Esercizi di Geometria

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1 Ginluc Occhett - Elis Tsso Esercizi di Geometri IV unità didttic R R R R R Università di Trento Diprtimento di Mtemtic Vi Sommrive ovo (TN)

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3 Indice 1 Topologi generle Topologi lgeric Temi d esme novemre ferio prile giugno luglio settemre

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5 1 Topologi generle 1) Si R l rett rele con l topologi euclide, e si A = {, } un insieme formto d due elementi distinti con l topologi nle. Si infine Y = R A lo spzio prodotto. ) Si stilisc se Y è di Husdorff, se è connesso, se è connesso per rchi e se è comptto. ) Si considerino i seguenti sottoinsiemi di Y : Z = (( 1, 1) {}) ([ 2, 2] {}), W = (( 1, 1) {}) (( 2, 2) {}). Si stilisc se Z e W sono comptti. c) Si costruisc un cmmino in Z che congiunge il punto di coordinte (0, ) con il punto di coordinte (0, ). ) Utilizzeremo il risultto generle per cui due spzi topologici X 1 e X 2 sono di Husdorff (risp. connessi, connessi per rchi, comptti) se e solo se X 1 X 2 è di Husdorff (risp. connesso, connesso per rchi, comptto). ertnto, essendo (R, τ ε ) di Husdorff, connesso e connesso per rchi, doimo verificre se (A = {, }, {, A}) soddisf o meno tli proprietà. A non è di Husdorff perché l unico intorno di è A, lo stesso per ; perciò Y non è di Husdorff. A è connesso perché i soli perti e contempornemente chiusi di A sono A stesso e ; quindi Y è connesso. Un rco tr e è dto dll ppliczione continu f : I A definit d f(t) = se t 1,f(1) =, di conseguenz A è connesso per rchi e nche Y lo è. oiché R non è comptto, Y non è comptto.

6 2 1 Topologi generle ) Le topologie su Z e W sono indotte d quell di Y. ertnto U è perto di Z se e solo se esiste V perto di R tle che U = (V A) Z. Ovvero U è dto d ((V ( 1, 1)) {}) ((V [ 2, 2]) {}). Si dunque U = {U i } i I un ricoprimento perto di Z, dove U i = ((V i ( 1, 1)) {}) ((V i [ 2, 2]) {}). Allor {V i [ 2, 2]} i è un ricoprimento perto di [ 2, 2] che è comptto in qunto intervllo chiuso e limitto di R. ossimo quindi estrrre un sottoricoprimento finito di [ 2, 2]: V = {V ik [ 2, 2]} k K. Dll essere ( 1, 1) [ 2, 2], ottenimo che i corrispondenti U ik sono un sottoricoprimento finito di U e quindi Z è comptto. Z W W non è comptto. Si inftti {U i } i il ricoprimento perto ottenuto ponendo V i = ( i, 2 1 i ), essendo U i = (V i A) W, per ogni i N, i 0; d esso non è possiile estrrre un sottoricoprimento finito. Alterntivmente, si può concludere che W non è comptto perché l su immgine in R medinte l proiezione sul primo fttore (che è continu) non è comptt. c) Si h : I Z definit d h(t) = (0, ), se t 1, mentre si h(1) = (0, ). L ppliczione h risult essere continu, si inftti B Z un perto dto d B = (V A) Z, con V perto di R. Se 0 / V llor h 1 (B) =, ltrimenti h 1 (B) = I e h è pertnto un cmmino in Z tr i punti (0, ) e (0, ). 2) Nello spzio R 3, dotto dell topologi euclide, si considerino i sottospzi: X = S 2 \{N}, dove N = (0, 0, 1) ed E = {(x, y, z) S 2 z = 0}. Si Y = X/E lo spzio quoziente ottenuto per contrzione di E d un punto e si π : X Y l proiezione sul quoziente. ) Si provi che π è chius, m non pert. ) Y è uno spzio comptto? c) Y è uno spzio connesso? d) Y \π(e) è uno spzio connesso? e) Si determini un relzione di equivlenz su X in modo che lo spzio quoziente X/ si omeomorfo d S 2.

7 1 Topologi generle 3 ) π è chius se e solo se per ogni V X chiuso si h π(v ) Y chiuso. er l topologi quoziente, π(v ) è chiuso in Y se e solo se π 1 (π(v )) è chiuso in X. Se V E = llor π 1 (π(v )) = V è chiuso, mentre se V E llor π 1 (π(v )) = V E è unione di due chiusi quindi è chiuso. π non è pert, considerimo d esempio l perto U di X, U = S 2 {x > 1/2}; in tl cso si h π 1 (π(u)) = U E che non è perto, st prendere un punto p in E \ U per non trovre un intorno del punto contenuto in U E. ) Y non è comptto, prendimo d esempio come ricoprimento perto {π(x {z < ε})} 0<ε<1 ; d esso inftti non è possiile estrrre un sottoricoprimento finito. c) Y è connesso perché il quoziente di un connesso è connesso e X è connesso perché è omeomorfo R 2. d) Y \ π(e) non è connesso perché è unione di due perti non vuoti e disgiunti, π(x {z > 0}) e π(x {z < 0}). e) Un relzione d equivlenz su X che rende il quoziente omeomorfo S 2 è d esempio quell che identific i punti di X {z 0} d un punto. 3) Si consideri R con l topologi τ i cui perti non nli sono gli intervlli (, ) > 0. Si I l intervllo [0, 1] dotto dell topologi euclide, e si J lo stesso intervllo con l topologi indott d τ; si infine = I J con l topologi prodotto. ) Si dimostri che J è comptto. ) L ppliczione f : J S 1 definit ponendo f(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) è continu? c) Si g : R un funzione continu non costnte; si provi che g() è un intervllo chiuso e limitto di R. d) Si l relzione di equivlenz su J che identific 0 con 1; si descriv l topologi quoziente su J/. ) Si U = {U i } i un ricoprimento perto di J. Con l topologi indott d τ, gli perti non nli di J sono dti dgli intervlli [0, ), con 0 < < 1. er ricoprire il punto 1 imo dunque isogno che l perto [0, 1] sti in U, quindi esiste un sottoricoprimento finito di U costituito d {[0, 1]} e J è comptto. Oppure, poiché ε τ, l identità Id : I J è continu ed essendo I comptto (chiuso e limitto con l topologi euclide), l su immgine, J, è un comptto. ) f non è continu perché l rchetto (perto) su S 1 individuto di punti tr (1, 0) e (0, 1) e ottenuto percorrendo l circonferenz in senso ntiorrio prtire d (1, 0) h come controimmgine l intervllo (0, 1/4) che non è un perto di J. c) è comptto perché è prodotto di comptti; l immgine di un comptto trmite un ppliczione continu è un comptto, quindi g() è un comptto di (R, τ ε ), ovvero un intervllo chiuso e limitto, non potendo essere un punto.

8 4 1 Topologi generle d) Un sottoinsieme A J/ è perto se e solo se π 1 (A) è perto di J, dove π : J J/ è l proiezione sul quoziente. oiché un perto di J deve contenere 0, un perto A di J/ deve contenere l clsse [0] = [1] e quindi π 1 (A) dev essere un perto di J che contiene 0 e 1. oiché l unico perto di J che contiene 1 è [0, 1], l topologi su J/ è l topologi nle. 4) Si considerino i seguenti spzi topologici X = R con l topologi euclide ε. Y = R con l topologi τ i cui perti non nli sono le semirette (, h). Z = R con l topologi η i cui perti non nli sono le semirette (k, + ). e sino (X Y, τ = ε τ) e (X Z, η = ε η) gli spzi topologici prodotto. In R R si consideri il sottoinsieme S = [0, 1] ((0, 2) [3, 5]) con le topologie indotte d τ e η ) (S, τ ) è di Husdorff? ) (S, τ ) e (S, η ) sono comptti? c) Si provi che (S, τ ) è connesso. d) Si costruisc un cmmino in (S, τ ) che congiung i punti A = (0, 1) e B = (1, 4). ) Un prodotto di spzi è di Husdorff se e solo se ciscuno spzio è di Husdorff. oiché ([0, 1], ε) è sottospzio di (R, ε), esso è di Husdorff. ertnto, per stilire se lo spzio (S = [0, 1] ((0, 2) [3, 5]), τ = ε τ) si di Husdorff, doimo vedere se (T = ((0, 2) [3, 5]), τ) è di Husdorff. (T, τ) non è di Husdorff. Sino inftti x e y due punti distinti di T, (0, h x ) T e (0, h y ) T due loro rispettivi intorni (nel cso x = 5 l unico intorno è T). Allor l loro intersezione è sempre non vuot, ((0, h x ) T) ((0, h y ) T) =

9 1 Topologi generle 5 (0, min{h x, h y }) T. ) oiché un prodotto di spzi è comptto se e solo se è prodotto di spzi comptti, studieremo l compttezz di [0, 1] e (0, 2) [3, 5] con le reltive topologie. Lo spzio ([0, 1], ε) è comptto perché intervllo chiuso e limitto di (R, ε). Considerimo or un ricoprimento perto di (T, τ). oiché l unico intorno del punto 5 in τ è T stesso, per poter ricoprire T necessrimente T pprterrà l ricoprimento, di conseguenz trovimo un sottoricoprimento finito, {T }. Risult che (T, τ) è comptto e quindi nche (S, τ ) è comptto. Mostrimo or che (S, η = ε η) non è comptto provndo che (T, η) non è comptto. Ogni perto non nle di T srà del tipo (k, 5] T per k > 0. Il ricoprimento perto di T dto d {( 1 n, 2) [3, 5]} n 1 non mmette sottoricoprimenti finiti. c) Anche per l connessione usimo il ftto che un prodotto di spzi è connesso se e solo se ciscuno spzio lo è. ([0, 1], ε) è connesso perché è un intervllo di (R, ε). er qunto visto l punto ), presi due punti qulunque in (T, τ) non è possiile trovre due loro intorni perti disgiunti, in prticolre non è possiile scrivere T = A 1 A 2 con A 1, A 2 perti non vuoti e disgiunti. Ne segue che (T, τ) è connesso. d) Definimo due cmmini in (S, τ ), il primo tr i punti (0, 1) e (1, 1), il secondo tr i punti (1, 1) e (1, 4). Il cmmino prodotto tr i due costituirà il cmmino cercto. Si f : (I, ε) (S, τ ) : t (t, 1). er l proprietà universle dei prodotti f è continu (l prim componente è l identità, l second è un ppliczione costnte), inoltre f(0) = (0, 1) e f(1) = (1, 1). Si g : (I, ε) (S, τ ) l ppliczione definit d { (1, 2t + 1) t [0, 1/2) g(t) = (1, 2t + 2) t [1/2, 1] er provre l continuità di g utilizzimo nuovmente l proprietà universle dei prodotti e quindi ci riconducimo verificre l continuità dell second componente che denotimo con g 2. Si U T un perto non nle, llor U srà del tipo U 1 = (0, s) per 0 < s 2 oppure del tipo U 2 = (0, 2) [3, s) per 3 < s 5. oiché g2 1 (U 1) = [0, s 1) se 2 s > 1, g2 1 (U 1 ) = se s 1, g2 1 (U 2 ) = [0, s 2 ) se s 4 e g (U 2 ) = I se s > 4, le controimmgini di perti di T sono perti di I e quindi g 2 è continu.

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11 2 Topologi lgeric 1) Si X lo spzio ottenuto di due qudrti in figur per identificzione dei lti con lo stesso nome. d d c c ) Si clcoli il gruppo fondmentle di X. ) X è un superficie topologic? Ripercorrendo i pssi del teorem di clssificzione ottenimo e d d d d e c d d e

12 8 2 Topologi lgeric e e e e e e f f f f f e e e f f er il teorem di clssificzione delle superfici comptte risult che lo spzio X è omeomorfo U 2 e h pertnto gruppo fondmentle π(x) =< e, g e 2 g 2 = 1 >, dove imo posto g = f 1. e f f 2) Si X = R 2 il pino proiettivo rele, e si Z lo spzio topologico ottenuto contrendo d un punto il sottospzio mostrto in figur. Si clcoli il gruppo fondmentle di Z. ossimo rppresentre Z nel seguente modo

13 2 Topologi lgeric 9 Appre chiro che Z è omeomorfo S 2, inftti i due dischi uniti in si incollno lungo il ordo dndo origine d un sfer. Il gruppo fondmentle è perciò nle. 3) Si T il toro, e X lo spzio ottenuto rimuovendo dl toro un disco perto e identificndo il ordo come in figur. c c Si clcoli il gruppo fondmentle di X. ossimo rppresentre X con il seguente poligono: c c

14 10 2 Topologi lgeric Sino x 0 un punto interno l poligono, δ un cmmino che congiunge x 0 l vertice del poligono, ε un cmmino che congiunge x 0 c e γ un circonferenz ttorno c pssnte per x 0 come indicto. c ε δ x 0 c γ Sino U 1 = X \ c, U 2 = X \ {, }, llor U 1, U 2 e U 1 U 2 sono perti non vuoti e connessi per rchi. L perto U 1 h come retrtto forte di deformzione il ordo esterno del poligono perciò π(u 1, x 0 ) =< α, β > dove α = δi δ, β = δi δ e i è l isomorfismo tr il gruppo fondmentle del ordo esterno di X e quello di U 1. L curv c è un retrtto forte di deformzione di U 2 quindi π(u 2, x 0 ) =< Γ > dove Γ = εj c ε e j è l isomorfismo tr il gruppo fondmentle di c e quello di U 2. L circonferenz γ è un retrtto forte di deformzione di U 1 U 2 per cui π(u 1 U 2, x 0 ) =< γ > Definite i 1 e i 2 le mppe d π(u 1 U 2 ) π(u 1 ) e π(u 2 ) rispettivmente, si trov i 1 (γ) = αβα 1 β 1, i 2 (γ) = Γ 2. Dl teorem di Seifert-Vn Kmpen segue π(x, x 0 ) =< α, β, Γ αβα 1 β 1 = Γ 2 > 4) Si T il toro pieno S 1 D 2, α e β cmmini come in figur e D il disco pino chiuso il cui ordo è α. β α

15 2 Topologi lgeric 11 Si stilisc se i seguenti sottospzi sono retrtti e/o retrtti di deformzione di T ) L circonferenz α. ) L circonferenz β. c) Il disco D. ) In generle, si h che se un sottospzio A i T è un retrtto llor, preso un punto x 0 A, l mpp i : π(a, x 0 ) π(t, x 0 ) è iniettiv. Il gruppo fondmentle π(α, ) è generto dll clsse del cmmino α, e i [α] non è ltro che l clsse del cmmino α in π(t, ). oiché in T il cmmino α è contriile, si h i [α] = [ε ], quindi i non è iniettiv e α non è retrtto di T, e quindi non è neppure retrtto di deformzione. ) ossimo identificre l circonferenz β con un sottospzio di T del tipo S 1 {ȳ}; l mpp r : T β che mnd (x, y) in (x, ȳ), continu per l proprietà universle dei prodotti, è un retrzione. oichè il segmento che unisce (x, y) r(x, y) è contenuto in T per ogni (x, y), β è un retrtto di deformzione di T. c) Il disco D non è un retrtto di deformzione di T in qunto il gruppo fondmentle del disco è nle, mentre quello di T è isomorfo Z. Il disco è un retrtto di T, come si può vedere utilizzndo come retrzione l proiezione sul secondo fttore seguit d un omeomorfismo tr D 2 e D = { x} D 2.

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17 3 Temi d esme 21 novemre ) Si I l intervllo [0, 1] con l topologi euclide, e si J l intervllo [0, 1] con l topologi i cui perti non nli sono gli intervlli [0, k) con 0 < k 1. Si X = J I con l topologi prodotto. ) Stilire se X è di Husdorff. ) Fornire un esempio di sottoinsieme infinito di X che si comptto, m non chiuso. c) Dimostrre che Z = {0, 1} I è connesso per rchi. d) Dimostrre che W = J {0, 1} non è connesso. ) X = J I è di Husdorff se e solo se lo sono entrmi gli spzi J e I. oiché I è sottospzio dello spzio di Husdorff (R, τ ε ), nche esso è di Husdorff. Lo spzio J con l topologi i cui perti non nli sono [0, k) con 0 < k 1 non è di Husdorff, inftti, d esempio, due intorni qulunque dei punti 1/3 e 1/2 si intersecno lmeno in [0, 1/3]. ) Un esempio di sottoinsieme infinito di X comptto m non chiuso è l intervllo [0, 1/2] I. Dll compttezz di I, intervllo chiuso e limitto di (R, τ ε ), segue che è sufficiente verificre l compttezz di [0, 1/2]. Or, ogni suo ricoprimento perto deve contenere un perto del tipo ([0, k) [0, 1/2]), con k > 1/2. Dunque {[0, 1/2]} è un sottoricoprimento finito. Inoltre [0, 1/2] non è chiuso perché il suo complementre in J, (1/2, 1] non è perto. Di conseguenz [0, 1/2] I non è chiuso nell topologi prodotto. c) Un prodotto di spzi è connesso per rchi se e solo se gli spzi lo sono. I è connesso per rchi, quindi verifichimo l proprietà per {0, 1} con l topologi indott d quell di J. Gli perti non nli di {0, 1} si ottengono intersecndo l insieme con gli intervlli [0, k) con 0 < k 1 d cui risult l unico perto {0}. Un rco in {0, 1} tr 0 e 1 è dto dll ppliczione f : I {0, 1} che ssoci 0 t 1, 1 t = 1. Inftti f 1 (0) = [0, 1) è perto di I.

18 14 3 Temi d esme d) Lo spzio {0, 1} con l topologi indott d I non è connesso, ess inftti è equivlente quell discret su {0, 1} per cui {0, 1} = {0} {1} è unione di due perti non vuoti e disgiunti. Ne segue che il prodotto W = J {0, 1} non è connesso. 2) Nel pino R 2, dotto dell topologi euclide, si considerino i seguenti sottospzi: D 1 = {(x, y) (x + 2) 2 + y 2 1}, D 2 = {(x, y) (x 2) 2 + y 2 1}, Γ 1 = D 1, Γ 2 = D 2, A = ( 1, 0). Γ 1 D 1 Α D 2 Γ 2 Sino X = D 1 D 2, Y = Γ 1 Γ 2 e si X = X/Y ; si denoti con π : X X l proiezione sul quoziente. ) Si provi che π è chius, m non pert. ) Si stilisc se X è comptto, connesso, di Husdorff. c) X \π(a) è connesso? d) π( D 2 A) è comptto? Identificndo ciscun disco con un emisfero di S 2, imo che il quoziente X è omeomorfo S 2 S 2. ) L proiezione π è chius se e solo se per ogni V X chiuso si h π(v ) X chiuso. Nell topologi quoziente, π(v ) è chiuso se e solo se π 1 (π(v )) è chiuso. Se V (Γ 1 Γ 2 ) = llor π 1 (π(v )) = V, mentre se V (Γ 1 Γ 2 ) llor π 1 (π(v )) = V (Γ 1 Γ 2 ) è unione di tre chiusi (Γ 1 Γ 2 è l frontier di X) quindi è chiuso. π non è pert, considerimo d esempio un perto di X ottenuto come intersezione di un disco perto U di R 2 tglito d Γ 1, U = {(x, y) (x + 1) 2 + y 2 < 1}. In tl cso si h π 1 (π(u X)) = (U X) (Γ 1 Γ 2 ) e tle insieme non è perto, st prendere un punto in (Γ 1 Γ 2 ) \ (U X) per non trovre un intorno del punto contenuto in (U X) (Γ 1 Γ 2 ). ) X è comptto, perché quoziente di un comptto. X inftti risult essere comptto perché è un sottoinsieme chiuso e limitto di R 2, perciò comptto per un corollrio ll proposizione chiuso di comptto.

19 3 Temi d esme 15 X è connesso. Inftti X (S 2 S 2 ) e quest ultimo spzio si può ottenere come quoziente di S 2 contrendo l equtore d un punto. oiché S 2 è connesso, il quoziente di un connesso è connesso e poiché l connessione è un proprietà invrinte per omeomorfismi segue che X è connesso. (In ltro modo, S 2 S 2 è connesso per rchi, quindi connesso.) X è di Husdorff, perché X è comptto e di Husdorff e l proiezione è chius. c) Mostrimo che X \ π(a) non è connesso: π(a) = π(γ 1 Γ 2 ) e dunque X \π(a) = π(x \(Γ 1 Γ 2 )); π(d 1 \Γ 1 ) e π(d 2 \Γ 2 ) sono perti non vuoti e disgiunti di X \π(a) e X \π(a) = π(d 1 \Γ 1 ) π(d 2 \Γ 2 ). d) π( D 2 ) S 2 \{N} e π( D 2 A) S 2, poiché S 2 è comptto perchè chiuso e limitto di R 3 e poiché l compttezz è un proprietà invrinte per omeomorfismi, π( D 2 A) è comptto. (In lterntiv si può vedere π( D 2 A) come complementre in X di π( D 1 ) che è perto e usre il ftto che X è comptto con l proposizione chiuso di comptto.) 3) Si considerino i seguenti sottospzi di R 2, con l topologi indott d quell euclide, e li si suddividno in clssi di omeomorfismo e di equivlenz omotopic. G e E sono omeomorfi, e quindi omotopicmente equivlenti, perché possimo mndre con continuità i punti di uno sull ltro e vicevers. Su E ci sono due punti (i due nodi) che sconnettono lo spzio in tre componenti connesse mentre su O non ci sono tli punti quindi E (e G) non è omeomorfo O; nlogmente per 4. E (e quindi G) h peró lo stesso tipo di omotopi di O poiché entrmi hnno l omotopi di due circonferenze unite in un punto. Infine 4 non è omeomorfo O né h lo stesso tipo di omotopi di O o E perché il suo gruppo fondmentle è generto d 3 elementi mentre gli ltri hnno gruppo fondmentle generto d due elementi. 4) Si T il toro, e α e β cmmini sul toro come in figur.

20 16 3 Temi d esme β α Si X lo spzio topologico ottenuto contrendo un punto α, si Y lo spzio topologico ottenuto contrendo d un punto β e si Z lo spzio topologico ottenuto contrendo d un punto α β. ) Si clcolino i gruppi fondmentli di X, di Y e di Z rispetto l punto immgine del punto trmite le proiezioni sui quozienti. ) X, Y e Z hnno lo stesso tipo di omotopi? Sono omeomorfi? Rppresentimo il toro con il poligono pino seguente β α α β Contrendo α o β ottenimo rispettivmente: β α α β d cui è evidente che X e Y sono omeomorfi, e quindi nche omotopicmente equivlenti. Applichimo il teorem di Seifert-Vn Kmpen per clcolre il gruppo fondmentle di X. Sino dunque U 1 = X \ {x} e U 2 = X \ {β}, dove x / β è un punto di X. Il ordo di X è un retrtto forte di deformzione di U 1 perciò π(u 1 ) =< β >; U 2 h gruppo fondmentle nle, π(u 2 ) = 1; U 1 U 2 si retre su un circonferenz γ ttorno x e pertnto π(u 1 U 2 ) =< γ >. L immgine di γ in π(u 1 ) è ββ 1 mentre è il cmmino nle in π(u 2 ), quindi

21 3 Temi d esme 17 π(x) =< β ββ 1 = 1 >=< β > rocedimo in mnier nlog per Y e ottenimo π(y ) =< α αα 1 = 1 >=< α > Lo spzio Z è omeomorfo d un disco con il ordo identificto un punto, ovvero è omeomorfo un sfer S 2 e pertnto π(z) =< >. Il gruppo fondmentle di Z non è isomorfo quello di X (né quello di Y ) quindi Z non è omeomorfo né h lo stesso tipo di omotopi di X o Y.

22 18 3 Temi d esme 6 ferio ) Si X l rett rele con l topologi euclide, e si Y l rett rele con l topologi i cui perti non nli sono gli intervlli (, ) con > 0 e si Z = X Y con l topologi prodotto. In Z si considerino i seguenti sottospzi con l topologi indott: D 1 = {(x, y) Z (x + 1) 2 + y 2 < 1} D 2 = {(x, y) Z x 2 + (y 2) 2 < 1} D 3 = {(x, y) Z (x 1) 2 + y 2 < 1} I = [ 1, 1] {3} = {(x, y) Z y = x}. ) Si stilisc se qulcuno dei sottospzi U 1 = D 1 D 2, U 2 = D 1 D 3, U 3 = D 2 D 3 è connesso. ) Il sottospzio D 2 è comptto? Il sottospzio D 2 I è comptto? c) Il sottospzio è chiuso? ule topologi è indott su dll topologi di Z? ) U 1 è connesso. Supponimo inftti per ssurdo che non lo si, llor si vree U 1 = A B, con A e B perti non vuoti e disgiunti di U 1. Allor D 1 = (A D 1 ) (B D 1 ) è un decomposizione di D 1 in perti disgiunti. L topologi euclide su R 2 è più fine dell topologi di Z quindi Id : R 2 Z è continu ed essendo D 1 R 2 connesso, D 1 Z è connesso. ossimo supporre llor D 1 = A D 1. Anlogmente procedimo per D 2, deducendo D 2 = B D 2 (se fosse D 2 = A D 2 vremmo A = U 1 ). Allor A = D 1 e B = D 2, m D 2 non è perto di U 1 perché ogni perto di Z che contiene D 2, contiene necessrimente nche D 1 { 1 < x < 0}. Con un rgionmento nlogo si dimostr che U 3 è connesso. Invece U 2 non è connesso perché D 1 e D 3 sono perti non vuoti e disgiunti di U 2. ) D 2 non è comptto, inftti l su immgine trmite l prim proiezione è un intervllo perto in R con l topologi euclide, e tle insieme non è comptto. Vedimo che D 2 I è comptto. Ogni ricoprimento perto di D 2 I, {(D 2 I) ( A (, ) ) },A, dà origine d un ricoprimento perto di I, {I ( A (, ) ) },A. I è comptto in Z perché lo è in R 2 e quindi è possiile estrrre un sottoricoprimento finito per I. Gli perti A (, ) ssociti l sottoricoprimento per I forniscono nche un corrispondente sottoricoprimento finito per D 2 I.

23 3 Temi d esme 19 c) Si z = (x, y) Z \ tle che (y x)(y + x) > 0 e si A un perto elementre di Z che contiene z. Allor A = B (, ), con B perto di X e > 0, perciò A. Segue llor che Z \ non è perto, ovvero non è chiuso. L topologi su indott d Z è quell euclide, inftti le intersezioni ( (x1, x 2 ) (, ) ) sono degli intervllini su, cosí come le intersezioni con dischi perti di R 2. 2) Nel pino R 2, dotto dell topologi euclide, si considerino i sottospzi D = {(x, y) x 2 + y 2 1} I = ({0} [ 1, 1]) ([ 1, 1] {0}) A = ( 1, 0) A D I Si D = D/I; si denoti con π : D D l proiezione sul quoziente. ) Si provi che π è chius, m non pert. ) Si stilisc se D è uno spzio di Husdorff. c) D \π(a) è connesso? d) Si determini un sottospzio E D tle che D/(I E) si omeomorfo ll unione un punto di quttro sfere. ) Si V D un chiuso. Se V I = llor π 1 (π(v )) = V e quindi nell topologi quoziente π(v ) è chiuso. Se V I llor π 1 (π(v )) = V I è unione di due chiusi di D quindi è chiuso. Di conseguenz π è chius. Se U D è un perto che non intersec I oppure che contiene I llor π 1 (π(u)) = U e perciò π(u) è perto, se invece U I e I U llor π 1 (π(u)) = U I non è perto (prendendo un punto di I \ U non si può trovre un intorno del punto tutto contenuto in U I) e nell topologi quoziente π(u) non è perto, quindi π non è pert. ) D è di Husdorff perché è sottospzio di R ε che è di Husdorff. oiché D è comptto e di Husdorff e l proiezione π è chius, imo che D è di Husdorff. c) Mostrimo che D \ π(a) non è connesso. Sino D 1 = D {x, y > 0}, D 2 = D {x > 0, y < 0}, D 3 = D {x < 0, y > 0} e D 4 = D {x, y < 0}.

24 20 3 Temi d esme Allor D \ π(a) = D \ π(i) = 4 i=1 π(d i) e ciscun π(d i ) è perto perché D i è perto di D che non intersec I. In prticolre possimo scrivere D \ π(a) = ( π(d 1 ) π(d 2 ) ) ( π(d 3 ) π(d 4 ) ) come unione di due perti disgiunti. d) Osservimo nzitutto che D è omeomorfo quttro dischi uniti in un punto. Considerndo E = S 1 ottenimo che D/(I E) è omeomorfo ll unione un punto di quttro sfere, inftti su ciscun disco il ordo viene corrispondere un punto e D 2 /S 1 S 2. 3) Nel pino euclideo R 2 si considerino gli spzi topologici dti d unioni di circonferenze come in figur e li si suddividno in clssi di omotopi e di omeomorfismo. Il primo e il secondo spzio sono omeomorfi e dunque omotopicmente equivlenti. Inftti tglindo tempornemente in un punto non di intersezione un delle circonferenze del primo e ricucendo il tglio dll prte oppost rispetto lle ltre tre circonferenze si ottiene il secondo spzio (si f uso del teorem 5.5 pg. 38 del Kosniowski). Il terzo h il gruppo fondmentle generto d 7 elementi mentre gli ltri 3 spzi hnno 5 genertori, quindi il terzo non è omeomorfo né omotopicmente equivlente gli ltri tre spzi. Il qurto non è omeomorfo i precedenti perché, differenz degli ltri spzi, h un punto che sconnette in due componenti connesse. È però omotopicmente equivlente i primi due in qunto sono retrtti forte di deformzione di R 2 \{5 punti}. 4) Nello spzio euclideo R 3 e nel pino euclideo R 2 si condiderino i seguenti sottospzi:

25 S 2 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} D 2 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} Γ = D 2 [ 3/2, 3/2] R 3 Si clcolino i gruppi fondmentli dei seguenti spzi topologici: 1. X 1 = S 2 (D 2 {0}). 2. X 2 = Γ (D 2 { 3/2, 0, 3/2}). 3. X 3 = Γ (D 2 { 3/2, 1/2, 1/2, 3/2}). 4. X 4 = Γ (D 2 { 3/2, 3/2}) S 2. 3 Temi d esme 21 X 1 e X 2 sono omotopicmente equivlenti due sfere unite in un punto, mentre X 3 e X 4 sono omotopicmente equivlenti tre sfere come in figur. ( () () () () () () () "# "# "# "# "# "# "# % % % % % % % & &' &' &' &' &' &' &'!!!!!!! * + * + * + * + * + * + * + Applicndo l osservzione contenut nel secondo esempio di ppliczione del teorem di Seifert-Vn Kmpen possimo concludere che tutti gli spzi considerti hnno gruppo fondmentle nle.

26 22 3 Temi d esme 14 prile ) Si X l intervllo [ 1, 1] con l topologi τ così definit: U è perto non nle di X se e solo se U non contiene il punto {0} oppure U contiene l intervllo ( 1, 1). ) (X, τ) è uno spzio di Husdorff? ) (X, τ) è uno spzio connesso? c) (X, τ) è uno spzio di comptto? d) Il sottospzio X\{0} con l topologi indott d τ è comptto? ) (X, τ) non è di Husdorff, inftti se considerimo il punto 0 e un punto x 1, 1, poiché un qulunque intorno U di 0 deve contenere ( 1, 1), ovvero deve essere ( 1, 1) oppure [ 1, 1) oppure ( 1, 1] o tutto X, segue che x U e quindi non esistono intorni di 0 e x disgiunti. ) (X, τ) non è connesso: scrivendo X = { 1} ( 1, 1] ottenimo un decomposizione di X in due perti non vuoti e disgiunti. c) Mostrimo che (X, τ) è comptto. Ogni ricoprimento di X deve contenere un intorno di 0 che per qunto osservto in ) conterrà ( 1, 1). Inoltre nel ricoprimento ci srnno lmeno un intorno di 1 e un intorno di 1. uesti tre perti dnno luogo d un sottoricoprimento finito del ricoprimento inizile. d) Il sottospzio X \ {0} non è comptto, perché l topologi indott su tle sottoinsieme (infinito) è l topologi discret. 2) Si (X, τ) uno spzio topologico, e si (X X, τ τ) lo spzio prodotto. Si provi che (X, τ) è di Husdorff se e solo se il sottospzio X X definito in questo modo = {(x, x) x X} è chiuso. Si poi R l rett rele con l topologi euclide; si forniscno un esempio di un sottospzio Y R tle che R/Y si di Husdorff e un esempio di un sottospzio Z R tle che R/Z non si di Husdorff. Supponimo che lo spzio (X, τ) si di Husdorff e considerimo un punto (x, y) c, vle dire x y. Allor esistono intorni di x e y disgiunti: U x,u y con U x U y =. In ltri termini, (U x U y ) =. In (X X, τ τ), U x U y c è un intorno perto di (x, y) quindi c è perto. Vicevers, si chiuso in X X e sino x e y due punti distinti di X. oiché c è perto, esiste V (x,y) c intorno perto di (x, y). Allor, indicte con π 1 e π 2 le proiezioni di X X sul primo e sul secondo fttore rispettivmente, π 1 (V (x,y) ) e π 2 (V (x,y) ) sono perti di X, rispettivmente intorni di x e di y (le proiezioni sono ppliczioni perte). oiché V (x,y) = si h che π 1 (V (x,y) ) π 2 (V (x,y) ) = e quindi X è uno spzio di Husdorff.

27 3 Temi d esme 23 Considerimo or R e i sottospzi Y = [0, 1] e Z = [0, 1). Il quoziente R/Y è di Husdorff, inftti due punti non pprtenenti Y hnno intorni disgiunti (per intorni piccoli l situzione è omeomorf quell in R), un punto [x] = x Y c e il punto [y] = [0], con y Y, pure (per esempio, se x < 0, possimo prendere (x δ/3, x + δ/3) e ( δ/3, 1 + δ), dove δ = x ). Invece il quoziente R/Z non è di Husdorff, perché se considerimo le clssi distinte [0] e [1], un qulunque intorno di [1] deve intersecre Z in R e quindi l clsse [0] in R/Z. 3) Si X il cilindro S 1 I con l topologi usule e si consideri Z, lo spzio quoziente di X ottenuto identificndo le due circonferenze identicte con c e contrendo il segmento d un punto. c Si clcoli il gruppo fondmentle di Z. c Lo spzio quoziente di X in cui sono stte identificte le circonferenze indicte con c è omeomorfo l toro, c c pertnto Z, ottenuto contrendo un punto il segmento è rppresentto dl seguente poligono

28 24 3 Temi d esme c er clcolre il suo gruppo fondmentle, considerimo gli perti connessi per rchi U 1 = Z \{c} e U 2 = Z \{z}, dove z è un punto interno di Z. Si vede fcilmente che π(u 1 ) =< >, π(u 2 ) =< c >, essendo c un retrtto forte di deformzione di U 2, e infine π(u 1 U 2 ) =< γ >, dove γ è un circonferenz ttorno z. L immgine di γ in U 1 è il cppio nle, mentre in U 2 è cc 1. Dl teorem di Seifert-Vn Kmpen segue llor che π(z) =< c cc 1 = 1 >=< c > c 4) Nello spzio euclideo R 3 sino O il punto (0, 0, 0), r l rett x = y = 0 e Γ l circonferenz x 2 + y 2 1 = 0 = z. Si considerino poi i seguenti sottospzi: 1. X 1 = R 3 \{O}. 2. X 2 = R 3 \{r}. 3. X 3 = R 3 \{r Γ }. e li si suddividno in clssi di omotopi e di omeomorfismo. (Suggerimento: può essere utile trovre dei retrtti di deformzione degli spzi X i ). S 2 è retrtto di deformzione di X 1, S 1 è retrtto di deformzione di X 2 mentre il toro è retrtto di deformzione di X 3, per cui π(x 1 ) = {0}, π(x 2 ) = Z e π(x 3 ) = Z Z. Avendo gruppi fondmentli non isomorfi, due qulunque dei tre spzi X i non sono omeomorfi né omotopicmente equivlenti.

29 23 giugno Temi d esme 25 1) Si R l rett rele, si Y = { } un insieme con un solo elemento e si X = R Y. Si consideri l fmigli τ di sottoinsiemi di X così definit: U X τ se ) U non contiene e U è un perto dell topologi euclide. ) U contiene e U c è comptto in R con l topologi euclide. Si verifichi che τ è un topologi per X e si stilisc se X è comptto, connesso, di Husdorff. Verifichimo che τ è un topologi per X. Anzitutto X τ perché contiene e è comptto. Inoltre τ per ). Si {U j } j J un fmigli di perti. L unione degli perti non contenenti è un perto di R, mentre l unione degli perti contenenti h come complementre un intersezione di comptti di R che è un comptto (i comptti di R sono tutti e soli i chiusi e limitti e un intersezione di un fmigli qulunque di chiusi è chius). uindi il prolem si riduce provre che U 1 U 2 è perto qundo U 1 è perto contenente e U 2 è perto non contenente. Allor U 1 U 2 e (U 1 U 2 ) c = U1 c Uc 2 è comptto di R. Sino U e V perti. Allor se U V, per ) U V è perto. Se invece uno dei due perti non contiene il punto, d esempio / U, llor / U V e U V è perto di R. In ogni cso, U V è perto di τ. X è comptto perché un qulsisi ricoprimento perto deve contenere lmeno un perto di tipo ), cioè un perto U tle che U c è comptto in R e dll compttezz di U c segue che dl ricoprimento possimo estrrre un sottoricoprimento finito per U c che ssieme U costituisce un sottoricoprimento finito di X. Osservimo che gli unici perti e chiusi di X sono X stesso e l insieme vuoto perché i chiusi di X sono i chiusi di R uniti e i comptti di R. Segue che X è connesso. X è di Husdorff perché se prendimo due punti di R llor esistono intorni disgiunti di tipo ) mentre per un punto x di R e st prendere d esempio l intervllo (x 1, x+1) per il primo, { } (, x 2) (x+2, ) per il secondo. 2) Si consideri lo spzio topologico X = R ε R c, dove R ε è R con l topologi euclide e R c è R con l topologi cofinit e si = [0, 1] [0, 1].

30 26 3 Temi d esme Si determinino e ; si dic inoltre se è comptto in X e se, con l topologi indott d X, è uno spzio topologico di Husdorff. Utilizzndo gli perti elementri ssieme ll definizione di interno e chiusur, si vede fcilmente che (A B) = A B e che A B = A B. Nel nostro cso, sppimo che l interno e l chiusur di [0, 1] con l topologi euclide sono rispettivmente (0, 1) e [0, 1]. Vedimo quindi il cso dell topologi cofinit. [0, 1] =, inftti gli perti non nli di R c sono complementri di Or, in R c, un numero finito di punti e nessuno di questi può essere contenuto in [0, 1] perché R \ [0, 1] h infiniti punti, quindi è il più grnde perto di R c contenuto in [0, 1]. Inoltre [0, 1] = R, inftti i chiusi non nli sono costituiti d un numero finito di punti e quindi l unico chiuso (e perciò minimo) di R c contenente [0, 1] è R. Aimo llor che = (0, 1) = e = [0, 1] R. Un prodotto di spzi è comptto se e solo se gli spzi lo sono. Essendo [0, 1] un comptto di R ε perché è chiuso e limitto, segue che è comptto se e solo se [0, 1] con l topologi cofinit è comptto. Considerimo dunque un ricoprimento perto di [0, 1] c e si U i un perto del ricoprimento. Se U i non è nle si k i il numero di punti in [0, 1] che non pprtengono U i. er ognuno di questi punti possimo trovre un perto del ricoprimento che lo contiene e ottenimo un sottoricoprimento finito con l più k i + 1 perti; segue llor l compttezz di [0, 1] e quindi di. non è di Husdorff perché [0, 1] nell topologi cofinit non lo è, in prticolre si h che non è possiile trovre intorni disgiunti per un qulsisi coppi di punti. Supponimo inftti per ssurdo che esistno x e y in [0, 1] con intorni perti disgiunti, U x U y =. Allor, prendendo i complementri in [0, 1], si h Ux c Uc y = [0, 1] m Uc x e Uc y sono insiemi finiti, di qui l ssurdo. 3) Si Γ R 3 il cilindro Γ = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 1, 1 z 1} e sino A = (1, 0, 0), B = (1, 0, 1) e C = (0, 1, 0). Si Σ un circonferenz, e sino, due suoi punti distinti. Si X lo spzio topologico ottenuto identificndo A con e B con, e si Y lo spzio topologico ottenuto identificndo A con e C con. X e Y sono omeomorfi? Hnno lo stesso tipo di omotopi? X e Y non sono omeomorfi. Inftti un omeomorfismo tr X e Y sree nche un omemorfismo locle in tutti i punti e in prticolre mnderee un intorno di B X omeomorficmente in un intorno di A o C in Y, di qui l ssurdo.

31 3 Temi d esme 27 X e Y hnno lo stesso tipo di omotopi perché Y è retrtto forte di deformzione di uno spzio omeomorfo X. 4) Si X = R 2 \{, } il pino proiettivo rele privto di due punti. Si clcoli il gruppo fondmentle di X e si mostri che esso è un gruppo liero. Rppresentimo X trmite il seguente poligono pino R R Denotimo con il dimetro orizzontle; il poligono h come retrtto di deformzione come in figur R R R R R e quindi il gruppo fondmentle è π(x) =<, > ed è perciò un gruppo liero su due genertori.

32 28 3 Temi d esme 14 luglio ) Sull rett rele R si consideri l fmigli τ di sottoinsiemi così definit: un sottoinsieme U τ se e solo se U = oppure U c è comptto nell topologi euclide. Si verifichi che τ è un topologi e l si confronti, se possiile, con quell euclide. Si stilisc poi se lo spzio topologico (R, τ) è comptto, connesso, di Husdorff. Mostrimo che τ è un topologi: R e τ; Si {U i } i un fmigli di sottoinsiemi di τ, llor i U i τ perché ( i U i) c = i Uc i è un intersezione di chiusi euclidei e perció è un chiuso e inoltre i Uc i U i0 è un insieme limitto, quindi comptto. Sino U 1, U 2 τ, llor U 1 U 2 τ perché (U 1 U 2 ) c = U1 c Uc 2 è unione di due chiusi e quindi è chiuso ed è limitto perchè entrmi lo sono, ed è quindi comptto. Se U τ llor U c è comptto di (R, τ ε ) quindi chiuso e U è perto di τ ε quindi τ τ ε (τ ε è piú fine di τ). L inclusione è strett perché d esempio l intervllo (0, 1) τ ε m (0, 1) / τ. Segue quindi che l identitá id : (R, τ ε ) (R, τ) è continu. oiché l immgine di uno spzio connesso trmite un ppliczione continu è un connesso, (R, τ) è connesso perché (R, τ ε ) lo è. (R, τ) non è di Husdorff, in qunto non esistono due perti U 1, U 2 disgiunti. Se inftti fosse U 1 U 2 = si vree U c 1 Uc 2 = R, m ciò è impossiile, perché Uc 1 e U c 2 sono comptti in (R, τ ε) e quindi limitti. Infine (R, τ) è comptto: se {U i } i è un ricoprimento perto e U {U i } i, llor U c è un comptto di (R, τ ε ) e quindi è comptto in (R, τ) perché l immgine di un comptto trmite un ppliczione continu è comptt; llor d {U i U c } i possimo estrrre un sottoricoprimento finito che ricopre U c, tle sottoricoprimento ssieme U è un sottoricoprimento finito di {U i } i. 2) Si considerino su R le seguenti topologie: ) τ 1 = Topologi euclide. ) τ 2 = Topologi i cui perti non nli sono gli intervlli (, ) con R +. c) τ 3 = Topologi i cui perti non nli sono le semirette (, ) con R +. e si X i = (R, τ i ). Si considerino le ppliczioni f i : X i [0, + ) definite ponendo f i (x) = x e si denoti con σ i l topologi quoziente su [0, + ) reltiv ll ppliczione f i e con Y i lo spzio topologico ([0, + ), σ i ). Si stilisc se gli spzi Y i sono di Husdorff e se sono comptti.

33 3 Temi d esme 29 Utilizzndo l definizione di topologi quoziente non è difficile vedere che σ 1 è l topologi euclide, σ 2 è l topologi i cui perti non nli sono gli intervlli [0, ) e σ 3 è l topologi nle. ertnto Y 1 è di Husdorff m non comptto, Y 2 non è né comptto né di Husdorff e Y 3 è comptto m non di Husdorff. 3) Si considerino i seguenti sottospzi del pino euclideo con l topologi indott d quell euclide, e si stilisc se sono omeomorfi e/o omotopicmente equivlenti. Se esistesse un omeomorfismo tr i due spzi, esso sree nche un omeomorfismo locle in tutti i punti, in prticolre punti con intorni croce verreero mppti nello stesso tipo di punti. Nel primo spzio ci sono 2 punti croce mentre nel secondo ce ne sono 3, pertnto i due spzi non sono omeomorfi. Sono però omotopicente equivlenti perché hnno lo stesso tipo di omotopi di R 2 \ {10 punti}. 4) Nello spzio euclideo R 3 si considerino il toro T ottenuto ruotndo ttorno ll sse z l circonferenz del pino (y, z) di centro (2, 0) e rggio 1 e il pino π di equzione y = 2. Si X l unione di T e π. Si clcoli il gruppo fondmentle di X. oiché il pino π è contriile, X h lo stesso tipo di omotopi di X/π, ovvero un toro e un sfer uniti in un punto

34 30 3 Temi d esme oiché il punto di conttto h un intorno contriile si sul toro che sull sfer, essendo π(t) =< α, β αβα 1 β 1 = 1 > e π(s 2 ) =< >, il gruppo fondmentle di X è π(x) =< α, β αβα 1 β 1 = 1 >

35 17 settemre Temi d esme 31 1) Si X = M 2 (R) lo spzio delle mtrici 2 2 coefficienti reli, con l topologi ( ) indott dll identificzione M 2 (R) R 4 che f corrispondere ll mtrice c d il vettore (,, c, d). Sino poi Y X l insieme delle mtrici invertiili: Y = {A X det A 0}, e Z X l insieme delle mtrici ortogonli: Z = {A X AA t = I}. Si provi che Y è perto e che Z è comptto. (Suggerimento: può essere utile considerre l ppliczione (continu?) determinnte det : X R). ( ) Considerimo l ppliczione det : M 2 (R) R : A = det(a). Attrverso l identificzione M 2 (R) R 4, possimo riscrivere det come ppliczione c d polinomile det : R 4 R : (,, c, d) d c. oiché i polinomi sono ppliczioni continue e {0} è un chiuso di R ε, det 1 (0) è un chiuso di R 4 ε per cui Y = {A M 2 (R) : det(a) 0} è un perto di M 2 (R). L condizione sulle mtrici di Z, AA t = I, in R 4 corrisponde l sistem = 1 c 2 + d 2 = 1 c + d = 0 Considerndo l ppliczione f : R 4 R 3 : (,, c, d) ( 2 + 2, c+d, c 2 +d 2 ), che risult continu perché le componenti lo sono, ottenimo che Z = f 1 ((1, 0, 1)) è chiuso. Inoltre (,, c, d) = c 2 + d 2 è ugule 2 nei punti di Z quindi Z è limitto e quindi comptto perché i comptti di R 4 (e di R n in generle) sono tutti e soli i sottoinsiemi chiusi e limitti. 2) Si X l insieme [0, 1] {2} con l topologi i cui perti non nli sono gli perti euclidei di [0, 1] e gli insiemi dell form (, 1) {2} con [0, 1). Si consideri l ppliczione f : [ 1, 1] X definit ponendo { x x 1 f(x) = 2 x = 1 Si stilisc se tle ppliczione è continu qundo [ 1, 1] h rispettivmente l topologi grossoln, l topologi cofinit, l topologi euclide o l topologi discret. Si stilisc poi se lo spzio topologico X è o meno di Husdorff, comptto, connesso. Se [ 1, 1] è dotto dell topologi grossoln, f non è continu, st considerre f 1 ((0, 1/2)) = ( 1/2, 0) (0, 1/2), esso non è perto perché non è né [ 1, 1].

36 32 3 Temi d esme Nemmeno con l topologi cofinit, l esempio precedente mostr che l controimmgine dell perto (0, 1/2) non è il complementre di un numero finito di punti di [ 1, 1]. undo dotimo [ 1, 1] dell topologi euclide le controimmgini degli perti di X sono dte d f 1 ((, )) = (, ) (, ) f 1 ([0, )) = (, ) f 1 ((, 1]) = [ 1, ) (, 1) f 1 ((, 1) {2}) = ( 1, ) (, 1] e in ogni cso ottenimo un perto di [ 1, 1]. Se infine [ 1, 1] h l topologi discret, llor f è continu perché ogni sottoinsieme di [ 1, 1] è perto. X non è di Husdorff, perché i punti 1 e 2 non hnno intorni disgiunti, inftti gli intorni (piccoli) di 1 sono del tipo (, 1], quelli di 2 sono del tipo (, 1) {2} e l loro intersezione è (mx{, }, 1). X è comptto, perché ogni suo ricoprimento perto deve contenere un intorno del punto 2, ovvero un perto del tipo (, 1) {2}, il cui complementre, [0, ] {1}, è un comptto in X \ {2}, per cui è possiile estrrre un sottoricoprimento finito per [0, ] {1} e quindi per X. (oppure: qundo [ 1, 1] è dotto dell topologi euclide, f è continu e quindi dll compttezz di [ 1, 1] segue che X è comptto). X è connesso. Inftti qundo [ 1, 1] è dotto dell topologi euclide f è continu e inoltre [ 1, 1] è connesso. oiché l immgine di uno spzio connesso trmite un ppliczione continu è conness, segue che X è connesso. 3) Si suddividno i seguenti spzi topologici in clssi di equivlenz omotopic e se ne clcoli il gruppo fondmentle: R 2 \ {3 pti} S 2 \ {3 pti} (S 1 I)\ {2 pti} I clzoni. Osservimo inizilmente che S 2 \ {1 punto} è omeomorfo l pino R 2 e inoltre che se S e T sono due sottoinsiemi di S 2 costituiti d n punti ciscuno llor esiste un

37 3 Temi d esme 33 omeomorfismo f : S 2 S 2 tle che f(s) = T. Il cilindro (S 1 I) \ {2 punti} si può vedere come retrtto di un cilindro perto S 1 ( 2, 2) privto di 2 punti. Il cilindro perto è omeomorfo S 2 \ {2 punti} e quindi (S 1 I) \ {2 punti} h lo stesso tipo di omotopi di R 2 \ {3 punti}. oiché R 2 \ {3 punti} h come retrtto forte di deformzione 3 circonferenze unite in un punto, π(r 2 \ {3 punti}) = Z 3. I clzoni sono retrtto di deformzione di clzoni senz ordo, i quli sono omeomorfi S 2 \ {3 punti}. Il secondo spzio e i clzoni hnno dunque lo stesso tipo di omotopi di R 2 \ {2 punti}, ovvero di 2 circonferenze unite in un punto e perciò il loro gruppo fondmentle è Z 2. 4) Si X lo spzio topologico ottenuto fcendo l somm conness di due tori e togliendo un punto. Si clcoli il gruppo fondmentle di X. (Suggerimento: si consideri un modello pino di X). 4) ossimo rppresentre X trmite il seguente poligono pino: γ β δ α γ β δ Il ordo del poligono è retrtto di deformzione di X perciò π(x) =< α, β, γ, δ > ovvero il gruppo fondmentle di X è un gruppo liero con 4 genertori. α

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