UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTA' DI ECONOMIA FINANZA E METODI QUANTITATIVI PER L'ECONOMIA

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1 UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTA' DI ECONOMIA FINANZA E METODI QUANTITATIVI PER L'ECONOMIA VALUTAZIONE DEI PRODOTTI E DELL'IMPRESA DI ASSICURAZIONE IL BOOTSTRAP Filippo Belli Jessica Maranghi Matteo Giulioni Roberto Baldacci

2 Che cosa è il bootstrap? Questo metodo empirico è il più semplice per generare una struttura dei rendimenti, si fonda però su ipotesi che difficilmente possono essere soddisfatte da un qualche mercato reale. Oltre a richiedere la proprietà di completezza dei dati, l applicazione del metodo del bootstrap è possibile solo se le scadenze sono equintervallate. Con questo metodo, a partire dai prezzi di mercato di un insieme di titoli che coprono, con le date di scadenza di cedole e del rimborso finale, uno scadenziario equintervallato, si giunge ad individuare direttamente una sequenza discreta di indici di rendimento.

3 Cosa troviamo sul mercato Gli zero-coupon bonds sono, a livello teorico, i mattoni costitutivi di moltissimi titoli derivati da tassi di interesse, ma non sempre si riescono a trovare sul mercato in questa forma, spesso bisogna ricavarli da prezzi di obbligazioni presenti con un numero finito di maturità T 1 <... < T N. Generalmente questi titoli seguono queste convenzioni: ad ogni data cedolare T k, se l'obbligazione ha una cedola fissa allora paga la quantità i(t k - T k-1 )C, dove C è il valore nominale dell'obbligazione; P = n t i =1 all'ultima data T n viene pagata l'ultima cedola i(t n - T n-1 )C insieme al valore nominale C; i (T T ) C V (t ;T )+C V (t ;T ) i i 1 i n n generalmente i prezzi si quotano con la convenzione C=100. Il prezzo di tali obbligazioni in t = T 0 e allora dato da P t = i =1 i (T i T i 1 ) C V (t ; T i )+C V (t ; T n )

4 Bootstrap da obbligazioni a zcb Il metodo bootstrap permette di ricavare i prezzi degli zero-coupon bond dai prezzi di altri titoli, che sono tipicamente funzioni lineari di zero-coupon bond, quali obbligazioni o swap. Supponiamo di avere al tempo t i prezzi di N obbligazioni P 1 ;P 2 ;P 3 ;...;P n a tasso fisso, ciascuna con maturita T 1 <T 2 <T 3 <... <T n, e di voler ricavare i prezzi dei corrispondenti zero-coupon bond V(t;T 1 );...; V(t;T n ) per ogni n = 1;2;3;... ;N Ci sono allora tre casi possibili: 1 L'obbligazione è senza cedole (es. BOT); 2 L'obbligazione ha una sola cedola residua alla maturita Tn, che verrà pagata insieme al valore nominale (es. BTP con vita residua minore di 6 mesi); 3 L'obbligazione ha cedole non nulle di tasso i prima della scadenza (es. BTP con vita residua maggiore di 6 mesi);

5 Bootstrap da obbligazioni a zcb Caso 1 Se l'obbligazione è senza cedole, essa stessa è uno zero-coupon bond. Allora Quindi il fattore di sconto è Caso 2 Se l'obbligazione ha una cedola non nulla di tasso i, pagata alla maturità T n, allora e quindi C V (t ; t n )=P n V (t ; T n )= P n C P n =i (T n t )C V (t ; T n )+C V (t ; T n ) P V (t ; T n )= n /C 1+i (T n T n 1 )

6 Bootstrap da obbligazioni a zcb Caso 3 Se l'obbligazione ha cedole non nulle di tasso i prima della scadenza, allora per riuscire a calcolare V(t;T n ) è sufficiente sapere V(t;T 1 );... ; V(t;T n-1 ) e che le date T 1 ;... ;T n-1 siano esattamente le date di stacco di cedole di questa obbligazione. Siccome il prezzo dell'obbligazione e dato da n P t = i =1 i (T i T i 1 ) C V (t ; T i )+C V (t ; T n ) dove poniamo T 0 = t, per ricavare V(t;T n ) basta invertire la relazione, e si ottiene V (t ; T n )= P t C i =1 n 1 i (T i T n 1 ) V (t ; T i ) 1+i (T n T n 1 )

7 Il bootstrap della curva dei tassi swap Nei mercati finanziari sono diffuse operazioni di interest rate swap che forniscono direttamente informazioni sui tassi di parità. Il tasso swap infatti è un tasso cedolare che è considerato equivalente ad un flusso di cedole variabili, in condizioni di mercato perfetto il principio di arbitraggio richiede che la gamba variabile quoti alla pari per ogni scadnza cedolare, perciò il tasso swap a k anni dovrà coincidere con il tasso di parità a k anni. Nel mercato sono quotati tassi swap da 1 a 10 anni e per scadenze ; se si vuole ricavare la struttura a pronti su tutte le scadenze annuali fino a 30 anni è necessario completare la serie delle scandenze annuali mancanti tramite ad esempio una interpolazione lineare. Esempio per ricavare il tasso swap con scadenza 16 anni con l'interpolazione lineare p 16 = p p 20

8 Il bootstrap della curva dei tassi swap Per le scandenze inferiori all'anno la struttura dei tassi a pronti viene completata con l'inserimento delle quotazioni dei tassi del mercato monetario come ad esempio l'euribor. I tassi spot sono ottenuti dall'insieme dei tassi completati applicando la regola ricorsiva: 1+P i (t ; t+k )=( k k 1 j 1 P k j =1 [1+i (t,t+ j )] 1/k ) 1 Dove: i(t;t+k) è il tasso spot P k è il tasso swap i(t,t+j) è il tasso spot delle scadenze precedenti

9 BOOTSTRAP SCADENZA DENARO LETTERA MID% FATT DI SCONTO TASSI SPOT (anni) 0,08 0,13% 0,17 0,17% 0,25 0,23% 0,33 0,26% 0,42 0,30% 0,50 0,34% 0,58 0,38% 0,67 0,41% 0,75 0,45% 0,83 0,48% 0,92 0,51% 1 0,39 0,43 0,4100% 0, ,41% 2 0,518 0,558 0,5380% 0, ,5383% 3 0,696 0,736 0,7160% 0, ,7176% 4 0,925 0,965 0,9450% 0, ,9499% 5 1,159 1,199 1,1790% 0, ,1895% 6 1,377 1,417 1,3970% 0, ,4153% 7 1,571 1,611 1,5910% 0, ,6187% 8 1,742 1,782 1,7620% 0, ,8002% 9 1,895 1,935 1,9150% 0, ,9648% 10 2,032 2,072 2,0520% 0, ,1142% 11 2,1630% 0, ,2363% 12 2,254 2,294 2,2740% 0, ,3608% 13 2,3467% 0, ,4415% 14 2,4193% 0, ,5239% 15 2,472 2,512 2,4920% 0, ,6081% 16 2,5210% 0, ,6379% 17 2,5500% 0, ,6687% 18 2,5790% 0, ,7005% 19 2,6080% 0, ,7332% 20 2,617 2,657 2,6370% 0, ,7667% 21 2,6450% 0, ,7717% 22 2,6530% 0, ,7773% 23 2,6610% 0, ,7834% 24 2,6690% 0, ,7900% 25 2,657 2,697 2,6770% 0, ,7970% 26 2,6782% 0, ,7942% 27 2,6794% 0, ,7917% 28 2,6806% 0, ,7896% 29 2,6818% 0, ,7877% 30 2,663 2,703 2,6830% 0, ,7861% Tassi swap quotati nel mercato in data 23 Ottobre 2013 fonte:

10 Struttura per scadenza dei tassi di interesse Spot Struttura dei tassi spot in data 23 Ottobre 2013

11 BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA Manuale di finanza, Volume 1, Tassi di interesse. Mutui e obbligazioni. (2009) G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Matematica Finanziaria. (2011) A. Consiglio