LABORATORIO DI FISICA - Ingegneria Aerospaziale - M.Migliorati - A.Sciubba. Teoria degli errori

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1 Teoria degli errori Illutriao alcuni concetti della teoria della iura con un eepio (1). Si upponga di voler deterinare la profondità di un pozzo gettando in eo un ao (). Per ottenere una iura diretta della profondità dovreo eeguire una erie di operazioni che porti al confronto di queta grandezza con l'unità di iura ad ea oogenea (). Alternativaente i può penare a una iura derivata in cui i iura il tepo ipiegato dal ao per giungere in fondo al pozzo. Seguiao queta econda trada: poiao iurare con un cronoetro (4) il tepo neceario affinché il ao, laciato cadere dall'iboccatura del pozzo, raggiunga il fondo. A queto punto abbiao biogno di una relazione fra la profondità del pozzo e il tepo ipiegato dal ao per raggiungerne il fondo. Queta relazione deve eere nota con aleno la tea accuratezza che richiediao alla notra iura. Dobbiao quindi creare un odello della realtà, analizzarlo dal punto di vita delle leggi fiiche e infine tradurlo in relazioni ateatiche. Una pria cheatizzazione potrebbe conitere nel coniderare la caduta del ao coe e avvenie nel vuoto. In queto cao dall'equazione del oto i otterrebbe: 1 (1) h g t in cui "h" rappreenta la profondità incognita del pozzo, "g 9,8 / " l'accelerazione di gravità e "t" il tepo iurato direttaente con un cronoetro. La iurazione i volgerebbe nel eguente odo (5) : il iuratore lacia cadere il ao entre fa partire il cronoetro; quando ente il tonfo del ao nell'acqua arreta il cronoetro; l'indicazione del cronoetro rappreenterà il tepo "t" da introdurre nella relazione (1). Ci apettiao di trovare un olo valore (6) dal quale ricavare eattaente la profondità cercata? Se ripeteio più volte la iurazione otterreo una erie di iure di tepo iili tra loro a non coincidenti. Ciò può eere dovuto a diveri otivi: - non perfetto incronio fra il oento del rilacio del ao e l'inizio del conteggio da parte del cronoetro dovuto al ritardo dei riflei del iuratore - non perfetto incronio fra il oento in cui viene percepito il tonfo del ao e l'itante in cui viene arretato il cronoetro - velocità iniziale del ao non nulla. 1 L'eepio ha validità didattica; all'interno di queto coro la fae preparatoria delle iurazioni da volgere in laboratorio non viene delegata allo tudente. È però itruttivo e conigliato provare ad iaginare alcuni eepi di iurazione ed analizzarli nei terini decritti in quete note La profondità del pozzo è il iurando. Stiao definendo il etodo di iurazione: lanciao un ao (iura derivata) anziché adoperare un regolo (iura diretta) Dovendo adottare il Sitea Internazionale, l'unità di iura della profondità (oogenea ad una lunghezza) è il etro. Ovviaente non ricorrereo al confronto diretto col capione (coa peraltro ipoibile poiché in queto cao i tratta di una definizione) a con un regolo che riporti delle inciioni (tacche) la cui ditanza è deterinata a partire dalla definizione del capione priario o più realiticaente da un capione econdario. 4 Il funzionaento del cronoetro i baa u un ocillatore il cui periodo è in relazione nota con il capione di unità di iura del tepo. 5 Stiao definendo la procedura di iurazione 6 Tale valore è detto valore vero. Poiché la definizione del iurando non può eere infinitaente precia, poono eitere più valori veri. Pag. 1

2 Queto tipo di caue porta a valori diveri fra una iura e la ucceiva; ee producono effetti di piccola entità che però non ono né riproducibili, né prevedibili perché variano caualente. Vengono chiaate errori cauali. Gli errori (7) ono la differenza fra il riultato di una iura e il valore vero cercato. Per eliinare queta non riproducibilità i può agire in tre direzioni a econda del riultato che i vuole ottenere: - e non è iportante ditinguere, p.e., fra una profondità di 10 etri e una di 11 etri i può utilizzare un cronoetro in grado di apprezzare olo i decii di econdo. La cara enibilità dello truento achererà l'effetto degli errori cauali - e è poibile eeguire olte iure nelle tee condizioni i poono utilizzare etodi tatitici (8) per ridurre l'effetto degli errori cauali - e i poono effettuare olo poche iurazioni, o al liite una ola, è neceario cabiare truentazione (9), p.e. i può utilizzare un cronoetro elettronico attivato dallo blocco di un elettroagnete che lacia cadere il ao con velocità nulla e i arreta quando il uono del tonfo arriva a un icrofono. È però illuorio penare di poter eliinare del tutto gli errori cauali odificando la truentazione: il cronoetro, per quanto enibile, non arà ai in grado di apprezzare intervalli teporali inferiori al periodo del uo ocillatore interno, i dipoitivi elettroeccanici rientono delle vibrazioni, la agnetizzazione non è itantanea, i dipoitivi elettronici ono diturbati dai capi elettroagnetici, etc. La preenza degli errori cauali viene facilente evidenziata ripetendo più volte la iurazione nelle tee condizioni: e la enibilità della truentazione lo conente, i otterranno valori non coincidenti fra loro; lo carto fra i valori delle varie iure è indice dell'entità degli errori cauali preenti nella iurazione. Eite però un'altra erie di caue che poono alterare il riultato della iura e produrre valori che i dicotano da quello teorico: - la forula (1) non conidera l'attrito con l'aria - non i tiene conto della velocità finita della propagazione del uono - il cronoetro può anticipare o ritardare Le prie due caue conducono a iure di tepo uperiori a quelle che i otterrebbero e la (1) decrivee correttaente il fenoeno; la terza produrrebbe riultati aggiori o inori di quelli corretti a econda della difunzione dello truento. Quete caue appartengono però a una categoria divera da quella degli errori cauali: l'entità e il vero della variazione riangono inalterati fra una iura e la ucceiva; i parla in queto cao di errori iteatici. Contrariaente agli errori cauali, quelli iteatici poono, aleno in linea teorica, eere eliinati cabiando la truentazione e/o il etodo di iura e queto altera i riultati delle iure o apportando correzioni nueriche al riultato ottenuto. Purtroppo non ono di facile individuazione proprio perché non i evidenziano ripetendo la iurazione nelle tee condizioni. In queto cao per rivelarne la preenza occorre o tudiare più a fondo il fenoeno per averne un odello e quindi una rappreentazione ateatica più accurata, oppure i deve ripetere la 7 Nel capo della teoria della iura la parola "errore" non ha una connotazione negativa non eendo inonio, ad eepio, di "baglio". 8 Il più noto conite nel calcolare la edia aritetica della erie di riultati: i valori in ecceo tenderanno a copenari con quelli in difetto riducendo l'effetto degli errori cauali. Nel eguito del coro approfondireo queta etodologia 9 In queto cao variano anche la definizione del iurando, il etodo di iurazione e la procedura della iurazione Pag.

3 iurazione in condizioni divere, p.e. cabiando lo perientatore o la truentazione o il principio fiico ul quale i baa la iura, etc. Non i deve penare che la ditinzione fra errori cauali ed errori iteatici ia coì netta. Ad eepio nell'azionare il cronoetro in corripondenza del verificari di un qualche evento, a caua della lentezza dei notri riflei, l'azione avverrà epre in ritardo (errore iteatico) a varierà anche leggerente da una prova alla ucceiva (errore cauale). Data l'ipoibilità di conocere i valori veri (occorrerebbe effettuare delle iure enza errore...) il concetto di errore è qualitativo; nell'elaborazione dei riultati di iurazioni i ricorrerà alle incertezze, quantità tatitiche decrivibili in odo oggettivo. Definizioni Il Coité International de Poid et eure (CIP), la più alta autorità ondiale in etrologia ha chieto al Bureau International de Poid et eure (BIP) di produrre una procedura accettata a livello internazionale per epriere l'incertezza delle iure (10). Tale copito è tato itruito dall'international Organization for Standardization (ISO) che eglio rappreenta le neceità delle indutrie e del coercio e dalle organizzazioni che partecipano ai lavori dell'iso: l'international Electrotechnical Coiion (IEC) partner dell'iso nella tandardizzazione ondiale; il CIP e l'organiation Internationale de etrologie Légale (OIL) organizzazioni ondiali nella etrologia; l'international Union of Pure and Applied Cheitry (IUPAC), l'international Union of Pure and Applied Phyic (IUPAP) e l'international Federation of Clinical Cheitry (IFCC). Seguono alcune note e definizioni, ricavate in gran parte dalle nore DIN, che ono tate adattate ai contenuti del coro. iurazione e iura iurazione: iniee di operazioni che portano alla deterinazione del valore del iurando, cioè il valore della grandezza fiica da iurare. Una iurazione inizia quindi con la pecificazione appropriata del iurando, del etodo di iurazione e della procedura di iurazione. iura: valore del iurando ottenuto in eguito a una iurazione. Ea è eprea coe una unità di iura oltiplicata per un nuero: p.e. : lunghezza di una barra: 5,4 ; aa di un corpo: 0,15 kg; quantità di otanza di un capione di acqua: 0,01 ol I valori poono eere poitivi, negativi o zero. I valori di grandezze di dienione 1 ono generalente eprei coe nueri puri (p.e. un'eccezione: 0,17 r). L'unità di iura deve eere epre eprea in quanto parte integrante della iura. 10 Coí coe l'uo dell'international Syte of Unit (SI) ha portato alla coerenza in tutte le iurazioni tecniche e cientifiche, in quet'epoca di ercato globale occorre un coneno ondiale ulla valutazione ed epreione dell'incertezza affinché ia poibile confrontare iure effettuate in nazioni divere. Pag.

4 Definizione del iurando: il iurando deve eere definito con ufficiente copletezza, ripetto all'accuratezza richieta, affinché per tutti gli copi pratici il valore aociato con la ua iurazione ia unico. Se, coe eepio, la lunghezza di una barra di acciaio lunga noinalente 1 deve eere deterinata con l'accuratezza di 1 µ, occorre che vengano pecificate ia la teperatura che la preione; e l'accuratezza richieta è 1 non è neceario epriere tali condizioni di iura. Valore vero: valore conitente con la definizione di una particolare grandezza data. Queto è il valore i otterrebbe da una iurazione perfetta; pertanto i valori veri non ono deterinabili. Poono eerci più valori veri conitenti con una particolare definizione e queta non è ufficienteente dettagliata ripetto all'accuratezza della iurazione. etodo di iurazione: può eere diretto e il valore del iurando è ottenuto ediante l'uo di uno truento atto alla iurazione della grandezza fiica del iurando; è indiretto e il riultato è epreo in terini dei valori di altre grandezze eendo nota la relazione fra quete e il iurando. olti fenoeni fiici poono eere utilizzati in una iurazione; p.e. per iurare lunghezze i poono utilizzare: interferenza luinoa, variazione di capacità elettrica; per teperature: la dilatazione terica, l'effetto teroelettrico, la variazione di reitenza elettrica; per la forza: la deforazione elatica, l'accelerazione; per l'intenità di corrente: l'effetto Joule, effetti elettroagnetici. Riultato di una iurazione: valore attribuito al iurando in eguito a una iurazione. Eo è olo un'approiazione o tia del valore del iurando ed è quindi copleto olo quando venga accopagnato dall'incertezza di quella tia. Riportando il riultato di una iurazione deve eere chiaro e è tata o eno effettuata una correzione per errori iteatici e e è tata eeguita una edia aritetica di più valori. In olti cai il riultato di una iurazione è deterinato da una erie di oervazioni ottenute in condizioni di ripetibilità. Eventuali variazioni dei riultati di oervazioni ripetute vengono attribuite al fatto che ono variate le grandezze influenti. Errori, effetti e correzioni (11) Errori di iura e loro caue: L'errore è il riultato di una iurazione eno un valore vero del iurando. Eo è un concetto idealizzato perché gli errori non poono eere conociuti eattaente in quanto non ono noti i valori veri; in pratica i ua al uo poto un valore convenzionale che è la tia dell'incertezza. Ogni valore iurato è influenzato da iperfezioni dello truento, del etodo di iura, dell'oggetto cui appartiene il iurando, dell'abiente e dell'oervatore; quete influenze poono anche variare nel tepo. Infine ci poono eere bagli coei dall'oervatore ineperto che i upporranno ineitenti (a gli tudenti ono per definizione degli ineperti in queto capo a eno che non abbiano precedenteente acquiito eperienza nel capo delle iurazioni). 11 Il concetto di incertezza coe attributo quantificabile è tato introdotto recenteente anche e la teoria degli errori è tata a lungo parte della teoria e pratica della iura. Oggi è accettato il fatto che quando tutte le coponenti note o opette dell'errore iano tate valutate e corrette, rianga epre un'incertezza circa la correttezza del riultato ottenuto. Pag. 4

5 Eitono olte caue poibili dell'errore di una iurazione: - definizione incopleta del iurando - realizzazione iperfetta della definizione del iurando - iniee di dati iurati non rappreentativo del iurando - conocenza inadeguata delle condizioni abientali o dei loro effetti ulla iurazione - valutazione oggettiva nella lettura di truenti analogici - rioluzione della truentazione inufficiente - valori ineatti delle cotanti e dei paraetri ottenuti da orgenti eterne - aunzioni ed approiazioni utilizzate - variazioni delle oervazioni ripetute non identificate L'errore viene copoto in una coponente cauale e una iteatica. Errori cauali L'errore cauale è pari all'errore eno l'errore iteatico. Il uo valore non può eere conociuto eattaente perché non è noto il valore vero. Gli errori cauali provengono da ipredicibili variazioni teporali e paziali delle grandezze influenti. Sebbene non ia poibile copenare copletaente gli errori cauali, il loro effetto può eere ridotto auentando il nuero di oervazioni e calcolando la edia aritetica di un nuero ufficienteente elevato di iure: l'errore cauale è il riultato di una iurazione eno la edia che i potrebbe ottenere da un nuero infinito di iurazione del iurando otto condizioni di ripetibilità. La deviazione tandard perientale della edia aritetica di una erie di iurazioni non è l'errore cauale della edia a una iura dell'incertezza della edia dovuta ad effetti cauali. Errori iteatici L'errore iteatico è pari all'errore eno l'errore cauale. Il uo valore non può eere conociuto eattaente perché non è noto il valore vero. Gli errori iteatici producono variazioni di vero e entità cotanti al ripeteri delle iurazioni; non poono eere eliinati a peo poono eere ridotti: e viene identificato un effetto iteatico eo può eere quantificato e, e eo è ignificativo per l'accuratezza richieta, i può applicare una correzione nuerica per copenarne l'effetto o procedere con un nuova iurazione in condizioni di non riproducibilità. L'errore iteatico è la edia che i potrebbe ottenere da un nuero infinito di iurazioni del iurando otto condizioni di ripetibilità eno il valore vero del iurando. L'errore iteatico può eere evidenziato e non i oervano condizioni di riproducibilità. Si aue che il riultato di una iurazione ia tato corretto per tutti gli effetti iteatici ignificativi noti e che ia tato copiuto ogni forzo per identificarli e che, dopo la correzione, il valore atteo dell'effetto iteatico corretto ia nullo. Dopo la correzione degli effetti iteatici, il riultato di una iurazione è tuttavia olo una tia del valore del iurando. Correzione/fattore correttivo valore che va oato algebricaente/oltiplicato per il riultato per copenare l'errore iteatico; la copenazione non può eere copleta in quanto non è noto l'errore. Condizioni di ripetibilità: eitono quando lo teo oervatore effettua iure della tea grandezza fiica uando lo teo etodo di iura e gli tei truenti nelle tee condizioni ed in un breve intervallo di tepo. Le variazioni di oervazioni ripetute vengono attribuite al fatto che ono variate grandezze influenti. Pag. 5

6 Grandezza influente: grandezza divera dal iurando che influice ul riultato di una iurazione; p.e.: la teperatura di un icroetro o la frequenza di una tenione alternata. Condizioni di riproducibilità: poono eitere quando diveri oervatori eeguono iure di una tea grandezza fiica (opportunaente definita) utilizzando lo teo etodo di iura a truenti diveri e in luoghi e tepi diveri. Il confronto dei riultati ottenuti otto condizione di riproducibilità può evidenziare la preenza di effetti iteatici non deterinabili da ciacun oervatore eparataente. Incertezza Riportando il riultato di una iura è obbligatorio fornire qualche indicazione quantitativa della qualità del riultato affinché i uoi utilizzatori poano tabilirne l'affidabilità. Senza tale indicazione i riultati delle iure non poono eere confrontati né fra di loro né con valori di riferiento. Errore ed incertezza non ono inonii a due concetti diveri: il prio è qualitativo perché i baa ul valore vero che non è noto; il econdo è quantitativo perché i baa ui valori dei riultati delle iurazioni. Quando tutte le coponenti note o opette dell'errore iano tate valutate e corrette, riane epre un'incertezza circa la correttezza del riultato ottenuto. L'incertezza coprende in generale divere coponenti; alcune poono eere valutate tatiticaente (incertezze di tipo A); altre vengono valutate auendo ditribuzioni di probabilità aunte ulla bae dell'eperienza o di altre inforazioni (incertezze di tipo B). Le coponenti della categoria A) ono caratterizzate dalle tie delle varianze σ o delle deviazioni tandard σ e dal nuero di gradi di libertà ν. Le coponenti della categoria B) devono eere caratterizzate da quantità che poono eere coniderate approiazioni delle corripondenti varianze (la cui eitenza è aunta); analogaente per le approiazioni delle deviazioni tandard. L'incertezza viene generalente eprea dal paraetro tatitico deviazione tandard (o un uo ultiplo). L'incertezza tandard del riultato di una iurazione derivata ottenuto dai valori di altre grandezze è detta incertezza tandard cobinata. La corripondente deviazione tandard tiata è pari alla radice quadrata della varianza cobinata ottenuta dalle varianze delle varie coponenti (legge di propagazione delle incertezze). Una cienza è eatta nel liite in cui riece a deterinare l'incertezza dei uoi riultati Pag. 6

7 Elaborazione di dati perientali Cifre ignificative I etodi di iura, gli truenti e l'oervatore poono eere claificati in bae a: enibilità: capacità di apprezzare piccole variazioni delle grandezze in eae preciione: capacità di produrre lo teo riultato ripetendo più volte la tea oervazione (errori cauali tracurabili) accuratezza: capacità di produrre un riultato eente da errori iteatici Quanto più una iura è pinta (è neceario deterinare i particolari) (enibilità) tanto eglio (piccoli errori cauali) i dovrà oervare il fenoeno (preciione) e tanto più i dovrà porre attenzione agli errori iteatici (accuratezza) Di coneguenza il valore nuerico della iura andrà riportato con un aggior nuero di cifre (cifre ignificative) Più ono le cifre ignificative, igliore deve eere la qualità della iura che iplica quindi un aggior coto: acquito( ), anutenzione, truentazione, peronale, tepo, facilità d'uo,... Il nuero di cifre ignificative del riultato di una iura è quindi trettaente correlato alla bontà della iura e non può eere celto arbitrariaente. Per ottenere il nuero di cifre ignificative occorre togliere l'eventuale virgola al nuero e contare tutte le cifre a partire dalla pria a initra non nulla nuero cifre cifre deciali cifre ignificative ,0 x ,0 x , x ,1 0 x I valori nuerici del riultato di una iura e della ua incertezza non devono eere riportati con un nuero ecceivo di cifre ignificative. Uualente l'incertezza viene riportata con due cifre ignificative. I valori dei riultati devono eere arrotondati opportunaente per eere conitenti con le incertezze: ad eepio e R 10,057 6 Ω con σ 7 Ω allora arà R (10,058 ± 0,07) Ω. Se un nuero ha più cifre ignificative di quante ne occorrano, il nuero va arrotondato (approiando all'unità uperiore e l'ultia cifra è 5 o uperiore) 0, , , ,446 0,45 0,4 0, , ,446 <--- arrotondaenti ucceivi: differicono al più 0,45 per la eno ignificativa delle cifre dai valori 0,5 ottenuti direttaente Per alcune applicazioni è ufficiente rappreentare l'incertezza ediante il nuero di cifre ignificative del riultato; in tal cao il riultato deve eere riportato con un nuero di cifre ignificative tale per cui l'incertezza corriponda all'ultia di ee: (100,01 47 ± 0,000 5 ) g -> 100,01 5 g R (10,058 ± 0,07) Ω -> R 10,06 Ω Pag. 7

8 Eeguendo delle operazione fra riultati di iure, la coniderazione da ricordare è che aggiungere ad una cifra incerta un'altra cifra non auenta la quantità di inforazione. Pertanto: 1) il valore di una iura diretta deve avere tante cifre ignificative quante ono quelle ottenute all'aver eeguito la lettura di uno truento analogico al decio di diviione o al digit nel cao di uno truento digitale; ) nelle quantità ottenute dalle operazioni di oa o differenza di iure il riultato deve avere tante cifre deciali quante ne ha la iura col inor nuero: 5, ,1 + 15,46 810,466 > > 810,5 ) nelle quantità ottenute coe prodotto o rapporto di iure il riultato deve avere tante cifre ignificative quante ne ha la iura col inor nuero:,4 x 6,9 16,767 che è arrotondato a 17 in odo tale che il riultato abbia due cifre ignificative coe 6,9. ESERCIZI 1) Riportare con due cifre ignificative i valori: π e g r 0,4 4,4 x10 7 ) Riportare con due cifre ignificative i valori pari al:,% di 4,4 6% di 0,41 0,1% di 7x10 4 ) Calcolare la edia, la deviazione tandard e la deviazione tandard della edia delle iure: I(A) I11,714 9 A σ (I) 9,604 0 A σ ( I ),69 97 A A) Riportare la deviazione tandard della edia con due cifre ignificative σ ( I ),6 A B) Arrotondare la edia in odo da avere lo teo nuero di cifre deciali della deviazione tandard I 11,7 A Per riportare correttaente il riultato di una erie di iure utilizzare le regole A) e B) dell eepio ed utilizzare la notazione: I (11,7±,6)A Pag. 8

9 Incertezze di tipo A INCERTEZZE Sono quelle ottenute a partire dalla deviazioni tandard perientale della edia aritetica: Incertezze di tipo B σ (X) i 1,N (x X) i N(N 1) non ono ottenute coe deviazione tandard perientali della edia aritetica. Se viene eeguita una ola iurazione l'incertezza deve eere ricavata dalla conocenza delle caratteritiche degli truenti utilizzati o da riultati precedenti ottenuti nelle tee condizioni. Per eepio, peo non c'è una conocenza pecifica della ditribuzione di X all'interno di un certo intervallo e i può olo auere che ea ia cotante all'interno dell'intervallo e nulla all'eterno (ditribuzione unifore) ottenendo una deviazione tandard è pari a 1/ 1 volte la larghezza dell'intervallo (p. e.: 0,9 volte la diviione ulla cala dello truento o l'intervallo definito da una tolleranza) ISURE INDIRETTE peo un iurando Y non è iurato direttaente a è deterinato da altre grandezze (iurate direttaente) X 1, X,..., X attravero la relazione: Y f(x 1, X,..., X ) (1) Una tia y di Y è data da Y y f( X 1, X,..., X ) con X i dove il k-o (1) valore di Xi viene indicato con Xik. k 1,N N X i k Queta tia è corretta olo e la funzione è lineare; altrienti cotituice un'approiazione valida al prio ordine di uno viluppo in erie di Taylor della funzione. Propagazione delle incertezze aolute La deviazione tandard perientale del riultato di una iurazione ottenuto dai valori di altre grandezze fra loro indipendenti (1) è detta incertezza tandard cobinata; ea è: σ(y) σ f (y) σ (Xi ) i 1, X i Xi Xi () 1 Ovviaente e della grandezza Xi viene eeguita una ola iura, nell'epreione di y coparirà X i 1 Se le grandezze ono correlate l'epreione più appropriata per la varianza cobinata richiede l'uo delle covarianze. Nelle eperienze volte durante il coro il grado di correlazione arà in generale tracurabile e quindi riterreo la () ufficienteente accurata per i notri copi. Pag. 9

10 dove f è la funzione dell'equazione (1); le derivate (14) ono calcolate nei valori edi X 1, X,, X e le σ ( X i) ono aunte coe le ripettive incertezze di tipo A (15). L'equazione () è baata ulla viluppo in erie di Taylor al prio ordine (legge di propagazione delle incertezze aolute). Qualora la non linearità di f nell'intorno dei valori edi X i ia ignificativa, all'equazione () vanno oati terini di ordine più elevato. Queta tia è eatta olo e la funzione è lineare; altrienti cotituice una approiazione al prio ordine dello viluppo in erie di Taylor ESEPIO: V 4/ π R σ V) 4πR σ (R) ( Propagazione delle incertezze relative: p1 p p e Y è un onoio: Y c X1 X... X l'incertezza tandard cobinata può eere ottenuta più rapidaente a partire dall'incertezza relativa (16) : σ (y) y i 1, σ (Xi ) p i Xi () VALIDA SOLO PER ONOI ESEPI 1) iurare la grandezza derivata "denità di una fera": ρ (a) Supponiao di aver iurato la aa ( ± σ () ) e il raggio r ( r r ± σ (r) ). 4 π r 14 Le derivate parziali f x i andrebbero calcolate, in linea di principio, nei valori attei delle Xi; in realtà vengono calcolate nei loro valori tiati X i. Quete derivate ono dette coefficienti di enibilità perché decrivono di quanto varia la grandezza y al variare delle Xi. La varianza cobinata σ (y) viene quindi vita coe oa di terini ognuno dei quali rappreenta la tia della varianza di y dovuta alla variazione di Xi. I coefficienti di enibilità ono a volte ricavati perientalente iurando la variazione di Y al variare di una particolare X i entre le altre grandezze X retano cotanti. 15 Anche in queto cao, e la grandezza X i viene iurata una ola volta, nell'epreione dell'incertezza cobinata coparirà quella iura (non c'è una edia aritetica) e al poto dell'incertezza di tipo A coparirà neceariaente quella di tipo B 16 Può eere un eercizio aai utile provare a otituire nella () l'epreione del onoio: otterrete la () Pag. 10

11 Dalla () i ha: σ( ρ) σ () + σ (r) 1 4π r In queto cao però è poibile, e quindi preferibile, applicare la () che è di uo più iediato (non richiede calcoli di derivate): da cui i ottiene: σ( ρ) ρ σ () 4π r 4 σ (r) + ( ) r σ () σ (r) ( ρ) ρ + 9 r (b) (c) σ (d) Va notato che ateaticaente le due forule (b) e (d) ono coincidenti: entrabe derivano dalla (17) linearizzazione della (a) ediante viluppo in erie di Taylor nell'intorno del punto (,r) ) iurare la denità di un cilindro di aa, altezza h e diaetro d a partire dai dati: 1, 1,4 14,0 1,8 14,6 1,5 g h 10,0 c (una ola iura con truento analogico) d: in iure precedenti i era ottenuto 8,500 ediante calibro (50µ/div) : dai dati i ricava 80,5 g e quindi i 1,6 i 1,6 i i i 1,6 6 6 i 1,47 g ; inoltre i 1,6 i 108,5g e quindi σ 0,801 g da cui 5 σ σ 6 Pertanto 0,6 g (1,4 ± 0,) 10 h: l'unica iura è riportata al decio di ; quindi la diviione dello truento è il ; σ B 1/ 1 0,9 Pertanto h (100,0 ± 0,9) 10 d: σ B 50µ/ 1 14,4 µ Pertanto d ( 8,500 ± 0,014) 10 kg π d h 4 1 π d 4 e quindi ρ ± + σ + σ + σ h π d h 4 d π d h 4 h ρ 6 ± ( ) (0, 10 ) + ( ) (0, ) + (- 57) (0,9 10 ) ( 58,09) + ( 7,781) + ( 6,86) (6 59) kg / 6 ± ± Alternativaente, poiché la relazione ρ π d h 4 è un onoio, uando le incertezze relative: 17 Anche e ρ varia col cubo di r, nell'intorno di r la funzione è linearizzabile: è ufficiente coniderare valori di r che i dicotino di poco da r : r r << 1. Nel notro cao queto iplica << 1, relazione generalente verificata in tutte le iure. r σ(r) r Pag. 11

12 (1,4 ± 0,) 10 d (8,500 ± 0,014) 10 h (100,0 ± 0,9) 10 σ kg σd d σ h h 0, 10 1,4 10 kg 0,0457,5% kg 0, , ,16% 8,5 10 0, , 10 0, ,9% σ ρ σ σ σ e quindi: ρ 6 kg / con d h σρ ρ ( + ) + ( ) + ( ) ρ π 1 1 ρ d h d 4 h pertanto: ρ 6 1± ( 0,05) + 4( 0,009) + ( 0,0016) 6( 1± 0,0571) (6 ± 61) kg / Convenzionalente l'incertezza relativa i riporta con due cifre ignificative. Ad eepio : σ T /T 1,6 / 4,71 0,06,6% ) Date le iure L1 (0,4 ± 0,6) c L (10,11 ± 0,4) c 1) iurare la lunghezza L L1 + L L 0,5 c ± σ (L) σ (L) σ L L1 L L L (0,5 ± 0,50) c (1,6%) ) iurare la lunghezza Ld L1 - L Ld 10,1 c ± σ (Ld) Ld Ld σ (Ld) σ L1 L Ld (10,51 ± 0,50) c (4,8%) ( L1) + σ ( L) ( + 1) σ ( L1) + ( + 1) σ ( L) 0,6 + 0,4 0,50 5 c ( L1) + σ ( L) ( + 1) σ ( L1) + ( 1) σ ( L) 0,6 + 0,4 0,50 5 c ) iurare l'area A L1 x L A 06,446 c ± σ (A) A A σ ( A) σ L1 L A (06,4 ± 9,) c (4,6%) ( L1) + σ ( L) ( L) σ ( L1) + ( L1) σ ( L) 10,11 0,6 + 0,4 0,4 9,166 c Pag. 1

13 Studio della dipendenza funzionale di due grandezze fiiche Supponiao di voler tudiare un itea fiico a di conocerlo già a un livello tale da poter prevedere che e viene ottopoto alla ollecitazione X eo produrrà una ripota Y econdo la legge Y p X + q dove p e q ono due paraetri incogniti, copo della notra iura (18). Per ogni valore X i della ollecitazione X (con i 1, N valori diveri) eeguiao una iura Y i della grandezza Y. Riportiao u un grafico gli N punti che corripondono alle coppie di iure. Succeivaente tracciao la retta che eglio approia i punti (iniizza le ditanze dei punti della retta). Poiché gli N punti u queto grafico rappreentano delle iure (quindi affette da errori) la retta (funzione analitica) non paa per tutti i punti perientali neanche e la notra cheatizzazione della legge fiica è corretta. Dopo qualche tentativo i è però in grado di tracciare una retta che non i dicota per più di qualche percento da quella ottenibile ediante etodi tatitici (retta dei inii quadrati o di regreione). Vediao coe i preenterebbe un grafico delle iure avendo tracciato la retta: Y p X + q della quale per il oento ancora non conociao i valori di p e q (19) A queto punto non reta che deterinare il valore della pendenza (0) p e dell'intercetta q. 18 Speo lo tudio di un itea più o eno copleo i riduce alla deterinazione della ua ripota a ollecitazioni note. Si ricorre però a queto etodo anche quando una ola coppia di iure arebbe in grado di fornire la ripota cercata. Il fatto è che lo tudio della ripota a ollecitazioni divere conente di evidenziare la preenza ia di errori iteatici e cauali nelle iure che anoalie nel coportaento del itea in eae. 19 Da queto oento in poi va dienticata l'eitenza dei ingoli punti: la igliore rappreentazione del fenoeno tudiato è la retta che è tata tracciata 0 Analiticaente i parla di coeni direttori o di coefficienti angolari a in queto cao c'è da notare che ugli ai ono riportate unità di iura in generale divere e addirittura di grandezze fiiche divere. L'angolo che i potrebbe iurare con un gonioetro cabierebbe e lo teo grafico venie ripetuto con cale divere: tale angolo non ha neuna relazione col ignificato fiico del paraetro p. Per evitare confuione i preferice parlare di pendenza (con dienioni fiiche pari a quelle di Y/X). Pag. 1

14 Per la pendenza p i prendono due punti ulla retta quanto più ditanti poibile al fine di iniizzare l'effetto degli errori di lettura delle coordinate dal grafico. Evidenziate, ad eepio cerchiandoli, i due punti e riportate i valori delle coordinate [x 1, y 1 ] e [x, y ] (con le unità di iura!) al fine di calcolare la pendenza coe rapporto (1) fra la differenza y y1 delle ordinate e la differenza delle acie: p. x x1 L'intercetta q i legge direttaente dal grafico: q Y(X0). Tabelle Il odo più razionale di riportare olti dati è in fora di tabella perché perette confronti per colonne e/o righe, controlli di coerenza, di tendenze, etc. Alcune raccoandazioni (!!!): - non dienticare di epriere per ogni iura l'unità e riportare il corretto nuero di cifre ignificative; - indicazioni auiliarie couni a tutti i dati di una colonna (p. e. 10 n o unità ) vanno riportate ull'intetazione: non devono ingobrare la tabella; - evitare colonne di dati uguali; ricordarne l'eitenza in legenda; - conviene ipotare tabelle in fora aperta (poibilità di aggiungere colonne/righe). Diegno di un grafico - tutti i dati graficati devono eere preenti in una tabella; - evidenziare eventuali dati non graficati otivandone l'ecluione; - le cale ugli ai devono eere celte in odo da garantire la leggibilità delle coordinate di un qualiai punto poto ul grafico (anche divero dai punti riultati di iure); - utilizzare il foglio di carta illietrata a dipoizione (non è indipenabile che il grafico i etenda a tutto il foglio a deve riultare leggibile) - uare olo cale ultiple di 1,, 5 illietri (evitare, e poibile, 4; AI, 7, 9 o valori che richiedano una calcolatrice) - e non viene richieto dall'elaborazione grafica, non è neceario che le cale inizino dall'origine - ogni ae deve riportare il ibolo della grandezza, l'unità di iura, l'eventuale fattore 10 n - u ogni ae vanno riportate a intervalli regolari poche (5-10) tacche con l'indicazione del valore - per non rendere difficoltoa ogni ucceiva elaborazione non riportare ai ugli ai i valori perientali delle iure effettive o collegare i punti tra loro o con gli ai - è utile () riportare ul grafico la relazione (titolo del grafico) che ci i attende occorrere fra le quantità riportate ugli ai 1 La diotrazione è banale i tratta di un eufeio: è obbligatorio (all'interno di queto coro, per fini didattici) Pag. 14

15 STRUENTI DI ISURA Scala degli truenti analogici Gli truenti di iura analogici poono avere due o più cale. - Indice: parte obile di un dipoitivo indicatore la cui poizione, ripetto a tacche di riferiento, perette di deterinare il valore indicato (p.e.: ago, punto luinoo, uperficie di un liquido). - Scala: iniee ordinato di tacche (con una nuerazione aociata) che fora parte del dipoitivo indicatore di uno truento di iura. - Diviione: parte della cala coprea fra due tacche conecutive. - Valore di una diviione: ditanza fra due tacche iurata nelle unità riportate ulla cala. - Scala lineare/non lineare: cala in cui il rapporto fra la lunghezza (p.e. in c) e il valore di ciacuna diviione è/non è cotante per tutta la cala. Una cala non lineare può eere ad eepio: logaritica, quadratica, parabolica, iperbolica (ohetro). - Scala a zero oppreo: cala in cui l'intervallo ricoperto dalla cala non include lo zero (p.e.: il teroetro clinico). - Scala a zero centrale: cala in grado di preentare valori ia poitivi che negativi Senibilità Una delle principali caratteritiche ditintive di uno truento di iura è la ua enibilità. Ea è definita coe rapporto fra la variazione dell'indicazione e la variazione della ollecitazione in ingreo che l ha provocata. Se invece lo truento di iura ha un indicatore digitale la enibilità è definita coe il rapporto fra il nuero di increenti digitali e la variazione del iurando che l'ha provocata (dove la variazione inia è detta digit). Al variare della ollecitazione la enibilità può eere cotante, e la funzione di traferiento è lineare (p.e. voltetro, ocillocopio), o variare in funzione della ollecitazione (p.e. : ohetro). Più lo truento è enibile e più piccola è la variazione della grandezza di ingreo che produce una variazione dell ucita pari a una diviione della cala. Preciione La capacità di uno truento di fornire indicazioni iilari otto condizioni di ripetibilità della iurazione della tea grandezza è detta preciione. In generale l'indicazione di uno truento è funzione non olo della grandezza da iurare a anche di altre quantità (diturbi) che influenzano il riultato variandolo in odo ipredicibile (i tratta di errori cauali). Tanto più lo truento è eente da queti effetti tanto più è precio. La preciione e la enibilità dello truento ono due caratteritiche antitetiche: uno truento olto enibile riece a percepire piccole variazioni della grandezza di ingreo ed è quindi enibile anche alle caue di errore; uno truento olto precio non arà enibile a queti fattori cauali e quindi arà tipicaente poco enibile anche alle variazioni dell ingreo. Accuratezza Si definice accuratezza di uno truento la ua capacità di fornire una ripota proia al valore vero del iurando. Il reciproco di queto concetto è l inaccuratezza che cerca di quantificare la preenza di errori iteatici evidenziabile, otto condizioni di ripetitività, dalle differenze delle edie aritetiche di capioni di iure ottenuti ediante etodi e/o truenti diveri. Una volta evidenziata l inaccuratezza di uno truento e ne deve ridurre l entità o traite l aggiutaento, operazione che altera uno truento di iura al fine di riportarne le caratteritiche entro i valori liite previti; p.e. l'azzeraento di un ohetro o di un Paler o ediante una calibrazione, operazione che non altera uno truento di iura e porta alla conocenza della differenza fra i valori indicati dallo truento e i corripondenti valori veri. ESERCIZIO: Dicutere enibilità, preciione e accuratezza di un orologio fero Pag. 15