U.D.A. EQUILIBRIO DEL CORPO RIGIDO

Transcript

1 U.D.. EQUILIRIO DEL CORO RIGIDO In quet lezione vedimo quli ono le condizioni per cui un corpo rimne in equilibrio STTICO (non i muove) Come i pplicno le forze d un corpo rigido? ) Nel co più emplice le rette che contengono le forze pplicte l corpo CONVERGONO IN UN UNICO UNTO detto centro di m. C.. d b c In queto co è poibile coniderre il corpo rigido non più come eteo m come un UNTO GEOETRICO che poiché è dotto di m (mteri) viene detto UNTO TERILE (il punto è un ente geometrico trtto, in queto co gli viene ocit un m ecco il ignificto di UNTO TERILE) C.. b c d In queto co l CONDIZIONE di EQUILIRIO è che l omm di tutte le forze indict con R (riultnte) i ugule zero UD Equilibrio corpo rigido g.

2 R 0 dove il imbolo indic che biogn fre un omm ) Nel co più generle le rette che contengono le forze pplicte l corpo NON CONVERGONO in un unico punto e poono eere nche tutte prllele tr loro. d b c b c d In queto co il corpo RUOT nche u teo e non è pplicbile l definizione di UNTO TERILE. E necerio introdurre un nuov grndezz ovvero il OENTO di un ORZ (). Il omento di un orz Il omento di un forz è un grndezz VETTORILE quindi il cui modulo è ugule l prodotto dell orz per il brccio ovvero l ditnz tr il punto e l rett che contiene l forz brccio 90 H b Il punto può eere qulii quindi il vlore del momento non è unico e ciò vuol dire che vendo un forz non bbimo utomticmente un vlore del momento. UD Equilibrio corpo rigido g.

3 Negli eercizi pplictivi in fiic il punto viene celto in coincidenz del punto intorno cui il corpo ruot che ppunto viene detto centro di rotzione (CR o emplicemente C). er eempio i crdini delle porte e delle finetre, il centro dell ruote di uto e biciclette ecc. Se un forz viene pplict in corripondenz del centro di rotzione di un corpo NON SI RODUCE neun effetto: il corpo NON ruot. Il momento in queto co è nullo perché il brccio è zero. L condizione che eprime l equilibrio ll rotzione è pertnto 0 ROONDIENTO TEORICO ul omento (quet prte può eere ltt) Il momento riult proprimente il RODOTTO VETTORILE tr il vettore r che unice il punto con l cod del vettore e il medeimo vettore : r r Il modulo del vettore vle: r o più emplicemente in r in L direzione del vettore è un rett perpendicolre l pino che contiene i due vettori ed r : Il vero del vettore è ottenuto pplicndo vrie regole u cui i può orvolre perché il omento pur eendo un grndezz vettorile viene utilizzto per or come un grndezz clre. UD Equilibrio corpo rigido g. 3

4 Eempi prtici ul clcolo del momento Un dico che può ruotre intorno l proprio centro C viene pinto come indicto in figur TNGENZILENTE. Il vettore rppreent l forz pplict. er clcolre il momento i ceglie innnzitutto il centro C come punto ripetto l qule clcolrlo. b 90 C r b=rccio Il brccio è l ditnz di C dll rett che contiene il vettore. In queto co riult pri l rggio del dico b r Il momento vle r Se invece l pint ul dico è obliqu i h l eguente ituzione b C r b=r in Il brccio è l ditnz di C dll rett che contiene il vettore. In queto co riult b r in Il momento vle r in Sul dico ono pplicte due forze b r C r er il brccio vle b r in E il momento vle r er il brccio vle b r in E il momento vle r UD Equilibrio corpo rigido g. 4

5 er il momento totle occorre coniderre che le due forze frebbero ruotre il dico in veri oppoti quindi un momento deve eere coniderto poitivo e l ltro negtivo. Convenzionlmente le rotzioni poitive ono quelle ntiorrie TOTLE Con =50 N =0 N r=0 cm =30 TOTLE r r in 0 0,0 50 0,0 in Nm Il momento riultnte è negtivo quindi l rotzione rà orri. rocedimento identico con più di due forze COI DI ORZE Ultimo punto d vedere per il momento. Due forze OOSTE quindi UGULI in modulo, con l te direzione e vero OOSTO e gicono ue rette prllele dnno luogo un COI DI ORZE r C d enndo che le due forze gicno TNGENZILENTE d un circonferenz di rggio r i h che per ogni forz TOTLE b r r r r Oppure indicndo con d l ditnz tr le due rette TOTLE d UD Equilibrio corpo rigido g. 5

6 Concludendo per un corpo rigido eteo che non i può ricondurre d un UNTO TERILE le condizioni per l equilibro ttico ono due R 0 0 Quete condizioni, i per il punto mterile che per il corpo eteo, vengono trdotte in relzioni mtemtiche che i chimno EQUZIONI L TETIC NECESSRI ER RISOLVERE I ROLEI DI ISIC. Not bene. L prte eguente non vuole otituire l inegnmento di mtemtic m è olo un guid prtic per poter volger gli eercizi di fiic Equzioni Un equzione è un relzione con cui è poibile determinre il vlore di un quntità incognit. In fiic bbimo problemi in cui occorre determinre il vlore di un forz, di un m, di un velocità ecc, in mtemtic quet quntità viene indict con un letter generic di olito l x. Si preent coi x x etodo di rioluzione Le quntità contenenti l incognit x devono eere initr del egno ugule (RIO ERO) mentre le quntità non contenenti l x cioè i termini noti devono tre detr del egno ugule (SECONDO ERO). er potri d un membro ll ltro le quntità devono cmbire egno erciò -7x p dl econdo membro l primo diventndo +7x E +8 p dl primo membro l econdo diventndo -8 x 7x x 3 er ottenere il vlore dell x occorre dividere per il coefficiente dell x i il primo membro che il econdo 8x 3 x Queto riolto er un eempio fcile. Le difficoltà umentno e i coefficienti ono frzionri 3 x x 4 3 rim di procedere occorre fre l.c.d. 6x 9 4x 6 oltiplicndo per mbedue i membri è poibile eliminre il denomintore 6x 9 4x 6 UD Equilibrio corpo rigido g. 6

7 E queto punto i può procedere come nell eempio precedente 6x 4x 6 9 x 3 x 3 3 x volte le grndezze incognite ono più di un,, 3 e coì vi. er indicre le ltre quntità incognite i uno in equenz l y, l z, l w.. er riolvere queti problemi biogn vere un numero di relzioni equzioni pri l numero di incognite in gioco e quete equzioni cotituicono un SISTE di EQUZIONI. er due incognite x ed y dovrò perciò vere DUE equzioni Eempio 3x 4y 6 x 3y 7 Quet perltro è un condizione neceri m non ufficiente. Inftti: 3x 4y 6 9x y 78 Si vede immeditmente che l econd equzione è tt ottenut dll prim moltiplicndo tutti i coefficienti per tre: queto item pur vendo un numero di equzioni pri l numero di incognite non è riolubile. Rioluzione del item di equzioni er riolvere un item di equzioni eitono vri metodi, qui utilizzimo il etodo di Sotituzione Riprendendo il item precedente 3x 4y 6 x 3y 7 Sceglimo un delle equzioni e ll interno un delle incognite: ceglimo l econd e ll interno di quet l vribile x. Nell econd equzione l x viene trttt come incognit mentre l y viene (tempornemente) conidert come un termine noto perciò dovrà eere portt l econdo membro x 3y 7 x 7 3y UD Equilibrio corpo rigido g. 7

8 Il vlore dell x trovto v otituito (d qui il nome del metodo) nell ltr equzione 3y 4y 6 3x 4y Cioè ci ritrovimo un equzione con l ol incognit y che può eere riolt come vito in precedenz 5 9y 4y 6 9y 4y 6 5 5y y 5 5 y 5 E l x? Sotituimo il vlore di y trovto nell equzione dell x x 7 3y x Quindi le oluzioni ono x y 5 E e non veimo celto l econd equzione l incognit x rebbe cmbito il riultto? SSOLUTENTE NO m i deve lvorre di più per ottenere il riultto. Vedimo perché. Sceglimo l prim equzione del item e coniderimo l y come incognit e l x come termine noto 6 3x 3x 4y 6 4y 6 3x y 4 Sotituimo il vlore di y coì trovto nell ltr equzione 6 3x x 3y 7 x Cioè ci ritrovimo un equzione con l ol incognit x che può eere riolt come vito in precedenz 6 3x x Si f il.c.d. 4x 78 9x UD Equilibrio corpo rigido g. 8

9 Eliminndo il denomintore 4x 78 9x 68 4x 9x x x x E l y? Sotituimo il vlore di x trovto nell equzione dell y 6 3x y y Ovvimente le tee oluzioni trovte in precedenz Q erché prim è tto più fcile? erché bbimo celto un equzione dove il coefficiente dell incognit er come fccio pere quete coe? Eperienz = re molti eercizi e non ci ono coefficienti che vlgono? Dobbimo comunque procedere cegliendo un qulii equzione oppure pplicndo uno degli ltri metodi In lcuni eercizi di fiic può ccdere che il item diventi etremmente emplice 3x 4y 6 3x x L econd equzione contiene l ol vribile x, riolvendol i trov il vlore per l x d otituire nell prim equzione. UD Equilibrio corpo rigido g. 9

10 GLI ESERCIZI DL CSO RELE LLO SCHE DEL CORO LIERO Nell nlizzre un problem di fiic vnno coniderte tutte le forze preenti. bbimo l ituzione rele di un ctol pint u un pino orizzontle che preent ttrito, Le forze preenti ono rppreentte nell eguente figur. L forz di ttrito i contrppone empre l movimento che il corpo tende compiere per effetto delle ltre forze. forz pplict N rezione dell uperficie di ppoggio forz di ttrito peo del corpo Tutti gli elementi coreogrfici vnno rimoi riducendo il corpo punto mterile oppure corpo rigido qundo può nche ruotre e vnno inerite le forze preenti per dre luogo llo chem di corpo libero. Si deve inoltre cegliere un item di riferimento crteino per poter operre ulle grndezze vettorili undo le componenti. Nel co di eempio il corpo non ruot ed è poibile ure il punto mterile diegnto in roo nell figur eguente. Schem di corpo libero N UD Equilibrio corpo rigido g. 0

11 Nell qui totlità dei ci il item crteino di riferimento preent l e X orizzontle e l e Y verticle. ESEI Corpo eteo riconducibile UNTO TERILE CONDIZIONE R 0 Un vo è ppeo d un trve tr due muri con due corde ideli (dunque prive di m). Clcolre le tenioni nelle corde pendo che l m del vo è kg Schem di corpo libero T T Le tenioni T e T (le incognite del problem) vnno compote nelle loro componenti crteini. Le equzioni di equilibrio ono R R x y 0 T 0 T co50 T in 75 T co75 0 in50 0 Le due equzioni cotituicono in effetti un SISTE DI EQUZIONI T T co50 T in 75 T co75 0 in 50 0 tuttvi i preent in modo che può eere fcilmente riolto. Dll prim equzione poimo ricvre T T co50 T co75 0 0,643T 0, 59T UD Equilibrio corpo rigido g.

12 D cui T 0, 403T Sotituendo T nell econd equzione i ricv T in 75 (0,403T 0,966 T 0,309 T )in 50 9,80 0 7,60,75T ed infine T 9, 8 Sotituendo T nell precedente relzione i h 7,60 T 0,403T 0,4039,8 37,9 N Un eempio con item di riferimento inclinto: il INO INCLINTO Corpo eteo riconducibile UNTO TERILE CONDIZIONE R 0 Un corpo di m m è poto u un pino inclinto di un ngolo ripetto l pino orizzontle. Il corpo è oggetto l peo =mg ed è preente l rezione N del pino di ppoggio che può eere olmente perpendicolre l pino di ppoggio. N I due vettori non poono fri equilibrio. Conviene introdurre un item di riferimento con un e prllelo l pino inclinto e l ltro e perpendicolre. E i coniderno le componenti di econdo quete due direzioni. UD Equilibrio corpo rigido g.

13 Le componenti ono: = en = co Introducendo il item di riferimento XY i h l eguente ituzione. Il vettore non deve eere coniderto perché lo ono le ue componenti x e y N x y L equilibrio lungo l direzione y permette di ricvre che N= y l componente x non è equilibrt, pertnto l m m civol vero per il bo cu di x. er equilibrre x i deve llor pplicre un forz dirett come in figur,.un corpo di m m è poto u un pino inclinto di un ngolo ripetto l pino orizzontle UD Equilibrio corpo rigido g. 3

14 N x y ertnto = x L zione volt dll forz può eere eplict nche dll ttrito. Si h l eguente ituzione (come l olito viene indicto m non deve eere coniderto perché ono preenti le ue componenti x e y ). Schem di corpo libero N x y Le equzioni di equilibrio ono N y x 0 N y 0 mg co mg in Occorre verificre or e l forz di ttrito ripett l condizione che i minore dell forz di ttrito ttico mim x, mx cioè UD Equilibrio corpo rigido g. 4 x N mg in mg co in co y

15 Eempio numerico m=0 kg =98 N =36 =0,80 L condizione mx 57,6 0,80 79,3 63,44 Il corpo rimne in equilibrio. N 98 co 36 79,3 N 98 in 36 57,6 N N, port VERIICT Co corpo eteo che può ruotre R 0 Condizione 0 Su un e di legno di m m= ono poti gli oggetti m =4 kg, =36 e 3 =40 nelle poizioni indicte in figur. Clcolre le forze eercitte dgli ppoggi e. m m m m m m m m m m 3 In queto co biogn coniderre nche l rotzione del corpo e non è poibile utilizzre il punto mterile e biogn coniderre il corpo eteo er il clcolo dei momenti occorre cegliere il punto ripetto l qule clcolre i brcci delle forze. Qundo i f l ricerc dell equilibrio ll rotzione quet celt è rbitrri. In queto co il punto O è poto in corripondenz di un delle due forze incognite(*). O divent l origine del item di riferimento indicto in figur. Schem di corpo libero m m m m m m m m m m O 3 e UD Equilibrio corpo rigido g. 5

16 er fcilitre il clcolo dei momenti i può cotruire l eguente tbell. Il egno del momento è tbilito in be come l orz gir intorno l Centro di rotzione. Convenzionlmente in fiic e mtemtic i intendono OSITIVE le rotzioni NTIORRIE pur potendo umere l convenzione oppot Si hnno llor i eguenti momenti: orz rccio Rotzione omento 0 0 4g 4g 4 48g e g 36g 5 80g g 8 30g Le equzioni di equilibrio ono pertnto R 0 g 4g 36g 40g g 48g 80g 6 30g 0 che cotituice in item di equzioni nell u verione più emplice d riolvere, inftti dll econd equzione i ricv: 57g ,6 934, 7N Sotituendo il vlore trovto per nell prim equzione i h: 934,7 g 0 63, 33N (*) cegliendo per O un punto qulii i clcoli i complicno un po. Inftti nell econd equzione dell equilibrio dei omenti compre nche l incognit e l rioluzione del item divent più impegntiv Co rticolre: Equilibrio ll ol rotzione CONDIZIONE 0 L LTLEN. I due figli ripettivmente di m =4 kg e =36 kg ono eduti nell prte initr dell ltlen lle ditnze indicte in figur. che ditnz X i deve edere l mmm di m 3 = 64 kg per mntenere in equilibrio l ltlen? UD Equilibrio corpo rigido g. 6

17 00 cm 50 cm X 3 Schem di corpo libero 00 cm 50 cm X 3 O L equzione ll equilibrio verticle in queto co non ci dà l ripot deidert: inftti poimo crivere g 36g 64g 4g 5, N non ci fornice l ditnz cui i deve mettere l mmm per l equilibrio V pplict l SOL EQUZIONE di equilibrio dei momenti Senz moltiplicre le me per g i h: 4g 3,50 36g,50 64gX d cui 74 74g 64gX 74 64X X X,7 m 64 UN ESERCIZIO DIICILE: L SCL OGGIT LL RETE R 0 Co corpo eteo che può ruotre Condizione 0 Si h un cl del tipo pioli ppoggit i ul pvimento in che ull prete in UD Equilibrio corpo rigido g. 7

18 Le forze genti ono il eo dell cl e le rezioni del pvimento e dell prete che gicono ERENDICOLRENTE ll uperficie. Si h llor quet ituzione R G R Il eo dell cl è pplicto nel bricentro G dell cl che coincide con il punto medio dell cl. Dll equilibrio trlzionle R 0 i h che R R 0 l coppi di forze e R produce un momento divero d zero. Quindi NON è oddiftt l econd equzione 0 L coneguenz è che l cl civol, il piede dell cl (punto ) i pot vero detr, l tet dell cl, il punto, i pot vero il bo t=0 t=i t=f er impedire lo civolmento dell cl entr in gioco l ttrito. L forz di ttrito è dirett prllelmente lle uperficie con VERSO oppoto l movimento che l cl frebbe in enz di ttrito. UD Equilibrio corpo rigido g. 8

19 Lo chem delle forze è il eguente. R G R Il problem però coì non è ll portt di uno tudente licele perchè NON E RISOLUILE in modo elementre (vedi not) llor SI TRSCUR l ttrito prodotto ull prete ovvero =0 L ituzione d coniderre è l eguente: R h G R TTENZIONE L forz di ttrito non è ugule R : queto è olo il uo vlore mimo. Or è poibile crivere le equzioni di equilibrio in direzione X ed Y. Rx 0 R 0 R 0 R 0 y er l equilibrio ll rotzione i deve cegliere innnzitutto il punto ripetto l qule clcolre i momenti. L celt del punto è rbitrri m quell più conveniente è quell UD Equilibrio corpo rigido g. 9

20 del punto. orz rccio Rotzione omento R R h h R L equzione di equilibrio è Quindi i h il item con TRE equzioni e TRE incognite R R e 0 R h 0 R 0 R 0 Rh 0 Il item tuttvi è di fcile rioluzione Dll prim i ottiene R Dll terz i ottiene R h Dll econd i ottiene R dove otituendo i h h Occorre verificre or e l forz di ttrito ripett l condizione che i minore dell forz di ttrito ttico mim, mx È N R UD Equilibrio corpo rigido g. 0 h Eempio numerico m=0 kg =98 N = m h=3 m =0,40 R 98 N R 6,33 N 6,33 N L condizione mx L cl rimne in equilibrio. N R, port 98 0,4 98 3,33 39, 3 VERIICT

21 Se invece bbimo m=0 kg =98 N = m h=3 m =0,40 L condizione R 98 N R 47 N 47 N, mx N R port , , NON VERIICT L ttrito non è ufficiente mntenere l cl in equilibrio. *NOT Se i conider nche l ttrito dell prete ci rebbero 4 incognite con olo 3 equzioni. temticmente il item è indeterminto cioè non h un unic olzione. Occorre trovre un ltr equzione m con nozioni non d licele. SIETE REGTI DI SEGNLRI GLI ERRORI. GRZIE! UD Equilibrio corpo rigido g.