DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE"

Transcript

1 Autore: Classe: Mario Maran TEZA ELETTRONICA (ET) Anno scolastico: /4 Scuola: Itis Euganeo DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Dispensa Scopo di queste dispense è introdurti alla soluzione di disequazioni goniometriche Per disequazioni goniometrica intendiamo disequazioni nelle quali figurino, funzioni goniometriche il cui argomento contiene l incognita Le tipologie di disequazioni goniometriche che imparerai a risolvere sono limitate, ma sufficienti per gli scopi che ci prefiggiamo per il loro utilizzo

2 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE A cura di Maran Mario Nulla è perfetto e certamente neppure queste note Se leggendole trovassi errori non solo nelle spiegazioni o negli esercizi ma anche di grammatica, fammelo sapere, li correggerò Fammi sapere anche tutte le tue impressioni e cosa dovrebbe o potrebbe essere migliorato Puoi scrivermi al seguente indirizzo ABBREVIAZIONI E LISTA DEI SIMBOLI Dis Disequazione/disequazioni R Insieme dei numeri reali D Dominio Insieme dei numeri interi Unione di insiemi Intersezione di insiemi Congiunzione logica Disgiunzione logica INTRODUZIONE Scopo di queste dispense è introdurti alla soluzione di dis goniometriche Per dis goniometrica intendiamo dis nelle quali figurino, funzioni goniometriche il cui argomento contiene l incognita Le tipologie di dis goniometriche che imparerai a risolvere sono limitate, ma sufficienti per gli scopi che ci prefiggiamo per il loro utilizzo Come esempio, tan tan imparerai a risolvere dis del tipo: cos sin ; > ; log( sin + tan ) > Per poter risolvere altri tipi di tan dis, per esempio; sine sin > / o sin < dovrai pazientare il termine dei tuoi studi di matematica nella scuola superiore e strumenti di Analisi che, se procederai, incontrerai all Università OSSERVAZIONI E importante fare subito una serie di osservazioni che certamente ti aiuteranno Tutte le dis goniometriche che incontrerai sono risolte, in genere, in intervalli limitati della retta reale, per capirci, cose del tipo: ; + 6 o 5, 6, ma ben sai che le funzioni goniometriche sono funzioni periodiche per cui gli intervalli di soluzione sono, o possono essere, infiniti Pertanto saranno intervalli del tipo: ] α + kt; β + kt [ ove αβ R,, k, T è il periodo della soluzione Se quindi risolvendo una dis, non trovassi delle soluzioni del tipo suddetto, ricontrolla attentamente i tuoi calcoli, potresti non aver sbagliato, ma l eventualità di soluzioni non limitate è rara ( Per esemp io: cos( ) > ha tra le sue soluzioni;, che non è un intervallo limitato, così difficili, comunque non le incontrerai nei tuoi studi attuali) La periodicità della soluzione è strettamente legata alla periodicità delle funzioni componeneti, ma è influenzata anche dalla forma della dis A tal proposito ti propongo un esercizio utile: Esercizio Sia F : I Runa funzione periodica di periodo T ( il che vuol dire: F( + kt) = F( ) I con + kt Ie k ) e sia f : I Rdefinita da f ( ) = F( λ) Alloro f è periodica di periodo T T = λ E un esercizio teorico, facile e molto utile In pratica se consideriamo la funzione sin che ha periodo, troviamo che, ad esempio, la funzione sin( ) ha periodo ( λ = ) In pratica la risoluzione di qualunque dis goniometrica, si riconduce alla risoluzione di dis di tipo elementare, sarà il primo argomento successivo a queste osservazioni Tutti i metodi che ti verranno proposti, hanno lo scopo di poter leggere le soluzioni di una dis in termini di soluzioni di dis elementari I metodi di riduzione a dis elementari, sono

3 molteplici e non sempre equivalenti in termini di facilità, sarà il tuo studio e gli esercizi svolti, ad affinare la capacità di capire quale sia il metodo più economico od elegante per risolvere il problema In queste dispense si farà un uso continuo dei grafici delle funzioni goniometriche a te note,per cui se non dovessi ricordarli con precisione, rivedili Rivedi anche la soluzione delle equazioni goniometriche, che saranno indis pensabili Non si useranno metodi risolutivi legati all uso della circonferenza goniometrica nel piano cartesiano, dato che l autore di queste note lo trova un espediente un po farraginoso Esercizio, e che negli Dimostra che il grafico della funzione Sin() nell intervallo [, ] è simmetrico rispetto al punto ( ) intervalli [, ],[, ] è simmetrico rispettivamente, alle rette notevoli dei grafici delle funzioni goniometriche che conosci? = e = Cosa puoi dire per le simmetrie Concludiamo con una nota Supponi di voler risolvere la dis : <, con semplici calcoli troveresti che la soluzione è < < 5 Prova a considerare ora le curve algebriche: y= e y=, disegnale nel piano cartesiano (vedi fig) y fig Avrai certamente notato che l intervallo di soluzione e individuato sull asse, dove il grafico della parabola y=, giace sotto ( < ) al grafico della retta y= Questo metodo risolutivo per le dis, prende il nome di metodo grafico, si tratta dunque di disegnare il grafico di due funzioni, trovare i punti di intersezione e individuare gli intervalli ove il grafico dell una sta sopra o sotto al grafico dell altra a seconda del verso della dis Sarà proprio questo il metodo che utilizzeremo Gli svantaggi del metodo grafico, sono legati alla rappresentazione grafica delle funzioni e dalla determinazione dei punti di intersezione dei grafici, negli ultimi anni della scuola superiore, imparerai dei metodi potenti e sufficienti per la rappresentazione delle funzioni nel piano cartesiano, anche l individuazione dei punti di intersezione troverà una soluzione altrettanto buona, ma non sempre sufficiente Ad ogni buon conto, le difficoltà al momento sono minime, serve solo saper tracciare i grafici delle funzioni goniometriche DISEQUAZIONI ELEMENTARI Come ti ho detto prima, le dis elementari, anche se le più facili, sono le più importanti Il metodo per la loro soluzione sarà quello grafico, che hai visto, in un caso molto semplice, nell introduzione Incominciamo risolvendo la dis : Esercizio svolto n cos < () E molto importante capire dove cerchiamo le soluzioni, della dis precedente Salvo indicazioni diverse, le soluzioni andranno ricercate nel sottoinsieme della retta reale più grande ( rispetto all inclusione) nel quale ha senso valutare le funzioni che compongono la dis Nel corso dei tuoi studi hai già incontrato questo insieme e a seconda dei casi lo hai chiamato Campo di Esistenza (abbreviato CE) o Dominio ( indicato generalmente con D ) Noi parleremo in modo prevalente di dominio, anche se, comunque lo si voglia chiamare, dev essere ben chiaro cosa rappresenta e ricordarsi di individuarlo sempre nel risolvere una qualunque dis

4 Nel nostro caso il dominio D =R, cioè tutto l asse reale, visto che la funzione g( ) cos( ) R Inoltre sappiamo che il suo periodo è = e ovunque definita in Tracciamo ora in un sistema di assi cartesiani il grafico della funzione g( ) = cos( ) e il grafico della funzione f ( ) =, in un intervallo di periodicità, che per esempio può essere l intervallo [, ]( Vedi fig ) fig Non è importante quale intervallo di periodicità tu scelga, non cambia nulla per ciò che concerne la soluzione dell esercizio, salvo il modo di scrivere gli intervalli nei quali la dis è verificata E una tua scelta, che può essere anche dettata da un puro capriccio estetico Guardando alla dis () avrai visto che ricerchiamo ove il cos( ) è minore di grafico del coseno giace sotto il grafico della funzione f ( ) = Quindi la soluzione è { k k, k }, cioè dove, guardando la fig, il R + < < + Analizziamo meglio la soluzione, avrai notato il +, questo termine serve a riportare l intervallo < < su tutta la retta reale, con periodicità, che come ricorderai è la periodicità della funzione g( ) = cos( ) Se riportassi solamente < <, si perderebbero tutte le soluzioni in R che non vivono in [, ], inoltre il termine k non è legato a dove si rappresenta la funzione cos( ) (noi abbiamo scelto [, ]), ma dalla stessa funzione goniometrica con cui si sta lavorando Se non è molto chiaro non preoccuparti, ci torneremo sopra più avanti Manca la determinazione di e Non è difficile vedere che sono le 4 soluzioni dell equazione cos =, che dovresti essere in grado di saper risolvere, comunque = e = In conclusione, ricordando che il dominio della () è D =R, le soluzioni della dis () sono: 4 { }, S = R + k < < + k k Proviamo ora a risolvere lo stesso esercizio ma considerando come intervallo di rappresentazione l intervallo [, ] che ha lunghezza come il precedente Come sopra, tracciamo il grafico della funzione g( ) = cos( ) e in questo intervallo (vedi fig ) +, f ( ) =

5 5 - fig Come sopra individuiamo dove il grafico della funzione coseno giace sotto il grafico della funzione f ( ) = soluzioni sono S = R + k < + k et < + k, k ( NB: I valori e sono soluzioni della () ) Ci troviamo di fronte ad un piccolo dilemma La dis è la stessa ma le soluzioni sono diverse Cerchiamo di capire dove si nasconde l inghippo Prima di tutto scriviamo le soluzioni in un modo più snello, cioè, invece di utilizzare la notazione insiemistica intrinseca, usiamo una notazione che già conosci ed allo stesso modo precisa D ora in poi k indicherà sempre un numero intero Le soluzioni che abbiamo trovato con la rappresentazione in [, ], le indicheremo con : 4 + k, + k allo stesso modo, le soluzioni per la rappresentazione in [, ] + si scriveranno: + k, + k + k, + k Al variare del parametro k, si otterranno tutti gli intervalli di soluzione della dis() Considera nella () k = ek =, si otterranno gli intervalli: cioè, ;, ; +, + ; +, + 4 8, ;, ;, ;, Se hai notato i due intervalli: hanno per unione l intervallo: 4, ;, 4, che è un intervallo di soluzione della dis () nella rappresentazione in [ ] k =,, quando si assuma Morale della favola: le soluzioni sono le stesse salvo che vengono scritte e parametrizzate in modo diverso, quindi sei completamente libero di scegliere l intervallo di studio che più ti piace, nulla cambia per le soluzioni Cosa accade agli 8 intervalli, e,? La risposta è semplice, faranno parte della soluzione in rappresentazione [ ],, per certi valori di k Porta particolare attenzione a non considerare intervalli di studio più piccoli della lunghezza del periodo della funzione con cui stai lavorando, perché in caso contrario rischieresti di perdere delle soluzioni () () Le, 4

6 Per la funzione f ( ) = sin( ) la cosa è la stessa, cambia semplicemente il grafico con cui lavori Il prossimo esercizio sarà ancora una dis elementare, ma con una piccola difficoltà in più Esercizio svolto n sin (,) Iniziamo come sempre determinando il dominio In questo caso visto che la funzione seno esiste qualunque sia il suo valore angolare, ne deduciamo che il dominio è: D =R L argomento del seno, come hai visto è, per ottenere una forma più snella poniamo z = ottenendo per la dis (,): sin z Abbiamo ottenuto una dis elementare del tutto simile alla prima che abbiamo risolto Visto che il periodo del seno è, disegniamo il grafico delle funzioni f ( z) = sin z e g( z ) =, in un intervallo di lunghezza Questa volta, + Se provi a tracciarli, dovresti trovare una cosa simile a quanto vedi in fig 5 scegliamo l intervallo [ ] y z Fig 5 Visto che cercavamo dove il grafico della funzione f ( z) = sin z giace sopra al grafico della funzione g( z ) =, 5 considerato che l equazione sin z = è risolta in [, + ] per z = e z =, troviamo che le soluzioni sono: S = z R z + k, + k 6 6 L esercizio, però non è concluso, infatti le soluzioni sono scritte in funzione di z e non di, come dal testo della dis Si tratta di lavorare ancora un po Come si può fare per determinare le soluzioni in? Ricordi l esercizio proposto nell introduzione a queste note? La funzione f ( ) = sinha periodo T = =, ci aspettiamo, quindi che la 5 periodicità delle soluzioni sia e non Inoltre se z = ez= risolvono l equazione sin( z ) =, è facile capire che le soluzioni dell equazione sin = in [, + ] si hanno per = e = Insomma le soluzioni in sono date da : 5 S = z R z + k, + k 6 6 Resta da verificare la compatibilità con il dominio D ma dato che D =R, non si hanno problemi di sorta, l insieme delle soluzioni è proprio S Come hai visto, risolvere una dis elementare, non è poi così difficile Forse l ultima parte del secondo esercizio, potrebbe essere un po più delicata, la preciseremo meglio nel prossimo esercizio svolto nel quale analizzeremo meglio come lavorare con argomenti sempre lineari, ma non semplici Il prossimo esercizio è abbastanza complicato non per le idee della soluzione, ma per i calcoli Leggilo con attenzione, e cerca di capire non tanto le procedure, quanto più le motivazioni ai vari passaggi, sono queste motivazioni che ti aiuteranno a risolvere senza problemi tutte le dis elementari che incontrerai 5

7 Esercizio risolto n Risolvere la dis : tan < 5 Per ciò che concerne il dominio, sappiamo che la tangente esiste solo quando il suo argomento è diverso da + k e dunque si dovrà porre : da cui: e infine: + k k + k Il dominio vale è: D { k, k } La funzione f ( ) = tan 5 La dis si riscrive come: = R + non è facile da disegnare, però prova a porre; z : = 5 tan( z ) < () e questa è sicuramente alla tua portata ( ad essere sinceri anche nella forma () non avresti trovato grandi difficoltà, ma sicuramente la (,) è più semplice) Traccia ora il grafico della funzione f ( z) = tan( z) e gz () =, dovresti trovare una cosa simile a quanto puoi vedere in fig 4 () y z Le soluzioni sono individuate sull asse z ove il grafico della tangente giace sotto il grafico della retta y =, cioè: z k, + + k + k, + k Queste soluzioni le riscriviamo in un modo diverso ma certamente a te più famigliare, come: + k z < + k + k < z + k fig4 6

8 Che fine ha fatto la variabile? Qualcosa non quadra! Effettivamente la dis proposta doveva essere risolta in e non in z Si tratta di lavorare ancora un po Ti ricorderai che abbiamo posto z : =, possiamo dunque sostituire 5 questa espressione per z, nelle soluzioni trovate precedentemente, ottenendo: + k < + k + k< + k 5 5 La soluzione: + k < + k 5 + k 5 Equivale al seguente sistema di dis: Per le dis componenti valgono i soliti principi di < + k 5 equivalenza delle dis ( li ricordi? Se così non fosse rivedili, sono importanti) Quindi possiamo riscriverlo come segue: + + k 5 (Abbiamo applicato il principio del trasporto, portando al secondo membro) 5 < + + k 5 + k 5 (Abbiamo applicato il secondo principio, moltiplicando ambo i membri per 8 ) < + k 5 + k Alla fine troviamo: 4 < + k 5 Tornando a scrivere le soluzioni in forma compatta si ha: 4 + k < + k 5 Facendo la stessa cosa per l altra soluzione troveresti: 9 + k< + k, 5 Alla fine di tutto: k < + k + k < + k 5 5 Sono queste le soluzioni cercate? La risposta è negativa Dobbiamo verificare quali di queste appartengono al dominio che avevamo determinato inizialmente e che era: D { k, k } = R + Notiamo che gli intervalli determinati e il dominio, sono scritti con periodi uguali T =, dunque per capire quali dei valori degli intervalli determinati, dovranno essere eliminati, sarà sufficiente vedere cosa succede all interno di un periodo, ad esempio:, Si tratta di risolvere un sistema, o se preferisci ( è la stessa cosa), fare l intersezione di due insiemi e 4 9 cioè: D R + k < + k + k< + k 5 5 E la solita intersezione di sottoinsiemi di R, dalla fig 5 ricaviamo la soluzione finale del nostro esercizio: 7

9 Fig 5 (La crocetta indica che il valore è escluso) In conclusione abbiamo il nostro insieme delle soluzioni: 4 9 S = R + k < + k + k < + k 5 5 Starai certamente pensando Cribbio quanto lavoro da fare! In realtà la prima parte, quella relativa alle soluzioni in z non è stata difficile Non trovi? Si tratta di disegnare i grafici di due funzioni che conosci bene La seconda parte, cioè la scrittura delle soluzioni in a partire da quelle in z, sembrerebbe più complicata, ma può essere semplificata Parti dalle soluzioni in z: + k z < + k + k < z + k, e scrivi al posto di z il suo valore in : + k < + k + k< + k 5 5 Ora somma a tutti i termini 5, ottieni: facendo i conti: + + k + < + + k + + k < k, k < + k + k < + k Infine, divi tutti i termini per ( il coefficiente della ), o se vuoi moltiplica per ( E lo stesso), trovi: k k k k + 5 < < + 5 Facendo i calcoli: k < + k + k < + k 5 5 A questo punto intersechi con il dominio D ed il gioco è fatto Con un po di esercizio vedrai che in fin dei conti è una baggianata, e fra l altro, sempre la stessa cosa La teoria senza la pratica è sterile Prova a risolvere qualcuno degli esercizi seguenti, servono a te per mettere alla prova le tue conoscenze sino a qui apprese Non serve fare migliaia di esercizi, magari tutti uguali e che ci diranno che si è degli studenti diligenti, ma fare esercizi significativi, nei quali rivedere quanto appreso, fissarlo nella mente e per quanto possibile, approfondirlo Non avere fretta di trovare il risultato (Perché hai tanti compiti, e i tuoi amici ti aspettano per stare in compagnia Piuttosto fai meno esercizi), ma focalizza la tua attenzione sui metodi, cerca di capire dove possono nascere problematicità, cerca di vedere se è possibile ricavare dei metodi o informazioni di correttezza da quanto stai facendo ( di solito è sempre possibile) Ci vuole del tempo, ma è un buon investimento per ciò che imparerai in futuro, ma anche per ora, visto che poi farai meno fatica, dovrai studiare meno e ti divertirai molto di più ESERCIZI: ) sin > ) cos < ) tan < + + k, + k k, + k k, + k 4 4 8

10 4) Determinare il dominio della funzione: f ( ) logsin = ] + k, + k[ 5) cot > 5 + k, + k + k 6 6 6) cos + < 7) Per chi conosce le funzioni goniometriche inverse, utilizzando le tecniche viste sino ad ora, provi a risolvere: arcsin >, 6 8) Provare che arctan + arccot = R Come potresti risolvere la dis: tg arccot <? Esercizio svolto n 4 In questo esercizio vedremo di ripetere alcune idee che hai già visto nella soluzione delle equazioni goniometriche e come è possibile ricondurre una dis goniometrica alla soluzione di dis elementari L esercizio che risolveremo è il seguente: cos+ sin (4,) Il dominio della dis è: D =R L idea fondamentale, che vale la pena di essere sottolineata, è che per risolvere una equazione o dis goniometrica è sempre necessario trasformare l espressione che hai di fronte in modo tale da ottenere funzioni goniometriche dello stesso argomento angolare, per capirci vogliamo funzioni goniometriche tutte calcolate in o in oppure e così via Sucessivamente, cercheremo di esprimere tutte le funzioni presenti in funzione di una sola di esse E per questo motivo che il tuo insegnante ha insistito molto sulle identità goniometriche, appunto perché tu riuscissi a capire come meglio muoverti tra le innumerevoli formule che hai studiato ( somma, differenza, duplicazione, bisezione ecc) Tutto questo con lo scopo di trascrivere l espressione data come polinomio trigonometrico semplice ( per capirci, un polinomio in, che al posto della ha una funzione trigonometrica) Nel nostro caso potremmo ad esempio utilizzare le formule di bisezione per trasformare il sin in qualcosa che ha per argomento, ma se ben ricordi le formule di bisezione hanno le radici quadrate e in più dipendono dal quadrante nel quale stai lavorando Non conoscendo dove vive la variabile, anzi dovendola determinare, questa strada non è vantaggiosa ( Le formule di bisezione ha senso utilizzarle quando la funzione goniometrica in esame è elevata ad una potenza pari) Però conosci anche le formule di duplicazione, e se le applichi in questo caso nella forma cos = sin troverai per la (4,): sin + sin (4,) che ha proprio la forma di un polinomio trigonometrico semplice Ora cambiamo di segno, ottenendo: sin sin (4,) e poniamo t = sin la (4) si riscrive come: t t una dis razionale di secondo grado che sai risolvere agilmente, se lo fai, dovresti trovare: t t Ma t = sin e dunque: sin sin Quindi la soluzione della nostra dis è l unione delle soluzioni di due dis elementari, che a questo punto dovresti essere in grado di risolvere La dis sin è risolta per : 7 R + k + k 6 6 9

11 cioè: Mentre la terza: 7 + k, + k 6 6 sin essendo la funzione seno limitata all intervallo [,], è risolta solo dai valori: = + k Facendo l unione delle due soluzioni, e ricordando che il dominio della dis era tutto l asse reale, in conclusione troviamo: 7 k k R + + = + k 6 6 o in forma compatta: 7 k, k + + = + k 6 6 Esercizio svolto n 5 L esercizio che vogliamo risolvere è il seguente: sin cos sin + cos > + (5) + cos sin + cos sin ( ) + cos Il dominio è individuato dalle seguenti condizioni: che equivale a sin Alla fine: cos + k Dunque sin k D = { R k} L idea per la soluzione è quella di ricondursi a qualcosa di simile ad una dis razionale fratta Iniziamo perciò portando, come si dice, tutto a primo membro: a questo punto sommiamo i tre termini: semplificando: sin cos sin + cos + >, + cos sin + cos sin ( ) ( ) ( ) sin ( + cos ) sin sin + cos cos + cos + sin + cos >, sin sin cos cos > (5) sin cos ( + ) L espressione ottenuta e una frazione in cui i termini che la compongono sono costituiti da polinomi trigonometrici, come vedi cerchiamo i valori di per i quali la frazione risulta positiva cioè il suo segno Lo studio del segno è cosa che sai già fare, ma nel caso delle dis goniometriche ci sono delle considerazioni importanti da fare e a cui stare molto attenti A questo punto studieresti il segno del numeratore e denominatore, però così facendo il lavoro si farebbe lungo e quando le cose,in matematica si fanno lunghe, sono pericolose, nel senso che è più facile sbagliare Notiamo che il segno della (5) dipende da tutti i fattori che compongono la frazione, dunque studiando il segno di ogni singolo fattore e successivamente facendo il prodotto dei segni, otterremo il risultato desiderato, con un po meno fatica Studiamo singolarmente le espressioni seguenti: ) sin sincos cos > ) sin > ) + cos > Risolviamo la prima, cioè: sin sin cos cos > (5) Un equazione del tipo precedente ha un nome particolare, viene generalmente indicata come dis omogenea, derivando il suo nome dal fatto che i termini del polinomio trigonometrico hanno tutti lo stesso grado

12 Hai già incontrato cose simili quando hai studiato le equazioni goniometriche, e se ricordi per poterle risolvere, dividevi ambo i membri per cos, trasformando l equazione goniometrica in una equazione polinomiale di secondo grado L idea in questo caso è la stessa, ma con qualche avvertenza in più Ti ho già chiesto di ripetere i principi di equivalenza per le dis Se lo hai fatto, ricorderai che è possibile dividere ambo i membri di una stessa dis per una quantità numerica o algebrica (trascendente), a patto che ciò per cui si divide sia non nullo è di segno costante, nel qual caso se positivo il verso rimane lo stesso, in caso contrario dev essere invertito Bene, nel nostro caso cos risulta nullo per = + k e sai già come comportarti, cioè, verifichi se tali valori sono oppure no soluzioni della (5), nel caso lo siano, al termine dell esercizio unirai tali valori alle soluzioni trovate Nel caso contrario non devi fare null altro Inoltre essendo cos Rpossiamo dividere senza problemi ambo i membri della dos senza ulteriori indugi Nota che la dis (5) ha grado due Quanto appena detto funziona allo stesso modo se il grado e pari(deg = n), si dividerà solamente per una potenza pari di cos ( cos n ), ma se il grado e dispari ( deg = n+ ) quanto detto non funziona altrettanto bene, visto che la funzione f ( ) cos n + = non è sempre positiva per qualunque valore reale e dunque o si dovranno studiare due casi, e successivamente unire le soluzioni trovate, oppure cercare altre strade E facile vedere che la (5) è verificata per = + k, pertanto ti dovrai ricordare nel proseguo dello svolgimento di queste soluzioni Supponiamo allora che + k e dividiamo ambo i membri della (5) per cos, otteniamo: sin sin cos cos > cos cos cos da cui : tan tan > (54) Al solito poniamo t = tan : t t > (55) che risolta fornisce: t < t > + Ricordando che era t = tan, troviamo le soluzioni della (54): k, k k, + + k Nota che abbiamo scelto l intervallo, Sapevamo che = + k, erano soluzioni della (6), e dunque dobbiamo unirle a quelle appena determinate, ottenendo le soluzioni complete per la (5): k, k k, + + k Passiamo ora alla soluzione della seconda: sin > (56), sono: una dis molto semplice non trovi? Le sue soluzioni parametrizzate in [ ] ] k, k[ + + (57) Ti ho fatto un piccolo scherzo! Te ne sei accorto? Ti dirò più avanti cosa ho fatto e perché La terza dis è: + cos > (58) che equivale a : cos > ed è risolta per : R tali che + k, (59) dato che la funzione coseno assume valori nell intervallo [,], ma è necessario escludere - dato che la disuguaglianza è stretta A questo punto siamo pronti per lo studio dei segni Lo scherzo che ti ho giocato è stato quello di studiare le soluzioni della (5) nell intervallo, e la (56) nell intervallo [, ], più che uno scherzo è stata una necessità La

13 periodicità delle soluzioni della (5) è, mentre le soluzioni della (56) è Per la (5) ho scelto come intervallo di periodicità, La mia intenzione era quella di mettere in risalto una cosa molto importante, che riguarda il prodotto dei segni Intanto, avrei potuto scegliere [, ], non sarebbe cambiato nulla per le soluzioni, solo la loro scrittura quando si esegue il prodotto dei segni per una dis goniometrica è necessario individuare il più grande intervallo nel quale è necessario scrivere le soluzioni In questo caso è l intervallo [, ], altre volte la scelta non è così semplice Se ad esempio la periodicità delle soluzioni fosse stata e, avremmo dovuto scegliere un intervallo di lunghezza che è la lunghezza minima di un intervallo che contiene intervalli di lunghezza e un numero intero di volte Se così non facessimo rischieremmo di perdere delle soluzioni Come altro esempio, se le periodicità fossero state e, avre mmo dovuto scegliere un intervallo di lunghezza 4 Cosa accadrebbe se i periodi fossero stati e? ( Situazione alquanto difficile ed imbarazzante!) Stabilito l intervallo di studio, si tratta ora di scrivere le soluzioni delle varie dis nell intervallo considerato, sfruttando la periodicità Per la prima dis troviamo che le soluzioni in [, ] sono: 7 5,,,, per le altre non abbiamo problemi Siamo pronti per il prodotto dei segni Ricordati di studiare il segno solo all interno dell intervallo [, ] e non oltre, altrimenti rischi di introdurre soluzioni che non ci sono! Prima disequazione Seconda disequazione Terza disequazione Guardando la (5), vediamo che sono soluzioni gli intervalli nei quali è presente il segno +, pertanto abbiamo: k, + k k, k k, k (5) Resta da eseguire l intersezione con il dominio D = { R k} E facile comunque vedere che non si devono apportare modifiche alle (68), che dunque sono anche le soluzioni cercate per il nostro esercizio Esercizio svolto n 6 L esercizio che risolveremo adesso è il seguente: sin < + sin (6) Dovresti ricordare come si risolvono, almeno da un punto di vista algebrico, esercizi di questo tipo ( Disequazioni irrazionali ) Avevi lavorato sempre con polinomi, ma la tecnica che hai visto si applica in modo del tutto analogo alle dis goniometriche La tecnica risolutiva per la (6), è costruita in modo tale che la ricerca delle soluzioni avvenga direttamente nel dominio, pertanto in questo caso non è necessaria la sua determinazione Se ricordi, la soluzione della (6) e riportata alla soluzione del seguente sistema: Fig 6

14 che diventa: 4sin + sin < + ( 4sin ) ( sin ) 4sin sin sin > La terza equazione del sistema è più restrittiva della seconda, per cui, il sistema precedente, può essere sostituito con il seguente: Posto t = sin otteniamo: che fornisce: Eseguendo l intersezione si trova: ma t = sin e dunque la (6) è risolta ove: sin 4sin t 4t t t t > t sin le cui soluzioni sono: + k, + k Nella soluzione delle dis goniometriche, in un modo o in un altro, ci si riconduce sempre alla soluzione di dis note almeno da un punto di vista algebrico Ma quando la riduzione non è possibile facilmente o non si sa che pesci pigliare, cosa fare? Una soluzione sempre applicabile, visto che tutte le espressioni goniometriche si possono sempre ricondurre ad espressioni che contengono solo seno e coseno ( addirittura una sola delle due ) è quella di utilizzare le formule parametriche per seno e coseno tan tan sin =, cos= + k + tan + tan Vediamo la loro applicazione nel seguente esercizio svolto Esercizio svolto n 7 Si voglia risolvere: sin cos cos < sin cos (7) Il dominio della dis (7) è tutto l asse reale D =R La (7), potrebbe essere risolta facilmente con una fattorizzazione (riesci a vedere quale?), comunque in queste note la risolveremo utilizzando le espressioni razionali di seno e coseno, come preannunciato Notiamo che = + ksono soluzioni della (7), pertanto supposto + k, possiamo sostituire a seno e coseno le loro espressioni razionali ottenendo:

15 dopo facili calcoli, posto t = tan, si trova: tan tan tan tan tan < + tan + tan + tan + tan + tan visto che si può semplificare per che risolta fornisce: cioè: 4 t 6t t t ( Perché? ), si ha: + >, t 6t + >, t <, t > + tan <, tan > + le cui soluzioni in sono: in : 5 7 k, k k, k k, + k + k, + k 6 6 Ricordando che = + ksono soluzioni della (7) e che il dominio era tutto l asse reale, si hanno le soluzioni finali: k, + k 6 6 La tecnica appena vista è molto potente, ma gli svantaggi sono spesso insuperabili Nella sostituzione si arriva a polinomi che facilmente hanno gradi molto alti, e la soluzione della dis è vincolata alla fattorizzazione del polinomio ottenuto, cosa non sempre facile ESERCIZI: ) cos sin ] + k,+ k [ ) 5 cos + cos > + k, + k + k,( k+ ) ) cos cos cos+ > + k, + k 4 4 4) sin cos< sin + k, + k 4 5) sin + > k, k cos + + 6) sin+ cos > 7) 8) cos sin< sin + sin 9) ( ) ) > + tan > tan cos > cos + k, + k + k, + k k, + k k, k

16 Titolo: Autore: Classe: Disequazioni goniometriche Mario Maran TERZA ELETTRONICA (ET) Anno scolastico: /4 Scuola: Note legali: Itis Euganeo Via Borgofuro, 6 Via Borgofuro 6-54 Este (PD) - Italy Telefono Fa Diffusione consentita con obbligo di citarne le fonti

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

Formule trigonometriche

Formule trigonometriche Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO 9 PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO Il capitolo che sta per iniziare presenta alcuni argomenti dall aspetto un po arido. Tuttavia, nelle facoltà

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem)

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope

Dettagli

POLITECNICO DI BARI REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE

POLITECNICO DI BARI REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE POLITECNICO DI BARI REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE IMMATRICOLAZIONI AL PRIMO ANNO DEI CORSI DI LAUREA TRIENNA- LI IN INGEGNERIA DEL POLITECNICO DI BARI - A.A. 2015/2016 Sommario REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE...

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Analisi Matematica I Fabio Fagnani, Gabriele Grillo Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Queste dispense contengono il materiale delle lezioni del corso di Analisi Matematica I rivolto agli

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere

Dettagli

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche

Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0229408552

Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0229408552 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0940855 La funzione: y = cos x DEFINIZIONE Si dice funzione coseno di un angolo nel cerchio trigonometrico, la

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Appunti e generalità sulle funzioni reali di variabili reali.

Appunti e generalità sulle funzioni reali di variabili reali. Appunti e generalità sulle funzioni reali di variabili reali. Premessa Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire solamente i concetti

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

B9. Equazioni di grado superiore al secondo

B9. Equazioni di grado superiore al secondo B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

IL TUO CORPO NON E STUPIDO! Nonostante se ne parli ancora oggi, il concetto di postura corretta e dello stare dritti è ormai superato.!!

IL TUO CORPO NON E STUPIDO! Nonostante se ne parli ancora oggi, il concetto di postura corretta e dello stare dritti è ormai superato.!! IL TUO CORPO NON E STUPIDO Avrai sicuramente sentito parlare di postura corretta e magari spesso ti sei sentito dire di stare più dritto con la schiena o di non tenere le spalle chiuse. Nonostante se ne

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri?

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? I numeri Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? Come ti sarai reso conto, i numeri occupano un ruolo importante nella tua vita: dai numeri che esprimono il prezzo degli oggetti venduti in un

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio. Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 http://www.dmmm.uniroma.it/~fabio.camilli/ (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof.

Dettagli

NUMERI COMPLESSI. Esercizi svolti., e) i 34, f) i 7. 10 i

NUMERI COMPLESSI. Esercizi svolti., e) i 34, f) i 7. 10 i NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti 1. Calcolare le seguenti potenze di i: a) i, b) i, c) i 4, d) 1 i, e) i 4, f) i 7. Semplificare le seguenti espressioni: a) ( i) i(1 ( 1 i), b) ( + i)( i) 5 + 1 ) 10 i,

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Considerazioni preliminari sul dominio

Considerazioni preliminari sul dominio L'argomento di cui ci occupiamo in questa lezione è un must nello studio dell'analisi Matematica: vogliamo proporre una guida completa sul dominio di funzioni reali di variabile reale, e mostrare quali

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it 3 4 5 Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it Qualche osservazione preliminare sul Teorema di Pitagora e le terne

Dettagli

SETTE MOSSE PER LIBERARSI DALL ANSIA

SETTE MOSSE PER LIBERARSI DALL ANSIA LIBRO IN ASSAGGIO SETTE MOSSE PER LIBERARSI DALL ANSIA DI ROBERT L. LEAHY INTRODUZIONE Le sette regole delle persone molto inquiete Arrovellarvi in continuazione, pensando e ripensando al peggio, è la

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO VALORE AOLUTO EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Esercizi DIEQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Esercizi Prof. Giulia Cagnetta ITI Marconi Domodossola (VB) *EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Data una qualsiasi espressione

Dettagli

Esercitazioni di Excel

Esercitazioni di Excel Esercitazioni di Excel A cura dei proff. A. Khaleghi ed A. Piergiovanni. Queste esercitazioni hanno lo scopo di permettere agli studenti di familiarizzare con alcuni comandi specifici di Excel, che sono

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento.

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. 1 IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. Quando un corpo è in movimento? Osservando la figura precedente appare chiaro che ELISA è ferma rispetto a DAVIDE, che è insieme a lei sul treno; mentre

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0) Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 L insieme N dei numeri naturali 4 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli