Calcolo Letterale. 1. Monomi

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1 Clcolo etterle Monomi E corretto dire: un monomio è un espressione letterle compost d un coefficiente e d un prte letterle; il coefficiente di solito è un numero, m può nche essere un letter, se è così specificto dl contesto; l prte letterle è compost d un o più vribili con eventuli esponenti; l esponente (se figur un sol vribile) o l somm degli esponenti (se figurno più vribili) dicesi grdo del polinomio? E corretto il seguente lgoritmo per effetture l somm di più monomi? Assegn i monomi; sserv l prte letterle di ogni singolo monomio; Se è l stess prosegui, ltrimenti vi l punto 6; 4 Effettu l somm dei coefficienti dei singoli monomi e chim il risultto S; 5 Scrivi il monomio che h S per coefficiente e per prte letterle quell di uno dei monomi dti, vi l punto 7; 6 monomi non sono simili e perciò non si possono sommre; 7 Stop Esercizio Clcol l somm dei seguenti monomi: 4 x, x, x Soluzione 5 x ( x ) x + + = + x = x 4 4 4

2 E corretto il seguente lgoritmo per clcolre il prodotto di due o più monomi? Assegn i monomi; Clcol il prodotto dei coefficienti e chimlo C; Clcol il prodotto delle prti letterli pplicndo le regole del prodotto e delle potenze dei numeri reli, e chim il risultto t; 4 Scrivi il monomio che h come coefficiente C e prte letterle t; 5 Stop Esercizio Clcol l il prodotto dei seguenti monomi: 4 x z, x zt Soluzione 4 4 x z xzt= xz xzt= xzt E corretto il seguente lgoritmo per clcolre il quoziente di due monomi? Assegn i monomi distinguendo tr dividendo e divisore; Clcol il monomio reciproco del monomio divisore; Moltiplic il monomio dividendo per il monomio frtto del punto precedente Esercizio Clcol l il quoziente dei seguenti monomi: 5 x, 4x 0,5x, 0,xz

3 Soluzione x x 5 x 4x = 0 x = 0 8 x x 0,8x = =, 6 0,xz xz z sservimo che nel primo esempio il risultto dell divisione è un monomio, mentre nel secondo è un espressione rzionle frtt, contenente cioè vribili l denomintore Qundo il risultto dell divisione è un monomio dicimo che il primo monomio è divisibile per il secondo (o equivlentemente che il secondo è divisore del primo) n nlogi l clcolo numerico, si possono definire il mssimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi Con mssimo comun divisore (MCD) intendimo ogni monomio che, oltre d essere divisore di tutti i monomi dti, h mssimo grdo Anlogmente, per minimo comune multiplo intendimo ogni monomio che, oltre d essere divisibile per ciscuno dei monomi dti, h minimo grdo Qunto l coefficiente del MCD (o mcm) questo può essere un numero rele qulsisi Tuttvi, per semplicità di clcolo, si preferisce ssumere come coefficiente il MCD (o mcm) dei vlori ssoluti dei coefficienti dei monomi dti, se questi sono interi, ltrimenti si ssume + Un regol prtic per determinre il MCD e il mcm, può essere l seguente: Per ottenere il MCD di due o più monomi è sufficiente considerre il monomio che h come coefficiente il MCD dei coefficienti se questi sono interi, ltrimenti +; e come prte letterle quell formt dlle sole lettere comuni, prese un sol volt con l esponente minore Per ottenere il mcm di due o più monomi è sufficiente considerre il monomio che h come coefficiente il mcm dei coefficienti e come prte letterle quell formt dlle lettere comuni e non comuni con l esponente mggiore Esercizio 4 Determinre MCD e mcm dei seguenti monomi:

4 x z, 4x z, 6x z Soluzione MCD( x z, mcm( x z, 4x z, 4x z, 6x z ) = xz 6x z ) = x z Polinomi Si chim grdo di un polinomio, il mssimo grdo dei suoi monomi componenti; tlvolt si consider nche il grdo rispetto d un vribile, intendendo con ciò l esponente più lto di tle vribile Esempio x x + è di grdo 5; di grdo rispetto x o ; 4 x x + 5 è di grdo 4; di grdo rispetto ; 7 5xz x+ è di grdo 6; di grdo rispetto x o o z; 8 è un polinomio di grdo 0 Un polinomio si dice nullo se sono nulli tutti i monomi che lo compongono, cioè se sono nulli tutti i coefficienti Un polinomio in un sol vribile si dice ordinto se i suoi termini sono scritti in ordine decrescente (crescente) rispetto l grdo; si dice completo se, essendo n il suo grdo, contiene termini (non nulli) di tutti i grdi d n 0 Esempio 4 Ax ( ) = 5x x + x + x, è ordinto, completo, di grdo 4; 4

5 5 Bx ( ) = 7x 4x +, è ordinto, incompleto, di grdo 5; 4 Cx ( ) = x + x x+ x, è completo, non ordinto, di grdo 4; n n Dx ( ) = x n + n x + + x + 0, è ordinto, completo, di grdo n se e solo se i coefficienti n, n,, 0 sono tutti diversi d zero Gli esempi riportti considerno tutti polinomi nell sol vribile x vvimente, nel cso in cui il polinomio si composto d monomi con più vribili ( x, z,, ) è possibile ordinrlo rispetto d un vribile scelt, second dell convenienz, in relzione lle eventuli operzioni d compiere Esercizio 5 Clcolre il prodotto PQ con P = 4755 e Q = 4745, utilizzndo un clcoltrice con 8 cifre di displ Soluzione l risultto richiesto contiene 5 o 6 cifre, quindi l clcoltrice non può contenere esttmente questo numero Conviene, perciò, comporre i numeri in gruppi di 4 cifre: 4 4 P= = 0 + b con = 4, b = Q= = c 0 + d con c = 47, d = 45 Allor il prodotto richiesto 4 4 PQ = ( 0 + b)( c 0 + d) che può essere rigurdto come un semplice prodotto di polinomi: 8 4 P Q = c0 + ( d + bc) 0 + bd poichè,b,c,d, contengono ciscuno solo 4 cifre, possimo eseguire i prodotti richiesti con l clcoltrice e risult: c bc d bd = 4 47 = 598 = = 6777 = 4 45 = = =

6 d cui 8 4 PQ = ( ) = = Generlizzndo questo procedimento, si può concludere che, se si dispone di un clcoltrice con p cifre di displ, per moltiplicre due numeri P e Q formti l mssimo d p cifre ciscuno, posto P= 0 p + b e Q= c 0 p + d bst pplicre l formul: ( ) ( ) ( ) P Q = 0 p + b c 0 p + d = c0 p + d + bc 0 p + bd () Se invece di un clcoltrice col displ 8 cifre si dispone di un clcoltrice che contiene fino 6 cifre di displ, l esercizio precedente è risolvibile direttmente, m il problem, ovvimente, si porrà non ppen i numeri dti (o il prodotto) dovessero contenere più di 6 cifre; in tl cso bisognerà ricorrere l procedimento sopr riportto Esercizio 6 Scrivere un progrmm Mtcos che implementi l lgoritmo bsto sull () Soluzione p=legginum( p sono le cifre del displ ); =legginum; b=legginum; c=legginum; d=legginum; p=*c; p=*d + b*c; stmp( l prodotto (*0^p+b)*(c*0^p+d) è =, p*0^(*p)+p*0^p+b*d); 6

7 Principio di identità dei polinomi Due espressioni lgebriche sono identiche se e solo se ssumono gli stessi vlori per ogni vlore numerico ttribuibile lle lettere Ad esempio le due espressioni ( x + ) e ( x + x+ ) sono identiche Questo concetto vle, nturlmente, nche per i polinomi in un vribile, per questi si può, ulteriormente, dimostrre il seguente principio di identità: Due polinomi sono identici, cioè ssumono lo stesso vlore per ogni vlore numerico ttribuibile lle lettere, se e solo se i coefficienti dei termini di ugul grdo sono uguli, o, in ltre prole, se e solo se, scritti in form normle (cioè ridotti i termini simili), prte l ordine sono lo stesso polinomio Esercizio 7 Si dimostri che le due espressioni: x + 0x+ 4 e x+ 6 x+ 4 Sono identiche ( )( ) Soluzione Dto che il primo polinomio è scritto in form normle, per poter pplicre il principio di identità dei polinomi, occorre scrivere nell stess form nche l second espressione Eseguendo quindi il prodotto: x+ 6 x+ 4 = x + 4x+ 6x+ 4 = x + 0x+ 4 ( )( ) segue fcilmente, pplicndo il principio di identità dei polinomi, che i due polinomi ssegnti sono identici sservimo che l identità dimostrt x + 0x+ 4 = ( x+ 6)( x+ 4) È molto interessnte, perché il secondo membro si present in form fttorizzt sservimo inoltre che il secondo coefficiente, 0, risult essere 6+4, così come il termine noto, 4, è il prodotto 64 7

8 n generle si può dimostrre che: Dto il trinomio x + mx + n Se esistono due numeri e b tli che + b= m e b= n risult x + mx + n = x + x + b ( )( ) Divisibilità di un polinomio per un monomio del tipo (x-) (cif livello p6) n nlogi qunto vviene con i numeri, possimo dire che un polinomio A( x ) è divisibile per un ltro, B ( x ), qundo il resto dell divisione, A( x) : B( x ), è zero, cioè il polinomio con coefficienti tutti nulli Se indichimo con Q( x ) il polinomio quoziente e con R ( x ) il polinomio resto vle l identità: A( x) = Q( x) B( x) + R( x) () l grdo di B ( x ) è ugule ll differenz tr il grdo mssimo di A( x ) e quello di B ( x ), mentre il grdo di R ( x ) è sempre inferiore quello di B ( x ) noltre se R( x ) = 0, cioè è il polinomio nullo, llor diremo che A( x ) è divisibile per B ( x ) Nel cso prticolre che B ( x ) è il binomio di primo grdo ( x ) bbimo come conseguenz che il grdo di Q( x ) è ugule quello di A( x ) diminuito di e quello di R ( x ) è zero, cioè R ( x ) deve essere un costnte, ll qule possimo dre un significto preciso nftti, nell (), se l posto di B ( x ) sostituimo ( x ) divent ( ) ( ) ( ) A x Q x x R = + () ove R è un costnte 8

9 Se l posto di x sostituimo il vlore costnte trovimo: A ( ) = Q ( ) ( ) + R= Q ( ) 0 + R= R () Cioè, il resto, R, dell divisione del polinomio A( x ) per il trinomio è pri l vlore che il polinomio A( x ) ssume per il vlore x dell incognit x = Esempio Dividere il polinomio ( ) ( ) = x B x A x = x + x + x per il binomio Soluzione x + x + x : x x + x x + x+ 4 0 x + x x + x 0 + 4x 4x dunque: A( x) = Q( x)( x ) + R, che divent x + x + x = x x + x+ 4 +, ( )( ) poiché il resto è diverso d zero, il polinomio A( x ) non è divisibile per x sservimo, infine, che il resto è pri l vlore A x per x =, inftti: del polinomio ( ) A( x ) = + + = + + 0= n generle, vle, perciò l seguente 9

10 Proposizione Un polinomio A( x) è divisibile per un binomio del tipo x se il polinomio risult ugule zero, qundo l posto di x si sostituisce il numero Esempio 4 Dire se il polinomio ( ) A x = x x+ è divisibile per x Soluzione Dobbimo sostituire il vlore x = nel polinomio: () A = + = + = 0 dunque, essendo il vlore del polinomio per x =, 0, il polinomio A( x ) è divisibile per x Si può effetture l verific eseguendo l divisione: Regol di Ruffini x x+ : x x + x x 0 -x + x ( )( ) x x x x divisione di un polinomio ( ) + = A x per un binomio x si può effetture con un lgoritmo più snello del precedente, inoltre questo può dr luogo d un codice utomtico per il clcoltore 0

11 Tle lgoritmo prende il nome di Regol di Ruffini, dl nome del mtemtico e medico itlino Polo Ruffini (765-8) Per cpire come si origin questo lgoritmo, per semplicità di clcoli, riferimoci d un polinomio di secondo grdo: A( x) = bx + cx+ d (4) Ricordimo che dividendo tle polinomio per x si otterrà un polinomio quoziente di grdo (-=) del tipo px+ q ed un resto costnte, r Cioè deve vlere l identità bx cx d ( x )( px q) r + + = + + (5) Eseguimo, or, il prodotto l secondo membro e ordinimo il polinomio risultnte: ( x )( px+ q) + r = px + ( q p) x+ r q Sostituendo in (5) ottenimo: bx cx d px ( q p) x r q + + = + + (6) Applichimo il principio di identità dei polinomi, cioè uguglimo i coefficienti delle potenze delle incognite di pri grdo: b= p c= q p d = r q d queste equzioni possimo ricvre in funzione di b, c, d, che sono quntità note, non solo r che è il resto, m nche p e q che sono i coefficienti del polinomio quoziente Dunque bbimo p= b q = c + p r = d + q E trdizione disporre il clcolo nell form (7) b c d Al disotto dell line orizzontle verrnno scritti, d sinistr verso destr, i coefficienti del quoziente: così

12 b c b d (b+c) b c+b (b+c)+d il termine noto (b+c)+d è il resto Esempio 5 Clcolre quoziente e resto dell divisione x 5 x+ 6 : x ( ) ( ) Soluzione Si dispone il clcolo così: -5 6 l disotto dell line orizzontle vengono scritti i coefficienti del polinomio quoziente e del resto: e dunque ( )( ) x x+ = x+ x Regol di Ruffini trov un ppliczione notevole nell divisione di un binomio del tipo

13 per Trovimo subito: e x n n o x n + x o x + x è divisibile per x x è divisibile per x n n x è divisibile per x x + è divisibile per x+ 5 5 x + è divisibile per x+ n n x è divisibile per x solo per n dispri n coefficienti del polinomio quoziente si trovno fcilmente, d esempio, ( x 5 5 ): x clcolimo il quoziente di ( ) e quindi ( )( ) ( x ) = x x + x + x + x+ procedur illustrt per un polinomio di secondo grdo, in reltà può essere estes polinomi di grdo qulunque, come del resto visto nell ultimo esempio Esempio 6 Dividere il polinomio x Ax ( ) = x 4x x + per il binomio

14 Soluzione Applichimo l Regol di Ruffini tenendo conto che = x = x = x+ ( ( ) ) ( )( ) 4 + = x x x x x x x x Per poter scrivere un codice di clcolo utomtico, vlido per ogni polinomio di grdo n: Ax ( ) = x + x + x + + x+ n n n n 0 occorre disporre delle formule ricorsive che forniscono, i coefficienti del polinomio quoziente e il resto, nloghe lle (7) Tli formule srnno ricvte nel terzo livello, m se si vuole fr uso del codice sin d or come verific o in presenz di qulche esercizio prticolrmente complicto, esso è il seguente stmp("codice per il clcolo dei coefficienti del polinomio quoziente e del resto"); n=legginum("grdo del polinomio dividendo"); v=vettore(n); stmp("introduci i coefficienti del polinomio dividendo ordinti dl coefficiente del termine di primo grdo l coefficiente di grdo mssimo"); leggivett(v); v0=legginum("termine noto del polinomio dividendo"); =legginum("numero divisore x-"); w=vettore(n); w(n)=v(n); Per (i d n-) esegui j=n-i; w(j)=v(j)+w(j+)*; fine; 4

15 w0=v0+*w(); stmp("i coefficienti del polinomio divisore ordinti dl termine noto l coefficiente di grdo mssimo sono"); stmpvett(w); stmp("il resto dell divisione è r=",w0); se (w0=0) llor stmp("il polinomio è divisibile per x-",); ltrimenti stmp("il polinomio non è divisibile per x-",); Se il binomio divisore è del tipo px + q con p 0, il precedente procedimento si può pplicre se preliminrmente si dividono i coefficienti q di Ax ( ) per p e poi si consider il binomio divisore x p 5

16 4 Minimo comune multiplo di un insieme di polinomi Anlogmente qunto si è detto proposito dei numeri e dei monomi, è possibile prlre di un minimo comune multiplo (mcm) di un insieme non vuoto di polinomi Dti due o più polinomi, chimimo loro minimo comune multiplo il polinomio di grdo minimo fr i polinomi divisibili per ognuno dei polinomi dti Per determinre il mcm di un insieme di polinomi conviene: ttorizzre i polinomi in termini di fttori primi; Considerre il prodotto dell potenz più lt di ciscun fttore primo, che ppre in ogni polinomio (tle prodotto è in generle il mcm) Esercizio 8 Trovre il mcm di ( ), ( + ), ( )( ) + Soluzione fttori primi sono ( ), ( + ) e ( )( ) + ; prendendo le loro potenze più elevte, il mcm è: + ( ) ( ) ( ) Esercizio 9 Trovre il mcm dei cinque polinomi x x+ ; x + x+ ; x ; x x+ ; x + x+ Soluzione ccorre prim fttorizzre i polinomi: ( ) + = ; x x x 6

17 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) + + = + ; x x x x x x = + ; x x x x x x x + = = ; x + x + = x x + + x + = x + x + fttori primi che compiono nei polinomi sono x +, x+, x, x+ e tenendo conto delle potenze, il mcm cercto è ( x ) ( x ) ( x )( x ) + + Esercizio 0 Trovre il mcm di 6 5 A( x) = 4x 4x + 4x x + 5x6; B x = 4x 4x 9x + x x + x ( ) Soluzione E fcile operre le seguenti fttorizzzioni: 5 A x = x 4x + 4x 9x+ 6 ; ( ) ( )( ) 7 ( ) = ( )( + + ) B x x 4x 9x x A questo punto, però, non simo in grdo di stbilire se i polinomi 5 7 4x + 4x 9x+ 6 e 4x 9x + x + bbino fttori comuni: possimo solo dire che il polinomio finle x 4x 5 + 4x 9x+ 6 4x 7 9x + x + ( )( )( ) è un multiplo comune di A( x ) e ( ) B x, m che forse non è il minimo ultimo esempio considerto mette in evidenz che in prtic non sempre è fcile clcolre il mcm di un insieme di polinomi ortuntmente, però, nche per i nostri scopi futuri (cfr prgrfo successivo), il più delle volte è sufficiente clcolre un loro multiplo comune, nche se non è il minimo 7

18 5 Espressioni rzionli Come è noto, un frzione che contiene l denomintore delle lettere (vribili) si dice espressione lgebric rzionle o frzione lgebric n ltre prole, possimo dire che un frzione lgebric può contenere polinomi l numertore o l denomintore; nturlmente occorre escludere i vlori delle vribili che nnullno il denomintore Esempio 7 4 con x 0 ; x b con b e b b x + x5 6 con x x + ; Poiché ogni numero può essere considerto come un polinomio di grdo zero, possimo sserire che l insieme delle funzioni lgebriche contiene l insieme delle frzioni numeriche Di conseguenz, le operzioni lgebriche con le reltive proprietà, che or definiremo, devono conservre nell insieme delle frzioni lgebriche tutte le proprietà già considerte per le frzioni numeriche 5 Principio fondmentle delle frzioni Se A, BC,, e D sono polinomi, con B e D diversi dl polinomio nullo, risult A C = se e solo se A D= B C (7) B D conseguenz più importnte di tle principio è che, dt l frzione lgebric A B, risult A AE = (8) B B E 8

19 qulunque si il polinomio non nullo E (8), scritt nell form AE A = B E B spesso viene dett legge di cncellzione Grzie d ess, si può dividere numertore e denomintore per tutti i loro fttori comuni; in tl cso si dice che l frzione è stt ridott i minimi termini Esempio 8 8 = 4 = 4 ; x ( x )( ) = = (dividendo numertore e x ( x )( x+ ) denomintore per il fttore comune x- supposto diverso d zero)= x + ; 4 bc b = (fttore comune bc); bc c bx + b b( x + ) b( x + ) = = = x + bx + + b ( + b) x + ( + b) ( + b)( x + ) b (dividendo per x ; + b + supposto diverso d zero ) = ( ) 5 Moltipliczione e divisione di frzioni l prodotto di due o più frzioni si ottiene moltiplicndo tr loro i numertori e i denomintori: A C A C = B D B D 9

20 Esercizio Clcolre il prodotto delle seguenti frzioni: x+ x,, b x 5 Soluzione ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) x+ x x x+ x+ x = = b x 5 b x 5 5b x Esercizio Clcolre il prodotto delle seguenti frzioni: + b + b b + b,, b + b 4 ( ) Soluzione + b + b b ( + b) = b + b 4 = (ricordndo lcune identità notevoli) = ( + b) b ( + b) ( + b) ( b) ( + b) = = b + b + b + + b b + b + ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) =(dividendo numertore e denomintore per i fttori comuni) = = ( ) ( )( ) ( ) + b + b = + 4 A volte, come nell esercizio precedente, prim di eseguire i prodotti conviene fttorizzre i numertori e i denomintori divisione di due frzioni lgebriche si ottiene moltiplicndo l frzione dividendo per l reciproc dell frzione divisore: A C A D : = B D B C 0

21 Esercizio Dividere x 4 6x 5 per 5 Soluzione x : x = x = x = x x x Esercizio 4 Dividere x x + x per x + x Soluzione x : x x x + x = = x+ x + x x+ x ( x )( x+ ) x( x+ ) ( x )( x+ ) x( x+ ) = = = x( x+ ) = x + x x+ x x+ x ( )( ) 5 Addizione e sottrzione di frzioni somm di due o più frzioni lgebriche venti lo stesso denomintore è l frzione vente l numertore l somm dei numertori e per denomintore il comune denomintore: A C D A+ C D + = B B B B Esempio 9

22 ( ) x x 4+ 5c x + x 4+ 5c + = = x+ x+ x+ x+ x + x 45c 4x55c = = x + x + Se le frzioni d sommre non hnno lo stesso denomintore, occorre sostituirle con frzioni equivlenti, m con denomintore comune l procedimento è nlogo quello noto per le frzioni numeriche Dte le frzioni A B, C, ecc, per ridurle llo stesso denomintore occorre: D ) Determinre il mcm dei denomintori (o, in mncnz, il loro multiplo comune); si mcm(b,d, )=M; ) Dividere M per B,D, ottenendo rispettivmente i quozienti Q,S, ; ) Allor per l (8) si h che A A Q A Q = = B BQ M C C S C S = = D D S M Esercizio 5 Sommre le frzioni 4x e x + Soluzione ) mcm( 4 x, x + ) = ( 4 x)( x + ) ; ( x+ ) 4x ) =, = 4x 4x x+ x+ 4x x+ ( )( ) ( )( ) ( ) x ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) x + 4 x+ + 4x + = + = = 4x x+ 4x x+ 4x x+ 4x x+

23 x+ + 4x + x ( x) + = = = ( 4x)( x+ ) ( 4x)( x+ ) ( 4x)( x+ ) Esercizio 6 b b Sommre le frzioni, + b b b e bb Soluzione Essendo + b= + b ( ) b b = b( b) = = ( )( + ) ( ) b b b b b b b risult mcm = b( b)( + b) ; b b bb( b) + b( + b) = = ( + b) b( b) b( b)( + b) b( b)( + b) b ( b) + b( + b) + = = b( b)( + b) 54 Elevmento potenz elevmento potenz di un frzione lgebric si definisce in perfett nlogi con le frzioni numeriche; pertnto, dt l frzione lgebric A B e un intero positivo n, risult: n A A = B B n n n A B B = = B A A n n n Esercizio 7

24 Clcolre x + ; x x+ Soluzione ( x + ) ( x ) x+ 4x + 4x+ = = ; x x x+ ( x + ) x+ x + x + x+ = = = x somm dei primi n numeri dispri consecutivi Nel volume del livello pg, bbimo dto l formul: n = n che fornisce l somm dei primi n numeri dispri consecutivi, senz drne un dimostrzione rigoros, cos che ci ccingimo fre Considerimo un cerchio di rggio n, con n numero nturle mggiore di ; l re di questo cerchio è notorimente π n ( igur ) n- n- n igur nserimo in questo cerchio n cerchi concentrici di rggi rispettivi,,,, n- re del cerchio di rggio n, si può nche determinre sommndo 4

25 ll re del primo cerchio (rggio ) le ree delle rimnenti corone circolri, per cui si h: π ( π π ) ( π π ) ( π ( k ) π ( k) ) ( π ( n) π ( n ) ) π ( 5 k n ) = uguglindo le due espressioni si h π k+ + + n = π n e dividendo per π k+ + + n = n ( ) ( ) QED 7 Esercizi supplementri 7 Espressioni lgebriche Clcolre il qudrto, diminuito del triplo dei seguenti numeri: 5; 5; 45; 75; 868; 8548 Clcolre l're evidenzit nell figur x x x per i seguenti vlori di x e : x = 5, = 7; x = 5, = 58; x = 85, = 64 Qul è l'ordine di grndezz in ciscun cso? Dire quli delle seguenti espressioni lgebriche sono rzionli, intere e quli frtte 5x 7 7x x 6x + x x + x+ ; ; ; x + x 5

26 7 4 x ;4xz ; x ; x 4x + x + Scrivere sotto form di espressione lgebric i seguenti enunciti: 5 l quoziente fr l somm dei cubi di due numeri, diminuit del doppio dell differenz dei loro qudrti, e l somm dei numeri stessi 6 somm dei cubi di due numeri, per il cubo dell loro somm 7 somm del qudrto di un numero, e del quoziente fr il cubo dello stesso numero e del cubo successivo 8 l quoziente dell differenz dei cubi di due numeri, e del reciproco dell somm dei qudrti 9 differenz dell somm di due numeri, e del reciproco dell somm delle loro qurte potenze 0 differenz tr il prodotto di due numeri e il reciproco dell loro somm l qudrto l quoziente fr l somm delle qurte potenze di due numeri, umentt del loro triplo prodotto, e l somm dei numeri stessi diminuit del loro doppio prodotto differenz dei qudrti di due numeri è ugule l prodotto dell loro somm per l loro differenz l qudrto dell somm di due numeri è ugule ll somm dei qudrti di ciscuno di essi e del loro doppio prodotto 4 l cubo dell somm di due numeri è ugule ll somm dei cubi dei numeri dti e dei tripli prodotti del qudrto di ognuno di essi per l'ltro 5 l quoziente dell differenz tr il triplo del primo e il doppio del secondo, con l differenz dei loro qudrti 6 l prodotto dell differenz dei qudrti di due numeri per l metà del qudrto di uno di essi Trdurre in enunciti le seguenti espressioni lgebriche: x + x x+ ; ; x x + 7 ( ) ( x+ ) ( ) ( ) 6

27 8 9 b + ( + ) + + x b ; ; x G ( b ) f b g + x+ ; x + - x; x KJ x x+ 7 Monomi 0 Specificre il grdo dei seguenti monomi: 8 5 4x ; 7 x ; ; 4x ; 8xz; 5x ; 5x; ; 8x Eseguire le seguenti somme lgebriche: 5 x + 7 x + x x K + x 6 4 bc+ cb c b 59 + c b 5K z+ z z+ bc z+ bc K b g m n mn mn 4m n + mn 4 mn mn b bc+ b 4bc b bc( + c) Q 7 x 7 x + x 4 x+ 5 x x 5x x 7x x + 00 x 7 + x x + x x z x z z z x x + + z x x x z z x x z 5 4 7

28 mn n mn n mn + mn + 5mn + 5 mn 46 n + mn 5 4 n + n 0 n x x x + 5x n + n x + 5 n n n n x 4 x + x x 5 4 x x x x x+ 8x x + x 5x x 5x x x+ x b b b b b+ + b + b n n n 54 5 b5b 5 0 b+ b + 5b+ b b b b b + b b b b x x + 05 x x x + x x x xz x + x xz x+ x + x xz x Completre in modo che le seguenti espressioni risultino monomi simili: 8 x ; ; 8

29 9 bc; 7 c ; bc 5 40 x ; z ; x 4 Eseguire i seguenti prodotti di monomi: 5 4 xf; 4x( ) ; x x ; ( ) ( 6b 5 4 K ) 4 ( ) K K ( ) K b b ; s t st t ; b c 5 4 K ( b ) 4 K 7 K K ( 5 ) 7 4 bx ; x z b x 5 K bx b z b 6 K ( )( ) K ; K 5 K 45 K K K mn mn mn mn K m n K ( ) K bc 55 d bd ( 0 ) bcd b g 7 c bd 6 5c cb 4 K K K cbd c+ c b c 5 K 5 K K 09 cb 8 K mn mn mn mn 9 K 6 K 6 K 4 0 m n 5 K b b x b b bx K K 5 K ( ) 9b 8 x b b c b 0 b 00 K 4 K b gb g 9 b c 0 9

30 5 K xz x b z g x z xz 5 Kb g K 5 6 mn pb mn pg mp b0n p g m n p 6 K 550 mnp 6 8 Clcolre il vlore delle seguenti espressioni lgebriche: xb xg+ 4x b6xgbxg 5x 4x 8x 55 K b b b + 6b + 4 b 47 b + 4b 56 + K + 75 x xf x x x x K x b b b K + 6 K + K 7 b x + x + + x( x)x x + + x x 4 K x + 59 K + K + 4 x x x x xf x K x 8 60 K + K 8 x b xg x x 5 K 5 4 x b b b b b 4 K K 67 9 K 4 4 b 0 6 x x + x x x K x 6 xx 6 b g 6 ( ) K ( )+ b 8b 4 b 4 + ( )( b )+ 4b+ 64 bbg ( b)+ b+ 0 ( b) b 0

31 b b+ b+ b + b 5 4 K 66 K b x x x 4 b 9 b g 7 9 x b x 6 7 ( ) K + K K 0 K x z x z 9 + ( 4 ) K b z g xb x zg z 7 60 xz + xz K + 4 ( )+ b g K 8 ( ) b g b g K 4 4 mn mn 9 ( )+ 5 + K + + K b+ b b 6b b b b b 70 4m n m n m n n m n m 7 4+ b b b b b Completre le seguenti espressioni: bg bg bg b= b; c = c ; = b = b b 7 K ; 05 = () 9 74 x b 8 = ( ) ; K K = ( 5 ) 75 4 b xg xk = bx g 4 x z x z 5 K 5 K = 5 76 K

32 Ridurre in form più semplice le seguenti espressioni: 77 K ( ) 8 4 K 4 K b b b ; x x K R 78 S T + ( ) 8 ( )+ U + 4 VW b g b g c R 79 S T + K + + K + K U V 8 W 7 b; 048 x x x x x x x x x z 0 80 ( ) ( b) b b ( ) ( b) + 8b 60b 8 b ( b) ( b) ( b) ( )+ b 0 K 4 b g b g 8 b b b b b K + K K c 9 9 b Eseguire le seguenti divisioni: 8 K K ( ) K b bg: b ; x : x ; x : x 7 K 0 ; x ; 8x bc c x z x z b b 4 K 8 K 5 K 5 K 7 K : ; : ; : 7 K 6 b ; xz; b bc 5 : b4bcg ; 4x 5 : x ; 5x : 5x b K b g f K b ; 8x ; x b K 4 b gb g b8 gb9 g x : 5 K K x : x; xz : x; x : x x K 5 4 ; 4 x z ; x 8

33 xz: x ; x: ; x: 5 5 K 4 K 5K 4 5 4xz; x ; 6x 4 Completre le seguenti scritture in modo che l'uguglinz si vlid: x: = 9x; : x = x 4 89 x = x ( ) xz = xz K 5 : ; :b g b g b g b : = ( ) 4 = 5 K b; : b x g x m m m m = ( ) K : ; : xz : 5 ; (): 05 x =4x K = x x b b Ridurre in form più semplice le seguenti espressioni: b gb g f b g b x xg : x x + ( 05 x) x K b g 0 4x 9 95 x + K ( ) K x x b b g : b g b K U x x x : x+ x x RST :b g VW 6 x 9 R 97 S T K U m+ n m n b b b m n m n 4 b g : b b V W : 8 98 ( 4 )+ b g: : b g : b g xb xgb : xg 4 : b xg + b6xgb 5 : 6xg x x x : x x : x 6x + x x : x : x x

34 RST f f 0 U 00 m p: mp pm + m p VW + m : m + m: mm m m m+ m+ m+ m 0 ( ):( ) + ( : )( ) + : ( con ) x x x x m 0 Determinre il MCD ed il mcm dei seguenti monomi: 0, 6, 5 0 x, 5x, x b, b c, 5c 05 4x, xz, 5z b c, 0bc, 0c x, x, x x, 0x, x z, x z, z 0 x 5, - 49xz, 5x, 7xz 7 4xz 5, 8xz, xz 4 8b, 0bc, 5bc 4 n m n m n m 5 b, 6 b, 4 z xz, xz, 4xz Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre 5 Qundo due espressioni lgebriche si dicono identiche? 6 Qul è l'estt definizione del termine monomio? 7 Che cos sono il grdo rispetto d un letter e il grdo complessivo di un monomio? 8 Un monomio si dice di grdo zero se 4

35 9 Due o più monomi si dicono simili se, identici se, opposti se 0 Qule risultto si ottiene sommndo due monomi opposti? Dti due monomi, si dice che il primo è divisibile per il secondo se 7 Polinomi Determinre il grdo dei seguenti polinomi: 4 5xz x + xz; 08 x x + 4 4x x + x+ ; 6x + 5 b x x x + ; 5x x Nelle seguenti espressioni lgebriche, riconoscere i polinomi: 4 5 x x + ; + x ; x x 6 5 x + ; x + + ; z + z b+ Stbilire se i seguenti polinomi sono interi o frtti: x + x + 5x; x + bx b + 4 b b c ; x + b x 8 c bx + b; bc + b 8 5 x 5 rdinre in senso decrescente i seguenti polinomi: 0 + 4x + 5x 5 7x 4 + x ; 6x x 6x 5 + x 7x+ 8x 5 x 4 + ; 48x 45+ 6x 7x 4 + 5

36 ; 8x 7x+ 4 5x ; x 0 5x + 7 Rendere completi i seguenti polinomi nell letter x e ordinrli secondo le potenze decrescenti di tle letter: x x + 7x 9x + 4x x 0x + x + 7x 8+ x x x+ x + 4x x x + 4 Eseguire le seguenti somme lgebriche: 7 ( bc+ cd)+ ( 5bc+ c4d)+ ( 4b 4cb+ d) 4( bc+ c d + b) b g b g b g 8 x + x x + 7x x + 5x x x4 f f K 5 f f z 5z + 4z z+ 6 + z k 0 0 x x x+ 0 + x} 4 + b K + b K 4 x x x x x + K R ST G x x x 44 b c bc bc c c b 4 K + 5 z 4 5x 0 b g b g K J U V W + b x + x 6 6

37 45 05 x + 05 x x5 x b c bc 4 b g b g x b x g+ b + xg + x K x b + g + b + g Eseguire i seguenti prodotti di polinomi: b g f b g b x z x z gb x z 4 g; ( x + )( x ) pqrb 4 5 pq qrg 5 6 pqrb 7 4 pr pq qr 7 g 48 6x + z x + ; 0x z 6xz 4x x + x( 4+ x) ; 4+ x{ + x + x( + x) } 5 x x + 4x + 4x x + 6x b g b g ( b )( + b) ; x+ f x f ; ( x ) ( x b) + fb + g fb + + g ; fb + g; ( + ) b g b x + x gb x + x g b x x+ gb x + x g ; b x + x gb x + xg b x x gb x x g bx x x gb x g x x x x x x 55 x x x b b b ; ( + b+ c) ( + b c) ; ( b) ( + b) Ridurre in form più semplice le seguenti espressioni: 4 b gb g b g b g 6 b x + g + + f + f + f f+ f bx + xg+ + f 60 4x 4 4x 4 4x 4 6x + x x x x x x x x 7

38 x x x x + x x x x x 4 K 4 K K 4 K x x xx ( x ) ( x+ ) 9x K x x + x x x 5 K 5 K 5 5 K 8 4 x x x ( + bc) ( + b+ c) ( + bc) + 8b + 0c c+ b6bc 66 ( b) ( + b+ c)+ ( b) ( b+ + ) ( 5+ c ) + b( c) 67 K ( ) b 9b b ( + b ) b g 4 + K k x x fp 5x x f x + + b 4 gb 4 gb 4 + g b + g b b b 4b b ( x+ ) 5+ x+ x 5x + x + x x 7x + x x + x 4x b g b g b g 0 b + + gb + gb 4 g 8 ( ) + ( ) Clcolre con un clcoltore con displ otto cifre il prodotto estto P Q, per i seguenti vlori di Pe Q: 7 P = 47895, Q = P = 4567, Q = P = 78945, Q = P = 5004, Q = P = , Q =

39 77 P = 045, Q = 7895 Utilizzndo, eventulmente, identità notevoli, clcolre il vlore delle seguenti espressioni: 78 ( x ) ( x + ) ; ( x + ) ( x 4) ; ( 5x + ) ( 5x ) f f; x f x+ f ; ( + b) + f ; ( + + ) ; + 4 f + ; K ; + K f m m+ m m+ m+ b + g ; b + g ; b + gb g x+ + z f x+ z+ f b + + bgbb + g ( + + )( + + ) 4 4 b + g ; b+ gb4 + gb g x G 4 K J ; K 5 b b ; K b g b b cg; b x x g 79 x+ x 4 ( 8k m) ( 9k+ 5m) x b c x 8 x x x z 8 b x 84 ; 85 b c b c ; + K K 86 xz xz xz 87 b b x Completre in modo che l'uguglinz si vlid: b g f f f b g 90 4x + = x+ ; x + z x = x + xz b gb g b g 4 b + + 7gb + g= b g x + x+ x = x + + x 9 Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre 9 Che cos'è un polinomio? 94 Un polinomio si dice ridotto se 9

40 95 Un polinomio si dice binomio se, trinomio se, qudrinomio se 96 Qundo un polinomio si dice intero e qundo frtto? 97 Come si stbiliscono il grdo rispetto d un letter ed il grdo ssoluto di un polinomio? 98 Un polinomio si dice omogeneo se 99 Un polinomio si dice completo se 00 Che cos sono gli zeri o nche rdici di un polinomio? 74 Principio di identità dei polinomi Utilizzndo il principio di identità dei polinomi, dimostrre che le seguenti coppie di polinomi sono identici: 0 x + 6x+ 60, ( x+ 6) ( x+ 0) 0 x 0x 75, ( x+ 5) ( x 5) b g b g 0 x +, ( x+ ) x x+ 04 x, ( x) bx + x+ g 05 x + 7x 60, ( 4x -)( x+ 0) 06 x + x+ 5, x+ 4K x x+, 6 x+ 9x K x + 9x+ 5, 7x + 5x ( x+ ) ( x 5) 09 5x + 6x+ 8 4x + ( + x), b g 4 0 x x, x ( x) ( x+ ) x + 4x5, ( x) ( x+ 5) x 9x0, ( x5) ( x+ ) ( x+ ) 40

41 75 Divisione di un polinomio per un binomio Scrivi lgoritmo e reltivo digrmm di flusso nei seguenti csi: per il clcolo del vlore del polinomio A(x) in un punto z b per il clcolo di polinomio quoziente e resto dell divisione A(x):x-z Clcolre il vlore del polinomio A(x) nei punti z indicti determinndo nche il polinomio quoziente ed il resto dell divisione A(x) per x-z 4 A( x) = x + x + x, z=,, A( x) = x + 05 x x + 08, ( z= 078,, ) 6 A( x) = 4x + x 5x, ( z=,, ) K 7 A( x) = 5 x + 4x 05 x 44, ( z=, 55, ) 8 A( x) = 5 +, ( z=, 0 ) A( x) = x x + x, ( z=,, 0 5 ) 0 A( x) = 6 5 x 4 x + x x+, z=,,, 08K A( x) = 5x x x+, ( z=, 0, ) 4 A( x) = 5x + x + 6x, ( z=,, 0 75) 4 n quli csi dell'es precedente, il polinomio è divisibile per x-z? 4 A( x) = 5x 4 x 5x+, ( z=,, ) 5 A( x) = 7x x + x+, z= 0,, 5 K 4 6 A( x) = x x + x, z=,, 5 0 K Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre 7 Dividendo un polinomio per un binomio si ottiene ncor un 4

42 8 Come si stbilisce il grdo del polinomio quoziente? 9 Se il polinomio resto, che si ottiene dividendo un polinomio per un binomio, è il polinomio nullo, cos si può concludere? 0 Dll divisione di un polinomio A(x) e un binomio (x - z), si ottiene A( x)= ( x zq ) ( x) + R( x) ove Q( x ) rppresent il polinomio quoziente e R( x ) il polinomio resto, se R( z ) = 0 cos si può concludere rigurdo l vlore z? 76 Divisione di due polinomi b gb g x + x x + x : x + x Qx ( )= 4x x+ 4 5 b x + x + 0x+ g: ( x+ ) Qx ( )= 7x + 4x+ b gb g b g :( 5 ) Qm m 5 m : 45 Q ( )= m m m m ( )= b m 4 + 7m n n 4 mn g: ( m+ n) b x x x + x+ g: ( x) ( x+ ) Qx ( )= x x 8 bx x + xg: ( x +) Qx ( )= x x b x + x x + xg: ( x 0 5) Qx ( )= 4x + 8x 4x b gb g x x x + x 7x+ x 4x : K 4 K x x + x + 4x x x x 0 K + 5 K 4 4 x x + x + 60x x x 5 b x 6 x 5 + x 4 + x x x+ gb x x x+ g x x x + x + x+ : x Qx ( )= x 4x + x : Qx ( )= x + x : + K K : 4 Qx ( )= x + x+ 4

43 d i d i b x 7 x 5 + x + x + gb x 4 x + g b x 4 x + x x+ gb x x+ g b x 7 x 6 + x 5 x 4 + x x + gb x x + g 45 6x 5x + x : 9x x+ 4 Qx ( )= 4x : 7 5 Qx ( )= 7x x : 4 5 Qx ( )= x x : 5 b gb g b + ( + ) gb + + g 4 Qx ( )= 5x + x + x x + x + x + x + : x + Qx ( )= 4x + x x x + x + x + x x + x : 4x x + x 9 9 K K 4 4 Qx ( )= 4x + x + 5 x x x x x x : x x 4 Qx ( )= x + x m + m m m m+ : m 6m K 5K Qx ( )= m + m x 5 + x 4 + 4x + x + x + x 4 + x : 4x + x K K Qx ( )= x + x + x x x + x x x x 6 4 K : K Qx ( )= x x Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre: 55 l grdo del polinomio resto rispetto quello del polinomio divisore è 56 Dti i polinomi quoziente e resto si può rislire l grdo del polinomio dividendo? 57 Se il polinomio dividendo è incompleto e il polinomio divisore è completo si può effetture ugulmente l divisione? 4

44 77 ttorizzzione di un polinomio ttorizzre i seguenti polinomi medinte il criterio del rccoglimento fttore comune: 58 x xz + x ; 5x0x x z+ f; 5x( x) 59 x + 4x+ x ; x 4 x xx b + 4+ xg; x( x) 60 4x 8x 4; m n+ 4mn 4( x( x ) ) ;mn( m+ n) 6 b 6b + 9b b ( + b) b g b cd b 4 bcx d g xb x 4 x + x+ g b4 + 7 g bc + 6b + 9c b g 4 xx x + 7 K + ( + ) ( + ); ( + ) + f f f + f k + f + f+ + } 6 bc + b c b c bc + b bc 6 0bcd 4 x 5bcd x 4x + 0x + 6x x x + 7x x x x bc+ b c+ bc x + x + x ( x + )+ b( x + ; ) x( + b)+ ( + b) x b b x f f + f + + f + + f 69 x x x x 70 x bx cx x x x b c 7 x ( x+ )+ x( x+ )+ x ( x+ ) x( x + ) x( x + ) + 7 ( b) ( + b) ( 5 ) ( + b)+ ( + b) ( + b) ( + b) ( + ) 4 7 ( m+ ) ( m n)+ ( m+ ) ( m n) + ( m+ ) ( m n) ( m+ ) ( m n) + ( m+ ) ( m n+ ) 74 ( + z)+ ( + ) + ( + ) ( + z) + ( + ) ( + 4) 75 x( + b+ c)+ ( + b+ c)+ x+ f x+ ( + b+ c) + x+ f f 44

45 f f ( + b) bx + f + + f + b + + g + + f x+ f 4+ b+ 76 b x b x b 77 4x bx x x ( ) 78 m m + m( m) + m ( m) mm ( ) ( m ) 79 4b ( x 5) b( x 5) + b( x 5) b( x 5) ( x 5) ( 4 ( x 5) )+ f x+ fb+ + g + + ( ) ( b) b + x+ g 80 x+ x x+ x+ + x + 8 b x bx b 8 ( m+ n) m( m+ n) n ( m+ n) mn( m + n) b g f b + g + ( ) x f bc( + b c) 4 8 x x + x x xx + x 84 x b x x bx + + x b b x f 85 x + x x bc+ b c+ bc + b c4bc 4b c b g 87 5m 0mn + ( m 4n) + m 5mn m( m 5n) ( 5m+ ) ( m n) m( m 5n) 88 ( + b) b ( + b)+ 4 b ( + b) ( + b) ( + b) 89 ( m+ n) bm ( + n)+ ( + b) ( m+ n) m ( + n) ( m+ n+ ) 90 ( + b) ( + b) ( + b)+ b ( + b) 9 m m n+ n + 4n+ mn mm ( n) + nn ( + ) f b g f b + bgx+ +f + 6x fbx g b bgb 4bg 9 x+ + + b + b x+ 9 6x x x 94 b b b mn + 8mn 6mn mn mnm ( 4n) ( mn ) 45

46 96 6 x 6 + bx b 4 cx + 4 c f x ( + b c) x x 6 x + bx + bx + 6bx x ( b) x + x bx + bx bx + x x x 4 b + x + x ttorizzre i seguenti polinomi utilizzndo le identità notevoli: b ; x 6; x 9; 9 64x b ; 4x ; 4 f 0 b ; 4x x ; ( + b) ( b) ( + b) x + x 0 + b + b; x + 4 4x ; f f x + x x+ + x+ ; f f f f 4 b b gb g 05 x + + x+ x x b b+ 6+ b ( + b+ ) 07 + b + 4b + 4b 4 b 08 x + x+ ; 44x 4x x+ x+ + ; x+ + x+ f g K f f f f 09 ( +b) ( b) + ( + b)+ ( + b ) ; x + + x + x 7 ( + ) ; x+ K 46

47 f f f f f f x+ + x+ x + x+ x + x x f ; + 8; + b ( ) + + ;( + ) + 4 ;( + b) b+ b b g b g b g b ; + x b K b b ; + K x + K x x b b; 4x + b b 4x ( + b) + ( + b) x ( + b) x + ( + b) ; f f f + f 5fx f + x fx+ f+ x+ f 5 x x 6 x x + x ; b f ; x ( x) + ( x)+ ( + b) ( ) b( )+ b 7 x 7x+ 0; x 6x+ 8; x + 6x+ 8 ( x 5) ( x ) ; ( x ) ( x 4) ; ( x + ) ( x + 4) 4 8 x 5x + 4; + ; ( x ) ( x + ) ( x ) ( x + ) ; ( ) ( + 4) ; ( 7) ( 8) K 9 x x + ; x + ( + b) x + b ( x ) ( x ) ; ( x + ) ( x + b) 0 x 9x + 8 ; x + ( + b) x + 6b + + x 8+ x ; ( x+ ) ( x+ b) f f x 4 x ; x 8 8x x ( x ) ( x+ ) x x + x ( x 4) + ( x x + ) 6b( x ) ; b gb g 4 b ; 4m n m 6m + 4n ( x ) ( x ) ( b+ ) ; ( m n) ( m+ n) ( m ) ( m+ ) x x x x + x( x) + 5x f ; b g ( x) ; ( x+ ) f f 4 x bx + b + bx bx x bx+ b 5 bx + 00b0bxb x 75b + 0b x 47

48 b( + b) ( b) ( x 5) x 0x+ 5x 5x + 0x 5x 5x x x+ ( x ) ( x ) bb b + b f f b( b) ( + b) ( b) x + 60x 0x + 5x ; 9x x x + x + x ( )( + ) K x b xg ; x x x x x mnx + 5mn + 0mnx 5mn 5m n ( m n) ( m+ n) x x + K b gb g mx + 4mnx mnx + 7m 6mn + 8mn m x + x 4m mn + n b gb gb g x bx 5x + 7x7bx b b g f f ( b) + b+ b x x x + bx x bx 6 x 6b x b ( + b) b+ b x 4 x+ 4 x b gb gb gb g 7m 5 + 7n m 8n m 8n 5 ; mn mn + 7p mn 6mn ( m n) 9m + 6mn+ 4n m + n ; mn m+ n p m+ n+ p b gb g f f mn 08mn + mn 4 4 mn ( mn) ( m 4n) bm + 7nm+ n x 6bx 6x+ 96bx b b bgb + bgb + 4bgxf m p mp 7m p + mp n ; x ( 5) x K 7mp m p n m p n ; ( x 5) ( x + ) K b9b 6b+ 9b + b+ 6b ( b) ( b ) ( + b+ ) g 48

49 f f 8 x + 4 4x 9b 6b x b x + + b b gb 4 g x ( x b) ( x+ b) x+ 9 x + ( b) x bx x 4b ( ) ttorizzre i seguenti polinomi, medinte divisione per un binomio: ; x + 7x+ 6 ( ) b 4+ g; ( x+ ) ( x+ ) 4 4x + x x+ ; m 9m + m+ 8 ( x+ ) 4x x+ ; ( m4) m m b g b g 4 4 m 5m + m+ ; x + x x ( ) + 4 ; ( x) x + 5x+ b g b g ; + ( ) ; ( ) b g b g 44 x 4 x 5 x x x + ; + x 8 ( x ) 5 x x+ x x x K + K ; x 6x + 4x 9; x 4 + 0x 7 ( x ) 5x + 9x+ ; ( x ) x x x+ 7 b g b g 4 46 x + x + x + x+ ; x x + 5x 4 ( x+ ) x + x+ ; ( x) x x+ 4 K b g b g 47 x 4 5x + x 0x+ 40; x + x x ( x ) bx x 0g; ( x ) ( x+ ) ( x+ ) 48 7x 5 + 8x ; x 5x + 4x 4 ( x+ ) b7x 7x + 7x + x g; ( x ) ( x ) ( x ) 49 x + 5x + x ; 8x 8x + 6x ( x+ )( x+ )( x ) x x x + K ; b g x x + 5x+ 6; x x 4x + 9 ( x+ ) x x + x+ ; ( x) x + x x ttorizzre i seguenti polinomi: b g b g 49

50 5 x + 0x + 5; 6 x + 8x + ; x + 6x + 5 x + 4x ; x 4 x b g b g b + 6b ; 4b ; ( ) f b g 54 4 x+ + b x + x+ + x + x+ f 4 x+ ( + b+ ) 55 80b + 40b + 5b 4 ; b( 4+ b) RST ; b g K U V W x 6 x + 4x x ( ) 58 ( b) c ; 5xf 6x+ f ( b c) ( b+ c) x 9 9x ; f f b + 6c 4c; 0 6x 0 5 ( 4c)6b ( 4c)+ 6b ; 04 x x + 05 f f 60 x 4 + 4x x ; 4bc 8bd+ 6dc x ( x ) ( x+ 7) ; ( d ) ( c 4b) b g ( b) b + b + b+ bg ( ) ( + )( ) ( ) b 4 4 g 6 b + b + b( b) 6 m( m n) m n nm n m n m n m n mn 6 x x+ 4 + x+ 4 x + x ; ; f f f f ( ) b g; x+ 4f+ xf m 6 + 6m + 64; x + 6 x ( m+ ) m m+ 4 ; ( x+ ) x x+ b g b g 65 x x+ + x( x ) ; + b+ b + b ( x ) + b+ b ( + b) ; ( 7x) 4+ x ; b g 50

51 ( 05 0 ) ; ( x 5) ( x 7) x + x x ; x x+ + ( x ) ( x+ ) ( x ) bx + x + x+ g; ( x) ( x + ) 68 b0b ; + ( + b) b ( )( + ) K b bg; b b ; f b g ; f x 8+ x + 6x + ; x + x x + x+ 4 ( x+ ) ; ( x ) x + x+ + b g b g 7 ( b ) ( b+ ) b( b + ) 7 z + ( + bz ) + b; + ( 5b ) 5b ( z+ ) ( z+ b) + 5b ; f f ; ( + b) + b ; b b gb g f f 74 z + ( + b) z+ b ( z+ ) ( z+ b) Scomporre in fttori i seguenti polinomi: b + b 76 8x z + 4x z + 4xz + 8z bc bc + b 4 78 x x b b + ; x 5x x 5 + x 4 4x 4x ; x 5bx+ 6b ; x + x b x + b x ; x 9x bc c + bd cd ; x 4 5x 4 4 5

52 84 b bc + b bc; x + x bcx 4 6 d x ; x + x0 b gb g b n gb m n m n g m b b gb b b g b b gb g 86 x + x + x x + + x 87 m + n m + n b m + n n b m b m + + n b b 88 x b + x b + b x b b 5 + b x + + x x x x x 89 + b + b b b b + x b x + b + b Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre: 90 Spiegre con prole proprie le seguenti espressioni: Rccoglimento fttore comune przile ; b Rccoglimento fttore comune totle 9 differenz di due qudrti è ugule l prodotto per l loro 9 Gli eventuli zeri di un polinomio sono divisori del termine di grdo del polinomio stesso 9 Dto il seguente trinomio di secondo grdo x + x + b tle che = m + n e b = mn, come si scompone il trinomio? 78 Minimo comune multiplo e mssimo comune divisore di un insieme di polinomi Dopo ver scomposto in fttori i seguenti polinomi, se ne determini MCD e mcm 94 9; 6+ 9; 6 f b g b g 95 4xx+ ; 6xx ; xx x x ; x x ; x + x + x 4 97 x; x + x + x; x x; x x 5

53 f 98 x x ; x x + ; 8 x ; x 99 b 4c ; b + 4c 4bc; b 6c 400 x 4x+ ; x 6x+ 9 ; x + 7 b g b g( ) 40 4x 4 ( x+ ) ; x 5x+ 5 ; 5 5x 40 x x+ ; x x ; x x 40 + ; 9 4; ( b) ; ( 4b 4) ; 6bb g 405 x ; bx b; 6( x x) ( x ) f 406 x + x; x + ; x + x 407 ( + b) ; ( b) ; b 408 x ; x; x ; 8+ 6; x x; x x; x 5x + 6x 4 x 4x+ 44; x x+ ; x x x b g 4 8( b) ; 4b b+ b ; ( 4b4) b g b g b g( ) x x ; x xf ; x 4 x 4 + ; + ( ) ; x 9 ; x ; ( x) 46 6 b 6 ; ( b) ; 0x 0bx 47 x ; 4x x + x 4; 4x 4 48 x 4 4 ; xz z ; x + b x bx b + b 6 4 b g 49 7b ; ( b) x ; 6 6b 6 6 5

54 ; 8+ 5; ( ) b + 64g 4 4x + x+ ; x 8x x+ ; 4x x 4 Completre le seguenti ffermzioni: 4 Dti due o più polinomi, scomposti in fttori, si definisce il prodotto dei fttori comuni, ciscuno preso col minore esponente 4 Dti due o più polinomi, scomposti in fttori, si definisce il prodotto dei fttori comuni e non comuni, ciscuno con il mggiore esponente 44 Dte due o più espressioni, l'espressione di minor grdo che si multipl di tutte le ltre si dice 45 Se due o più polinomi sono stti decomposti in fttori, l'espressione di mggior grdo che li divide si dice 79 Espressioni rzionli Applicndo l legge di cncellzione delle frzioni, semplificre le seguenti frzioni: 46 x 5 bc x cd ; ; ; ; x b c xz bcd 47 x x x 48 x x x 4 x 4 x c cd 4 ; ; ; ; b xz b x+ ; 5x 0x 4b 4b x x 4 ; b ; x x x f x + b ( x + ) ; ; ; + ( x + ) f 5 xx 4mn mn ; ; x+ x 4mnmn x + x f n ; ; 4 x + x + x+ m f 54

55 4 x x z z 4m 4n 49 ; ; 4 x x + z z + z m mn + n 40 8 c cm+ 6 cm m 4c 4cm+ cm b 4 b 6 b 4x 7xz ; 0x 5z x 4 b bx + x 4 ; x x + x + x x 8x+ 6 4 ; 9 x x z + 4 ; ; x z mn x x ; c( c m) ; xzxt z + t 6 6 x bx + g xf 6 x x ; + ; x z t 7x 5 b x ( x) ; x + x ( ) 0 + x+ x + 5 ; ; x x x b b 45 b + b + b bc bc 6b c x f x+ fxf 8 b ; 4+ b b b+ b ; bc; b b b ; 5 b 5 b b 4x 7x ; b x ( 49 b ) + b b+ b 5 x ; x g ( b) ( + b) x ; + b x+ f b g b ( ) x f ; b x b g x 4 + x + x + x+ ; + + ( + b) ; x x ( x+ b) b ( + ) ; ( x + b) ( + ) ( b) 440 b b + b + + b b ; x x x bx + x 44 x b b + + b+ b ; ( x + b) 55

56 x + x x x + x 4 4 x bx 4x b ; 4 4 4x x x x + x x ; 5 x x c + b b + cb b b+ cbc ; x + x + x 45x 5x + 8x 4 ; 4x 5x+ x+ + 9x 4 x + bx + bx+ x + bx+ b 446 x b 4 4 x x + + bx + bx x fx+ f + b x x+ + b ; x b b 4 6x 7x + x 448 x x + 6x 4 ; 4x x + 5x + x 9 4x x ( 6) x x 6 ; b g x 450 x x x x c ; x 9 x + c cx fb g ; N M b g ; b g Q P 4 xx + x + x + x+ x + x+ ( x ) ( x ) ; x x + c x c m 4mn + n 4m 4n 5mn + 5m m n fb + g ; 4+ 5m 56

57 b 45 ; 8 + b + 8b ( + b) + b ( + b) + b b ( b) ( + b) ; ( + b) ( b) ( + ) bm bm + bm b ; 4 bm b ( m ) M b ( m+ ) 5+ 6b ( ) mx n + mn ( x) nm ( x) + xm ( n) 454 m x + n + mnx b+ b + b x + + z + x+ xz+ z 455 ; 4 bb x z z x x x6x8 N ; b g ; b f ; 457 x x ( ) + ( ) x + x + ; 6 6 x + ( + ) x+ ( + ) x mx n mx + n x+ + z xz x + 6x+ 9 + x ; x+ x+ ; x+ + x Scrivere le seguenti divisioni sotto form di frzioni lgebriche e semplificre f b g 458 6x : 6x; m + m n : 4m x 459 b7x z 4x g: 5x ; ( b+ c) : b Completre le seguenti uguglinze: 460 x+ b b = ; = x x 6x + b 4b x + 5x = ; bb + b x + 4x+ 4 = ( x+ ) Q P 46 x x x = 4x + 8x b 4b = b b b ; b g b g 57

58 Dire qule delle seguenti uguglinze è ver o fls, giustificndo l rispost 46 x b + b x x x + d = d ; x + 5x + = x b + bx b x bx 464 = + bx x + bx c 465 x + + m+ bm m = ; x + = + b 466 b = = ; 5 5 b b + b = ; = + b b + b Eseguire le seguenti operzioni: x 8x x z 5 xz x 5bc 4bc : ; : x 8bc 6bc 4 4 xz xz x + x x + 6x : ; x x 6 x 47 x x x 47 x 9 x 8x+ 4 : + x + x x 4 47 x 4x+ 6 x 4 x + x ; 6x+ 4x+ 8 x x x x + x + x x 6 x ; 5 z x x x x+ cb+ c b bc : ; x + x+ b+ bc bc+ c N M x x x x+ b gb g ; 7 0 x+ x+ ; 5 b xx 6 x+ f f ; 4 f x ( b+ ) ( c) ( + c) ( b+ c) Q P f x xx 6( x + ) x + 64 x 6x 58

59 474 + b : 8 + b+ 6b + b 4 + 4b+ b 4 m m n 475 4m n + 4mn + n 4 mn+ mn m + mn m mn : mn mn + n x + + x x+ xb+ + b 4 b 476 : z6l zb+ lb z 6zl + 9l xz xl + z l x 4 x 5b x 4x : 5b b f : x x + x+ 478 x x x x x x + x+ x : x + 7x + 6 x + x 4x + 4x x + 6 4x : x x x x x x + x b 4b b b b + 4b : : 6b 4b b x + x 8 mx+ m nx n x + x 6 m x + n x + mnx 4x + 4m + 4n + 8mn 6 m+ n+ m n 4 5 x x 484 x + 4x G KJ x + x x : x+ x x ( + ) b( b) b : + + b ( + b) 4b b b + + b G K J f 59

60 G K J + x x x x x xk + 6 x 4 x x x x x K G x K J : : G G N M 4 + 6K + + K + : 488 x + x x + x + + x x x x + x Kb g + K KJ G G x + x Ridurre llo stesso denomintore le seguenti frzioni: 490 x ,, ;,, 4 x xz z bc 9bc c P Q : + xk x K x K J ( x 5) ( x+ ) x KJ + K J G b g x+ x b 5b + P + : 6b+ 9b K J f + ( 5b) b 7 4x 8x + x 49,, ;,, x x+ x x + x x+ x f f f f d 5d 49,, c+ d ( cd) c 4d ( c+ d) 49 b g b b+ b ( b), + 4b+ b, + b+ b + b b g b g( ) 494 b ( ) b 7,,, ( ) ,,

61 + b b 496,, ( b) b ( + b) b 497,, b+ b + b+ b b , 7, 49 Eseguire le seguenti somme lgebriche: 499 x z x 4 6x x + ; + 6z 0xz 5x x 6x 5x + 9 4z x ; 0xz 6x x 6 x+ xx+ x b b x+ b ( b) b + + b f ; xx+ f ; b b z + 6zw z w 50 ; + b+ b b z + zw 6w z w x x+ ; x h+ h+ + h 6x 7h + 7h+ 8 M ; x x+ x ( h + ) h 5x x+ 6 z wz 50 + x+ x 4 x ; w 5wzz b N f f f b gq P 5w w+ z + 5x ; x+ w w+ z b b + b + + b + b ( + b) + ; + b+ b 4 b ; ( b) ( + b) ( + b) x+ x+ + x+ + x+ x + x+ ; f 6

62 f f ; f 0 x+ + ( ; + ) x+ ( + ) 506 x x x x x x+ + + x + 4 ; x+ x x x x x x 507 b + + b + b b ; + b b + bg ( b) ( + b) ( + b) ( b) t t tz x 509 tz + tz + t ; t x x + x x N M + b ; b( + b) b b b g b g; b gb g ( t) t ( tz) z + z+ z + z+ t x x x x x x x ; 4 x x+ x f f f ; ( h+ ) ( h+ ) h 4 6 ; ( ) ( ) ( ) ( h+ ) ( h+ ) ( h ) ; + x+ x x b 5 b+ b N M 4( + ) 0x ; 8 x+ x x Q P b g f f fq P + b x + f x + x xx ( 7) + ( 9 8) ( x ) ( x+ 4) ( b) + + b + b 54 x + x x x 55 x x x x x + x x 6

63 ( + ) 57 + b b b b 4b 0 b b + b + + b ( + b) ( b) + b b + b 0 0 8b b 0 6b + 7b 0( 5 b) 59 b b b b + b b b b b 8b 5 5b b 5 + 5b 5 + 5b + b 5 b c c b+ bc b + c b bc c c+ bbc Semplificre le seguenti frzioni: x 5 b 48x 8 4 5x 6 x+ 54 x x+ 55 f f 5 7b 4 x ; 5 ; 7b x f f 4 8x x+ 4 bc 4 9 x+ bc 5x 4 x+ + z x ; ; xx ( + z) x f+ 4 z x+ f x b ; ; 4b x 6x x+ bc f 5xz + x x + f f ; ; xx ( + z) x f x f 5 6 x x + ; x ( ) x g f ( x ) f ; xx + f 6

64 K x 56 x x ; + x f b g x+ x x + x + ( x ) x + fbx g ; x( 7x 5) xx Q P f Semplificre le seguenti frzioni: 57 4 x + x x x x 7x : x x x + + 6x 6 58 G G K J K x + 4x KJ K x+ + : x + x+ : + + 6K + + K 0 x : K + K b + g ( ) K m+ n + m + n m+ n m n 5 m n + m n m n : m+ n G G K + + ( + ): 6K + x x+ + x + b 4b + 4b x KJ x+ b K ( m+ n) 4mn f ( + ) ( + ) x + 7 : 9 6b 9 6b K b 9 6b 57 bc b bc c bc b ck + b ck b c 58 G KJ + x+ x x KJ : x+ x x + + x+ x 64

65 59 + K + + K ( + ) ( ) x G 4 K J : 4K G K J b ck b bk + bk + + K x x + x K + x+ K + G x + bx + bx + x G xx x+ xkj + x + x+ G x x x x KJ + x x x x+ + + G x KJ 9 + x x G + x K J G K J G x + 4 x 4 x + G x K J + G x K J x x + x 9 x x x x + x+ 9 + ( + ) + G x 7 x KJ x K 545 x 4 ( + ) : 0 : : + 0 b + b 546 x x K J x x+ + x x+ b g + bx : f 5 x K J 9 : x x K : : : x x+ f 4 6 : x 65

66 x x x xK + x + xk 4x x x x x + x + + G x K J x b + 55 b b + + b b ( b) K + + b + 4b + b b 554 G K K x x x + + x x+ + : x x + x + x x + x K J x + x + K x x x x x + : x 4x + 4 x 5x z z + z z 5z 4 z z + z + z 4 x ( x ) b b 4 + b : ( + b) b b K + bk b + b + b b + b + b6b 56 + G x+ + x x x+ ( b) b( b) b 5 b + 5b+ 6 b+ + b + 5b+ 6b b b + b b KJ G : b gb g KJ G b b + b b x + x + x + : : x x x K + K K KJ 66

67 K K K :b g + + b b b 565 b + b + 4 b 6b+ b + b + b b + b b 70 Equzioni lgebriche di grdo Esercizio 8 Risolvere l equzione x+ ( x) + 5 = 0 6 Soluzione equzione non si present nell form cnonic x + b = 0 Eseguendo le operzioni lgebriche del primo membro, l uguglinz ovvimente non vri x x = 0 8 Moltiplicndo mbo i membri dell uguglinz per il mcm dei denomintori (8) si h: 9x + x + 90 = 0 ed eseguendo le operzioni: 6x+9=0 che è l form cnonic desidert, d cui 9 x = 6 Sostituendo questo vlore nell equzione dt si trov che ess è soddisftt Esercizio 9 67

68 x + Risolvere l equzione = per x, x ± x x+ Soluzione Un equzione di questo tipo viene comunemente chimt equzione rzionle frtt o frzionri M non è necessrio, or, introdurre tle nomencltur; inftti ess è per noi un normle equzione [ f(x)=g(x) ] d ridurre in form cnonic A tle scopo conviene ridurre denomintore comune e poi moltiplicre mbo i membri dell equzione per il mcm dei loro denomintori, che è ( x -) ( x + ) : ( x+ ) x = ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) D cui, uguglindo i numertori x + 4x+ 4= x Sottrendo d mbo i membri x si h 4x+5=0 D cui 5 x = 4 Sostituendo tle vlore nell equzione dt si trov che ess è soddisftt Esercizio 0 Risolvere l equzione + x+ x= x+ ( ) Soluzione È un equzione di primo grdo letterle, ossi dipendente dl prmetro libero che può ssumere tutti i vlori reli Eseguendo i clcoli del primo membro: + + x+ x= x+ ( ) x+ x+ x+ x= x+ Sottrendo d mbo i membri l quntità x + si h 68

69 D cui x = + che h senso per (per (+ ) x = 0 = il denomintore si nnull) Nel risolvere queste equzioni di primo grdo, bbimo semplicemente pplicto lcuni principi vlidi per ogni tipo di equzione; prim di enuncirli, però, occorre dre l seguente definizione: Definizione Due equzioni si dicono equivlenti se e solo se hnno le stesse rdici o Primo principio di equivlenz perndo in mbo i membri di un equzione secondo le regole del clcolo lgebrico, si ottiene un equzione equivlente o Secondo principio di equivlenz Sommndo o sottrendo d mbo i membri di un equzione un stess espressione lgebric (in prticolre, un numero), si ottiene un equzione equivlente o Terzo principio di equivlenz Moltiplicndo o dividendo mbo i membri di un equzione per un stess espressione lgebric (in prticolre, un numero), purchè divers d zero per ogni vlore dell vribile e non priv di significto, si ottiene un equzione equivlente sservimo esplicitmente che: ppliczione del secondo principio port come conseguenz l seguente regol prtic : Un termine qulunque di un equzione si può trsportre d un membro ll ltro, purchè lo si cmbi di segno Dl terzo principio si ricv fcilmente che Si possono cmbire di segno tutti i termini di un equzione senz lterrne le rdici Ciò equivle moltiplicre per - mbo i membri dell equzione 69

70 Esercizio Risolvere l equzione x + x = x + ( ) ( 5) Specificndo in ogni pssggio il principio di equivlenz che si pplic Ricpitolndo: per trsformre un equzione di primo grdo nell form cnonic l cui unic soluzione è x + b =0 x = b occorre generlmente: Eseguire le operzioni lgebriche eventulmente indicte; eliminre gli eventuli denomintori, moltiplicndo per il loro mcm (escludendo i vlori dell incognit per cui esso è zero); trsportre tutti i termini, cmbindo segno, llo stesso membro 7 Esercizi Supplementri

71 7

72

73

74

75 Risolvere le seguenti equzioni frzionrie: Esempio x = + x+ 8 ( x+ ) 4 Soluzione Supponendo x + 0, moltiplichimo per 8 ( x + ) ciscun membro dell equzione: 75

76 = ) ( 5 ) 8( 8 5 ) 8( x x x x x = + + x x x = + + x x x 0 7 = x 7 = = x

77

78

79

80 Risolvere le seguenti equzioni letterli nell incognit x:

81

82

83

84 Equzioni contenenti vlori ssoluti Risolvere le seguenti equzioni Esempi: x = x= o x= d cui x=, x= ; x + = 8 l equzione è equivlente x = 5 d cui x = 5, x = 5; x + = 5 l equzione è impossibile essendo x + > 0 qulunque si x x + 4 = 5 x x + 4 = 5 x o x+ 4 =(5 x) d cui x = o 4 = 5 impossibile 68 x =

85 Disequzioni di primo grdo

86

87

88

89 Disequzioni in cui figurno vlori ssoluti Posto > 0, risult Risolvere le seguenti disequzioni Esempi: x se e solo se x+ 5 x se e solo se x o x x + 5 < < x + 5 < ; Sottrendo poi 5 tutti i membri: 6< x < 4 x + > 5 dividendo per ; x > x< o x> ; x < o x > 89

90 Suggerimento Si distinguno i due csi x+ 0 e x+ < 0, e si pplichi l disuguglinz dell esercizio precedente si per x che per Utilizzndo l disuguglinz tringolre dimostrre che:

91 Problemi risolubili medinte equzione di primo grdo 60 Dividere il numero 400 in due prti tli che l'un si i 5 dell'ltr [50, 50] 6 Trovre un numero spendo che i 4 5 di esso, umentti di 8, equivlgono i del numero stesso umentti di 0 [90] 6 Trovre un numero spendo che i di esso, umentti del 7 numero stesso, equivlgono l doppio del numero diminuito di 5 [7] 6 Trovre quttro numeri consecutivi l cui somm si ugule 4 [,, 4, 5] 64 Trovre tre numeri dispri consecutivi l cui somm si 49 [8, 8, 85] 65 Un cpitle di viene impiegto prte l 9% e prte ll'% Spendo che dopo un nno si è vuto un interesse di , determinre qule prte di cpitle è stt impiegt l primo tsso e qule l secondo [500000, ] 66 Un fbbric di clcoltori h prodotto 0950 esemplri in un trimestre Determinre le vrie produzioni mensili spendo che ogni mese è stto prodotto un numero di clcoltori pri l 70% di quelli del mese precedente [5000, 500, 450] 67 n un proporzione l somm dei termini è 65 Spendo che ciscuno dei termini è i del precedente, scrivere l proporzione [7 :8 = : 8] 68 Un sl rettngolre h il perimetro di m 75 Trovre le due dimensioni spendo che l'un è dell'ltr [m 75; m 45] 69 n un rettngolo l bse è i 5 dell'ltezz Si clcolino l're e l 8 digonle, spendo che il perimetro è m 8685 [ m 4764; m 09] 9

92 70 distnz fr i centri di due cerchi tngenti esternmente è cm 6,8 Clcolre i rggi dei due cerchi spendo che il rpporto fr le circonferenze è di 7 [cm 76; cm 504] 7 Trovre il perimetro di un trpezio rettngolo spendo che l somm dell bse mggiore e del lto obliquo è m 5,6, che quest'ultimo è m,5 più lungo dell bse minore, che l differenz tr l bse mggiore e l minore è m,5 7 Trovre il lto di un qudrto, spendo che se si ument di b metri il suo lto l superficie ument di metri b b 7 Trovre tre numeri pri consecutivi l cui somm è 60 [8, 0, ] 74 Un slvdnio contiene 9400 in monete d 00 e 500 Clcolre il numero di monete dei due tipi spendo che complessivmente esse sono 74 [69; 5] 75 l signor Rossi h investito l somm di in due titoli che rendno rispettivmente un interesse semplice nnuo del 7,5% e del 0,% All fine dell'nno gli vengono corrisposte di interessi complessivi Qunto denro è stto investito in ciscuno dei due titoli? [ ; ] 76 n un'ziend le ore di lvoro strordinrio vengono pgte un volt e mezzo Un impiegto che gudgn 8500 l'or riceve fine mese uno stipendio di Qunte ore di lvoro strordinrio h cumulto durnte il mese l'impiegto, spendo che l'orrio settimnle complessivo è di 40 ore? [64] 77 tempertur in grdi hrenheit corrispondente d un cert tempertur espress in grdi Celsius può essere ottenut umentndo di i 9 di quest'ultim Determinre l 5 tempertur in cui le letture eseguite sulle due scle Celsius e hrenheit coincidono [-40 ] 78 A cus dell'inflzione un Kg di pne ument un prim volt del 5% e distnz di un nno di un ltro 0% Se dopo i due 9

93 rincri un Kg di pne cost 50, qunto costv prim degli umenti? [ 000] 79 rncesco e Antonio fnno 5 prtite crte, umentndo ogni volt l post in gioco di 500 rispetto ll precedente Spendo che rncesco h vinto le prime prtite, mentre Antonio le ultime e che ll fine sono in pri, qunto er l post ll prim prtit? [ 000] 80 Due ciclisti A e B prtono d uno stesso posto e vnno nell stess direzione; spendo che A prte un'or dopo B e che le velocità di A e B sono rispettivmente di 0 Km/h e 8 Km/h, determinre dopo qunti Km A rggiunge B [45 Km] 8 n un concorso per l'ssegnzione di posti d segretrio le domnde presentte dgli uomini sono il doppio di quelle presentte dlle donne Se i posti disponibili sono pri l 5% delle domnde presentte e se risultno vincitori il % degli uomini, qul è l percentule delle donne vincitrici rispetto lle domnde che hnno presentto? [9%] 8 differenz dei qudrti di due numeri nturli che differiscono di è ugule 6 Trovre i due numeri [; 5] 8 Determinre le mpiezze di due ngoli supplementri spendo che l loro differenz è di 00 grdi 84 Trovre le misure degli ngoli di un tringolo ABC spendo che A è i di B e che B è i 4 di C [40 ; 60 ; 80 ] 85 l perimetro di un rettngolo è m 4 Spendo che un lto è i 5 dell'ltro, clcolre l're e l digonle [m 677; m 9] 86 're di un tringolo rettngolo è m 7776 Spendo che un cteto è i dell'ltro, clcolre il perimetro del tringolo 4 [m 4] 87 l lto di un qudrto è m 4 Trccindo un cord prllel d un digonle, quest divide il qudrto in un tringolo e in un pentgono Spendo che l're del tringolo è 9 di quell del pentgono, clcolre le ree e i perimetri del tringolo e del pentgono 9

94 88 n un trpezio isoscele gli ngoli che i lti formno con l bse mggiore sono di 45 somm delle bsi è m 98 e l bse minore è dell mggiore Clcolre l're del trpezio 5 [m 058] 89 l perimetro di un tringolo isoscele è m 48 e il lto è i 5 6 dell bse Clcolre l're del tringolo 90 l perimetro di un prllelogrmmo è di dm 60 e un lto è i dell'ltro 'ltezz reltiv l lto mggiore è di dm 0 Clcolre l'ltr ltezz del prllelogrmmo [dm 57] 9 n un rettngolo un lto è i 5 dell'ltro e il perimetro è di cm 6 64 Clcolre il lto del qudrto equivlente l rettngolo [ 0 cm ] 9 n un tringolo rettngolo l differenz dei cteti è di cm 8 e l'uno è i 4 dell'ltro Clcolre l're del tringolo [84 cm ] 9 Clcolre l're di un rombo il cui perimetro è di m 64, spendo che un digonle è i 5 dell'ltr [780 m ] 94 Se si ument un lto di un qudrto di m 4, l're ument di m Qul è il lto del qudrto primitivo? [ m] 95 n un trpezio rettngolo il lto obliquo è i 7 dell'ltezz ed è 5 l metà dell bse mggiore Clcolrne l're, spendo che il perimetro misur m n un trpezio rettngolo l'ltezz e l bse minore sono rispettivmente i e i del lto obliquo Determinre l're del trpezio, spendo che il perimetro misur m 4 [65 m ] 97 Un trpezio isoscele h il perimetro di m e l bse mggiore misur m 5 Spendo che l bse minore super ciscun lto obliquo di m, clcolrne le misure [8 m; 5 m] 94

95 98 e dimensioni di un rettngolo misurno m 4 e m 7 Un rett uscente d uno dei suoi vertici intersec un delle due bsi mggiori scomponendo il rettngolo in un tringolo e in un trpezio Clcolre l misur dell bse minore del trpezio, spendo che l're del tringolo è m Un mttone pes un chilo e mezzo più mezzo mttone Qunto pes il mttone? [ Kg] 00 Trovre due numeri consecutivi tli che l loro somm si ugule i 7 4 del minore più i del mggiore [; ] 0 Clcolre l'età del pdre e del figlio spendo che quell del pdre oggi è il doppio di quell del figlio e 0 nni f l somm delle due età er ugule quell ttule del pdre [40; 0] 0 Un person entr in un negozio e spende l metà di qunto h in tsc più 000 Poi entr in un secondo negozio e spende l metà di qunto gli è rimsto più 000; quindi entr in un terzo negozio e spende ncor l metà di qunto h più 000 Clcolre qunto vev in tsc ll'inizio, spendo che nell'ultimo negozio h speso tutto ciò che gli rimnev [ 4000] 0 due cndidti ll presidenz di un società hnno vuto complessivmente 574 voti l cndidto eletto h vuto 56 voti in più Qunti voti h vuto ciscun cndidto? [59; 5] 04 Un negozinte ll fine del primo nno del suo commercio clcol che il suo cpitle srebbe stto rddoppito se vesse gudgnto 5 milioni in più Così ccde pure ll fine del secondo e terzo nno All fine del terzo nno h un cpitle che è di quello primitivo Clcolre i gudgni nnuli 4 [5 mil; 0 mil; 0 mil] 05 Dll città A prte un'uto che percorre 80 Km in 5 ore Dll città B, situt 00 Km prim di A, 8 ore più trdi prte un second uto che percorre 00 Km in ore Dopo qunto tempo e qule distnz d A l second mcchin rggiungerà l prim? [4480 Km; 7 ore] vengono divise tre persone P,, M Se h il doppio di M più 0000 e P h 0000 in meno del triplo di, clcolre qunto h ciscuno [P 79060; 00; M 50] 95

96 07 Crl h 46 nni e su figli Mri ne h r qunti nni l'età di Crl srà tripl di quell di Mri? [5 nni] 08 0 lunni dell quint B decidono di orgnizzre un git Pompei Spendo che l somm necessri è di 800 e l quot di ogni lunn è di 500 e di ogni lunno è di 400, qunti sono gli lunni e le lunne dell quint B? [ lunne; 9 lunni] 09 Sottrendo d un numero l su metà e, si ottiene lo stesso risultto che qudruplicndo il suo quinto diminuito di 6 Qul è il numero? [0] 0 Un venditore vende delle uov 40 l'un Nel portrle ne rompe 5, quindi decide di vendere le ltre 60 l'un per ricvre l stess somm che vrebbe ricvto vendendole l prezzo inizile Qunte uov vev in prtenz il venditore? [40] Un venditore vende due clienti un tel di 0,50 m Poichè il secondo cliente ne vuole cquistre il doppio di qunto ne h cquistto il primo, il negozinte deve ggiungere 5,50 m d un'ltr tel Qunt tel h cquistto il primo cliente e qunti metri dll tel inizile h cquistto il secondo? [ m; 4 m] Un numero di tre cifre h l cifr delle unità doppi di quell delle decine, e quell delle centini doppi di quell delle unità Trovre il numero, spendo che l differenz tr il numero stesso e quello che si ottiene leggendolo l contrrio (d destr verso sinistr) è 96 [84] Qul è quel numero intero positivo tle che l differenz tr il cubo del suo consecutivo e il suo cubo è ugule l triplo del suo qudrto umentto di 8? (Ne esiste nche uno negtivo Qul è?) [9; -9] 4 e cifre di un numero di tre cifre sono tre numeri pri consecutivi l cui somm è 8 Trovre il numero [468] 5 Trovre un numero tle che umentto di e diviso per del numero stesso dà per quoziente 8 e resto [6] 6 Clcolre le lunghezze dei lti di un tringolo spendo che il suo perimetro è di 84 m e che due dei suoi lti sono rispettivmente e 5 del terzo [0 m; 9 m; 45 m] 96

97 7 n un rettngolo l'ltezz super di cm l bse, che è 7 dell'ltezz Determinre perimetro e re del rettngolo [60 cm; 89 cm] 8 somm delle digonli di un rombo è cm 5; se si ument di cm 5 l digonle mggiore e si diminuisce di cm l minore, l're diminuisce di cm 5 Trovre l misur delle digonli [0 cm; 5 cm] 9 n un circonferenz sono dte due corde AB e AC perpendicolri tr di loro AB è i 4 del rggio e l differenz tr del 8 rggio e dell cord AB è cm Si determinino le lunghezze 9 del rggio e delle corde AB e AC [r=4 cm; AB=8 cm; AC= cm] 0 Trovre i lti del trpezio isoscele ABCD inscritto in un semicirconferenz di rggio, spendo che il lto obliquo BC è i dell digonle AC [AC ; BC ; CD 4; AB 4] Clcolre il perimetro di un tringolo rettngolo l cui re è cm 875 ed il rpporto tr i cteti è 7 5 [ 4564] n un tringolo il lto minore è pri ll differenz degli ltri due umentt di 8 cm, mentre il mggiore è pri ll somm del minore e del doppio del lto intermedio diminuit di 49 cm Spendo che il lto minore è del mggiore, clcolre il 5 perimetro del tringolo [8 cm] Dividere un ngolo retto in tre prti spendo che l'mpiezz dell mggiore è ugule ll somm delle ltre due diminuit di 6 grdi e che l'intermedi è tripl dell minore [ ; 6 ; 4 ] 4 n un tringolo un ngolo è i di un ltro e il terzo è il doppio del primo Determinre l'mpiezz di ciscun ngolo [40 ; 60 ; 80 ] 5 l costo dell second edizione di un libro è umentto di 900, mentre l terz edizione è umentt ulteriormente di 00 97

98 Clcolre il costo di ciscun edizione spendo che i dell somm del costo dell prim e dell second edizione sono uguli i 47 del costo dell terz edizione 8 [0700; 600; 800] 6 Un fruttivendolo h venduto x Kg di pere 800 ire/kg, Kg di rnce 900 ire/kg e z Kg di mele 00 ire/kg Spendo che il numero complessivo di chilogrmmi di frutt vendut è 7, che il numero dei chili di rnce super di Kg l semisomm degli ltri due e che il numero dei chili di pere super di 4 Kg l differenz tr quelli di rnce e l metà di quelli di mele, clcolre l'intero incsso dell giornt [7500] 7 Un utomobilist compie un viggio percorrendo nell prim tpp 6 dell'intero percorso più Km 00, nell second 40 dell prte rimst, nell terz Km 40 e complet, infine, il viggio con un tpp ugule ll prim Clcolre il numero di chilometri percorsi dll'utomobilist [Km 600] 8 Un numero di due cifre h l cifr delle decine che super di uno quell delle unità nvertendo l'ordine delle cifre risult un numero ugule i 5 del precedente Determinre il numero [54] 6 9 somm di tre segmenti AB, CD, E è 6 cm; il segmento CD super AB di 4 cm, il segmento E super AB di 6 cm Clcolre l misur di ciscun segmento 0 n un trpezio l bse minore è 4 5 dell mggiore e quest è i 5 6 dell'ltezz determinre le misure delle bsi e dell'ltezz del trpezio spendo che l're dello stesso è 55 n un tringolo isoscele l'ltezz è 5 del lto, l somm di del lto con 4 dell'ltezz è 8 cm Clcolre l're del tringolo 98

99 bse mggiore di un trpezio rettngolo è 4 dell minore e il doppio del lto obliquo Clcolre le misure dei lti, spendo che l misur del perimetro del trpezio è 80 cm n un trpezio isoscele l misur del lto obliquo è 5 4 dell misur dell'ltezz, l misur dell bse minore è di quell del 5 lto obliquo Clcolre le misure dei lti, spendo che l misur del perimetro è 50 m 4 n un circonferenz di centro è inscritto un trpezio isoscele vente l bse mggiore coincidente con il dimetro e ciscun lto obliquo lungo cm 5 Spendo che il rggio dell circonferenz super di cm 8,5 l distnz del centro dl lto obliquo del trpezio, clcolre l're e l misur del perimetro del trpezio 99