Il prolem delle scorte tomo G Esercizi corretti: esercizio pg 6; esercizio 3 pg. 59 N. 5 PAG 389; N. 6 PAG. 389; N. 7 PAG 389; N. 8 PAG. 389; N 9 PAG. 390; N. 30 pg 390, N. 3 pg. 390, N. 33 pg. 390. Per risolvere questi prolemi è necessrio spere che: ) Il prolem delle scorte rigurd l impres che impieg nell su produzione un detert mteri prim e deve stilire l quntità d ordinre di volt in volt (vriile d zione). I costi che l impres sostiene sono le spese di mgzzino (ffitto locli, ssicurzione contro i furti e incendi ecc.) che umentno con il livello delle scorte, per cui conviene cquistre piccoli lotti. Ci sono poi le spese per ogni ordinzione che sono indipendenti dll quntità ordint ( spese trsporto, mistrzione, ecc.) per cui conviene ordinre grndi lotti. L impres deve quindi deterre l quntità ottim di ciscun ordinzione (vriile d zione) in modo che risulti imo il costo complessivo. ) le ipotesi semplifictrici ftte sono: il consumo di mteri prim è uniforme nel tempo, le ordinzioni sono ftte ppen le scorte sono terte, l merce ordint è consegnt immeditmente. c) In indicndo con l quntità di merce d ordinre di volt in volt e con () l funzione del costo complessivo il modello mtemtico è dto d Q ( ) = c + c dove c = costo unitrio mgzzino c = costo unitrio ordinzione Q = quntità di merce necessri in un deterto periodo. Q = cort medi; = numero ordinzioni in un dto periodo. Trttndosi dell funzione somm y = + h il punto di imo in e sintoto verticle l rett =0 (sse ordinte); sintoto oliquo y=. = /5
EERCIZIO DI VERIFICA PAG 6 TOMO G )Un rtigino per l su ttività sostiene le seguenti spese : Consumo mteri prim: 9,5 quintli l mese; Costo fisso per ogni ordinzione mteri prim: euro 35; Costo di mgzzinggio mteri prim: euro 6 l quintle ll'nno. Deterre qule quntità di gli conviene ordinre per ridurre l imo le spese se il deposito h un cpienz mssim di 35 quintli. Come si modific l soluzione se l cpienz di mgzzino è di 5 quintli? oluzione: Con i dti del prolem in esme: il modello mtemtico è dto d: dti prolem c = 6 euro; c = 35 euro; Q = 9,5 = 34 quintli ll'nno 34 ( ) = 6 + 35 con il vincolo 0 < 35 890 semplificndo si ottiene: ( ) = 8 + essendo =8 ; = 890 si ottiene i h che = 890 8 3 ccettile in qunto non è superiore 35 (vincolo cpienz mgzzino) Il costo imo di gestione di mgzzino si h quindi ordinndo 3 q di mteri prim ogni volt. II MODO Il prolem potev essere risolto fcendo riferimento l metodo delle derivte successive, in tl cso: 890 i clcol l derivt prim di ( ) = 8 + = 8 + 890 ottenendo l derivt ' prim ugule = 8+ ( ) 890 e quindi si deterno i punti stzionri ponendo l derivt prim ugule zero 8 890 = 0 890 Quindi 8 = 0 per cui 890 8 = 890 = 890 3 8 = ± ± 8 Dove solo il vlore compreso tr 0 e 35 è ccettile, per cui =3 '' 3 i clcol qui derivt second = 0 ( ) 890 = 6380 3. /5
'' 360000 Poiché (3) = > 0 3 il punto =3 è un punto di imo. 3 ( ) E LA CAPIENZA DEL MAGAZZINO E' DI 5 QUINTALI: 890 si rppresent il grfico dell funzione ( ) = 8 + l qule h sintoto verticle =0 (sse ordinte) sintoto oliquo y==8 e punto di imo 890 = 3 e imo ( 3) = 8 3 + = 5 3 quindi M(3, 5) punto di imo geometrico Il grfico dell funzione dei costi complessivi () è dto d: i es l'ndmento dell funzione () (spes di gestione complessiv) con il nuovo vincolo 0 < 5 e si osserv che è sempre decrescente in questo intervllo, pertnto in questo cso il punto di imo è =5. In conclusione con quest cpienz di mgzzino è conveniente ordinte di volt in volt 5 quintli di mteri prim per vere il or costo di gestione di mgzzino. 3/5
I possiilità: il prezzo dell merce è costnte Esercizio n. 5 pg. 389 Dti del prolem: c = 8,64 costo mgzzinggio l quintle ll'nno c = 300 costo per un ordinzione Q = 900 q ll'nno Il modello mtemtico è dto d: 900 ( ) = 8,64 + 300 con il vincolo > 0 70000 semplificndo si ottiene: ( ) = 4,3 + essendo = 4, 3 ; = 70000 si ottiene 70000 i h che = = = 6500 = 50 q 4,3 70000 ( 50) = 4,3 50 + = 080 + 080 = 60 50 Il costo imo di gestione di mgzzino si h quindi ordinndo 50 q di merce di volt in volt e l spes. im è di.60. Esercizio n. 6 pg. 389 Dti del prolem: c = 0,0 euro costo mgzzinggio ll'nno per ogni chilogrmmo c = 600 costo per un ordinzione Q = 50000 kg ll'nno Il modello mtemtico è dto d: 50000 ( ) = 0,0 + 600 con il vincolo > 0 90000000 semplificndo si ottiene: ( ) = 0,0 + essendo =0,0 ; =90000000 si ottiene i h che 900000000 = = = 900000000 = 30000 kg 0, 90000000 ( 30000 ) = 0,0 30000 + = 3000 + 3000 = 6000 30000 4/5
Il costo imo di gestione di mgzzino si h quindi ordinndo 30000 kg di merce di volt in volt e l spes. im è di 6000. Per deterre il numero di ordinzioni d effetture in un nno si divide l quntità Q di merce necessri in un nno per l quntità di merce ordint di volt in volt: Q 50000 Numero ordinzioni in un nno : n = = = 5 30000 Il periodo che intercorre tr un ordinzione e l successiv è dto d: 360 t = = 7 giorni (dove 360 sono i numeri di giorni in un nno) 5 Esercizio n. 7 pg 389 Dti del prolem: c = euro costo mgzzinggio l quintle ll'nno c = 0 costo per un ordinzione Q = 4000 q ll'nno Il modello mtemtico è dto d: 4000 ( ) = + 0 con il vincolo > 0 880000 semplificndo si ottiene: ( ) = + essendo = ; = 880000 si ottiene i h che = 880000 = 5760000 = 400 q 400 880000 ( 400 ) = + = 00 + 00 = 400 400 Il costo imo di gestione di mgzzino si h quindi ordinndo 400 q di merce di volt in volt e l spes. im è di 400. Per deterre il numero di ordinzioni d effetture in un nno si divide l quntità Q di merce necessri in un nno per l quntità di merce ordint di volt in volt: Q 4000 Numero ordinzioni in un nno : n = = = 0 400 Il periodo che intercorre tr un ordinzione e l successiv è dto d: 5/5
360 t = = 36 giorni (dove 360 sono i numeri di giorni in un nno) 0 Esercizio n.8 pg 389 Attenzione che: il periodo in osservzione è l'nno, per cui tutti i costi devono essere riferiti ll'nno. i dovrà deterre pertnto il costo di mgzzinggio nnuo, l quntità di merce necessri in un nno. Dti del prolem: c = 9 euro costo di mgzzinggio l quintle ll'nno (0,05 q/giorno per 360 giorni); c = 490 euro costo per un ordinzione Q = 50 360 = 8000 quintli ll'nno (50 q/giorno per 360 giorni). Il modello mtemtico è dto d: 8000 ( ) = 9 + 490 con il vincolo > 0 semplificndo si ottiene: 880000 ( ) = 4,5 + essendo =4,5 ; = 880000 si ottiene 880000 i h che = = 400 8 88000 ( 400 ) = 4,5 400 + = 6300 + 6300 = 600 400 Il costo imo di gestione di mgzzino si h quindi ordinndo 400 q di merce di volt in volt e l spes im è di.600 euro. Per deterre il numero di ordinzioni d effetture in un nno si divide l quntità Q di merce necessri in un nno per l quntità di merce ordint di volt in volt: Q 8000 numero ordinzioni: n = =, 85 400 poiché il numero di ordinzioni deve essere un numero intero si pprossim per eccesso 3 ordinzioni. L periodicità, ossi ogni qunto tempo ordinre, si deter dividendo il numero di 360 giorni in un nno 360 per il numero di ordinzioni: t = 8 giorni 3 6/5
Esercizio n.9 pg 390 Risolvere il prolem precedente con il vincolo dto dll cpcità mssim di mgzzino che non deve essere superiore 000q. In questo cso si rppresent il grfico dell funzione per vlutrne l'ndmento: 880000 L funzione f ( ) = 4,5 + h 880000 un punto di imo in = = 400 e 8 880000 imo f ( 400 ) = 4,5 400 + = 6300 + 6300 = 600 400 sintoto verticle: sse delle ordinte sintoto oliquo: y = =, 5 4 pertnto i osserv che l funzione del costo di gestione di mgzzino è decrescente nell'intervllo 0 < 000, pertnto in questo cso converrà ordinre di volt in volt 000 quintli L spes im di gestione di mgzzino è dt d: 880000 f ( 000 ) = 4,5 000 + = 4500 + 880 = 330 000 7/5
Q 8000 il numero di ordinzioni d effetture in un nno: n = = = 8 000 360 l periodicità espress in giorni: t = = 0 giorni. 8 Esercizio n.30 pg 390 Attenzione che: il periodo in osservzione è l'nno, per cui tutti i costi devono essere riferiti ll'nno. i dovrà deterre pertnto il costo di mgzzinggio nnuo, l quntità di merce necessri in un nno. Dti del prolem: c = 0,0 360 = 3, 6 costo mgzzinggio l quintle ll'nno (0,0 q/giorno per 360 giorni); c = 59,0 costo per un ordinzione Q = 348 q quintli ll'nno = quntità d ordinre di volt in volt (lotto economico) Il modello mtemtico è dto d: 348 ( ) = 3,6 + 59,0 funzione oiettivo d mssimizzre con il vincolo di segno > 0 80995075 semplificndo si ottiene: ( ) =,8 + i trtt dell funzione somm y = +, che h : il punto di imo in = e imo in y = quindi il punto di imo geometrico è dto d V ( ; ) sintoto verticle l rett =0 (sse ordinte); sintoto oliquo y=. essendo =,8 ; = 80995075 si ottiene i h che 80995075 = = 6708 q ed ( 6708 ) =,8 80995075 = 448, 80,8 Il costo imo si h quindi ordinndo 6708 q di merce di volt in volt e il costo imo di gestione di mgzzino è di 448,80 Per deterre il numero di ordinzioni d effetture in un nno si divide l quntità Q di merce necessri in un nno per l quntità di merce ordint di volt in volt: 8/5
Q 348 numero ordinzioni: n = = 46 6708 II possiilità: il prezzo dell merce dipende dll quntità cquistt (teori pg. 57 tomo G) In questo cso il modello mtemtico è dto d: Q ( ) = c + c + c3( ) Con il vincolo >0 dove: c = costo unitrio mgzzino; c = costo unitrio ordinzione; c 3( ) =costo totle merce ordint, l qule vri in funzione di ; Q = quntità di merce necessri in un deterto periodo; Q = cort medi; = numero ordinzioni in un dto periodo. Anche in questo cso si trtt dell funzione somm y = + + c, che vrà il punto di imo in = e y = + c quindi V ( ; + c) e sintoto verticle l rett =0 (sse ordinte); sintoto oliquo y=.+c Esempio 3.pg. 59 Dti del prolem: c =,80 euro costo mgzzinggio l kg ll'nno c = 0 costo per un ordinzione Q = 7000 kg ll'nno A differenz dei prolemi si dovrà tener conto del prezzo vriile: 7000 Numero ordinzioni è: ; 9/5
7000 440000 pes per le ordinzioni: 0 = ; Costo del mgzzino:,8 = 0, 9 Costo totle cquisto merce necessri in un nno: o Per ordintivi inferiori 000kg: 3 7000 = 6000 ; o Per ordintivi superiori 000kg:,7 7000 = 94400 Il modello mtemtico è dto d: 440000 + 0,9 + 6000 Funzione oiettivo: ( ) = 440000 + 0,9 + 94400 con il vincolo 0 < 000 0 < 000 > 000 L funzione oiettivo in questo cso è definit in modo diverso second del vlore di., ed è compost d due funzioni somm del tipo y = + + c che vrà il punto di imo in = e y = + c quindi V ( ; + c) e sintoto verticle l rett =0 (sse ordinte); sintoto oliquo y=.+c Clcolimo il punto di imo per l prim funzione : 440000 ( ) = + 0,9 + 6000 in questo cso =0,9 e =440000 e c=6000 Per cui il punto di imo è dto d 440000 = 65 e y = 0,9 0,9 440000 + 6000 = 876, 84 Infine V (65 ;876,68 ) che non pprtiene però l suo intervllo di definizione. Clcolimo il punto di imo per l second funzione : 440000 ( ) = + 0,9 + 94400 in questo cso =0,9 e =440000 e c=94400 Per cui il punto di imo è dto d 440000 = 65 e y = 0,9 0,9 440000 + 94400 = 96676, 84 Infine V (65 ;96676,84 ). Le due funzioni si corrispondo in un trslzione lungo l sse dei costi. 0/
In =000 vi è un punto di discontinuità di prim specie ed è 440000 (000 ) = + 0,9 000 + 6000 = 8340. Confrontndo questo vlore con il vlore 000 imo di (65 ) = 96676, 84, possimo ffermre che il imo ssoluto si h in =65. Il quntittivo ottimle d ordinre è quindi di 65 kg con un costo di 96676,84. Rppresentzione grfic delle due funzioni dei costi e : y, 5 0 ^ 5 F u n z i o n e 0 ^ 5 V V F u n z i o n e, 5 0 ^ 5 0 ^ 5 5 0 ^ 4 0 0 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 Esempio 3 pg. 390 Dti del prolem: c = 0,96 euro costo mgzzinggio l kg ll'nno c = 50 costo per un ordinzione Q = 30000 kg ll'nno A differenz dei prolemi si dovrà tener conto del prezzo vriile dell mteri prim: 30000 Numero ordinzioni è: ; /
30000 500000 pes per le ordinzioni: 50 = ; Costo del mgzzino: 0,96 = 0, 48 Costo totle cquisto merce necessri in un nno: o Per ordintivi inferiori 500kg: 6,4 30000 = 8700 ; o Per ordintivi superiori o uguli 500kg: 5,98 30000 = 77840 Il modello mtemtico è dto d: Funzione oiettivo: con il vincolo > 0 ( ) = 500000 500000 + 0,48 + 8700 + 0,48 + 77840 0 < < 500 500 L funzione oiettivo in questo cso è definit in modo diverso second del vlore di., ed è compost d due funzioni somm del tipo y = + + c che vrà il punto di imo in = e y = + c quindi V ( ; + c) e sintoto verticle l rett =0 (sse ordinte); sintoto oliquo y=.+c Clcolimo il punto di imo per l prim funzione : 500000 ( ) = + 0,48 + 8700 in questo cso =0,48 e =500000 e c=8700 Per cui il punto di imo è dto d 500000 = 768 e y = 0,48 0,48 500000 + 8700 = 88897 Infine V (768 ;88897 ) che non pprtiene però l suo intervllo di definizione. Clcolimo il punto di imo per l second funzione : 500000 ( ) = + 0,48 + 77840 in questo cso =0,48 e =500000 e c=77840 Per cui il punto di imo è dto d 500000 = 768 e y = 0,48 0,48 500000 + 77840 = 7906 Infine V (768 ;7906 ) che pprtiene l suo intervllo di definizione. Dll esme dei grfici delle due funzioni, osservimo che le due funzioni si corrispondo in un trslzione lungo l sse dei costi. /
In =500 vi è un discontinuità di prim specie ed è 500000 (500 ) = + 0,48 500 + 8700 = 000 + 70 + 8700 = 8890 che confrontto con il 500 vlore imo di (768 ) 7906 possimo concludere che il imo ssoluto = si h per =768. Il quntittivo ottimle d ordinre è dunque di 768 kg ll nno con un costo di 7906. Q 30000 Clcolo del numero delle ordinzioni Numero ordinzioni in un nno : n = = = 7 768 Esempio 33 pg. 390 Dti del prolem: c = 0,03 euro costo mgzzinggio l kg ll'nno c =,5 costo per un ordinzione Q = 60000 kg ll'nno A differenz dei prolemi si dovrà tener conto del prezzo vriile dell mteri prim: 60000 Numero ordinzioni è: ; 60000 750000 pes per le ordinzioni:,5 = ; Costo del mgzzino: 0,03 = 0, 05 Costo totle cquisto merce necessri in un nno: 3/
o Per ordintivi inferiori 6000kg: 0,3 60000 = 7800 ; o Per ordintivi superiori o uguli 6000kg: 0,7 60000 = 700 Il modello mtemtico è dto d: Funzione oiettivo: con il vincolo > 0 ( ) = 750000 750000 + 0,05 + 7800 + 0,05 + 700 0 < < 6000 6000 L funzione oiettivo in questo cso è definit in modo diverso second del vlore di., ed è compost d due funzioni somm del tipo y = + + c che vrà il punto di imo in = e y = + c quindi V ( ; + c) e sintoto verticle l rett =0 (sse ordinte); sintoto oliquo y=.+c Clcolimo il punto di imo per l prim funzione : 750000 ( ) = + 0,05 + 7800 in questo cso =0,05e =750000 e c=7800 Per cui il punto di imo è dto d 750000 = 707 e y = 0,05 0,05 750000 + 7800 = 80 Infine V (707 ;80 ) che non pprtiene però l suo intervllo di definizione. Clcolimo il punto di imo per l second funzione : 750000 ( ) = + 0,05 + 700 in questo cso =0,05e =750000 e c=700 Per cui il punto di imo è dto d 750000 = 707 e y = 0,05 0,05 750000 + 700 = 73, 3 Infine V (707 ;73,3 ) che pprtiene l suo intervllo di definizione. Dll esme dei grfici delle due funzioni, osservimo che le due funzioni si corrispondo in un trslzione lungo l sse dei costi. 4/
In =6000 vi è un discontinuità di prim specie ed è 750000 (6000) = + 0,05 6000 + 7800 = 805 6000 che confrontto con il vlore imo di (707 ) = 73, 3 possimo concludere che il imo ssoluto si h per =707 Il quntittivo ottimle d ordinre è dunque di 707 kg ll nno con un costo di 73,3. Q 60000 Clcolo del numero delle ordinzioni Numero ordinzioni in un nno : n = = = 8 707 360 L periodicità: = 45 giorni 8 5/