Meccanica della frattura coesiva: legami costitutivi olonomi e criteri di propagazione

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BRESCIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE Tsi di laura Mccanica dlla frattura cosiva: lgami costitutivi olonomi critri di roagazion Rlator: Dott. Ing. Albrto Salvadori Corrlator: Prof. Anglo Carini Laurando: Luca Do ANNO ACCADEMICO

2 Introduzion La Mccanica dlla Frattura è una discilina ch, si sta affrmando in tutti i sttori iù avanzati dll inggnria com mtodologia di rogtto di vrifica struttural. Qusto ramo dll Inggnria sta subndo un notvol sviluo sorattutto in qusti ultimi anni, in cui la roblmatica dl risarmio nrgtico è divntata imortant oggtto di studio confronto da art di tutto il mondo scintifico con la ncssità di ricrcar ralizzar nuovi matriali, siano ssi di matric mtallica, olimrica,cramica o cmntizia. In modo articolar, la Mccanica dlla Frattura ha com obittivo rincial qullo di comrndr il comortamnto mccanico di matriali iù in gnral qullo dgli lmnti strutturali qualora ssi siano soggtti a forz strn di natura qualsiasi. Ogni lmnto struttural, com tutti bn ossiamo immaginar, ossid al suo intrno di diftti dovuti alla natura stssa dl matrial our ad imrfzioni nlla fas di costruzion. Tali cricch o iccol cr nl tmo ossono influir sul comortamnto global di una struttura. Addirittura otrbbro raggiungr dll dimnsioni tali da comromttrn la rsistnza ortar quindi all invitabil crollo struttural. Sorgono quindi sontan l domand: dov rché si uò originar una fssura? Sgundo qual traittoria sotto qual valor di carico ssa roaghrà? Solo studiando attntamnt tali roblmatich si riuscirà a sfruttar al mglio l caacità di matriali vitando inutili srchi, garantndo la sicurzza. Pr otr analizzar simular corrttamnt a livllo macroscoico il rocsso di roagazion di una fssura è ncssario conoscr nl modo iù dttagliato ossibil lo stato nrgtico tnsorial ni rssi di diftti mccanici rsnti. A sconda dlla tiologia comortamnto dl matrial considrato sono stat sviluat divrs tori. Ngli ultimi anni è crsciuto fortmnt l intrss dl comortamnto a frattura di matriali cramici, olimrici our comositi, dovuto al loro smr iù vasto imigo struttural. Matriali com il calcstruzzo, tradizionalmnt vngono considrati com fragili (brittl matrials). In raltà ssi aartngono alla catgoria di matriali quasi fragili (quasi-brittl matrials). Pr via dlla loro natura, comosti di asta aggrgati di form dimnsioni divrs, ssso si gnrano al loro intrno ori o microfssur ch anch r iccoli valori di carico amlificano il valor dllo sforzo al loro aic. Inoltr, anch da un unto di vista torico, la dscrizion dl rocsso di frattura r qusta famiglia di matriali è molto comlssa tutt oggi oggtto di studio. Discorso ch invc non val r matriali fragili, ch fanno intramnt affidamnto alla Mccanica dlla Frattura lastica linar, our r i matriali duttili r la cui dscrizion si rimanda alla toria dlla lasticità. Du sono l tori, diffus ngli ultimi dcnni, ch si sono occuat di matriali con comortamnto quasi-fragil: da un lato qulla dgli smard crack modls, dall altro qulla di discrt cohsiv crack modls.

3 Classificazion di matriali Scondo la toria dll lasticità in corrisondnza dll aic di una fssura si assist ad una singolarità tnsional. Tal soluzion, ch rvd localmnt il raggiungimnto di un valor di sforzo infinito, ha rò oca corrisondnza con la raltà. Ni rssi dl crack ti vi è smr una zona a comortamnto non linar rtanto la singolarità tnsional scomar il conctto di Strss Intnsity Factor, fondamntal nl modllo di SSY nlla LEFM, rd comltamnt significato otr. Ed è rorio il comortamnto non linar in tal zona ch divnta fattor discriminant rmtt di distingur ssnzialmnt du tii di matriali: Strain hardning : aartngono a tal catgoria tutti i matriali ch s dformati oltr il limit di roorzionalità, rsntano ultriori risrv di rsistnza. Vngono chiamati anch matriali incrudnti. In qusti casi, la dissiazion nrgtica avvin rvalntmnt nl volum dl matrial, in una zona lastica a forma di ali di farfalla localizzata intorno all aic dlla fssura. In qusta famiglia rintrano rvalntmnt matriali mtallici. Strain Softning : fanno art invc di qusta famiglia qui matriali ch s dformati oltr il limit di roorzionalità, rsntano una diminuzion dlla rsistnza fino al comlto saurimnto. Tal comortamnto è dtto anch incrudimnto ngativo. In qusti casi, la zona non-linar tnd a localizzarsi in una fascia molto strtta, in lina con la fssura. La dissiazion nrgtica avvin rvalntmnt a livllo dlla surfici dlla frattura. Aartngono a tal catgoria di matriali il calcstruzzo, l rocc, i latrizi, i cramici i comositi fibro-rinforzati. Solitamnt il loro comortamnto nlla zona di rocsso vin simulato mdiant una distribuzion di forz cosiv ditro l strmità di qulla ch vrrà oi dfinita com strmità dlla fssura fittizia. Com già accnnato anch nll introduzion al caitolo tal modllo cosivo è in grado di sigar la transizion tra du situazioni strm di collasso, qulla duttil qulla fragil.

4 Elmnti di Mccanica dlla frattura Cosiva Nlla mccanica dlla frattura cosiva il comortamnto dl matrial è dscritto da una coia di lggi costitutiv: una rlazion fra l grandzz di volum sforzodformazion, ch sia in grado di dscrivr il comortamnto lastico incrudnt dl matrial intgro fino al raggiungimnto dlla tnsion massima (tnsil strnght), comrsa la fas di unloading una rlazion fra l grandzz di surfici tnsion-artura, ch dscriva il comortamnto cosivo softning dl matrial dannggiato, fino al valor di artura critica, oltr il qual si annulla l intrazion tra l facc dlla fssura

5 Scoo dlla Tsi Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva Considrazioni nrgtich rlativ all intrfaccia Analisi di modlli cosivi olonomi Dtrminazion dll Failur Surfac Dtrminazion dl crack ath : Angolo di roagazion Valor di carico oltr il qual la fssura roaga

6 Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva: Formulazion torica dl roblma di intrfaccia

7 Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva Tru crack : è la art di fssura libra da tnsioni. Il coro in tal zona si uò considrar ralmnt fratturato. Tra l du intrfacc non vi è iù alcun tio di intrazion. Cohsiv Zon: è la zona di rocsso. Ni matriali trogni, l intrazion l attrito tra i grani, fnomni di bridging, lo sfilamnto dll fibr, fanno si ch sull du surfici di frattura agiscano dgli sforzi, dtti sforzi cosivi. Ψ Enrgia otnzial rlativa ai rocssi micromccanici ch si attivano all intrfaccia TSL ( Traction Saration La ) La rlazion tra tnsion () artura () costituisc la TSL (Traction Saration La) ch è carattristica di ogni Cohsiv Zon Modls (CZMs). E indisnsabil r * dscrivr il comortamnto di Ω dind fortmnt dal numro dalla tiologia di micromccanismi ch si attivano all aic. Tutt l TSL siano ss linari, olinomiali our sonnziali mostrano una carattristica comun. All intrfaccia di una zona cosiva il valor dlla trazion aumnta con l aumntar dll artura dlla fssura finché non raggiung un valor massimo. Lo sforzo quindi diminuisc, manifstando il comortamnto softning si annulla quando raggiunto il valor critico di artura Dugdal (960) Barnblatt (96) Hillrborg (976) Ndlman (987) Ortiz (999) Ndlman-Xu (994)

8 Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva L ida di adottar un modllo cosivo è nata intorno agli anni 60. I rimi ad introdurr tal conctto furono Dugdal (960) Barnblatt (96). La ncssità, com dtto già in rcdnza, ra qulla di surar la lina di nsiro corrnt, oco ralistica drivant dall soluzioni classich, scondo cui in un qualsiasi matrial all aic dlla fssura vnga raggiunto un valor di sforzo infinito. Divrs sono l iotsi ch i du autori fcro sulla distribuzion dll forz cosiv. Dugdal, nsò ad una distribuzion costant dgli sforzi con un valor ari a qullo di rsistnza dl matrial. Barnblatt, ch si occuò di roblmi di fssurazion ni matriali fragili, fc invc dll iotsi divrs. L stnsion dlla zona cosiva è costant r un assgnato tio di matrial indindnt dalla modalità di carico alicato. Riman comunqu iccola ristto all altr dimnsioni. Gli sforzi in gioco non hanno valor costant ma hanno una bn dfinita configurazion ch è funzion dlla lunghzza di ligamnt, anch ssa indindnt dal carico alicato ma costant r un matrial assgnato. Quando si ha a ch far con situazioni in cui i carichi strni agnti su un lmnto struttural variano scondo un moltilicator di carico ch crsc in snso monotono nl tmo, non è rrato suorr ch crti fnomni anlastici,quali ad smio situazioni di local unloading, abbiano un ruolo scondario nlla risosta struttural comlssiva. In qusti casi si suon ch l intrfaccia cosiva ossa ssr dscritta da modlli olonomi

9 Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva Modllo di Hillrborg Qusto modllo è stato rsntato da Hillrborg nl 976. Fu il rimo ad introdurr l utilizzo di un CZM, mdiant l uso dl FEM, nllo studio dl comortamnto dl calcstruzzo. La rlazion tra tnsion artura è una dll iù smlici. Nl caso di sollcitazion scondo Modo I la TSL è di tio linar monotono dcrscnt. Modllo di Ortiz Ortiz alicò il CZM r studiar il collasso a fatica di albri di trasmission in alluminio. Qusto modllo è molto rcnt risal al 999. c x r r q φ r q r q φ Modllo di Ndlman-Xu (994)

10 ... articolarmnt intrssant ( a mio arr innovativo) si è rivlato lo studio dll failur surfac rlativ ad alcuni discrt cohsiv crack modls olonomi δ δ α δ δ α δ δ δ 4 7 δ δ δ α r r q φ r q r q φ Modllo di Ndlman (987) Modllo di Ndlman-Xu (994) Confronto con i domini di inciint roagazion roosti in lttratura r modlli lasto-lastici ( ) ( ) ( ) 0, s r s f μ (Failur surfac rlativa ai modlli di Carol-Prat Lotfi-Shing) Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva

11 Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva Si è crcato di rarsntar nl iano dll forz cosiv {,} la funzion ch rarsnta il limit oltr il qual l tnsioni all intrfaccia non siano iù soortabili dal matrial; quando l trazioni all intrfaccia raggiungono tal limit, una fssura cosiva è in condizion di inciint roagazion. Gli andamnti ottnuti sono qualitativamnt molto simili a qulli dll failur surfacs roost in lttratura r i modlli lasto-lastici. I risultati ottnuti ossono mritar ultriori arofondimnti fornir una bas di artnza r vntuali futuri lavori, sorattutto r quanto riguarda il dominio di inciint roagazion r la lgg costitutiva in forma olinomial roosta da Ndlman. L andamnto qualitativo è stato ricavato attravrso un aroccio di tio aramtrico, ma articolarmnt intrssant smbrrbb un ultrior analisi rlativa agli andamnti dll curv, ncssaria r ricavar la forma chiusa dll inviluo. Modllo di Ndlman-Xu (994) di Ndlman (987)

12 Dtrminazion dl crack ath Dtrminazion dl crack ath : Angolo di roagazion Valor di carico oltr il qual la fssura roaga analisi di critri amiamnt utilizzati nl camo dlla Mccanica dlla Frattura Elastica Linar (LEFM) : Massima Tnsion Circonfrnzial (MTS) Massima Dformazion Tangnzial (MTSN) Strain Enrgy Dnsity (SED) Maximum Enrgy Rlas Rat (MERR) Pr otr alicar tali critri è ncssario conoscr l comonnti dl tnsor di sforzo nll ara rossima all aic dlla fssura Soluzion classica di Wstrgaard Soluzion classica di Williams x K i θ 3 sn cos cos θ π r y K θ i cos sn π r cos 3 τ xy K i θ 3 cos sn sn π r

13 Dtrminazion dl crack ath

14 Dtrminazion dl crack ath : Ncssità di dfinir lo stato di sforzo nll intorno dl crack-ti Il camo tnsorial sviluabil in sri di Taylor ( Q) ( P) ( P Q) ρ L comonnti di sforzo riscritt in coordinat olari

15 Dtrminazion dl crack ath : Critri Tnsoriali Massima Tnsion Circonfrnzial (MTS) Massima Dformazion Tangnzial (MTSN) (Sih d Erdogan -963-) (Kaunhg Jain Chang -98-) il mtodo è basato sull iotsi ch la fssura si stnda a artir dalla sua strmità, nlla dirzion normal a qulla dlla massima tnsion circonfrnzial scondo tal critrio accorr frattura quando un valor scalar dlla funzion dl tnsor di dformazion ij ε raggiung un valor critico. νρ ε 0 ε 0 E Pr ntrambi i critri l angolo l di roagazion si ottin imonndo la condizion di stazionarità alla grandzza indic dl ricolo (G.I.P.) I risultati ottnuti sono analoghi: τ tan τ arctan Il valor dtrminato coincid rorio con qullo ch orta il sistma di artnza {x,x } al sistma di rifrimnto rincial {x I,x II } Ciò significa ch alicando i critri tnsoriali dl MTS dl MTSN r la dtrminazion dll angolo di roagazion, la traittoria dlla fssura roagata è qulla rarsntata dalla massima dirzion rincial. r quanto riguarda la dtrminazion dl carico critico: Critrio di Galilo-Rankin-Navir Critrio di Saint-Vnant-Grashof

16 Dtrminazion dl crack ath : Critri Enrgtici Strain Enrgy Dnsity (SED) (Sih McDonald -974-)

17 Dtrminazion dl crack ath : Critri Enrgtici Mdiant oortun sostituzioni S uò ssr riscritta in una forma iù comatta, su cui risulta iù smlic lavorar analiticamnt

18 Sono ncssari ultriori rcisazioni sull comonnti dl tnsor di sforzo rlativo all intorno dl crack-ti ( ) ( ) ( ) Q P P Q ρ d f ρ τ ρ ρ ( ) ( ) z y x n z x m a ( ) ( ) ( ) z d y f x n d z x m b 0 ρ b a S 0 ρ b S ( ) ( ) ( ) ρ ρ ρ ν ρ ν P P E tr tr E Conclusioni: non è ossibil ottnr una srssion in forma chiusa dll angolo di roagazion bisogna conoscr il gradint dl tnsor di sforzo Dtrminazion dl crack ath : Critri Enrgtici La dindnza da θ è nascosta all intrno di trmini diffrnziali L angolo di roagazion angolo di roagazion si ottin imonndo la si ottin imonndo la condizion di stazionarit condizion di stazionarità alla alla grandzza indic dl grandzza indic dl ricolo ricolo (G.I.P.) (G.I.P.)

19 Dtrminazion dl crack ath : Critri Enrgtici Maximum Enrgy Rlas Rat (MERR) (Wu -978-) roagazion già avvnuta (s) Enrgia rilasciata durant la roagazion G ( ) * lim s 0 ( Π Π) z s G ( ) 0 * ( ) C G G Mccanica dlla Frattura Elastica Linar:... è ossibil una alicazion immdiata di tal critrio alla Mccanica dlla Frattura Cosiva? Vrosimilmnt la risosta è no rché... Ossrvazioni: - il valor dll Enrgia Rilasciata non uò iù ssr srsso in funzion dll sol grandzz carattrizzanti il crack-ti. - Inoltr com già accnnato l Enrgia Dissiata è comrnsiva di du contributi: aic dlla fssura ( fictitious crack ti ) intrfacc cosiv rsistnti

20 CONCLUSIONI SVILUPPI FUTURI Carattrizzazion dll intrfaccia cosiva : considrazioni di tio nrgtico TSL ( Traction Saration La ) modlli cosivi olonomi Svilui futuri: Failur Surfac modlli lasto-lastici nuov form di TSL (Bilatral Softning Modl, modllo di Tvrgaard-Hutchinson) modlli cosivi ch considrino local unloading (Rtto-Ortiz) Analisi aramtrica di Domini di Inciint Proagazion Dtrminazion dl crack ath : Svilui futuri: Analisi di alcuni di critri di roagazion roosti r la LEFM Analisi dllo stato di sforzo all aic di una fssura cosiva Alicazion di tali Critri al camo dlla Mccanica dlla Frattura Cosiva Quantificar l comonnti rlativ all nrgia dissiata (MERR) Armonizzar l failur surfacs con i critri di rsistnza dlla mccanica di continui Nuovi critri di roagazion Estnsion dll analisi torica dl rocsso di roagazion al caso tridimnsional (considrando vntualmnt anch casi di anisotroia) Imlmntazion di un algoritmo r la roagazion di fssur (rlativa stnsion al caso tridimnsional al camo dlla Mccanica dlla Frattura Cosiva)