert seprbile, {e n } un bse ortonormle di H. Per ogni opertore positivo A B(H) definimo l trcci di A come tr(a) (Ae n, e n ). Può succedere che tr(a). Prim di procedere, ricordimo che se A B(H), A 0, llor esiste un unico opertore B (l rdice qudrt di A) con B 0 e B 2 A e che, di solito, si scrive A 1/2 B. Ricordimo, inoltre, che se A B(H), llor A A 0; quindi A A mmette rdice qudrt. Si pone A (A A) 1/2 l opertore così definito prende il nome di modulo di A. Ritornimo desso lle proprietà dell trcci.

20 50 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Proposizione Il numero tr(a) non dipende dll bse ortonormle scelt per clcolrlo. Dimostrzione Si {v n } un ltr bse ortonormle di H. Allor (Av n, v n ) (A 1/2 v n, A 1/2 v n ) A 1/2 v n 2 ( ) (A 1/2 v n, e m ) 2 m1 ( ) (v n, A 1/2 e m ) 2 m1 ( ) (v n, A 1/2 e m ) 2 m1 A 1/2 e m 2 m1 (Ae m, Ae m ) m1 (A 1/2 e m, A 1/2 e m ) m1 Lo scmbio delle sommtorie è permesso dl ftto che tutti i termini sono positivi. Elenchimo lcune proprietà elementri dell trcci. Proposizione Se A, B sono opertori limitti e positivi, si h (i) tr(a + B) tr(a) + tr(b); (ii) tr(λa) λtr(a), λ 0; (iii) tr(uau 1 ) tr(a) per ogni opertore unitrio U; (iv) Se 0 A B, llor tr(a) tr(b). L dimostrzione è lscit come esercizio. Definizione Un opertore A B(H) è detto di clsse trcci se tr( A ) <. Indicheremo con T 1 l insieme degli opertori di clsse trcci. Definizione Si A un opertore limitto nello spzio di Hilbert seprbile H e {e n } un bse ortonormle di H. Ponimo ( ) 1/2 A 2 Ae n 2. Si dice che A è un opertore di Hilbert - Schmidt se A 2 <. Indicheremo con T 2 l insieme degli opertori di Hilbert - Schmidt.

21 3.4. Opertori di clsse trcci e di Hilbert - Schmidt 51 Dlle uguglinze ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 A 2 Ae n 2 (Ae n, Ae n ) 2 (A Ae n, e n ) 2 tr(a A) 1/2 deducimo che A 2 non dipende dll bse scelt per clcolrl e che A T 2 se, e soltnto se, tr(a A) 1/2 <. Proposizione T 2 è uno *- idele di B(H). Dimostrzione Sino A, B T 2. Dll disuguglinz, vlid per ogni coppi di opertori di B(H), si deduce subito che A + B T 2. Se {e n } e {v n } sono bsi di H si h A 2 2 (A + B) (A + B) 2(A A + B B) A v n 2 m1 m1 (v n, Ae m ) 2 Ae m 2 A 2. m1 Dunque, se A T 2, nche A T 2 e A 2 A 2. Infine, se A T 2 e B B(H) si h BA 2 2 BAe n 2 B 2 (A v n, e m ) 2 m1 (v n, Ae m ) 2 Ae n 2 < Dunque BA T 2 e BA 2 B A 2. Il ftto che nche AB T 2 segue dll uguglinz AB 2 (B A ) 2 B A 2 e di risultti precedenti. Se A, B B(H) vle, come si vede fcilmente, l disuguglinz k1 2 (Ax, Bx) Ax 2 + Bx 2, x H. Quindi, se A, B T 2, ( (Ae k, Be k ) 1 ) Ae k 2 + Be k 2 <. 2 Dunque l serie di numeri complessi è ssolutmente convergente. Ponimo k1 (Ae k, Be k ) k1 (A, B) : k1 (Ae k, Be k ). k1 Lscimo l lettore di verificre che (, ) definisce un prodotto interno in T 2 e che si h A 2 2 (A, A). D questo ftto segue che 2 è un norm in T 2.

22 52 3. Proprietà spettrli degli opertori limitti Lemm A A 2, per ogni A T 2. Dimostrzione Si x H ed {e n } un bse ortonormle di H. Si h Ax 2 (Ax, e n ) 2 (x, A e n ) 2 x 2 A e n 2 A 2 2 x 2 A 2 2 x 2. Teorem T 2 è completo rispetto ll 2 ed è, quindi uno spzio di Hilbert. Dimostrzione Si {A n } un successione di Cuchy in T 2. Quindi è di Cuchy nche nell norm di B(H). Esiste, dunque, A B(H) tle che A n A 0. Se n, m sono bbstnz grndi, si h Per m risult, llor, s (A n A m )e k 2 A n A m 2 2 < ɛ 2 k1 s (A n A)e k 2 ɛ 2. k1 Questo implic che A n A T 2, e dunque A T 2, ed infine che A n A 2 0. Teorem Ogni A T 2 è comptto. Dimostrzione Si ɛ > 0 e sceglimo n grnde bbstnz perché risulti Ae k 2 < ɛ 2. kn+1 Ponimo A n e k Ae k se k n e A n e k 0 se k > 0 ed estendimo A n per linerità tutto H. Ogni opertore A n così ottenuto è di rngo finito. Si h, evidentemente, A n A A n A 2 < ɛ. Dunque A è comptto, perché limite in norm di opertori di rngo finito. Esempio Considerimo un opertore integrle del tipo studito nell sezione Se K L 2 (Q) llor A K è un opertore di Hilbert-Schmidt e A K 2 K 2,Q. Inftti se φ n (x) e ψ n (x) sono bsi ortonormli in L 2 ([, b]) si h A K 2 2 m1 (A K φ n, ψ m ) 2 m1 m1 K 2 2,Q. Q ( ) b K(x, y)φ n (y)dy ψ m (x)dx 2 K(x, y)φ n (y)ψ m (x)dxdy 2

23 3.4. Opertori di clsse trcci e di Hilbert - Schmidt 53 l uguglinz finle segue dl ftto che il sistem di funzioni {φ ( x)ψ m (x)} costinuisce un bse ortonormle di L 2 (Q).