Integrazione delle metodologie di analisi della dinamica di un robot industriale: il caso dei robot a parallelogramma

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1 Integrazione dee etodoogie di anaisi dea dinaica di un robot industriae: i caso dei robot a paraeograa A. Bottero, D. Francesia 2, D. Martineo 3, P. Massiino 4 COMAU S.p.A. Robotics, ado.bottero@coau.co 2 COMAU S.p.A. Robotics, daniee.francesia@coau.co 3 COMAU S.p.A. Robotics, daniee.artineo@coau.co 4 COMAU S.p.A. Robotics, paoo.assiino@coau.co Abstract I odei di robot a giunti eastici rappresentano una categoria di odei ateatici per a siuazione reaistica dei robot industriai. Acuni iportanti struenti per anaisi, o sviuppo ed i progetto dei sistei di controo (servo sistei) e di generazione dea traiettoria dei robot industriai e dee acchine utensii ipiegano questa casse di odei. L argoento non è nuovo a interesse reativo dei costruttori di robot e di acchine è sepre vivo, coe testioniano i tanti articoi tecnici pubbicati negi utii anni ( ad es: [], [2] ). La caratterizzazione di questa casse di odei consente a reaizzazione e essa a punto di prototipi virtuai, oto utii coe struenti di progettazione ed anaisi. Più de iveo di dettagio nea odeazione ( quasi sepre si devono accettare dei coproessi per non creare e dover gestire odei di siuazione troppo copessi), a caratterizzazione è attività più iportante e deicata nea costruzione di un odeo reaistico. I docuento intende presentare una etodoogia industriae di caratterizzazione di un odeo di robot a giunti eastici, che presenta, coe caratteristica specifica ed innovativa, uso cobinato di tecniche di anaisi e odeazione differenti: odeistica di sistei eccanici non rigidi a più gradi di ibertà, identificazione di una casse di odei ineari, tecniche di decoposizione odae. Tae etodoogia appare anche appicabie a anaisi e aa odeazione dinaica di una casse più apia e generae di acchine utensii. Lo studio dee proprietà di rigidezza variabie dei robot industriai a paraeograa fornisce un caso di studio copeto che consente di vautarne i benefici. eywords: fine ode deveopent for servo contro design purposes, not rigid robot odeing, robots with eastic joints, robot ode identification, reaistic robot siuation. Introduzione Ne caso di robot a paraeograa, è noto, da prove sperientai, che a rigidezza eccanica, attribuibie a giunto 3, varia con apertura de paraeograa. In posizione di caibrazione (condizione in cui i paraeograa presenta biea e eva ortogonai fig. ) a rigidezza de'asse 3 si presenta coe assia, entre in condizioni di paraeograa chiuso (fig. 2) o aperto a rigidezza è inore. Ne presente docuento si introduce un odeo fisico, i più sepice possibie, che descriva a rigidezza de'asse 3 in funzione de'apertura de paraeograa (e, quindi, in funzione degi angoi dei giunti 2 e 3). Per a caratterizzazione di questo odeo è stata appica una etodoogia di caratterizzazione, essa a punto da COMAU Robotica, che integra: odeistica dei sistei eccanici non rigidi, tecniche di identificazione di odei ineari (funzioni di trasferiento), tecniche (reativaente sepici) di decoposizione odae.

2 fig. : coponenti di un anipoatore a paraeograa ( posa di caibrazione ) SMART NJ Chiusura paraeograa fig. 2: posa di chiusura de paraeograa

3 2 Modeo di rigidezza variabie dea struttura a paraeograa Anaizzando a catena di trasissione dea coppia de'ax3, ai fini di deterinare e proprietà di rigidezza sua fangia porta utensie (una sorta di rigidezza gobae), i fenoeno più significativo generato daa apertura-chiusura de paraeograa è, a pari coppia trasessa da asse 3, un increento de tiro/copressione sua biea (e conseguenteente dea soecitazione di copressione/trazione su braccio ). Dee varie parti eencate precedenteente, soo acune sono infuenzate da questo fenoeno: a rigidezza de riduttore Ax3 non è infuenzata (o counque in odo non significativo) da tiro biea (e quindi da' apertura - chiusura paraeograa ). A parità di coppia fornita da asse 3, per angoi di apertura diversi de paraeograa, a coponente dea forza di trazione-copressione ortogonae aa eva (detta pure ribatatore ) si antiene costante, entre quea paraea varia. La biea è direttaente infuenzata daa apertura/chiusura de paraeograa, perché a sua deforazione è funzione dea forza di copressione-trazione esercitata che dipende proprio (a pari coppia Ax3) da'angoo di apertura o chiusura de paraeograa. Per i coportaento de braccio vagono considerazioni anaoghe aa biea. I corpo Ax4 ha un coportaento anaogo a queo dea eva. In pria approssiazione, a pari coppia Ax3, a rigidezza de distanziae (fino a corpo poso) non viene infuenzata da'apertura-chiusura paraeograa. I perni de paraeograa si deforano in funzione dee soecitazioni agenti sugi stessi che sono funzione de'apertura-chiusura de paraeograa. Pertanto anche i perni, infuenzano a rigidezza copessiva de'ax3 in funzione de'apertura de paraeograa. Eerge quindi che a rigidezza copessiva de'ax3 dipende da tante "oe" in serie, acune dee quai presentano rigidezza costante a variare de'apertura de paraeograa entre per atre a rigidezza è funzione de'apertura de paraeograa. 2. Modeo di variazione dea rigidezza dea biea In base ae considerazioni appena esposte, i coponente che principaente infuenza a rigidezza copessiva de'ax3 in funzione de angoo di apertura-chiusura de paraeograa è a biea. Pertanto qui di seguito si cerca di anaizzarne i suo coportaento ai fini dea rigidezza de'ax3. Nea scheatizzazione de paraeograa rappresentata qui di seguito (Fig. 3), tutte e eve vengono considerate ideai (e quindi rigide indeforabii) tranne a biea. In inea continua nera viene tracciata a configurazione ideae (con eve tutte rigide, o anche con biea deforabie a assenza di coppia Ax3), in inea agenta tratteggiata viene indicata a configurazione deforata conseguente ad un aungaento dea biea a seguito di un increento di coppia Ax3. Partendo da una condizione generica iniziae, caratterizzata da una coppia T fornita da asse 3, da un angoo di apertura de paraeograa, da una unghezza dea biea (deforabie), a seguito di un increento di coppia δt a'ax3 si ha un increento di forza trazione-copressione sua biea pari a: δt δ F = () b sin( ) dove b rappresenta a unghezza dea eva. Considerando a biea deforabie, tae increento di forza δf genererà un increento di unghezza δ dea biea stessa e quindi una rotazione eeentare δ de corpo

4 Ax4. L'increento di unghezza dea biea è direttaente proporzionae a'increento dea forza (in funzione dea rigidezza ineare a trazione dea biea): si ha quindi: δf δt δ = = (2) b sin( ) fig. 3: effetto dee forze di trazione-copressione sua deforazione dea biea Per egare a rotazione eeentare δ de corpo Ax4 a'increento di unghezza δ dea biea ci si serve dea unghezza x rappresentata neo schea precedente. Risuta: x = b δ (3)

5 Si fa ipotesi sepificatrice che a biea deforata +δ (inea agenta tratteggiata) sia paraea aa biea in condizioni iniziai (inea nera continua). Tae ipotesi porta a trascurare contributi de secondo ordine, tanto più trascurabii quanto più si avvicina ai 90. Si ha che 'increento di unghezza dea biea vae: δ x sin( ) (4) Daa (3) e (4) si ha: Unendo a (5) aa (2) si ricava: δ δ = (5) b sin( ) δt δ (6) 2 ( b sin( )) La variazione di rigidezza angoare gobae (riferita aa fangia porta utensie) de'asse 3 in funzione de angoo di apertura de paraeograa (considerando a soa biea deforabie) risuta essere: δt δ 2 δ = ( b sin( )) (7) Considerando quindi deforabie a soa biea, si ha che a rigidezza a'ax3 varia in funzione de'angoo di apertura : δ sarà assia per =90 o e (secondo i odeo approssiato) nua in copeta apertura o chiusura ( =0 o ). 2.2 Modeo dea rigidezza gobae de asse 3, riferito aa fangia porta utensie Coe detto precedenteente, poiché a rigidezza copessiva de'ax3 può essere vista coe a serie di una oa con rigidezza costante rid (riduttore Ax3) e una oa (ossia a biea) a rigidezza variabie con 'apertura de paraeograa, a rigidezza copessiva de'ax3 può essere espressa ne odo seguente: = Ax3 + + rid 0 δ (8) Voendo estendere a forua anche a caso più reae in cui nua dea trasissione Ax3 è ideae e quindi indeforabie, si possono fare e seguenti considerazioni: - i coportaento de braccio può essere paragonato a queo dea biea, e quindi si può ripercorrere un ragionaento anaogo ; - a rigidezza de distanziae può essere ingobata in quea de riduttore, essendo indipendente da'apertura de paraeograa; - i coportaento dei perni può essere ingobato nea rigidezza dea biea (e de braccio); - e rigidezze dea eva-ribatatore e de corpo Ax4, essendo infuenzate "eggerente" da'apertura de paraeograa, possono inserire dee non inearità dea rigidezza copessiva. Si può pertanto scrivere a seguente reazione che esprie a rigidezza copessiva de asse 3: Ax 3 = = (9) [ b sin( π 2 + α ')] fix ' fix b è a unghezza eva-ribatatore; fix è a serie dee rigidezze torsionai de riduttore, de distanziae, e (in parte) di eva e corpo Ax4; coprende a rigidezza ineare di biea, braccio e perni de paraeograa; 0 questa rigidezza tiene conto anche dei contributi dea eva e de corpo asse 4; 0 '

6 = ( - π /2) è a nuova definizione de angoo di apertura de paraeograa; α è un coefficiente di apificazione dea periodicità che tiene conto dee non inearità e degi errori di odeo (assunzione che a biea, deforandosi, resti paraea a se stessa ); 3 Modeo a giunti eastici di un anipoatore (cenni) La caratterizzazione di un sepice odeo a giunti eastici, utiizzato per a siuazione e per a progettazione de sistea di controo dea anipoatore rappresenta i fine utio di questa attività di odeazione. Nei anipoatori industriai gi effetti di easticità sono introdotti da tre cause: o o o ipiego di eeenti di trasissione coe: riduttori e cinghie di trasissione, unghi aberi di trasissione ( si vedano e trasissioni degi utii 3 assi di oti robot oggi su ercato ), introduce effetti di accoppiaento eastico tra e variabii di attuazione ( posizione angoare dei rotori dei otori ) e e variabii controate ( posizione angoare dei giunti ). Deforazioni distribuite dei corpi ( ink ) introducono sepre effetti di easticità: i corpo rigido, coe diostra i odeo presentato ne predente paragrafo, è sepre una astrazione eccessiva e a sua vaidità, in pratica, viene via, via eno a crescere de carico trasportato, de raggio d azione de robot (couneente definito reach ), dea veocità ed acceerazione dea fangia porta utensie, dea banda de controo di posizione. La presenza di gradi di ibertà parassiti, dovuti a coportaento non ideae dee strutture eccaniche copesse e dei vincoi reai, introduce dei giunti eastici addizionai e parassiti che auentano i nuero dee frequenze naturai de anipoatore. Con opportune ipotesi sepificatrici, in pratica quasi sepre accettabii, è possibie ricavare [2] un odeo di anipoatore a giunti eastici, in cui tutti gi effetti di rigidezza sono rappresentati coe oe concentrate nei giunti rotoidai o prisatici: M ( q ) q&& + C ( q, q& ) q& + G ( q ) + τ = ( θ q ) + β ( θ& q& ) J && θ + β θ& + f ( θ& ) Ntr θ = Ntr θ f ( q& ) + β q& = τ τ = t I (0) n - & θ R rappresenta i vettore dee variabii isurate ( sensori di posizione ontati su abero dei otori ); n - q R rappresenta i vettore dee posizioni angoari dei centri di assa sei vari corpi rigidi ; n - I R rappresenta i vettore dei riferienti di corrente (coppia) dei otori eettrici; - τ è i vettore dee coppie di attuazione ai giunti; - J è a atrice diagonae dee inerzie dei otori; - M(q) è a atrice reae e sietrica di inerzia de anipoatore; - G(q) è i vettore dee coppie indotte daa gravità; - C(q,dq/dt) dq/dt è i vettore dei terini di Coriois; - t è una atrice diagonae che rappresenta i guadagni di coppia dei otori espressi in [N/A]; - Ntr è una atrice diagonae che introduce i rapporti di trasissione dei vari assi attuati; -, β sono e atrici diagonai dei coefficienti di rigidezza e sorzaento dei giunti; - β, β atrici diagonai degi attriti viscosi agenti sugi assi di ingresso e di uscita dee trasissioni; - f, f attriti non viscosi agenti, rispettivaente, sugi assi di ingresso e di uscita dee trasissioni.

7 Le posizioni angoari q non sono isurate a rappresentano i vero obiettivo de azione di controo e sono considerate a vera uscita de sistea. La dinaica degi azionaenti eettrici è descritta da poi doinanti a frequenza oto ata rispetto ae frequenze naturai de anipoatore e, pertanto, non viene odeata se non coe un ritardo di fase addizionae. Consideriao i vettore I coe i vettore dee variabii di controo de anipoatore. I sistea di equazioni (0) rappresenta una casse generae di odei dei anipoatori industriai. Questa casse di odei può essere utiizzata per rappresentare anche anipoatori con catena cineatica chiusa e con accoppiaento eccanico sue trasissioni di potenza. Questo tipo di odeo [] può essere generaizzato a rappresentare anipoatori con giunti eastici parassiti. Ne seguito concentriao a nostra attenzione su identificazione dea atrice dee rigidezze ai giunti. In particoare si vuoe deterinare una stia dea rigidezza Ax3 de asse 3 de anipoatore. Per questo otivo introduciao a inearizzazione de odeo (0): o ae posizioni giunto q viene assegnata un vaore noinae costante q 0, o si assue che e veocità siano piccoe: q& 0, o consideriao a gravita e gi attriti non viscosi coe disturbi di ingresso agenti su sistea e odeabii coe stati osservabii e non controabii ( per definizione non rientrano nea stia dee funzioni di trasferiento ingresso-uscita ). M ( q τ J = ( θ q ) + β && θ + β θ& Ntr 0 θ = Ntr q q = 0 ) q&& + β q& = τ + δq θ ( θ& τ q& ) = t I () 3. Procedura di stia dea atrice dee rigidezze ai giunti (cenni) I sistea di equazioni () appare ineare. Ao studio dee proprietà di questo odeo possono essere appicate acune definizioni e sepici tecniche di anaisi odae. In particoare e frequenze naturai de sistea vengono definite coe a radice quadrata degi autovaori dea atrice M(q 0 ) - : f n = eig ( M ( q ) o 2π ) (2) Quaora si disponga dei riferienti di corrente I, e dee isure dea veocità di rotazione dei otori dθ /dt, è possibie identificare e funzioni di trasferiento che descrivono a dinaica de sistea nee condizioni di test. Ae frequenze naturai de sistea, copaiono zeri di trasissione risonanti ne nueratore di queste funzioni di trasferiento. Daa conoscenza dea atrice di inerzia M(q 0 ), e appicando e reazioni che egano atrice di inerzia, atrice dee rigidezze e frequenze naturai è possibie ricavare una stia dea atrice. Ne odeo () M(q 0 ) introduce accoppiaento tra e dinaiche dei vari giunti. Per ogni giunto i, i =,...,N, esiste un insiee di posizioni giunto Q 0 tae che: q0 Q0 abs ( M ji ( q0 )) << M ii ( q0 ), i j (3) Per q=q 0, a atrice M(q 0 ) è quasi diagonae per i giunto i ([3],[4]), i giunto i ha dinaica quasi disaccoppiata da quea degi atri giunti ed è possibie ridurre anaisi a quea di un odeo eccanico ad un grado di ibertà. E possibie identificare una funzione di trasferiento di ordine 3, tra a coponente i- esia I di I i e a coponente i-esia & θ di dθ i /dt. L eq. (2) risuta, in ta caso, essere estreaente sepice, e daa frequenza deo zero di trasissione dea funzione di trasferiento identificata, assuendo che M ii (q 0 ) sia nota, è possibie ottenere dee buone stie de eeento ii dea atrice di rigidezza.

8 Se q0 Q e a condizione (3) non è verificata in odo stretto, è possibie, counque, ottenere un buon 0 effetto di disaccoppiaento dinaico ([4]) utiizzando, durante esperiento, dei controori ai giunti che siano reaizzati per sorzare i odi de anipoatore ( ad esepio dei controori P-PI a basso guadagno ). Questa procedura sepificata potrebbe essere utiizzata sepre, se i anipoatore non presentasse, coe invece spesso accade, dei gradi di ibertà parassiti che sono odeati coe giunti eastici addizionai non attuati. In ta caso, se a funzione di trasferiento ipiegata è de 5 0 ordine, si utiizza, in pratica, una tecnica di decoposizione odae basata su un sistea eccanico ineare a due gradi di ibertà (uno attuato e atro parassita ), che viene presentato nea figura 4. Fig. 4. odeo eccanico a 2 g.d.. forato da un giunto attuato ed uno parassita Questo odeo richiede/perette a caratterizzazione di due rigidezze ai giunti a e p ( contenute nei due bocchi gear unit dea figura ) e dei terini J 2, J 22 dea atrice estesa di inerzia: J J = [ J, J ; J, J ] M La procedura utiizzata per caratterizzare i odeo (9) descritto ne paragrafo 2 è definita dai seguenti passi: ii. data una certa posa q0 Q, si ricava a funzione di trasferiento de 5 0 ordine tra a corrente 0 I e a 3 veocità angoare & θ de asse 3; 3 2. note e frequenze f e f2 individuate dagi zeri di trasissione dea f.d.t. de 5 0 ordine, appicando un etodo iterativo di stia, si trovano dei vaori di a, p, J 2, J 22 che soddisfano, in pria approssiazione, a (2) in cui a M(q 0 ) si sostituisce a atrice estesa dee inerzie J; 3. sua base dei vaori stiati in pria approssiazione a passo precedente, si utiizza un etodo non ineare di stia ai inii quadrati in frequenza per ricavare, daa risposta in frequenza de odeo identificato a passo, una stia di 2 a approssiazione dei paraetri de odeo eccanico approssiante a due gradi di ibertà ( Fig. 4 ). 4. I vaore stiato di a, rigidezza de giunto attuato, viene utiizzato coe isura indiretta dea rigidezza Ax3 equivaente a giunto 3 e viene utiizzata per caratterizzare/verificare i odeo (9). 2 ( q 0 ) 2 22

9 4 Raccota dati sperientai I dati necessari a caratterizzare e a verificare a vaidità de odeo (9) sono stati raccoti ediante isure sperientai su due anipoatori COMAU dea faigia NJ ( NJ e NJ ). I due anipoatori sono identici a parte a unghezza de distanziae che, per i secondo, è più ungo di 300 a parità di diaetro e di sezione dee pareti. Le isure sperientai sono state ricavate in due odi diversi:. isure statiche di rigidezza eccanica ad asse frenato; 2. identificazione dei paraetri eccanici de odeo dinaico approssiante, in condizione di asse controato (sono stati utiizzate e isure di posizione angoare e di coppia trasessa da otore e, per confronto, e isure di un acceeroetro a tre assi posto nei pressi dea fangia de robot). Si fa riferiento aa procedura descritta a terine de paragrafo Misure in condizioni statiche (asse 3 frenato) Le isure dirette di rigidezza eccanica richiedono aestiento di un apposita cea di isura, uso di struentazione specifica e tepi reativaente unghi (Fig. 5, 6). Le isure statiche sono state eseguite soo su prototipo de odeo NJ Posizione di caibrazione (paraeograa in quadratura) I robot viene disposto coe in figura 5. Viene appicata una forza F pari a 600 kg con un braccio b di 697 da asse 3; in questo odo si appica una coppia di 08 kg a asse 3 (nea posizione di caibrazione asse 2 è bianciato e non vede coppia). Per annuare effetto dea gravità su asse in esae si deve appicare una forza b verticae verso ato da deterinare (figura 5). La isura di cedevoezza coprende tutta a struttura de F robot: in particoare si rieva o scostaento a centro poso. I coparatore è ontato coe in figura 5. La distanza d tra i punto di isura e asse è 952. Un prio coparatore è fissato a paviento ediante treppiede. Esso consente di isurare angoo di fessione gobae aa fangia porta d utensie. La posizione degi assi poso è sceta in odo da non introdurre dee coponenti di fessione dovute a riduttore de asse 5. Un secondo coparatore fissato (Fig. 5.) vicino a otore de asse 3 consente di isurare Fig. 5. aestiento dea cea di isura ( posa di caibrazione )

10 angoo di fessione sua fangia di uscita de riduttore. Le isure vengono fatte in condizioni di controo disabiitato ( eettronica non è aientata ) e con i otori frenati. Per ogni vaore di forza appicato aa fangia, vengono ricavati gi angoi di fessione nei punti di isura, in condizioni di equiibrio statico. E quindi possibie, per i riduttore de asse 3 e per a fangia porta utensie, tracciare a curva di isteresi tra angoo di fessione e coppia appicata. La curva edia de cico di isteresi viene approssiata con i seguente odeo ϕ = τ + ϕ sign( τ ) dove τ è a coppia appicata ([N]), φ è angoo di fessione ([Rad]), φ 0 è un angoo che rappresenta i contributo dei giochi e dea zona orta de isteresi. Da questi diagrai è possibie ricavare una stia de vaore di rigidezza torsionae edia, espresso in N/rad. La figura 6 riporta i cici di isteresi aa fangia e a uscita de riduttore. Si noti coe a rigidezza aa fangia sia oto inore de vaore corrispondente de soo riduttore. 0.5 x 0-3 Rigidezza riduttore asse 3 x 0-3 Rigidezza NJ asse 3 q = [ 0, 0, -90, 90, 0, 0 ] Angoo di defessione [Rad] = [N/Rad] Angoo di defessione [Rad] = [N/Rad] Coppia trasessa [N] x Coppia trasessa [N] x 0 4 Fig. 6. Cico di isteresi de riduttore asse 3 (sinistra) e cico di isteresi gobae aa fangia Posizioni di paraeograa chiuso Le isure di tipo statico sono state eseguite anche nee condizioni di paraeograa chiuso nee due pose: q = [ 0, 25, -80, 90, 0, 0 ] deg q = [ 0, -65, -90, 0, 0, -90 ] deg La procedura di isura dea rigidezza aa fangia de soo asse 3 è più copessa a siie a quea descritta in precedenza. Nee due condizioni e stie di rigidezza edia aa fangia risutano essere: N/Rad N/Rad conferando ipotesi di andaento circa sietrico attorno a vaore centrae de angoo di apertura de paraeograa.

11 4.2 Misure indirette ediante stia e decoposizione odae dee frequenze naturai I etodo di stia, descritto ne paragrafo 3., è stato appicato a prototipo de anipoatore NJ e a prototipo de anipoatore NJ Per i secondo anipoatore non sono state eseguite isure di tipo statico a sono stati eseguiti nuerosi esperienti di identificazione dea funzione di trasferiento tra i riferiento di corrente e a veocità isurata de otore de asse 3. E stato utiizzato i etodo dee proiezioni ( Lennart Lijung ) che è idoneo a identificazione ad aneo chiuso. I odei identificati sono stati tutti vaidati secondo acuni dei test più couneente ipiegati ( correazione dei residui, correazione tra residui ed ingresso, predizione de uscita ecc. ). I risutati ( identificazione dea risposta in frequenza + anaisi odae ) diostrano che, anche ne casi di aggiore copessità ( ad esepio gi assi 3 di NJ ) odei ineari di ordine reativaente basso e con poche ( tipicaente, 2 ) frequenze naturai ( gi zeri di trasissione dea funzione di trasferiento tra riferiento di coppia-corrente e a veocità di rotazione de otore ) sono idonei a odeare a dinaica de giunto. Queste frequenze naturai possono essere riprodotte in siuazione, con un grado di aderenza aa reatà abbastanza eevato, introducendo dee oe ideai concentrate in punti ben definiti dea struttura eccanica ( i giunti di rotazione, assunti coe eastici ). I vaore di caratterizzazione di queste oe torsionai ideai non coincidono ai con i vaori di rigidezza de soo riduttore ( vaori questi resi noti da costruttore ), a sono i risutato di tutti gi effetti eastici presenti e agenti su asse di rotazione de giunto considerato. Coe esepio, vengono riportate, (Fig. 7: asse 3 NJ ), due risposte in frequenza identificate ( in bu ) dea funzione di trasferiento tra a corrente I e a veocità angoare & 3 θ de otore e, sovrapposte ( in 3 rosso ), e approssiazioni ottenute per decoposizione odae ( odeo eccanico approssiante: ineare con rigidezze concentrate ). Fig. 7. Risposta in frequenza ax3 NJ

12 Le condizioni in cui sono stati acquisiti i segnai sono: inerzia di carico per asse 3 costante; due diverse pose dea acchina ( paraeograa aperto e copetaente chiuso). 5 Vaidazione de odeo proposto e concusioni 2.2 x Misure statiche Modeo rigidezza edia AX3 NJ Legge proposta Misure effettuate 2 Rigidezza edia aa fangia [N/Rad] NJ NJ Angoo ax3 + angoo ax Fig. 8. Modeo rigidezza ax3 in funzione de apertura de paraeograa = + Ax 3 (9) fix ' = fix ' [ b sin( π 2 + α ')] 2 In funzione di pochi paraetri fisici, è possibie, grazie a odeo (9), tracciare una curva di dipendenza dea rigidezza Ax3 de asse 3 dae posizioni angoari ( espresse in gradi ) degi assi 2 e 3. La fig. 8 riporta i diagrai caratteristici dea rigidezza de asse 3 per due anipoatori COMAU dea faigia NJ ( NJ e NJ ). Le isure sperientai per a caratterizzazione de odeo, sono state ricavate in due odi diversi: e isure statiche di rigidezza eccanica a stia dei paraetri eccanici di rigidezza ediante decoposizione odae.

13 Le isure statiche (indicate in odo espicito in figura) e e stie dea rigidezza edia de giunto 3 sono state sovrapposte ai diagrai di figura 8 (i cerchietti rossi ). I paraetri de odeo (9) sono stati ricavati per i vaori caratteristici de anipoatore NJ e assuono i seguenti vaori:. fix = [N/Rad] = [N/Rad] dove a rigidezza soo riduttore vae circa [N/Rad]; a oa in serie di vaore pari a circa N/Rad è essenziaente i contributo de distanziae e de poso. 2. b 2 = [N/Rad] 3. 0 = [N/Rad] 4. α = Lo stesso odeo è stato successivaente adattato a descrivere anche a curva caratteristica de anipoatore NJ : unica differenza introdotta è i vaore di fix 5. fix = [N/Rad] = [N/Rad] Questo fatto ha un significato fisico e pratico iportante: visto che i due anipoatori sono identici in tutto tranne che nea unghezza de distanziae, a differenza tra e due caratterizzazioni de odeo (9) può essere ricondotta aa variazione di rigidezza de soo distanziae, che si diezza per un aungaento di 300. Questa variazione di rigidezza de distanziae è stata conferata da un anaisi a posteriori. Quindi i due coponenti i cui diensionaento appare critico risutano essere a biea ed i distanziae. In particoare a perdita di rigidezza de distanziae, causata da aungaento di 300, deterina una perdita di rigidezza a fessione de anipoatore di circa i 25%. Questo si rifette direttaente nee prestazioni dea anipoatore: NJ ha una capacità di inseguiento ed un errore di traiettoria che sono circa i 25% peggiori a parità di inerzia di carico. Le inforazioni ottenute per anaisi in frequenza e decoposizione odae appaiono essere notevoente affidabii, di quaità confrontabie con e isure di tipo statico, ( ai fini dea odeazione de anipoatore coe un robot a giunti eastici ) e sono ricavabii con procedure eno invasive di acquisizione dati. Le tecniche di scoposizione odae consentono di rappresentare ( ideaente ) ne riduttore e di caratterizzare ( praticaente ) i odo di vibrazione principae caratteristico dea dinaica de asse. Questo vae anche per sistei eccanici reativaente copessi coe un anipoatore industriae a paraeograa che può essere odeato coe una catena cineatica chiusa forata da 8 corpi rigidi e 6-7 giunti eastici. I odeo di anipoatore a giunti eastici appare essere idoneo ad una odeazione reaistica dei anipoatori industriai. La sua caratterizzazione richiede counque un processo di tipo sperientae oppure una anaisi che integri, ediante uso de anaisi odae, e inforazioni dea catena dei corpi rigidi, con e inforazioni de anaisi agi eeenti finiti. A concusioni anaoghe si arriva in [], seguendo una procedura di caratterizzazione siie a quea descritta, a di aggior copessità.

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