Capitolo 2 NUMERI. b = a. b c. d = ac. bd, a b, c d Q.

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1 Cpitolo 2 NUMERI 2 Numeri nturli, interi, rzionli, reli, I numeri che tutti conoscimo sono nti dll esigenz di eseguire dei conti, ovvero di risolvere semplici equzioni Pssimo brevemente in rssegn i vri tipi di numeri I numeri nturli sono i numeri: 0,, 2, 3, 4,, 9, 0,, che ssumimo come noti [cioè come un concetto primitivo] Denotimo con N l insieme (infinito) d essi formto In N sono definite le ben note operzioni di somm e prodotto ed è fissto un ordinmento nturle (totle), per cui 0 < < 2 < 3 < ( ) Perché i nturli non ci bstno? n + X = m Scelti rbitrrimente n, m N, l equzione può non mmettere soluzioni in N Ad esempio, non ne mmette l equzione 2 + X = Per poter risolvere in ogni cso equzioni del tipo ( ) è necessrio mplire N, ttribuendo d ogni nturle un segno [+ o ], cioè definendo i numeri interi (o interi reltivi): 4, 3, 2,, 0, +, +2, +3, +4, Denotimo con Z l insieme dei numeri interi Anche in Z sono definite le (ben note) operzioni di somm e prodotto [con l misterios regol del segno del prodotto] ed nche Z è (totlmente) ordinto in modo nturle Se poi identifichimo +n con n, llor N Z In Z l equzione ( ) è sempre risolubile [con soluzione m +( n), nche indicto m n] In prticolre l equzione 2 + X = h soluzione Perché gli interi non ci bstno? ( ) nx = m [con n, m Z, n 0] Scelti rbitrrimente n, m Z, con n 0, l equzione non è generlmente risolubile in Z Ad esempio, non lo è l equzione 2X = Per poter risolvere equzioni del tipo ( ) bisogn mplire Z, definendo cosìinumeri rzionli (o frzionri), cioè le espressioni del tipo b,, b Z,b 0, verificnti le condizioni: b = b b = b [Ad esempio 2 3 = 4 6 = 8 2 = ] n Denotimo con Q l insieme dei numeri rzionli Poiché ogni intero n può essere identificto con, llor Z Q In Q sono definite le due ben note operzioni di somm e prodotto: b + c d = d+bc bd, b c d = c bd, b, c d Q Inoltre Q è (totlmente) ordinto in modo nturle, con l seguente regol: In Q l equzione ( ) è sempre risolubile [con soluzione m n h soluzione 2 b < c d d < bc ] In prticolre l equzione 2X = Perché i rzionli non ci bstno? Molte equzioni lgebriche di grdo 2 non sono risolubili in Q Ad esempio non lo è l equzione X 2 = 2 Dimostrimolo Per ssurdo, si q Q un soluzione di tle equzione Assumimo q = b, con, b Z e, b privi di fttori comuni [ciò non è restrittivo] Poiché = 2, llor 2 =2b 2 Si teng conto dei seguenti ftti:

2 6 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO - ogni intero n [ 0, ±] si fttorizz in modo unico come prodotto di numeri primi; - n e n 2 hnno gli stessi fttori primi; - i fttori primi di n 2 hnno esponente doppio dei corrispondenti fttori primi di n D 2 =2b 2 segue che 2 h fttore 2 Quindi h fttore 2 e pertnto 2 h fttore 2 2 =4 M, essendo b dispri [ltrimenti, b vrebbero un fttore comune], 2b 2 non può vere fttore 4: di qui segue un ssurdo Un soluzione di tle equzione viene indict con 2 e si trov in un mbiente numerico più grnde di Q M ltri numeri si rendono necessri, e non solo per risolvere equzioni lgebriche, come quell sopr considert Ad esempio, serve un numero per esprimere il rpporto (che è sempre costnte) tr l lunghezz di un circonferenz e l lunghezz del suo dimetro [si trtt del ben noto numero π, che non è rzionle (come dimostrto nel 76)]; serve un ltro numero cui tend l successione {( + n )n } n [si trtt del numero e di Nepero, bse del logritmo nturle, nch esso non rzionle] L mbiente numerico nel qule trovno posto questi numeri è l insieme R dei numeri reli, di cui ci occuperemo nei successivi prgrfi In R sono definite due operzioni (somm e prodotto) ed esiste il concetto di numero rele positivo o negtivo [e d ciò segue l esistenz di un ordinmento totle tr i numeri reli] M nche R non bst, nel senso che esistono semplici equzioni che non hnno soluzioni in R L più semplice è l equzione X 2 + = 0 Nessun numero rele può risolvere tle equzione Inftti i numeri reli verificno queste due proprietà: - l somm di due numeri reli positivi (o nulli) è un numero rele positivo (o nullo), - il qudrto di un numero rele non nullo è sempre positivo Quindi, essendo = 2 > 0, non esiste α R tle che α 2 + = 0 Occorrerà llor definire un mbiente di numeri ncor più grnde dei numeri reli, in cui poter risolvere l precedente equzione Simo così rrivti d ipotizzre l esistenz di ltri numeri: si trtt dei numeri complessi M qui ci fermimo

3 CAP 22 RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI NATURALI 7 22 Rppresentzione decimle dei numeri nturli Abbimo detto che l insieme dei numeri nturli è: N = {0,, 2, 3, 4,, 9, 0,, } In questo modo però bbimo definito i nturli ttrverso l loro numerzione decimle M ci sono ltre numerzioni [d esempio quell romn, quell binri, ecc] Se voglimo quindi introdurre i nturli senz fr riferimento d un loro rppresentzione, è necessrio procedere in modo diverso Si consideri un insieme strtto N e si definisc: - un primo elemento di N, che è usulmente chimto zero e denotto 0; - un funzione σ : N N, dett funzione del successivo, che d ogni n N ssoci un nuovo elemento di N, detto successivo di n e denotto σ(n) o,più semplicemente, n + [dove = σ(0)] Tle funzione deve essere iniettiv e godere di ltre proprietà [su cui non insistimo] D tli proprietà segue che l insieme N è formto d 0 e dl successivo di ogni suo elemento, cioè: ( ) N = {0,, +, ++, +++, ++++, } Il ftto che un insieme N, con funzione del successivo, esist non può però essere dimostrto questo motivo i numeri nturli sono un concetto primitivo Per Prtendo d ( ) è possibile definire in N due operzioni: l somm ed il prodotto Precismente, scelti rbitrrimente n = + +,m=++ + N, si definisce: } {{ } } {{ } [n ddendi] n + m := ; } {{ } } {{ } [n ddendi] [m ddendi] n m := ( + +)+ +(+ +) } {{ } [m ddendi] [m ddendi] = } {{ } [nm ddendi] Inoltre in N è definito il seguente ordinmento nturle: 0 < < +< ++< [ovvero n<n+, n N] Voglimo or descrivere l rppresentzione decimle dei numeri nturli, m complichimo un po le cose Sceglimo un nturle b> [che chimeremo bse] eb simboli distinti, per i quli fissimo un ordinmento [li chimeremo cifre (rispetto b)] Per semplificre le notzioni, indichimo le cifre con i primi b numeri nturli 0,,, b [che vnno interpretti come simboli e non come numeri] Il cso più comune, cui è opportuno fr sempre riferimento, è quello in cui b = 0 e le cifre sono 0,,, 9 Si può dimostrre il seguente risultto Ogni n N si scrive in modo unico nell form n = 0 + b + 2 b t b t, con 0,, 2,, t {0,,,b } e con t 0,sen 0 [Ovvimente bbimo posto b k = b b b (k volte), k 2] Se quindi n = 0 + b + 2 b t b t, scriveremo n nell form n =( t, t,,, 0 ) b e chimeremo tle scrittur rppresentzione di n in bse b Se in prticolre sceglimo b = 0, d esempio il numero nturle n = viene rppresentto in bse b = 0 nell form (5, 2, 7, ) 0, ovvero, come comunemente si us scrivere, 527 Tle espressione è dett rppresentzione decimle di n

4 8 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO Con b = 00, lo stesso nturle n si rppresent nell form (52, 7) 00 [inftti n = ]; con b = 50, n si rppresent nell form (2, 5, 2) 50 [inftti n = ] Si noti che in ogni bse b il numero b si rppresent sempre nell form (, 0) b, mentre d esempio b 2 si rppresent sempre nell form (, 0, 0) b Come si ottengono le cifre di n in un bse b? Si utilizz un lgoritmo [cioè un procedimento di clcolo], che si bs sull divisione euclide (o divisione con resto), che supporremo not Dividimo n per b, ottenendo: n = bq 0 + r 0 (con 0 r 0 <b) Dividimo or q 0 per b, ottenendo: q 0 = bq + r (con 0 r <b) Poi, successivmente: q = b + r 2, = bq 3 + r 3, ecc I quozienti q i sono positivi, m decrescono e quindi, dopo un numero finito di pssi, si otterrà un quoziente nullo; questo punto l lgoritmo termin Supponimo che gli ultimi due pssi del lgoritmo sino: q s 2 = bq s + r s (con q s > 0 e 0 r s <b); q s = b 0+r s [e quindi q s = r s ] Sostituendo ciscun espressione q i nell precedente, si ottiene: n = b s r s + b s r s + + b 2 r 2 + br + r 0 e quindi n =(r s,r s,, r 2,r,r 0 ) b Ad esempio, se n = 527 e b =, risult: 527 = , 479 = 43 +6, 43 = 3 + 0, 3=0 +3 Allor n =(3, 0, 6, 2) ESERCIZI Rppresentre in bse b = 2 il numero n = 35 [in rppresentzione decimle] [Sol n =(, 0, 0, 0,, ) 2 ] 2 Eseguire somm e prodotto in bse b = 2 dei due seguenti nturli n =(,, 0) 2,m=(,, ) 2 [Sol n + m =(,, 0, ) 2,nm=(, 0,, 0,, 0) 2 ]

5 CAP 23 RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI RAZIONALI 9 23 Rppresentzione decimle dei numeri rzionli Si b Q Assumimo b>0 [non è restrittivo, essendo b = b ] ed eseguimo l divisione euclide di per b Ottenimo: Allor: = bq + r 0, con 0 r 0 <b ( ) b = q + r 0 b Considerimo or il numero nturle 0 r 0 e dividimolo per b Ottenimo: 0 r 0 = bq + r, con 0 r <b Ne segue: r 0 = 0 r 0 0 = b q ottenimo: 0 + r 0 e quindi ( ) b = q + q 0 + r 0 b Dividimo or 0 r per b Ottenimo: Ne segue: r = 0 r 0 = b ottenimo: 0 + r 2 r 0 b = q 0 + r 0 b Sostituendo tle espressione in ( ) 0 r = b + r 2, con 0 r 2 <b 0 e quindi ( ) b = q + q r b Proseguendo in questo modo, si h, k : r 0 b = + r 2 Sostituendo tle espressione in ( ) b b = q + q q k 0 k + r k 0 k b Come termin questo lgoritmo? Ci sono due possibilità: (A) Esiste un resto r k = 0 In tl cso b = q + q q k k e si scriverà: b = q, q q 3 q k In tl cso il numero rzionle b è detto decimle finito e l scrittur q, q q 3 q k è dett rppresentzione decimle di b Inoltre q è dett prte inter e q q 3 q k prte decimle di b (B) Il resto r k non è mi nullo, k 0 M poiché tutti i resti r k vrino nell insieme finito {, 2,,b }, dopo un numero finito di pssi dell lgoritmo r k deve necessrimente ssumere un vlore già ottenuto in precedenz Ad esempio supponimo che r k = r h, con 0 h<k In tl cso q k+ = q h+, ecc, cioè i quozienti successivi si ripetono ciclicmente, con sequenz {q h+,, q k } Si ottiene quindi b = q + q q h + ( q h+ + + q ) ( q k 0 h 0 h+ 0 + h+ + + q ) ( ) k k 0 k k h In tl cso il numero rzionle b è detto decimle (illimitto) periodico, con periodo q q, e h h+ k quindi rppresentzione decimle: b = q, q q h q h+ q k q h+ q k q h+ q k q h+ q k che si scrive, più semplicemente: b = q, q q h q h+ q k L prte decimle q q h q h+ q k è formt dl periodo q h+ q k [le cui cifre si ripetono infinitmente] e d un prim prte finit [che può nche non esserci] q q h, dett ntiperiodo di b è privo di ntiperiodo, è detto periodico semplice; ltrimenti è detto periodico misto Se b Esempio (Cso A) Scrivimo in form decimle 3 5 Poiché 3 = , llor 3 5 =2+3 5

6 0 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO Poiché 3 0 = , llor 3 = e quindi 3 5 = Allor 3 5 = =2, 6 Esempio 2 (Cso B) Scrivimo in form decimle 3 6 Poiché 3 = 6 2 +, llor 3 6 =2+ 6 Poiché 0=6 + 4, llor = , d cui 6 = e quindi 3 6 = Poiché 4 0 = 6 6+4, llor 4 = , d cui = e quindi = Poiché i due ultimi resti coincidono [entrmbi = 4], llor 3 6 h rppresentzione decimle: 3 6 = =2, =2, Si trtt di un numero decimle periodico misto, con periodo 6 e ntiperiodo Esempio 3 (Cso B) Scrivimo in form decimle 3 9 Poiché 3 = 9 + 4, llor 3 9 =+4 9 Poiché 4 0= , llor 4 = , d cui 4 9 = e quindi 3 9 = Poiché i due ultimi resti coincidono [entrmbi = 4], llor 3 9 h rppresentzione decimle: 3 9 = =, =, Si trtt di un numero decimle periodico semplice, con periodo 4 Esempio 4 (Cso B) Verificre che 3 7 =, (numero decimle periodico semplice) Not I clcoli svolti nei precedenti esempi sono esttmente quelli che si fnno nell divisione con l virgol, ben not come regol prtic gli studenti, sin dlle scuole elementri , 6 0 2, 6 40, 4 60, Abbimo dimostrto che ogni numero rzionle si rppresent in form decimle o come un numero decimle finito o come un numero decimle periodico (semplice o misto) Ci chiedimo vicevers se ogni sifftt rppresentzione decimle proviene effettivmente d un numero rzionle Un tle numero rzionle esiste ed è chimto frzione genertrice del numero decimle ssegnto Come si ottiene l frzione genertrice? Vle l seguente regol: Assegnto un numero decimle periodico q, q q h q h+ q k, un su frzione genertrice è qq q h q k qq q h h, dove il numero delle cifre 9 denomintore è pri ll lunghezz del periodo, mentre l esponente h è ovvimente l lunghezz dell ntiperiodo Esempi, 234 = = ;, 234 = = 37 ;, 234 = = 900 ; 2, 34 = = ;

7 CAP 23 RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI RAZIONALI 2, 34 = = 90 ; 2, 34 = = ;, 234 = = Qul è l frzione genertrice di, 9? Con l regol sopr enuncit si ottiene 9 9 = 8 9 =2, cioè un numero decimle finito Anlogmente, d esempio, 009 = = = 0 00 =, 0, ncor un numero decimle finito Per superre quest pprente nomli, bst identificre un numero decimle periodico con periodo 9 con il numero decimle limitto, ottenuto incrementndo di un unità l ultim cifr che precede il periodo, cioè ponendo: q, q q 3 q h 9 q, q q 3 (q h +) [si noti che q h < 9, in qunto ltrimenti q h entrerebbe nel periodo]

8 2 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO 24 Rppresentzione decimle dei numeri reli Abbimo detto che l insieme R dei numeri reli deve contenere, oltre i numeri rzionli, nche ltri numeri, d esempio: - le soluzioni di equzioni del tipo X 2 =2; - il rpporto l(c) l(d) tr l lunghezz di un circonferenz C e quell del suo dimetro D; { - il limite dell successione di numeri rzionli ( + n }n )n I tre numeri in questione, come vedremo in conclusione del prgrfo, hnno un crtteristic comune: sono rppresentbili con un espressione del tipo ( ) α = ± k 0,q q 3 q h dove ± k 0 è un numero intero, detto prte inter di α [rppresentto in form decimle, dunque k 0 = k 0 k ], mentre q q 3 q h, dett prte decimle di α, è un sequenz nche infinit di cifre, d 0 9, che si ripete senz priori richiedere lcun tipo di regolrità eche v interprett come l seguente somm infinit q q q h h Notzioni Per ogni h, in luogo di scriveremo spesso 0 h Utilizzndo il simbolo di 0 h sommtori Σ, l precedente espressione si può scrivere nell form q h 0 h h= [che si legge: somme, per h d infinito, di q h 0 h ] Come già visto nel prgrfo precedente, nche i numeri rzionli possono essere rppresentti con un espressione nlog ( ) [m con un differenz: per i numeri rzionli l prte decimle è definitivmente null ovvero è periodic] Pur senz ver l pretes di dre un convincente definizione di numero rele, possimo dire che: I numeri reli sono tutti e soli quelli che si rppresentno nell form ( ) L insieme dei numeri reli è denotto R e, come ppen osservto, R Q I numeri reli non rzionli vengono detti numeri irrzionli o nche decimli illimitti periodici A cus dell irregolrità dell loro prte decimle, è intuibile che i numeri irrzionli sino molti di più dei numeri rzionli Poichéè impossibile scrivere tutte le cifre decimli di un numero irrzionle α, non possimo che limitrci scriverne un numero finito, pprossimndo quindi α con un numero rzionle (limitto) Commettimo così un errore, che può essere fcilmente quntificto: se inftti α è rppresentto d ( ) e considerimo, h, il numero rzionle (limitto) α h := ± k 0,q q 3 q h, risult: α α h = q h+ + q h+2 + =0 ( h q h+ 0 h+ 0 h q h ) e quindi 0 <α α h < 0 h [si noti inftti che l espressione in prentesi è positiv e < ] Diremo quindi che α è pprossimto d α h (per difetto) meno di 0 h e che l successione {α h } h pprossim (per difetto) α Se considerimo invece, h, il numero rzionle (limitto) β h := α h +0 h, risult: β h α = α h +0 h α =0 h (α α h )=0 ( h q h+ 0 q h ) e quindi 0 <β h α<0 h [come prim, l espressione in prentesi è positiv e < ] Diremo quindi che α è pprossimto d β h (per eccesso) meno di 0 h e che l successione {β h } h pprossim

9 CAP 24 RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI REALI 3 (per eccesso) α Anloghe considerzioni vlgono nche se α è rzionle Abbimo così provto che ogni numero rele α è circondto d due successioni di numeri rzionli (finiti) {α h } h e {β h } h, dette successioni pprossimnti, che pprossimno α rispettivmente per difetto e per eccesso Si osserv subito che l successione {α h } h è crescente [cioè α α 2 ], mentre l successione {β h } h è decrescente [cioè β β 2 Inftti risult, h : β h β h+ = 9 q h+ 0 h+ 0] Un esempio: se α =0, , le successioni {α h } h e {β h } h sono risp: {0,, 0, 0, 0, 02, 0, 020, 0, 0203, 0, 02030, 0, , }, {0, 2, 0,, 0, 03, 0, 02, 0, 0204, 0, 0203, 0, , } Come si vede, {α h } h è crescente, mentre {β h } h è decrescente Si osserv fcilmente che, ssegnto α R con rppresentzione decimle ( ) e scelto n N, il prodotto α 0 n è ottenuto d α spostndo l virgol di n cifre verso destr, mentre il prodotto α 0 n è ottenuto d α spostndo l virgol di n cifre verso sinistr Trdizionlmente, in questo contesto, per indicre il prodotto si preferisce l notzione in luogo di Ad esempio, se α = 23, 45678, si h: α 0 2 = 2345, 678, α 0 2 =, , α 0 4 = , 8, α 0 4 =0, Usndo quest regol si può fcilmente scrivere ogni numero rele α con prte inter formt d un sol cifr non null Alcuni esempi: il numero rzionle α ppen considerto si scrive nell form α =, ; il numero rzionle 379 si scrive nell form 3, ; il numero 0 6 rzionle (decimle periodico) 0, 034 si scrive nell form 3, = 3, L notzione or introdott prende nome di notzione scientific È prticolrmente utile qundo si devono rppresentre numeri molto grndi o molto piccoli Per tli numeri h poc rilevnz l prte decimle, molt importnz l esponente di 0, detto ordine di grndezz Ad esempio, l distnz terr-sole, che misur circ Km, è fcilmente memorizzbile come, Km, con un pprosimzione per difetto meno di =0 6 Km Usndo le successioni pprossimnti, è possibile definire in R le operzioni di somm e di prodotto Precismente, ssegnti α, β R, se{α h } h è un successione pprossimnte per difetto di α ese {β h } h è un successione pprossimnte per difetto di β, si può dimostrre che le due successioni di numeri rzionli: {α h + β h } h, {α h β h } h individuno, pprossimndoli per difetto, due numeri reli, che denoteremo rispettivmente α+β, α β Possimo poi definire un ordinmento totle in R, introducendo il concetto di numero rele positivo Se α è pprossimto per difetto d {α h } h, diremo che α è positivo [e scriveremo α>0], se esiste h N tle che α h > 0 Ovvimente, se α 0 e α non è positivo, llor α è positivo Diremo poi che, α, β R : α>β α β>0; inoltre α β α>β oppure α = β Infine, ssegnto α R, si chim vlore ssoluto (o modulo) di α il numero rele α così definito: { α, se α 0 α = α, se α<0 Si può fcilmente verificre che: α β = α β, α + β α + β, α, β R Osservzione Come si scrive in form decimle l opposto α di un numero rele α, con rppresentzione decimle ( )?

10 4 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO V tenuto conto che l prte decimle di α deve essere compres tr 0 e e pertnto è necessrio sostituire 0, q q 3 con +( 0, q q 3 ) Ad esempio, se α =, 23, α = 2, 76 Essendo R un insieme ordinto, i suoi elementi possono essere visulizzti su un rett r Vedimo come Fissti su r due punti distinti O, U (che chimeremo rispettivmente origine e punto unità), d ogni punto P r rest ssocito il segmento OP, l cui lunghezz, misurt rispetto l segmento unità OU, è un numero rele x 0 Se P è destr di O, diremo che P h sciss x e scriveremo P =(x); se P è sinistr di O, diremo che P h sciss x e scriveremo P =( x) In prticolre, O = (0) e U = () Si us dire che {O, U} èunriferimento crtesino di r Si può dimostrre che l funzione che ssoci d ogni punto di r l su sciss è un biiezione tr r ed R (che identific in prtic r con R) I numeri interi si dispongono sull rett r d intervlli successivi di mpiezz costnte (come nell figur che segue) I numeri rzionli invece riempiono in modo discreto l rett Inftti, tr due numeri reli distinti (comunque vicini) c è sempre in mezzo un numero rzionle e, vicevers, tr due numeri rzionli distinti c è sempre in mezzo un numero irrzionle Si us dire che i rzionli sono densi nei reli R Assegnti due numeri reli α, β con α<β sono definiti gli insiemi: {x R : α<x<β}, detto intervllo perto di estremi α, β e denotto (α, β), o nche ]α, β[; {x R : α x β}, detto intervllo chiuso di estremi α, β e denotto [α, β]; {x R : α<x β}, detto intervllo (perto - chiuso) di estremi α, β e denotto (α, β], o ]α, β]; {x R : α x<β}, detto intervllo (chiuso - perto) di estremi α, β e denotto [α, β), o [α, β[ Questi tipi di intervlli sono detti limitti Assegnto α R sono poi definiti gli insiemi: {x R : α < x}, detto intervllo perto illimitto destr, denotto (α, + ), o nche ]α, + ); {x R : α x}, detto intervllo chiuso illimitto destr, denotto [α, + ); {x R : x < α}, detto intervllo perto illimitto sinitr, denotto (,α), o nche (,α[; {x R : α x}, detto intervllo chiuso illimitto sinistr, denotto (,α] In prticolre, useremo queste notzioni: R + := (0, + ) (reli positivi), R 0 := [0, + ) (reli non negtivi), R := (, 0) (reli negtivi), R 0 := (, 0] (reli non positivi) Infine si h: R =(, + ) (intervllo illimitto destr e sinistr) In nlogi con i riferimenti crtesini sull rett, possimo definire i riferimenti crtesini sul pino Bst fissre in un pino due rette perpendicolri, che chimeremo rispettivmente sse x ed sse y Si O l intersezione dei due ssi (è detto origine) edu un punto dell sse x, U O (U è detto punto unità dell sse x) L circonferenz di centro O e rggio OU, percors in senso ntiorrio prtire d U, intersec l prim volt l sse y in un punto V (che è detto punto unità dell sse y) L tern di punti {O, U, V } è detto riferimento crtesino (ntiorrio) del pino Ogni punto P del pino, proiettto perpendicolrmente sui due ssi, fornisce un coppi di numeri reli (x, y) [si trtt delle scisse delle due proiezioni, nei rispettivi riferimenti crtesini dei due ssi] (x, y) sono dette coordinte crtesine di P, rispetto tle riferimento crtesino; in prticolre, x è detto sciss e y è detto ordint di P L corrispondenz che d ogni punto P del pino ssoci le sue coordinte crtesine (x, y) stbilisce un biiezione che, in prtic, identific il pino con il prodotto crtesino R R come si ottiene un rppre- Tornimo or ll questione lscit pert ll inizio del prgrfo: sentzione decimle dei tre numeri reli indicti? Comincimo dl numero rele α definito come soluzione dell equzione X 2 = 2 Osservimo subito che nche α è un soluzione dell stess equzione [inftti ( α) 2 = α 2 ] Poiché uno tr α e α

11 CAP 24 RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI REALI 5 è positivo, non è restrittivo ssumere α>0 D α 2 = 2 segue <α 2 < 4 e quindi 2 <α 2 < 2 2 Ne segue che <α<2 [si noti che se x, y sono reli positivi e x 2 <y 2, si verific fcilmente che x<y] Esiste un cifr h {0,,, 9} tle che + h 0 <α<+ h + 0 Tle cifr è ottenut determinndo il mssimo vlore intero h tle che ( + h 0 )2 < 2[=α 2 ] Eseguendo i clcoli risult che h = 4 Dunque, 4 <α<, 5 e quindi, 4 pprossim (per difetto) α meno di 0 Nello stesso modo si può poi determinre h 2 {0,,, 9} tle che h 2 <α< h Eseguendo i clcoli risult che h 2 = Dunque, 4 <α<, 42 e quindi, 4 pprossim (per difetto) α meno di 0 2 Si prosegue in questo modo, ottenendo d esempio che α è pprossimto per difetto, meno di 0 0,d, L prte decimle di α è infinit e non può regolrizzrsi [cioè diventre periodic] in qunto, come sppimo, α Q Il numero rele positivo α, come noto, viene denotto con 2 [ovvero 2 2 ]edè chimto rdice qudrt di 2 2 Venimo or l rpporto l(c) l(d) È evidente che, ssegnto un poligono regolre n-ltero P n inscritto nell circonferenz C, il suo perimetro l(p n )è inferiore l(c) Inoltre, qundo n cresce, nche l(p n ) cresce e tende d pprossimre (per difetto) l(c) Se invece Q n è un poligono regolre n-ltero circoscritto C, risult che l(q n ) >l(c) e, qundo n cresce, l(q n ) decresce e tende d pprossimre (per eccesso) l(c) Ad esempio, se sceglimo P 6 e Q 4 come nell figur che segue, risult [vendo denotto con R il rggio di C e ricordndo che il lto dell esgono regolre misur qunto il rggio]: l(p 6 )=6l(R) =3l(D) l(q 4 )=8l(R) =4l(D) e quindi 3 = l(p 6 ) l(d) < l(c) l(d) < l(q 4 ) l(c) l(d) = 4, cioè 3 < l(d) < 4 Q 4 R P 6 Se rddoppimo i lti del poligono ssegnto P 6, sostituendolo prim con P 2 e poi vi vi con P 24, P 48, P 96, osservimo che il perimetro di tli poligoni tende d pprossimre (per difetto) l(c) [come si vede nell figur che segue] P 6 P2 P 24 Clcolimo il perimetro di tli poligoni [è un esercizio di trigonometri] ed otterremo che pprossimto (per difetto) d l(c) l(d) è

12 6 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO l(c) l(d) 3, è usulmente denotto con il simbolo π [p greco] ed è stto dimostrto (dl mtemtico tedesco JH Lmbert, nel 76) che è un numero irrzionle 3 Venimo infine ll successione { } ( + n )n Si può dimostrre [o lmeno verificrlo per i primi n vlori di n] che tle successione cresce e tende l numero 2, Tle numero è noto con il simbolo e, si dimostr che è irrzionle ed è chimto numero di Nepero Le sue proprietà ne fnno l bse più ust per i logritmi, come vedremo

13 CAP 25 POTENZE E RADICI DI NUMERI REALI 7 25 Potenze e rdici di numeri reli Voglimo dre significto - se possibile - d espressioni del tipo α β, con α, β R Un sifftt espressione è dett potenz di bse α ed esponente β Le definizioni che dremo dovrnno verificre le seguenti ben note regole: α β α γ = α β+γ, (α β ) γ = α βγ, β,γ R Definiremo prim le potenze d esponente intero, poi quelle d esponente rzionle ed infine quelle d esponente rele Potenze d esponente intero Per ogni α R, n N, n, definimo: Se poi α 0, definimo: α n := } α α {{ α } [n fttori] α 0 :=, α = α [per α = 0, le espressioni 0 0 e 0 vengono invece considerte indeterminte] Quindi ponimo: α n := (α ) n =( α = )n α, n n Dlle precedenti definizioni seguono le due seguenti cnoniche proprietà [di cui l second è immedit conseguenz dell prim]: α n α m = α n+m, (α n ) m = α nm, n, m Z 2 Potenze d esponente rzionle Cerchimo di dre significto d espressioni del tipo α q, con q = m n Q Assumimo n [non è restrittivo] e ponimo: α m n := ( α n )m Se sremo in grdo di definire α n, llor, utilizzndo l definizione di potenz d esponenti interi, srà poi definito nche α m n M come definimo α n? Dovendo risultre (α n ) n n = α, llor α coinciderà con ogni numero rele γ (se esiste) tle che γ n = α Simo così ricondotti risolvere l equzione X n = α (con α R) A tle scopo è necessrio studire il grfico dell funzione potenz n-sim Cos possimo dire proposito di tle funzione? f n : R R tle che f n (x) =x n, x R f n (0) = 0, f n () = Si verific immeditmente che Inoltre f n è strettmente crescente nell intervllo R 0 =[0, + ), cioè risult: 0 x<y = 0 x n <y n [Dimostrzione: se y = x + c, con c>0, llor y n =(x + c) n = x n +(ncx n + + nxc n + c n ) L espressione in prentesi è formt d ddendi 0 ed in prticolre l ultimo è sicurmente > 0 Quindi l espressione è positiv e pertnto y n >x n ] Ne segue che l restrizione f n R 0 : R 0 R è iniettiv Clcolimone l immgine Per prim cos osservimo che l immgine è contenut in R 0 [inftti x n 0, x 0] Poi che è illimitt, nel senso che r 0, x R 0 tle che x n >r

14 8 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO [Dimostrzione: se r, si scelg d esempio x = 2; se r >, bst porre x = r (e si verific subito che r n >r)] Ciò che non possimo l momento dimostrre (m v ccettto intuitivmente) è il ftto che f n è continu D tle ftto si può dedurre che l immgine trmite f n dell intervllo R 0 è un intervllo, che (essendo illimitto e contenendo 0) coincide necessrimente con R 0 Si conclude che f n stbilisce un biiezione di R 0 in sé Pertnto: per ogni α R 0, esiste un unico γ R 0 tle che γ n = α Ponimo quindi α n := γ Tle numero rele γ è detto rdice n-sim (ritmetic) di α ed è nche denotto n α Si noti che, se q = m n (con n ), αq coincide indifferentemente con (α n ) m e con (α m ) n [Inftti d α n = γ segue: α = γ n = α m = γ nm =(γ m ) n = γ m =(α m ) n M d α n = γ segue nche (α n ) m = γ m ] Si noti poi che, q Q, α q 0 [in qunto α n 0] Si può infine fcilmente verificre che risult: α m mp n np = α, p N, p > 0 Tle verific serve per poter poi dimostrre l vlidità delle due proprietà delle potenze: α q α q = α q+q, (α q ) q = α qq, q, q Q Un ulteriore osservzione sul grfico delle funzioni f n : se 0 <x<, llor x>x 2 >x 3 >x 4 > ; se x>, llor x<x 2 <x 3 <x 4 < Inftti, k : x k x k+ { = xk ( x) > 0 x<, = x k ( x) < 0 <x Ad esempio le funzioni f,f 2,f 3,f 4 hnno, nell intervllo R 0, il seguente grfico y f4 f 3 f 2 f 0 x Abbimo fin qui discusso le potenze α q, con α 0 α q, con α<0? Cos possimo invece dire circ le potenze Riprtimo dll esme di α n, con α<0 e ci chiedimo se α n h significto Occorre tener seprto il cso n pri dl cso n dispri (A) Se n è pri, risult: f n ( x) =f n (x), x R [inftti ( x) n = x n, se n è pri] Dunque l funzione f n è simmetric rispetto ll sse y [si dice nche che f n è un funzione pri] Ne segue che f n è strettmente decrescente nell intervllo

15 CAP 25 POTENZE E RADICI DI NUMERI REALI 9 (, 0] = R 0 Ad esempio i grfici di f 2,f 4,f 6 sono i seguenti: f 6 f 4 f 2-0 Dunque l immgine di f n è l intervllo R 0 Quindi, se α<0 e n è pri, non esiste γ R tle che γ n = α In tli ipotesi, α n non h quindi significto in R, cioè, se n è pri, l rdice n-sim di un numero rele negtivo non è definit (B) Se n è dispri, risult: f n ( x) = f n (x), x R [inftti ( x) n = x n, se n è dispri] Dunque l funzione f n è simmetric rispetto ll origine O [si dice nche che f n è un funzione dispri] Ne segue che l immgine di f n coincide con R eche f n : R R è biiettiv Ad esempio i grfici di f,f 3,f 5 sono i seguenti: f 5 f 3 f f f 3 f 5 Quindi se α<0 e n è dispri, esiste un unico γ R tle che γ n = α M non è opportuno definire α n := γ, in qunto ciò può portre delle contrddizioni Illustrimone un: è evidente che ( 8) /3 = 2 [inftti ( 2) 3 = 8] m si h nche: ( 8) /3 =( 8) 2/6 =(( 8) 2 ) /6 =64 /6 =2 e dunque 2 = 2: ssurdo In ltri termini, pplicndo usuli proprietà delle potenze si perviene contrddizioni Per questo motivo conviene in generle non definire α q,seα<0 3 Potenze d esponente rele Si α R, α > 0 Si β R e si {q n } n un successione di numeri rzionli limitti, che pprossim (per difetto) β Sppimo definire il numero rele positivo α qn Si può dimostrre che l successione di numeri reli {α qn } n pprossim per difetto un numero rele positivo, che denotimo α β Cerchimo di chirire con un esempio Voglimo clcolre π 2 Poiché 2=, , llor π 2 è definito trmite l successione di numeri reli {π,π,4,π,4,π,44,π,442,π,442, }

16 20 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO Eseguendo i clcoli reli [d esempio pprossimti meno di 0 5 ] si ottiene l successione di numeri {3, 459, 4, 96904, 5, 0232, 5, 04626, 5, 04742, 5, 04748, } Con un clcoltore si ottiene inftti: π 2 =5, Si può poi dimostrre che vlgono le due solite proprietà: α β α γ = α β+γ, ( α β )γ = α βγ, β, γ R Si noti che, α>0, l funzione f α :[0, + ) R tle che f(x) =x α, x 0, è strettmente crescente ed il suo grfico si confront con quello delle funzioni potenz n-sim Qui sotto è evidenzito il grfico di f e, confronto con i grfici di f 2,f 3 [si ricord che e = 2, 7828] f e f 3 f 2 Concludimo il prgrfo studindo l funzione rdice n-sim f /n, che denoteremo più semplicemente g n Risult: g n :[0, + ) R tle che g n (x) = n x, x 0 Tle funzione inverte l funzione potenz n-sim f n in [0, + ) Per ottenerne il grfico bst simmetrizzre quello di f n [ristrett [0, + )] Ad esempio, i grfici di g 2,g 4,g 6 sono i seguenti g 2 g 6 g 4 0 Si noti che, se n è dispri, l funzione f n può essere invertit nche nell intervllo (, 0), ottenendo l funzione invers g n :(, 0) (, 0) tle che g n(x) = n x, x<0 [Ricordimo inftti che non bbimo definito l rdice n-sim (con n dispri) di un numero negtivo]

17 CAP 25 POTENZE E RADICI DI NUMERI REALI 2 I grfici di g,g 3,g 5 (e di g,g,g ) sono i seguenti 3 5 g g 3 g 5-0 g' 5 - g' 3 g' Osservimo infine che, α R, risult: { α, se α 0 α2 = α, se α<0 Inftti, per qunto sopr osservto, le due ppliczioni f 2 : R 0 R 0 e g 2 : R 0 R 0 sono inverse l un dell ltr Quindi: se α 0, α = g 2 (f 2 (α)) = α 2 ; se α<0, llor α >0 e quindi α = g 2 (f 2 ( α)) = ( α) 2 = α 2 In bse d un definizione del prgrfo 4, l espressione α 2 coincide con il vlore ssoluto di α, denotto α

18 22 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO 26 Esponenzili e logritmi di numeri reli Si α un numero rele positivo Dl prgrfo precedente sppimo che, x R, α x èunben individuto numero rele positivo È quindi possibile definire un funzione h α : R R + tle che h α (x) =α x, x R Tle funzione è dett funzione esponenzile in bse α Voglimo studirne il grfico Se α =, l funzione h è costnte, di vlore [inftti h (x) = x =, x R] D or in poi ssumeremo α Si osserv subito che h α (0)= e h α () = α [inftti α 0 = e α = α] csi: 0 <α< e α> Vnno or distinti due (A) Si 0 <α< In tl cso l funzione h α è strettmente decrescente, cioè x<y = α x >α y [Dimostrzione: se y = x + c, con c>0, llor α y = α x+c = α x α c Essendo α<, llor α c < c =, cioè α c < Allor α x α c <α x, cioè α y <α x ] (B) Si α> In tl cso l funzione h α è strettmente crescente, cioè x<y = α x <α y [Dimostrzione: del tutto nlog quell precedente] Si può dimostrre che, in entrmbi i csi, l funzione h α è continu e che mmette come immgine l intervllo (0, + ) =R + Il grfico di h α è dto, nei due csi (A) e (B) sopr considerti, rispettivmente d [ 0<α<] [α >] h α h α α α 0 α 0 α D qunto precede si deduce che b R, b > 0, esiste un unico x R tle che α x = b Tle numero rele x è detto logritmo di b in bse α ed è denotto log α b,o log α (b), o nche lg α b Sussiste quindi l identità [vlid α R +,α, e b R + ] α log α b = b L funzione h α è biiettiv e quindi è dott di invers Tle funzione invers è dett funzione logritmo in bse α, denott log α : R + R Il grfico di tle funzione è ottenuto simmetrizzndo l funzione h α rispetto ll bisettrice x = y Si ottengono, nei due csi (A) e (B) sopr considerti,

19 rispettivmente i grfici CAP 26 ESPONENZIALI E LOGARITMI DI NUMERI REALI 23 [ 0<α<] [α >] log α 0 α 0 α log α Si osserv subito che log α α = e log α =0 [inftti α log α α = α = α Dll iniettivitàdi h α segue che log α α = Anlogmente, α log α ==α 0 e quindi log α = 0] Dlle proprietà delle potenze seguono subito le seguenti due proprietà dei logritmi: log α bc = log α b + log α c, b, c R +, log α b c = clog α b, b, c R, b > 0 [Dimostrzione: si h: α log α b+log α c = α log α b α log α c = bc = α log α bc Dll iniettività di h α segue che log α b + log α c = log α bc Anlogmente: α log α bc = b c =(α log α b ) c = α c log α b e quindi log α b c = clog α b] Si noti che, come semplice conseguenz delle proprietà precedenti: b log α c = log αb log α c, b c R+ b [Inftti log α c = log )=log α (bc α b + log α c = log α b log α c] Voglimo infine determinre l relzione che sussiste tr il logritmo di un numero rele positivo x rispetto due bsi differenti Sino α, α R +, con α, α Ovvimente: Dunque, essendo α = α log αα, si h: α log α x α log α x = x = α log α x, x R + = α log α x log log α x α log α x log α =(α α) = α α Confrontndo gli esponenti dell prim e dell ultim espressione, segue che log α x = log α x log α α In prticolre, se x = α, si h: = log α α = log α α log α α Abbimo così provto che log α α = (log α α ), d cui segue l formul: log α x = log α x / log α α che fornisce il logritmo di x in bse α, prtire d logritmi in bse α Come immedit pliczione di tle formul, si verific d esempio che: x = log logα α x, log 2α x = +log α 2 log αx

20 24 G CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO [Lscimo tli semplici verifiche l lettore] Con l fomul precedente simo in grdo di confrontre i grfici delle funzioni logritmo rispetto due bsi diverse α, α Assumimo <α<α Poiché log α α >, llor 0 < log α α < Risult: { logα α x, se x> log α x>log α x, se 0 <x< Inftti: x> = log α x>0 = log α x log α α <log α x = log α x<log α x; 0 <x< = log α x<0 = log α x log α α >log α x = log α x>log α x Nel disegno che segue possimo confrontre i grfici delle funzioni log 2,log 3,log 4 y log 2 log 3 log x Assumimo or 0 <α <α< Ne segue che < α < α < Tenuto conto delle diseguglinze ottenute sopr e del ftto che log /α x = log α x, log /α x = log α x, si h: x> = log /α x<log /α x = log α x>log α x; 0 <x< = log /α x>log /α x = log α x<log α x Ecco i grfici di log /2 x, log /3 x, log /4 x y 2 x / 0 log /4 log /3 log /2 Le bsi di logritmo più comunemente uste sono due: 0 ed e (numero di Nepero, cfr 24) I logritmi in tli bsi vengono detti rispettivmente logritmo decimle e logritmo nturle (o neperino) Per denotrli useremo le seguenti notzioni: Log x := log 0 x, log x := log e x,

21 CAP 26 ESPONENZIALI E LOGARITMI DI NUMERI REALI 25 tenendo però presente che in lettertur esistono nche ltre notzioni nturle di x può nche essere denotto con lnx Ad esempio il logritmo Un ftto estremmente importnte reltivo l numero di Nepero e è che vle l seguente diseguglinz (che non dimostrimo): e x x +, x R Per x 0 l diseguglinz è strett, mentre per x = 0 si h ovvimente l uguglinz Inoltre per x = 0 l rett y = x + è tngente ll curv esponenzile y = e x Il numero e è l unico rele positivo per cui vle l diseguglinz precedente Inftti il grfico di ogni ltr funzione esponenzile y = α x (α>) intersec l rett y = x + in un ltro punto, come messo in evidenz nei due grfici che seguono, in cui confrontimo l curv y = e x rispettivmente con y =2 x e y =4 x y = e x y =4 x y y =2 x y y = e x y = x + y = x + 0 x 0 x Pssndo i logritmi, l precedente diseguglinz divent: log x x, x R + Bst inftti simmetrizzre i precedenti grfici e si ottiene rispettivmente: y y = x y y = x y = log 2 x y = log x y = log x y = log 4 x 0 x 0 x