La struttura a Termine dei Tassi d interesse

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1 La struttura a Termine dei Tassi d interesse

2 Idee fondamentali Il tempo è rischio, quindi 100 domani non valgono 100 oggi. Ergo si deve attualizzare, ossia trovare il valore attuale dei 100 domani. Tuttosi compara al valore di oggi. Domande Quali tassi? Come si calcolano dai prezzi del mercato? Cosa si può dire sui tassi nel futuro? Che significano gli spread sui tassi?

3 Tipologie di strutture Tipi di curve dei tassi Zero Curve Yield Curve Par Yield Curve

4 Tassi Zero Alcune definizioni il tasso zero (tasso spot) per la scadenza T è il tasso di interesse relativo ad un investimento effettuato oggi e rimborsato interamente in T senza pagamenti intermedi. La curva dei tassi zero è una curva che esprime la relazione tra i tassi spot e le varie scadenze.

5 Tassi Zero: un esempio Maturity Zero Rate (years) (% cont comp)

6 Tassi zero e pricing di bond Attualizzazione dei flussi di cassa a seconda delle scandenze Es. Un bond a 2 anni con coupon semestrale e intersse del 6% Capitalizzazione continua 3e e e e =98.39 Capitalizzazione discreta 3 1 0,05 3 0,5 1 0, ,0 1 0,064 1,5 103 = ,0 1 0,068

7 Tassi Yield Lo yield di un bond è il suo tasso di rendimento interno ossia il tasso che utilizzato per attualizzare tutti i flussi futuri fornisce il prezzo di mercato del bond Es. Bond price = 98,39 Capitalizzazione continua 3e y 0.5 3e y 1.0 3e y e y 2.0 =98.39 Yield cont =6,807% Capitalizzazione discreta 3 1 y 3 0,5 1 y = ,0 1,5 2,0 1 y 1 y Yield = 7,04%

8 Tassi Par Yield Il tasso Par yield è il tasso di interesse della cedola al quale un bond dovrebbe essere venduto at par Es c 2 e c 2 e c 2 e c 2 e =100 implica c=6.87 con composizione continua

9 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Come costruiamo la curva dei tassi? I requisiti/proprietà Additività Attinenza al mercato Continuità (della curva)

10 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Attinenza al mercato (present value): devo riprodurre i valori osservati sul mercato valutando dove F è il fattore di sconto per il tempo k (caso discreto) e C k il cash-flow N P= k=1 F 0,k C k F 0,k = 1 1 i 0,T k T k

11 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Nel caso di zero coupon ( T minore di circa 1y) N F 0,k =P k F 0, k = 1 1 i 0,k T k dove P k è il prezzo dello strumento con scandenza al tempo k e N è il suo nominale (valore facciale)

12 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Per le altre scadenze dove non ci sono gli zero-coupon si usa la tecnica del Bootstrapping Definizione Metodologia Applicazioni Descrizione del modello

13 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Definizione E un metodo di stima induttiva della struttura dei tassi zero mediante le osservazioni delle quotazioni degli strumenti finanziari trattati sul mercato.

14 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Metodologia Il metodo del bootstrapping permette di ricavare la struttura dei tassi, riferita ad un set di strumenti finanziari attraverso: calcolo dei fattori di sconto associati ai vari strumenti utilizzando i rispettivi flussi e valori di mercato (Prezzi) calcolo dei rispettivi tassi di interesse

15 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Metodologia: il calcolo dei fattori di sconto avviene effettuando il prodotto tra la matrice inversa dei flussi ed il vettore dei rispettivi prezzi (in valore assoluto); il calcolo dei tassi zero dai fattori di sconto utilizzando : capitalizzazione composta; capitalizzazione semplice.

16 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Metodologia, dati due bond uno a 1Y ed uno a 2Y: F 0,2Y N R 2Y (N+N R 2Y ) t 0 F 0,1Y 1Y 2Y F 0,1Y N 1Y =P 1Y F 0,1Y N 2Y R 2Y F 0,2Y N 2Y N 2Y R 2Y =P 2Y F 0,2Y =1 R 2Y F 0,1Y 1 R 2Y F 0,2Y = 1 N 2Y P 2Y N 2Y R 2Y F 0,1Y 1 R 2Y par yield

17 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Più in generale con molte scadenze (che per semplicita supponiamo annuali) si ha F 0,1Y N 1Y =P 1Y F 0,1Y N 2Y R 2Y F 0,2Y N 2Y N 2Y R 2Y =P 2Y F 0,1Y N 3Y R 3Y F 0,2Y N 3Y R 3Y F 0,3Y N 3Y N 3Y R 3Y =P 3Y... F 0,1Y N ny R ny F 0,2Y N ny R ny... F 0,nY N ny N ny R ny =P ny Possiamo scrivere in maniera più compatta m k =1 F 0,k C k, m =P m m C k, m =R m N m k m ; C m, m = 1 R m N m dove C sono i cash flow

18 L'espressione precedente può esser generalizzata a scadenze non annuali e a cedole non annuali e scritta in maniera più compatta in forma matriciale Come Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi F T C=P T F vettore con n tempi ; P vettore con m prezzi ; C matrice n x m dei cash flow E se m=n risolta per i fattori di sconto come F=C 1T P

19 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Esempio Portafoglio di bonds Instruments description ID coupon coupon freq maturity price B1Y 7% B2Y 7,50% B3Y 7,50%

20 Interpolazione Siccome non si osservano tutte le maturità e voglimo una curva continua dobbiamo interpolare i dati ottenuti Lineare Esponenziale Spline Svensson z5x z6x F x, z z z z x e z xe S

21 Duration E' la sensibilità del prezzo al variare degli interessi (yield) 1 P d P d y = D 1 y ~ D Ma anche una durata temporale media 1 P d P d y = 1 C k / P 1 y 1 y T D= T k C k / P k 1 y T T k k si noti come C k/ P 1 y k T =1

22 Duration Esempio: Obbligazione con i=0.04 N=1 e pagamento annuale di durata 30y y=0.03 P=1.196 D=19.06 P(0.04)= P (1-D /(1+0.03)*0.01)= y=0.04 P=1.000 D=17.94 P(0.03)= P(1+D/1.04*0.01)= P(0.05)= P(1-D/1.04*0.01)= y=0.05 P= D=16.89 P(0.04)=P(1+D/1.05*0.01)= NOTATE L'ERRORE DOVUTO AL PRIM'ORDINE

23 Duration #source(filename) function [P,D] = D(rate,years,deltaT,y) %rate = rate of interest of coupon %years = years to maturity %deltat= how many years between the payment of two coupons %y = yield P=0; D=0; y *= deltat; rate *= deltat; years /= deltat for t=1:deltat:years P += rate/(1+y)^t; D += t* rate/(1+y)^t; # printf('t=%i P=%f D=%f\n',t,P,D); endfor % add the nominal P += 1/(1+y)^years; D += years*1/(1+y)^years; %normalize D D *= deltat/p; endfunction

24 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Complicazioni: il calcolo dei fattori di sconto mediante la formula implicazioni sul numero di scadenze su cui sono definiti i flussi degli strumenti m=n! Problema di omogeneita tra numero di strumenti con numero di scadenze m n Soluzione: CLUMPING. F=C 1T P

25 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Clumping Definizione Garanzie Applicazione

26 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Clumping Definizione Il clumping è una tecnica che consente di riprodurre un flusso di cassa posto su di una scadenza mediante due flussi di cassa teorici con scadenze diverse. Flusso originale Flusso rimappato Data Grid Data Grid t

27 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Clumping Garanzie: L applicazione del clumping ad un set di flussi preserva: il valore di mercato del portafoglio; l esposizione al rischio del portafoglio rispetto ai fattori di sconto della term structure.

28 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Clumping Dato un flusso C definito su una scadenza t, la tecnica del clumping consente di riesprimere tale flusso in due flussi: definiti rispettivamente sulle scadenze t 1 e t 2 tali che t 1 < t <t 2. F 1 = C F 2 = 1 C Il peso α è funzione delle scadenze t, t 1 e t 2 (se la correlazione è uguale a 1): = t 2 t t 2 t 1 1 = t t 1 t 2 t 1

29 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi L'espressione precedente si ottiene interpolando linearmente la volatilità = e poi uguagliando la volatilità interpolata a quella del portafoglio composto dai due flussi di cassa ( e supponendo che 1 2 =1 ). 2 =Var [ ]

30 Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi Clumping Esercizio numerico: rispetto della condizione di sensitività rispetto ai fattori di sconto; rispetto della condizione di valore Flusso originale 80 sulla scadenza 2Y da rimappare sulle scadenze 1Y e 3Y

31 Tassi forward impliciti Definizione Modalita di calcolo uniperiodale Ipotesi determinanti la modalita di calcolo Modalita di calcolo multiperiodale Esempio Struttura crescente struttura decrescente struttura prima crescente poi decrescente

32 Tassi forward impliciti Definizione i tassi forward impliciti in una data struttura a termine f (t, t1, t2) sono i tassi d interesse determinati in data spot (t), ma riferiti ad un intervallo temporale che comincia in data successiva (t1) alla data spot e termina in data ulteriormente successiva (t2)

33 ] Tassi forward impliciti Modalita di calcolo uniperiodale i tassi forward impliciti in una data struttura a termine f (t, t1, t2) vengono calcolati in base alla seguente formula: 1 f t,t 1, t 2 =[ 1 i t,t 2 t 2 t 1 i t,t 1 t 1 t 1 t 2 t 1

34 Tassi forward impliciti Ipotesi determinanti la modalita di calcolo il tasso a termine = aspettative di mercato del valore a pronti del tasso su quella scadenza assenza di arbitraggio

35 Tassi forward impliciti Ipotesi determinanti la modalita di calcolo Assenza di arbitraggio se tasso a termine < aspettative operatore acquisterebbe a termine facendo salire il prezzo a termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio) se tasso a termine > aspettative operatori venderebbero a termine facendo scendere il prezzo a termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio)

36 Tassi forward impliciti Ipotesi determinanti la modalita di calcolo il tasso forward viene determinato in modo tale che risultino indifferenti: un investimento unitario da t a t 2 al tasso spot i(t,t 2 ) un investimento unitario da t a t 1 al tasso spot i (t,t 1 ) il cui montante viene reinvestito da t 1 a t 2 al tasso forward implicito 1 i t,t 2 t 2 t = 1 i t,t 1 t 1 t 1 f t,t 1, t 2 t 2 t 1

37 Tassi forward impliciti Modalita di calcolo multi periodale Periodi: i = 0 n-1 Durata periodi: k i = ti +1 t i i(t 0,t n ) = Tasso spot riferito all intervallo (t 0,t n ) f(t 0, t i, t i+1 ) = Tasso forward riferito all intevallo ( i, i+1) 1 i t 0, t n t 0 t n= 1 i t0, t 1 t 1 t 0 1 f t0, t 1, t 2 t 2 t f t0, t n 1, t n t n t n 1 n 1 = i=0 1 f t0, t i, t i 1 t i 1 t i Con: f ( t0, t0, t1 ) = i( t0, t1)

38 Spread e Recovery rate Che significato hanno gli spread nei rendimenti? Sono collegati alla probabilità di default. In maniera molto semplificata: Y yield del risk free y yield del bond con recovery rate R R recovery rate (quando si recupera di 100 investito dopo il default) Q probabilità di default Allora abbiamo N e Y T = 1 Q N e y T Q N R e y T Q= 1 e Y y T 1 R

39 Preso da Moody's Ultimate Recovery Database (2006)

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