10 trsformzioni geometriche Dll definizione segue che il centro dell inversione non h lcun immgine mentre per tutti gli ltri punti diversi d l corrispondenz è biunivoc e involutori cioè se è l inverso di llor è l inverso di. Inoltre è fcile mostrre che: 1. se pprtiene ll circonferenz γ, coincide con ; 2. è interno γ se e solo se è esterno (e vicevers); 3. più è vicino tnto più ne è distnte (e vicevers). oncludendo, l inversione circolre lsci fissi i punti dell circonferenz e ne scmbi l interno con l esterno; d ciò segue, in prticolre, che l trsformt di un rett non pssnte per il centro di inversione non può essere un rett, come si vede nel seguente: Mrco Svrese Trsformzioni geometriche con Geogebr Esercizio 1.9 creto lo strumento con geogebr possimo vedere in dettglio che l inversione circolre rispetto d un cerchio γ di centro trsform: 1. un rett pssnte per in se stess, 2. un rett non pssnte per in un cerchio pssnte per ; 3. un cerchio δ pssnte per in un rett non pssnte per, prllel ll tngente δ in ; se δ e γ si intersecno, l inverso di δ è l rett pssnte per i due punti di intersezione; 4. un cerchio non pssnte per in un cerchio non pssnte per. 2 Riferimenti bibliogrfici 2 3 I. D Ignzio - E. Supp, Il problem geometrico, interline editrice, 2001 W. Mrschini - M. lm, Mnule dei numeri e delle figure, Editori Riuniti, 1985 b
9 qulunque ltr coppi di elementi F e d. In ltre prole tutte le prbole hnno l stess form e sostnzilmente esiste un sol prbol; il ftto che le vedimo più o meno concve dipende solo dl fttore di scl, determinto dll distnz tr fuoco e direttrice. REMESS Non sono uso lle premesse, nelle precedenti dispense non ve ne sono quindi srò breve: d un po di tempo sono sempre più ml disposto verso quell specie di rullo compressore che è l lgebr, ho quindi deciso di dire qulcos sulle trsformzioni d un puro punto di vist geometrico. ome dice Felix Klein un geometri nlitic ftt solo di clcoli, che bolisce le figure, non può essere considert ver geometri. Esercizio 1.8 dti i punti, e, si trovi un similitudine che mndi in e in. on un trslzione si port in, poi con un rotzione si port 1 sull semirett, infine con un omoteti si port 2 coincidere con. L inversione circolre Le trsformzioni geometriche studite finor sono collinezioni, cioè trsformno rette in rette. Vedimo or un nuovo tipo di trsformzione, che può essere utile nei problemi di costruzione con rig e compsso; ess, pur non essendo un isometri, lsci invrite le mpiezze degli ngoli e trsform le rette in rette o circonferenze. Definizione 1.10 Inversione circolre Si dto un cerchio γ di centro e rggio k, un inversione circolre è un trsformzione geometric che d ogni punto diverso d f corrispondere il punto dell semirett di origine pssnte per, tle che: = k 2 Il punto è detto l inverso di rispetto γ, γ si dice cerchio di inversione, e k sono rispettivmente il centro (polo) e il rggio dell inversione. Un inversione circolre è univocmente determint qundo sino dti il centro e il rggio k del cerchio e viene indict con l notzione I(,k). Supponimo llor di vere il punto e il rggio k, dto un ltro punto qulsisi interno l cerchio come si trov il suo trsformto? quest dispens è disponibile su: www.svrese.ltervist.org ttobre 2010 - Rev. 12/10 ostruzione 1.7 si prend un punto qulsisi sull circonferenz e si trcci l semirett ; si unisc con ; si il punto di intersezione dell semirett con l circonferenz; si trcci l prllel pssnte per ; si il punto di intersezione di quest prllel con l semirett ; è l intersezione fr l circonferenz concentric di rggio e l semirett. dim. il tringolo è simile l tringolo quindi / = /, essendo = = k si h: = k 2.
8 trsformzioni geometriche uno qulunque di questi punti d ltri due rest costnte, per esempio si h: LN/NM =M/M (bst fr vedere che i tringoli LM e MN sono simili); llor se durnte il movimento tenimo fermo il punto M, i due punti L e N descrivono due linee γ e γ omotetiche il cui centro è proprio M. L similitudine Un omoteti trsform un figur in un ltr più grnde o più piccol secondo che il vlore ssoluto di k si mggiore o minore di 1. Supponimo or che due figure, F e F si corrispondno ttrverso un omoteti, pplichimo d F un isometri, per esempio un rotzione, in modo d ottenere l figur F. F 1. Trsformzioni geometriche con geogebr Inizimo, senz tnti complimenti, con quest definizione: I fenomeni spzili contemplti dll geometri sono i più elementri fenomeni fisici che conoscimo. R. Von Mises Definizione 1.1 ffinità Un ffinità 1 è un trsformzione geometric che f corrispondere rette prllele rette prllele. roposizione 1.1 Le ffinità conservno il punto medio di un segmento. F F dim. onsiderimo le digonli di un prllelogrmm, sppimo che si intersecno nei loro punti medi. Dl momento che le ffi nità conservno il prllelismo i prllelogrmmi si trsformno in ltri prllelogrmmi. Il segmento che rppresent un digonle si trsformerà in un ltro segmento di lunghezz e orientmento differenti m il cui punto medio è il trsformto del punto medio dell digonle di prtenz. L corrispondenz che si viene stbilire tr i punti F e F si chim similitudine e le figure che si corrispondono si dicono simili. iù precismente: Definizione 1.9 Similitudine Un similitudine è il prodotto di un omoteti e di un isometri. L similitudine conserv i rpporti fr distnze, cioè esiste un costnte positiv k tle che, per ogni coppi di punti e risult / = k; quest costnte si chim rpporto di similitudine. Si noti che un similitudine non è un diltzione perché non trsform rette in rette prllele. É fcile mostrre (con geogebr) che: 1. in un similitudine d un rett corrisponde un rett; 2. d un circonferenz corrisponde un circonferenz; 3. il prodotto di due similitudini, di rpporti h e k, è un similitudine di rpporto hk; 4. un similitudine conserv gli ngoli. Un risultto prim vist prdossle è che due prbole sono sempre simili fr loro. Inftti un prbol è definit come il luogo dei punti equidistnti d un punto (il fuoco F) e d un rett (l direttrice d). uest coppi di elementi può essere trsformt medinte un similitudine in un Definizione 1.2 Diltzione Un diltzione è un ffinità che f corrispondere d un rett un ltr rett d ess prllel. R? Un diltzione è univocmente determint qundo sino dti due punti, e i loro trsformti e i quli devono gicere su un prllel (per definizione). Supponimo llor di vere questi quttro punti,, e, dto un ltro punto R qulsisi come si trov il suo trsformto R? 1. er gli mnti del rigore...un trsformzione geometric pin è un corrispondenz del pino in sé, biunivoc e bicontinu. iunivoc è chiro, bicontinu signific che d insiemi perti corrispondono insiemi perti e vicevers. É possibile che un trsformzione fcci corrispondere d un punto se stesso; in questo cso si dice che il punto è lscito fisso (o unito) dll trsformzione. Un ffi nità è un prticolre trsformzione geometric pin con le seguenti crtteristiche: 1. è un collinezione (ovvero f corrispondere d un rett un ltr rett cioè mntiene l llinemento tr punti); 2. f corrispondere punti propri punti propri e punti impropri punti impropri (cioè l trsformzione mntiene il prllelismo fr rette); 3. è costnte il rpporto tr lunghezze lungo l stess direzione (cioè non si mntiene un rpporto costnte fr lunghezze, come nelle similitudini, m si mntiene un rpporto costnte tr lunghezze di segmenti venti l stess direzione).
2 7 ostruzione 1.1 Si trcci l rett R; il trsformto di R deve trovrsi sull prllel R pssnte per ; si trcci poi R, per lo stesso motivo il trsformto di R si troverà sull prllel R pssnte per ; l intersezione delle due prllele è il punto cercto. R Ftt l costruzione con geogebr creimo lo strumento (quello che in cbri si chim mcro) per ottenere il trsformto di un punto in un diltzione: l oggetto finle è R, gli oggetti inizili sono i quttro punti,,, e il punto R (ttenzione ll ordine). R roposizione 1.5 L ortocentro, il bricentro e il circocentro di un tringolo sono llineti. dim. si un tringolo qulsisi, considerimo il tringolo che h per vertici i punti medi dei lti (detto tringolo medino). ome prim cos mostrimo che i bricentri dei due tringoli coincidono; per fr ciò bst osservre che è un prllelogrmm e quindi le digonli si bisecno. Ripetendo il rgionmento per i prllelogrmmi e si rriv fcilmente ll tesi. Notimo poi che le ltezze del tringolo medino sono gli ssi del tringolo di prtenz sservzione 1.1 Se il punto si trov su l costruzione 1.1 non funzion. Rgionimo così: supponimo di ver già ottenuto il trsformto R di un ltro punto R qulsisi non su ; si S il punto su di cui cerco il trsformto S ; trccio l rett SR; siccome l rett SR si trsformerà in un rett prllel ed ho già ricvto R, trccio l prllel SR pssnte per R ; l intersezione di quest prllel con l rett è il trsformto di S di S. Esercizio 1.1 on geogebr trccimo un poligono qulsisi e vedimo come si trsform. Si noterà che le diltzioni conservno l form e le direzioni. G G rett di Eulero roposizione 1.2 Un diltzione che bbi più di un punto unito è l identità. dim. Sino e due punti uniti; considerimo un punto qulsisi, il suo trsformto dovrà gicere sull rett (tutte le rette pssnti per sono unite); m per lo stesso motivo dovrà trsformrsi in un punto che gice sull rett. oncludimo che si trsform in se stesso. sservzione 1.2 Le ffinità in generle possono vere più punti uniti. Definizione 1.3 Trslzione Un trslzione è un diltzione senz punti uniti. Un trslzione è univocmente determint qundo si dto un punto e il suo trsformto. Siccome un trslzione è un prticolre diltzione l rett si trsformerà in se stess; l rett nel suo complesso è unit, d ogni punto corrisponderà un ltro punto sull rett. Supponimo llor di vere un trslzione (cioè un punto e il suo trsformto ), dto un ltro punto qulsisi come si trov il suo trsformto? ostruzione 1.2 deve gicere sull prllel pssnte per ; si unisc con e si trcci l prllel pssnte per ; poi si trcci l prllel pssnte per ; l intersezione delle due prllele è il punto cercto (l costruzione è nlog ll 1.1). Esercizio 1.2 creto con geogebr lo strumento per ottenere il trsformto in un trslzione, possimo comporre insieme due trslzioni e mostrre che si ottiene sempre un ltr trslzione. e quindi l ortocentro di coincide col circocentro di. questo punto pplichimo un omoteti di centro G (il bricentro in comune dei due tringoli) e rpporto ½. il vertice ndrà dll ltr prte rispetto G d un distnz pri ll metà dell lunghezz G cioè proprio in. L omoteti h trsformto il tringolo nel suo tringolo medino. M le omotetie conservno i punti notevoli del tringolo quindi l ortocentro di si trsformerà nell ortocentro di che bbimo visto coincidere col circocentro di. Essendo G il punto unito dell omoteti il trsformto di qulsisi punto dovrà gicere sull rett G e quindi l dimostrzione è conclus. Esercizio 1.7 il pntogrfo. Il pntogrfo è costituito d un prllelogrmm rticolto in grdo di generre meccnicmente linee omotetiche. Si D il prllelogrmm, prendimo sopr i lti,, D, D o sui loro prolungmenti, nell ordine, quttro punti L, M, N, llineti e fccimo in modo che essi restino fissi sui lti mentre il prllelogrmm si deform. É fcile mostrre che il rpporto delle distnze di L M γ γ N D
6 3 con ); quest scelt ci grntisce che 2 (il trsformto di 1 in quest simmetri) vd coincidere con. r, come second simmetri sceglimo quell che h per sse l bisettrice b dell ngolo 2 ; quest scelt ci grntisce che 2 vd coincidere con. questo punto ppre evidente che 3 è il simmetrico di rispetto ll rett e quindi un ulteriore simmetri vente per sse quest rett porterà i due tringoli coincidere. L omoteti Tornimo or lle diltzioni; vevmo visto nell proposizione 1.2 che queste non possono vere più di un punto unito. Se non ne hnno nessuno llor prendono il nome di trslzioni le quli, oltre d essere prticolri diltzioni, sono nche isometrie cioè conservno le distnze. nche per le isometrie è fcile mostrre che se vi fossero tre punti uniti non llineti llor tutti i punti srebbero uniti e l trsformzione si ridurrebbe ll identità. bbimo visto poi che un isometri con un punto unito si chim rotzione, vedimo or come è definit un diltzione con l stess proprietà: Definizione 1.8 moteti Un omoteti è un diltzione con un punto unito. Si il suo unico punto unito e un punto qulsisi; il trsformto di dovrà gicere sull rett. uindi un omoteti è univocmente determint qundo sono dti tre punti llineti di cui uno è quello unito. Supponimo llor di vere questi tre punti,, e, dto un ltro punto qulsisi, come si trov il suo trsformto? ostruzione 1.6 gice su ; si congiung con, è l intersezione dell prllel pssnte per con l rett (d un rett deve corrispondere un rett prllel). Notimo che un omoteti è individut d un centro e dl rpporto k = / detto nche crtteristic. Esercizio 1.6 creto lo strumento per ottenere il trsformto di un omoteti possimo comporre insieme un omoteti e un trslzione e fr vedere che viene sempre un omoteti. Se invece componimo insieme due omotetie sembr prim vist venire sempre un ltr omoteti m il risultto non è generlizzbile; inftti bst comporne un che ingrndisc di un fttore d esempio k = 2 e un ltr che rimpicciolisc di un fttore ½ per ottenere un trslzione. Inoltre si può fcilmente mostrre che: 1. i perimetri di due poligoni omotetici sono in rpporto k; 2. le ree di due figure omotetiche sono in rpporto k 2 ; 3. un circonferenz di centro e rggio r viene trsformt in un ltr circonferenz di centro (omotetico di ) e rggio r = k r. Medinte il concetto di omoteti si può fcilmente 4 dimostrre l seguente proposizione dovut d Eulero (1707 1783): 4. d un lezione del prof. ludio ernrdi. sservzione 1.2 Le trslzioni conservno le distnze e quindi possono essere definite nche come trsformzioni isometriche o isometrie. volte le isometrie vengono designte col nome di movimenti rigidi, per sottolinere il ftto che l figur isometric ottenut si può sovrpporre quell di prtenz medinte un opportuno spostmento (come si f nelle dimostrzioni dei criteri di congruenz). Le isometrie di un pino formno un gruppo perché il prodotto di due isometrie è un isometri; il prodotto è ssocitivo; di ogni isometri esiste l isometri invers e l elemento neutro. ltre l trslzione le ltre isometrie sono: l rotzione, l simmetri centrle e l simmetri ssile. In un rotzione sembr rgionevole supporre che un punto resti fisso e quindi: Definizione 1.4 Rotzione Un rotzione è un isometri con un punto unito. Un rotzione è univocmente determint qundo sino dte due coppie di punti corrispondenti e, tli che i segmenti, sino uguli e i segmenti, non sino prlleli. Supponimo llor di vere questi quttro punti,, e, dto un ltro punto R qulsisi come si trov il suo trsformto R? ostruzione 1.3 ffi nché l rotzione porti su è necessrio che il centro si trovi sull sse di ; nlogmente deve trovrsi sull sse di. L intersezione dei due ssi è il centro dell rotzione. on geogebr, un volt trovto il centro, misurimo l ngolo di rotzione con l funzione ngolo e poi, dto un punto qulsisi, trovimo il corrispondente medinte l funzione ngolo di dt misur. Notimo che un punto e un ngolo orientto determinno univocmente un rotzione. Esercizio 1.3 creto lo strumento per ottenere il trsformto in un rotzione, possimo comporre insieme due rotzioni di mpiezz α e β e mostrre che si ottiene un rotzione di mpiezz α + β se α + β 2π e un trslzione se α + β = 2π. Definizione 1.5 Simmetri centrle Un simmetri centrle di centro è un rotzione intorno d di mpiezz π. er semplicità è preferibile eseguire l costruzione dell simmetri centrle prte e non come cso prticolre dell rotzione. Supponimo di vere un punto (centro) e un ltro punto qulsisi. ome si trov il trsformto? ostruzione 1.4 si trcci l circonferenz di centro e rggio, è semplicemente l ltr intersezione dell circonferenz con l rett. Esercizio 1.4 creto lo strumento per ottenere il trsformto di un simmetri centrle possimo fr
4 5 vedere che un rett si trsform in un ltr rett prllel, un circonferenz si trsform in un circonferenz di ugul rggio, vente centro nel simmetrico del centro dell prim 2. Inoltre se F e F sono due figure simmetriche rispetto d e se e sono due segmenti corrispondenti delle due figure, llor è un prllelogrmm, perché le digonli si dimezzno scmbievolmente. uindi due segmenti corrispondenti di due figure simmetriche rispetto d un punto sono uguli, prlleli e di versi opposti. dim. è l sse del segmento quindi è equidistnte d e ; b è l sse del segmento quindi è equidistnte d e ; segue che i tre punti,, sono ll stess distnz d. Inoltre, bisec l ngolo e b bisec l ngolo. Segue che l ngolo è doppio dell ngolo formto di due ssi. Definizione 1.6 Simmetri ssile Un simmetri ssile è un isometri con infiniti punti uniti tutti llineti. Un simmetri è univocmente determint qundo si dto l insieme di tutti i suoi punti uniti che si chim sse. Supponimo llor di vere quest sse, dto un punto qulsisi, come si trov il suo trsformto? ostruzione 1.5 Si prend un punto qulsisi sull sse. Dl momento che il punto è unito e l simmetri è un prticolre isometri il punto dovrà trovrsi sull circonferenz di dentro e rggio. Trccimo quest circonferenz, poi prendimo un ltro punto qulsisi sempre sull sse e trccimo un ltr circonferenz di centro e rggio ; l intersezione delle due circonferenz è il punto cercto. sservzione 1.3 gni punto dell sse corrisponde se stesso, quindi l sse di un simmetri ssile è un rett unit ed è luogo di punti uniti. nche le rette perpendicoli ll sse sono unite, m i loro punti non lo sono (trnne uno). sservzione 1.4 Trslzioni e rotzioni (incluse le simmetrie centrli) costituiscono il gruppo delle isometrie dirette, ovvero quei movimenti rigidi che si possono eseguire rimnendo nel pino. l contrrio un simmetri ssile è un isometri invers: per eseguirl occorre un ribltmento cioè un operzione nello spzio 3. omponendo un trslzione con un simmetri ssile ottenimo un ltr isometri invers priv di punti uniti che si chim: Definizione 1.7 Glissosimmetri (o ntitrslzione) Un glissosimmetri e l composizione di un trslzione con un simmetri ssile. Se i due ssi sono prlleli è fcile mostrre l seguente: roposizione 1.4 Il prodotto di due simmetrie ssili d ssi prlleli è un trslzione di direzione perpendicolre i due ssi e di mpiezz doppi dell distnz dei due ssi stessi. sservzione 1.5 Le isometrie formno un gruppo non commuttivo rispetto ll composizione; per convincersene bst pensre d un punto qulsisi, ruotrlo rispetto d un ltro di un certo ngolo e poi trslrlo di un dto vettore; se ripetimo le operzioni invertendo l ordine è fcile notre che il punto finle in generle è diverso. omunque, se ci limitimo lle sole trslzioni vle l commuttività. Il teorem fondmentle delle isometrie b L simmetri ssile è molto verstile perché componendone insieme due si può vere si un rotzione che un trslzione; siccome qulsisi spostmento rigido si può pensre come l composizione di un trslzione e di un rotzione sembr rgionevole pensre che qulsisi isometri si poss ottenere componendo insieme più simmetrie ssili. In prticolre, dimostrimo l seguente roposizione 1.5 Dti su un pino due tringoli uguli (isometrici), si può portrli coincidere con, l più, tre simmetrie ssili. dim. Sino e 1 1 1 due tringoli uguli; dobbimo dimostrre che, scegliendo opportunmente l più tre simmetrie e pplicndole in sequenz, riusciremo fr coincidere 1 con, 1 con e 1 con. Esercizio 1.5 creto lo strumento con geogebr considerimo due simmetrie i cui ssi, e b, si incontrino in un punto. Si un punto qulsisi del pino; costruimo il simmetrico rispetto d ; successivmente, costruimo il simmetrico di rispetto b. Notimo che vle l seguente: 2 roposizione 1.3 Il prodotto di due simmetrie ssili d ssi incidenti è un rotzione che h come centro l intersezione dei due ssi e come mpiezz il doppio dell ngolo formto di due ssi. 2 3 2. per vedere le figure trsformte bst muovere il punto sull figur di prtenz e ttivre per il punto trsformto l funzione trcci ttiv nel menù contestule. 3. più rigorosmente un isometri dirett oltre corservre le distnze conserv gli ngoli in grndezz e verso. b ome prim simmetri sceglimo quell che h come sse l sse del segmento 1 (indicto in figur