potenze.notebook February 15, 2014

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1 Come vedremo risultano fondamentali in tanti ambiti: in economia, in ogni fenomeno naturale che prevede lo studio di una intensità (suoni, terremoti...), nella datazione di reperti archeologici, nei modelli di crescita. Partiamo con un ripasso: Siano a e n numeri naturali diversi da zero. Si definisce potenza di base a ed esponente n il prodotto di tanti fattori tutti uguali ad a, quanti ne indica l'esponente. Siano a e n numeri interi diversi da zero. Se la base è un numero negativo, la potenza si definisce in modo analogo alla precedente. Se l'esponente è negativo, la potenza è il prodotto di tanti fattori, quanti ne indica l'esponente considerato con il segno positivo, tutti uguali al reciproco della base:

2 Siano a e n numeri razionali diversi da zero. Significa che a e n possono scriversi come frazioni. Si pone: Se n è pari, il radicando deve essere positivo. Siano a e n numeri reali diversi da zero. Che significato ha la potenza n essima di a? E' necessario ricordare la definizione di numero reale: Un numero reale è l'elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali. Due classi (o insiemi) A e B non vuote di numeri reali si dicono contigue se sono separate, cioè ogni elemento della classe A è minore di ogni elemento della classe B; godono della proprietà dell avvicinamento indefinito: scelto ad arbitrio un numero positivo ε piccolo a piacere, esiste sempre un elemento della seconda classe e uno della prima la cui differenza sia inferiore ad ε.

3 Ad esempio l'insieme dei numeri minori di 2 e l'insieme dei numeri maggiori di 2 costituiscono due classi contigue, mentre l'insieme dei numeri minori di 3 e l'insieme dei numeri maggiori di 4 non lo sono. Nonostante la prima condizione sia verificata per entrambi gli esempi, cioè sia i primi due insiemi che i secondi due sono esempi di classi separate, tuttavia scelto ad esempio ε=0.01, nel primo caso troviamo due numeri la cui differenza sia minore di 0.01, ne secondo caso non è possibile, perché la differenza tra un numero più grande di 4 e uno più piccolo di tre è sempre maggiore di 1, non può essere più piccola di 0.01.

4 Cerchiamo ad esempio di ricostruire due classi contigue che definiscono Poiché 2 è compreso tra 1 e 4, è compreso tra 1 e 2. Dividiamo l'intervallo 1 e 2 in dieci parti uguali: 1,1 1,2 1,3... 1,9. Di ognuno di questi numeri calcoliamo il quadrato: 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25... Poiché 2 è compreso tra 1,96 e 2,25, avremo che radice di 2 è compreso tra la radice di 1,96 e la radice di 2,25:

5 Cerchiamo ad esempio di ricostruire due classi contigue che definiscono Ora dividiamo l'intervallo 1,4 1,5 in dieci parti uguali: 1,41 1,42 1, ,49 e di questi numeri calcoliamo il quadrato: 1,9881 2, Poiché 2 è compreso tra 1,9881 e 2,0164, radice di 2 sarà compreso tra la radice di 1,9881 e la radice di 2,0164: Procedendo in questo modo troviamo due successioni: 1 1,4 1,41... e 2 1,5 1,42... che approssimano rispettivamente per difetto e per eccesso radice di 2 e che costituiscono due classi contingue di numeri razionali di cui radice di due è l'elemento separatore. Siamo pronti per definire la potenza a esponente reale di un numero reale: basta considerare le successioni di numeri che hanno come esponente gli elementi delle classi contigue che definiscono l'esponente:

6 sono alcuni termini della successione che si avvicina ad a elevato alla radice di 2 da sinistra e in modo analogo si determinano gli elementi più grandi di a elevato alla radice di 2.

7 Proprietà delle potenze: assumiamo a e b diversi da zero: non ha significato con x numero reale non ha significato se a è negativo Da ora in poi considereremo solo potenze in cui assumiamo che la base a sia maggiore di zero e diversa da 1.

8 Se abbiamo una equazione di questo tipo riusciamo facilmente a risolverla perché 8 è 2 elevato alla terza Ma se invece abbiamo dobbiamo aspettare qualche lezione prima di poterla risolvere. Invece se al membro destro e al membro sinistro abbiamo potenze di una stessa base, riusciamo a trovare subito la soluzione dell'equazione. ESEMPIO

9 ESERCIZI

10 RISOLTO DA TUTTI...