MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2013/2014 Prof. C. Presilla. Prova A3 17 settembre 2014

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1 MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 203/204 Prof. C. Presilla Prova A3 7 settembre 204 Cognome Nome iscritto al secondo anno iscritto al terzo anno fuoricorso o con più di 55 CFU penalità esercizio voto

2 Esercizio Dimostrare che tutte le soluzioni dell equazione z 3 +3z +5=0 hanno modulo strettamente maggiore di. Si ragioni per assurdo. [punteggio 5] Sia z 0 una soluzione dell equazione z 3 +3z+5 = 0 e si supponga, per assurdo, che risulti z 0 apple. Poiché z 0 =( 5 z 3 0 )/3, possiamo minorare z 0 come z 0 5 z = 4 3. Siamo così giunti ad una contraddizione, deve pertanto essere z 0 >. Alternativamente, si ponga f(z) =z 3 +5 e g(z) =3z e si osservi che le funzioni intere f e g sono tali che f(z) g(z) sulla circonferenza z =. Per il teorema di Rouché le funzioni f e f + g hanno lo stesso numero di zeri all interno del cerchio z <. I tre zeri di f(z) sono esterni a tale cerchio dunque f(z)+g(z) = 0 non ha soluzioni z <.

3 Esercizio 2 potenze: Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di a) X n 2 n [( ( ) n )/2]z n, b) n=0 X n 2+i n z n. n=0 [punteggio 5] a) Il coe ciente n-esimo della serie riscritta nella forma P n=0 a nz n è n a n = 2 n n dispari 0 n pari equindi R =limsup m! = lim sup m! n m = lim m! n a m /m n a n /no sup m: n pari = lim m! n2/nm m =, n o n 2/n dove n m = m se m è dispari e n m = m + se m è pari. In conclusione, R =/. b) Il coe ciente n-esimo della serie è a n = n 2+i n = n 2 n e ilnn esiha a n a n+ = n 2 n (n + ) 2 n+ = n n + 2 n!!. Il raggio di convergenza della serie è R =/.

4 Esercizio 3 Determinare il dominio di analiticità della funzione f(z) = sin z p cos z assumendo per f(z) il ramo corrispondente al ramo di log z che ha come linea di diramazione il semiasse immaginario positivo. [punteggio 6] Le funzioni sin z e cos z sono intere, pertanto i punti di non analiticità di f sono tutti e solo quelli determinati dalla radice p cos z =exp 2 log(cos z). La linea di diramazione del ramo scelto di log(cos z) è determinata dall equazione cos z =it, 0 apple t<. L equazione risulta equivalente a e iz 2 2ite iz +=0, la cui soluzione è e iz =it + p (it) 2 =i t ± p t 2 +. Osservando che, al variare di 0 apple t<, la soluzione t+ p p t 2 + rappresenta il semiasse reale [, ) mentret t 2 + il segmento reale [, 0), si ha rispettivamente h z(t) = i log t + p t 2 + e i /2i =(/2+2k) iln t + p t 2 +, t 2 [0, ), k 2, h p z(t) = i log t 2 + t e i /2i =( /2+2k) iln p t 2 + t, t 2 [0, ), k 2, Tali punti rappresentano gli assi immaginari negativi passanti per z =(/2+ 2k) e gli assi immaginari positivi passanti per z =( /2+2k).

5 Esercizio 4 Sia f(z) analitica in C con Im f 0 (z) funzione limitata in C. Dimostrare che f(z) =a + bz con a, b 2 C. [punteggio 6] Si ponga g(z) =exp[ g(z) =exp[re( if 0 (z)]. La funzione g è analitica in C eilsuomodulo if 0 (z))] = exp[im(f 0 (z))] è una funzione limitata in C. Per il teorema di Liouville possiamo quindi a ermare che g(z) è costante in C. Segue che anche f 0 (z) è costante in C, diciamo f 0 (z) =b con b 2 C. Da ciò possiamo dedurre che f(z) =bz + h(z) con h 0 (z) =08z 2 C. D altro canto h(z) =f(z) bz è anche analitica in C e pertanto costante in C, diciamo h(z) =a con a 2 C.

6 Esercizio 5 Stabilire se esiste lim z!0 f 000 (z), dove f(z) = (z ) 2 (z 2). In caso a ermativo determinare il valore di tale limite. [punteggio 5] La funzione f(z) ha un polo semplice in z = 2 e uno doppio in z =ed è altrove analitica. Pertanto f(z) e tutte le sue derivate sono analitiche in z = 0. In particolare f 000 (z) è continua in z =0erisulta lim f 000 (z) =f 000 (0). z!0 Il modo più rapido per determinare il valore di f 000 (0) è il seguente. Nella regione 0 < z < la funzione f(z) è sviluppabile in serie di Taylor e, ricordando il risultato notevole della serie geometrica, si ha 2 f(z) = z 2 z/2 2 z2 z2 + + = 2 +z + z2 + z = 2z n +2z +3z2 +4z = z z z = z z2 6 z3 + O(z 4 ). 4 + z z2 + z2 4 + z Da questa espressione e dall unicità dello sviluppo in serie di Taylor segue immediatamente f 000 (0) = ! = 6 8.

7 Esercizio 6 Si calcoli l integrale reale 0 x a dx, a 2 R, +x3 specificando per quali valori di a l integrale risulta convergente. [punteggio 6] Si ponga f(z) =e ( a)logz /( + z 3 ), assumendo per il logaritmo il ramo log z =lnr +i, z = re i, r > 0, 0 < <2. Si osservi che f ha poli semplici in z = ez =e ±i /3 eunalineadi diramazione coincidente con il semiasse reale positivo. Si integri f lungo il cammino chiuso = + R r,dove (x) =x + i0, r apple x apple R, R( ) =Re i,0apple apple2 /3, 2(x) =xe i2 /3, R x r, e r( ) =re i, 2 /3 0. Per R>er<siha f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz =2 i Res z=e i /3 e ( a)logz =2 i e( 3z 2 R a)logz +z 3 =2 i 3 e i(+a) /3. z=e i /3 Gli integrali sui cammini che compongono f(z)dz = R e ( r a)(ln x+i0) (xe i0 ) 3 + ei0 dx = 2 valgono R e ( r a)lnx r x 3 + dx, 2 f(z)dz = r e ( R a)(ln x+i2 /3) (xe i2 /3 ) 3 + ei2 /3 dx = e R i(2 a)2 /3 r e ( a)lnx x 3 + dx, R a)lnr f(z)dz apple e( R R = 3 R2 a 2(R 3 ) R!! 0, se a>, r f(z)dz apple e( a)lnr 3 r 3 2 r = 3 r2 a 2( r 3 ) r!0! 0, se a<2. Prendendo i limiti R!e r! 0, per <a<2 si conclude 0 x a x 3 + dx =2 i 3 = 3 = 3 e i(+a) /3 ei(2 a)2 /3 2i e i(+a) /3 e i(+a) /3 sin(( + a) /3).

8 MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 203/204 Prof. C. Presilla Prova B3 7 settembre 204 Cognome Nome iscritto al secondo anno iscritto al terzo anno fuoricorso o con più di 55 CFU penalità esercizio voto

9 Esercizio Stabilire, motivando sinteticamente in caso di risposta positiva o portando un esempio esplicito nel caso di risposta negativa, se k kè una norma nello spazio vettoriale indicato. a) kxk = X k= x k k /2, x 2 `2(R) b) kfk =sup f(x), f 2 C (R) x2r c) kxk = x + x + x 2 + x 3, x 2 R 3 d) kxk =sup x k, x 2 `(R) k2n /2 e) kfk = f(x) dx 2, f 2 C (R) \ C b (R) R X f) kxk = x k, x 2 span(`f (R)) k= [punteggio 5] a) No. Si prenda x = (x,x 2,...) con x k = /( p k(log k) 2/3 ). Risulta x 2 `2(R) in quanto X x k 2 = k= mentre kxk = X k= X k= k(log k) 4/3 < x k k /2 = X =. k(log k) 2/3 k= b) No. Esistono funzioni f 2 C (R) non limitate. Si può scegliere, ad esempio, f come una funzione sempre nulla tranne che per dei picchi di forma triangolare centrati sugli interi positivi. Il picco k-simo centrato su x = k è un triangolo di base /k 3 e altezza k. c) No. Se x =(0,, ) si ha kxk = 0. d) Si. Risulta ` ` e(`, k k ) spazio vettoriale normato. e) Si. Risulta C (R) \ C b (R) C 2 (R) e(c 2 (R), k k 2 ) spazio vettoriale normato. f) No. Si consideri x =(x,x 2,...) con x k =/k. Risultax 2 span(`f (R)) = `0(R) mentre P k= x k =.

10 Esercizio 2 Sia W un sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert separabile (V,h, i). Dimostrare che ogni vettore v 2 V può essere scritto come v = w + z, w 2 W, z 2 W?. Omettere la dimostrazione dell univocità di tale decomposizione. [punteggio 5] Vedi Rudimenti di analisi infinito dimensionale, pagina 95.

11 Esercizio 3 Sia A 2L(V ) un operatore lineare limitato nello spazio Euclideo (V,h, i). Dimostrare che ka Ak = kak 2. [punteggio 5] Sapendo che la norma del prodotto di due operatori è minore o uguale al prodotto delle norme degli stessi operatori e utilizzando la proprietà ka k = kak, si ha immediatamente ka AkapplekA kkak = kak 2. Dimostriamo ora che vale la disuaglianza opposta, ovvero kak apple p ka Ak. Si osservi che 8v 2 V, con v 6= 0, si ha kavk 2 = hav, Avi = ha Av, vi apple ka Avk kvk = ka Avk kvk 2 kvk! ka Auk apple kvk 2 kuk sup u6=0 = ka Akkvk 2, dove si è utilizzata la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz hu, vi apple kuk kvk e la definizione di norma di A A. Segue immediatamente kavk kak =sup v6=0 kvk apple p ka Ak.

12 Esercizio 4 Dimostrare che nello spazio delle funzioni fondamentali K vale l identità tra distribuzioni +X k= e ikx =2 (x), dove la serie indica il limite per n!delle distribuzioni regolari ' gn con g n (x) = P n k= n eikx. [punteggio 6] Usiamo la notazione in cui la distribuzione regolare ' gn la corrispondente funzione g n (x). Per definizione viene confusa con +X k= e ikx = lim Per x 6= 0siha nx n! k= n e ikx. nx k= n e ikx = nx k=0 e ix k + nx k=0 e ix k = eix(n+) e ix + e ix(n+) e ix e ix(n+) = e ix/2 (e ix/2 e ix/2 ) + e ix(n+) e ix/2 (e ix/2 e ix/2 ) = e ix/2 +e ix(n+/2) + eix/2 e ix(n+/2) 2i sin(x/2) 2i sin(x/2) sin(x/2) + sin(x(n +/2)) = sin(x/2) sin(x(n +/2)) =. sin(x/2) Utilizzando il risultato noto lim n! R sin(nx) f(x)dx = f(0), 8f 2K, x ovvero in termini di distribuzioni sin(nx) lim = (x), n! x e osservando che per x ' 0sihasin(x/2) ' x/2, concludiamo che +X k= e ikx sin(x(n +/2)) = lim =2 (x). n! sin(x/2) Si osservi che l identità così ottenuta è formalmente la rappresentazione in serie di Fourier di 2 (x).

13 Esercizio 5 Sia + l operatore di traslazione a destra che agisce nello spazio di Banach complesso (`2(C), k k 2 ) + (x,x 2,x 3,...)=(0,x,x 2,...). Determinare lo spettro puntuale e continuo di +. Si ricordi che k + k =. [punteggio 6] Per determinare lo spettro puntuale di + studiamo l iniettività dell operatore zi + al variare di z 2 C. Si vuole determinare se Ker(zI + ) contiene il solo vettore nullo ovvero se (zi + )x = 0 è soddisfatta per x 2 `2(C) solo da x = 0 (operatore zi + iniettivo). L equazione agli autovalori (zi + )x =0implica zx =0, zx k = x k, k =2, 3,... Se z = 0 le equazioni per k 2 forniscono l unica soluzione x = 0. Se z 6= 0, dalla prima equazione si ha x = 0, che usata nell equazione per k = 2 fornisce x 2 = 0, che usata nell equazione per k = 3 fornisce x 3 = 0, e così via. Pertanto anche per z 6= 0 l unica soluzione possibile è x = 0. In conclusione l operatore zi + è i n i e t t i v o 8z 2 C e p( + )=;. Per determinare lo spettro continuo di + studiamo la suriettività di zi + al variare di z 2 C \ p ( + )=C. Si tratta di determinare se Ran(zI + )= {y 2 `2(C) : y =(zi + )x, x 2 `2(C)} coincide con tutto `2(C) (operatore zi + suriettivo) oppure ne è un sottoinsieme proprio. L equazione vettoriale (zi + )x = y equivale al sistema di infinite equazioni scalari zx 0=y zx k x k = y k, k =2, 3,... Se z = 0, deve essere y =0quindizI z 6= 0, deve aversi + è certamente non suriettivo. Se x = y z, x 2 = x + y 2 z x 3 = x 2 + y 3 z. x k = x k + y k z = y z 2 + y 2 z, = y z 3 + y 2 z 2 + y 3 z, = y z k + y 2 z k +...y k z 2 + y k z. Per 0 < z apple, al vettore y =(, 0, 0,...) 2 `2(C) corrisponde la soluzione x con componenti x k = z k che non appartiene a `2(C). Pertanto anche in questo caso l operatore zi + è non suriettivo. Infine, considerando che ( + ) B(0, k + k)ek + k =, concludiamo che c( + )=B(0, ).

14 Esercizio 6 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione xe 3(x 2)2. Si rammenti il risultato notevole F[e x2 ]( )= p e 2 /4. [punteggio 6] A partire dal risultato notevole F[e x2 ]( )= e x2 e i x dx = p e R 2 /4, e utilizzando le proprietà generali della trasformata di Fourier, F[f(ax)]( )= F[f(x)]( /a), a 2 R, a 6= 0, a si ha F[f(x + b)]( )=F[f(x)]( )e i b, b 2 R, F[e 3x2 ]( )= r 3 e 2 /2, F[e 3(x 2)2 ]( )= r 3 e 2 /2 e i 2. Infine F[xe 3(x 2)2 ]( )=i d d F[e 3(x 2)2 ]( ) r =i 3 e 2 /2 2i 6 r i = 2 e /2 2i 2i.