Stabilità degli amplificatori reazionati

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1 unti di ELETTRONIC - Citolo 4 Stbilità degli mliictori rezionti Introduzione... Relzione tr gudgno e lrghezz di bnd... Limiti ll entità dell rezione imoti dll tbilità...5 STUDIO DELL STBILIT CON IL LUOGO DELLE RDICI...8 Introduzione...8 Tecniche del luogo delle rdici...8 rezione negtiv e criterio di tbilità di nyquit... 7 Signiicto del mrgine di e in termini di riot in requenz... 7 INTRODUZIONE Nei citoli recedenti lo tudio dell rezione negtiv è tto condotto trcurndo gli eetti dinmici e utilizzndo modelli urmente reitivi dei circuiti; in quete iotei, bbimo dimotrto che un circuito rezionto negtivmente con un vlore elevto del gudgno d nello T reent i eguenti vntggi: un minore enibilità lle vrizioni rmetriche degli elementi circuitli che cotituicono il rmo di trerimento diretto (le vrizioni rmetriche del rmo di ritorno non oono eere contenute e er queto motivo eo deve eere un ttenutore di reciione); reiezione di qulii diturbo che inorge nel rmo di trerimento diretto (rumore, rile dell tenione di limentzione); oibilità di modiicre il vlore delle imedenze d ingreo e di ucit nell mnier deidert; notevole riduzione delle ditorioni di non linerità. Se, invece, i coniderno nche gli eetti dinmici, è oibile evidenzire che l rezione negtiv uò rodurre un umento dell bnd nte dei circuiti. RELZIONE TR GUDGNO E LRGHEZZ DI BND Prtimo, er emlicità, d un mliictore vente l eguente unzione di trerimento in nello erto: k () bbimo dunque un cotnte di gudgno k ed un olo (che uonimo eere rele) in (cui corrionde quindi un requenz B ).

2 unti di Elettronic lict - Citolo 4 Suonimo di chiudere queto item in un nello di rezione unitri: il notro obbiettivo è quello di indgre gli eetti che l nello di rezione eercit ull unzione di riot rmonic d nello chiuo. In rimo luogo, oimo orre l unzione di trerimento d nello erto nel modo eguente: k () k k Dto che ci intere tudire il comortmento in requenz, onimo j er ottenere l unzione di riot rmonic in nello erto: k / ( j) j k L quntità rende il nome di gudgno b requenz d nello erto (o iù brevemente gudgno ttico d nello erto), in qunto rreent evidentemente il vlore unto d (j) in : (j) j Trccimo il digrmm di Bode (intotico) del modulo di quet unzione: (j) -(/decde) B T log Nel digrmm i notno eenzilmente l requenz B del olo (dove il edice B t er brek ), oltre l qule (j ) decrece di /decde, e l requenz di trnizione T (o requenz di croover), in corriondenz dell qule riult ( j ), oi ( j ). utore: Sndro Petrizzelli

3 Stbilità degli mliictori rezionti queto unto, uonimo di chiudere il item in un nello di retrozione unitri: l unzione di trerimento d nello chiuo ume l ereione () () () ( ) ( ) D quet ereione deducimo che l unzione di trerimento in nello chiuo h gudgno ttico ed h un olo in ( ), oi d un requenz B ( ): () ( ) L corriondente unzione di riot rmonic è dunque l eguente: (j) j ( ) E immedito trccire nche il digrmm di Bode (emre intotico) del modulo di quet unzione: (j) (j) log B B T log -(/decde) Conrontndo, come tto nell igur, con il digrmm di tre coe: (j ), i oervno eenzilmente in rimo luogo, l not riduzione del gudgno b requenz di un vlore ; 3 utore: Sndro Petrizzelli

4 unti di Elettronic lict - Citolo 4 in econdo luogo, come già oervto, lo otmento dell requenz del olo di un ttore : dto che l requenz del olo cotituice un tim dell coiddett bnd nte del item (oi l requenz ll qule ( j diminuice di 3 rietto l vlore ) b requenz), bbimo dunque un umento dell bnd nte; in terzo luogo, il tto che l requenz di trnizione rimne invrit, in nello chiuo, rietto ll oizione in nello erto. Tutte quete coniderzioni non cmbino e l oto di ure un rezione unitri, coniderimo un nello di rezione con unzione di trerimento dell rete di rezione urmente lgebric, oi del tio (). In queto co, l unzione di trerimento d nello chiuo ume l ereione () () ( ) ( ) Il gudgno b requenz è dunque, mentre il olo v in ( ) L corriondente unzione di riot rmonic è dunque l eguente: (j) j ( ). Il uo digrmm di Bode (intotico) del modulo h l te identic orm di quello vito nel co dell retrozione unitri, lvo vlori numerici diveri cu dell reenz dell cotnte. In ogni co, quindi, l rezione negtiv lci invrito il rodotto tr il gudgno e l bnd nte. l contrrio, le coe cmbino e il item h un unzione di trerimento d nello erto crtterizzt d iù di un olo e mgri nche d qulche zero. In generle, er un mliictore, il rodotto tr il gudgno e l lrghezz di bnd non è cotnte; d ltr rte, è emre vero che l diminuire del gudgno ument l bnd e quindi l rezione negtiv i ret molto bene nche rendere iù veloce un mliictore. Tuttvi, i beneici dell retrozione negtiv en ccennti ono ccomgnti d due vntggi: innnzi tutto, il gudgno del circuito viene ridotto in mnier qui direttmente roorzionle l coneguimento dei beneici decritti recedentemente, rendendo erciò eo neceri l ggiunt di un ulteriore tdio mliictore, con un coneguente umento dei coti di relizzzione; in econdo luogo, un circuito rezionto h l tendenz ocillre ed è eo richiet l rogettit etrem ttenzione er evitre che ciò ccd. utore: Sndro Petrizzelli 4

5 Stbilità degli mliictori rezionti LIMITI LL ENTITÀ DELL REZIONE IMPOSTI DLL STBILITÀ Voglimo, or, eminre i limiti ll entità dell rezione imoti dlle eciiche di tbilità. I roblemi di tbilità orgono qundo ono reenti nell rete reziont degli elementi in grdo di immgzzinre energi. Prim di rocedere con le deinizioni, cerchimo di cire, d un unto di vit iico, co i intende er tbilità di un item rezionto. Fccimo rierimento ll igur eguente: - item () rete di rezione () Se () e () ono, riettivmente, l unzione di trerimento dell mliictore in nello erto e quell dell rete di rezione, imo che l unzione di trerimento dell mliictore in nello chiuo h ereione ( ) ( ) ( ) ( ) Se () diminuice con l requenz, diminuice nche il gudgno d nello T( ) ( ) ( ) quindi nche l deenibilizzzione T()). Un ituzione rticolre i h qundo ( ) oi qundo ( ) ( ), oi nche qundo ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( h) π h, ±, ±, ± 3... In queto co, il gudgno () diverge e i h intbilità: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (e, In queto co, come i vede, il egno di T() è negtivo (mentre imo che centro bnd deve eere oitivo e i vuole un rezione negtiv). Quindi, ll intbilità corrionde un rezione oitiv. l contrrio, non vle emre il vicever, oi non è detto che un rezione oitiv comorti necerimente intbilità: intti, l rezione divent oitiv (cioè T()<) rtire d quell requenz comle ll qule T( ) < ; uonimo llor che ci i, er il generico mliictore in eme, un intervllo di requenze in T < ; e, in corriondenz di tli corriondenz delle quli riulti veriict l condizione ( ) requenze, il gudgno d nello non è uicientemente elevto, oi riult T ( ) ( ) <, non i h 5 utore: Sndro Petrizzelli

6 unti di Elettronic lict - Citolo 4 intbilità. l contrrio, e T ( ) >, ogni egnle, nche ccidentlmente reente nell nello di rezione, viene rigenerto ed mliicto lungo l nello, roducendo coì intbilità. Quindi, ll requenz iic ll qule i veriicno le condizioni T ( j ) T( j ) 8 l mliictore roduce un ucit utonom, cioè un utoocillzione l cui miezz è limitt olo dll turzione degli elementi del circuito (di olito in roimità dei vlori di limentzione). Poimo ubito nticire che un ocilltore viene relizzto in modo che quet condizione i veriict (un ocilltore uò eere vito come un mliictore intbile). Ftte quete coniderzioni, dimo l deinizione di tbilità ttrvero un roccio itemitico: De. Un item linere tzionrio vente un unzione di trerimento () rzionle rtt i dice intoticmente tbile e e olo e tutti i oli di () ono rte rele negtiv. Se e olo e lmeno un olo di () reent rte rele oitiv, il item i dice intbile. De. Un item linere tzionrio i dice tbile BIBO qundo d ogni ingreo di miezz limitt corrionde emre un ucit di miezz u volt limitt. Condizione neceri e uiciente er vere queto tio di tbilità è che l integrle (nel temo) del modulo dell unzione di riot ll imulo i un numero inito. In genere, er gli mliictori i concetti di tbilità en deiniti vengono emre ottintei (ltrimenti l mliictore unzionerebbe d ocilltore) e l tbilità viene inte in eno lto come comortmento dinmico oddicente: intti, nche e un mliictore è intoticmente tbile (cioè i trnitori i euricono bbtnz ridmente e regime l riot in requenz non diverge), è oibile che l u riot i dicoti ecceivmente d ciò che i vorrebbe ottenere, ornendo coì un comortmento dinmico non oddicente. Il comortmento dinmico di un item in generle uò eere crtterizzto in due modi: tudindo l riot l grdino e nlizzndo il trnitorio che i gener; nlizzndo i icchi nell riot in requenz centro bnd. Per vere un comortmento dinmico oddicente (o nche un riot ccettbile) i deve re in modo che, nei trnitori, non i generino overhoot elevti e, regime, non i bbi un ovrmliiczione, l qule comorterebbe un ditorione del egnle che i v d mliicre (intti, il uo contenuto rmonico verrebbe mliicto in modo dierente). D ciò egue, quindi, il eguente criterio di ccettbilità dell riot: l riot è ccettbile e gli overhoot ono contenuti e l riot in requenz non reent dei icchi nel centro bnd. Riettndo quete eciiche, le ocillzioni nei trnitori ono contenute e quindi trcurbili (orttutto non dnneggino i dioitivi), l riot regime rimne emre l te centro bnd e l mliictore non elt neun requenz, evitndo coì di ditorcere il egnle. Tutto queto è dovuto ll reenz, nel item in nello chiuo, di oli utore: Sndro Petrizzelli 6

7 Stbilità degli mliictori rezionti comlei e coniugti rte rele negtiv: queti oli generno, in e trnitori, il tiico ndmento ocilltorio morzto, mentre regime determinno i icchi nell riot in requenz. In concluione, un mliictore i dirà intbile (o rivo di riot ccettbile) e reenterà ocillzioni trnitorie ecceive e ditorcerà il egnle regime. Biogn quindi controllre l rezione inché ciò non ccd. Prim di rocedere llo tudio dei criteri er determinre un riot ccettbile, enuncimo due ondmentli rorietà degli tdi elementri: in rimo luogo, e i nlizz (con un metodo qulii) l tbilità degli tdi elementri decritti nei citoli recedenti, i trov che ei reentno tutti oli reli negtivi, er cui ono tutti intoticmente tbile; in econdo luogo, eite un recio teorem in be l qule un circuito cotituito dll cct di tdi elementri reent u volt oli reli e negtivi, er cui nch eo è emre intoticmente tbile. Quete due rorietà giutiicno il tto er cui un mliictore in nello erto i conider emre intoticmente tbile. E, eventulmente, l reenz di un retrozione comortre roblemi di tbilità, in qunto, come è noto e come i vedrà bene tr oco, l retrozione in modo che i oli in nello chiuo ino diveri d quelli in nello erto. Premeo queto, imo ll decrizione dei metodi che i utilizzno er imorre le condizioni er un riot ccettbile. I unti di vit di chi ront lo tudio dell tbilità oono eere vri:. volendo relizzre un determint unzione di trerimento, ci i trov nell neceità di intetizzre () con un cert conigurzione di oli e zeri. llor il roblem uò eere riolto gevolmente ricorrendo l luogo delle rdici;. vendo, invece, dioizione i blocchi circuitli già relizzti, di cui i ignorno le unzioni () e (), erimentlmente ci i vuole icurre dell oibilità di ottenere un item tbile un volt chiuo l nello. llor in queto co è oortuno ricorrere ll rreentzione di Bode. 3. dll conocenz nlitic di () e () i deider eere icuri che, un volt chiuo l nello di rezione, il item i tbile. Nell rtic, uò eere richioo chiudere un nello di rezione enz eere icuri che eo rà tbile, oiché otrebbero veriicri dnneggimenti i comonenti circuitli. 7 utore: Sndro Petrizzelli

8 unti di Elettronic lict - Citolo 4 STUDIO DELL STBILIT CON IL LUOGO DELLE RDICI INTRODUZIONE Per un generico mliictore rezionto, è oibile erimere l unzione di trerimento nell orm ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) Se i one ugule zero il denomintore di (), i ottiene un equzione che rende il nome di equzione crtteritic del item in nello chiuo; le oluzioni dell equzione crtteritic rreentno i oli del item in nello chiuo. L equzione crtteritic è dt dunque d T() e uò eere ere in termini di miezz e e nel modo eguente: T ( ) ( ) ( h) π T ( ) er hπ k > k < con h, ±, ±, ± 3... L relzione ull e del gudgno d nello T() ornice l relzione che i utilizz er cotruire il coiddetto luogo delle rdici, oi il luogo geometrico che i ottiene coniderndo come vrino, l vrire del rmetro k, le oluzioni dell equzione crtteritic. Doo che il luogo è tto trccito, i ricorre ll relzione ui moduli del gudgno d nello T() er individure i unti del luogo che rreentno i oli in nello chiuo dell mliictore; ei vengono individuti d un recio vlore di k e quindi dl gudgno centro bnd, l qule k è legto. Per queto, l relzione ui moduli rende il nome di equzione di trtur, oiché e conente di trre il luogo individundo i oli in nello chiuo. TECNICHE DEL LUOGO DELLE RDICI In genere, nel dimenionre un mliictore, i oli e gli zeri del gudgno T() vengono imoti riori e quindi il roblem i riduce trre degutmente il luogo in modo che ino odditte le eciiche er ottenere un riot ccettbile. Trre degutmente vuol dire cegliere un vlore oortuno del rmetro k (e quindi di T()) e queto otnzilmente igniic dimenionre oortunmente l entità dell rezione. Prim di deinire un criterio di riot ccettbile, dobbimo coniderre un eemio che ci ervirà dre delle deinizioni e dimotrre degli imortnti riultti. Coniderimo dunque un mliictore be vente unzione di trerimento con due oli oli, riettivmente in - e - : () utore: Sndro Petrizzelli 8

9 Stbilità degli mliictori rezionti utore: Sndro Petrizzelli 9 Suonimo che i due oli ino dioti nel ino di Gu come nell igur eguente: Re Im - - Suonimo deo di chiudere l mliictore in un nello di retrozione crtterizzto d un ttore di rezione cotnte: l unzione di trerimento dell mliictore rezionto è ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () Il coeiciente numertore rreent il gudgno ttico (cioè er ): ( ) ( ) ( ) () I oli dell mliictore ono le oluzioni dell equzione crtteritic: ( ) ( ) Se conrontimo i coeicienti di quet equzione con quelli dell clic equzione di grdo ot nell orm Q n n, deducimo qunto egue: ( ) ( ) ( ) n n n Q Q Il rmetro Q è il coiddetto ttore di qulità, ri /δ, dove δ è il coeiciente di morzmento. Q (o δ) e l ulzione nturle n crtterizzno l oizione dei due oli nel ino di Gu, come indicto nell igur eguente:

10 unti di Elettronic lict - Citolo 4 Im d n θ Re n Q Generlmente, il ttore di qulità vri tr ed. Un volt trovte le ereioni di Q e n, trovimo le ereioni nlitiche dei due corriondenti oli, riolvendo l equzione : Q n n ± Q / n E evidente, dlle ereioni coniderte rim, che i n i Q ono roorzionli l ttore T, che rreent il gudgno d nello dell mliictore b requenz: ( T ) n 4Q Q n ( T ) Di coneguenz, l vrire di T nell intervllo [, ], Q e n vrino, il che igniic che cmbi l oizione dei due oli ed dell mliictore rezionto. Muovendoi, nel ino di Gu, l vrire di T, i due oli deinicono il coiddetto luogo delle rdici dell mliictore be coniderto. In rticolre, è cile, in queto co, comrendere come vviene tle movimento dei oli d nello chiuo nel ino di Gu: L oizione inizile dei oli è quell che i ottiene er T : Q n Sotituendo nell ereione dei due oli in nello chiuo, i trov cilmente, come c er d ettri, che - e - : in enz di rezione, cioè unto er T, i due oli ono quelli dell mliictore be. Pimo dunque vlori di T oitivi. Sotituendo le ereioni di Q e n nell ereione dei due oli, i ottiene qunto egue: utore: Sndro Petrizzelli

11 Stbilità degli mliictori rezionti ( ) / ± 4 ( T ) L rim oibilità è che l rgomento dell rdice riulti oitivo, cui corriondono quindi due oli reli e ditinti (ovrmorzmento): l rgomento dell rdice è oitivo er vlori del gudgno ttico d nello tli che ( ) ( ) T < 4 4 In rticolre, ci i ccorge che, ll umentre di T, l rgomento dell rdice diminuice e quindi i due oli tendono d vvicinri: Im - - Re Il limite ll vvicinmento dei due oli i h qundo T ( ) : in queto co, i nnull l 4 rdice e quindi i due oli diventno reli e coincidenti (morzmento critico). E evidente che i trovno in corriondenz del unto rele di coordint, oi metà tr i due oli in nello erto. Se T ument oltre il vlore ( ), l rgomento dell rdice divent negtivo, er cui i due 4 oli diventno comlei e coniugti (ottomorzmento). In rticolre, l loro rte rele rimne cotnte ul vlore, mentre il coeiciente dell rte immginri ument: / ± j ( T ) ( ) 4 I due oli tendono dunque d llontnri eguendo l rett verticle nte er : utore: Sndro Petrizzelli

12 unti di Elettronic lict - Citolo 4 Im - - Re Queto è dunque il luogo delle rdici dell mliictore coniderto: l co iù evidente che i oerv è che i oli d nello chiuo non no mi nel emiino detro, il che igniic che l mliictore è tbile in nello chiuo er qulii vlore del gudgno d nello centro bnd T, oi, ito, er qulii vlore del ttore di rezione. queto unto, coniderimo un generico vlore di T, cui corrionde quindi un reci oizione dei due oli in nello chiuo. Fccimo er eemio rierimento ll igur eguente: Im d n δ n θ Re n Q n D emlici coniderzioni geometriche i deduce che n co θ, d cui quindi Q Q co θ (ed nche δcoθ). Il notro coo è cire come vri l unzione di riot rmonic dell mliictore rezionto l vrire di δ (e quindi di Q). Coniderimo, tl ine, l unzione di trerimento dell mliictore in nello chiuo coì come l bbimo ricvt rim: l corriondente unzione di riot rmonic d nello chiuo è (j) j Q In quet ereione bbimo oto n er indicre il tto che il digrmm di Bode del modulo dell unzione elementre denomintore h nell requenz nturle dei due oli l rori requenz di trnizione. utore: Sndro Petrizzelli

13 Stbilità degli mliictori rezionti Coniderimo deo l quntità log ( j) log j Q Si trtt del modulo, ereo in, del rorto tr (j) ed il vlore che (j) teo ume in b requenz: tle rorto è divero econd del vlore di Q: in rticolre, e l clcolimo in, ottenimo ( j ) log log log Q log j Q δ Quet ereione ci dice qunto egue: l unzione di riot rmonic (j), clcolt nell ulzione, è l di or del vlore e δ è minore di.5, mentre è l di otto e δ>.5. Il digrmm comleto dell quntità igur eguente: ( j) l vrire di e in unzione di δ è indicto nell Qundo δ.5, oi qundo Q, c è un leggero icco oco rim dell ulzione di trnizione. Per vlori ueriori di δ (e quindi ineriori di Q), non ci ono invece icchi, m c è un riduzione di bnd rietto qundo δ.5. Il vlore che ditingue l reenz o l enz di icchi è δ.77 (che corrionde nche Q.77): qundo δ<.77, bbimo un icco tnto iù ronuncito qunto minore è δ, mentre 3 utore: Sndro Petrizzelli

14 unti di Elettronic lict - Citolo 4 invece non ci ono icchi e δ>.77. Nel co δ, il icco è di miezz ininit e corrionde d un ocillzione dell mliictore con requenz. Eitono nche due ormule nlitiche che legno l ulzione di rionnz ed il icco di rionnz l vlore del coeiciente di morzmento δ: R δ M R δ δ Quete ormule vlgono rigoromente olo qundo l rgomento -δ dell rdice è oitivo, oi quindi er δ<.77, come detto oco. In quet iotei, coì come motrto dll igur recedente, l ulzione di rionnz R è tnto iù vicin (ed il icco M R è tnto iù ronuncito) qunto iù iccolo è il vlore di δ. queto unto, è oortuno oervre che il vlore di δ non inluenz olo l riot in requenz dell mliictore, m nche l riot nel temo, che intti è u volt legt ll riot in requenz. Per evidenzire queto, uonimo che l mliictore (crtterizzto emre d due oli) ricev in ingreo un ingreo grdino (di miezz tle che l mliictore continui comortri in modo linere). Senz cendere nei dettgli nlitici, i uò vedere che l riot dell mliictore tle ingreo vri, in unzione di δ, come indicto nell igur eguente: Sull be di quet riot i deinicono lcuni ondmentli rmetri, che intetizzno le coiddette eciiche nel dominio del temo: mim ovrelongzione S (overhoot): dierenz tr il vlore mimo rggiunto dll ucit ed il vlore inle di regime: normlmente i dà in ercentule del vlore inle, er cui i rl di mim ovrelongzione ercentule; temo di ritrdo : temo necerio inché l ucit rggiung il 5% del vlore inle; temo di lit : (t-rie): temo necerio inché l ucit i dl % l 9% del vlore inle; utore: Sndro Petrizzelli 4

15 Stbilità degli mliictori rezionti temo di etmento T : temo necerio inché l ucit rimng entro il ±5% del vlore inle; itnte di mim ovrelongzione T m : itnte l qule i reent l mim ovrelongzione. Tutti queti rmetri diendono dll oizione dei oli del item nel ino comleo, oi quindi di vlori di δ e n. In rticolre, i trov che l mim ovrelongzione è legt l coeiciente di morzmento dll eguente relzione: δ π δ S(%) e ll umentre di δ (non oltre il vlore, l ine di mntenere oitivo l rgomento di quell rdice) l ovrelongzione mim diminuice, come indicto nell igur eguente, che interret gricmente l relzione en riortt: S(%) % 5% δ.4 Riortimo nche l ndmento di S(%) in unzione del ttore di qulità Q: Qundo δ rggiunge il vlore, non i h iù ovrelongzione, in qunto, come i not dll igur recedentemente riortt, l riot non reent iù ocillzione, m è quell tiic di un 5 utore: Sndro Petrizzelli

16 unti di Elettronic lict - Citolo 4 item del rimo ordine, cioè eonenzile crecente ino l vlore di regime: il motivo è che i due oli ono queto unto entrmbi reli, er cui dnno unto luogo due modi eonenzili morzti. Un etto interente dell conocenz dell oizione dei oli in nello chiuo è che e conente di ricvre, con buon roimzione, il vlore del modulo dell riot rmonic in corriondenz di un certo numero di vlori di. Coniderimo, intti, l ereione nlitic del modulo dell riot rmonic dell mliictore rezionto coniderto: vendo l mliictore due oli oli, oimo crivere (j) K j j dove ricordimo che l cotnte di gudgno K è diver dl gudgno ttico e dove e ono i oli dell mliictore be, che i uongono noti. Le due quntità denomintore rreentno emlicemente, nel ino comleo, le ditnze dei unti e d un generico unto j ituto ull e immginrio: Im d δ j j Re j Fcendo quindi muovere il unto j ull e immginrio e miurndo di volt in volt le ditnze d e, imo dunque in grdo di conocere il vlore corriondente di (j), noto che i, ovvimente, il rmetro K. Si oerv nche un ituzione rticolre: rendendo d (dove d è l coiddett requenz morzt), l quntità (j) ume il vlore mimo (dto che j ume il vlore minimo), mentre invece diminuice er requenze ueriori ineriori d. Qunto iù i oli ono vicini ll e immginrio, tnto mggiore è il vlore di (j d ) e vle l limite ininito qundo i oli ono rorio ull e immginrio. Per concludere, oervimo che lo tudio tto in queti ultimi rgri reuone l conocenz delle ingolrità (oli e zeri) dell unzione (), che oi corriondono lle ingolrità di T() nel co di un ttore di retrozione cotnte. Se, invece, le ingolrità di () non ono note, biogn necerimente ricorrere llo tudio nel dominio dell requenz, utilizzndo i digrmmi olri e digrmmi di Bode. utore: Sndro Petrizzelli 6

17 Stbilità degli mliictori rezionti bbimo ertnto dimotrto, con rierimento d un item del econdo ordine, che gli overhoot e i icchi nell riot in requenz ono dovuti i oli comlei e coniugti dell unzione di trerimento in nello chiuo, i quli, loro volt, ono comletmente determinti dl coeiciente di morzmento δ (o, ciò che è lo teo, dl ttore di qulità Q). Pertnto, er imorre un condizione di riot ccettbile i deve imorre che ogni coi di oli comlei e coniugti in nello chiuo reenti un ben recio vlore del coeiciente di morzmento (o, in modo equivlente, un ben recio vlore del ttore di qulità). Gricmente, queto corrionde trre il luogo in modo che i oli i trovino ll interno dell regione, nel emiino initro di Gu, limitt dlle rette l cui inclinzione (rietto ll e rele negtivo) è imot dl coeiciente di morzmento (δcoθ, dove θ è l inclinzione delle uddette rette): Im δ co θ θ θ Re Evidenzimo un co imortnte: in be qunto en vito, è evidente che tnto minore è il vlore di Q (cioè tnto mggiore è δ), tnto iù tbile è il item; tuttvi, quete eciiche vnno in contrto con le eciiche ulle retzioni ed in rticolre un vlore troo bo di Q uò comortre un retringimento ecceivo dell bnd dell mliictore. Quindi, e i uò tollerre un icco oco ccentuto nell riot in requenz, oiché i è intereti d un mliictore veloce, llor i uò rrivre ino Q, mentre, e è neceri un lt edeltà, è necerio grntire un bnd itt, nche e iù trett, e quindi un vlore iù bo di Q. REZIONE NEGTIV E CRITERIO DI STBILITÀ DI NYQUIST Pimo or ll nlii di tbilità nel dominio dell requenz: i uno, in queto co, i digrmmi di Nyquit e i digrmmi di Bode. L uo di tli digrmmi i rende necerio qulor non ci conocno direttmente le ingolrità dell mliictore coniderto. Coniderimo dunque un mliictore vente l eguente unzione di trerimento d nello erto: k () ( )( )( ) 3 Il item h cotnte di gudgno k (d non conondere con il gudgno ttico ) e tre oli, riettivmente in, e 3. Fccimo l iotei che queto item i tbile, er cui tli tre oli hnno tutti rte rele negtiv, e ccimo inoltre l iotei che i trtti di oli reli 7 utore: Sndro Petrizzelli

18 unti di Elettronic lict - Citolo 4 (come ccde in tutti gli tdi elementri e nelle ccte di tdi elementri), er cui le ulzioni corriondenti ono B, B e B3 3. nche in queto co, come nel rgro recedente, uonimo di chiudere queto item in un nello di rezione negtiv: il notro obbiettivo è quello di indgre gli eetti che l nello di rezione eercit ull unzione di riot rmonic d nello chiuo e quindi nche ull tbilità del item d nello chiuo. Per rim co, determinimo l unzione di riot rmonic del item in nello erto: con emlici ggi i rriv ll ereione (j) j j j 3 k dove è il gudgno ttico d nello erto. 3 Trccimo i digrmmi di Bode (intotici) del modulo e dell e di quet unzione, iotizzndo circ un ttore (cioè un decde) di erzione tr le requenze corriondenti i tre oli: ( j) -(/decde) ( 8 ) T -4(/decde) B B B3 log -6(/decde) rg ( j) 8 log i ini di quello che diremo in eguito, ci intere egnlre, in queti digrmmi, l ulzione 8 ll qule (j) reent un e di -8 e il vlore 8 che ( j ) ume in tle ulzione. Entrmbe quete grndezze ono indicte in igur. 8 utore: Sndro Petrizzelli

19 Stbilità degli mliictori rezionti queto unto, uonimo di chiudere il item in un nello di retrozione in cui l unzione di trerimento dell rete di rezione i urmente lgebric del tio () - item () rete di rezione () Il gudgno d nello ume dunque l ereione T () ()() (), er cui l unzione di trerimento d nello chiuo ume l ereione () () () T() () cui corrionde quindi un unzione di riot rmonic d nello chiuo vente ereione (j) (j) (j) Dto che è cotnte, è evidentemente il gudgno d nello T(j)(j) h lo teo ndmento con l requenz di (j): il modulo ument emlicemente di un ttore (che ul digrmm logritmico divent un termine log d ommre l digrmm di (j ) ), mentre l e rimne inltert. vendo dioizione i digrmmi di Bode di T(j), è oibile ricvre nche il digrmm olre di T(j), oi l rreentzione di T(j) in termini di rte rele e rte immginri l vrire di. Nel co che timo coniderndo di un mliictore 3 oli ditinti, il digrmm olre di T(j) è del tio indicto nell igur eguente (non in cl): Im { T(j) } negtiv e crecente in modulo 8 (-,) rg T(j) Re { T(j) } T(j) oitiv e crecente T 8 8 T 9 utore: Sndro Petrizzelli

20 unti di Elettronic lict - Citolo 4 In queto digrmm è interente notre due coe: l rim è che, in corriondenz di, l unzione T(j) ume il rorio vlore ttico, che vle evidentemente T (j) (gudgno ttico d nello); l econd è che, invece, in corriondenz di 8, dto che (j) ume il vlore indicto con 8 (corriondente qundo (j) h e di -8 ), il gudgno d nello ume il vlore T. 8 8 inine, i oerv che, er, dto che ( j ) e rg (j) 7, riult nche T(j ) e rg T(j) 7, oi il digrmm tende intoticmente ll origine ed è tngente ll e immginrio. i ini di tudire l tbilità del item in nello chiuo, oimo licre il criterio di tbilità di Nyquit; in rticolre, lichimo il criterio di tbilità di Nyquit in orm ridott, in qunto timo uonendo che il item i tbile in nello erto, oi che l unzione () non bbi oli rte rele negtiv: in be queto criterio, il item è tbile in nello chiuo e e olo e il digrmm olre di T(j) non circond il unto critico -j. E llor chiro, dll igur, che il item in eme non è tbile in nello chiuo, in qunto il digrmm circond il unto critico. Queto vviene, in rticolre, erché l quntità T T( j ) (j ) riult mggiore di. vremmo invece un item tbile in nello chiuo e l oizione del digrmm olre di T(j) rietto l unto critico oe tt quell indict nell igur eguente: Im { T(j) } (-,) 8 rg T(j) Re { T(j) } T( j) T 8 In queto co, riult evidentemente T(j ), er cui il digrmm olre non T8 8 < circond il unto critico e quindi il item è tbile in nello chiuo coì come lo è, er iotei, in nello erto. Divent quindi imortnte l oizione reltiv del digrmm olre di T(j) rietto l unto critico -. Per cire il igniicto di queto unto, bt uorre che il digrmm olre di T(j) i ettmente er queto unto, come indicto nell igur eguente: utore: Sndro Petrizzelli

21 Stbilità degli mliictori rezionti Im { T(j) } 8 (-,) T(j) rg T(j) Re { T( j) } 8 In quet ituzione, ll requenz 8 il gudgno d nello ume il vlore T( j 8 ) j, er cui l unzione di riot rmonic d nello chiuo divent (j 8 (j8 ) ( j8 ) ) T(j ) ( ) vere (j 8 ) igniic che il item d nello chiuo h un gudgno ll ulzione 8, il che indic l inizio dell intbilità e quindi dell ocillzione tle ulzione. Quet ituzione, con rierimento l luogo delle rdici del item coniderto, corrionde dire che l unzione di trerimento () reent dei oli ull e immginrio. Se, rtire d quet ituzione (oi quell in cui T(j 8 ) j ), i decide di umentre il gudgno ttico d nello T umentndo (j) oure, il digrmm olre di T(j) i ende linermente e circondre il unto (-,): queto unto, i oli di () ono ti nel emiino detro, come indicto nell igur eguente: Im 8 Il digrmm olre i trov detr del unto (-,) Re Il digrmm olre circond il unto (-,) Il digrmm olre er il unto (-,) utore: Sndro Petrizzelli

22 unti di Elettronic lict - Citolo 4 queto unto, oimo nche eorre il criterio di tbilità di Nyquit in orm ridott in un ltr orm: diremo intti che il item riult tbile d nello chiuo e e olo e riult T (j) < ll requenz 8 in corriondenz dell qule rg T( j) 8. Si deinice mrgine di miezz (o nche mrgine di gudgno) l quntità mg[] log T(j 8 ) Il criterio di tbilità di Nyquit in orm ridott i uò llor erimere dicendo che il item d nello chiuo riult tbile e e olo e il mrgine di gudgno riult mggiore di. Pot l quetione in queto modo, bbimo l oibilità di cire e il item è tbile d nello chiuo direttmente oervndo i digrmmi di Bode di T(j): individut l ulzione 8 in corriondenz dell qule T(j) h e di -8, ndimo leggere ul digrmm dei moduli il vlore di T ( j e, e tle vlore è minore di, oimo dedurre che il item è tbile d ) 8 nello chiuo; in co riulti invece T(j ), oimo ermre che il item è intbile d 8 > nello chiuo. In lterntiv, è oibile re nche il rgionmento invero: ul digrmm di T(j ) i individu l coiddett ulzione di croover (dett nche ulzione di trnizione), oi l ulzione in corriondenz dell qule il digrmm interec l e orizzontle, oi in corriondenz dell qule riult T(j ) e quindi T (j) ; in corriondenz di quet ulzione, i legge ul digrmm delle i il vlore dell e di T(j): il criterio di tbilità di Nyquit in orm ridott i uò llor erimere dicendo che il item d nello chiuo riult tbile e e olo e riult rg T(j ) > 8. Si deinice, queto rooito, mrgine di e del item coniderto l dierenz tr rg T(j ) e -8 : m rg T( j ) ( 8 ) rg T(j ) 8 E evidente che il item d nello chiuo riult tbile e e olo e riult m >. Solitmente, nziché coniderre il mrgine di gudgno, i rierimento rorio l mrgine di e e lo teo noi remo quindi nei dicori che eguono. Queti tudi di tbilità d nello chiuo ono tti dunque condotti ui digrmmi di Bode di T(j): oimo in reltà re nche qulco in iù, nel eno che oimo rgionre non ui digrmmi di Bode di T(j), benì u quelli di (j), che ono quelli generlmente notr dioizione (in qunto rovengono, er eemio, d oortune miure erimentli). Vedimo llor come i rocede. utore: Sndro Petrizzelli

23 Stbilità degli mliictori rezionti Coniderimo nuovmente un item 3 oli crtterizzto d un unzione di riot rmonic d nello erto nell orm (j) j j j 3 Riortimo nuovmente i digrmmi di Bode di quet unzione: (j) -(/decde) -4(/decde) T B B B3 log -6(/decde) rg (j) log Suonimo deo di inerire il item in un nello di retrozione negtiv con () co t. Bt re lcuni emlici ggi nlitici er renderi conto di come i oibile ricvre gricmente il digrmm dei moduli di T(j) noto che i quello dei moduli di (j): intti, oimo crivere che (j) log (j) log (j) log log T( j) log T( j) log (j) log ( j) log 3 utore: Sndro Petrizzelli

24 unti di Elettronic lict - Citolo 4 D qui ricvimo che T(j) (j) log Quet relzione dice che il digrmm dei moduli di T(j) i ottiene d quello dei moduli di (j) emlicemente ottrendo l quntità cotnte (con ) log, oi trlndo vero il bo di tle quntità il digrmm di ( j ). Gricmente, queto igniic che, e riortimo ul digrmm di ( j ) l rett orizzontle corriondente tle rett ornice il digrmm di T(j ) : log, l dierenz tr ( j ) e (j) log x B B B 3 log Quindi, l ditnz indict in igur con x rreent un miur dirett di requenz conidert. Detto ncor in ltre role, il digrmm di di T(j ) ll ( j ) uò eere interretto come il digrmm T(j ) tto di coniderre come nuovo e delle cie l rett corriondente log : T(j) x B B B3 log requenz di croover (del gudgno d'nello) vecchio e orizzontle Per qunto rigurd il digrmm delle i di T(j), è evidente che coincide con quello di (j): bbimo intti che utore: Sndro Petrizzelli 4

25 rg T( j) Im (j rctg Re Stbilità degli mliictori rezionti rg( (j) ) rg( Re{ (j) } jim{ ( j) }) rg( Re{ ( j) } j Im{ ( j) }) { ) } Im{ ( j) } rctg rg (j) { ( j) } Re{ (j) } ccertto queto, vedimo di cire come oimo identiicre il mrgine di e del item coniderto cendo rierimento direttmente i digrmmi di Bode di (j). tl ine, riortimo ncor un volt tli digrmmi er il item 3 oli che timo coniderndo: (j) T(j ) log B B B3 log rg (j) log m> -5-7 Per deinizione di mrgine di e, dobbimo er rim co individure l ulzione in corriondenz dell qule T(j) h modulo unitrio: in be i dicori tti in recedenz, è evidente che i trtt dell ulzione corriondente l unto in cui il digrmm di ( j) interec l rett er log. Individut tle ulzione, dobbimo clcolre l corriondente e di T(j), che è ugule ll e di (j): oimo dunque leggere rg T(j ) come emlicemente rg (j ), oi ul digrmm delle i di (j). licndo inine l deinizione, bbimo che il mrgine di e vle m rg T(j ) 8 e deve eere oitivo inché il item riulti tbile in nello chiuo: nel co indicto in igur, riult eettivmente m>, er cui il item è tbile in nello chiuo. Ovvimente, quet concluione vle er il vlore di celto. E chiro che l ituzione cmbi e i h qunto indicto nell igur eguente: 5 utore: Sndro Petrizzelli

26 unti di Elettronic lict - Citolo 4 (j) log B B B3 log rg (j) log m< -5-7 bbimo celto un vlore di iù lto rietto rim: eguendo llor lo teo rocedimento di rim, i oerv che m 3 <, in qunto (j) (e quindi nche T(j)) h già rggiunto un e ineriore -8 qundo T(j) h modulo unitrio. In deinitiv, quindi, non olo bbimo trovto come i individu il mrgine di e ui digrmmi di Bode di (j), m bbimo nche trovto un criterio di rogetto dell nello di rezione bto u tli digrmmi: bbimo intti cito come oizionre l rett er log (oi quindi come cegliere ) in modo d ottenere un mrgine di e oitivo, oi un item tbile d nello chiuo. queto unto, è nche evidente un ltr co: intti, mentre bbimo en vito che, noto il digrmm di Bode del modulo di (j), è oibile ricvre quello del modulo di T(j)(i) emlicemente mndndo l rett orizzontle er log e coniderndo tle rett come nuovo e orizzontle, nel co in cui l retrozione i unitri () riult T(j)(j), er cui tutti i rgionmenti i emliicno, in qunto oono eere condotti direttmente ull (j), che riult erettmente ugule l gudgno d nello T(j). Per individure il mrgine di e, quindi, bt individure direttmente l ulzione in cui ( j ) e vlutre, in corriondenz di e, l e di (j). Coniderimo, er eemio, l te unzione (j) conidert oco : utore: Sndro Petrizzelli 6

27 Stbilità degli mliictori rezionti (j) B B B3 log log m< -7 Se ceglimo un retrozione unitri, l rett er log coincide con l e delle cie e quindi l ulzione di trnizione T di (j) coincide con l ulzione di trnizione di T(j) : in corriondenz dell ulzione in cui ( j ), i oerv che rg (j) 4, cui corrionde un mrgine di e m 6, oi un item molto intbile in nello chiuo. Signiicto del mrgine di e in termini di riot in requenz Cerchimo deo di interretre in ltro modo il igniicto del vlore del mrgine di e. Coniderimo, erciò, nuovmente un item d un olo olo (rele negtivo) vente l eguente unzione di trerimento: k () Ponimo j er ottenere l corriondente unzione di riot rmonic: con emlici ggi lgebrici, imo di oter orre quet unzione nell orm ( j) j 7 utore: Sndro Petrizzelli

28 unti di Elettronic lict - Citolo 4 I corriondenti digrmmi di Bode (intotici) ono tti nel modo eguente: (j) log log rg (j) B T log -(/decde) -45 log -9-8 m Fito un qulii vlore di, i oerv che il mrgine di e è mggiore o tutt l iù ugule 9, er cui il item d nello chiuo è molto tbile comunque veng celt l rete di rezione. Nell rtic, in eetti, i ccettno vlori del mrgine di e comrei tr 45 e 6. Voglimo llor cire in co i trduce, er qunto rigurd l unzione di riot rmonic d nello chiuo, un divero vlore del mrgine di e. Coniderimo, er eemio, un item (di ordine generico) in nello chiuo vente un mrgine di e di 45 e un ttore di rezione rele (e erciò cotnte): er deinizione di mrgine di e, imo che m rg T( j ) 8 rg (j ) 8, er cui deducimo che il gudgno d nello, in corriondenz dell ulzione di croover, h e rg T( j ) m Vlutimo llor l unzione di riot rmonic in nello chiuo in corriondenz di quet ulzione: ricordndo che T(j ) er deinizione di, bbimo che (j (j ) ( j ) ) j35 T( j ) e (j ) (j (.7 j.7).3 j. 7 ) Ci intere in rticolre il modulo di quet unzione: (j ) (j ).3( j ).3 j.7 D ltr rte, è cile renderi conto che l condizione T(j ) imlic che oimo dunque crivere che ( j ) : utore: Sndro Petrizzelli 8

29 Stbilità degli mliictori rezionti (j ) D ltr rte, l quntità / rreent il vlore di (j) qundo T(j ) è molto elevto, oi : oimo llor concludere che.3 m 45 (j ).3 Quet relzione motr che, in corriondenz dell ulzione in cui T(j) h modulo unitrio, (j) reent un icco (eking) l di or del vlore unto in b requenz: in cl logritmic, il icco, rietto l vlore in b requenz, è di.4. Con un rocedimento del tutto nlogo, i trovno queti ltri due riultti: m m 6 9 (j ( j ) ).7.7 Per m6, (j) non reent lcun icco in, mentre, er m9, (j ) i trov l di otto di. Queti riultti ono riortti nell igur eguente, dove in cie viene riortt l quntità log (oi viene eettut un normlizzzione rietto ), mentre in ordinte viene riortt l quntità ): log (j) (oi viene eettut un normlizzzione rietto 9 utore: Sndro Petrizzelli

30 unti di Elettronic lict - Citolo 4 Quete curve ono trccite nell iotei che l unzione di riot rmonic del item in eme i domint di rimi due oli dell unzione di trerimento, eccetto che er il co del mrgine di e di 9, che h un olo olo. Come trovto rim nei clcoli, l diminuire del mrgine di e il icco di (j) diviene emre iù grnde, ino che (j) i vvicin d eere ininito: er un mrgine di e di, i ottiene l ocillzione. E inoltre interente notre che il icco di (j) i veriic olitmente in roimità dell requenz di croover, trnne che nel co di mrgine di e di 6, er il qule c è un icco di. en l di otto di. Si not inine che, er mrgini di e diveri d 9, doo il icco le curve tendono d un intoto di -/ottv: queto i veriic in qunto (j) cende con l endenz di - /ottv (o nche -4/decde) cu dell reenz di due oli nell unzione di trerimento. In concluione, l condizione di riot ccettbile uò eere imot nel dominio dell requenz indo il vlore del mrgine di e: qunto mggiore è il mrgine di e, tnto iù contenuti rnno gli overhoot e i icchi nell riot in requenz. utore: SNDRO PETRIZZELLI e-mil: ndry@iol.it ito eronle: htt://uer.iol.it/ndry uccurle: htt://digilnder.iol.it/ndry utore: Sndro Petrizzelli 3