TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO. Esercizio 1. Si mostri che la Hamiltoniana associata è data da
|
|
- Linda Genovese
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO CARLANGELO LIVERANI 1. Un sistema semplice Sia q R d e si consideri il sistema determinato dalla Lagrangiana L(q, q) = q, M q V (q). Con M = M T > e D V (q) >, V (q) = V ( q) per ogni q R d. Assumiamo inoltre che V () = V () =. Esercizio 1. Si mostri che la Hamiltoniana associata è data da H(q, p) = p, M 1 p + V (q). Si supponga di essere interessati solo a piccole energie, diciamo più piccole di un qualche ε > dato. Il problema che ci volgiamo porre è di studiare il moto per tempi più lunghi possibile. La prima semplice idea (più di forma che di sostanza) è di introdurre delle nuove variabili ξ = ε 1 q, η = ε 1 p. Si noti che questo cambiamento di coordinate non è simplettico (completamente canonico), dunque non è ovvio che le nuove equazioni siano Hamiltoniane nè, se si, quale sia la nuova Hamiltoniana. Calcoliamo (1.1) ξ = ε 1 q = ε 1 M 1 p = M 1 η η = ε 1 V (ε 1 ξ). Ponendo A = D V () si può scrivere V (q) = 1 q, Aq + W (q) dove, a causa della simmetria, W (q) C q 3. Ponendo W (ξ, ε) = ε 1 W (ε ξ), possiamo quindi scrivere (1.) ξ = M 1 η η = Aξ ε W (ξ, ε). È facile verificare che le nuove equazioni sono Hamiltoniane per l Hamiltoniana H ε (ξ, η) = η,m 1 η + ξ,aξ + εw (ξ, ε) dove W è una funzione liscia di ξ e ε. Esercizio. Si verifichi che W (ξ, ) = i 1=1 i 4=1 w i 1,...,i 4 ξ i1... ξ i4, ovvero è un polinomio omogeneo di quarto grado. 1 Date: August 1, 1. 1 Suggerimento: usare la formula di Taylor. 1
2 CARLANGELO LIVERANI. Piccole oscillazioni Il secondo passo è di confrontare le soluzioni di (1.) con quelle della stessa equazione ma con ε =, che corrisponde ad un oscillatore armonico d-dimensionale. Si consideri l Hamiltoniana H (q, p) = p,m 1 p + q,aq. Poichè M è una matrice positiva è diagonalizzabile, i suoi autovalori m i sono tutti strettamente positivi si può definire la matrice M 1 come una matrice anche essa positiva. Possiamo dunque considerare il cambio di coordinate simplettico ξ = M 1 q, η = M 1 p. In tali coordinate l Hamiltonia ha la forma H (ξ, η) = η,η + ξ,bξ dove B = M 1 AM 1. Si noti che B è nuovamente una matrice simmetrica ed è quindi diagonalizzabile da una trasformazione ortogonale U, cioè (U 1 BU) ij = Ω ij = δ ijωi e U T U = UU T = 1. Possiamo dunque fare l ulteriore trasformazione simplettica ξ = Uz, η = U T w che da la nuova Hamiltoniana H (z, w) = w,w + z,ω z dove ora Ω è una matrice diagonale. Nel gergo della meccanica abbiamo appena scritto l Hamiltoniana in modi normali. 3 Le equazione del moto associate hanno ora la forma (.1) ż = w ẇ = Ω w. Dunque, dette z, w le condizioni iniziali si hanno le soluzioni z i (t) = z i cos(ω it) + w i ω i sin(ω i t). In altre parole abbiamo d oscillatori armonici indipendenti ognuno con frequenza ω i. La discussione appena fatta, sebbene semplice dal punto di vista teorico, non è molto utile dal punto di vista pratico poichè per essere implementata occorre calcolare la radice di una matrice, cosa non immediata. Dal punto di vista operativo è più semplice operare nel modo suggeirto dal seguente esercizio. Esercizio 3. Siano {ω i } le soluzioni dell equazione e v i dei vettori tali che 4 det ( A ω M ) = (.) Av i = ω i Mv i. Si mostri che i vettori v i possono essere scelti in modo che v i, Mv j = δ ij. 5 Esercizio 4. Dati i vettori v i definiti come nell esercizio precedente si definisca la matrice V i,j = (v 1... v d ), dove i v i sono intesi come vettori colonna. Si mostri che (.3) V V T = M 1. Si mostri inoltre che V 1 M 1 (V T ) 1 = 1 e V T AV = Ω. 6 Abbiamo chiamato la matrice diagonale Ω invece che Ω seguendo la tradizione. Si noti che ciò è sempre possibile perchè la matrice è positiva e quindi ha una radice con tutti gli autovalori positivi. 3 Più precisamente i modi normali sono dati da M 1 Ue i, dove e i è la solita base di R d. 4 Dal punto di vista computazionale questo è tanto complicato quanto trovare gli autovalori e autovettori di uan matrice. 1 5 Suggerimento: in analogia con la discussione di cui sopra si noti che M v i sono autovalori di M 1 AM 1 e quindi possono essere normalizzati in modo da formare una base ortonormale. 6 Ovvero, V = M 1 U il che da un modo alternativo di calcolare il cambiamento di variabili sopra discusso e mostra che i vettori v i sono appunto i modi normali del sistema.
3 TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO 3 Chiaramente la relazione (.3) fornisce un modo rapido per calcolare la giusta normalizzazione dei vettori v i. Questo ci permette di studiare tutte le Hamiltoniane quadratiche, ricordiamo tuttavia che noi siamo interessati alla Hamiltoniana H ε non ad H. Esercizio 5. Si mostri che, con gli stessi cambi di variabili sopra descritti si ha w, w H ε (z, w) = per una qualche funzione liscia U. + z, Ω z + εu(z, ε) Detto z(t, ε), w(t, ε) il moto determinato da H ε per una data condizione iniziale, per la dipendenza liscia da un parametro delle soluzioni di una equazione differenziale si ha che x(t, ε) := (z(t, ε), w(t, ε)) dipende in maniera liscia da ε. Per stimare la differenza dei due moti si può quindi studiare la derivata rispetto a ε. Ponendo ζ(t, ε) := ε x(t, ε) si ha (.4) dove Λ = ζ = JD H ε (x)ζ + J ε H ε (x) =: Λζ + εγ(t)ζ + εf(x(t, ε), ε) ζ(, ε) =, ( ) 1 Ω ; Γ(t, ε) := D U(x(t, ε), ε) ; f(x, ε) = J( ε U)(x). se scriviamo (.4) in forma integrale e poniamo ρ := ζ otteniamo ρ(t, ε) t ( ) t Λ + ε Γ(s) ρ(s, ε)ds + f(x(s, ε), ε) ds. Dalla conservazione dell energia segue che esiste una constante C > tale che f(x(s, ε), ε) + Γ(t) C per tutti gli ε, s, quindi per tutti i tempi minori di un fissato tempo T la disuguaglianza di Gronwald implica la stima ρ(t, ε) CT e ( Λ +εc)t. Per ε sufficientemente piccolo, questa stima implica x(t, ε) x(t, ) εct e Λ t per ogni t T. Si tratta di una stima pessima visto che basta aspettare un tempo ordine di ln ε 1 per avere un errore di ordine uno e quindi avere un controllo pressochè nullo sulla soluzione. Si può fare di meglio? Per una equazione differenziale di forma generale la risposta sarebbe no ma la (.4) ha una forma molto speciale che può essere conveniente usata per migliorare la nostra comprensione delle soluzioni. Consideriamo infatti una funzione del tipo ζ(t, ε) = e Λt θ(t, ε) e calcoliamo a quale equazione differenziale deve soddisfare θ acciocchè ζ soddisfi (.4). Un semplice calcolo mostra θ(t) = ε t e Λs Γ(s, ε)e Λs θ(s)ds + ε t Esercizio 6. Si mostri che, per ogni t R, e Λt = 1. Da quanto detto segue la nuova stima ρ(t, ε) εe εct CT. e Λs f(s)ds. Questo significa che la differenza tra il moto con ε e il moto armonico rimane di ordine ε per un tempo dell ordine ε 1.
4 4 CARLANGELO LIVERANI Si tratta di un notevole miglioramento 7 ma spesso si tratta ancora di un tempo troppo breve o di una precisione troppo scarsa per le applicazioni, dunque la solita domanda: si può fare di meglio? 3. Rimuovere la perturbazione ad ordini superiori L idea è di trovare nuove coordinate simplettiche in cui la perturbazione sia più piccola. Ricominciamo da capo: data l Hamiltoniana p, p (3.1) H ε (q, p) = + q, Ω q + εu(q, ε) cerchiamo un cambio di coordinate con funzione generatrice S(η, q) = η, q + εξ(q, η), da cui (3.) p = q S = η + ε q Ξ, ξ = η S = q + ε η Ξ. La nuova Hamiltoniana si scrive quindi come H(q, η + ε q Ξ). Quello che vorremmo è trovare Ξ tale che H(ξ ε η Ξ(ξ, η), η + ε q Ξ(ξ, η)) H (ξ, η) Cε. Questo è equivalente a risolvere l equazione alle derivate parziali η, q Ξ(ξ, η) + ξ, Ω η Ξ(ξ, η) + U(q, ε) = che, sfortunatamente, non è molto semplice da studiare. Invece di cercare di studiare questa equazione risulta essere più semplice cambiare nuovamente variabili nella Hamiltoniana (3.1) prima di cercare un cambio di coordinate che rimuova la perturbazione ad ordini superiori. L idea è quella di usare le variabili azione-angolo per H Variabili azioni angolo. Vogliamo mettere H in variabili azione angolo. Questo significa che cerchiamo una trasformazione canonica (q, p) = Ψ(θ, I), dove I R d e θ T d, 8 determinata da una funzione generatrice del tipo S(q, I) e tale che H Ψ sia una funzione delle sole I. Si noti che H Ψ(I, θ) = H(q(I, θ), q S(q(I, θ), I)). Se dunque vogliamo che la nuova Hamiltoniana non dipenda dalle θ dobbiamo imporre = θ H Ψ = q H(q, q S) θ q. E sorprendente che possiamo invece chiedere la condizione, apparentemente molto più forte, = q H(q, q S). 9 Inoltre, a causa della struttura prodotto del sistema, si può richiedere che la nuova Hamiltoniana abbia una forma molto speciale, ovvero possiamo imporre q S, q S + q, Ω q = d h i (I i ) i=1 7 Se ε = 1 3 allora nelle coordinate originali si può predire il moto per un tempo dell ordine si 1 3 con un errore di 1 6 (ma si ricordi che tutte le coordinate sono dell ordine 1 3 ). 8 Qui per T d intendiamo R d modulo π ovvero il toro d-dimensionale in cui ogni coordinata è un angolo (e quindi varia tra zero e π). 9 Ecco, magari non troppo sorprendente: dopo tutto la trasformazione cercata non è unica (vedi esercizio 9) per cui c è ampio spazio per cercare trasformazioni di tipo speciale. Nel seguito faremo parecchie scelte il cui solo scopo è quello di ottenere formule più semplici.
5 TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO 5 che si puó risolvere cercando una soluzione del tipo S(q, I) = d i=1 S i(q i, I i ) con qi S i (q i, I i ) = ± h i (I i ) ωi q i. Poichè il moto di q i è periodico e si svolge tra i due valori estremi q ± (I i ) tali che h i (I i ) = ωi q ±(I i ) e quindi esistono due possibilità a secondo che p i sia positivo o negativo. Noi analizzeremo il caso di p i positivo, l altro si tratta analogamente. Possiamo scrivere q S i (q i, I i ) = β i (I) + h i (I i ) ωi y dy. Abbiamo perciò il cambio (locale) di coordinate simplettico q θ i = Ii S = β h (I i ) (I i ) + dy hi (I i ) ωi y p i = qi S = h i (I i ) ωi q i Conviene scegliere β i = πi i, questo corrisponde a scegliere θ i = π quando q i = q (I i ). Inoltre volgiamo che θ i sia un angolo e quindi periodico di periodo π. Questo significa che quando q i = q + (I i ) deve essere θ i = cosicchè quando il moto torna a q (I i ) l angolo è aumentato esattamente di π e quindi, giustamente, siamo allo stesso punto da cui siamo partiti. Questo implica che Questo significa che ovvero q+(i i) d di i (3.3) I i = 1 π q+(i i) h (I i ) dy = π. hi (I i ) ωi y q+(i i) h i (I i ) ω i y dy = π, h i (I i ) ω i y dy dove abbiamo scelto la costante di integrazione uguale a zero. Per concludere e scoprire chi è h i dobbiamo calcolare l integrale (3.3). Consideriamo il cambiamento di variabili y = Da cui segue q+(i i) h i (I i ) = ω i I i hi(i i) ω i sin ϕ, θ i = Ii S = π + ω i q h i (I i ) ωi y = h π i(i i ) ω i = h i(i i ) ω i π π π 1 sin ϕ cos ϕdϕ cos ϕdϕ = h i(i i )π ω i. ( ) 1 ωi I i ω dy = ωi i sin 1 q π y I i.
6 6 CARLANGELO LIVERANI Ovvero (3.4) Ii ( q i = sin ω i θ i + π ) Ii = cos (ω i θ i ) ω i ω i p i = ( ω i I i cos ω i θ i + π ) = ω i I i sin (ω i θ i ). Esercizio 7. Si consideri l Hamiltoniana h(q, p) = p + V (q), q, p R, dove V è strettamente convesso. Attraverso gli stessi argomenti sviluppati sopra per un oscillatore armonico si mostri che le variabili azione angolo sono date da I = 1 q+(i) ( h(i) V (y))dy π θ = h (I) q (I) q q (I) 1 ( h(i) V (y) dy Si mostri inoltre che h (I) è connesso al periodo del moto. Esercizio 8. Si consideri l Hamiltoniana H ε (q, p) = 1 p + ω q + ε 1 q. Si faccia il cambio di coordinate che porta H in variabili azione angolo, si mostri che (3.5) H ε (θ, I) = ωi + ε I ω cos θ. Esercizio 9. Partendo dall Hamiltoniana i h i(i i ) si faccia una trasformazione simplettica (diversa dall identità) in cui le nuove coordinate (J, ϕ) sono nuovamente J R d, ϕ T d e la nuova Hamiltoniana dipende solo dalle J. 3.. Riduzione della perturbazione. Se applichiamo il cambio di variabili (3.4) alla Hamiltoniana (3.1) otteniamo la nuova Hamiltoniana H ε (θ, I) = ω, I + εw (θ, I, ε). Esercizio 1. Si ricordi l esercizio, si seguano i vari cambi di variabili e si verifichi che W (θ, I, ) è un polinomio trigonometrico omogeneo di quarto grado. Si verifichi che che può essere scritto come dove w k = w k. W (θ, I, ) = k Z w k (I)e i k,θ, Risulta essere conveniente definire a(i, ε) := 1 (π) d W (θ, I, ε)dθ 1... dθ d ; W (θ, I, ε) := W (θ, I, ε) a(i, ε) [,π] d h(i, ε) := ω, I + εa(i, ε). Cerchiammo ora nuovamente un cambio di coordinate vicino alla identità determinato dalla funzione generatrice S(θ, J) = θ, J + εξ(θ, J), dove Ξ è una funzione periodica di periodo π in tutte le variabili, tale che H ε (θ, J + ε θ Ξ(θ, J)) = h(j, ε) + O(ε ). Un semplice calcolo mostra che questo è possibile solo se (3.6) ω, θ Ξ(θ, J) + W (θ, J, ) =
7 TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO 7 Esercizio 11. Si verifichi che W (θ, J, ) = k Z \{} w k (J)e i k,θ. L idea è di cerare una soluzione del tipo Ξ(θ, J) = k Z ξ k(j)e i k,θ. Sostituendola in (3.6) si ottiene [i ω, k ξ k (J) + w k (J)] e i k,θ = k Z \{} Tale equazione ha una soluzione se { w k (J) i ω,k if k and k 4 ξ k (J) = otherwise. Dunque è possibile trovare una soluzione solo se ω, k per tutti i k, k 4. Se uno di tali prodotti è nullo si dice che il sistema ha una risonanza e in tal caso la soluzione per ε = può esibire comportamenti molti differenti da quella del caso con ε = rendendo quindi impossibile vederla come una piccola perturbazione. Lo studio del moto quando sono presenti risonanze è piuttosto complesso e non lo affronteremo qui. Assumiamo quindi che il sistema non abbia risonanze. Come conclusione della nostra discussione abbiamo trovato nuove coordinate (ϕ, J) tali che nelle nuove coordinate l Hamiltoniana ha la forma Esercizio 1. Si mostri che H ε = ω, J + εa(j, ) + ε G(J, θ, ε) θ = ϕ + ε I = J + ε k Z \{} k Z \{} Mentre le equazioni del moto sono date da (3.7) w k (J) ω, k kei k,ϕ + O(ε ) J w k (J) i ω, k ei k,ϕ + O(ε ), ϕ = ω + ε J a(j, ) + O(ε ) J = O(ε ) Esercizio 13. Si usi il teorema della dipendenza liscia da un parametro per dimostrare che, dette (ϕ(t), J(t)) le soluzioni di (3.7), si ha 1 J(t) J() Cε te Cε t ; ϕ(t) ϕ() [ω + ε J a(j, )]t Cε te Cε t Esercizio 14. Si usi la tecnica illustrata in questa sezione sull Hamiltoniana (3.5). Si confronti la correzione della frequenza imperturbata al primo ordine con la frequenza vera del sistema. 1 Suggerimento: si pensi ε fissato e si introduca un nuovo parametro µ che moltiplica i termini O(ε ). Si confronti quindi il caso µ =, in cui le equazioni sono esattamente risolubili, col caso µ = 1, che sono le equazioni a cui siamo interessati.
8 8 CARLANGELO LIVERANI References Carlangelo Liverani, Dipartimento di Matematica, II Università di Roma (Tor Vergata), Via della Ricerca Scientifica, 133 Roma, Italy. address:
TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO
TEORIA DELLE PERTURBAZIONI: UN SEMPLICE ESEMPIO CARLANGELO LIVERANI 1. Un sistema semplice Sia q R d e si consideri il sistema determinato dalla Lagrangiana L(q, q) = q, M(q) q V (q). Con M(q) = M(q) T
DettagliPolinomio di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili
Esercitazioni del 15 aprile 2013 Polinomio di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili Sia f : A R 2 R una funzione di classe C 2. Fissato un p unto (x 0, y 0 A consideriamo il seguente
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliProva Scritta di di Meccanica Analitica. 12 Gennaio 2017
Prova Scritta di di Meccanica Analitica 1 Gennaio 017 Problema 1 Si studi il sistema meccanico costituito da un punto materiale di massa unitaria soggetto al potenziale V x) = a lnx) x > 0 x a) Scrivere
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliEsercizi di Geometria - 1
Esercizi di Geometria - Samuele Mongodi - smongodi@snsit Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad affrontare nei test e negli scritti dell esame Non è detto che vi
Dettagli1. Funzioni implicite
1. Funzioni implicite 1.1 Il caso scalare Sia X R 2 e sia f : X R. Una funzione y : (a, b) R si dice definita implicitamente dall equazione f(x, y) = 0 in (a, b) quando: 1. (x, y(x)) X x (a, b); 2. f(x,
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
Dettagli1 Il polinomio minimo.
Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliEquazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 0.1 Introduzione Una equazione differenziale del secondo ordine è una relazione del tipo F (t, y(t), y (t), y (t)) = 0 (1) Definizione
DettagliESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI
ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI Consideriamo ora il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti associato alla matrice A M n n, cioè SLO Vale il seguente = A. Teorema. Sia v R n \ } e sia λ C. Condizione
DettagliEsercizi sulla soluzione dell equazione delle onde con il metodo della serie di Fourier
Esercizi sulla soluzione dell equazione delle onde con il metodo della serie di Fourier Corso di Fisica Matematica 2, a.a. 2013-2014 Dipartimento di Matematica, Università di Milano 13 Novembre 2013 1
DettagliSimilitudine (ortogonale) e congruenza (ortogonale) di matrici.
Lezione del 4 giugno. Il riferimento principale di questa lezione e costituito da parti di: 2 Forme bilineari, quadratiche e matrici simmetriche associate, 3 Congruenza di matrici simmetriche, 5 Forme
DettagliConsiderare il moto di un punto materiale di massa m = 1 soggetto ad un potenziale V (x):
sercizio Considerare il moto di un punto materiale di massa m = soggetto ad un potenziale V (x): ẍ = V (x), dove V (x) = x x.. Scrivere esplicitamente l equazione del moto e verificare esplicitamente la
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliSistemi dinamici-parte 2 Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
Sistemi dinamici-parte 2 Parentesi di e trasformazioni AM Cherubini 11 Maggio 2007 1 / 25 Analogamente a quanto fatto per i sistemi lagrangiani occorre definire, insieme alla struttura del sistema, anche
DettagliSPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo
DettagliEndomorfismi e matrici simmetriche
CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori
DettagliSistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari
Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano
DettagliVolumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014
Volumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014 1 Definizioni In uno spazio euclideo reale V di dimensione n siano dati k n vettori linearmente indipendenti e sia Π := Π(v 1 v 2... v k ) il parallelepipedo generato
DettagliFisica Quantistica III Esercizi Natale 2009
Fisica Quantistica III Esercizi Natale 009 Philip G. Ratcliffe (philip.ratcliffe@uninsubria.it) Dipartimento di Fisica e Matematica Università degli Studi dell Insubria in Como via Valleggio 11, 100 Como
DettagliPunti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali
Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Dati f : A R n R ed X 0 A, X 0 si dice : punto di minimo assoluto se X A, f ( x ) f ( X 0 ) punto di massimo assoluto se X A, f ( x ) f (
DettagliAnalisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:
Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice
DettagliDIAGONALIZZAZIONE. M(f) =
DIAGONALIZZAZIONE Esercizi Esercizio 1. Sia f End(R 3 ) associato alla matrice M(f) = 0 1 2 0. 2 (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità. (2) Determinare gli autospazi di f e trovare,
DettagliL atomo di idrogeno (1) H T = p2 1 2m 1. + p2 2 2m 2. + V ( r 1 r 2 ) (2) Definiamo le nuove variabili: 1. La massa totale M M = m 1 + m 2 (3)
L atomo di idrogeno Il problema dell atomo di idrogeno é un problema esattamente risolubili ed i suoi risultati possono essere estesi agli atomi idrogenoidi, in cui solo c é solo un elettrone sottoposto
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti
. Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)
DettagliMetodi di Iterazione Funzionale
Appunti di Matematica Computazionale Lezione Metodi di Iterazione Funzionale Il problema di calcolare il valore per cui F() = si può sempre trasformare in quello di trovare il punto fisso di una funzione
DettagliIstituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini
Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini tipo: Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti delle funzioni razionali,
Dettagli5 Un applicazione: le matrici di rotazione
5 Un applicazione: le matrici di rotazione 51 Rotazioni nel piano di un angolo ϑ Si vuole considerare il caso della rotazione nel piano di un vettore di R di un angolo ϑ assegnato Chiaramente si tratta
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliMATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE
DIAGONALIZZAZIONE 1 MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE Matrici ortogonali e loro proprietà. Autovalori ed autospazi di matrici simmetriche reali. Diagonalizzazione mediante matrici
DettagliComplemento ortogonale e proiezioni
Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali
DettagliNumeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori.
Numeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori. I numeri sulla Mole Antonelliana. Ecco i numeri sulla Mole:,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33, 377, 6, 987, dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due
DettagliCompito di Meccanica Razionale M-Z
Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura
Dettagli0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità
0.1. CONDIZIONE SUFFICIENTE DI DIAGONALIZZABILITÀ 1 0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità È naturale porsi il problema di sapere se ogni matrice sia o meno diagonalizzabile. Abbiamo due potenziali
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Vedremo tra breve un metodo per studiare il problema di trovare il minimo e il massimo di una funzione su di un sottoinsieme dello spazio ambiente che non sia un aperto. Abbiamo
DettagliSpazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari
Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari 14 Aprile 2006 1 1. Proprietà del prodotto scalare. Sia V = R n lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
DettagliEsercizio 2. Consideriamo adesso lo spazio di funzioni V = {f : [0, 1] R}. Dire quali dei seguenti insiemi di funzioni sono sottospazi.
1 Esercizi 1.1 Spazi vettoriali Studiare gli insiemi definiti di seguito, e verificare quali sono spazi vettoriali e quali no. Per quelli che non lo sono, dire quali assiomi sono violati. x 1, x 2, x 3
DettagliSpazi vettoriali euclidei.
Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti
DettagliSistemi di Equazioni Differenziali
Sistemi di Equazioni Differenziali Nota introduttiva: Lo scopo di queste dispense non è trattare la teoria riguardo ai sistemi di equazioni differenziali, ma solo dare un metodo risolutivo pratico utilizzabile
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
Dettagli4 Autovettori e autovalori
4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità
DettagliParte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale
Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,
Dettagli2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.
Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5
pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliAlcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. campo dei reali. Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A.
Alcuni esercii sulla diagonaliaione di matrici Eserciio Dire se la matrice A 4 8 è diagonaliabile sul 3 3 campo dei reali Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A Svolgimento
Dettagli5.2 Sistemi ONC in L 2
5.2 Sistemi ONC in L 2 Passiamo ora a considerare alcuni esempi di spazi L 2 e di relativi sistemi ONC al loro interno. Le funzioni trigonometriche Il sistema delle funzioni esponenziali { e ikx 2π },
DettagliRisposta in vibrazioni libere di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1
Risposta in vibrazioni libere di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1 Vibrazioni libere non smorzate 1/6 Le equazioni del moto di un sistema
Dettagli13. Piccole oscillazioni
3. Piccole oscillazioni Il moto di un sistema meccanico, soggetto a forze conservative, è approssimabile, nell intorno di un punto di minimo del potenziale, con quello del sistema linearizzato. Questa
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.
DettagliProdotti scalari e matrici
Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V
DettagliStati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d.
1 Stati Coerenti Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana H = 1 m p + 1 m ω x (1) Per semplicitá introduciamo gli operatori autoaggiunti adimensionali
DettagliCorso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa (1)
Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa 1) Marco Bramanti Politecnico di Milano November 7, 2016 1 Funzioni olomorfe e campi di
DettagliEsercizi di Fisica Matematica 3, anno , parte di meccanica hamiltoniana e quantistica
Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 014-015, parte di meccanica hamiltoniana e quantistica Dario Bambusi 09.06.015 Abstract Gli esercizi dei compiti saranno varianti dei seguenti esercizi. Nei compiti
DettagliEquazioni differenziali
Equazioni differenziali Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova Equazioni differenziali - 1 Un equazione differenziale è un equazione la cui soluzione è costituita da una funzione incognita
DettagliOttimizzazione libera
Capitolo 1 Ottimizzazione libera Sia f una funzione a valori reali definita sull intervallo E R n. Diciamo che f ha in a E un massimo relativo se B r (a) : x E B r (a), f(x) f(a) In particolare ci occuperemo
DettagliCorso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori
Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche
Dettagli(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.
Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliAlgebra Lineare Autovalori
Algebra Lineare Autovalori Stefano Berrone Sandra Pieraccini Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129, Torino, Italy e-mail: sberrone@calvino.polito.it sandra.pieraccini@polito.it
DettagliCAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.
CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si
DettagliAnalisi Matematica 2: Esercizi su Equazioni Ordinarie
Analisi Matematica 2: Esercizi su Equazioni Ordinarie Vladimir Georgiev Dipartimento di Matematica L.Tonelli, Università di Pisa, Largo Bruno Pontecorvo 5, I-56127, Pisa, Italy. E-mail: georgiev@dm.unipi.it
Dettagli24.1. Ritorno al gruppo delle trasformazioni di Möbius Lo spazio proiettivo degli stati di un qubit.
4.1. Ritorno al gruppo delle trasformazioni di Möbius. 4.1.1. Lo spazio proiettivo degli stati di un qubit. Il qubit è il sistema quantistico più semplice che esista: un sistema i cui stati possibili possono
Dettagli7. Equazioni differenziali
18 Sezione 7. Equazioni differenziali 7. Equazioni differenziali [versione: 25/5/2012] Richiamo delle nozioni fondamentali In un equazione differenziale l incognita da determinare è una funzione (e non
DettagliEsistenza ed unicità per equazioni differenziali
Esistenza ed unicità per equazioni differenziali Per concludere queste lezioni sulle equazioni differenziali vogliamo dimostrare il teorema esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Faremo la dimostrazione
Dettagli0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA SECONDO ESONERO - 5 GIUGNO 6 Si svolgano cortesemente i seguenti Problemi. PRIMO PROBLEMA (PUNTEGGIO: 3/3) Dati due operatori hermitiani  and ˆB in uno spazio di Hilbert
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
Dettagli15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono
DettagliEsercizi Applicazioni Lineari
Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le
DettagliRisoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni
Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Un sistema lineare Ax = b con A R n n, b R n, è sparso quando il numero di elementi della matrice A diversi da zero è αn, con n α. Una caratteristica
DettagliAnalisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)
Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la
DettagliESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE
ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE 1 Funzioni libere I punti stazionari di una funzione libera di più variabili si ottengono risolvendo il sistema di equazioni
DettagliSoluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente
1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F
DettagliLaurea Triennale in Matematica Fisica Matematica ore 14:30 15 Giugno 2017 Durata: 3 ore
Laurea Triennale in Matematica Fisica Matematica ore 14:30 15 Giugno 2017 Durata: 3 ore Attenzione: Riconsegnerete DUE fogli (protocollo bianco, a 4 facciate), scriverete chiaramente cognome e nome, data
DettagliIst. di Fisica Matematica mod. A Quarta esercitazione
Ist. di Fisica Matematica mod. A Quarta esercitazione Francesca Arici (farici@sissa.it Domenico Monaco (dmonaco@sissa.it 3 Novemre La numerazione seguita per gli Esercizi è quella delle note del corso.
DettagliCompiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004
Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l
DettagliOperazioni tra matrici e n-uple
CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,
DettagliIndice slides. 1 Oscillatore semplice 5. 2 Equazione caratteristica 6. 3 Radici complesse 7. 4 Integrale generale 8. 5 Forza Peso 9.
Moto di Oscillatori Pietro Pantano Dipartimento di Matematica Università della Calabria Slides 1 di 27 Slides 2 di 27 1 Oscillatore semplice 5 2 Equazione caratteristica 6 3 Radici complesse 7 4 Integrale
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 3 FEBBRAIO 6 Si risolvano cortesemente i seguenti problemi. PRIMO PROBLEMA (PUNTEGGIO: 6/3) Si calcoli l integrale SOLUZIONE DEL PRIMO PROBLEMA M=. (+ x
DettagliCapitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.
DettagliEsercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x
Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
DettagliVettori applicati. Capitolo Richiami teorici. Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme
Capitolo 1 Vettori applicati 1.1 Richiami teorici Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme {(P i,v i ), P i E, v i V, i = 1,...,N}, (1.1) dove P i è detto punto di applicazione del
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
Dettagli