Grafici di successioni.

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1 Grafici di successioni. Il comando plot non e completamente adatto allo scopo, perche con esso Maple si aspetta una funzione definita sui numeri reali. Consideriamo la successione che individua il numero e. > n:= n ; > a:=(1+1/n)^n; n := n a := (1 + 1 n )n Calcoliamo alcuni termini della successione, prima esattamente e poi in forma decimale, per renderli pi comprensibili > n:=10;a; > evalf(a); > n:=100;a;evalf(a); n := n := \ \ \ / \ \ \

2 Costruiamo ora i primi 1000 termini della successione, usando l istruzione seq e mettendoli nella variabile a. Terminiamo l istruzione con : per non farci scrivere 1000 numeri sullo schermo: > N:=1000; N := 1000 > a:=seq(evalf((1+1/n)^n),n=1..n): Possiamo vedere i singoli termini della lista scrivendo dopo a fra parentesi quadre il numero del termine che vogliamo conoscere > a[20]; > a[500]; Per fare il grafico di questi punti, con n sull asse delle ascisse e a[n] sulle ordinate abbiamo bisogno dell istruzione pointplot contenuta nel package plots ; La sintassi di pointplot e pointplot(lista o insieme del piano indicati mediante le coordinate): > with(plots); Warning, the name changecoords has been redefined [animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra supported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > pointplot([[1,0],[3,4],[12/7,5]]);

3 Ha disegnato un rombo sulle coordinate dei tre punti richiesti: per vederlo meglio aggiungiamo a plointplot l opzione view che dice quali devono essere gli assi e l opzione symbolsize che dice quanto devono essere grandi i rombi: > pointplot([[1,0],[3,4],[12/7,5]],view=[0..3,0..5],symbolsize=30);

4 Passiamo ora alla nostra successione, costruiamo una successione di copie di coordinate: > a:=[seq([n,evalf((1+1/n)^n)],n=1..n)]: > a[10]; > a[90]; > pointplot(a); [10, ] [90, ] Per vederla meglio cambiamo la scala sull asse delle ascisse: > pointplot(a,view=[0..50,0..3]);

5 Se aggiungiamo l opzione connect=true Maple traccia una linea fra due punti successivi e non disegna il rombo ma solo un puntino > pointplot(a,connect=true); > restart;

6 Si poteva ottenere questo grafico piu semplicememte, definendo la successione come una funzione > a:=n->(1+1/n)^n; > plot(a, ); a := n (1 + 1 n )n In questo caso bisogna ricordare di dare l intervallo giusto sull asse delle x. Facciamo ora il limite della successione > limit(a(n),n=infinity); e Passiamo ad un altro esempio > restart; > n:= n ; n := n

7 > a:=(1/(3*n))*ln(2+exp(n)); a := 1 3 ln(2 + e n ) n (Continuare l esercizio come in precedenza) Calcoliamo ora la somma di alcune serie come limite delle somme parziali: > restart; > limit(sum(1/i^2,i=1..n),n=infinity); > evalf(%); 1 6 π > limit(sum(1/(3+2^i),i=1..n),n=infinity); n 1 lim n i > evalf(%); i= > limit(sum(1/((4*i+1)*(4*i+3)),i=1..n),n=infinity); π Costruiamo la successione logistica. Definiamo la funzione f : > restart; > f:=x->piecewise(0<x and x<1, a*x*(1-x)); f := x piecewise(0 < x and x < 1, a x(1 x)) > a:=1.5; a := 1.5 > x[0]:=0.1; > n:=100; x 0 :=.1 n := 100

8 > for i to n do x[i]:=(f@@i)(x[0]) od: > x[50]; > with(plots); Warning, the name changecoords has been redefined [animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra supported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > points:=[seq([i,x[i]],i=1..n)]: > pointplot(points); In questo caso la successione sembra avere un limite, si puo anzi dimostrare che se 0<a<1 la successione tende a 0 e se a<1<3 la successione ha un limite diverso da 0, che si puo trovare come soluzione non nulla dell equazione f(x)-x=0. Troviamolo dapprima graficamente e poi esattamente > plot([f(x),x],x=0..1);

9 x > solve(f(x)-x=0,x); , 0. In questo caso il limite e naturalmente il primo dei numeri. Proviamo ora con il seguente valore di a > restart; > f:=x->piecewise(0<x and x<1, a*x*(1-x)); f := x piecewise(0 < x and x < 1, a x(1 x)) > a:=3.4; a := 3.4 > x[0]:=0.1; x 0 :=.1 > n:=100; n := 100 > for i to n do x[i]:=(f@@i)(x[0]) od: > x[50];

10 Facciamo ora il grafico > with(plots); Warning, the name changecoords has been redefined [animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra supported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > points:=[seq([i,x[i]],i=1..n)]: > pointplot(points); In questo caso la successione sembra oscillare fra due valori. Si puo dimostrare che accade effettivamente questo e tali valori si possono determinare come soluzioni non nulle dell equazione f(f(x))-x=0 che non siano anche soluzioni dell equazione f(x)-x=0. Facciamolo: > f2:=x->f(f(x)); f2 := x f(f(x))

11 > f2(0.2); > plot([f2(x),x],x=0..1); x Ci sono quattro soluzioni, scartiamo subito x=0 e poi cerchiamo di scartare la soluzione di f(x)-x=0. > solve(f2(x)-x=0,x); , , > solve(f(x)-x=0,x); , 0. Quindi i due valori fra cui oscilla la successione logistica sono gli ultimi due. Prendiamo ora un altro valore di a: > restart; > f:=x->piecewise(0<x and x<1, a*x*(1-x)); f := x piecewise(0 < x and x < 1, a x(1 x)) > a:=3.9;

12 a := 3.9 > x[0]:=0.1; > n:=100; x 0 :=.1 n := 100 Costruiamo la successione e facciamone il grafico. > for i to n do x[i]:=(f@@i)(x[0]) od: > x[40]; > points:=[seq([i,x[i]],i=1..n)]: > with(plots): pointplot(points); Warning, the name changecoords has been redefined In questo caso l andamento della successione e del tutto casuale, per vederlo ancora meglio aggiungiamo l opzione connect=true, con cui Maple traccia una linea fra due punti successivi e non disegna il rombo ma solo un puntino.

13 > pointplot(points,connect=true); Esercizio: considerare il caso a=0.5. In questo caso si puo dimostrare che la successione e monotona decrescente e il limite e 0.