Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin cos + cos() B) Di l definizione di seno, coseno e tngente e trcci i grfici delle corrispondenti funzioni. (punti: ) Prtendo d tli grfici, indic qunte soluzioni hnno le seguenti equzioni (motiv l tu rispost) ) cos ) sin ) tn (punti: 0.75) C) Per ciscun dell seguenti funzioni: ) cos + (punti: 0.75) ) cos( ) + sin() (punti: 0.75) sin() ) sin (punti: 0.75) ) (punti: ) cos sin ) indic se sono periodiche e in cso ffermtivo specific il periodo. b) determin le intersezioni con l sse delle scisse; c) trcci il grfico D) Per ciscun richiest scrivi l espressione nlitic di un funzione goniometric che l soddisfi e trccine il grfico ) funzione sempre positiv con sintoti di equzione + k con k Z b) funzione dispri, periodic di periodo c) funzione con dominio[ ;] Verific di goniometri 8 dicembre 008 G
Soluzioni verific di mtemtic G 8 dicembre 008 Esercizio A: risolvi l disequzione: sin + sin + 6 6 Si trtt di un disequzione elementre (eventulmente ponendo z +, 6 si risolve quindi gurdndo l circonferenz goniometric. Si h: + k + + k quindi risolvendo: 6 k 7 k + + 6 6 sin Esercizio A: risolvi l disequzione: 0 tn E un disequzione frtt, bisogn quindi studire il segno del numertore e del denomintore e fre poi il prodotto dei segni: sin 0 sin sin sin tn > 0 tn < < tn < L soluzione è: + k + k 6 6 + k < < + k cos + sin Esercizio A: risolvi l disequzione: 0 sin L disequzione è frtt, bisogn quindi studire il segno del numertore e del denomintore e fre poi il cos + sin 0 prodotto dei segni: l prim disequzione è lineri, l second elementre. Per sin > 0 risolvere l prim il metodo più veloce è il secondo studito, nche perché l rett corrispondente è ssocit d ngoli noti. Posto cos X e sin Y si hnno inftti i seguenti sistemi misti : Y X X + Y L soluzione è: 0 + k < + k + k < + k oppure Esercizio A: risolvi l disequzione tn + tn > 0 L disequzione è di secondo grdo in tn, risolvendo l equzione ssocit si ottiene: tn tn, si trtt di due equzioni elementri, dei risultti bisogn fre l unione. L soluzione è: rctn + k < < + k + k (inftti l funzione tngente non è definit in + k ) Esercizio A5: risolvi l disequzione sin > cos Verific di goniometri 8 dicembre 008 G
L disequzione è irrzionle nell sol funzione coseno, del tipo rdice qudrt mggiore di, si risolve quindi con due sistemi: cos 0 ( condizione di concordnz) cos < 0 sin > cos sin 0 ( condizione di esistenz) cos 0 cos < 0 cos 0 cos < 0 sin > sin sin sin < sin cos 0 < sin < cos < 0 sin L soluzione dell disequzione è: rcsin + k < < rcsin + k + k < < + k Esercizio A 6 risolvi l disequzione sin cos + cos() Utilizzndo l formul di dupliczione del coseno e l identità goniometric fondmentle si ottiene un disequzione omogene di grdo: sin cos + cos sin cos + sin sin sin cos + cos 0 con l condizione cos 0 cioè + k si ottiene l disequzione di secondo grdo in tngente: tn tn + 0 poiché il discriminnte è negtivo e verso dell disequzione e segno del coefficiente di secondo grdo sono discordi, l disuguglinz non è mi verifict R Esercizio B Di l definizione di seno, coseno e tngente e trcci i grfici delle corrispondenti funzioni. Il seno di un ngolo è l ordint del punto sull circonferenz goniometric individuto dll ngolo. L funzione seno così definit f : R [ ; ] è suriettiv, m non iniettiv; è un funzione periodic di periodo, dipri. Il coseno di un ngolo è l sciss del punto sull circonferenz goniometric individuto dll ngolo. L funzione coseno così definit f : R [ ; ] è suriettiv, m non iniettiv; è un funzione periodic di periodo, pri. Verific di goniometri 8 dicembre 008 G
L tngente di un ngolo è l ordint del punto di intersezione tr l rett corrispondente ll ngolo e l rett di equzione. L funzione tngente così definit f : R + k R è suriettiv, m non iniettiv; è un funzione periodic di periodo, dipri. ) cos ) tn sin ) Esercizio B Indic qunte soluzioni h l equzione cos. L equzione può essere risolt grficmente, tccindo i grfici delle funzioni: cos e. Le soluzioni sono le scisse dei punti di intersezione tr le due curve, in questo cso, c è un solo punto d intersezione e quindi un sol soluzione. Esercizio B Indic qunte soluzioni h l equzione sin. L equzione può essere risolt grficmente, tccindo i grfici delle funzioni: sin e. Le soluzioni sono le scisse dei punti di intersezione tr le due curve (ricord che l funzione seno nell origine è tngente ll bisettrice del primo terzo qudrnte), in questo cso ci sono due punti d intersezione e quindi due soluzione, un delle quli è esttmente 0 Esercizio B Indic qunte soluzioni h l equzione tn L equzione può essere risolt grficmente, tccindo i grfici delle funzioni: tn e. Le soluzioni sono le scisse dei punti di intersezione tr le due curve, in questo cso ce ne sono infinite, un di queste è 0. 6 9 6 6 9 6 Verific di goniometri 8 dicembre 008 G
Esercizio C: cos + E un funzione periodic di periodo (vedi il grfico) Intersezione con l sse delle scisse: cos + 0 è un equzione elementre + + k il secondo membro rppresent un numero positivo se k N, quindi + ± ( + k) ± ( + k) Il grfico si ottiene d quello del modulo di cos seno, trslndo l sse verticle destr di. (Poiché l funzione coseno è pri cos cos ) Esercizio C: cos( ) + sin() E un funzione periodic di periodo (vedi il grfico) Intersezione con l sse delle scisse: cos( ) + sin() 0 è un equzione linere. Posto cos( ) X e sin( ) Y si h il sistem : Y X X + Y l soluzione è: k + k quindi k + k 6 Per trccire il grfico si utilizz il metodo dell ngolo ggiunto: cos( ) + sin() cos( ) cos( ) (si trcci il grfico del coseno compresso orizzontlmente di e diltto verticlmente di, si spost l sse verticle spostto sinistr di e quello orizzontle in lto di. cos α α sin α b Verific di goniometri 8 dicembre 008 G 5
Esercizio C: sin E un funzione periodic di periodo (vedi il grfico) Intersezione con l sse delle scisse: sin 0 sin 0 sin ± + k. Per trccire il grfico è necessrio riscrivere il testo, ricordndo l identità goniometric fondmentle: sin cos cos. Or si trcci il grfico del coseno e si ribltno le prti negtive rispetto ll sse delle scisse. sin() Esercizio C: cos sin E un funzione periodic di periodo (vedi il grfico) sin Intersezione con l sse delle scisse: 0 è un equzione frtt, equivlente : cos sin sin( ) + k + k con l condizione cos sin 0, quindi nessuno dei vlori trovti è ccettbile. Per trccire il grfico è necessrio prim semplificre. Utilizzndo l identità goniometric fondmentle e l formul di dupliczione del seno si h: sin cos cos sin (cos sin ) sin cos con l condizione cos sin cos sin cos sin 0 tn + k. Il grfico di cos + sin cos( ) si ricv con il metodo dell ngolo ggiunto: cos α sin α b α Esercizio D Scrivi l espressione nlitic di un funzione goniometric sempre positiv con sintoti di equzione + k con k Z Per esempio + tn 9 6 9 6 6 9 6 Verific di goniometri 8 dicembre 008 G 6
6 Esercizio D Scrivi l espressione nlitic di un funzione goniometric dispri, periodic di periodo Per esempio sin( ) 6 6 9 6 Esercizio D Scrivi l espressione nlitic di un funzione goniometric funzione con dominio[ ;] Per esempio rcsin( ) Verific di goniometri 8 dicembre 008 G 7