Calcolo Letterale. 1. Monomi

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1 Clcolo etterle Monomi E corretto dire: un monomio è un espressione letterle compost d un coefficiente e d un prte letterle; il coefficiente di solito è un numero, m può nche essere un letter, se è così specificto dl contesto; l prte letterle è compost d un o più vribili con eventuli esponenti; l esponente (se figur un sol vribile) o l somm degli esponenti (se figurno più vribili) dicesi grdo del polinomio? E corretto il seguente lgoritmo per effetture l somm di più monomi? Assegn i monomi; sserv l prte letterle di ogni singolo monomio; Se è l stess prosegui, ltrimenti vi l punto 6; 4 Effettu l somm dei coefficienti dei singoli monomi e chim il risultto S; 5 Scrivi il monomio che h S per coefficiente e per prte letterle quell di uno dei monomi dti, vi l punto 7; 6 monomi non sono simili e perciò non si possono sommre; 7 Stop Esercizio Clcol l somm dei seguenti monomi: 4 x, x, x Soluzione 5 x ( x ) x + + = + x = x 4 4 4

2 E corretto il seguente lgoritmo per clcolre il prodotto di due o più monomi? Assegn i monomi; Clcol il prodotto dei coefficienti e chimlo C; Clcol il prodotto delle prti letterli pplicndo le regole del prodotto e delle potenze dei numeri reli, e chim il risultto t; 4 Scrivi il monomio che h come coefficiente C e prte letterle t; 5 Stop Esercizio Clcol l il prodotto dei seguenti monomi: 4 x z, x zt Soluzione 4 4 x z xzt= xz xzt= xzt E corretto il seguente lgoritmo per clcolre il quoziente di due monomi? Assegn i monomi distinguendo tr dividendo e divisore; Clcol il monomio reciproco del monomio divisore; Moltiplic il monomio dividendo per il monomio frtto del punto precedente Esercizio Clcol l il quoziente dei seguenti monomi: 5 x, 4x 0,5x, 0,xz

3 Soluzione x x 5 x 4x = 0 x = 0 8 x x 0,8x = =, 6 0,xz xz z sservimo che nel primo esempio il risultto dell divisione è un monomio, mentre nel secondo è un espressione rzionle frtt, contenente cioè vribili l denomintore Qundo il risultto dell divisione è un monomio dicimo che il primo monomio è divisibile per il secondo (o equivlentemente che il secondo è divisore del primo) n nlogi l clcolo numerico, si possono definire il mssimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi Con mssimo comun divisore (MCD) intendimo ogni monomio che, oltre d essere divisore di tutti i monomi dti, h mssimo grdo Anlogmente, per minimo comune multiplo intendimo ogni monomio che, oltre d essere divisibile per ciscuno dei monomi dti, h minimo grdo Qunto l coefficiente del MCD (o mcm) questo può essere un numero rele qulsisi Tuttvi, per semplicità di clcolo, si preferisce ssumere come coefficiente il MCD (o mcm) dei vlori ssoluti dei coefficienti dei monomi dti, se questi sono interi, ltrimenti si ssume + Un regol prtic per determinre il MCD e il mcm, può essere l seguente: Per ottenere il MCD di due o più monomi è sufficiente considerre il monomio che h come coefficiente il MCD dei coefficienti se questi sono interi, ltrimenti +; e come prte letterle quell formt dlle sole lettere comuni, prese un sol volt con l esponente minore Per ottenere il mcm di due o più monomi è sufficiente considerre il monomio che h come coefficiente il mcm dei coefficienti e come prte letterle quell formt dlle lettere comuni e non comuni con l esponente mggiore Esercizio 4 Determinre MCD e mcm dei seguenti monomi:

4 x z, 4x z, 6x z Soluzione MCD( x z, mcm( x z, 4x z, 4x z, 6x z ) = xz 6x z ) = x z Polinomi Si chim grdo di un polinomio, il mssimo grdo dei suoi monomi componenti; tlvolt si consider nche il grdo rispetto d un vribile, intendendo con ciò l esponente più lto di tle vribile Esempio x x + è di grdo 5; di grdo rispetto x o ; 4 x x + 5 è di grdo 4; di grdo rispetto ; 7 5xz x+ è di grdo 6; di grdo rispetto x o o z; 8 è un polinomio di grdo 0 Un polinomio si dice nullo se sono nulli tutti i monomi che lo compongono, cioè se sono nulli tutti i coefficienti Un polinomio in un sol vribile si dice ordinto se i suoi termini sono scritti in ordine decrescente (crescente) rispetto l grdo; si dice completo se, essendo n il suo grdo, contiene termini (non nulli) di tutti i grdi d n 0 Esempio 4 Ax ( ) = 5x x + x + x, è ordinto, completo, di grdo 4; 4

5 5 Bx ( ) = 7x 4x +, è ordinto, incompleto, di grdo 5; 4 Cx ( ) = x + x x+ x, è completo, non ordinto, di grdo 4; n n Dx ( ) = x n + n x + + x + 0, è ordinto, completo, di grdo n se e solo se i coefficienti n, n,, 0 sono tutti diversi d zero Gli esempi riportti considerno tutti polinomi nell sol vribile x vvimente, nel cso in cui il polinomio si composto d monomi con più vribili ( x, z,, ) è possibile ordinrlo rispetto d un vribile scelt, second dell convenienz, in relzione lle eventuli operzioni d compiere Esercizio 5 Clcolre il prodotto PQ con P = 4755 e Q = 4745, utilizzndo un clcoltrice con 8 cifre di displ Soluzione l risultto richiesto contiene 5 o 6 cifre, quindi l clcoltrice non può contenere esttmente questo numero Conviene, perciò, comporre i numeri in gruppi di 4 cifre: 4 4 P= = 0 + b con = 4, b = Q= = c 0 + d con c = 47, d = 45 Allor il prodotto richiesto 4 4 PQ = ( 0 + b)( c 0 + d) che può essere rigurdto come un semplice prodotto di polinomi: 8 4 P Q = c0 + ( d + bc) 0 + bd poichè,b,c,d, contengono ciscuno solo 4 cifre, possimo eseguire i prodotti richiesti con l clcoltrice e risult: c bc d bd = 4 47 = 598 = = 6777 = 4 45 = = =

6 d cui 8 4 PQ = ( ) = = Generlizzndo questo procedimento, si può concludere che, se si dispone di un clcoltrice con p cifre di displ, per moltiplicre due numeri P e Q formti l mssimo d p cifre ciscuno, posto P= 0 p + b e Q= c 0 p + d bst pplicre l formul: ( ) ( ) ( ) P Q = 0 p + b c 0 p + d = c0 p + d + bc 0 p + bd () Se invece di un clcoltrice col displ 8 cifre si dispone di un clcoltrice che contiene fino 6 cifre di displ, l esercizio precedente è risolvibile direttmente, m il problem, ovvimente, si porrà non ppen i numeri dti (o il prodotto) dovessero contenere più di 6 cifre; in tl cso bisognerà ricorrere l procedimento sopr riportto Esercizio 6 Scrivere un progrmm Mtcos che implementi l lgoritmo bsto sull () Soluzione p=legginum( p sono le cifre del displ ); =legginum; b=legginum; c=legginum; d=legginum; p=*c; p=*d + b*c; stmp( l prodotto (*0^p+b)*(c*0^p+d) è =, p*0^(*p)+p*0^p+b*d); 6

7 Principio di identità dei polinomi Due espressioni lgebriche sono identiche se e solo se ssumono gli stessi vlori per ogni vlore numerico ttribuibile lle lettere Ad esempio le due espressioni ( x + ) e ( x + x+ ) sono identiche Questo concetto vle, nturlmente, nche per i polinomi in un vribile, per questi si può, ulteriormente, dimostrre il seguente principio di identità: Due polinomi sono identici, cioè ssumono lo stesso vlore per ogni vlore numerico ttribuibile lle lettere, se e solo se i coefficienti dei termini di ugul grdo sono uguli, o, in ltre prole, se e solo se, scritti in form normle (cioè ridotti i termini simili), prte l ordine sono lo stesso polinomio Esercizio 7 Si dimostri che le due espressioni: x + 0x+ 4 e x+ 6 x+ 4 Sono identiche ( )( ) Soluzione Dto che il primo polinomio è scritto in form normle, per poter pplicre il principio di identità dei polinomi, occorre scrivere nell stess form nche l second espressione Eseguendo quindi il prodotto: x+ 6 x+ 4 = x + 4x+ 6x+ 4 = x + 0x+ 4 ( )( ) segue fcilmente, pplicndo il principio di identità dei polinomi, che i due polinomi ssegnti sono identici sservimo che l identità dimostrt x + 0x+ 4 = ( x+ 6)( x+ 4) È molto interessnte, perché il secondo membro si present in form fttorizzt sservimo inoltre che il secondo coefficiente, 0, risult essere 6+4, così come il termine noto, 4, è il prodotto 64 7

8 n generle si può dimostrre che: Dto il trinomio x + mx + n Se esistono due numeri e b tli che + b= m e b= n risult x + mx + n = x + x + b ( )( ) Divisibilità di un polinomio per un monomio del tipo (x-) (cif livello p6) n nlogi qunto vviene con i numeri, possimo dire che un polinomio A( x ) è divisibile per un ltro, B ( x ), qundo il resto dell divisione, A( x) : B( x ), è zero, cioè il polinomio con coefficienti tutti nulli Se indichimo con Q( x ) il polinomio quoziente e con R ( x ) il polinomio resto vle l identità: A( x) = Q( x) B( x) + R( x) () l grdo di B ( x ) è ugule ll differenz tr il grdo mssimo di A( x ) e quello di B ( x ), mentre il grdo di R ( x ) è sempre inferiore quello di B ( x ) noltre se R( x ) = 0, cioè è il polinomio nullo, llor diremo che A( x ) è divisibile per B ( x ) Nel cso prticolre che B ( x ) è il binomio di primo grdo ( x ) bbimo come conseguenz che il grdo di Q( x ) è ugule quello di A( x ) diminuito di e quello di R ( x ) è zero, cioè R ( x ) deve essere un costnte, ll qule possimo dre un significto preciso nftti, nell (), se l posto di B ( x ) sostituimo ( x ) divent ( ) ( ) ( ) A x Q x x R = + () ove R è un costnte 8

9 Se l posto di x sostituimo il vlore costnte trovimo: A ( ) = Q ( ) ( ) + R= Q ( ) 0 + R= R () Cioè, il resto, R, dell divisione del polinomio A( x ) per il trinomio è pri l vlore che il polinomio A( x ) ssume per il vlore x dell incognit x = Esempio Dividere il polinomio ( ) ( ) = x B x A x = x + x + x per il binomio Soluzione x + x + x : x x + x x + x+ 4 0 x + x x + x 0 + 4x 4x dunque: A( x) = Q( x)( x ) + R, che divent x + x + x = x x + x+ 4 +, ( )( ) poiché il resto è diverso d zero, il polinomio A( x ) non è divisibile per x sservimo, infine, che il resto è pri l vlore A x per x =, inftti: del polinomio ( ) A( x ) = + + = + + 0= n generle, vle, perciò l seguente 9

10 Proposizione Un polinomio A( x) è divisibile per un binomio del tipo x se il polinomio risult ugule zero, qundo l posto di x si sostituisce il numero Esempio 4 Dire se il polinomio ( ) A x = x x+ è divisibile per x Soluzione Dobbimo sostituire il vlore x = nel polinomio: () A = + = + = 0 dunque, essendo il vlore del polinomio per x =, 0, il polinomio A( x ) è divisibile per x Si può effetture l verific eseguendo l divisione: Regol di Ruffini x x+ : x x + x x 0 -x + x ( )( ) x x x x divisione di un polinomio ( ) + = A x per un binomio x si può effetture con un lgoritmo più snello del precedente, inoltre questo può dr luogo d un codice utomtico per il clcoltore 0

11 Tle lgoritmo prende il nome di Regol di Ruffini, dl nome del mtemtico e medico itlino Polo Ruffini (765-8) Per cpire come si origin questo lgoritmo, per semplicità di clcoli, riferimoci d un polinomio di secondo grdo: A( x) = bx + cx+ d (4) Ricordimo che dividendo tle polinomio per x si otterrà un polinomio quoziente di grdo (-=) del tipo px+ q ed un resto costnte, r Cioè deve vlere l identità bx cx d ( x )( px q) r + + = + + (5) Eseguimo, or, il prodotto l secondo membro e ordinimo il polinomio risultnte: ( x )( px+ q) + r = px + ( q p) x+ r q Sostituendo in (5) ottenimo: bx cx d px ( q p) x r q + + = + + (6) Applichimo il principio di identità dei polinomi, cioè uguglimo i coefficienti delle potenze delle incognite di pri grdo: b= p c= q p d = r q d queste equzioni possimo ricvre in funzione di b, c, d, che sono quntità note, non solo r che è il resto, m nche p e q che sono i coefficienti del polinomio quoziente Dunque bbimo p= b q = c + p r = d + q E trdizione disporre il clcolo nell form (7) b c d Al disotto dell line orizzontle verrnno scritti, d sinistr verso destr, i coefficienti del quoziente: così

12 b c b d (b+c) b c+b (b+c)+d il termine noto (b+c)+d è il resto Esempio 5 Clcolre quoziente e resto dell divisione x 5 x+ 6 : x ( ) ( ) Soluzione Si dispone il clcolo così: -5 6 l disotto dell line orizzontle vengono scritti i coefficienti del polinomio quoziente e del resto: e dunque ( )( ) x x+ = x+ x Regol di Ruffini trov un ppliczione notevole nell divisione di un binomio del tipo

13 per Trovimo subito: e x n n o x n + x o x + x è divisibile per x x è divisibile per x n n x è divisibile per x x + è divisibile per x+ 5 5 x + è divisibile per x+ n n x è divisibile per x solo per n dispri n coefficienti del polinomio quoziente si trovno fcilmente, d esempio, ( x 5 5 ): x clcolimo il quoziente di ( ) e quindi ( )( ) ( x ) = x x + x + x + x+ procedur illustrt per un polinomio di secondo grdo, in reltà può essere estes polinomi di grdo qulunque, come del resto visto nell ultimo esempio Esempio 6 Dividere il polinomio x Ax ( ) = x 4x x + per il binomio

14 Soluzione Applichimo l Regol di Ruffini tenendo conto che = x = x = x+ ( ( ) ) ( )( ) 4 + = x x x x x x x x Per poter scrivere un codice di clcolo utomtico, vlido per ogni polinomio di grdo n: Ax ( ) = x + x + x + + x+ n n n n 0 occorre disporre delle formule ricorsive che forniscono, i coefficienti del polinomio quoziente e il resto, nloghe lle (7) Tli formule srnno ricvte nel terzo livello, m se si vuole fr uso del codice sin d or come verific o in presenz di qulche esercizio prticolrmente complicto, esso è il seguente stmp("codice per il clcolo dei coefficienti del polinomio quoziente e del resto"); n=legginum("grdo del polinomio dividendo"); v=vettore(n); stmp("introduci i coefficienti del polinomio dividendo ordinti dl coefficiente del termine di primo grdo l coefficiente di grdo mssimo"); leggivett(v); v0=legginum("termine noto del polinomio dividendo"); =legginum("numero divisore x-"); w=vettore(n); w(n)=v(n); Per (i d n-) esegui j=n-i; w(j)=v(j)+w(j+)*; fine; 4

15 w0=v0+*w(); stmp("i coefficienti del polinomio divisore ordinti dl termine noto l coefficiente di grdo mssimo sono"); stmpvett(w); stmp("il resto dell divisione è r=",w0); se (w0=0) llor stmp("il polinomio è divisibile per x-",); ltrimenti stmp("il polinomio non è divisibile per x-",); Se il binomio divisore è del tipo px + q con p 0, il precedente procedimento si può pplicre se preliminrmente si dividono i coefficienti q di Ax ( ) per p e poi si consider il binomio divisore x p 5

16 4 Minimo comune multiplo di un insieme di polinomi Anlogmente qunto si è detto proposito dei numeri e dei monomi, è possibile prlre di un minimo comune multiplo (mcm) di un insieme non vuoto di polinomi Dti due o più polinomi, chimimo loro minimo comune multiplo il polinomio di grdo minimo fr i polinomi divisibili per ognuno dei polinomi dti Per determinre il mcm di un insieme di polinomi conviene: ttorizzre i polinomi in termini di fttori primi; Considerre il prodotto dell potenz più lt di ciscun fttore primo, che ppre in ogni polinomio (tle prodotto è in generle il mcm) Esercizio 8 Trovre il mcm di ( ), ( + ), ( )( ) + Soluzione fttori primi sono ( ), ( + ) e ( )( ) + ; prendendo le loro potenze più elevte, il mcm è: + ( ) ( ) ( ) Esercizio 9 Trovre il mcm dei cinque polinomi x x+ ; x + x+ ; x ; x x+ ; x + x+ Soluzione ccorre prim fttorizzre i polinomi: ( ) + = ; x x x 6

17 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) + + = + ; x x x x x x = + ; x x x x x x x + = = ; x + x + = x x + + x + = x + x + fttori primi che compiono nei polinomi sono x +, x+, x, x+ e tenendo conto delle potenze, il mcm cercto è ( x ) ( x ) ( x )( x ) + + Esercizio 0 Trovre il mcm di 6 5 A( x) = 4x 4x + 4x x + 5x6; B x = 4x 4x 9x + x x + x ( ) Soluzione E fcile operre le seguenti fttorizzzioni: 5 A x = x 4x + 4x 9x+ 6 ; ( ) ( )( ) 7 ( ) = ( )( + + ) B x x 4x 9x x A questo punto, però, non simo in grdo di stbilire se i polinomi 5 7 4x + 4x 9x+ 6 e 4x 9x + x + bbino fttori comuni: possimo solo dire che il polinomio finle x 4x 5 + 4x 9x+ 6 4x 7 9x + x + ( )( )( ) è un multiplo comune di A( x ) e ( ) B x, m che forse non è il minimo ultimo esempio considerto mette in evidenz che in prtic non sempre è fcile clcolre il mcm di un insieme di polinomi ortuntmente, però, nche per i nostri scopi futuri (cfr prgrfo successivo), il più delle volte è sufficiente clcolre un loro multiplo comune, nche se non è il minimo 7

18 5 Espressioni rzionli Come è noto, un frzione che contiene l denomintore delle lettere (vribili) si dice espressione lgebric rzionle o frzione lgebric n ltre prole, possimo dire che un frzione lgebric può contenere polinomi l numertore o l denomintore; nturlmente occorre escludere i vlori delle vribili che nnullno il denomintore Esempio 7 4 con x 0 ; x b con b e b b x + x5 6 con x x + ; Poiché ogni numero può essere considerto come un polinomio di grdo zero, possimo sserire che l insieme delle funzioni lgebriche contiene l insieme delle frzioni numeriche Di conseguenz, le operzioni lgebriche con le reltive proprietà, che or definiremo, devono conservre nell insieme delle frzioni lgebriche tutte le proprietà già considerte per le frzioni numeriche 5 Principio fondmentle delle frzioni Se A, BC,, e D sono polinomi, con B e D diversi dl polinomio nullo, risult A C = se e solo se A D= B C (7) B D conseguenz più importnte di tle principio è che, dt l frzione lgebric A B, risult A AE = (8) B B E 8

19 qulunque si il polinomio non nullo E (8), scritt nell form AE A = B E B spesso viene dett legge di cncellzione Grzie d ess, si può dividere numertore e denomintore per tutti i loro fttori comuni; in tl cso si dice che l frzione è stt ridott i minimi termini Esempio 8 8 = 4 = 4 ; x ( x )( ) = = (dividendo numertore e x ( x )( x+ ) denomintore per il fttore comune x- supposto diverso d zero)= x + ; 4 bc b = (fttore comune bc); bc c bx + b b( x + ) b( x + ) = = = x + bx + + b ( + b) x + ( + b) ( + b)( x + ) b (dividendo per x ; + b + supposto diverso d zero ) = ( ) 5 Moltipliczione e divisione di frzioni l prodotto di due o più frzioni si ottiene moltiplicndo tr loro i numertori e i denomintori: A C A C = B D B D 9

20 Esercizio Clcolre il prodotto delle seguenti frzioni: x+ x,, b x 5 Soluzione ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) x+ x x x+ x+ x = = b x 5 b x 5 5b x Esercizio Clcolre il prodotto delle seguenti frzioni: + b + b b + b,, b + b 4 ( ) Soluzione + b + b b ( + b) = b + b 4 = (ricordndo lcune identità notevoli) = ( + b) b ( + b) ( + b) ( b) ( + b) = = b + b + b + + b b + b + ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) =(dividendo numertore e denomintore per i fttori comuni) = = ( ) ( )( ) ( ) + b + b = + 4 A volte, come nell esercizio precedente, prim di eseguire i prodotti conviene fttorizzre i numertori e i denomintori divisione di due frzioni lgebriche si ottiene moltiplicndo l frzione dividendo per l reciproc dell frzione divisore: A C A D : = B D B C 0

21 Esercizio Dividere x 4 6x 5 per 5 Soluzione x : x = x = x = x x x Esercizio 4 Dividere x x + x per x + x Soluzione x : x x x + x = = x+ x + x x+ x ( x )( x+ ) x( x+ ) ( x )( x+ ) x( x+ ) = = = x( x+ ) = x + x x+ x x+ x ( )( ) 5 Addizione e sottrzione di frzioni somm di due o più frzioni lgebriche venti lo stesso denomintore è l frzione vente l numertore l somm dei numertori e per denomintore il comune denomintore: A C D A+ C D + = B B B B Esempio 9

22 ( ) x x 4+ 5c x + x 4+ 5c + = = x+ x+ x+ x+ x + x 45c 4x55c = = x + x + Se le frzioni d sommre non hnno lo stesso denomintore, occorre sostituirle con frzioni equivlenti, m con denomintore comune l procedimento è nlogo quello noto per le frzioni numeriche Dte le frzioni A B, C, ecc, per ridurle llo stesso denomintore occorre: D ) Determinre il mcm dei denomintori (o, in mncnz, il loro multiplo comune); si mcm(b,d, )=M; ) Dividere M per B,D, ottenendo rispettivmente i quozienti Q,S, ; ) Allor per l (8) si h che A A Q A Q = = B BQ M C C S C S = = D D S M Esercizio 5 Sommre le frzioni 4x e x + Soluzione ) mcm( 4 x, x + ) = ( 4 x)( x + ) ; ( x+ ) 4x ) =, = 4x 4x x+ x+ 4x x+ ( )( ) ( )( ) ( ) x ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) x + 4 x+ + 4x + = + = = 4x x+ 4x x+ 4x x+ 4x x+

23 x+ + 4x + x ( x) + = = = ( 4x)( x+ ) ( 4x)( x+ ) ( 4x)( x+ ) Esercizio 6 b b Sommre le frzioni, + b b b e bb Soluzione Essendo + b= + b ( ) b b = b( b) = = ( )( + ) ( ) b b b b b b b risult mcm = b( b)( + b) ; b b bb( b) + b( + b) = = ( + b) b( b) b( b)( + b) b( b)( + b) b ( b) + b( + b) + = = b( b)( + b) 54 Elevmento potenz elevmento potenz di un frzione lgebric si definisce in perfett nlogi con le frzioni numeriche; pertnto, dt l frzione lgebric A B e un intero positivo n, risult: n A A = B B n n n A B B = = B A A n n n Esercizio 7

24 Clcolre x + ; x x+ Soluzione ( x + ) ( x ) x+ 4x + 4x+ = = ; x x x+ ( x + ) x+ x + x + x+ = = = x somm dei primi n numeri dispri consecutivi Nel volume del livello pg, bbimo dto l formul: n = n che fornisce l somm dei primi n numeri dispri consecutivi, senz drne un dimostrzione rigoros, cos che ci ccingimo fre Considerimo un cerchio di rggio n, con n numero nturle mggiore di ; l re di questo cerchio è notorimente π n ( igur ) n- n- n igur nserimo in questo cerchio n cerchi concentrici di rggi rispettivi,,,, n- re del cerchio di rggio n, si può nche determinre sommndo 4

25 ll re del primo cerchio (rggio ) le ree delle rimnenti corone circolri, per cui si h: π ( π π ) ( π π ) ( π ( k ) π ( k) ) ( π ( n) π ( n ) ) π ( 5 k n ) = uguglindo le due espressioni si h π k+ + + n = π n e dividendo per π k+ + + n = n ( ) ( ) QED 7 Esercizi supplementri 7 Espressioni lgebriche Clcolre il qudrto, diminuito del triplo dei seguenti numeri: 5; 5; 45; 75; 868; 8548 Clcolre l're evidenzit nell figur x x x per i seguenti vlori di x e : x = 5, = 7; x = 5, = 58; x = 85, = 64 Qul è l'ordine di grndezz in ciscun cso? Dire quli delle seguenti espressioni lgebriche sono rzionli, intere e quli frtte 5x 7 7x x 6x + x x + x+ ; ; ; x + x 5

26 7 4 x ;4xz ; x ; x 4x + x + Scrivere sotto form di espressione lgebric i seguenti enunciti: 5 l quoziente fr l somm dei cubi di due numeri, diminuit del doppio dell differenz dei loro qudrti, e l somm dei numeri stessi 6 somm dei cubi di due numeri, per il cubo dell loro somm 7 somm del qudrto di un numero, e del quoziente fr il cubo dello stesso numero e del cubo successivo 8 l quoziente dell differenz dei cubi di due numeri, e del reciproco dell somm dei qudrti 9 differenz dell somm di due numeri, e del reciproco dell somm delle loro qurte potenze 0 differenz tr il prodotto di due numeri e il reciproco dell loro somm l qudrto l quoziente fr l somm delle qurte potenze di due numeri, umentt del loro triplo prodotto, e l somm dei numeri stessi diminuit del loro doppio prodotto differenz dei qudrti di due numeri è ugule l prodotto dell loro somm per l loro differenz l qudrto dell somm di due numeri è ugule ll somm dei qudrti di ciscuno di essi e del loro doppio prodotto 4 l cubo dell somm di due numeri è ugule ll somm dei cubi dei numeri dti e dei tripli prodotti del qudrto di ognuno di essi per l'ltro 5 l quoziente dell differenz tr il triplo del primo e il doppio del secondo, con l differenz dei loro qudrti 6 l prodotto dell differenz dei qudrti di due numeri per l metà del qudrto di uno di essi Trdurre in enunciti le seguenti espressioni lgebriche: x + x x+ ; ; x x + 7 ( ) ( x+ ) ( ) ( ) 6

27 8 9 b + ( + ) + + x b ; ; x G ( b ) f b g + x+ ; x + - x; x KJ x x+ 7 Monomi 0 Specificre il grdo dei seguenti monomi: 8 5 4x ; 7 x ; ; 4x ; 8xz; 5x ; 5x; ; 8x Eseguire le seguenti somme lgebriche: 5 x + 7 x + x x K + x 6 4 bc+ cb c b 59 + c b 5K z+ z z+ bc z+ bc K b g m n mn mn 4m n + mn 4 mn mn b bc+ b 4bc b bc( + c) Q 7 x 7 x + x 4 x+ 5 x x 5x x 7x x + 00 x 7 + x x + x x z x z z z x x + + z x x x z z x x z 5 4 7

28 mn n mn n mn + mn + 5mn + 5 mn 46 n + mn 5 4 n + n 0 n x x x + 5x n + n x + 5 n n n n x 4 x + x x 5 4 x x x x x+ 8x x + x 5x x 5x x x+ x b b b b b+ + b + b n n n 54 5 b5b 5 0 b+ b + 5b+ b b b b b + b b b b x x + 05 x x x + x x x xz x + x xz x+ x + x xz x Completre in modo che le seguenti espressioni risultino monomi simili: 8 x ; ; 8

29 9 bc; 7 c ; bc 5 40 x ; z ; x 4 Eseguire i seguenti prodotti di monomi: 5 4 xf; 4x( ) ; x x ; ( ) ( 6b 5 4 K ) 4 ( ) K K ( ) K b b ; s t st t ; b c 5 4 K ( b ) 4 K 7 K K ( 5 ) 7 4 bx ; x z b x 5 K bx b z b 6 K ( )( ) K ; K 5 K 45 K K K mn mn mn mn K m n K ( ) K bc 55 d bd ( 0 ) bcd b g 7 c bd 6 5c cb 4 K K K cbd c+ c b c 5 K 5 K K 09 cb 8 K mn mn mn mn 9 K 6 K 6 K 4 0 m n 5 K b b x b b bx K K 5 K ( ) 9b 8 x b b c b 0 b 00 K 4 K b gb g 9 b c 0 9

30 5 K xz x b z g x z xz 5 Kb g K 5 6 mn pb mn pg mp b0n p g m n p 6 K 550 mnp 6 8 Clcolre il vlore delle seguenti espressioni lgebriche: xb xg+ 4x b6xgbxg 5x 4x 8x 55 K b b b + 6b + 4 b 47 b + 4b 56 + K + 75 x xf x x x x K x b b b K + 6 K + K 7 b x + x + + x( x)x x + + x x 4 K x + 59 K + K + 4 x x x x xf x K x 8 60 K + K 8 x b xg x x 5 K 5 4 x b b b b b 4 K K 67 9 K 4 4 b 0 6 x x + x x x K x 6 xx 6 b g 6 ( ) K ( )+ b 8b 4 b 4 + ( )( b )+ 4b+ 64 bbg ( b)+ b+ 0 ( b) b 0

31 b b+ b+ b + b 5 4 K 66 K b x x x 4 b 9 b g 7 9 x b x 6 7 ( ) K + K K 0 K x z x z 9 + ( 4 ) K b z g xb x zg z 7 60 xz + xz K + 4 ( )+ b g K 8 ( ) b g b g K 4 4 mn mn 9 ( )+ 5 + K + + K b+ b b 6b b b b b 70 4m n m n m n n m n m 7 4+ b b b b b Completre le seguenti espressioni: bg bg bg b= b; c = c ; = b = b b 7 K ; 05 = () 9 74 x b 8 = ( ) ; K K = ( 5 ) 75 4 b xg xk = bx g 4 x z x z 5 K 5 K = 5 76 K

32 Ridurre in form più semplice le seguenti espressioni: 77 K ( ) 8 4 K 4 K b b b ; x x K R 78 S T + ( ) 8 ( )+ U + 4 VW b g b g c R 79 S T + K + + K + K U V 8 W 7 b; 048 x x x x x x x x x z 0 80 ( ) ( b) b b ( ) ( b) + 8b 60b 8 b ( b) ( b) ( b) ( )+ b 0 K 4 b g b g 8 b b b b b K + K K c 9 9 b Eseguire le seguenti divisioni: 8 K K ( ) K b bg: b ; x : x ; x : x 7 K 0 ; x ; 8x bc c x z x z b b 4 K 8 K 5 K 5 K 7 K : ; : ; : 7 K 6 b ; xz; b bc 5 : b4bcg ; 4x 5 : x ; 5x : 5x b K b g f K b ; 8x ; x b K 4 b gb g b8 gb9 g x : 5 K K x : x; xz : x; x : x x K 5 4 ; 4 x z ; x 8

33 xz: x ; x: ; x: 5 5 K 4 K 5K 4 5 4xz; x ; 6x 4 Completre le seguenti scritture in modo che l'uguglinz si vlid: x: = 9x; : x = x 4 89 x = x ( ) xz = xz K 5 : ; :b g b g b g b : = ( ) 4 = 5 K b; : b x g x m m m m = ( ) K : ; : xz : 5 ; (): 05 x =4x K = x x b b Ridurre in form più semplice le seguenti espressioni: b gb g f b g b x xg : x x + ( 05 x) x K b g 0 4x 9 95 x + K ( ) K x x b b g : b g b K U x x x : x+ x x RST :b g VW 6 x 9 R 97 S T K U m+ n m n b b b m n m n 4 b g : b b V W : 8 98 ( 4 )+ b g: : b g : b g xb xgb : xg 4 : b xg + b6xgb 5 : 6xg x x x : x x : x 6x + x x : x : x x

34 RST f f 0 U 00 m p: mp pm + m p VW + m : m + m: mm m m m+ m+ m+ m 0 ( ):( ) + ( : )( ) + : ( con ) x x x x m 0 Determinre il MCD ed il mcm dei seguenti monomi: 0, 6, 5 0 x, 5x, x b, b c, 5c 05 4x, xz, 5z b c, 0bc, 0c x, x, x x, 0x, x z, x z, z 0 x 5, - 49xz, 5x, 7xz 7 4xz 5, 8xz, xz 4 8b, 0bc, 5bc 4 n m n m n m 5 b, 6 b, 4 z xz, xz, 4xz Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre 5 Qundo due espressioni lgebriche si dicono identiche? 6 Qul è l'estt definizione del termine monomio? 7 Che cos sono il grdo rispetto d un letter e il grdo complessivo di un monomio? 8 Un monomio si dice di grdo zero se 4

35 9 Due o più monomi si dicono simili se, identici se, opposti se 0 Qule risultto si ottiene sommndo due monomi opposti? Dti due monomi, si dice che il primo è divisibile per il secondo se 7 Polinomi Determinre il grdo dei seguenti polinomi: 4 5xz x + xz; 08 x x + 4 4x x + x+ ; 6x + 5 b x x x + ; 5x x Nelle seguenti espressioni lgebriche, riconoscere i polinomi: 4 5 x x + ; + x ; x x 6 5 x + ; x + + ; z + z b+ Stbilire se i seguenti polinomi sono interi o frtti: x + x + 5x; x + bx b + 4 b b c ; x + b x 8 c bx + b; bc + b 8 5 x 5 rdinre in senso decrescente i seguenti polinomi: 0 + 4x + 5x 5 7x 4 + x ; 6x x 6x 5 + x 7x+ 8x 5 x 4 + ; 48x 45+ 6x 7x 4 + 5

36 ; 8x 7x+ 4 5x ; x 0 5x + 7 Rendere completi i seguenti polinomi nell letter x e ordinrli secondo le potenze decrescenti di tle letter: x x + 7x 9x + 4x x 0x + x + 7x 8+ x x x+ x + 4x x x + 4 Eseguire le seguenti somme lgebriche: 7 ( bc+ cd)+ ( 5bc+ c4d)+ ( 4b 4cb+ d) 4( bc+ c d + b) b g b g b g 8 x + x x + 7x x + 5x x x4 f f K 5 f f z 5z + 4z z+ 6 + z k 0 0 x x x+ 0 + x} 4 + b K + b K 4 x x x x x + K R ST G x x x 44 b c bc bc c c b 4 K + 5 z 4 5x 0 b g b g K J U V W + b x + x 6 6

37 45 05 x + 05 x x5 x b c bc 4 b g b g x b x g+ b + xg + x K x b + g + b + g Eseguire i seguenti prodotti di polinomi: b g f b g b x z x z gb x z 4 g; ( x + )( x ) pqrb 4 5 pq qrg 5 6 pqrb 7 4 pr pq qr 7 g 48 6x + z x + ; 0x z 6xz 4x x + x( 4+ x) ; 4+ x{ + x + x( + x) } 5 x x + 4x + 4x x + 6x b g b g ( b )( + b) ; x+ f x f ; ( x ) ( x b) + fb + g fb + + g ; fb + g; ( + ) b g b x + x gb x + x g b x x+ gb x + x g ; b x + x gb x + xg b x x gb x x g bx x x gb x g x x x x x x 55 x x x b b b ; ( + b+ c) ( + b c) ; ( b) ( + b) Ridurre in form più semplice le seguenti espressioni: 4 b gb g b g b g 6 b x + g + + f + f + f f+ f bx + xg+ + f 60 4x 4 4x 4 4x 4 6x + x x x x x x x x 7

38 x x x x + x x x x x 4 K 4 K K 4 K x x xx ( x ) ( x+ ) 9x K x x + x x x 5 K 5 K 5 5 K 8 4 x x x ( + bc) ( + b+ c) ( + bc) + 8b + 0c c+ b6bc 66 ( b) ( + b+ c)+ ( b) ( b+ + ) ( 5+ c ) + b( c) 67 K ( ) b 9b b ( + b ) b g 4 + K k x x fp 5x x f x + + b 4 gb 4 gb 4 + g b + g b b b 4b b ( x+ ) 5+ x+ x 5x + x + x x 7x + x x + x 4x b g b g b g 0 b + + gb + gb 4 g 8 ( ) + ( ) Clcolre con un clcoltore con displ otto cifre il prodotto estto P Q, per i seguenti vlori di Pe Q: 7 P = 47895, Q = P = 4567, Q = P = 78945, Q = P = 5004, Q = P = , Q =

39 77 P = 045, Q = 7895 Utilizzndo, eventulmente, identità notevoli, clcolre il vlore delle seguenti espressioni: 78 ( x ) ( x + ) ; ( x + ) ( x 4) ; ( 5x + ) ( 5x ) f f; x f x+ f ; ( + b) + f ; ( + + ) ; + 4 f + ; K ; + K f m m+ m m+ m+ b + g ; b + g ; b + gb g x+ + z f x+ z+ f b + + bgbb + g ( + + )( + + ) 4 4 b + g ; b+ gb4 + gb g x G 4 K J ; K 5 b b ; K b g b b cg; b x x g 79 x+ x 4 ( 8k m) ( 9k+ 5m) x b c x 8 x x x z 8 b x 84 ; 85 b c b c ; + K K 86 xz xz xz 87 b b x Completre in modo che l'uguglinz si vlid: b g f f f b g 90 4x + = x+ ; x + z x = x + xz b gb g b g 4 b + + 7gb + g= b g x + x+ x = x + + x 9 Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre 9 Che cos'è un polinomio? 94 Un polinomio si dice ridotto se 9

40 95 Un polinomio si dice binomio se, trinomio se, qudrinomio se 96 Qundo un polinomio si dice intero e qundo frtto? 97 Come si stbiliscono il grdo rispetto d un letter ed il grdo ssoluto di un polinomio? 98 Un polinomio si dice omogeneo se 99 Un polinomio si dice completo se 00 Che cos sono gli zeri o nche rdici di un polinomio? 74 Principio di identità dei polinomi Utilizzndo il principio di identità dei polinomi, dimostrre che le seguenti coppie di polinomi sono identici: 0 x + 6x+ 60, ( x+ 6) ( x+ 0) 0 x 0x 75, ( x+ 5) ( x 5) b g b g 0 x +, ( x+ ) x x+ 04 x, ( x) bx + x+ g 05 x + 7x 60, ( 4x -)( x+ 0) 06 x + x+ 5, x+ 4K x x+, 6 x+ 9x K x + 9x+ 5, 7x + 5x ( x+ ) ( x 5) 09 5x + 6x+ 8 4x + ( + x), b g 4 0 x x, x ( x) ( x+ ) x + 4x5, ( x) ( x+ 5) x 9x0, ( x5) ( x+ ) ( x+ ) 40

41 75 Divisione di un polinomio per un binomio Scrivi lgoritmo e reltivo digrmm di flusso nei seguenti csi: per il clcolo del vlore del polinomio A(x) in un punto z b per il clcolo di polinomio quoziente e resto dell divisione A(x):x-z Clcolre il vlore del polinomio A(x) nei punti z indicti determinndo nche il polinomio quoziente ed il resto dell divisione A(x) per x-z 4 A( x) = x + x + x, z=,, A( x) = x + 05 x x + 08, ( z= 078,, ) 6 A( x) = 4x + x 5x, ( z=,, ) K 7 A( x) = 5 x + 4x 05 x 44, ( z=, 55, ) 8 A( x) = 5 +, ( z=, 0 ) A( x) = x x + x, ( z=,, 0 5 ) 0 A( x) = 6 5 x 4 x + x x+, z=,,, 08K A( x) = 5x x x+, ( z=, 0, ) 4 A( x) = 5x + x + 6x, ( z=,, 0 75) 4 n quli csi dell'es precedente, il polinomio è divisibile per x-z? 4 A( x) = 5x 4 x 5x+, ( z=,, ) 5 A( x) = 7x x + x+, z= 0,, 5 K 4 6 A( x) = x x + x, z=,, 5 0 K Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre 7 Dividendo un polinomio per un binomio si ottiene ncor un 4

42 8 Come si stbilisce il grdo del polinomio quoziente? 9 Se il polinomio resto, che si ottiene dividendo un polinomio per un binomio, è il polinomio nullo, cos si può concludere? 0 Dll divisione di un polinomio A(x) e un binomio (x - z), si ottiene A( x)= ( x zq ) ( x) + R( x) ove Q( x ) rppresent il polinomio quoziente e R( x ) il polinomio resto, se R( z ) = 0 cos si può concludere rigurdo l vlore z? 76 Divisione di due polinomi b gb g x + x x + x : x + x Qx ( )= 4x x+ 4 5 b x + x + 0x+ g: ( x+ ) Qx ( )= 7x + 4x+ b gb g b g :( 5 ) Qm m 5 m : 45 Q ( )= m m m m ( )= b m 4 + 7m n n 4 mn g: ( m+ n) b x x x + x+ g: ( x) ( x+ ) Qx ( )= x x 8 bx x + xg: ( x +) Qx ( )= x x b x + x x + xg: ( x 0 5) Qx ( )= 4x + 8x 4x b gb g x x x + x 7x+ x 4x : K 4 K x x + x + 4x x x x 0 K + 5 K 4 4 x x + x + 60x x x 5 b x 6 x 5 + x 4 + x x x+ gb x x x+ g x x x + x + x+ : x Qx ( )= x 4x + x : Qx ( )= x + x : + K K : 4 Qx ( )= x + x+ 4

43 d i d i b x 7 x 5 + x + x + gb x 4 x + g b x 4 x + x x+ gb x x+ g b x 7 x 6 + x 5 x 4 + x x + gb x x + g 45 6x 5x + x : 9x x+ 4 Qx ( )= 4x : 7 5 Qx ( )= 7x x : 4 5 Qx ( )= x x : 5 b gb g b + ( + ) gb + + g 4 Qx ( )= 5x + x + x x + x + x + x + : x + Qx ( )= 4x + x x x + x + x + x x + x : 4x x + x 9 9 K K 4 4 Qx ( )= 4x + x + 5 x x x x x x : x x 4 Qx ( )= x + x m + m m m m+ : m 6m K 5K Qx ( )= m + m x 5 + x 4 + 4x + x + x + x 4 + x : 4x + x K K Qx ( )= x + x + x x x + x x x x 6 4 K : K Qx ( )= x x Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre: 55 l grdo del polinomio resto rispetto quello del polinomio divisore è 56 Dti i polinomi quoziente e resto si può rislire l grdo del polinomio dividendo? 57 Se il polinomio dividendo è incompleto e il polinomio divisore è completo si può effetture ugulmente l divisione? 4

44 77 ttorizzzione di un polinomio ttorizzre i seguenti polinomi medinte il criterio del rccoglimento fttore comune: 58 x xz + x ; 5x0x x z+ f; 5x( x) 59 x + 4x+ x ; x 4 x xx b + 4+ xg; x( x) 60 4x 8x 4; m n+ 4mn 4( x( x ) ) ;mn( m+ n) 6 b 6b + 9b b ( + b) b g b cd b 4 bcx d g xb x 4 x + x+ g b4 + 7 g bc + 6b + 9c b g 4 xx x + 7 K + ( + ) ( + ); ( + ) + f f f + f k + f + f+ + } 6 bc + b c b c bc + b bc 6 0bcd 4 x 5bcd x 4x + 0x + 6x x x + 7x x x x bc+ b c+ bc x + x + x ( x + )+ b( x + ; ) x( + b)+ ( + b) x b b x f f + f + + f + + f 69 x x x x 70 x bx cx x x x b c 7 x ( x+ )+ x( x+ )+ x ( x+ ) x( x + ) x( x + ) + 7 ( b) ( + b) ( 5 ) ( + b)+ ( + b) ( + b) ( + b) ( + ) 4 7 ( m+ ) ( m n)+ ( m+ ) ( m n) + ( m+ ) ( m n) ( m+ ) ( m n) + ( m+ ) ( m n+ ) 74 ( + z)+ ( + ) + ( + ) ( + z) + ( + ) ( + 4) 75 x( + b+ c)+ ( + b+ c)+ x+ f x+ ( + b+ c) + x+ f f 44

45 f f ( + b) bx + f + + f + b + + g + + f x+ f 4+ b+ 76 b x b x b 77 4x bx x x ( ) 78 m m + m( m) + m ( m) mm ( ) ( m ) 79 4b ( x 5) b( x 5) + b( x 5) b( x 5) ( x 5) ( 4 ( x 5) )+ f x+ fb+ + g + + ( ) ( b) b + x+ g 80 x+ x x+ x+ + x + 8 b x bx b 8 ( m+ n) m( m+ n) n ( m+ n) mn( m + n) b g f b + g + ( ) x f bc( + b c) 4 8 x x + x x xx + x 84 x b x x bx + + x b b x f 85 x + x x bc+ b c+ bc + b c4bc 4b c b g 87 5m 0mn + ( m 4n) + m 5mn m( m 5n) ( 5m+ ) ( m n) m( m 5n) 88 ( + b) b ( + b)+ 4 b ( + b) ( + b) ( + b) 89 ( m+ n) bm ( + n)+ ( + b) ( m+ n) m ( + n) ( m+ n+ ) 90 ( + b) ( + b) ( + b)+ b ( + b) 9 m m n+ n + 4n+ mn mm ( n) + nn ( + ) f b g f b + bgx+ +f + 6x fbx g b bgb 4bg 9 x+ + + b + b x+ 9 6x x x 94 b b b mn + 8mn 6mn mn mnm ( 4n) ( mn ) 45

46 96 6 x 6 + bx b 4 cx + 4 c f x ( + b c) x x 6 x + bx + bx + 6bx x ( b) x + x bx + bx bx + x x x 4 b + x + x ttorizzre i seguenti polinomi utilizzndo le identità notevoli: b ; x 6; x 9; 9 64x b ; 4x ; 4 f 0 b ; 4x x ; ( + b) ( b) ( + b) x + x 0 + b + b; x + 4 4x ; f f x + x x+ + x+ ; f f f f 4 b b gb g 05 x + + x+ x x b b+ 6+ b ( + b+ ) 07 + b + 4b + 4b 4 b 08 x + x+ ; 44x 4x x+ x+ + ; x+ + x+ f g K f f f f 09 ( +b) ( b) + ( + b)+ ( + b ) ; x + + x + x 7 ( + ) ; x+ K 46

47 f f f f f f x+ + x+ x + x+ x + x x f ; + 8; + b ( ) + + ;( + ) + 4 ;( + b) b+ b b g b g b g b ; + x b K b b ; + K x + K x x b b; 4x + b b 4x ( + b) + ( + b) x ( + b) x + ( + b) ; f f f + f 5fx f + x fx+ f+ x+ f 5 x x 6 x x + x ; b f ; x ( x) + ( x)+ ( + b) ( ) b( )+ b 7 x 7x+ 0; x 6x+ 8; x + 6x+ 8 ( x 5) ( x ) ; ( x ) ( x 4) ; ( x + ) ( x + 4) 4 8 x 5x + 4; + ; ( x ) ( x + ) ( x ) ( x + ) ; ( ) ( + 4) ; ( 7) ( 8) K 9 x x + ; x + ( + b) x + b ( x ) ( x ) ; ( x + ) ( x + b) 0 x 9x + 8 ; x + ( + b) x + 6b + + x 8+ x ; ( x+ ) ( x+ b) f f x 4 x ; x 8 8x x ( x ) ( x+ ) x x + x ( x 4) + ( x x + ) 6b( x ) ; b gb g 4 b ; 4m n m 6m + 4n ( x ) ( x ) ( b+ ) ; ( m n) ( m+ n) ( m ) ( m+ ) x x x x + x( x) + 5x f ; b g ( x) ; ( x+ ) f f 4 x bx + b + bx bx x bx+ b 5 bx + 00b0bxb x 75b + 0b x 47

48 b( + b) ( b) ( x 5) x 0x+ 5x 5x + 0x 5x 5x x x+ ( x ) ( x ) bb b + b f f b( b) ( + b) ( b) x + 60x 0x + 5x ; 9x x x + x + x ( )( + ) K x b xg ; x x x x x mnx + 5mn + 0mnx 5mn 5m n ( m n) ( m+ n) x x + K b gb g mx + 4mnx mnx + 7m 6mn + 8mn m x + x 4m mn + n b gb gb g x bx 5x + 7x7bx b b g f f ( b) + b+ b x x x + bx x bx 6 x 6b x b ( + b) b+ b x 4 x+ 4 x b gb gb gb g 7m 5 + 7n m 8n m 8n 5 ; mn mn + 7p mn 6mn ( m n) 9m + 6mn+ 4n m + n ; mn m+ n p m+ n+ p b gb g f f mn 08mn + mn 4 4 mn ( mn) ( m 4n) bm + 7nm+ n x 6bx 6x+ 96bx b b bgb + bgb + 4bgxf m p mp 7m p + mp n ; x ( 5) x K 7mp m p n m p n ; ( x 5) ( x + ) K b9b 6b+ 9b + b+ 6b ( b) ( b ) ( + b+ ) g 48

49 f f 8 x + 4 4x 9b 6b x b x + + b b gb 4 g x ( x b) ( x+ b) x+ 9 x + ( b) x bx x 4b ( ) ttorizzre i seguenti polinomi, medinte divisione per un binomio: ; x + 7x+ 6 ( ) b 4+ g; ( x+ ) ( x+ ) 4 4x + x x+ ; m 9m + m+ 8 ( x+ ) 4x x+ ; ( m4) m m b g b g 4 4 m 5m + m+ ; x + x x ( ) + 4 ; ( x) x + 5x+ b g b g ; + ( ) ; ( ) b g b g 44 x 4 x 5 x x x + ; + x 8 ( x ) 5 x x+ x x x K + K ; x 6x + 4x 9; x 4 + 0x 7 ( x ) 5x + 9x+ ; ( x ) x x x+ 7 b g b g 4 46 x + x + x + x+ ; x x + 5x 4 ( x+ ) x + x+ ; ( x) x x+ 4 K b g b g 47 x 4 5x + x 0x+ 40; x + x x ( x ) bx x 0g; ( x ) ( x+ ) ( x+ ) 48 7x 5 + 8x ; x 5x + 4x 4 ( x+ ) b7x 7x + 7x + x g; ( x ) ( x ) ( x ) 49 x + 5x + x ; 8x 8x + 6x ( x+ )( x+ )( x ) x x x + K ; b g x x + 5x+ 6; x x 4x + 9 ( x+ ) x x + x+ ; ( x) x + x x ttorizzre i seguenti polinomi: b g b g 49

50 5 x + 0x + 5; 6 x + 8x + ; x + 6x + 5 x + 4x ; x 4 x b g b g b + 6b ; 4b ; ( ) f b g 54 4 x+ + b x + x+ + x + x+ f 4 x+ ( + b+ ) 55 80b + 40b + 5b 4 ; b( 4+ b) RST ; b g K U V W x 6 x + 4x x ( ) 58 ( b) c ; 5xf 6x+ f ( b c) ( b+ c) x 9 9x ; f f b + 6c 4c; 0 6x 0 5 ( 4c)6b ( 4c)+ 6b ; 04 x x + 05 f f 60 x 4 + 4x x ; 4bc 8bd+ 6dc x ( x ) ( x+ 7) ; ( d ) ( c 4b) b g ( b) b + b + b+ bg ( ) ( + )( ) ( ) b 4 4 g 6 b + b + b( b) 6 m( m n) m n nm n m n m n m n mn 6 x x+ 4 + x+ 4 x + x ; ; f f f f ( ) b g; x+ 4f+ xf m 6 + 6m + 64; x + 6 x ( m+ ) m m+ 4 ; ( x+ ) x x+ b g b g 65 x x+ + x( x ) ; + b+ b + b ( x ) + b+ b ( + b) ; ( 7x) 4+ x ; b g 50

51 ( 05 0 ) ; ( x 5) ( x 7) x + x x ; x x+ + ( x ) ( x+ ) ( x ) bx + x + x+ g; ( x) ( x + ) 68 b0b ; + ( + b) b ( )( + ) K b bg; b b ; f b g ; f x 8+ x + 6x + ; x + x x + x+ 4 ( x+ ) ; ( x ) x + x+ + b g b g 7 ( b ) ( b+ ) b( b + ) 7 z + ( + bz ) + b; + ( 5b ) 5b ( z+ ) ( z+ b) + 5b ; f f ; ( + b) + b ; b b gb g f f 74 z + ( + b) z+ b ( z+ ) ( z+ b) Scomporre in fttori i seguenti polinomi: b + b 76 8x z + 4x z + 4xz + 8z bc bc + b 4 78 x x b b + ; x 5x x 5 + x 4 4x 4x ; x 5bx+ 6b ; x + x b x + b x ; x 9x bc c + bd cd ; x 4 5x 4 4 5

52 84 b bc + b bc; x + x bcx 4 6 d x ; x + x0 b gb g b n gb m n m n g m b b gb b b g b b gb g 86 x + x + x x + + x 87 m + n m + n b m + n n b m b m + + n b b 88 x b + x b + b x b b 5 + b x + + x x x x x 89 + b + b b b b + x b x + b + b Rispondere lle seguenti domnde e completre ove occorre: 90 Spiegre con prole proprie le seguenti espressioni: Rccoglimento fttore comune przile ; b Rccoglimento fttore comune totle 9 differenz di due qudrti è ugule l prodotto per l loro 9 Gli eventuli zeri di un polinomio sono divisori del termine di grdo del polinomio stesso 9 Dto il seguente trinomio di secondo grdo x + x + b tle che = m + n e b = mn, come si scompone il trinomio? 78 Minimo comune multiplo e mssimo comune divisore di un insieme di polinomi Dopo ver scomposto in fttori i seguenti polinomi, se ne determini MCD e mcm 94 9; 6+ 9; 6 f b g b g 95 4xx+ ; 6xx ; xx x x ; x x ; x + x + x 4 97 x; x + x + x; x x; x x 5

53 f 98 x x ; x x + ; 8 x ; x 99 b 4c ; b + 4c 4bc; b 6c 400 x 4x+ ; x 6x+ 9 ; x + 7 b g b g( ) 40 4x 4 ( x+ ) ; x 5x+ 5 ; 5 5x 40 x x+ ; x x ; x x 40 + ; 9 4; ( b) ; ( 4b 4) ; 6bb g 405 x ; bx b; 6( x x) ( x ) f 406 x + x; x + ; x + x 407 ( + b) ; ( b) ; b 408 x ; x; x ; 8+ 6; x x; x x; x 5x + 6x 4 x 4x+ 44; x x+ ; x x x b g 4 8( b) ; 4b b+ b ; ( 4b4) b g b g b g( ) x x ; x xf ; x 4 x 4 + ; + ( ) ; x 9 ; x ; ( x) 46 6 b 6 ; ( b) ; 0x 0bx 47 x ; 4x x + x 4; 4x 4 48 x 4 4 ; xz z ; x + b x bx b + b 6 4 b g 49 7b ; ( b) x ; 6 6b 6 6 5

54 ; 8+ 5; ( ) b + 64g 4 4x + x+ ; x 8x x+ ; 4x x 4 Completre le seguenti ffermzioni: 4 Dti due o più polinomi, scomposti in fttori, si definisce il prodotto dei fttori comuni, ciscuno preso col minore esponente 4 Dti due o più polinomi, scomposti in fttori, si definisce il prodotto dei fttori comuni e non comuni, ciscuno con il mggiore esponente 44 Dte due o più espressioni, l'espressione di minor grdo che si multipl di tutte le ltre si dice 45 Se due o più polinomi sono stti decomposti in fttori, l'espressione di mggior grdo che li divide si dice 79 Espressioni rzionli Applicndo l legge di cncellzione delle frzioni, semplificre le seguenti frzioni: 46 x 5 bc x cd ; ; ; ; x b c xz bcd 47 x x x 48 x x x 4 x 4 x c cd 4 ; ; ; ; b xz b x+ ; 5x 0x 4b 4b x x 4 ; b ; x x x f x + b ( x + ) ; ; ; + ( x + ) f 5 xx 4mn mn ; ; x+ x 4mnmn x + x f n ; ; 4 x + x + x+ m f 54

55 4 x x z z 4m 4n 49 ; ; 4 x x + z z + z m mn + n 40 8 c cm+ 6 cm m 4c 4cm+ cm b 4 b 6 b 4x 7xz ; 0x 5z x 4 b bx + x 4 ; x x + x + x x 8x+ 6 4 ; 9 x x z + 4 ; ; x z mn x x ; c( c m) ; xzxt z + t 6 6 x bx + g xf 6 x x ; + ; x z t 7x 5 b x ( x) ; x + x ( ) 0 + x+ x + 5 ; ; x x x b b 45 b + b + b bc bc 6b c x f x+ fxf 8 b ; 4+ b b b+ b ; bc; b b b ; 5 b 5 b b 4x 7x ; b x ( 49 b ) + b b+ b 5 x ; x g ( b) ( + b) x ; + b x+ f b g b ( ) x f ; b x b g x 4 + x + x + x+ ; + + ( + b) ; x x ( x+ b) b ( + ) ; ( x + b) ( + ) ( b) 440 b b + b + + b b ; x x x bx + x 44 x b b + + b+ b ; ( x + b) 55

56 x + x x x + x 4 4 x bx 4x b ; 4 4 4x x x x + x x ; 5 x x c + b b + cb b b+ cbc ; x + x + x 45x 5x + 8x 4 ; 4x 5x+ x+ + 9x 4 x + bx + bx+ x + bx+ b 446 x b 4 4 x x + + bx + bx x fx+ f + b x x+ + b ; x b b 4 6x 7x + x 448 x x + 6x 4 ; 4x x + 5x + x 9 4x x ( 6) x x 6 ; b g x 450 x x x x c ; x 9 x + c cx fb g ; N M b g ; b g Q P 4 xx + x + x + x+ x + x+ ( x ) ( x ) ; x x + c x c m 4mn + n 4m 4n 5mn + 5m m n fb + g ; 4+ 5m 56

57 b 45 ; 8 + b + 8b ( + b) + b ( + b) + b b ( b) ( + b) ; ( + b) ( b) ( + ) bm bm + bm b ; 4 bm b ( m ) M b ( m+ ) 5+ 6b ( ) mx n + mn ( x) nm ( x) + xm ( n) 454 m x + n + mnx b+ b + b x + + z + x+ xz+ z 455 ; 4 bb x z z x x x6x8 N ; b g ; b f ; 457 x x ( ) + ( ) x + x + ; 6 6 x + ( + ) x+ ( + ) x mx n mx + n x+ + z xz x + 6x+ 9 + x ; x+ x+ ; x+ + x Scrivere le seguenti divisioni sotto form di frzioni lgebriche e semplificre f b g 458 6x : 6x; m + m n : 4m x 459 b7x z 4x g: 5x ; ( b+ c) : b Completre le seguenti uguglinze: 460 x+ b b = ; = x x 6x + b 4b x + 5x = ; bb + b x + 4x+ 4 = ( x+ ) Q P 46 x x x = 4x + 8x b 4b = b b b ; b g b g 57

58 Dire qule delle seguenti uguglinze è ver o fls, giustificndo l rispost 46 x b + b x x x + d = d ; x + 5x + = x b + bx b x bx 464 = + bx x + bx c 465 x + + m+ bm m = ; x + = + b 466 b = = ; 5 5 b b + b = ; = + b b + b Eseguire le seguenti operzioni: x 8x x z 5 xz x 5bc 4bc : ; : x 8bc 6bc 4 4 xz xz x + x x + 6x : ; x x 6 x 47 x x x 47 x 9 x 8x+ 4 : + x + x x 4 47 x 4x+ 6 x 4 x + x ; 6x+ 4x+ 8 x x x x + x + x x 6 x ; 5 z x x x x+ cb+ c b bc : ; x + x+ b+ bc bc+ c N M x x x x+ b gb g ; 7 0 x+ x+ ; 5 b xx 6 x+ f f ; 4 f x ( b+ ) ( c) ( + c) ( b+ c) Q P f x xx 6( x + ) x + 64 x 6x 58

59 474 + b : 8 + b+ 6b + b 4 + 4b+ b 4 m m n 475 4m n + 4mn + n 4 mn+ mn m + mn m mn : mn mn + n x + + x x+ xb+ + b 4 b 476 : z6l zb+ lb z 6zl + 9l xz xl + z l x 4 x 5b x 4x : 5b b f : x x + x+ 478 x x x x x x + x+ x : x + 7x + 6 x + x 4x + 4x x + 6 4x : x x x x x x + x b 4b b b b + 4b : : 6b 4b b x + x 8 mx+ m nx n x + x 6 m x + n x + mnx 4x + 4m + 4n + 8mn 6 m+ n+ m n 4 5 x x 484 x + 4x G KJ x + x x : x+ x x ( + ) b( b) b : + + b ( + b) 4b b b + + b G K J f 59

60 G K J + x x x x x xk + 6 x 4 x x x x x K G x K J : : G G N M 4 + 6K + + K + : 488 x + x x + x + + x x x x + x Kb g + K KJ G G x + x Ridurre llo stesso denomintore le seguenti frzioni: 490 x ,, ;,, 4 x xz z bc 9bc c P Q : + xk x K x K J ( x 5) ( x+ ) x KJ + K J G b g x+ x b 5b + P + : 6b+ 9b K J f + ( 5b) b 7 4x 8x + x 49,, ;,, x x+ x x + x x+ x f f f f d 5d 49,, c+ d ( cd) c 4d ( c+ d) 49 b g b b+ b ( b), + 4b+ b, + b+ b + b b g b g( ) 494 b ( ) b 7,,, ( ) ,,

61 + b b 496,, ( b) b ( + b) b 497,, b+ b + b+ b b , 7, 49 Eseguire le seguenti somme lgebriche: 499 x z x 4 6x x + ; + 6z 0xz 5x x 6x 5x + 9 4z x ; 0xz 6x x 6 x+ xx+ x b b x+ b ( b) b + + b f ; xx+ f ; b b z + 6zw z w 50 ; + b+ b b z + zw 6w z w x x+ ; x h+ h+ + h 6x 7h + 7h+ 8 M ; x x+ x ( h + ) h 5x x+ 6 z wz 50 + x+ x 4 x ; w 5wzz b N f f f b gq P 5w w+ z + 5x ; x+ w w+ z b b + b + + b + b ( + b) + ; + b+ b 4 b ; ( b) ( + b) ( + b) x+ x+ + x+ + x+ x + x+ ; f 6

62 f f ; f 0 x+ + ( ; + ) x+ ( + ) 506 x x x x x x+ + + x + 4 ; x+ x x x x x x 507 b + + b + b b ; + b b + bg ( b) ( + b) ( + b) ( b) t t tz x 509 tz + tz + t ; t x x + x x N M + b ; b( + b) b b b g b g; b gb g ( t) t ( tz) z + z+ z + z+ t x x x x x x x ; 4 x x+ x f f f ; ( h+ ) ( h+ ) h 4 6 ; ( ) ( ) ( ) ( h+ ) ( h+ ) ( h ) ; + x+ x x b 5 b+ b N M 4( + ) 0x ; 8 x+ x x Q P b g f f fq P + b x + f x + x xx ( 7) + ( 9 8) ( x ) ( x+ 4) ( b) + + b + b 54 x + x x x 55 x x x x x + x x 6

63 ( + ) 57 + b b b b 4b 0 b b + b + + b ( + b) ( b) + b b + b 0 0 8b b 0 6b + 7b 0( 5 b) 59 b b b b + b b b b b 8b 5 5b b 5 + 5b 5 + 5b + b 5 b c c b+ bc b + c b bc c c+ bbc Semplificre le seguenti frzioni: x 5 b 48x 8 4 5x 6 x+ 54 x x+ 55 f f 5 7b 4 x ; 5 ; 7b x f f 4 8x x+ 4 bc 4 9 x+ bc 5x 4 x+ + z x ; ; xx ( + z) x f+ 4 z x+ f x b ; ; 4b x 6x x+ bc f 5xz + x x + f f ; ; xx ( + z) x f x f 5 6 x x + ; x ( ) x g f ( x ) f ; xx + f 6

64 K x 56 x x ; + x f b g x+ x x + x + ( x ) x + fbx g ; x( 7x 5) xx Q P f Semplificre le seguenti frzioni: 57 4 x + x x x x 7x : x x x + + 6x 6 58 G G K J K x + 4x KJ K x+ + : x + x+ : + + 6K + + K 0 x : K + K b + g ( ) K m+ n + m + n m+ n m n 5 m n + m n m n : m+ n G G K + + ( + ): 6K + x x+ + x + b 4b + 4b x KJ x+ b K ( m+ n) 4mn f ( + ) ( + ) x + 7 : 9 6b 9 6b K b 9 6b 57 bc b bc c bc b ck + b ck b c 58 G KJ + x+ x x KJ : x+ x x + + x+ x 64

65 59 + K + + K ( + ) ( ) x G 4 K J : 4K G K J b ck b bk + bk + + K x x + x K + x+ K + G x + bx + bx + x G xx x+ xkj + x + x+ G x x x x KJ + x x x x+ + + G x KJ 9 + x x G + x K J G K J G x + 4 x 4 x + G x K J + G x K J x x + x 9 x x x x + x+ 9 + ( + ) + G x 7 x KJ x K 545 x 4 ( + ) : 0 : : + 0 b + b 546 x x K J x x+ + x x+ b g + bx : f 5 x K J 9 : x x K : : : x x+ f 4 6 : x 65

66 x x x xK + x + xk 4x x x x x + x + + G x K J x b + 55 b b + + b b ( b) K + + b + 4b + b b 554 G K K x x x + + x x+ + : x x + x + x x + x K J x + x + K x x x x x + : x 4x + 4 x 5x z z + z z 5z 4 z z + z + z 4 x ( x ) b b 4 + b : ( + b) b b K + bk b + b + b b + b + b6b 56 + G x+ + x x x+ ( b) b( b) b 5 b + 5b+ 6 b+ + b + 5b+ 6b b b + b b KJ G : b gb g KJ G b b + b b x + x + x + : : x x x K + K K KJ 66

67 K K K :b g + + b b b 565 b + b + 4 b 6b+ b + b + b b + b b 70 Equzioni lgebriche di grdo Esercizio 8 Risolvere l equzione x+ ( x) + 5 = 0 6 Soluzione equzione non si present nell form cnonic x + b = 0 Eseguendo le operzioni lgebriche del primo membro, l uguglinz ovvimente non vri x x = 0 8 Moltiplicndo mbo i membri dell uguglinz per il mcm dei denomintori (8) si h: 9x + x + 90 = 0 ed eseguendo le operzioni: 6x+9=0 che è l form cnonic desidert, d cui 9 x = 6 Sostituendo questo vlore nell equzione dt si trov che ess è soddisftt Esercizio 9 67