Soluzione della prova di Matematica per i Licei Scientifici. Prof. Luigi Verolino Università Federico II di Napoli

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1 Soluzione della prova di Matematica per i Licei Scientifici Prof. Luigi Verolino Università Federico II di Napoli 22 giugno 2016

2 Ora per poi io preparo Palindromo

3 Anche quest anno, gli studenti del Liceo Scientifico hanno svolto, quale seconda prova degli Esami di Stato , una traccia di Matematica, composta da due problemi e dieci quesiti. Il primo problema partiva da una situazione pratica, riguardante la progettazione di un serbatoio di gasolio per un condominio, mentre il secondo problema ed i quesiti avevano un impronta più teorica. Per quanto riguarda i quesiti di Matematica, sette su dieci sono legati ad argomenti di Geometria Analitica o di Analisi, due sono relativi al calcolo delle probabilità ed un altro è di Geometria Solida sul calcolo di un volume di un liquido in un recipiente. La prova ha avuto inizio alle ore 8:30, quando il Miur ha comunicato la chiave per aprire il plico telematico. «Temi molto vicini alla realtà quotidiana, con un approccio operativo che aiuta gli studenti a capire il valore pratico di ciò che studiano e la centralità che potranno avere le competenze acquisite a scuola anche nella loro vita futura», ha dichiarato il ministro dell Istruzione, Stefania Giannini, commentando le tracce. Nel complesso, il compito non è adatto ad un liceo scientifico, dato che presenta esercizi e quesiti eccessivamente difficoltosi oppure troppo semplici. Inoltre, le Indicazioni Nazionali sono completamente disattese, dato che è presente, un po dovunque, un eccesso di formalismi di calcolo. Si spera che coloro che in futuro proporranno i problemi leggano con maggiore attenzione le Indicazioni Nazionali per i licei scientifici, in maniera tale che gli insegnanti possano disporre di una bussola da puntare verso gli obiettivi da raggiungere nelle loro lezioni. In questo scritto vengono riportate le soluzioni complete dei due problemi e dei dieci quesiti.

4 Problemi

5 Problema 1 L amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio. Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l amministratore ti fornisce il disegno di figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni: la lunghezza del serbatoio deve essere pari a otto metri; la larghezza del serbatoio deve essere pari a due metri; l altezza del serbatoio deve essere pari a un metro; il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con angolo ; la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno, in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio; al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l asse di simmetria (segmento in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato

6 che riporti la percentuale di riempimento del volume del serbatoio in corrispondenza del livello raggiunto in altezza dal gasolio. 1. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per, intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta: 2. Determina il valore di che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all angolo er al volume del serbatoio. 3. Al fine di realizzare l indicatore graduato, determina l espressione che associa al livello del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento del volume da riportare sull indicatore stesso. Quando consegni il tuo progetto, l amministratore obietta che, essendo il serbatoio alto un metro, il valore del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello pari a vuol dire che il serbatoio è pieno al ; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello, una percentuale del. 4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello come indicatore della percentuale di

7 riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di quale esso si verifica. in corrispondenza del Soluzione Per brevità, nel seguito tutte le lunghezze verranno misurate in metri e tutti i volumi in metri cubi, anche se non verrà esplicitamente indicato. Si porrà, ad esempio, semplicemente 1. La prima funzione proposta è la scelta corretta. Infatti, essa passa per i punti e e presenta un punto angoloso in come richiesto. Inoltre, la pendenza in corrispondenza del punto angoloso dipende dal valore di e quindi è regolabile. La seconda funzione ha anch essa un punto angoloso in, passa per il punto e, con un opportuno valore di, può passare per gli altri due punti in precedenza considerati. Tuttavia, la derivata in corrispondenza del punto angoloso, vale a dire, vale in valore assoluto, essendo da una parte la pendenza positiva e dall altra negativa. L inclinazione della funzione è allora pari a, che non è compatibile con le richieste dell amministratore. La terza funzione, invece, pur passando per i tre punti dati, non presenta il punto angoloso richiesto, perché è una funzione goniometrica infinitamente derivabile. 2. Per la funzione scelta, risulta immediato scrivere che

8 Segue che la pendenza della curva in corrispondenza del punto angoloso vale Allora, il volume del serbatoio può essere calcolato come Dunque, dato che si desidera che, si può scrivere che A questa prima disuguaglianza ne segue un altra, per imporre il vincolo sull angolo, per cui Riassumendo, si può scrivere che

9 Dovendo essere un intero positivo, si conclude che l unico intero possibile è Con questa scelta il volume del serbatoio è pari a e l angolo in alto vale 3. Per determinare la funzione, cioè il volume occupato dal liquido in funzione dell altezza raggiunta, occorre svolgere un integrale sull asse delle ordinate e calcolare l area della semi-sezione verticale del serbatoio, in modo che Per fare ciò, è necessario prima di tutto invertire la funzione invertibile, essendo monotona, nell intervallo, per cui : essa è Segue allora che

10 in cui nell integrale si è sostituito notazione. Pertanto, il volume assoluto per evitare ogni ambiguità nella occupato vale mentre quello relativo risulta pari a 4. Prima di tutto, si può sfruttare il dato numerico messo a disposizione nel testo per verificare la correttezza della soluzione fino a questo punto. Infatti, se si sostituisce nell espressione appena ottenuta il valore, vale a dire, si ha, come indicato. L errore nel ragionamento dell amministratore è il seguente: egli sta supponendo che il serbatoio abbia una sezione verticale a larghezza costante, mentre nel caso in esame la larghezza varia proprio secondo la funzione. Numericamente, l errore può essere stimato come differenza tra il volume predetto dalla funzione appena determinata e la funzione, molto più semplice ed imprecisa, In tal modo, ci si riconduce ad un normale problema di ricerca di massimi, da svolgere mediante il calcolo della derivata prima

11 L ultimo risultato ricavato è l errore massimo che si commette utilizzando la funzione anziché la funzione, che corrisponde a circa e si verifica in corrispondenza di un valore di approssimativamente pari a. Si tratta di un problema di elevata difficoltà, ben incardinato nelle Indicazioni Nazionali e contestualizzato in maniera forzata, dato che appare piuttosto improbabile che un amministratore condominiale elabori ciò che è descritto nel testo. Pur se l argomento è presente nei diversi libri di testo, la formulazione risulta piuttosto ambigua

12 Problema 2 Nella figura 1 è rappresentato il grafico della funzione, derivabile in, e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti. È noto che è tangente all asse in, che ed sono un punto di massimo e uno di minimo, che è un punto di flesso con tangente di equazione. Nel punto la retta tangente ha equazione e per il grafico consiste in una semiretta passante per. Si sa inoltre che l area della regione delimitata dall arco, dall asse e dall asse vale, mentre l area della regione delimitata dall arco e dall asse vale. 1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni

13 Quali sono i valori di e di? Motiva la tua risposta. 2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle funzioni specificando l insieme di definizione di ciascuna di esse. 3. Determina i valori medi di e di nell intervallo, il valor medio di nell intervallo ed il valor medio di nell intervallo. 4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione nei suoi punti di ascisse e, motivando le risposte. Soluzione 1. Prima di iniziare ad entrare nel vivo della soluzione del problema, vale la pena ricordare che, negli intervalli in cui la prima derivata è positiva, una funzione è strettamente crescente; il contrario accade negli intervalli di stretta decrescenza. Questo è tutto ciò che serve a determinare l andamento della funzione a partire da quello noto, almeno graficamente, della funzione. A voler essere più precisi, bisogna mettere in evidenza che in la funzione è tangente all asse, vale a dire che

14 Percorrendo la curva da verso, essa cresce strettamente e, dunque, la derivata è positiva. Il punto è un punto di massimo relativo ed allora la derivata è ivi nulla. Poi, passando da ad, la curva decresce e, quindi, la sua derivata prima è negativa; in, punto di minimo relativo, la derivata è di nuovo nulla, mentre tra e è positiva fino a mantenersi costante al valore dopo. Nei punti e sono note le tangenti inflessionali, che sono state riportate per maggiore chiarezza. Il precedente grafico è stato ottenuto per interpolazione, vale a dire è stata costruita una funzione che, tratto per tratto, potesse meglio rappresentare i valori numerici assegnati. Si è preferito suddividere la curva in diversi tratti, anche perché l interpolazione non richiede conti assai onerosi e può essere sviluppata senza l uso di un elaboratore elettronico. Inoltre, nella tabella che segue, oltre al tratto in esame ed alla funzione approssimante, si è riportato anche il valore dell area sottesa, che coincide con l integrale solo se la curva è positiva. La funzione approssimante è in ogni tratto una funzione polinomiale, tranne nel primo, laddove la derivata infinita nell origine, impone una classe di funzione un poco più complicata e dipendente dal parametro

15 . La scelta di questo parametro è stata condizionata, come sarà più chiaro in quel che segue, dal valore dell area sottesa nei primi tre tratti, che è stata scelta pari a, non come richiede il testo. In effetti, risulta che Tratto Approssimante Area sottesa Quanto in precedenza detto sulla derivata prima, basta per giustificare il grafico di, riportato con qualche dettaglio in quel che segue. Si osservi che il punto è stato impropriamente disegnato; tuttavia, per ricordare che esso tende verso l infinito, al suo fianco è stata apposta una piccola freccia. Il punto non è un punto di minimo relativo per la funzione derivata prima, mentre è un punto di flesso per questa funzione e per entrambi, a partire dalle tangenti inflessionali date, si deducono immediatamente i valori delle due derivate

16 I punti e rappresentano i simmetrici di e rispetto all asse delle ascisse e la curva tratteggiata, assieme ai tratti continui positivi, rappresenta il grafico della funzione valore assoluto della prima derivata Questo grafico è, per la verità, richiesto nel secondo punto del problema, ma è stato anticipato, vista l immediatezza della soluzione grafica proposta. Prima di ottenere il grafico dell integrale bisogna tuttavia fare alcune osservazioni al testo, che fornisce i seguenti valori numerici delle due aree

17 Ebbene, si tratta di due numeri interi positivi che vanno interpretati come approssimazioni dei valori veri, come prova un attenta analisi del grafico della funzione assegnata. Si consideri, allo scopo, la prima area e si osservi la figura di seguito mostrata, che è una riproposizione della prima parte del grafico fornito dal testo, nella quale sono tracciate in rosso alcune rette, utili per determinare un limite inferiore e superiore per il valore dell area in esame. I tre punti e sono allineati e l esame della figura suggerisce che l area non può valere, dato che essa è inferiore all area del trapezio rettangolo più esterno, che in certa misura contiene la porzione di grafico in esame, ed è superiore all area della figura geometrica in essa contenuta, per cui su può scrivere Pertanto, si assumerà

18 Similmente, l altra area assegnata non può avere valore unitario, dato che, come suggerisce la figura che segue, contiene il triangolo di base pari a e di altezza pari a, per cui si può concludere che Si assumerà, anche per questa seconda area, il valore Ritornando al grafico dell integrale, si può affermare che fin quando la funzione è positiva, la sua primitiva cresce sempre. In particolare, essa presenta un massimo relativo nel punto, laddove risulta

19 Appena la funzione integranda diventa negativa, l integrale comincia a decrescere, fino al minimo relativo nel punto Infine, dato che vale la relazione lineare la primitiva torna a crescere, seguendo la legge parabolica

20 2. Si è già riportato l andamento di, osservando che basta un semplice ribaltamento delle porzioni negative del grafico di, e l insieme di definizione non cambia, essendo sempre. Nel grafico che segue, anche se non esplicitamente richiesto dal testo, si è riportato l andamento della funzione : si osserva che è stata ribaltata la parte negativa del grafico di e che il nuovo punto rappresenta il punto simmetrico di E rispetto all asse delle ascisse. In altri termini, si può scrivere che Il grafico di è stato presentato non solo perché tornerà utile nel seguito, quando se ne dovrà determinare il valor medio, ma anche quale passo intermedio, in preparazione del successivo, vale a dire della sua prima derivata

21 A questo punto non è difficile convenire con il grafico della funzione mostrato di seguito, che rappresenta una funzione definita sull intero semiasse negativo delle ascisse, tranne i punti e, laddove la funzione esibisce dei salti. Infine, la figura che segue mostra in blu il grafico dell inversa della funzione, peraltro riportata tratteggiata in rosso. Si osservino i due asintoti verticali in corrispondenza degli zeri della funzione L asse delle ascisse è diventato asintoto orizzontale destro e l inversa presenta dei minimi relativi, laddove la funzione di partenza aveva dei massimi relativi, e viceversa. Così, ad esempio, il minimo relativo in della funzione di partenza si trasforma in un massimo relativo per l inversa. Negli intervalli in cui la funzione cresce, la sua inversa decresce, dato che

22 3. Per il calcolo del valor medio della funzione nell intervallo, basta adoperare il Teorema della media, per cui Per contro, volendo determinare il valor medio della funzione sempre nell intervallo, si può scrivere che Si osserva che, come era prevedibile, risulta

23 dato che, nel calcolo dell integrale che definisce tratto negativo della funzione., bisogna considerare anche un Ancora, il valor medio della funzione nell intervallo è pari a Infine, il valor medio della primitiva nell intervallo vale Ora, poiché risulta

24 essendo una costante di integrazione, si conclude che e si può scrivere 4. Per è già noto che. Inoltre, si ottiene che e, quindi, la retta cercata è data dall equazione Per, invece, è già noto che. Inoltre, risulta e, quindi, la retta cercata è data dall equazione

25 Come si è già avuto modo di osservare, in la funzione presenta un minimo relativo e, dunque, una retta orizzontale corrisponde a quanto ci si poteva attendere. Questo problema è inutilmente laborioso, essendo pieno di calcoli e di grafici; il calcolo del valor medio, utilizzando il Teorema della media, viene frequentemente richiesto. Si spera che coloro che in futuro proporranno i problemi leggano con maggiore attenzione le Indicazioni Nazionali per i licei scientifici, che prescrivono di non eccedere con i formalismi di calcolo. Infine, il problema appare perfettamente decontestualizzato.

26 Quesiti

27 1. È noto che Stabilire se il numero reale, tale che è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: La funzione è una funzione continua sull intero asse reale e pari. Essa è sempre positiva, assume un massimo relativo nell origine ed ammette, quale asintoto orizzontale, l asse delle ascisse, per cui Il suo andamento viene di seguito riportato. In realtà, si tratta di una particolare funzione gaussiana

28 così chiamata in onore del grande Gauss, il principe dei matematici, per cui si è scelto Queste funzioni si collocano tra le funzioni speciali elementari e possono essere introdotte nei primi corsi di Analisi Matematica. Mancano di integrali elementari, in altre parole, i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici di funzioni elementari. Tuttavia, i loro integrali impropri, dove l integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente, dato che si può dimostrare che vale l integrale

29 Johann Carl Friedrich Gauss Braunschweig, 30 aprile 1777 Gottinga, 23 febbraio 1855 Allora, si può scrivere, per la parità dell integrando, che Ciò comporta che deve essere positivo, dato che per cui l estremo superiore di integrazione deve aver superato l origine. Non è facile sapere quanto valga, ma si sa che esso è positivo. Passando poi al calcolo dei tre integrali proposti, si può dire che il primo è nullo essendo l integrando una funzione dispari. Il secondo integrale, invece, diventa

30 Ora, dato che si può concludere che Infine, il terzo integrale, in forza del cambio di variabili, è pari a Questo quesito è di media difficoltà ed è unanimemente ritenuto il migliore, dato che verifica, con un argomento baricentrale del programma di ultimo anno, conoscenze abilità e competenze dello studente.

31 2. Data una parabola di equazione si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull asse, nel segmento parabolico delimitato dall asse. Determinare in modo tale che il rettangolo sia di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo. Si tratta di un doppio problema di massimo e di minimo. La parabola interseca l asse delle ascisse nei punti

32 Indicando con l ascissa del punto, che identifica un vertice del rettangolo, si può scrivere che l area del rettangolo vale e stabilire che il suo valore cresce nell intervallo L area del rettangolo presenta un massimo relativo per Procedendo analogamente per il perimetro, si ottiene che è massimo per

33 Mettendo a sistema le ascisse dei due massimi, risulta La parabola cercata ha, in definitiva, equazione mentre il perimetro e l area massimi valgono, rispettivamente, Quesito di media difficoltà, formulato correttamente, presente nei diversi libri di testo, baricentrico rispetto alle Indicazioni Nazionali.

34 3. Un recipiente sferico con raggio interno è riempito con un liquido fino all altezza. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: Si consideri nel piano cartesiano la circonferenza mostrata nella figura che segue.

35 Essa ha centro nel punto e raggio, sicché la sua equazione è Esplicitando il solo ramo del primo quadrante, si può scrivere Facendo ruotare questo ramo attorno all asse, si ottiene il volume cercato Quesito di difficoltà non elevata, alla portata di tutti i candidati, correttamente formulato e, di solito, svolto nelle classi.

36 4. Un test è costituito da domande a risposta multipla, con possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test, occorre rispondere esattamente almeno domande. Qual è la probabilità di superare il test, rispondendo a caso alle domande? La probabilità di rispondere esattamente ad una domanda vale per cui quella di sbagliare la risposta è pari a Sia il numero delle domande e il numero di risposte corrette. Allora, la probabilità di rispondere esattamente ad almeno otto domande è pari alla somma Trattandosi di prove ripetute, ovvero di una distribuzione binomiale che descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, si può scrivere Sostituendo i valori numerici assegnati, si ottiene

37 una probabilità veramente piccola. Ciò vuol dire che, per superare i test, è meglio prepararsi che tentare il caso. Un quesito di modesta difficoltà, correttamente formulato, che pochi studenti hanno affrontato, dato che lo studio della probabilità fatica viene ancora troppo trascurato nei licei.

38 5. Una sfera, il cui centro è il punto, è tangente al piano avente equazione. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera? La retta, passante per e perpendicolare a, ha equazione Questa retta interseca il piano, quando vale a dire nel punto di coordinate che rappresenta il punto di tangenza cercato. Pertanto, la distanza raggio della sfera fornisce il Quesito semplice, senza troppe pretese, che dovrebbe essere alla portata di tutti gli studenti, ma che, di fatto, non lo è, dal momento che questi argomenti vengono trattati troppo marginalmente.

39 6. Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: Esiste un polinomio tale che:. Si osserva preliminarmente che il polinomio non può essere costante, dato che è evidente che una costante non verifica sempre la disuguaglianza assegnata. Escluso il caso costante, si può allora dire che l affermazione proposta nel testo è chiaramente falsa. Se esistesse, in effetti, un tale polinomio, dovrebbe sottostare alle disuguaglianze Proprio in ciò risiede l assurdo: quale che sia il polinomio scelto, esso deve asintoticamente divergere, mentre il minorante ed il maggiorante restano sempre limitati. Questo quesito è piuttosto difficile per studenti di liceo scientifico, dato che sono scarsamente abituati a ragionamenti logici e sintetici, essendo più allenati ad applicare procedure, magari anche piuttosto ricche di calcoli.

40 7. Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di mosse che porti la pedina nella casa d angolo opposta, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con? Per raggiungere la casella, la pedina deve realizzare sette spostamenti verticali e sette orizzontali. Tuttavia, vi sono dei percorsi che non coinvolgono la casella e, pertanto, non vanno considerati. Ciò vuol dire che, per risolvere il problema, occorre determinare il numero di percorsi totali possibili e quelli favorevoli, che passano per. Per arrivare in, occorrono otto mosse: tre orizzontali e cinque verticali. Pertanto, il numero di percorsi totali che portano in, non dipendendo dall ordine, è dato dalle combinazioni semplici, che sono espresse dal coefficiente binomiale Una volta che la casella sia stata raggiunta, si può ripetere lo stesso ragionamento, per calcolare il numero di percorsi totali, congiungenti con.

41 Dato che per arrivare in orizzontali e due verticali, risulta occorrono sei mosse, precisamente quattro Pertanto, si può dire che il numero totale di percorsi favorevoli è pari al prodotto Per contro, tutti i possibili percorsi che terminano in sono In definitiva, la probabilità che la pedina giunga in, passando per, in quattordici mosse vale

42 Questo quesito, pur affrontando un argomento presente nelle Indicazioni Nazionali, è piuttosto difficile e si ritiene che una percentuale veramente esigua dei maturandi lo abbia affrontato. Inoltre, si tratta di un argomento non sempre presente nei libri di testo.

43 8. Data la funzione definita in,, individuare la primitiva di il cui grafico passa per il punto. Per determinare una primitiva della funzione assegnata basta integrare per parti, per cui risulta Integrando una seconda volta per parti l integrale al secondo membro si ottiene il risultato essendo una generica costante di integrazione. Per determinare il valore della costante, basta imporre il passaggio per il punto, sicché Si conclude che la primitiva richiesta vale

44 La figura che segue rappresenta l andamento della primitiva appena trovata e la retta parallela all asse delle ascisse, su cui giace il punto assegnato. Quesito semplice, chiaro, formulato correttamente ed alla portata di tutti i maturandi.

45 9. Date le rette ed il punto, determinare l equazione del piano passante per e parallelo alle due rette. Si ponga il piano cercato nella forma generica Imponendo il passaggio del punto relazione, si può scrivere una prima Forzando la perpendicolarità tra un vettore direttore della prima retta ed un vettore che determina la giacitura del piano si ricava una seconda condizione

46 Infine, dopo aver trasformato in forma parametrica la seconda retta si può ricavare un suo vettore direttore ed imporre la terza condizione, cioè l ortogonalità con Riassumendo, si è ottenuto il sistema di tre equazioni dal quale si ricava immediatamente, sottraendo la seconda alla terza equazione, che e, quindi, una sua versione ridotta è In definitiva, l equazione del piano richiesto vale

47 Alternativamente, si sarebbe potuto osservare che, sostituendo le equazioni parametriche della prima retta nel piano, cui appartiene la seconda retta, si ottiene un identità. Ciò vuol dire che le due rette sono complanari, appartenendo entrambe a questo piano. Pertanto, l equazione di un piano ad esso parallelo si può scrivere nella forma che, poiché deve contenere il punto, diventa Vale quanto già scritto a proposito dei quesiti di Geometria Analitica nello spazio.

48 10. Sia la funzione definita nell intervallo Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di nel punto di ascissa. Dal momento che l equazione della retta tangente vale Ebbene, poiché risulta si può concludere che Quesito di media difficoltà che, tuttavia, eccede nei formalismi di calcolo, assegnando una funzione integrale composta.