8 Tensioni principali sotto un dato carico

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1 I T O L O 8 Tensioni principli sotto un dto crico Il pilstro che sostiene il crtello mostrto, cus dei cric hi dovuti ll grvità ed l v ento, è sottoposto contempornemente compressione, flessione e torsione. In questo cpitolo imprerete determinre le tensioni crete d questo tipo di cric hi cominti in strutture ed elementi di mcc hine.

2 496 Tensioni principli sotto un dto crico 8.1 INTROUZION Fig. 8.1 Fig. 8.2 () () () () ' ' ' Nell prim prte di questo cpitolo, pplicherete ll progettione di trvi e leri le conoscene cquisite nel pitolo 7 sull trsformione delle tensioni. Nell second prte del cpitolo, imprerete come determinre le tensioni principli in elementi strutturli ed elementi di mcchin sotto condiioni di crico dte. Nel pitolo 5 vete imprto clcolre l mssim tensione normle s m che si svilupp in un trve sotto un crico trsversle (Figur 8.1) e controllre se questo vlore super l tensione mmissiile s ll per il mterile dto. Se ciò ccde, il progetto dell trve non è ccettile. Mentre il pericolo per un mterile frgile è ef fettivmente il collsso per trione, il pericolo per un mterile duttile è il collsso per tglio (Figur 8.1). In reltà, s m 7 s ll indic che ƒ M ƒ m è troppo grnde per l seione trsversle scelt, m non fornisce lcun informione sul rele meccnismo di collsso. In mnier simile, t m 7 t ll indic semplicemente che ƒ V ƒ m è troppo grnde per l seione trsversle scelt. Mentre il pericolo per un mterile duttile è vermente di collssre tglio (Figur 8.2), il pericolo per un mterile frgile è il collsso per trione sotto le tensioni principli (Figur 8.2). Nel rgrfo 8.2 srà trttt l distriuione delle tensioni principli in un trve. In dipenden dell form dell seione trsversle dell trve e del vlore del tglio V nell seione critic dove ƒ M ƒ ƒ M ƒ m, può succedere che il mssimo vlore dell tensione normle non si verifichi ll sommità o ll se dell seione, ensì in un ltro suo punto. ome vedrete nel rgrfo 8.2, l cominione di vlori grndi di s e t vicino l punto di unione dell nim con le li di un trve doppio T può risultre in un vlore dell tensione principle s m (Figur 8.3) mggiore rispetto l vlore di sull superficie dell trve. s m Fig. 8.3 Il rgrfo 8.3 srà dedicto l progetto di leri di trsmissione soggetti crichi trsversli oltre che momenti torcenti. Srà preso in considerione l effetto cominto di tensioni normli dovute ll flessione e di tensioni tngenili dovute ll torsione. Nel rgrfo 8.4 imprerete determinre le tensioni in un dto punto di un corpo di form ritrri soggetto d un crico cominto. er prim cos, trsformerete il crico dto in fore e coppie nell seione contenente. Quindi, clcolerete le tensioni normli e tngenili in. Infine, utilindo uno dei metodi per l trsformione delle tensioni che vete imprto nel pitolo 7, determinerete i pini principli, le tensioni principli e l mssim tensione tngenile in.

3 8.2 TNSIONI RINILI IN UN TRV 8.2 Tensioni principli in un trve 497 onsiderte un trve prismtic soggett d un certo crico trsversle ritrrio (Figur 8.4). Indichimo con V e M, rispettivmente, il tglio ed il momento flettente in un seione pssnte per il punto dto. Ricordimo di pitolo 5 e 6 che, entro il limite elstico, le tensioni esercitte su un elementino con fcce perpendicolri, rispettivmente, gli ssi e si riducono lle tensioni normli s m Mc I se l elemento è sull superficie lier dell trve, ed lle tensioni tngenili t m VQ It se l elemento è in corrisponden dell superficie neutr (Figur 8.5). w Figur 8.4 c c O O in in c c Figur 8.5 Figur 8.6 In ogni ltro punto dell seione trsversle, un elemento di mterile è soggetto contempornemente lle tensioni nomli s M I (8.1) dove è l distn dll superficie neutr ed I il momento d ineri ricentrico dell seione, ed lle tensioni tngenili VQ t It (8.2) dove Q è il momento sttico rispetto ll sse neutro dell porione dell re dell seione trsversle post sopr il punto nel qule si clcolno le tensioni, e t lo spessore dell seione trsversle in quel punto. Usndo uno dei metodi di nlisi del pitolo 7, possimo ottenere le tensioni principli in ogni punto dell seione trsversle (Figur 8.6). questo punto possimo porci l seguente domnd: uò l mssim tensione normle s m in un punto qulsisi dell seione essere mggiore del vlore di s m Mc I clcolto sull superficie dell trve? Se l rispost è ffermtiv, llor l determinione dell mssim tensione normle nell trve comporterà molto più che il clcolo di ƒ M ƒ m e l uso dell quione (8.1). ossimo ottenere un rispost quest domnd

4 498 Tensioni principli sotto un dto crico studindo l distriuione delle tensioni principli in un trve mensol sottile soggett d un crico concentrto sull su estremità lier (Figur 8.7). Ricordimo dl rgrfo 6.5, che le tensioni normli e tngenili d un distn dl crico ed d un distn sopr l superficie neutr sono dte, rispettivmente, dll quione (6.13) e (6.12). to che il momento d ineri dell seione trsversle è dove è l re dell seione trsversle e trve, scrivimo e I h3 12 s I t 3 2 1h212c c 3 2 c c 2 c2 3 c l metà dell lte dell (8.3) (8.4) Usndo il metodo del rgrfo 7.3 o quello del rgrfo 7.4, il vlore di s m può venire determinto in uno qulsisi dei punti dell trve. L Figur 8.8 mostr i risultti del clcolo dei rpporti s m s m e s min s m in due seioni dell trve, corrispondenti rispettivmente 2c ed 8c. In ciscun seione questi rpporti sono stti determinti in 1 1 2c /c in / / in / 8c / c 0 c c 8c Figur 8.8. istriuione delle tensioni pr incipli in due seioni tr sversli di un mensol rettngolre soggett d un singolo crico concentrto.

5 punti differenti, e per ciscun punto è stto indicto l orientmento degli ssi principli. 1 È chiro che s m non super s m in nessun punto delle due seioni considerte in Figur 8.8 e che, se dovesse superre s m in un ltro punto, esso si troverà nelle seioni vicine l crico, dove s m è piccol se confrontt con t m. 2 M, per seioni vicine l crico, non si può pplicre il principio di Sint-V ennt: le quioni (8.3) e (8.4) cessno di essere vlide eccetto che nel cso molto improile di un crico distriuito prolicmente sull seione terminle (cfr. rgrfo 6.5), e dovreero essere usti dei metodi di nlisi più vnti che tengno in considerione l ef fetto delle concentrioni di tensione. oncludimo così che, per trvi di seione trsversle rettngolre ed entro gli scopi dell teori presentt in questo testo, l mssim tensione normle può essere ottenut dll quione (8.1). Nell Figur 8.8 le direioni degli ssi principli sono stte determinte in 11 punti in ciscun delle due seioni considerte. Se quest nlisi fosse estes d un numero mggiore di seioni ed un mggior numero di punti in ciscun seione, sree possiile disegnre due fmiglie di curve ortogonli sulle fcce dell trve (Figur 8.9). Un fmigli consisteree di curve tngenti gli ssi principli corrispondenti s m e l ltr di curve tngenti gli ssi principli corrispondenti s min. Le curve ottenute in quest mnier sono note come triettorie di tensione. Un triettori del primo gruppo (linee continue) definisce in ciscuno dei suoi punti l direione dell mssim tensione di trione, mentre un triettori del secondo gruppo (linee trtteggite) definisce l direione dell mssim tensione di compressione. 3 L conclusione che l mssim tensione normle nell trve può essere ottenut dll quione (8.1), che imo rggiunto per le trvi di seione trsversle rettngolre, è vlid nche per molte trvi di seione trsversle non rettngolre. Qulor però, l lr ghe dell seione trsversle vrisse in mnier tle d fr nscere delle grndi tensioni tngenili t in punti vicini ll superficie dell trve, dove nche s è grnde, in quei punti potrà esserci un vlore di s m più grnde di s m. ovremo essere prticolrmente conspevoli di quest possiilità qundo si scelgono trvi doppio T (di tipo S o W), e clcolre l tensione principle nei s m punti e d nei quli si congiungono l nim e le li dell trve (Figur 8.10). iò si f determinndo s e t in quei punti rispettivmente con le quioni (8.1) e (8.2), ed usndo uno dei metodi di nlisi del pitolo 7 per ottenere s m (vedi serciio svolto 8.1). Un procedur lterntiv consiste nel usre per t il mssimo vlore dell tensione tngenile nell seione, t m V we, dto dll quione (6.11) del rgrfo 6.4. iò port d un vlore leggermente mggiore, e dunque conservtivo, dell tensione principle s m nei punti di giunione dell nim con le li dell trve (vedi serciio svolto 8.2). 8.2 Tensioni principli in un trve 499 Trione ompressione Figur 8.9. Triettorie di tensione. c d e Figur Si vedi l serciio 8.2, che f riferimento l progrmm usto per ottenere i risultti mostrti in Figur ome si verificherà nell serciio 8.2, s m supererà s m se 0.544c. 3 Un mterile frgile, come il clcestruo, collsserà per l trione lungo pini perpendicolri lle triettorie delle tensioni di trione. unque, per essere utili, le rre di rinforo in cciio dovrnno esser poste in modo tle d intersecre tli pini. Vicevers, gli irrigidimenti fissti ll nim di un trve metllic lt e sottile srnno efficci prevenire l imomento solo se intersechernno pini perpendicolri lle triettorie dell tensione di compressione.

6 500 Tensioni principli sotto un dto crico 8.3 ROGTTO I LRI I TRSMISSION Qundo nel rgrfo 3.7 imo trttto il progetto di leri di trsmissione, imo considerto solo le tensioni dovute lle coppie torcenti esercitte sugli leri. Se l poten, però, è trsferit d e ll lero per meo di ingrnggi o ruote dentte (Figur 8.1 1), le fore esercitte sui denti dell ingrnggio o dell ruot dentt sono equivlenti sistemi for-coppi pplicti nei centri delle corrispondenti seioni trsversli (Figur 8.1 1). iò signific che l lero è soggetto d un crico trsversle, oltre che un crico torsionle. 3 () 1 2 T 1 1 T 2 T 3 3 () 2 Figur 8.11 Le tensioni tngenili prodotte nell lero di crichi trsversli sono di solito molto più piccole di quelle prodotte dlle coppie torcenti e srnno trscurte nell nostr nlisi. 4 Le tensioni normli dovute i crichi trsversli, invece, possono essere stn grndi e, come vedrete qui di seguito, il loro contriuto ll mssim tensione tngenile t m deve essere preso in considerione. 4 er un pplicione dove le tensioni tngenili prodotte di crichi trsversli devono essere considerte, vedi sercii 8.21 e 8.22.

7 onsiderte l seione trsversle dell lero in un certo punto. Rppresentimo il momento torcentet e le coppie flettenti M e M genti rispettivmente in un pino oriontle ed in uno verticle di vettori coppi mostrti (Figur 8.12). to che ogni dimetro è un sse principle di ineri dell seione, possimo sostituire M e M con l loro risultnte M (Figur 8.12) per clcolre le tensioni normli s esercitte sull seione. Trovimo, così, che s è mssimo lle estremità del dimetro perpendicolre l vettore rppresentnte M (Figur 8.13). Ricordndo che i vlori delle tensioni normli in quel punto sono, rispettivmente, s m Mc I (in direione ssile) e ero (in direione tngenile), mentre l tensione tngenile è t m Tc J, riportimo i corrispondenti punti X e Y sull circonferen di Mohr (Figur 8.14) e determinimo il vlore dell mssim tensione tngenile: 8.3 rogetto di leri di trsmissione 501 M M M T T () () Figur 8.12 t m R s m 2 2 1t m 2 2 Mc 2I 2 Tc J 2 M Ricordndo che, per un seione circolre o nulre, 2I J, scrivimo T Figur 8.13 t m c J 2M2 T 2 (8.5) Ne segue che il minimo vlore mmissiile del rpporto seione trsversle dell lero è J c per l X J c 1 2M 2 T 2 2 m t ll (8.6) O dove il numertore nel secondo memro dell espressione ottenut rppresent il mssimo vlore di 2M 2 T 2 nell lero, e t ll l tensione tngenile mmissiile. sprimendo il momento flettente M in funione delle sue componenti nei due pini coordinti, possimo nche scrivere Y Figur 8.14 J 1 c 2M 2 M 2 T 2 2 m t ll (8.7) Le equioni (8.6) e (8.7) possono essere uste per progettre si gli leri circolri pieni che quelli circolri cvi e devono essere confrontte con l quione (3.22) del rgrfo 3.7, che er stt ottenut con l ipotesi di solo crico torsionle. L determinione del mssimo vlore di 2M 2 M 2 T 2 srà fcilitt se si disegnno i digrmmi del momento flettente corrispondenti M e M, insieme un tero digrmm rppresentnte l ndmento del momento torcente T lungo l lero (vedi serciio Svolto 8.3).

8 160 kn L 375 mm ' SRIZIO SVOLTO 8.1 Un for di 160 kn è pplict come mostrto ll estremità di un trve profilt in cciio W Trscurndo l effetto dei rccordi circolri e delle concentrioni di tensione, determinre se le tensioni normli nell trve soddisfno un prescriione di progetto che le vuole uguli o minori di 150 M nell seione kn 12.6 mm c 103 mm 206 mm 12.6 mm 103 mm in m 204 mm V 7.9 mm I m 4 S m 3 c 204 mm c 2 L 874 mm W M 90.4 mm 96.7 mm Y O c R X SOLUZION Momento flettente e tglio. Nell seione -, imo Tensioni normli sul pino trsv ersle. Riferendoci ll tell delle proprietà dei profili lminti in cciio nell ppendice, ottenimo i dti riportti in figur, e quindi determinimo le tensioni s e s. Nel punto : Nel punto : Notimo che tutte le tensioni normli sul pino trsversle sono minori di 150 M. Tensioni tngenili sul pino trsv ersle Nel punto : Nel punto : s M S 60 kn M m s s c M mm M 103 mm Q mm m 3 t V Q It M 1160 kn m2 60 kn V 160 kn Q 0 t kn m M m m2 Tensioni principli nel punto. Lo stto di tensione nel punto consiste dell tensione normle s M e l tensione tngenile t 95.5 M. isegnimo l circonferen di Mohr trovndo s m 1 2 s R 1 2 s s 2 t s m M L prescriione s m 150 M, non è soddisftt ommento. er quest trve ed il crico, l tensione principle nel punto è del 36% mggiore dell tensione normle nel punto. er L 874 mm, l mssim tensione normle si svilupperà nel punto. 502

9 2.7 m kn ( 239.4) 35.1 kn kn V M d 533 mm mm 323 kn m 90 kn 6 m 90 kn 54.9 kn 48 kn/m 48 kn/m kn 2.7 m 3.3 m t f mm mm X 10 M 1.5 m 72 kn 1.5 m ( 279.4) (40) kn t w 10.2 mm W kn m S mm 3 we t w d 5436 mm 2 10 M M M 156 M M O Y SRIZIO SVOLTO 8.2 L trve slo sostiene un crico uniformemente distriuito di 48 kn/m ed un crico concentrto di 90 kn in. Spendo che per l qulità di cciio d utilire s ll = 168 M e t ll = 100 M, scegliete l seione d li lrghe d utilire. SOLUZION Reioni in e. isegnimo lo schem di corpo liero dell trve. lle equioni di equilirio M 0 e M 0 trovimo i vlori di R e mostrti nel digrmm. igrmmi del tglio e del momento flettente. Usndo i metodi dei rgrfo 5.2 e 5.3, disegnimo i digrmmi ed osservimo che M m = 323 kn m V m = kn Modulo dell seione. er M m = 323 kn m e s ll = 168 M, il modulo dell seione minimo ccettile del profilo in cciio è s min = M m 323 kn m = = mm 3 s ll 168 M Scelt dell seione d li lrghe. ll tell delle proprietà dei profili lminti in cciionell ppendice, compilimo un elenco di profili venti un modulo dell seione più grnde di S min e che sono nche i più leggeri nel gruppo di lte dt. rofilo S (10 3 mm 3 ) W W W W W W desso sceglimo l seione più legger disposiione, e precismente l W Tensione tngenile. ssumendo che il tglio mssimo si uniformemente distriuito sull re dell nim dell trve W530 92, scrivimo t m = V m we = kn = 35.6 M< 100 M (O) mm2 Tensione principle nel punto. ontrollimo che l mssim tensione principle nel punto nell seione critic dove M è mssim non ecced s ll = 168 M. Scrivimo s = M m 323 kn m = S = 156 M mm3 s = s c t = V we = = 156 M mm mm 54.9 kn = 10 M mm2 = M isegnimo l circonferen di Mohr trovndo ( ) 2 s m = 1 2 s M M + R = + +(10 M) R M s m = M 168 M (O) 503

10 T 199 N m T 398 N m 200 G F 6.63 kn F 6.63 kn 200 F 6.63 kn F 3.73 kn F 2.49 kn T 597 N m r 60 r 80 imensioni in mm r m r m kn F 373kN F 3.73 kn 2.80 kn 0.6 m 0.2 m M 373 N m 560 N m 186 N m M r 160 r m F 3.73 kn M SRIZIO SVOLTO 8.3 L lero pieno ruot 480 giri l minuto (rpm) trsmettendo 30 kw dl motore M lle mcchine utensili connesse con gli ingrnggi in G ed ; 20 kw sono trsmessi ll ingrnggio in G e 10 kw ll ingrnggio in. Spendo che t ll 50 M, determinre il minimo dimetro mmissiile per l lero. SOLUZION oppie tor centi eser citte sugli ingrnggi. Osservndo che f 480 rpm 8, determinimo il momento torcente pplicto sull ingrnggio in : T 2pf 30 kw 597 N 2p18 2 L for tngenile corrispondente gente sull ingrnggio è Un nlisi simile degli ingrnggi e ci dice che desso sostituimo le fore sugli ingrnggi con sistemi for-coppi equivlenti. igrmmi del momento flettente e del momento tor cente kn 2.90 kn 0.2 m 0.4 m F 6.63 kn F 2.49 kn M 20 kw T 398 N 2p18 2 F 10 kw T 199 N 2p18 2 F 1244 N m 1160 N m 580 N m F T 597 N 3.73 kn r 0.16 m T 6.63 kn 2.49 kn T 398 N m 398 N m T 199 N m T 597 N m 597 N m Seione trsversle critic. lcolndo 2M 2 M 2 T 2 per tutte le potenili seioni critiche, trovimo che il suo mssimo vlore si verific immeditmente destr di : 12M 2 M 2 T 2 2 m N M T imetro dell ler o. er t ll 50 M, l quione (7.32) fornisce J 12M2 M 2 T 2 2 m 1357 N m 3 c t ll 50 M er un lero circolre pieno di rggio c, imo J c p 2 c c m mm imetro = 2c = 51.7 mm 504

11 SRIZI 8.1 * Un trve profilt in cciio di seione W sostiene due crichi come mostrto. Spendo che 400 kn, 0.25 m, e s ll 250 M, determinre () il mssimo vlore dell tensione normle s m nell trve, () il mssimo vlore dell tensione principle s m nel giunto di un l con l nim, (c) se l seione scelt è ccettile per qunto rigurd queste due tensioni. Figur m 8.2 * Risolvere l serciio 8.1, ssumendo che 200 kn ed 0.5 m. 8.3 Un trve profilt in cciio di seione W sostiene un crico come mostrto. Spendo che = 1440 kn, = 2500 mm, ed s ll = 200 G, determinre () il mssimo vlore dell tensione normle s m nell trve, () il mssimo vlore dell tensione principle s m nel giunto di un l con l nim, (c) se l seione scelt è ccettile per qunto rigurd queste due tensioni. 8.4 Risolvere l serciio 8.3, ssumendo che = 1800 kn ed = 2000 mm 8.5* e 8.6* () Spendo che s ll 160 M e t ll 100 M, seleionte l più economic seione d li lr ghe che può essere ust per sostenere il crico mostrto. () eterminre i vlori previsti per s m, t m, e per l tensione principle s m nell trve scelt nel punto di giunione dell l con l nim. Figur kn 250 kn 250 kn 275 kn 275 kn 0.9 m 0.9 m 0.9 m 0.9 m Figur m Figur m 1.5 m 8.7 e 8.8 () Spendo che s ll = 168 M e t ll = 100 M, seleionte l più economic seione d li lr ghe che può essere ust per sostenere il crico mostrto. () eterminre i vlori d prevedere per s m, t m, e l tensione principle s m nel giunto di un delle li con l nim dell trve scelt. 90 kn 90 kn 30 kn/m 3 m Figur m 3 m 22.5 kn/m 3.6 m 1.8 m Figur

12 506 Tensioni principli sotto un dto crico 8.9*, 8.10*, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14 iscuno dei seguenti prolemi si riferisce d un seione profilt in cciio scelt in un serciio del pitolo 5 per sostenere un crico dto d un costo minimo soddisfcendo l necessità che s m s ll. er il progetto scelto, determinre () il vlore rele di nell trve, r ; ; ; Figur 8.15 e 8.16 T 600 N m s m () il mssimo vlore dell tensione principle delle li con l nim 8.9 rico dell serciio 5.81 e seione W rico dell serciio 5.63 e seione S rico dell serciio 5.60 e seione W rico dell serciio 5.61 e seione W rico dell serciio 5.87 e seione W rico dell serciio 5.88 e seione W nel punti di giunione di un 8.15 eterminre il minor dimetro mmissiile per l lero pieno, spendo che t ll 60 M e che il rggio del disco è r 80 mm eterminre il minor dimetro mmissiile per l lero pieno, spendo che t ll 60 M e che il rggio del disco è r 120 mm * Usndo l notione del rgrfo 8.3 e trscurndo l ef fetto delle tensioni tngenili custe di crichi trsversli, dimostrre che l mssim tensione normle in un lero cilindrico può essere espress come s m c J 31M2 M M2 M 2 T m 8.18 * Usre l espressione dt nell serciio 8.17 per determinre l mssim tensione normle nell lero pieno, spendo che il suo dimetro è di 36 mm. s m 175 mm 175 mm 175 mm 6 kn 200 mm kn 75 mm 250 mm 250 mm Figur 8.18 Figur L for verticle e l for oriontle sono pplicte come mostrto dischi sldti ll lero pieno. Spendo che il dimetro dell lero è 44 mm e che t ll = 56 M, determinre l mssim grnde mmissiile dell for Risolvere l serciio 8.19, ipotindo che l lero pieno si stto sostituito con un lero cvo dello stesso mterile con il dimetro interno di 38 mm e dimetro esterno di 44 mm. 2

13 8.21 * Si è detto nel rgrfo 8.3 che le tensioni tngenili prodotte in un lero di crichi trsversli sono di solito molto minori di quelle prodotte dlle coppie torcenti. Negli esercii precedenti il loro effetto è stto trscurto ed è stto ipotito che l mssim tensione tngenile, in un dt seione, si sviluppsse nel punto (Figur 8.21) e che fosse ugule ll espressione ottenut nell quione (8.5), e precismente t c J 2M2 2 T imostrre che l mssim tensione tngenile in un punto (Figur 8.21), dove l effetto del tglio V è mssimo, può essere espress come O () 90 M T sercii 507 t c J 21M cos cv T 2 2 dove è l ngolo tr i vettori V ed M. È chiro che l ef fetto del tglio V non può essere ignorto qundo t t. (Suggerimento: Solo l componente di M lungo V contriuisce ll tensione tngenile in.) 8.22 Ipotindo che le grndee delle fore pplicte sui dischi e dell serciio 8.19 sono, rispettivmente, 1 = 4.86 kn e 2 = 3.65 kn, ed usndo le espressioni dte nell serciio 8.21, determinre i vlori di t e t in un seione () immeditmente destr di, () immeditmente sinistr di. V O 90 () Figur 8.21 M T 8.23 L lero pieno e gli ingrnggi mostrti sono utiliti per trsmettere 10 kw dl motore M d un mcchin utensile conness ll ingrnggio in. Spendo che il motore gir 240 rpm e che t ll 60 M, determinre il minor dimetro mmissiile per l lero Ipotindo che l lero dell serciio 8.23 si cvo con un dimetro esterno di 50 mm, determinrne il mssimo dimetro interno mmissiile. 90 mm 8.25 * L lero pieno gir 600 rpm trsmettendo 80 kw dl motore M d un mcchin utensile conness con l ingrnggio F. Spendo che t ll 60 M, determinre il minimo dimetro mmissiile dell lero. Figur mm M ; ; ; ; Figur mm 160 mm ; ; ; ; 60 mm 120 mm 8.26 * Risolvere l serciio 8.25, ssumendo che l lero giri 720 rpm. F M

14 508 Tensioni principli sotto un dto crico 8.27 Gli leri pieni e F e gli ingrnggi mostrti sono usti per trsmettere 15 kw dl motore M d un mcchin utensile conness con l lero F. Spendo che il motore gir 240 rpm e che t ll = 52.5 M, determinre 200 mm il minor dimetro mmissiile di: () lero, () lero F. M 87.5 mm 8.28 Risolvere l serciio 8.27, ssumendo che l lero giri 360 rpm. F 8.29 * L lero pieno gir 450 rpm trsmettendo 20 kw dl motore M delle mcchine utensili connesse con gli ingrnggi F e G. Spendo che t ll 55 M ed ssumendo che 8 kw sono ssorite dll ingrnggio F e 12 kw dll ingrnggio G, determinre il minimo dimetro mmissiile dell lero. Figur 8.27 ; ; 60 mm M Figur 8.29 F 225 mm 225 mm 60 mm ; G ; 8.30 * Risolvere l serciio 8.29, ipotindo che tutti i 20 kw sino ssoriti dll ingrnggio G. *8.4 TNSIONI SOTTO RII OMINTI F 1 F 2 Figur 8.15 F 3 F 5 F 4 F 6 Nei pitolo 1 e 2 vete imprto determinre le tensioni custe d un crico ssile centrto. Nel pitolo 3 vete nlito l distriuione delle tensioni in un elemento cilindrico soggetto d un coppi torcente. Nel pitolo 4 vete determinto le tensioni custe di momenti flettenti e, nei pitolo 5 e 6, le tensioni prodotte di crichi trsversli. ome vedrete qui di seguito, si possono cominre le conoscene che vete cquisito per determinre le tensioni in elementi strutturli snelli o componenti di mcchin sotto condiioni di crico stn generiche. onsiderte, per esempio, l elemento inflesso di seione trsversle circolre, soggetto vrie fore (Figur 8.15). er determinre le tensioni prodotte nei punti o di crichi dti, fccimo pssre un seione per questi punti determinndo il sistem for-coppi nel ricentro dell seione necessrio per mntenere l equilirio dell porione. 5 Questo sistem rppresent le fore interne ll seione e, in 5 Il sistem for-coppi in può nche essere definito come equivlente lle fore genti sull porione dell elemento post sull destr dell seione (vedi sempio 8.01).

15 M 8.4 Tensioni sotto crichi cominti 509 F 1 V F 3 V M T M V F 2 T Figur 8.16 M () Figur 8.17 V () generle, consiste di tre componenti di for e tre vettori coppi diretti come mostrto (Figur 8.16). L for è un for ssile centrt che produce tensioni normli nell seione. I vettori coppi M e M cusno l flessione dell elemento e producono nch essi tensioni normli nell seione. Questi ultimi, perciò, sono stti rggruppti con l for nell prte dell Figur 8.17; le somme s delle tensioni normli d loro prodotte nei punti e sono stte mostrte nell prte dell Figur Queste tensioni possono essere determinte come è stto mostrto nel rgrfo ltr prte, l coppi torcente T e le fore di tglio V e V producono tensioni tngenili nell seione. Le somme t e t delle componenti delle tensioni tngenili d loro prodotte nei punti e sono stte mostrte nell prte dell Figur 8.18 e possono essere determinte come indicto nei rgrfo 3.4 e ossimo or cominre le tensioni normli e tngenili mostrte nelle prti e dell Figur 8.18 e disegnrle nei punti e sull superficie dell elemento (Figur 8.19). Le tensioni principli e l orientmento dei pini principli nei punti e possono essere determinti, in ciscuno di questi punti, di vlori di s, t, e t utilindo uno dei metodi presentti nel pitolo 7 (Figur 8.20). I vlori dell mssim tensione tngenile in ciscuno di questi punti ed i corrispondenti pini possono essere trovti in mnier simile. I risultti ottenuti in questo prgrfo sono vlidi solo fino qundo sono soddisftte le condiioni di pplicilità del principio di sovrpposiione (rgrfo 2.12) e di quello di Sint-Vennt (rgrfo 2.17). iò signific che le tensioni interesste non devono superre il limite di proporionlità del mterile, che le deformioni prodotte d uno dei crichi non devono condiionre l determinione delle tensioni dovute gli ltri, e che l seione ust nell nostr nlisi non deve essere troppo vicin i punti di pplicione delle fore. È chiro dll prim di queste condiioni che il metodo qui presentto non può essere pplicto lle deformioni plstiche. () Figur 8.18 Figur 8.19 Figur 8.20 p p () 6 Notre che le vostre ttuli conoscene vi permettono di determinre l ef fetto dell coppi torcente T solo nei csi di leri circolri, di elementi con seione trsversle rettngolre (rgrfo 3.12), e di elementi cvi di prete sottile (rgrfo 3.13).

16 SMIO 8.01 ue fore 1 e 2, di grnde 1 15 kn e 2 18 kn, sono pplicte come mostrto ll estremità dell rr, che è sldt d un elemento cilindrico di rggio c 20 mm (Figur 8.21). Spendo che l distn d ll sse dell elemento è 50 mm ed ssumendo che tutte le tensioni rimngno sotto il limite di proporionlità del mterile, determinre () le tensioni nomle e tngenile nel punto dell seione trsversle dell elemento post d un distn 60 mm dll estremità, () gli ssi e le tensioni principli in, (c) l mssim tensione tngenile in. Fore interne nell seione dt. er comincire sostituimo le fore 1 e 2 con un sistem equivlente di fore e coppie pplicte nel centro dell seione contenente il punto (Figur 8.22). Questo sistem, che rppresent le fore interne nell seione, consiste delle seguenti fore e coppie: 1. Un for ssile centrt F ugule ll for 1, di grnde F 1 15 kn 2. Un for tngenile V ugule ll for 2, di grnde 3. Un coppi torcente T di momento T ugule l momento di rispetto ll sse dell elemento : 2 T kn N 4. Un coppi flettente M, di momento M ugule l momento di rispetto d un sse verticle pssnte per : 1 V 2 18 kn M kn N 5. Un coppi flettente M, di momento M ugule l momento di 2 rispetto d un sse oriontle trsversle pssnte per : M kn2160 mm N I risultti ottenuti sono mostrti in Figur Tensioni normle e tng enile nel punto. iscun delle fore e coppie mostrte in Figur 8.23 possono produrre un tensione normle o tngenile nel punto. Il nostro proposito è quello di clcolre seprtmente ciscun di queste tensioni, per poi sommre le tensioni normli e quelle tngenili. oimo, tuttvi prim determinre le proprietà geometriche dell seione. roprietà g eometriche dell seione. pc 2 p m m 2 J 1 2 pc4 1 2 p m m 4 imo I I 1 4 pc4 1 4 p m m 4 eterminimo nche il momento sttico Q e l lr ghe t dell re dell seione trsversle post sopr l sse. Ricordndo che per un semicerchio di rggio c, imo 4c 3p ; e 60 mm Q 1 2 pc2 4c 3p 2 3 c m m 3 Tensioni normli. Osservimo che le tensioni normli sono prodotte in dll for centrt F e dll coppi flettente M, mentre l coppi M non produce lcun tensione in, dto che è posto sull sse neutro corrispondente quest coppi. eterminndo i segni dll Figur 8.23, scrivimo F s M c 1750 N m M I m M M s M Figur 8.21 M ; T F M V ; ; Figur 8.22 T 900 N m M Figur mm t 2c m m 2 18 kn V 18 kn 1 15 kn M 750 N m 4c 3 F 15 kn 510

17 Tensioni tngenili. Sono costituite dll tensione tngenile 1t 2 V dovut l tglio verticle V e dll tensione tngenile 1t 2 twist cust dll coppi torcente T. Ricordndo i vlori ottenuti per Q, t, I, e J, scrivimo 1t 2 V VQ I t N m m m M Tc 1900 N m2 1t 2 twist 71.6 M J m 4 Sommndo queste due espressioni, ottenimo nel punto. t 1t 2 V 1t 2 twist 19.1 M 71.6 M t 52.5 M In Figur 8.24, l tensione normle e le tensioni tngenili t sono stte mostrte genti su un elemento qudrto posto in sull superficie del peo cilindrico. Notre che sono stti incluse le tensioni tngenili genti sui lti longitudinli dell elemento.. ini e tensioni principli nel punto. er determinre i pini e le tensioni principli in possimo usre l uno o l ltro dei metodi del pitolo 7. Scegliendo quello dell circonferen di Mohr, riportimo il punto X di coordinte s M e t 52.5 M ed il punto Y di coordinte s 0 e t 52.5 M e trccimo il cerchio di dimetro XY (Figur 8.25). Osservndo che O M determinimo l orientmento dei pini principli: tn 2u p X u p 44.4 i desso determinimo il rggio dell circonferen, e le tensioni principli, u p 22.2 i R M s m O R M s min O R M I risultti ottenuti sono mostrti in Figur c. Mssim tensione tng enile nel punto. Quest tensione corrisponde i punti ed F di Figur imo t m R 75.1 M X 52.5 M Osservndo che 2u s 90 2u p , concludimo che i pini di mssim tensione tngenile formno un ngolo u p 22.8 g in senso ntiorrio con l oriontle. L elemento corrispondente è mostrto in Figur Notre che le tensioni normli genti su questo elemento sono rppresentte d O in Figur 8.25 e sono dunque uguli 53.7 M. s t ; ; 52.5 M Figur Tensioni sotto crichi cominti M (M) O Y Figur 8.25 ; in 21.4 M Figur 8.26 ; F 2 s 2 p M 53.7 M Figur 8.27 X 52.5 p M 18 kn (M) 18 kn s kn 15 kn 15 kn 15 kn

18 112 mm 22 mm 45 mm 2 kn 112 mm G 62 mm J T SRIZIO SVOLTO 8.4 Un for oriontle di 2 kn gisce nel punto dell lero mnovell che è tenuto in equilirio d un coppi torcente T e dlle reioni dei supporti in e. Spendo che i supporti sono tli d non esercitre lcun coppi sull lero, determinre le tensioni normli e tngenili nei punti, J, ed L posti lle estremità dei dimetri verticli ed oriontli di un seione trsversle 62 mm sinistr del supporto. 112 mm 112 mm 62 mm T 1 kn 45 mm 2 kn 1 kn M 62 N m V 1 kn L J T 90 N m 22 mm G 43 M J () 43 M J () 43 M L 43 M 3.5 M L 3.5 M M (c) J L 59.3 M M 43 M J L 59.3 M 46.5 M 43 M 59.3 M SOLUZION orpo rigido. lero intero. g M 0: = = 1kN (2 kn)(45 mm) + T = 0 T = 90 N m Fore interne nell seione trsversle. Sostituimo l reione e l coppi torcente T con un equivlente sistem for-coppi nel centro dell seione trsversle contenente, J, ed L. V = = 1kN T = 90 N m M = (1 kn)(62 mm) = 62 N m Le proprietà geometriche dell seione di 22 mm di dimetro sono = p(11 mm) 2 = mm 2 I = 1 4 p(11 mm)4 = mm 4 J = 1 2 p(11 mm)4 = mm 4 Tensioni prodotte dll coppi tor cente T. Usndo l quione (3.8), determinimo le tensioni tngenili nei punti, J, ed L e mostrimole in Figur (). t = Tc J (90 N m)(11 mm) = mm 4 = 43 M Tensioni prodotte dll for di tglio V. L for di tglio V non produce tensioni tngenili nei punti J e L. Nei punti e clcolimo prim Q per un semicerchio rispetto d un dimetro verticle, e poi determinimo l tensione tngenile prodott dll for di tglio V = 1kN. Queste tensioni sono mostrte in Figur (). ( )( ) 1 4c Q = 2 pc2 = 2 3p 3 c3 = 2 3 (11 mm)3 = 887 mm 3 t = VQ It (1 kn)(887 mm 3 ) = ( mm 4 = 3.5 M )(22 mm) Tensioni prodotte dll coppi flettente M. to che l coppi flettente M gisce in un pino oriontle, non produce tensioni in e. Usndo l quione (4.15), determinimo le tensioni normli nei punti J ed L e mostrimole in Figur (c). s = M c I = (62 N m)(11 mm) mm 4 = 59.3 M Sommrio. Sommimo le tensioni mostrte ed ottenimo le tensioni normli e tngenili nei punti, J, ed L. 512

19 75 kn 200 mm 40 mm 130 mm M 8.5 kn m F 20 mm V 30 kn F m M 8.5 kn m m m 50 kn 30 kn 25 mm G 70 mm 140 mm 50 kn V 75 kn M 3 kn m G G m m M 3 kn m m F t m 1 V (M) 66.0 M m SRIZIO SVOLTO 8.5 Tre fore sono pplicte come mostrto nei punti, e di un corto montnte in cciio. Spendo che l seione trsversle oriontle del montnte è un rettngolo di mm, determinre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto. SOLUZION Fore interne nell seione FG. Sostituimo le tre fore pplicte con un sistem equivlente for-coppi nel centro dell seione rettngolre FG. imo V 30 kn 50 kn V 75 kn M 150 kn m2 175 kn m2 8.5 kn M 0 M 130 kn m2 3 kn Notimo che non ci sono coppie torcenti intorno ll sse geometriche di un seione rettngolre sono m m m 2 I m m m 4 I m m m 4. Le proprietà Tensione normle in. Notimo che le tensioni normli s sono prodotte dll for centrt e dlle coppie flettenti M e M. eterminimo il segno di ciscun componente di tensione esminndo ttentmente lo schem del sistem for-coppi in. s 0M 0 0 M 0 I I 50 kn 13 kn m kn m m m m 4 s 8.93 M 80.3 M 23.2 M s 66.0 M Tensione tngenile in. onsiderndo prim l for di tglio V, notimo che, dto che è sul ordo dell seione trsversle, Q 0 rispetto ll sse. unque V non produce lcun tensione tngenile in. Invece, l for di tglio V produce un tensione tngenile in e scrivimo Q m m m m 3 t V Q 175 kn m 3 2 t M I t m m2 O Z R 2 p Y M (M) Tensioni principli, pini principli e mssim tensione tngenile in. isegnimo l circonferen di Mohr per le tensioni nel punto tn 2u p u p R M u p t m 37.4 M > in in s m O O R s min O O R s m 70.4 M > s min 7.4 M > 513

20 SRIZI 0.75 m 200 mm c c 8.31 * L trve mensol h un seione trsversle rettngolre di mm. Spendo che l tensione nel cvo è 10.4 kn e trscurndo il peso dell trve, determinre le tensioni normli e tngenili nei tre punti indicti Un for di 27 kn è pplict ll elemento di mcchin come mostrto. Spendo che lo spessore uniforme dell elemento è 20 mm, determinre le tensioni normli e tngenili nel () punto, () punto, (c) punto c. 16 kn 0.3 m Figur m 0.9 m 200 mm 200 mm 27 kn mm 38 mm c Figur 8.32 e 8.33 d f e 200 mm 8.33 Un for di 27 kn è pplict ll elemento di mcchin come mostrto. Spendo che lo spessore uniforme dell elemento è 20 mm determinre le tensioni normli e tngenili nel () punto d, () punto e, (c) punto f. 8.34, 8.35*, 8.36 L elemento h un seione trsversle rettngolre costnte di mm. er il crico mostrto, determinre le tensioni normli e tngenili nel () punto, () punto. 60 mm 9 kn 60 mm 9 kn 60 mm 9 kn 30 G 60 mm 12 mm 30 G 60 mm 12 mm G mm 12 mm 40 mm 12 mm 40 mm 12 mm 40 mm 12 mm Figur 8.34 Figur 8.35 Figur

21 8.37 ue fore sono pplicte ll rr mostrt. Nel punto, determinre () le tensioni ed i pini principli, () l mssim tensione tngenile. sercii kn 25 mm 25 mm 37.5 mm 37.5 mm h 200 mm 45 kn 18 mm 1.8 m 0.9 m 2.7 m 36 kn Figur 8.37 e ue fore sono pplicte ll rr mostrt. Nel punto, determinre () le tensioni ed i pini principli, () l mssim tensione tngenile Il pnnello mostrto pes 36 kn ed è sorretto d un tuo strutturle, con un dimetro esterno di 375 mm ed uno spessore dell prete di 12 mm. ssumendo l risultnte dell pressione del vento pri 13.5 kn ed pplict nel centro del pnnello, determinre le tensioni normli e tngenili nel punto * Il tuo di cciio h un dimetro esterno di ed uno spessore dell prete di 8 mm. Spendo che l tensione nel cvo è 40 kn, determinre le tensioni normli e tngenili nel punto kn 0.6 m Figur m 0.9 m 2.4 m 0.6 m t 8 mm 50 mm 20 mm 225 mm ; 60 Figur 8.40

22 516 Tensioni principli sotto un dto crico 8.41 L sse di un cmioncino è sollecitto dlle fore e coppie mostrte. Spendo che il dimetro dell sse è 35 mm, determinre le tensioni normli e tngenili nel punto posto l mrgine superiore dell sse. 250 mm 1 kn m 200 mm 3.4 kn 6.8 kn 225 mm 4.7 kn m 3.4 kn Figur 8.41 Figur Un for di 6.8 kn ed un coppi di 1kN m sono pplicte sull sommità del montnte in ghis di dimetro 62 mm mostrto. eterminre le tensioni normli e tngenili nel () punto, () punto er l sse del cmioncino dell serciio 8.41, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto er il montnte ed il crico dell serciio 8.42, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel () punto, () punto * Il tuo in cciio h un dimetro esterno di 72 mm ed un prete di spessore 5 mm. Spendo che il rccio è rigidmente fissto l tuo, determinre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto. 3 kn ; 120 mm 9 kn 120 mm Figur 8.45 e * Il tuo in cciio h un dimetro esterno di 72 mm ed un prete di spessore 5 mm. Spendo che il rccio è rigidmente fissto l tuo, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto.

23 8.47 Tre fore sono pplicte d un pistr circolre di dimetro fisst ll lero pieno di dimetro 45 mm. Nel punto, determinre () le tensioni ed i pini principli () l mssim tensione tngenile. sercii kn 50 mm 50 mm 27 kn 13 kn 300 mm 11 kn 125 mm 200 mm Figur 8.48 Figur mm 13 kn 125 mm 9 kn 175 mm 108 kn 375 mm 8.48 * Un for di 13 kn è pplict come mostrto l montnte in ghis di 60 mm di dimetro. Nel punto, determinre () le tensioni ed i pini principli, () l mssim tensione tngenile Tre fore sono pplicte ll trve mensol mostrt. eterminre le tensioni normli e tngenili nel punto Tre fore sono pplicte ll trve mensol mostrt. eterminre le tensioni normli e tngenili nel punto er l trve ed il crico dell serciio 8.49, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto er l trve ed il crico dell serciio 8.50, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto * Tre fore sono pplicte d un montnte in cciio come mostrto. eterminre le tensioni normli e tngenili nel punto * Tre fore sono pplicte d un montnte in cciio come mostrto. eterminre le tensioni normli e tngenili nel punto. 50 mm Figur 8.49 e kn 120 kn 50 mm 20 kn ; 20 mm 40 mm 40 mm 60 mm 30 mm 30 mm 60 mm Figur 8.53 e 8.54

24 518 Tensioni principli sotto un dto crico 8.55 ue fore sono pplicte l montnte come mostrto. Spendo che l porione verticle del montnte h un seione trsversle di mm, determinre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto Risolvere l serciio 8.55, ssumendo che l grnde dell for di 27 kn si riduc 7 kn. 27 kn 200 mm 38 mm 60 mm 2 kn mm mm 40 mm 0.5 kn 3 kn 25 mm 80 mm 2.5 kn Figur mm Figur mm 8.57 * Tre fore sono pplicte l componente di mcchin come mostrto. Spendo che l seione trsversle contenente il punto è un rettngolo di mm, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto * Risolvere l serciio 8.57, ipotindo che l grnde dell for di 2.5 kn si umentt 10 kn Tre pistre di ccio, ciscun spess 13 mm, sono sldte tr loro formre un trve mensol. er il crico mostrto, determinre le tensioni normle e tngenile nei punti e. ; d e 400 mm 60 mm 30 mm 60 mm 75 mm 9 kn t 13 mm Figur 8.59 e kn 8.60 Tre pistre di ccio, ciscun spess 13 mm, sono sldte tr loro formre un trve mensol. er il crico mostrto, determinre le tensioni normle e tngenile nei punti d ed e.

25 8.61 * er l trve ed il crico dell serciio 8.59, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nei punti e. sercii * er l trve ed il crico dell serciio 8.60, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nei punti d ed e ue fore sono pplicte d un trve profilt in cciio di seione W eterminre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto. 405 kn W ue fore sono pplicte d un trve profilt in cciio di seione W eterminre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto ue fore 1 e 2 sono pplicte come mostrto perpendicolrmente ll sse longitudinle di un trve di seione W Spendo che 1 25 kn e 2 24 kn, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto. ; ; 75 mm 90 kn 600 mm Figur 8.63 e m 1 Figur 8.65 e m W ue fore 1 e 2 sono pplicte come mostrto perpendicolrmente ll sse longitudinle di un trve di tipo W Spendo che 1 25 kn e 2 24 kn, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto * Un for è pplict d un trve mensol medinte un cvo fissto d un ullone posto l centro dell estremità lier dell trve. Spendo che gisce in un direione perpendicolre ll sse longitudinle dell trve, determinre () l tensione normle nel punto in funione di,, h, l e (), il vlore di per il qule l tensione normle in è null. h l Figur 8.67

26 520 Tensioni principli sotto un dto crico 8.68 * Un for verticle è pplict l centro dell estremità lier dell trve. () Se l trve è posiiont con l nim verticle 1 02 e con il suo sse longitudinle oriontle, determinre l grnde dell for per l qule l tensione normle nel punto è 120 M. () Risolvere l prte (), ssumendo che l trve si instllt con 3. l 1.25 m W ; d d 2 Figur 8.68 Figur kn 80 mm 25 mm Figur mm 8.69 Un for di 2 kn è pplict d un filo vvolto ttorno ll rr come mostrto. Spendo che l seione trsversle dell rr è un qudrto di lto d = 18 mm, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tn- 6 mm genile nel punto. ; ; c 8.70 Un for verticle di 20 kn è pplict ll estremità dell rr, sldt d un tuo estruso di lluminio. Spendo che l prete del tuo h uno spessore uniforme di 6 mm, determinre l tensione tngenile nei punti, e c * er il tuo ed il crico dell serciio 8.70, determinre le tensioni 50 mm principli e l mssim tensione tngenile nel punto Spendo che il tuo strutturle mostrto h l prete di spessore uniforme 8 mm, determinre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel () punto, () punto. 75 mm 50 mm Figur mm 4 mm 40 kn

27 RIILOGO L ITOLO 8 Questo cpitolo è stto dedicto ll determinione delle tensioni principli nelle trvi, leri di trsmissione e corpi di form ritrri soggetti crichi cominti. imo iniilmente ricordto, nel rgrfo 8.2, le due relioni fondmentli ottenute nei pitolo 5 e 6 per l tensione normle s e quell tngenile t in ogni punto di un seione trsversle di un elemento prismtico, M VQ s t (8.1, 8.2) I It dove V tglio nell seione M omento flettente nell seione distn del punto dll superficie neutr I omento di ineri ricentrico dell seione Q omento sttico rispetto ll sse neutro dell porione dell seione trsversle post sopr il punto dto t lrghe dell seione trsversle in corrisponden del punto considerto Utilindo uno dei metodi presentti nel pitolo 7 per l trsformione delle tensioni, simo stti in grdo di ottenere i pini e le tensioni principli nel punto considerto (Figur 8.6). imo studito l distriuione delle tensioni principli in un trve rettngolre sottile mensol soggett d un crico concentrto nell su estremità lier trovndo che, in ogni dt seione trsversle eccetto che nelle vicinne del punto di pplicione del crico, l mssim tensione principle s m non super l mssim tensione normle s m prodott sull superficie superiore o inferiore dell trve. Mentre quest conclusione rest vlid per molte trvi con seione trsversle non rettngolre, non può essere considert vlid per le trvi doppio T, dove il vlore s m nei punti di giunione e d dell nim con le li dell trve (Figur 8.10) può superre il vlore s m presente nei punti ed e. Il progetto di un trve profilt in cciio, perciò, deve includere il clcolo dell mssim tensione principle in questi punti. (Vedi sercii svolti 8.1 e 8.2) ini principli e tensioni pr incipli in un tr ve c O c Figur 8.6 in in c d e Figur

28 rogetto di ler i di tr smissione sotto crichi trsversli 522 Tensioni principli sotto un dto crico Nel rgrfo 8.3 imo considerto il progetto di leri di trsmissione soggetti crichi trsversli oltre che coppie torcenti. rendendo in considerione gli effetti si delle tensioni normli dovute l momento flettente M che delle tensioni tngenili dovute l momento torcente T in ogni dt seione trsversle di un lero cilindrico (pieno o cvo), imo trovto che il minimo vlore mmissiile del rpporto J c per l seione trversle er J 1 2M2 T 2 2 m t ll (8.6) Tensioni sotto condiioni generli di cr ico Nei precedenti cpitoli, vevte imprto determinre le tensioni in elementi prismtici custe di crichi ssili (pitolo 1 e 2), dll torsione (pitolo 3), dll flessione (pitolo 4) e di crichi trsversli (pitolo 5 e 6). Nell second prte di questo cpitolo (rgrfo 8.4), imo cominto tli conoscene per determinre le tensioni sotto condiioni di crico più generli. F 5 M F 1 F 1 V F 2 F 3 F 4 F 6 F 2 F 3 V M T Figur 8.15 Figur 8.16 er esempio, per determinre le tensioni nel punto o dell elemento inflesso mostrto in Figur 8.15, imo ftto pssre un seione ttrverso tli punti sostituendo i crichi pplicti con un sistem equivlente for-coppi nel ricentro dell seione (Figur 8.16). Le tensioni normli e tngenili prodotte in e d ciscun delle fore e coppie pplicte in sono stte determinte e poi cominte per ottenere l tensione normle risultnte e le tensioni tngenili risultnti e in o. ll fine, con uno dei metodi presentti nel pitolo 7, imo ricvto di vlori ottenuti per s, t, t, le tensioni principli, l orientmento dei pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto o.

29 SRIZI I RIILOGO 8.73 * () Spendo che s ll 165 M e t ll 100 M, scegliete il profilo più economico che può essere utilito per sostenere il crico mostrto. () eterminre i vlori previsti per s m, t m, e l tensione principle s m nel giunto di un l con l nim dell trve scelt. 2.2 kn/m 40 kn Figur m 2.7 m 8.74 Spendo che il tglio ed il momento flettente in un dt seione dell trve profilt in cciio di seione W sono, rispettivmente, 540 kn e 400 kn m, determinre i vlori in quell seione di () l mssim tensione normle s m, () l tensione principle nell giunione di un l con l nim. s m 8.75 * L for di 6 kn è verticle mentre l for è prllel ll sse. Spendo che t ll 60 M, determinre il minimo dimetro mmissiile dell lero pieno. 80 mm 75 mm 6 kn 120 mm ; 60 mm 175 mm 175 mm 175 mm 175 mm 2 kn 150 mm 2 kn Figur 8.75 Figur Le due fore di 2 kn sono verticli mentre l for è prllel ll sse. Spendo che t ll = 56 M, determinre il minimo dimetro mmissiile dell lero pieno. 523

30 524 Tensioni principli sotto un dto crico 8.77 L lero pieno gir 600 rpm, trsmettendo 45 kw dl motore M delle mcchine utensili connesse con gli ingrnggi G ed. Spendo che t ll = 56 M, e che 30 kw sono ssoriti dll ingrnggio G e 15 kw dll ingrnggio, determinre il minimo dimetro mmissiile dell lero. M F 200 mm 75 mm G Figur Il motore M gir 300 rpm trsmettendo 30 kw ll lero pieno ttrverso un connessione flessiile. L metà di quest poten è trsmess d un mcchin utensile conness con l ingrnggio e l ltr metà d un mcchin utensile conness con l ingrnggio F. Spendo che t ll 60 M, determinre il minimo dimetro mmissiile dell lero ; ; ; M 200 mm 120 mm 200 mm F mm 150 N Figur N 150 N Figur N imensioni in mm 8.79 ll ssemlggio di tui mostrto sono pplicte vrie fore. Spendo che tutte le seioni del tuo hnno dimetri interni ed esterni rispettivmente uguli 36 mm e 42 mm, determinre l tensione normle e tngenile nel punto posto nell prte superiore dell superficie estern del tuo.

31 8.80 Un for verticle di grnde pri 250 N è pplict ll mnovell nel punto. Spendo che l lero h un dimetro di 18 mm, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile nel punto, posto nell prte superiore dell lero, 50 mm destr del supporto. sercii di riepilogo mm 25 mm l 75 mm 600 l 1500 l 125 mm 200 mm 1500 l Figur mm mm 6.25 mm c 75 mm 500 mm 8.81 Spendo che il tuo strutturle mostrto h un prete di spessore uniforme pri 6 mm, determinre le tensioni normli e tngenili nei tre punti indicti. Figur * er il montnte ed il crico mostrti, determinre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto. 50 mm 50 mm 120 kn 75 mm 75 mm 50 kn mm ; Figur 8.82 e mm 8.83 er il montnte ed il crico mostrti, determinre le tensioni principli, i pini principli e l mssim tensione tngenile nel punto elle fore sono pplicte nei punti e del sostegno pieno in ghis mostrto. Spendo che il sostegno h un dimetro di 20 mm, determinre le tensioni principli e l mssim tensione tngenile () nel punto, () nel punto. 11 kn 62 mm Figur kn 88 mm