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1 Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo Prof. Paolo Rocco Poliecico di Milao Diparieo di Eleroica, Iforazioe e Bioigegeria

2 Schei avazai di corollo del oo Ache se il ucleo di u corollore i aello chiuso per il corollo del oo è sepre cosiuio da u regolaore PID (o P/PI), vi soo alri schei di corollo che possoo copleare o sosiuire lo schea base. Alcui di quesi schei rovao corree applicazioe ei prodoi coerciali. Nel seguio ci occupereo dei seguei schei: Filro och Osservaore del disurbo di coppia Corollo ello spazio di sao Ipu shapig Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

3 Filro och U filro och è u sisea diaico progeao per cacellare ua coppia di poli coplessi e coiugai, ipicaee a basso sorzaeo, presei el sisea soo corollo, sosiuedoli co ua coppia di poli più sorzai. È quidi caraerizzao dalla fuzioe di rasferieo: G f ( s) s s ζ ζ ω ω s ω s ω - bada a 3dB dove ω è la pulsazioe dei poli coplessi da cacellare, ζ e ζ soo sorzaei, il prio piccolo, il secodo grade. db Il diagraa di Bode è caraerizzao da ua gola Talvola il filro viee assegao dado la frequeza da bloccare (ω ) e la bada a 3dB ζ ζ - - ω/ω Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [3]

4 Filro och: uilizzo I u sisea di corollo del oo, il filro och viee di ora iserio ell aello di velocià, i serie al regolaore PI:. q o R PI (s) G f (s) τ G v (s) Spesso il filro viee usao per cacellare ua vibrazioe di ala frequeza, fuori bada, che si aifesa coe ruore acusico (fischio) Può essere ieressae sudiare se il filro och possa dare vaaggi ache per cacellare la pria risoaza del sisea, quella associaa al giuo di rasissioe I queso caso la pulsazioe aurale ω del filro viee posa uguale alla sia dispoibile della pulsazioe ω p dei poli del sisea soo corollo (fuzioe di rasferieo G v ), e lo sorzaeo ζ degli zeri del filro approssia lo sorzaeo dei poli ζ p. q G f ( s) s s ζ ζ ω ω s ω s ω Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [4]

5 Filro och: problei. q o R PI (s) G f (s) τ G v (s). q Sebbee il filro och possa essere uile per igliorare la risposa al riferieo, ci soo alcui problei coessi al suo uilizzo: La frequeza di risoaza sulla quale sioizzare gli zeri del filro deve essere coosciua co buoa accuraezza I poli poco sorzai del processo cacellai dal filro riagoo auovalori del sisea i aello chiuso e rieergoo coe poli di alre fuzioi di rasferieo, ipicaee quella dal disurbo di carico all uscia. La realizzazioe digiale dei regolaori produce ua cera disorsioe della risposa i frequeza che porebbe o far coicidere la frequeza effeiva degli zeri del filro digiale co la frequeza di progeo. Vi soo eodi per ovviare a queso problea (frequecy pre-warpig) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [5]

6 Siulazioi Siuliao i Siulik il corollo P/PI lao oore co filro och all iero dell aello di velocià: Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [6]

7 Siulazioi Sisea: ω z rad/s, ρ, ζ z. PI di velocià: T iv /ω z, ~ ω cv P di posizioe: ~ ω cp..5 seza filro och co filro och Le cose o igliorao (azi peggiorao). Perché?.5 disurbo di coppia Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [7]

8 Poli dell aello chiuso di posizioe Seza filro Co filro.5.5 Aello di velocià Iag Axis polo i aello chiuso Iag Axis polo i aello chiuso Real Axis Real Axis 3 3 polo i aello chiuso Aello di posizioe Iag Axis - Iag Axis - polo i aello chiuso Real Axis Real Axis Il filro o aiua a coferire sorzaeo ai poli i aello chiuso. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [8]

9 Filro och fuori dall aello di velocià U aleraiva cosise el collocare il filro och a oe dell aello di velocià:. q o G f (s) R PI (s) τ G v (s). q Il ueraore del filro och viee sioizzao sui poli coplessi dell aello chiuso di velocià. Co gli sessi guadagi del P/PI si oegoo geeralee dei buoi risulai. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [9]

10 Siulazioi Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

11 .5 Siulazioi Sisea: ω z rad/s, ρ, ζ z. PI di velocià: T iv /ω z, ~ ω cv P di posizioe: ~ ω cp. seza filro och co filro och Si oiee u sesibile iglioraeo della risposa lao carico.5 disurbo di coppia Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

12 Osservaore del disurbo L osservaore del disurbo di coppia (TDO: Torque Disurbace Observer) è uo schea piuoso diffuso el corollo del oo, i paricolare i applicazioi dove alla coppia oiale prodoa dal oore si sovrappoga u disurbo. Il eodo sia la coppia di disurbo i igresso al oore e la copesa co u azioe che si soa a quella del corollore del oo. Cosideriao iizialee u geerico sisea co igresso aipolabile u e disurbo di carico d: u d P(s) y Ci propoiao di progeare u sisea che sulla base dei valori assui da u e y deerii ua sia del disurbo. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

13 Osservaore del disurbo u * d^ Q(s) u d P(s) Q(s)P (s) y DO I queso schea P (s) è u odello del sisea soo corollo, di fuzioe di rasferieo P(s), ere Q(s) è u filro passabasso a guadago uiario ale da redere realizzabile la fuzioe di rasferieo Q(s)P (s). La sia del disurbo prodoa dall osservaore (DO) è la seguee: dˆ ( s) Q( s) u( s) P ( s) Q( s) y( s) Q( s) u( s) P ( s) Q( s) P( s) ( d( s) u( s) ) Q( s) P ( s) P( s) u s Q( s) P s P( s) d s ( ) ( ) ( ) ( ) se: ( s) P( s) P si ha: ( s) Q( s d( s) d ˆ ) Perao, ella bada passae del filro Q, il disurbo è siao correaee. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [3]

14 Osservaore del disurbo u * d^ Q(s) u d P(s) Q(s)P (s) y DO Risolvedo lo schea a blocchi, si oiee: y ( s) P( s) Q( s) P se: ( s) P( s) y P ( Q( s) ) ( s) P( s d ) Q( s) ( s) * ( s) P( s) ( Q( s) ) d( s) P( s) u ( s) P( s) Q( s) P ( s) u P( s) Q( s) Perao, ella bada passae del filro Q, il sisea dal uovo igresso u* all uscia y è virualee esee dal disurbo. * ( s) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [4]

15 Osservaore del disurbo di coppia Cosideriao ora u oore caraerizzao dal oeo di ierzia J e dal coefficiee di ario D. La fuzioe di rasferieo (da coppia a velocià) è: P( s) J s D Adoado u filro Q del prio ordie e rielaborado lo schea dell osservaore del disurbo si oiee: τ * τ c τ. q J s D s q τ l La coppia di disurbo è cosiuia da ua coppia esogea τ c e dalla coppia rasessa dal carico τ l. D J T f T f è la cosae di epo (piccola) del filro Q. st f J T f TDO Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [5]

16 Osservaore del disurbo di coppia τ * τ c τ. q J s D s q τ l Elaborado lo schea a blocchi si oiee: Q [ ] * ( s) τ ( s) G ( s) ( τ ( s) τ ( s) ) J s D s f c l D J T f co: st f J T f TDO G f ( s) stf st filro passa-alo. f Il disurbo di coppia viee quidi filrao olo efficaceee, i paricolare i bassa frequeza. Si osservi che il odello di riferieo è quello di u giuo rigido. Che cosa cabia se ra oore e carico c è u accoppiaeo elasico? Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [6]

17 TDO e odello elasico Lo schea a blocchi del sisea si odifica:. q l s J l s q l τ d τ * τ τ c.. q J s D s q D el sk el τ l D J T f st f J T f TDO Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [7]

18 TDO e odello elasico Elaborado lo schea a blocchi co τ d si oiee: Q Q l ( s) ( s) J D lr el s s K H f D H ( s) f el els Kel * [ τ ( s) Gf ( s) τc ( s) ], ( s) * [ τ ( s) G ( s) τ ( s) ] f c co: ( ) ( )( ) ( )( ) Per T f : Hf s Jlr s Del s Kel Js Ds Gf s Del s Kel J s Q ( s) Q ( s) l J J lr s s K el D D s sd el el τ * s K ( s) el Q ( s) Il disurbo di coppia è copleaee rigeao Il oore viee corollao coe se fosse scoesso dal carico Il carico oscilla rispeo al oore alla pulsazioe a roore bloccao Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [8]

19 Siulazioe Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [9]

20 Siulazioe.5 seza TDO co TDO (lao carico).5 Ierpreazioe: L osservaore viee rao i igao : ierprea la reroazioe di coppia dalla rasissioe coe se fosse u disurbo esogeo e cerca di euralizzarlo. Bisoga usare il TDO co cauela el caso di accoppiaeo elasico. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

21 Corollo ello spazio di sao Se si dispoe della isura della sola posizioe oore, può essere di ieresse cosiderare la eodologia di corollo di assegaeo degli auovalori. Si è ifai viso che u corollo perfeo del oore lascia sosazialee il carico i aello apero. J Corollo? D K el el J l Co la eodologia di assegaeo degli auovalori co sia dello sao, la legge di corollo iee coo dell iero sao del sisea e dovrebbe eoricaee dare presazioi oiali sia lao oore sia lao carico Corollo J J l Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

22 Modello ello spazio di sao [ ] T l l q y u q q q q τ, & & x Cx B Ax x y u & [ ], C B A lr el lr el lr el lr el el el el el J J D J K J D J K J D J K J D D J K J J l lr Il prio passo cosise ovviaee ell espriere il odello i erii di sisea diaico LTI ello spazio di sao: È facile verificare che il sisea è copleaee raggiugibile dall igresso u e copleaee osservabile dall uscia y. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco []

23 Schea di corollo Progeiao u sisea ad assegaeo degli auovalori, co sia dello sao, regolazioe a zero dell errore (azioe iegrale) ed eleei i feedforward: Feedforward q l Feedforward q k I τ Servo eccaiso q q l K x~ Sia dello sao Corollore Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [3]

24 Iroduzioe dell azioe iegrale Si iroduce l azioe iegrale per oeere errore ullo a regie sul sepoi ache i preseza di disurbi cosai, coe l ario di Coulob. Deo x I lo sao dell iegraore si avrà: x& Ax Bu x& I y y Cx y Coe è oo, a queso puo si allarga lo sao del sisea, aggiugedo lo sao dell iegraore: x z x I Le arici si odificao di cosegueza: z& Fz Gu u G y y Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [4]

25 Iroduzioe dell azioe iegrale F A C, G B, u G y Grazie al pricipio di separazioe, poreo procedere all assegaeo degli auovalori del sisea i aello chiuso coe se lo sao del sisea fosse accessibile, raado separaaee il problea della sia dello sao dall uscia. Voledo allocare gli auovalori del sisea aueao occorrerà preliiaree verificare la raggiugibilià della coppia (F, G u ): sappiao che quesa proprieà sussise se e solo se il sisea soo corollo è raggiugibile ed osservabile e se la sua fuzioe di rasferieo o ha zeri i s. Poiché quese codizioi soo soddisfae, si può procedere all assegaeo degli auovalori co regolazioe a zero dell errore. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [5]

26 Posizioaeo degli auovalori Si scelgoo i guadagi i odo da assegare gli auovalori della arice i aello chiuso: z& u Fz G u K o z, u K o [ K k ] I z& ( F G K )z u o I liea di pricipio, gli auovalori possoo essere sceli arbirariaee. I realà la robusezza dell assegaeo degli auovalori dipede foreee dalle posizioi scele per gli auovalori desiderai i aello chiuso. Ua isura di robusezza è il codizioaeo della arice foraa dagli auoveori del sisea i aello chiuso: più orogoali soo gli auoveori, igliore è il codizioaeo, più robuso è il sisea i aello chiuso. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [6]

27 Corollo oio LQ U aleraiva è scegliere i guadagi i odo da iiizzare la cifra di erio quadraica: J [ T z( ) Qz( ) u( ) ]d I queso odo si iposa u problea di corollo oio Lieare Quadraico (sisea lieare, cifra di erio quadraica). La rouie Malab lqr forisce la soluzioe del problea (cioè la arice K o ) dai il sisea soo corollo e la arice Q (che deve essere seidefiia posiiva). Coe scegliere la arice dei pesi Q? Si può procedere per eaivi oppure seguire srade più sruurae, per le quali si riada alla leeraura specifica. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [7]

28 Ricosruore asioico dello sao Si scelgoo i guadagi del ricosruore i odo da assegare gli auovalori della diaica dell errore di sia: x& Ax Bu y Cx x ~ & Ax ~ Bu ~ Cx ~ y L ( y ~ y ) ε& ( A LC) ε [ ε x x ~ ] Coe è oo il problea è risolubile se la coppia (A, C) è osservabile (coe el osro caso). Più grade è il odulo degli auovalori di ALC, più veloce è la ricosruzioe della diaica, a più sesibile è la sia ai ruori di isura. Ache queso problea può essere iposao i erii di iiizzazioe di ua cifra di erio iegrale, progeado u filro di Kala. Occorre però odellare il sisea i abio socasico (i disurbi vao ierpreai coe processi socasici co deeriae edie e variaze). Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [8]

29 Progeo delle azioi di aicipo C (s) Sisea di fuzioe di rasferieo G k (s) q l q k I τ q l Servo C q (s) s eccaiso K x ~ Sia dello sao Per coferire al progeo precisioe diaica (proezza e grado di sabilià ei rasiori di iseguieo del riferieo) si adoao dei copoei i feedforward. Si osservi che: G k ( s) C( si ( A BK )) B 4 χ B A BK ( s) ( s) Nueraore della f.d.. da τ a q Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [9]

30 Progeo delle azioi di aicipo C (s) Sisea di fuzioe di rasferieo G k (s) Defiiao: G ( s) l B B l ( s) ( s) Nueraore della f.d.. da u a q l Nueraore della f.d.. da u a q q l q k I τ q l Servo C q (s) s eccaiso K ~ x Sia dello sao Scegliereo: C C o ( s) G ( s) F ( s) l o ( s) G ( s) G ( s) F ( s) k l Q Q l l ( s) ( s) F o ( s) Per oeere operaori causali, il grado relaivo di F deve essere pari aleo a 3. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [3]

31 Cofroi sperieali Di seguio verrao osrai alcui risulai sperieali oeui su u disposiivo di laboraorio, cosiuio da u oore brushless, u riduore Haroic Drive e u carico ierziale Lao oore è possibile isurare la posizioe foria da u ecoder Lao carico è dispoibile u acceleroero dal quale si ricava, per iegrazioe, ua isura di velocià del carico, uilizzaa per validazioe degli algorii di corollo Scopo degli esperiei è di cofroare le presazioi dei seguei due schei: corollo PID (P/PI posizioe e velocià co aicipo di velocià) corollo LQG (corollo ello spazio di sao co legge di corollo oia lieare quadraica e ricosruzioe dello sao del sisea raie filro di Kala) I cofroi vegoo codoi ipoedo ua raieoria co profilo di velocià rapezoidale a differei valori di velocià/accelerazioi e cofroado gli adaei delle velocià lao carico Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [3]

32 Apparao sperieale Torque cosa K.6 N/Ars Moor ieria J.5 Kg Load ieria J l.7 Kg Trasissio raio Viscous fricio D.34 Ns/rad Siffess cosa K el 3. N/rad Elasiciy dapig coeff. D el. Ns/rad Airesoace frequecy ω z 5 rad/s Coplex zeros dapig ζ z.63 Resoace frequecy ω p 79 rad/s Coplex poles dapig ζ p.38 Real pole frequecy /T 9. rad/s Copuer BUS Poliboard board Ecoder sigal PCL-88H Board Acceleraio load Curre Referece Servo-Drive Experie 3 Load roaio (deg) Tie for he posiioig (s) Maxiu acceleraio (rad/s ) 9 5 haroic drive oor Curre Digial Posiio Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [3]

33 Cofroi sperieali.5 Roazioe di 4 i.5 s lao carico Accelerazioe ax: rad/s oore PID. -. Roazioe di 3 i.5 s lao carico Accelerazioe ax: 9 rad/s oore PID Load velociy (rad/s) LQG Load velociy (rad/s) LQG ie (s) ie (s) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [33]

34 Cofroi sperieali Roazioe di 5 i.9 s lao carico Accelerazioe ax: 5 rad/s oore Load velociy (rad/s) LQG PID A basse velocià si ha la coparsa di ripple, probabilee dovuo a disurbi sul rasduore, periodici co la posizioe, che a bassa velocià erao ella bada passae del filro di Kala ie (s) Cosiderazioi sul cofroo: Co il corollo LQG si aifesao dei vaaggi rispeo al corollore PID, che però si pagao i erii di coplessià di progeazioe, realizzazioe, codifica e debuggig del corollore. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [34]

35 Ipu shapig Tui i eodi di corollo visi fiora prevedoo ua reroazioe della variabile corollaa: soo ifai eodi i aello chiuso. L ipu shapig è ivece u eodo i aello apero (feedforward): cosise el odificare l igresso al sisea soo corollo i odo ale da aullare l effeo di ua o più risoaze presei el sisea sesso. Richiede la coosceza della pulsazioe aurale e dello sorzaeo dei poli coplessi e coiugai. Può essere uilizzao co u cero successo el corollo di sruure flessibili, quali per esepio bracci roboici per applicazioi spaziali. Per copredere il eodo occorre preliiaree fare alcue cosiderazioi sulla risposa all ipulso di sisei risoai. RALF, Georgia Tech (Alaa) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [35]

36 Risposa all ipulso Si cosideri u sisea diaico co ua coppia di poli coplessi e coiugai: G( s) s ω ζω s ω La risposa ad u ipulso di apiezza k i che ierviee all isae i è daa dall espressioe: y i co: ζω ( ) ( i B ) ie si ( i ) ω ζ, i ω B i k i ζ Il periodo (o pseudoperiodo) dell oscillazioe vale: T ω π ζ (s) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [36]

37 Due ipulsi Si suppoga ora di ecciare il sisea co due ipulsi, agli isai e ( > ). La risposa del sisea è la soa delle due rispose all ipulso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), si si e B B e y ζ ω ζ ω ζω ζω È possibile fare i odo che y sia ulla a parire dall isae? È sufficiee iporre le seguei codizioi: ζ ω ζ ω ζ ω ζ ω ζω ζω ζω ζω cos cos si si e k e k e k e k Si raa di u sisea di due equazioi elle quaro icogie k, k, e. Per risolverlo possiao iporre e ua codizioe di oralizzazioe sulle apiezze: k k Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [37]

38 Due ipulsi: soluzioe Risolvedo il sisea si rova: T α,, k, k α e α α ζπ ζ Il secodo ipulso va quidi dao dopo eà periodo. Si osservi che erabi gli ipulsi soo posiivi soa ipulso ipulso Σ Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [38]

39 Due ipulsi: robusezza Se i paraeri ω e ζ soo oi co iprecisioe, il risulao dell operazioe peggiora. Ad esepio, co u errore del % su ω e del % su ζ si oiee:.6.4. soa ipulso ipulso Σ Per igliorare la robusezza del eodo, si possoo uilizzare più di due ipulsi. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [39]

40 Tre ipulsi Si suppoga quidi di ecciare il sisea co re ipulsi, agli isai, e 3 ( 3 > > ). La risposa del sisea è la soa delle re rispose all ipulso: ( ) ( ) ( ) 3 3, si B e y i i i i ζ ω ζω Per fare i odo che y sia ulla a parire dall isae 3 si ipoe: ζ ω ζ ω ζω ζω cos si 3 3 i i i i i i e k e k i i Si raa di u sisea di due equazioi elle sei icogie k, k, k 3,, e 3. Possiao però iporre ache che o solo y a ache la sua derivaa sia ulla a parire dall isae 3. I queso odo si geerao alre due equazioi: ζ ω ζ ω ζω ζω cos si 3 3 i i i i i i i i e k e k i i Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [4]

41 Tre ipulsi: soluzioe Risolvedo il sisea ipoedo e la codizioe di oralizzazioe sulle apiezze k k k 3 si rova: T α,, 3 T, k, k, k α α α α Il secodo ipulso va quidi dao dopo eà periodo, il erzo dopo u iero periodo. Si osservi che ui gli ipulsi soo posiivi Σ 3 α α α soa ipulso ipulso ipulso Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [4]

42 Tre ipulsi: robusezza Co u errore del % su ω e del % su ζ si oiee:.6.4. soa ipulso ipulso ipulso 3 -. Σ Il coporaeo, oosae l icerezza sui paraeri, è buoo. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [4]

43 Ipu shapig: il eodo Dalle cosiderazioi precedei si può elaborare u eodo per odificare l igresso di u sisea risoae, i odo da eliiare le oscillazioi. Sia u() l igresso del sisea e w() il reo di ipulsi deeriao co le cosiderazioi precedei: w ( ) k δ( ) k δ( T ) k δ( T ) 3 Sia iolre h() la risposa del sisea di fuzioe di rasferieo G(s) a w: h Ricordiao che co covoluzioe di due segali u e h si iede l operazioe: h ( ) y ( ) y ( ) y ( ), h( ), > T ( ) u( ) h( τ) u( τ) dτ u( τ) h( τ) e che la rasforaa di Laplace della covoluzioe di due segali è il prodoo delle due rasforae: [ h( ) u( )] H( s) U( s) L 3 dτ Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [43]

44 Y Ipu shapig: il eodo Eseguedo la covoluzioe dell igresso origiario u co la fuzioe h si oiee u segale y privo di oscillazioi a parire dall isae T. D alra pare risula: ( s) L[ h( ) u( )] H( s) U( s) G( s) W ( s) U( s) G s s T s T ( )( k k e k e ) U( s) 3 Il eodo quidi cosise el prefilrare il segale di igresso co queso seplice schea a blocchi: u k k e s T/ u odificao k 3 e s T Soo sae sviluppae ache versioi adaaive del eodo ed esesioi al caso di più odi risoai. Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [44]

45 Esepio Applichiao il eodo dell ipu shapig a u servoeccaiso a due asse. q, τ J D el J l q l ω, ζ.5 K Suppoiao che l igresso di coado sia u profilo di coppia di ipo reagolare. Calcoliao co la eodologia visa i coefficiei k i e i riardi di epo. Si oiee l igresso odificao: el (N) igresso origiario igresso odificao (s) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [45]

46 Esepio Siuliao la risposa, i erii di velocià lao carico. Prevediao u icerezza del % su ω e del % su ζ. 35 Noosae l icerezza, le oscillazioi soo quasi copleaee riosse. Si geera u riardo, che però può essere copesao facedo parire i aicipo l igresso. (rad/s) uscia origiaria uscia odificaa (s) Corolli auoaici Schei avazai di corollo del oo P. Rocco [46]