Il rischio di tasso di interesse

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1 MEBS Lecture 2 Il rischio di tasso di interesse MEBS, lezioni Roberto Renò Università di Siena 2.1 Il rischio di tasso di interesse Per rischio di tasso di interesse si intende la possibilità che, effettuato un investiento, il suo valore diinuisca per la variabilità della struttura per scadenza. Si pensi alle polizze a inio garantito eesse una quindicina di anni fa: il inio era oltre il 10%, un tasso adeguato all inflazione di allora, a praticaente ipossibile da coprire per le iprese di assicurazione oggi. Le tecniche di iunizzazione irano per l appunto a diinuire il rischio di tasso di interesse. 2.2 I tassi italiani 1

2 2.3 Iunizzazione finanziaria In un problea di iunizzazione, le variabili in gioco sono: Uno scadenzario Il flusso di cassa attivo Il flusso di cassa passivo La struttura per scadenza Iunizzare il proprio investiento vuol dire che il suo valore resta inalterato o cresce per qualsiasi cabiaento della struttura. Ad esepio, un CCT è perfettaente iunizzato e quota alla pari qualsiasi sia la struttura futura dei tassi. 2.4 Matching Una tecnica di iunizzazione è quella di fare in odo che il flusso attivo e passivo abbiano coportaenti opposti in caso di variazione della struttura per scadenza (atching). In questo odo, il valore totale del portafoglio riane invariato. In un contesto stocastico, l iunizzazione può essere ipleentata solaente in funzione del odello assunto per l evoluzione della struttura. Le regole di iunizzazione sono pertanto odel-dependent, e questo fatto pone la necessità di utilizzare odelli realistici per i tassi di interesse. 2.5 Iunizzazione classica Per iunizzazione classica intendiao quella deterinistica in presenza di shift additivi della curva dei tassi. Roberto Renò, 2003 c 2

3 Supponiao che la curva dei tassi sia specificata per ezzo dell intensità istantanea di interesse δ(t,s), essendo: v(t,s) = e s t δ(t,u)du o per ezzo della curva dei rendienti (yield curve): h(t,s) = 1 s t s t δ(t,u)du 2.6 Shift additivi Per shift additivo si intende una variazione costante dell intensità indipendente dalla aturità: δ(t,s) = δ(t,s) + Z(t,t ) Lo shift non dipende dalla aturità s t a solo da t e t. Per una struttura piatta, esso si traduce in: δ(t ) = δ(t) + Z, t t 2.7 Shift additivi In terini di intensità di rendiento: h(t,s) = 1 s s t δ(t,u)du = h(t,t,s) + Z Sui rendienti abbiao invece: t 1 + i(t,s) = [ 1 + i(t,t,s) ] e Z 2.8 L ipotesi di shift additivi L ipotesi di shift additivo è stata introdotta da Fisher e Weil, e da Redington. Essa rappresenta senz altro un ipotesi irrealistica delle variazioni della curva dei rendienti; è chiaro che le inforazioni provenienti sul ercato odificano tale curva in aniera diversa a seconda della aturità. Tale ipotesi va quindi considerata coe uno struento per analizzare le variabili in gioco e capire quali sono le più iportanti, per poi volgersi alla risoluzione di problei più coplessi. 2.9 Roberto Renò, 2003 c 3

4 Definizione di iunizzazione Consideriao il problea dell iunizzazione nel caso di shift additivi che abbiano effetto nell istante t + iediataente successivo a t: δ(t +,s) = δ(t,s) +Y Indichiao con x il flusso di cassa attivo e con y quello passivo. Supponiao che all inizio i due flussi abbiano lo stesso valore attuale: I flussi si dicono iunizzati se: W(t,x) = W(t,y) W(t +,x) W(t +,y) o alternativaente se è non-negativo il valore attualizzato del portafoglio coposto dai due flussi all istante t Maturity atching La strategia di iunizzazione di Fisher e Weil è stata proposta per superare il criterio secondo cui attivo e passivo devono avere la stessa aturità (aturity atching). Esepio: Il flusso passivo sia costituito da L = 100 con scadenza H = 3 anni. Si osservi la struttura piatta δ(0,s) = 0.1; volendo coprire tale titolo con un titolo dal flusso {10,10,110} con scadenze 1,2,3 anni, basterà una quota di del titolo in questione. Tale strategia naif non produce un portafoglio iunizzato! Se, iediataente dopo l istante iniziale, la struttura diventa δ(0, s) = 0.099, il valore del passivo è , quello dell attivo è e non è soddisfatta la condizione di iunizzazione Il teorea di Fisher e Weil Teorea: Sia δ(t,s) la struttura osservata in t, L un iporto esigibile in H > t, x un flusso di iporti non negativi sullo scadenzario {t 1,...,t }, tale che: W(t,x) = W(t,L) Il portafoglio è iunizzato per shift additivi aleatori se e solo se la duration di x è uguale alla aturità di L: D(t,x) = H t Roberto Renò, 2003 c 4

5 Al criterio di aturity atching si sostituisce quindi quello di duration atching (nel caso di shift additivi!) Esepio Si voglia coprire in t l iporto L esigibile in H con due titoli a cedola nulla unitari e riborso ai tepi t 1 < H < t 2. Sia v(t,s) la struttura per scadenza. Siano α 1,α 2 le quote dei due titoli. Abbiao un vincolo di bilancio: α 1 v(t,t 1 ) + α 2 v(t,t 2 ) = Lv(t,H) e un vincolo di duration: α 1 (t 1 t)v(t,t 1 ) + α 2 (t 2 t)v(t,t 2 ) = (H t)lv(t,h) da cui si ricavano α 1 e α 2. Siano ad esepio L = 100,H = 3,t 1 = 2,t 2 = 5,i = 9%. In questo caso, per uno shift positivo dell 1%, il valore del passivo è , quello dell attivo è Per uno shift negativo dell 1%, il valore del passivo è , quello dell attivo Teorea di Fisher e Weil Consideriao un flusso x su di uno scadenzario t; il suo valore in un generico istante H è dato da: 1 R(H,x) = x k t k H v(t,t k,h) + x k v(t,h,t k ) t k >H dove i ontanti sono funzioni della stuttura osservata in t. Notiao coe, se la struttura non subisce variazioni: R(H,x) = x k e t k H δ(t,u)du = W(t,x) v(t, H) la quale lega il valore del portafoglio in H alla struttura in t Il tepo ottio di sobilizzo L iunizzazione finanziaria può allora essere interpretata coe la ricerca del tepo ottio di sobilizzo, cioè di quell istante H in cui il reddito prodotto da x sia counque non inferiore al valore R(H,x) che si avrebbe nel caso di struttura stabile. Il risultato è: H = (t k t)x k v(t,t k ) x k v(t,t k ) Roberto Renò, 2003 c 5

6 L istante di sobilizzo ottio è dato proprio dalla duration Duration e rischio L interpretazione della duration coe isura della rischiosità rispetto agli shift additivi può essere verificata iediataente. Osservando che, in struttura piatta: si ottiene: W(t,x) = x k e h(t t k) D = 1 W(t,x) W(t,x) h Notiao ancora una volta che la duration è una isura adatta di rischiosità solo se il rischio si anifesta unicaente traite shift additivi Portafoglio di n titoli Considero n titoli su di uno scadenzario {t 1,...,t }, e il titolo i sia caratterizzato dal flusso x i. Sia α i la quota detenuta del titolo i. Il vincolo di bilancio diventa: n i=1 entre il vincolo di duration diventa: α i x ik v(t,t k ) = Lv(t,t k ) n i=1 (t k t)α i x ik v(t,t k ) n i=1 α i x ik v(t,t k ) = H t 2.17 Portafoglio di n titoli Il problea ha n 2 gradi di libertà e aette quindi olte soluzioni. Ciò perette di scegliere il portafoglio con vincoli aggiuntivi, adatti alle esigenze gestionali (per esepio, no alla vendita allo scoperto). Un esepio è la scelta del portafoglio che iniizza il costo di acquisto Roberto Renò, 2003 c 6

7 Istanti successivi I risultati fin qui ottenuti non valgono solo per shift additivi nell istante t +. Vale infatti il seguente: Teorea: Sia δ(t 0,s) la struttura osservata in t 0, L un iporto esigibile in H > t 0, x un flusso di iporti non negativi sullo scadenzario {t 1,...,t }, tale che: e valga anche: W(t 0,x) = W(t 0,L) D(t 0,x) = H t Istanti successivi Allora, se la curva dei rendienti non subisce perturbazioni fino ad unistante t < t 1, i vincoli di bilancio e duration valgono per ogni t copreso fra t 0 e t, cioè: W(t,x) = W(t,L) D(t,x) = H t 2.20 Tepo ottio di sobilizzo Questo risultato può essere interpretato anche in terini del tepo ottio di sobilizzo del portafoglio. Se tale tepo è infatti dato da H = D(t 0,x) +t 0 se non avvengono perturbazioni fino a t < t 1 il tepo ottio è ancora H. Infatti per la duration vale: quindi: D(t,x) = D(t 0,x) (t t 0 ) t + D(t,x) = t 0 + D(t 0,x) = H Dopo il prio shift o il pagaento della pria posta di x i vincoli non sono più soddisfatti: occorre ipleentare una strategia dinaica di gestione del portafoglio che ne cabi le proporzioni per ognuno di questi eventi Copertura di un flusso di iporti Ci siao occupati finora del caso della copertura di un singolo iporto. Appare naturale chiederci coe si copre un flusso di iporti y. Roberto Renò, 2003 c 7

8 Si verifica agevolente che i vincoli di bilancio e di duration non sono di per sé sufficienti a garantire l iunizzazione del portafoglio da shift additivi. Occorre quindi un vincolo aggiuntivo Teorea di Redington La soluzione a questo problea viene fornita dal teorea di Redington: Teorea: Sia δ(t,s) la struttura osservata in t, y,x due flussi di iporti non negativi sullo scadenzario {t 1,...,t }, tali che: W(t,x) = W(t,y) Il portafoglio è iunizzato per shift additivi aleatori infinitesii se e solo se la duration di x è uguale alla duration di y: D(t,x) = D(t,y) e se la duration al second ordine di x è inore della duration al second ordine di y: D (2) (t,x) D (2) (t,y) 2.23 Paniere di n titoli La scelta del portafoglio di copertura di inio costo in un paniere di n titoli diventa quindi equivalente alla soluzione del problea: n i=1 α i x ik v(t,t k ) = y k v(t,t k ) n i=1 n i=1 (t k t)α i x ik v(t,t k ) = (t k t) 2 α i x ik v(t,t k ) (t k t)y k v(t,t k ) (t k t) 2 y k v(t,t k ) 2.24 Richieste aggiuntive La richiesta del inio costo si forula coe: in n i=1 α i q i, Roberto Renò, 2003 c 8

9 dove q i è il costo del titolo i. Eventualente si può richiedere: α i 0 se si vogliono evitare vendite allo scoperto Generalizzazione Il teorea di Redington non può ancora essere considerato in senso stretto la generalizzazione del teorea di Fisher e Weil, in quanto esso vale solo per shift infinitesii. Il seguente risultato è più generale: Teorea: Sia δ(t,s) la struttura osservata in t, y,x due flussi di iporti non negativi sullo scadenzario {t 1,...,t }, tali che: W(t,x) = W(t,y) 2.26 Vincoli MAD Il portafoglio è iunizzato per shift additivi aleatori se e solo se la duration di x è uguale alla duration di y: e se, per ogni j = 1,...,: D(t,x) = D(t,y) t j t k x k v(t,t k ) t j t k y k v(t,t k ) I vincoli così introdotti prendono il noe di vincoli MAD (ean absolute deviation) Iunizzazione sei-deterinistica Per i otivi già citati, l ipotesi di shift additivi non può essere del tutto soddisfacente. Ciò ha portato a olte generalizzazioni del problea dell iunizzazione. Restando nell ipotesi di shift additivi, proviao a renderli dipendenti dalla aturità: δ(t,s) = δ(t,s) + Z(t,t,s) Nell istante t + : δ(t +,s) = δ(t,s) +Y (s) Per ottenere dei risultati significativi, dovreo accopagnare alla richiesta di iunizzazione una richiesta di altro tipo Roberto Renò, 2003 c 9

10 Un esepio Una caratterizzazione fondaentale è fornita dal seguente: Teorea: Sia δ(t,s) la struttura osservata in t, y,x due flussi di iporti non negativi sullo scadenzario {t 1,...,t }, tali che: In presenza di shift del tipo: W(t,x) = W(t,y) δ(t +,s) = δ(t,s) +Y (s) con Y (s) superiorente liitata e di classe C 1, se vale la condizione di duration: D(t,x) = D(t,y) 2.29 Un esepio Inoltre, se per ogni j = 1,..., si ha: t j t k x k v(t,t k ) t j t k y k v(t,t k ) allora sussiste la seguente relazione: W(t +,x) W(t +,y) +W(t,y)K [ ] D (2) (t,x) D (2) (t,y) essendo K una variabile aleatoria indipendente da x e y Risultato Tale risultato iplica la seguente diseguaglianza: W(t +,x) W(t +,y) W(t,y) KM (2) N (t) dove K dipende solo dalla fora dello shift e, precisaente: K = 1 [ d 2 ] 2 inf s t Y (u)du s t ds 2e Tale disuguaglianza stabilisce una liitazione inferiore per la variazione del valore netto dovuto allo shift. Il liite inferiore è proporzionale alla dispersione netta, ed avrà lo stesso segno di K visto che M (2) N (t) Roberto Renò, 2003 c 10