UN CRITERIO ELASTO-PLASTICO PER LA VALUTAZIONE DELLE TENSIONI ALL APICE DELL INTAGLIO IN FATICA MULTIASSIALE

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1 CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA DELL INNOVAZIONE DEL PRODOTTO DIPARTIMENTO DI TECNICA E GESTIONE DEI SISTEMI INDUSTRIALI TESI DI LAUREA UN CRITERIO ELASTO-PLASTICO PER LA VALUTAZIONE DELLE TENSIONI ALL APICE DELL INTAGLIO IN FATICA MULTIASSIALE Rlator: Ch.mo Prof. PAOLO LAZZARIN Corrlatori: Ing. FILIPPO BERTO Ing. CHRISTIAN MARANGON Laurando: MARCO GIOVANNI PIERANTONI ANNO ACCADEMICO 0-0

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3 RINGRAZIAMENTI Innanzitutto, vorri srimr la mia gratitudin al Prof. Paolo Lazzarin all Inggnr Filio Brto, r il rzioso aiuto il sostgno fornitomi durant la stsura dlla tsi. Un sincro ringraziamnto va all Inggnr Christian Marangon r l numros or ddicat allo sviluo dlla sgunt tsi; snza la sua azinza, la fiducia dimostrata ni mii confronti i continui incoraggiamnti qusto lavoro non sarbb stato ossibil. Ringrazio tutti i ricrcatori i dottorandi dl laboratorio ch in qusti msi hanno rso mno nsant il lavoro svolto. Ringrazio i mii amici i comagni di univrsità ch hanno condiviso l mi roccuazion hanno allitato anch l giornat iù intns. Ringrazio gli amici dl calctto r l iacvoli srat assat insim. Anch grazi alla vostra comagnia l ultimo riodo è stato mno duro. Ringrazio dì cuor mia sorlla Stfania mio fratllo Michl r ogni momnto assato insim, r l afftto la comrnsion dimostratami in qusti anni. Il mio iù sntito grand ringraziamnto è r mamma aà. Grazi r i vostri sacrifici, r il vostro imrscindibil sostgno afftto, r ssrmi smr stati accanto con discrzion fiducia in qusti lunghi anni di studio.

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5 Ai mii gnitori, a Stfania a Michl.

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7 Indic I Indic Indic I Sommario V. METODI APPROSSIMATI PER IL CALCOLO DELLE TENSIONI REALI ALL APICE DELL INTAGLIO. Rgola di Nubr.. Gnralizzazion dlla rgola di Nubr 5. Mtodo ESED 7.. Gnralizzazion dl mtodo ESED 0.3 Analisi lasto-lastica di un comonnt intagliato soggtto a carico monotono ciclico.3. Rlazion fisica tra rgola di Nubr mtodo ESED 9.4 Mtodo ESED modificato alicato alla fatica multiassial 30. LA TEORIA DELLA PLASTICITA CICLICA 33. Trminologia 33.. Incrudimnto ciclico (cyclic hardning) 33.. Addolcimnto ciclico (cyclic softning) Efftto Bauschingr Comortamnto masing non masing Carico roorzional non roorzional Ratchtting 38. Introduzion alla toria dlla lasticità ciclica 39

8 II Indic.. Incrudimnto isotroo 40.. Incrudimnto cinmatico 4.3 Funzioni costitunti il modllo lasto-lastico Funzion di snrvamnto Rgola di flusso Lgg di incrudimnto 56.4 Modlli di incrudimnto cinmatico Rgola di incrudimnto linar Rgola di incrudimnto di Armstrong - Frdrick Modllo di incrudimnto cinmatico di Chaboch Rgola di incrudimnto di Mròz 6 3. MODELLO ELASTO-PLASTICO DI JIANG-SEHITOGLU Modllo lasto-lastico di Ohno-Wang Conctti bas dl modllo di Jiang-Shitoglu Introduzion alla rgola di incrudimnto La rgola di incrudimnto di Jiang-Shitoglu Surfici di mmoria Incrudimnto/addolcimnto ciclico Efftto di carichi nonroorzionali dl livllo di tnsion sul ratchtting Conclusioni ultriori ossrvazioni DETERMINAZIONE DELLE COSTANTI DEL MATERIALE DEL MODELLO DI JIANG-SEHITOGLU Curva tnsion comrssion monoassial Dtrminazion di cofficinti χ (i) ) 87

9 Indic III 4.3 Dtrminazion dll costanti c (i) E r (i) Dtrminazion di r (i) s c (i) è iotizzato Dtrminazion di c (i) s r (i) è iotizzato Calcolo dll costanti dl matrial Dtrminazion dll costanti r il matrial Dtrminazion dll costanti r il matrial S460N Dtrminazion dll costanti r il matrial 6MnR Dtrminazion dll costanti r il matrial Influnza di aramtri sull simulazioni numrich ESTENSIONE DEL METODO ESED MODIFICATO ALLA FATICA MULTIASSIALE: IMPLEMENTAZIONE DELL ALGORITMO DI CALCOLO 3 5. Estnsion dll srssion unificata alla fatica multiassial 3 5. Utilizzo dl modllo di Jiang-Shitoglu: dtrminazion dll quazioni incrmntali Imlmntazion dl softwar 5.3. Dfinizion di aramtri iniziali Valori iniziali valori al asso n Rfrnc stat Calcolo dll tnsioni dll dformazioni lastich La condizion di snrvamnto Calcolo dll tnsioni dll dformazioni lastich 9 6. VALUTAZIONE DEI RISULTATI OTTENUTI 3 6. risultati ottnuti r l accaio S460N Prima simulazion: mtodo ESED modificato 33

10 IV Indic 6.. Sconda simulazion: aumnto dl momnto torcnt Trza simulazion: rgola di Nubr Quarta simulazion: mtodo ESED Risultati ottnuti r l acciaio 6MnR Utilizzo dll srssion unificata incrmntal Utilizzo dll quazion dll nrgia Altr simulazioni ffttuat Simulazion con un lvato numro di istrsi Simulazion con l aumnto dll amizza dl carico Imlmntazion simulazion r i carichi non roorzionali Conclusioni 7 CONCLUSIONI FINALI E SVILUPPI FUTURI 73 BIBLIOGRAFIA 75 APPENDICE 8

11 Sommario V Sommario Lo scoo dlla sgunt tsi consist nll imlmntazion di un softwar in grado di calcolar l tnsioni l dformazioni locali di comonnti mccanici intagliati soggtti a fatica oligociclica multiassial. Infatti, la rsistnza a fatica oligociclica dind dall tnsioni dall dformazioni all aic dll intaglio. È quindi di fondamntal imortanza, r carattrizzar la vita a fatica di un comonnt intagliato, utilizzar di mtodi arossimati ch stimano corrttamnt l tnsioni l dformazioni locali. Nl rimo caitolo, r il caso di carichi monoassiali monotoni ciclici, si dscrivono i mtodi arossimati dlla rgola di Nubr [] dl mtodo Molski-Glinka [] si ricava, sulla bas di considrazioni nrgtich, il mtodo ESED modificato, in accordo con Y t al. [5]. In sguito i mtodi arossimati citati vrranno stsi nl caso di una sollcitazion ciclica multiassial, sulla bas dl lavoro di Y t al. [6]. Al fin di dtrminar l quazioni ch carattrizzano il comortamnto dl matrial in trmini di tnsioni di dformazioni locali, è stato utilizzato un modllo lasto-lastico basato sulla toria dlla lasticità. Nl scondo caitolo, si dfinisc la bas torica-analitica dlla toria dlla lasticità ciclica d è stata riortata una sintsi dllo stato dll art rlativo ai rinciali modlli lastici rsnti in lttratura. È stato dscritto, nl trzo caitolo, il modllo di Jiang-Shitoglu [3], il qual dfinisc un modllo matmatico ch consnt un ottima arossimazion dl comortamnto ral dl matrial in camo lasto-lastico. L rocdur r il calcolo dll costanti dl matrial utilizzat nl modllo di Jiang- Shitoglu sono dscritt nl quarto caitolo. Si confrontano inoltr i aramtri calcolati con l du mtodologi con qulli rsnti in lttratura, dfinndo il mtodo ottimal r la dtrminazion dll costanti dl matrial. Succssivamnt nl quinto caitolo, utilizzando il modllo lasto-lastico, l srssion unificata dl mtodo ESED modificato l quazioni nrgtich ricavat con l iotsi dfinit da Singh t al. [3], sono stat calcolat l quazioni ch carattrizzano l tnsioni l dformazioni all aic dll intaglio, in accordo con quanto riortato da Y t. al [6] Gao t al. [3]. Inoltr smr nl caitolo 5, sulla bas dgli

12 VI Sommario studi ffttuati da Gao t al. [3], è stato dscritto l algoritmo di calcolo la bas logica utilizzata r l imlmntazion dl sistma di quazioni dl modllo lasto-lastico in Mathmatica. Nl caitolo 6, sono stati illustrati i risultati ricavati dall utilizzo dl rogramma, confrontando l tnsioni l dformazioni locali calcolat con i tr mtodi arossimati. Infin, è stato ffttuato un raffronto fra i dati ottnuti dal softwar qulli rsnti in lttratura, in bas agli studi di Y t al. [6] di Gao t al. [3].

13 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Caitolo METODI APPROSIMATI PER IL CALCOLO DELLE TENSIONI REALI ALL APICE DI UN INTAGLIO Nl rimo caitolo si dfiniscono i du mtodi arossimati iù imortanti utilizzati r il calcolo dll tnsioni dll dformazioni all aic di un intaglio di un comonnt soggtto a fatica oligociclica. I mtodi analizzati sono risttivamnt la rgola di Nubr [] il mtodo ESED []. Succssivamnt, sulla bas dgli studi sviluati da Singh t al.(996) [3] Singh (998) [4], si riorta l srssion incrmntal gnralizzata di du mtodi nl caso di fatica multiassial. In accordo con Y t al. (004) [5], sono stat valutat l quazioni dll comonnti di nrgia agnti sul matrial, nl caso di carico monotono ciclico. Sulla bas dll srssioni nrgtich ricavat mdiant dll iotsi trmodinamich, Y t al. (004) [5] ricavarono l srssioni ch dfiniscono il mtodo ESED modificato. Qusto mtodo, vrrà succssivamnt stso al caso di carichi ciclici multiassiali scondo gli studi di Y t al.(008) [6].. REGOLA DI NEUBER Uno di mtodi iù frquntmnt utilizzato nl calcolo dll tnsioni dll dformazioni all aic di un intaglio è la rgola di Nubr []. Nubr, analizzando un rovino intagliato soggtto a taglio antilanar, ha ricavato l uguaglianza tra il quadrato dl fattor torico di concntrazion dll tnsioni K t il rodotto K K. Nl caso di tnsion monoassial la rgola di Nubr uò ssr scritta nlla sgunt forma: K t = K K Eq.-

14 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio dov K rarsnta il fattor di concntrazion lastico dll tnsioni d è dfinito com il raorto tra la tnsion local la tnsion nominal S. K = Eq.- S K invc, rarsnta il fattor di concntrazion lastico dlla dformazion d è dfinito com il raorto tra la dformazion local la dformazion, indotta dal carico imosto. K = Eq.-3 Sostitundo l quazioni - -3 all intrno dll quazion - si ricava: K t S = Eq.-4 La rlazion -4 rarsnta ancora la rgola di Nubr rlaziona l tnsioni l dformazioni locali, all aic dll intaglio, con l tnsioni l dformazioni nominali indott dall alicazion di un carico strno. L quazion -4 nl iano rarsnta un irbol ch congiung il unto A al unto A, ciò è visibil in Fig. -. Attravrso l quazion dll irbol di Nubr è ossibil ricavar l tnsioni l dformazioni locali conoscndo la curva carattristica dl matrial i risultati drivanti da analisi linari lastich.

15 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Figura - Rarsntazion dlla rgola di Nubr Una srssion quivalnt alla rgola di Nubr è stata sviluata da Singh t al. (996) [3] d è riortata di sguito: N N = Eq.-5 Dov l aic N si rifrisc all comonnti lasto-lastich ricavat con la rgola di Nubr. L indicano risttivamnt l tnsioni l dformazioni all aic dll intaglio calcolat attravrso un analisi linar lastica, mntr l N N individuano l tnsioni l dformazioni all aic dll intaglio calcolat mdiant un analisi lasto-lastica. La rarsntazion grafica dlla rgola di Nubr è visibil in Fig. -. 3

16 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Figura - Rarsntazion dlla rgola di Nubr L quazion -4 è stata succssivamnt modificata da Tor utilizzando gli intrvalli di tnsion S dformazion alicati nominalmnt attravrso carichi ciclici. All aic dll intaglio, l intrvallo di tnsion dformazion nominal è collgato al rang di tnsion local dformazion local mdiant il fattor torico di concntrazion dll tnsioni. K t S = Eq.-6 La rgola di Nubr è utilizzata r la sua smlicità di alicazion, anch s dal confronto di risultati numrici con qulli srimntali, il mtodo sovrastima l tnsioni l dformazioni locali. 4

17 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio.. Gnralizzazion dlla rgola di Nubr Pr affrontar il roblma di sollcitazioni ciclich multiassiali è stata roosta, da Singh t al. (996) [3] in accordo con gli studi ffttuati da Ellyin Kujawski (989) [7], una nuova quazion dlla rgola di Nubr: = Eq.-7 N N Considrando ora uno stato di tnsion multiassial all aic dll intaglio, l utilizzo dl solo fattor di concntrazion dll tnsioni K t non è iù sufficint r carattrizzar lo stato tnsional all aic dll intaglio, oiché sso fornisc informazioni solo r una singola comonnt di tnsion. Pr qusto motivo sono stati introdotti du nuovi aramtri chiamati tnsion dformazion iottici all aic dll intaglio, ricavati attravrso un analisi in camo linar lastico. Com riortato nl lavoro di Singh t al. (996) [3], Moftkhar t al. (995) [8] dimostrarono ch r un comonnt sollcitato da una storia di carico roorzional, la dnsità total di nrgia di dformazion all aic dll intaglio, in camo lasto-lastico, uò ssr arossimata con qulla ottnuta attravrso un analisi linar lastica. In qusto modo è ossibil calcolar l incrmnto dll nrgia nll divrs dirzioni considrat. Singh t al.(996) [3], sulla bas dgli studi ffttuati da Hoffman Sgr (985) [9] nl caso di carico monotono, smlificarono il calcolo dll tnsioni dll dformazioni locali, introducndo un intrvallo di tnsion dformazion quivalnt: = Eq.-8 q q q q La trattazion è valida nl caso di carichi ciclici multiassiali roorzionali di un comonnt intagliato con comortamnto isotroo. L quazion -5 è stata modificata com sgu r otr ricavar l comonnti di tnsion di dformazion nl caso di carichi multiassiali: = Eq.-9 N N 5

18 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Moftkhar t al.(995)[8] dimostrarono ch r un comonnt sollcitato da una storia di carico roorzional, la dnsità total di nrgia di dformazion all aic dll intaglio in camo lasto-lastico uò ssr arossimata con qulla ottnuta attravrso un analisi linar lastica. Singh t al.(996) [], sviluarono in sguito la rlazion -9, ch rarsnta la rgola di Nubr in forma incrmntal. Quindi r fftto dll incrmnto dl carico alicato strnamnt, all intrno dl matrial sarà rsnt un corrisondnt aumnto dll nrgia total di dformazion. L incrmnto dll nrgia total di dformazion r unità di volum (dnsità total di nrgia di dformazion), è quivalnt alla somma dgli incrmnti dlla dnsità di nrgia ( ) dlla dnsità comlmntar ( ) di nrgia di dformazion: Φ = + Eq.-0 Si considri adsso un comonnt intagliato soggtto ad uno stato di tnsion biassial. Si iotizzi ch l tnsioni nominali siano lastich, l dformazioni locali siano lastich ch nll intorno dll intaglio sia rsnt una rgion lastica ch controlla il comortamnto all aic. Ad un dato incrmnto dl carico strno, l aumnto dlla dnsità di nrgia di dformazion total ral all aic dll intaglio uò ssr ottnuta qualora il rovino iotticamnt rimanga iotticamnt in camo linar lastico r tutta la storia di carico: N Φ = Φ Eq.- Sviluando la sommatoria dll nrgi, dall quazion - si ottin: + = N N + N N Eq.- L quazion - è dfinita com la rlazion incrmntal di Nubr. Essa rarsnta l quivalnza tra l incrmnto dlla dnsità total dll nrgia di dformazion, all aic dll intaglio, ottnuto in camo linar lastico in camo lasto-lastico. Dall quazion - si ricava la rgola incrmntal di Nubr r uno stato di tnsion 6

19 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio monoassial all aic dll intaglio. La rarsntazion grafica dlla rlazion incrmntal di Nubr è visibil nlla figura sgunt: Figura -3 Rarsntazion grafica gnralizzazion rgola di Nubr In Fig.-3, si uò notar ch in accordo con la rlazion -, alla fin dl ciclo di carico, la somma di tutti gli incrmnti dlla dnsità total di nrgia di dformazion in camo lasto-lastico è ugual alla somma di tutti gli incrmnti dlla dnsità total di nrgia di dformazion ottnuti da un analisi linar lastica.. METODO ESED Nl lavoro svolto da Molski Glinka (98) [], gli autori dtrminano un ultrior mtodo arossimato r il calcolo dll tnsioni dll dformazioni all aic dll intaglio. Il critrio è conosciuto com quivalnt strain nrgy dnsity (ESED). L iotsi adottat nl mtodo sono l sgunti: 7

20 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio condizion di tnsion monoassial all aic dll intaglio; comortamnto linar lastico dl matrial al nominal. Utilizzando qust smlificazioni, è ossibil guagliar la dnsità quivalnt di nrgia di dformazion calcolata risttivamnt nlla zona di alicazion dl carico W S all aic dll intaglio W : W = Eq. -3 W S Dov: ( ) W = d Eq Intgrando la tnsion ristto la dformazion local all aic si ricava la dnsità quivalnt di nrgia di dformazion. La dnsità di nrgia nominal si ricava iotizzando una rlazion linar lastica tra tnsion dformazion: W S S = S( ) d = Ed = E = Eq. -5 E 0 0 Sostitundo l quazioni -4-5 all intrno dll srssion -3 si ricava ch: K t S = W Eq.-6 dov W è l nrgia di dformazion r unità di volum dovuta all tnsioni all dformazioni locali all aic dll intaglio, mntr W s è la dnsità di nrgia di dformazion r unità di volum dovuta alla tnsion nominal S. La rlazion tra il 8

21 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio fattor torico di concntrazion dll tnsioni K t la dnsità di nrgia di dformazion si uò ottnr attravrso lo sviluo dlla sgunt formula: K t = S = E E W W S = W W S 0.5 Eq.-7 Nll articolo di Singh t al. (996) [3] [4], gli autori dfiniscono l guaglianza tra l dnsità di nrgia di dformazion calcolat in camo lastico in camo lastolastico com sgu: d = 0 E 0 E d E Eq.-8 L aic si rifrisc all tnsioni all dformazioni calcolat in camo linar lastico, mntr E si rifrisc all tnsioni all dformazioni ricavat attravrso il mtodo ESED. La rarsntazion grafica dl critrio dlla formula -8 è visibil nlla figura sgunt: Figura -4 Rarsntazion grafica mtodo ESED. 9

22 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Dall analisi dlla Fig.-4 è ossibil vrificar l quivalnza nrgtica stabilita dalla formula -8. Infatti, l ara sottsa dalla rtta congiungnt l origin dgli assi il unto B, dv ssr ugual all ara dfinita dalla curva ch unisc l origin dgli assi il unto A. Tramit qusta quivalnza nrgtica s è nota l quazion dlla curva, ossia la lgg costitutiva dl matrial, è ossibil ricavar tnsioni dformazioni lasto-lastich di comonnti intagliati soggtti a carichi monotoni in condizioni di tnsion iana. Il mtodo ESED è stato succssivamnt amliato r il caso di carichi ciclici a fatica sulla bas dll rlazioni ricavat da Tor (969). L quazion -6 è stata stsa utilizzando gli intrvalli di tnsioni dformazion: K t S = W Eq.-9 Il mtodo ESED, dal confronto con dati srimntali, sottostima l tnsioni l dformazioni locali... Gnralizzazion dl mtodo ESED Com dscritto nl lavoro di Singh t al.(996) [3], Moftkhar t al.(995) [8] ni loro studi, ricavarono la rlazion gnralizzata dl mtodo ESED r il calcolo dllo stato tnsional multiassial all aic dll intaglio nl caso di comonnti soggtti a carichi roorzionali. La rlazion dl mtodo ESED nl caso di stati tnsionali multiassiali è la sgunt: = E 0 E d E Eq.-0 Com riortato nlla gnralizzazion dlla rgola di Nubr, anch r il mtodo ESED, l utilizzo dl solo K t non è iù sufficint r dscrivr l aumnto dll tnsioni nll tr dirzioni di carico. Pr qusto motivo sono utilizzat ossia tnsion dformazion iottici all aic dll intaglio. 0

23 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Si considri il caso di comonnti intagliati sottoosti a carichi multiassiali non roorzionali. Pr calcolar lo stato di tnsion dformazion lasto-lastico all aic dll intaglio è ncssario sviluar l quazion -0 nlla forma incrmntal. Quando vin alicato un incrmnto di carico al rovino, sso causrà un incrmnto dll nrgia di dformazion ffttiva all intrno dl matrial. Quindi l aumnto dlla dnsità di nrgia di dformazion uò ssr srsso com sgu: W = Eq.- Al fin di smlificar la trattazion si assumono l sgunti iotsi: la tnsion nominal alicata sia lastica; la dformazion all aic dll intaglio sia lastica; l aic dll intaglio sia amiamnt circondato da un camo linar lastico. Sulla bas dll sgunti assunzioni, è stato roosto da Singh t al.(995) [3] ch r un dato incrmnto dl carico strno, l incrmnto di dnsità di nrgia di dformazion in camo lasto-lastico sia quivalnt a qullo ottnuto in camo linar lastico. Qusta iotsi uò ssr srssa com sgu: E W = W Eq.- Utilizzando l quazion - all intrno dll srssion - si ottin ch: = Eq. -3 E E L quazion -3 dfinisc il critrio ESED incrmntal. Qusta srssion dtrmina l quivalnza dll nrgi calcolat con tnsioni dformazioni ottnut

24 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio risttivamnt in camo lastico in camo lasto-lastico. Un ultrior intrrtazion dll quazion -3 risulta qulla fornita da Singh t al.(996) [3] in cui vin iotizzato ch alla fin dl ciclo di carico, la sommatoria di tutti gli incrmnti di tnsion dformazion lastich siano quivalnti alla sommatoria dll tnsioni dll dformazioni calcolat attravrso un analisi lasto-lastica. L intrrtazion grafica dl mtodo ESED incrmntal è visibil nlla figura sottostant. Figura -5: Rarsntazion grafica mtodo ESED incrmntal La Fig.-5, dfinisc l quivalnza nrgtica dl mtodo ESED incrmntal. L ara grigia rarsntant l incrmnto dll tnsioni dll dformazioni lastich, dv ssr quivalnt all ara nra, ossia all incrmnto dll tnsioni dformazioni lasto-lastich. Attravrso qusta quivalnza nrgtica è ossibil ricavar l aumnto dll tnsioni dll dformazioni utilizzando il mtodo ESED..3 ANALISI ELASTO-PLASTICA DI UN COMPONENTE INTAGLIATO SOGGETTO A CARICO MONOTONO E CICLICO Si considri la curva monotona in camo linar-lastico visibil nlla Fig.-6. Si uò notar ch la dformazion è divisa in du arti, una art lastica una art lastica. Durant il ciclo di carico, raffigurato dalla lina OAB il sistma si dforma sia lasticamnt ch lasticamnt. Alla fin dl ciclo di scarico invc, rarsntato

25 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio dalla lina BC, la dformazion lastica vin comltamnt rcurata rsta immagazzinata nl sistma solo la comonnt lastica dlla dformazion. Figura -6 Enrgia immagazzinata nrgia di dformazion lastica ssa durant il carico monotono. Com dscritto nl lavoro di Y t al. (004) [], la variazion dll nrgia lastica immagazzinata all intrno dl sistma comorta un cambiamnto nll nrgia di dformazion. L ara OABC ch rarsnta il ciclo di carico monotono, dfinisc l nrgia di dformazion lastica rsa durant un ciclo val: W = d 0 Eq. -4 dov W è l nrgia di dformazion lastica, sono la tnsion la dformazion ral local il contributo lastico dlla dformazion. Com citato nll articolo di Y t al. (004) [3] sulla bas dl lavoro di Klsnil Lukas (980) [0], si uò rovar srimntalmnt ch la maggior art dll nrgia di dformazion lastica vin 3

26 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio dissiata in calor, mntr la rstant vin immagazzinata all intrno dl matrial sotto forma di tnsioni rsidu. Com dscritto da Aravas t al.(990) [], l nrgia immagazzinata W s uò ssr dtrminata attravrso la sgunt formula: W s = d 0 Eq.-5 L nrgia immagazzinata è drivant dall tnsioni rsidu sistnti all intrno dl matrial r fftto dl comortamnto lasto-lastico di qust ultimo. L nrgia immagazzinata è rarsntata in Fig. -6 dall ara trattggiata. In accordo col rimo rinciio dlla trmodinamica, l nrgia trmica dissiata W q vin calcolata con la sgunt formula: W q = W W Eq.-6 s Si considri adsso la rlazion costitutiva di Rambrg-Osgood ch dscriv la risosta lasto-lastica di un matrial soggtto a carico monotono: n = + = + Eq.-7 E K dov sono risttivamnt la art lastica lastica dlla dformazion total, E il modulo lastico, K il cofficint di rsistnza d n l indic di incrudimnto dl matrial. Si ffttui la sostituzion dll quazion -7 all intrno dll quazion -5 r calcolar l ffttivo valor dll nrgia immagazzinata in funzion dll tnsioni locali, dll dformazioni locali dll rorità dl matrial. 4

27 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio 5 ( ) n n n n n s n n n n K E n K E d K d E d d W = + + = + + = + = = + = = + L srssion final dll nrgia immagazzinata è quindi la sgunt: + = n n W s Eq. -8 L nrgia di dformazion lastica W si ricava attravrso i sgunti assaggi: ( ) + = + + = = n n n n W W s L srssion final dll nrgia immagazzinata è quindi la sgunt: + = n W Eq. -9 Sostitundo l srssioni -9-8 all intrno dll quazion -6 si ricava la formula dll nrgia trmica W q : s q n n W W W + = = Eq. -30 Si considri adsso la risosta lasto-lastica di un comonnt soggtto a carico ciclico visibil in Fig. -7.

28 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Figura -7 Enrgia immagazzinata nrgia di dformazion lastica ssa durant il carico ciclico. La trattazion rdatta r il caso monotono si uò stndr al caso di carichi cicli. La variazion continua dlla dformazion lastica induc nl sistma una variazion dlla dnsità di nrgia di dformazion. L iotsi alla bas dlla trattazion è ch il ramo in carico cioè O AO sia assunto ugual alla art in scarico ossia O CO. Attravrso qusta smlificazion si ossono alicar l stss formul sia r la art in carico ch r la art in scarico, in cui la nuova origin dl sistma dll coordinat vin osta nl unto O. L nrgia di dformazion lastica rifrita nl caso dlla risosta all alicazion di carichi ciclici è rarsntata dall ara dll istrsi O AO CO com visibil in Fig. -7. L srssion è data dalla sgunt formula: W = ' ' d Eq Durant il ciclo di carico, l nrgia d istrsi è rincialmnt trasformata in calor mntr una iccola art di ssa vin immagazzinata dal matrial. L nrgia 6

29 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio immagazzinata W s in un ciclo di carico rarsntata dall ara camita in Fig.-7, uò ssr srssa dalla sgunt rlazion: W s = 0 ' ' d Eq. -3 dov è la quota art di dformazion lastica. L nrgia trmica W q dissiata in un ciclo di carico uò ssr ricavata tramit il rimo rinciio dlla trmodinamica. W = W W Eq. -33 q s S il matrial sibisc comortamnto Masing, i rami di carico scarico dll istrsi risultano simmtrici, la rlazion costitutiva tnsion-dformazion uò ssr dscritta dall quazion di Morrow. = + = + ' E K n' Eq. -34 dov sono risttivamnt la art dlla dformazion lastica lastica dlla dformazion total, E è il modulo lastico, K è il cofficint di rsistnza ciclico, n è il cofficint di incrudimnto ciclico. Utilizzando l quazioni sviluando alcuni assaggi matmatici si trova ch: 7

30 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio 8 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n K n n E K n n E d K d E d d d W + = + + = + + = + + = + + = + + = + = = + ' ' ' ' 4 ' ' ' 4 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' n n W + = ' ' Eq. -35 Utilizzando l quazioni si ricava l nrgia immagazzinata nl matrial: n n s n n n n E K n n E d K d E d d d d W + + = + + = + + = + = + = = = = ' ' ' ' ' ' ' 4 ' ' ' ' 0 ' ' 0 '

31 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio W s n' = n' + Eq. -36 L nrgia trmica è ricavata r diffrnza tra l nrgia di dformazion lastica l nrgia immagazzinata nl matrial: W q = W W s n' = n' + Eq Rlazion fisica tra rgola di Nubr mtodo ESED Si considri l srssion dlla rgola di Nubr (-4), attravrso l utilizzo dll srssion di Rambrg-Osgood -7, si ricava la sgunt srssion: ( K S ) n t E = E + K Eq.-38 S sono noti K t, l rorità dl matrial E, K d n la tnsion nominal S, si uò ricavar la tnsion la dformazion local all aic dll intaglio (, ) utilizzando l quazioni Pr il caso di carico ciclico si considrino risttivamnt l quazioni Con una smlic sostituzion è ossibil ricavar la sgunt formula: ( K S ) n' t 4E = 4E + K ' Eq.-39 E ossibil in qusto modo ricavar l tnsioni l dformazioni rali all aic dll intaglio calcolat tramit la rgola di Nubr. Utilizzando la stssa casistica è ossibil calcolar l tnsioni l dformazioni all aic dll intaglio utilizzando il mtodo ESED. 9

32 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio 0 Si considri l quazion -6. In rsnza di una zona snrvata localizzata all aic dll intaglio, la dnsità di nrgia di dformazion W uò ssr ricavata dall quazion -4 dall quazion -4: W W + = Eq.-40 Si sostituisca ora l srssion -40 l quazion di Rambrg-Osgood -7 all intrno dll srssion -6: ( ) + + = + = t n W E S K ( ) n t K n E E S K + + = Eq.-4 Da qusta quazion quindi ricaviamo l tnsioni l dformazioni locali all aic dll intaglio calcolat utilizzando il mtodo ESED. È ossibil stndr qusta trattazion ricavata r il ciclo monotono al caso di carichi ciclici. L srssion dl mtodo ESED r carichi ciclici è fornita dall srssion -8. Si svilui ora la dfinizion dlla dnsità dll nrgia di dformazion W r il caso ciclico: = 0 d W Eq.-4 s n n W W + + = = ' ' n W + + = ' Eq.-43 Utilizzando l srssion -9 l quazion di Morrow -34 si ottin:

33 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio ( ) ' 4 4 ' 4 4 t t t n E E S K n S K W S K + + = + + = = ( ) ' ' ' 4 4 n t K n E E S K + + = Eq.-44 Combinando l quazion -44 con l quazion -34 è ossibil calcolar l tnsioni l dformazioni locali all aic dll intaglio s sono noti K t S l rorità ciclich dl matrial. Confrontando l tnsioni l dformazioni ottnut risttivamnt con il mtodo ESED la rgola di Nubr è ossibil dtrminar qual mtodo fornisc una stima miglior. In camo linar-lastico, tnsioni dformazioni locali calcolat con la rgola di Nubr coincidono con qull ottnut col mtodo ESED (Fig.-8). Figura -8 Intrrtazion grafica mtodo ESED rgola Nubr Nl caso di lasticità localizzata, l tnsioni l dformazioni calcolat attravrso la rgola di Nubr sono smr maggiori ristto a qull calcolat con il mtodo ESED (Fig.-9).

34 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio W s nrgia di dformazion lastica dovuta alla tnsion nominal S. W nrgia di dformazion lastica calcolata con il mtodo ESED. W nrgia di dformazion lastica calcolata con la rgola di Nubr. Figura -9 Intrrtazion grafica mtodo ESED rgola Nubr. Possiamo scrivr la dnsità di nrgia di dformazion W, quazion -4, in una forma altrnativa in accordo con la Fig.-6. W = + W s Eq.-45 Pr garantir vrificar l accuratzza dlla dfinizion di W si ricava la W dalla rlazion -45. In qusto modo si dimostra ch l srssion ana dfinita, di difficil intrrtazion grafica, è comunqu cornt corrtta. W W W = + Ws = W n = + + n + n = n +

35 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio W = Eq.-46 n + Sostitundo l quazioni -7-9 all intrno dll quazion -46 si trova ch: W n = + Eq.-47 ( + n) Sostitundo ancora l quazion -47 nll quazion -9 d utilizzando la dfinizion di nrgia trmica dissiata rsnt nll quazion -30 si trova ch: K t n S = + Eq.-48 ( + n) K S = + t W q Eq.-49 L quazion -49 è un srssion altrnativa dl mtodo ESED in carico monotono. Il lavoro torico K t S vin trasformato nll nrgia di dformazion local assorbita dal matrial nll nrgia trmica W q dissiata durant la dformazion lastica. Il critrio ESED -49 rstituisc quindi la rgola di Nubr (-4) s W q è ugual a zro. La rgola di Nubr è vista com un caso articolar dl mtodo ESED s non si considra la dissiazion di nrgia sotto forma di calor. L nrgia trmica dissiata è comunqu sicuramnt non nulla d è r qusto ch, a arr dgli autori, la rgola di Nubr sovrastima l tnsioni l dformazioni locali. In accordo con l analisi ffttuata rcdntmnt da Y t al. (004) [5], si uò assrir ch il mtodo ESED dscriv il ral comortamnto dll tnsioni dll dformazioni all aic dll intaglio durant la dformazion lastica. Inoltr, considrando l quazioni -49-6, si uò ddurr ch l nrgia immagazzinata nl mtodo ESED è stata considrata com un contributo additivo dlla tnsion dlla dformazion local all aic dll intaglio. 3

36 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Nl caso di carico ciclico, con rifrimnto alla Fig.-7, l quazion -9 uò ssr srssa com la somma dll dnsità di nrgia di dformazion O' ' CO ' W (scarico). O'AO '' W (carico) W O' AO'' = W + W O'' CO ' Eq.-50 dov W O' AO'' = W O'' CO ' Eq.-5 W = O ' AO '' ' d ', '' ' W O CO = 0 0 ' ' d ' ' Eq.-5 Sostitundo l quazioni -5-5 all intrno dll quazion -50 si trova ch: K O' AO'' O'' CO' t S = W + W Eq.-53 Utilizzando l intrrtazion nrgtica dtrminata dalla Fig.-7, l quazion -53 si uò scrivr nlla sgunt forma: K S = + t W Eq.-54 dov W è l nrgia lastica d istrsi in un singolo ciclo. L quazion -54 è un srssion altrnativa dl critrio ESED nl caso di carico ciclico. Il lavoro torico alicato K t S si trasforma in nrgia di dformazion assorbita dal matrial nll nrgia d istrsi W dissiata durant la dformazion lastica ciclica. Confrontando il mtodo ESED -54 con la rgola di Nubr -6 si ottin ch la rgola di Nubr è un caso articolar dl mtodo ESED quando l nrgia di dformazion lastica d istrsi W è nulla. Dato ch l nrgia d 4

37 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio istrsi W è smr ositiva nl caso di lasticità, la rgola di Nubr invitabilmnt sovrastima tnsion dformazion locali. Durant la dformazion lastica la maggior art dll nrgia d istrsi W è convrtita in calor W q la art rimannt, cioè W s, è immagazzinata nl matrial sotto forma di tnsioni rsidu. Qusta analisi imlica ch l quazion -54 sottostimi gli intrvalli rali di tnsion di dformazion local oiché, in qusta rlazion, tutta l nrgia lastica d istrsi è considrata com dissiata. È stata roosta quindi una vrsion modificata dl critrio ESED ch considra l nrgia di istrsi com somma dll nrgia dissiata in calor dll nrgia immagazzinata dal matrial. Qust ultima è considrata com un contributo additivo alla tnsion alla dformazion local. In formul si ha ch: K S = + t W q Eq.-55 Utilizzando l srssion -33 sostitundola all intrno dll quazion -55 si ricava l srssion dl mtodo ESED modificato: K t S + W s = + W Eq.-56 Gnralmnt, in rsnza di una dformazion lastica, all aic dll intaglio si ha ch 0 < W q < W, quindi tnsion dformazion local calcolati con il mtodo ESED modificato -56 saranno iù lvati dl mtodo ESED -54 minori dlla rgola di Nubr -6. Utilizzando l srssion di Morrow -34, si ottin: 5

38 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 4 ' ' 4 4 ' ' 4 ' ' t t t s t s t s t n n E E S K n n E S K n n n n E S K W W E S K W W E S K W W S K + + = + + = = + + = + = + + = + ( ) ' ' ' ' 4 4 n t K n n E E S K + + = Eq.-57 Utilizzando l quazioni -34, -57 l rorità dl matrial è ossibil andar a calcolar l tnsioni l dformazioni ciclich all aic dll intaglio. Nlla tablla sgunt vin rsntata una schmatizzazion dll formul utilizzat ni tr arocci locali rsntati rcdntmnt: Rgola di Nubr Critrio ESED original Critrio ESED modificato Carico monotono = S K t q t W S K + = Carico ciclico = S K t t W S K = + s t q t W W S K W S K = + = + s t W W S K + = + Tablla - Tablla riassuntiva di tr mtodi arossimati Il critrio dll ESED modificato su basa quindi su considrazioni nrgtich ottnut attravrso l analisi dlla curva d istrsi r carichi ciclici.

39 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio Analizzando ultriormnt l quazioni -35, , ossia l srssioni ch dfiniscono l tr nrgi considrat nl caso di carico ciclico, in bas agli studi ffttuati da Y t al.(008) [6], è ossibil corrlar l tr srssioni ad un unico aramtro dindnt sclusivamnt dal tio di matrial. Si uò assrir infatti, ch la convrsion dll nrgia dind sia dal tio di dformazion ch dall rorità dl matrial. Al fin di otr confrontar l nrgia dissiata al variar dll sollcitazioni imost dl matrial utilizzato è stato introdotto il cofficint C q. Tal cofficint è dfinito com il raorto tra l nrgia trmica dissiata il lavoro di dformazion lastica comiuto durant un ciclo di carico. C q ' Wq n = = Eq.-58 ' W n Pr numrosi matriali mtallici, il valor dll indic di incrudimnto ciclico è solitamnt comrso tra 0, 0,3. C q assum quindi un valor comrso tra , ciò si ricava dall quazion -58. Ciò significa ch circa il 60-90% dl lavoro di dformazion lastica vin dissiato in calor durant un ciclo di fatica, tal dato è in accordo con quanto riortato in lttratura r diffrnti matriali in srcizio sottoosti a diffrnti cicli di carico. Il critrio dll ESED modificato, ricavato nl caso monoassial, vin succssivamnt amliato nl caso di comonnti intagliati sottoosti a fatica multiassial. In bas all articolo di Y t al.(008) [6], gli autori affrmano ch quando un coro intagliato è soggtto ad un carico ciclico sso gnra un nrgia di dformazion lastica localizzata nll aic dll intaglio. Di qusta nrgia solo una iccola art, cioè l nrgia immagazzinata, contribuisc alla dformazion local mntr la rstant art vin dissiata sotto forma di calor non influnza lo stato dlla tnsion dlla dformazion all aic dll intaglio. Nl caso di uno stato di tnsion multiassial all aic dll intaglio, l quazioni -35, dfinit r uno stato di tnsion monoassial ossono ssr riscritt com sgu: W = 0 d ' ' 0 d ' ' Eq.-59 7

40 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio W s = 0 d ' ' ' ' ( ) Eq.-60 W q = 0 ' d ' ' ' ' ' d + 0 Eq.-6 dov i, j valgono risttivamnt,, 3 vin alicata la convnzion dlla sommatoria imlicita. In qusto modo si riscono a considrar tutti i ossibili contributi di tnsion di dformazion drivanti dallo stato multiassial rsnt all aic dll intaglio. L srssioni -59, sono matmaticamnt satt r comonnti intagliati soggtti a carico roorzional, mntr sono arossimat r il caso di carichi non roorzionali. Il contributo di Y t al. (008) [6], vuol stndr la trattazion monoassial al caso di carico ciclico multiassial gnrando una corrisondnza tra i du casi. Gli autori, sulla bas dgli studi sviluati da Singh t al. (996)[3], Singh (998) [4] com riortato nl aragrafo.., introducono un intrvallo di tnsion quivalnt d una dformazion lastica quivalnt al fin di smlificar la trattazion. L iotsi considrat alla bas dlla mtodologia sono l utilizzo di un rovino intagliato isotroo in camo lasto-lastico un carico roorzional multiassial. L intrvallo di tnsion quivalnt è dfinito com la tnsion quivalnt di von Miss. 3 q = S S Eq.-6 dov S è la tnsion dviatorica dfinita nl sgunt modo: S = 3 kk δ Eq.-63 dov δ è il dlta di Kronckr kk rarsnta la sommatoria dll comonnti di tnsion nl sistma di rifrimnto rincial, cioè 8

41 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio kk = + + Eq L intrvallo di dformazion lastica quivalnt è dindnt dall intrvallo di Osgood: n' q q = ' K Eq.-65 dov q è l intrvallo di tnsion quivalnt rcdntmnt dfinito, n è il cofficint di incrudimnto K è il aramtro di rsistnza dl matrial, tutti dfiniti r il caso ciclico. Utilizzando la smlificazion introdotta dall utilizzo dlla tnsion dlla dformazion quivalnt, l quazioni -59, -60, -6 assumono la sgunt forma: W 66 W W s q n = ' + n n = ' + n n + n = ' ' ' q ' q q q q q Eq.-67 Eq.-68 tnsion quivalnt d è dfinito com di sguito risttando l quazion di Rambrg- Eq.- Il cofficint C q è smr dfinito dalla formula riortata nll quazion -58. Qusta grandzza è insnsibil al carico alicato, assum lo stsso valor sia nl caso monoassial ch nl caso multiassial d è dindnt solamnt dal tio di matrial utilizzato. L rlazioni -59, sono l stnsion al caso multiassial dll rlazioni ricavat nl caso monoassial. Si uò quindi stndr la rgola di Nubr il critrio ESED r il caso di fatica multiassial sulla bas dll rlazioni -7-3 ricavat rcdntmnt: 9

42 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio = Eq.-69 N N E E ( ), Eq.-70 E E = + W Il trmin a sinistra dll ugual rarsnta il lavoro torico di dformazion nl caso idal di lasticità linar. Dall formul si ricava ch la rgola di Nubr è un caso articolar dl mtodo ESED nl caso in cui l nrgia di dformazion lastica sia nulla. Dall analisi trmodinamica rcdntmnt trattata, si uò ddurr ch la rgola di Nubr sovrastima l tnsioni l dformazioni locali. Il mtodo ESED invc l sottostima a causa dl fatto ch tutta l nrgia di dformazion lastica è dissiata dal matrial..4 METODO ESED MODIFICATO APPLICATO ALLA FATICA MULTIASSIALE Nll articolo di Y t al.(008) [6] vin roosta una nuova srssion unificata r il calcolo dll tnsioni dll dformazioni locali all aic dll intaglio. Nll iotsi di small scal yilding, l srssion unificata r il calcolo dll tnsioni dll dformazioni locali è la sgunt: U U q U U ( ) = + C W, Eq.-7 dov C q è il cofficint di nrgia dissiata, mntr C q W q ( U U ) rarsnta l nrgia trmica dissiata durant un ciclo di dformazion lastica, il dic U indica l comonnti di tnsion dformazion lasto-lastich all aic dll intaglio calcolat con l srssion unificata. Il significato fisico dll srssion -7 si uò dscrivr nl fatto ch l nrgia in ingrsso, dovuta ai carichi ciclici strni, alicata all lmnto di matrial all aic dll intaglio, si trasforma arzialmnt nlla dnsità di nrgia di dformazion ch è assorbita dall lmnto di matrial all aic dll intaglio, mntr la rstant art di 30

43 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio nrgia C q W q ( U U ) vin dissiata com nrgia trmica durant la dformazion lastica ciclica. S nll quazion -7 il cofficint C q vin osto ugual a zro si ricava l quazion dlla rgola di Nubr. Invc, nl caso in cui vnga osto C q ugual ad uno, si ritrova l quazion dll ESED -69. La rgola di Nubr il mtodo ESED sono quindi du casi articolari dll srssion unificata. L quazion -7 uò assumr anch la sgunt forma: U U ( ) ' U U n = + W, ' n Eq.-7 Confrontando l comonnti di tnsion dformazion calcolati risttivamnt con la rgola di Nubr, mtodo ESED mtodo ESED modificato, si uò assrir ch l comonnti ricavat con l srssion unificata si collocano al cntro ristto ai valori ottnuti con la rgola di Nubr con il mtodo ESED. Eq.-73 N N U U E E La disuguaglianza rsnt nlla formula -73 stabilisc ch in bas ad analisi trmodinamich, i valori calcolati con il mtodo ESED modificato si collocano al cntro ristto ai valori ricavati ristto agli altri du mtodi quindi dovrbbro introlar iù accuratamnt i risultati srimntali. Il mtodo dll ESED modificato vrrà utilizzato r calcolar l tnsioni l dformazioni all aic di un intaglio soggtto a fatica multiassial. In rifrimnto a quanto dfinito rcdntmnt, al fin di carattrizzar l aumnto di nrgia local è ncssario calcolar l incrmnto di tnsion dformazion. Qusto è ossibil solo attravrso l utilizzo di un modllo lasto-lastico basato sulla toria lastica incrmntal ciclica. 3

44 Caitolo Mtodi arossimati r il calcolo dll tnsioni rali all aic di un intaglio 3

45 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Caitolo LA TEORIA DELLA PLASTICITA CICLICA Al fin di carattrizzar il comortamnto dl matrial in camo lasto-lastico, è ncssario considrar un modllo matmatico ch consnta una buona arossimazion dl comortamnto ral dl matrial. In lttratura infatti, sono rsnti molti modlli ch crcano di rvdr com il matrial si comorta doo avr abbandonato il comortamnto linar lastico. I conctti alla bas di modlli matmatici sono rifriti alla toria dlla lasticità. Qusta toria è divisa in numrosi rami, nl sgunt caito vrranno dscritt l basi torich dlla toria dlla lasticità ciclica. Qusta toria rarsnta lo strumnto iù imortant affidabil r dtrminar l incrmnto dllo stato tnsional dll dformazioni di un comonnt intagliato soggtto a carico ciclico multiassial. Inoltr, si riassumranno in modo molto conciso i modlli lastici di Pragr[5], Armstrong-Frdrick (966) [6], Chaboch (989)[7], (99)[8] Mròz(967) [9], (969)[0] ch rarsntano la bas torica-analitica iù imortant rsnt in lttratura. In rimo luogo rò, si ritin indisnsabil una dfinizion corrtta dlla trminologia utilizzata.. TERMINOLOGIA.. Incrudimnto ciclico ( cyclic hardning) Suoniamo di sottoorr un matrial a fatica in controllo di dformazion. Si considri un amizza costant di dformazion alicata al matrial. S la risosta in trmini di tnsion aumnta allora il matrial si dic incrudnt quindi si vrifica il fnomno dll incrudimnto ciclico. Il ciclo d istrsi aumnta la sua ara in quanto aumnta la tnsion massima r l fftto dll incrudimnto. Qusto è visibil in Fig. - 33

46 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica. Il comortamnto dl matrial uò ssr rvisto dai valori ottnuti ffttuando la rova di trazion monoassial. Infatti, in bas al raorto tra la tnsion di snrvamnto la tnsion di rottura, si uò stabilir s il matrial incrudisc. In articolar il matrial ha un comortamnto incrudnt s: UTS sn,4 dov la UTS rarsnta la tnsion di rottura mntr la sn indica la tnsion di snrvamnto dl matrial. Figura - Cicli di istrsi r matrial con comortamnto incrudnt.. Addolcimnto ciclico (cyclic softning) Nl caso in cui si sottoonga un matrial ad una stssa amizza di dformazion la risosta in trmini di tnsion diminuisca all aumntar di cicli di carico, allora il matrial rsnta il fnomno dll addolcimnto ciclico. Qusto è visibil nlla 34

47 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Fig.-. In rlazion ai dati ricavati dalla rova di trazion monoassial, un matrial rsnta addolcimnto ciclico s: UTS sn, Figura - Cicli di istrsi di un matrial ch subisc addolcimnto ciclico. Pr la maggior art di matriali rò il raorto fra la tnsion di rottura la tnsion di snrvamnto è comrso tra i valori,,4 quindi non si risc a dfinir il comortamnto dl matrial utilizzando solamnt i dati riguardanti la rova a trazion... 3 Efftto Bauschingr In gnral ni matriali mtallici, com ad smio l acciaio, la tnsion di snrvamnto a comrssion è ugual a qulla a trazion. Quando un matrial vin sottoosto ad una sollcitazion di trazion surior allo snrvamnto, nlla succssiva fas di scarico, il comortamnto dl matrial risulta lastico solo fino a quando il 35

48 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica dcrmnto di tnsion ristto a max raggiung il valor = s. Qusto quival ad assrir ch la tnsion di snrvamnto a comrssion di un matrial ortato a snrvamnto a trazion, è infrior a qulla dl matrial original. Si ottin lo stsso fftto quando il matrial vin rima snrvato r comrssion succssivamnt a trazion. Qusto fnomno è chiamato fftto Bauschingr d è dfinito com l asimmtria dl ciclo d istrsi di un matrial duttil. Qusto è visibil nlla figur sottostanti: Figura -3: Efftto Bauschingr. Nlla Fig.-3 si uò vdr ch ssndo dtrminata una nuova condizion di snrvamnto nlla fas in carico, lo snrvamnto in scarico sarà mno lvato ristto al caso rcdnt. Qusto fftto è dscritto dall incrudimnto cinmatico... 4 Comortamnto masing non masing Il comortamnto non masing è dfinito com un asimmtria di rami suriori d infriori dlla curva ciclica d istrsi stabilizzata (CCS). Il ramo infrior infatti, è iù lvato ristto al ramo in carico dlla curva. Il comortamnto masing invc, è dfinito com la simmtria di ntrambi i rami di carico scarico. 36

49 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica La CCS è dfinita com la curva congiungnt i vari aici dll curv d istrsi stabilizzat calcolat variando l amizza dlla dformazion. I vrtici di cicli d istrsi vngono introlati scondo l quazion di Rambr-Osgood (-7). Figura -4: Curva ciclica stabilizzata.. 5 Carico roorzional non roorzional Un carico roorzional è dfinito com il carico a cui corrisond una lina fissa coincidnt con gli assi nllo sazio dviatorico. Con il carico roorzional quindi, ho un raorto costant tra l tr comonnti rinciali dlla tnsion, ossia tra, 33. Qualsiasi altro carico diffrnt da qullo roorzional è considrato com non roorzional. Qusta dfinizion è visibil nlla figura sgunt. 37

50 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Figura -5: Dfinizion di carico roorzional non roorzional.. 6 Ratchtting Si considri un matrial sottoosto ad un carico ciclico monoassial in controllo di dformazion con la tnsion mdia divrsa da zro. Diagrammando l andamnto dlla tnsion in funzion dlla dformazion lastica, è ossibil notar ch la dformazion lastica aumnta di ciclo in ciclo qusto fnomno è chiamato cr ciclico o ratchtting. Il ratchtting quindi è dfinito com la traslazion di cicli d istrsi r fftto di fnomni lastici. 38

51 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Figura -6: Esmio di ratchtting. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PLASTICITA CICLICA La toria dlla lasticità ciclica dfinisc l rlazioni costitutiv utilizzat r dscrivr il comortamnto dl matrial nlla rgion lastica. Attravrso l quazioni dfinit nl modllo lasto-lastico basato sulla toria dlla lasticità, si uò ricavar la risosta in trmini di tnsion dformazion dl matrial soggtto ad un carico scifico. La toria lastica iù comunmnt utilizzata è la Toria incrmntal dlla lasticità, la qual è basata su rlazioni costitutiv scritt in trmini di incrmnti infinitsimi di tnsioni, dformazioni sostamnti. Nl sgunt laborato, si on l attnzion su un articolar ramo dlla toria dlla lasticità, ossia sulla toria dlla lasticità ciclica. Qusta toria consnt di analizzar la risosta dl matrial soggtto a carichi sia roorzionali ch non roorzionali, considrando il modllo di incrudimnto cinmatico non roorzional una corrtta rvision dl ratchtting multiassial. I modlli matmatici sistnti nll ambito dlla lasticità ciclica sono divisi ni sgunti grui: modlli sovraosti (Bssling, 958); modlli a singola surfici (Armstrong-Frdrick, 966); modlli a multi-surfici (Mroz,967); 39

52 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica modlli a doia surfici (Dafalias-Poov, 976); modlli ndocrini (Valanis, 97); modlli con la distorsion dlla surfici di snrvamnto (Kurtyka, 988). I moltlici modlli lasto-lastici rsnti in lttratura sono tutti ugualmnt dfiniti dall sgunti funzioni, com dscritto nl lavoro di Jiang (994) []:. la funzion di snrvamnto è rarsntata dalla surfici di snrvamnto. Essa indica il luogo di unti ch sara, nllo sazio tnsional, il comortamnto lastico da qullo lastico. Sostanzialmnt rarsnta il limit lasto-lastico nllo sazio ;. il otnzial lastico o rgola di flusso, il qual dscriv in ch modo avvngono l dformazioni lastich. In altr arol dfinisc l incrmnto dll dformazion lastich; 3. la lgg di incrudimnto, la qual dfinisc l sansion o la traslazion dlla surfici di snrvamnto. Qusta lgg o rgola stabilisc l ntità dll sansion o dlla traslazion dlla surfici di snrvamnto in funzion dll dformazioni lastich. In articolar, sistono rincialmnt du lggi di incrudimnto:. lgg di incrudimnto isotroo;. lgg di incrudimnto cinmatico... Incrudimnto isotroo L incrudimnto isotroo è dfinito com l sansion omottica dlla surfici di snrvamnto in tutt l dirzioni. Quindi all aumntar dlla dformazion lastica cumulata aumnta roorzionalmnt anch la dimnsion dlla surfici di 40

53 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica snrvamnto. In rifrimnto alla Fig. -7, si considra il matrial caricato fino al unto B succssivamnt avvin lo scarico. Nlla succssiva fas di carico lo snrvamnto non avvin iù nl unto A (tnsion di snrvamnto dl matrial vrgin), ma il matrial ricorda il rcdnt carico il nuovo snrvamnto è rarsntato dal unto B. La fas di carico finisc nl unto C vin invrtito il carico. Nlla fas di comrssion lo snrvamnto avvin nl unto D ch in modulo coincid con la tnsion nl unto C. In qusto caso quindi lo snrvamnto a tnsion a comrssion coincidono. Si uò sostnr ch durant il flusso lastico la surfici limit si sand in tutt l dirzioni allo stsso modo, snza cambiamnti di forma o traslazioni. Qusto modllo infatti dscriv una curva d istrsi simmtrica, ossia lo snrvamnto nlla fas di scarico sarà in modulo ugual allo snrvamnto nlla fas di carico. Figura -7: Incrudimnto isotroo S si considra una storia di carico in controllo di dformazion, il modllo di incrudimnto isotroo rvd un aumnto di valori massimi minimi di sforzo raggiunto. Nl caso di una storia di carico ad amizza di tnsion costant in controllo di sforzo, il modllo isotroo rvd una dformazion comltamnt lastica doo il rimo ciclo. 4

54 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica.. Incrudimnto cinmatico L incrudimnto cinmatico è utilizzato r dscrivr l fftto Bauschingr. L fftto Bauschingr consist nlla riduzion dl valor dllo snrvamnto quando si carica in dirzion oosta a qulla rcdnt, s il carico alicato è stato tal da far surar il limit di snrvamnto dl matrial vrgin. La surfici limit in qusto modllo non cambia né forma né dimnsion ma uò traslar nllo sazio dll tnsioni. Si considri il matrial scarico vrgin. La surfici di snrvamnto è cntrata all origin dgli assi. Adsso si considri il matrial sollcitato a trazion fino al unto B. Essndo ch la surfici limit uò sostarsi libramnt nllo sazio dll tnsioni, ssa si alza fino a raggiungr il unto final dl carico, ossia il unto B. L ntità dllo sostamnto è chiamato backstrss d è rarsntato da α. Il backstrss è dfinito com lo sostamnto dl cntro dlla surfici limit dalla condizion inizial fino alla condizion final di carico. In Fig. -8 è visibil la rarsntazion grafica dl backstrss. Siccom è stata considrata una rova di tnsion comrssion monoassial, il backstrss è dfinito solamnt lungo un ass. Nl caso di una rova multiassial il dominio lastico si sostrà nll tr dirzioni all intrno dllo sazio tridimnsional dll tnsioni. Figura -8: Efftto Bauschingr rarsntazion dl backstrss. 4

55 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Il modllo di incrudimnto cinmatico roduc una risosta ciclica stabilizzata doo il rimo ciclo di carico, sia in controllo di sforzo ch di dformazion. La lgg di incrudimnto considrata nl sgunt laborato è qulla dll incrudimnto cinmatico in quanto qusta funzion analizza in modo iù accurato ral il vro comortamnto dl matrial. Si analizzano nl aragrafo succssivo l funzioni rinciali costitunti un modllo lastico..3 FUNZIONI COSTITUENTI IL MODELLO ELASTO-PLASTICO. 3. Funzion di snrvamnto La surfici di snrvamnto rmtt di stabilir s ad uno stato tnsional corrisond una condizion lastica o lasto-lastica. Attravrso la funzion di snrvamnto è ossibil dtrminar artndo da uno stato di tnsion multiassial, una tnsion monoassial quivalnt. Il matrial è assunto in camo lastico, quindi con dformazion lastica nulla fino a ch lo stato tnsional soddisfa la condizion di snrvamnto. Pr valori iù lvati dlla tnsion, il comortamnto dl matrial sarà in camo lasto-lastico I du critri di snrvamnto iù utilizzati sono il critrio Trsca (critrio di tnsion massima di taglio) il critrio di von Miss (critrio dlla massima nrgia dviatorica). Nl sgunt lavoro si utilizza il critrio di von Miss. Il critrio di von Miss è qullo iù utilizzato la condizion di snrvamnto è raggiunta quando il scondo invariant dlla art dviatorica dl tnsor dll tnsioni raggiung un valor limit carattristico dl matrial. f ( J ) J = Eq.- k dov J rarsnta l invariant scondo dl tnsor dll tnsioni k indica il valor limit carattristico dl matrial. 43

56 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Il critrio di von Miss infatti stabilisc ch solo la dnsità di nrgia dviatorica, cioè l nrgia ch rovoca variazion di forma a arità di volum, è qulla ch rovoca il cdimnto dl matrial. La art idrostatica invc rovoca solo variazioni di volum a arità di forma non è dirttamnt rsonsabil dl raggiungimnto dlla condizion di snrvamnto limit dl matrial. Considrando un gnrico tnsor dfinito nll quazion -, è ossibil calcolar il tnsor dviatorico dtrminato dalla diffrnza tra l tnsioni totali la art idrostatica. Si considrano rciroch l tnsioni tangnziali. 3 = 3 Eq ( + 3 ) S = ( 33 + ) 3 ( ) Eq Si alica adsso la dfinizion di invariant scondo alla matric dviatorica di cui sora sostitundo all intrno dl formula - si trova ch: 3 ( + + ) k = Eq.-4 In trmini di tnsioni dviatorich, sulla bas dgli studi di Singh t al. [3], è ossibil srimr la q nl sgunt modo: 3 q = SS Eq.-5 44

57 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica dov S rarsntano l comonnti dl tnsor dviatorico dfinito in -3 d è alicata la convnzion dlla sommatoria imlicita. Sviluando la formula -5 è ossibil ritrovar la q calcolata attravrso il critrio di von Miss -4. La rarsntazion grafica di du critri di snrvamnto nllo sazio tridimnsional dll tnsioni è visibil nlla figura sottostant: Figura -9 Rarsntazion grafica dl critrio di Trsca von Miss [36]. Si uò notar ch la surfici limit nl caso dl critrio di von Miss è dfinita da un lliss nllo sazio tridimnsional Inoltr, nlla figura sovrastant sono dfiniti risttivamnt l ass idrostatico dll tnsioni il π-lan o iano dll tnsioni dviatorich. Il π-lan è dfinito com il iano dov la somma dll tnsioni rinciali è nulla. L ass idrostatico invc, è dfinito com la rtta dov l tnsioni rinciali sono uguali tra loro. S si considra l ass idrostatico com nuovo ass di rifrimnto, allora la surfici limit rarsntata da un lliss nl critrio di von Miss, tramit una szion con un iano ortogonal all ass stsso, si trasforma in una circonfrnza di raggio ari al valor limit carattristico dl matrial. Qusto è visibil nlla figura sottostant: 45

58 Caitolo La toria dlla lasticità ciclica Figura -0 Surfici limit critri di snrvamnto visti dall ass idrostatico Si uò assrir quindi ch la surfici limit nl critrio di von Miss è rarsntata da un llissoid nllo sazio tridimnsional, mntr è rarsntata da una circonfrnza s si considra l ass idrostatico com nuovo sistma di rifrimnto. Figura - rarsntazion dl critrio di von Miss nl: a) iano - ; b) π- lan. Pr una ral iù comlta dscrizion dl comortamnto dl matrial in camo lasto-lastico è ncssario considrar una variabil aggiuntiva all intrno dlla funzion dllo snrvamnto. Il trmin in qustion è rarsntato dal backstrss dfinito nl aragrafo... Attravrso il backstrss è ossibil dscrivr il moto di traslazion dlla surfici di snrvamnto, quando lo stato di tnsion alicata al matrial sura la condizion lasticità limit dfinita nll quazion -4. In bas agli studi di Jiang(994) [] Jiang-Shitoglu(996) [3], la nuova condizion di snrvamnto è dfinita nll quazion sottostant: 46