Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi umero aturale, sia f ua fuzioe a valori reali defiita i E Si ottiee così ua successioe (f ) di fuzioi di E i  (ossia u'applicazioe di ˆ ell'isieme  E di tutte le fuzioi di E i Â) Per ogi x E, resta defiita ua successioe di umeri reali (f (x )) che potrà essere covergete o o Sia E '( E) l'isieme dei puti x E per i quali la successioe umerica (f (x)) è covergete Posto, per ogi x E', ƒ(x) = lim f (x), si ottiee ua fuzioe ƒ: E'  DEFINIZIONE Data ua successioe (f ) di fuzioi a valori reali e defiite i u isieme E, diremo che essa coverge (putualmete) a ua fuzioe ƒ: E  se, per ogi x E, la successioe umerica (f (x)) è covergete a ƒ(x) Scriveremo f ƒ, o ƒ = lim f Si poe allora u problema Se le fuzioi f godoo di ua data proprietà (cotiuità, derivabilità, itegrabilità, ) e se è f ƒ, gode di tale proprietà ache la ƒ? I geerale, la risposta è egativa ESEMPIO ) Siao: E = [,], f : E Â, f (x) = x La successioe (f ) coverge i E alla fuzioe ƒ che vale per x = e per x Le f soo cotiue, metre la ƒ o lo è Si cercao allora codizioi che assicurio il trasferimeto delle proprietà delle f alla fuzioe limite La codizioe f ƒ i E sigifica: ( x E)( ε > )( ν(x, ε) ˆ)( ˆ)( > ν(x, ε) f (x) - ƒ(x) < ε) Iteressa il caso i cui il umero ν dipede solo da ε e o dal puto x DEFINIZIONE Si dice che la successioe (f ) di fuzioi di E i  coverge uiformemete ad ua fuzioe ƒ: E  se, per ogi ε >, esiste u umero aturale ν, dipedete solo da ε, tale che, per ogi > ν e per ogi x E, si ha f (x) - ƒ(x) < ε No itediamo isistere ulteriormete su questo cocetto, ma ci limitiamo a dimostrare, a titolo di esempio, il seguete TEOREMA Sia (f ) ua successioe di fuzioi cotiue di E i Â; se (f ) coverge uiformemete alla fuzioe ƒ: E Â, allora ache la fuzioe ƒ è cotiua i E

- Capitolo Decimo DIM Fissiamo u x E e proviamo che la ƒ è cotiua i x Assegiamo duque u ε > I virtù della covergeza uiforme, esiste u ν tale che, per ogi > ν e per ogi x E, si ha f (x) - ƒ(x) < ε/3 Fissato u m > ν, esiste u itoro U di x per ogi x del quale si ha f m (x) - f m (x ) < ε/3 Duque, per ogi x U, si ha: ƒ(x) - ƒ(x ) = ƒ(x) - f m (x) + f m (x) - f m (x ) + f m (x ) - ƒ(x ) ƒ(x) - f m (x) + f m (x) - f m (x ) + f m (x ) - ƒ(x ) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε SERIE DI FUNZIONI DEFINIZIONE Data ua successioe (f ) di fuzioi di E i Â, si defiisce ua uova successioe di fuzioi (S ), sempre di E i Â, poedo: S (x) := f (x), S (x) := f (x) + f (x), S (x) := f (x) + f (x) + f (x),, S (x) := f (x) + f (x) + f (x) + + f (x), ossia: S (x) := f (x), S (x) := S (x) + f (x), S (x) := S (x) + f (x),, S (x) := S - (x) + f (x), La successioe (S ) così defiita è detta successioe delle somme parziali o delle ridotte La coppia ((f ), (S ) ) si dice serie di fuzioi La idicheremo scrivedo = f DEFINIZIONE Diremo che ua serie di fuzioi = f, co f : E Â, coverge (putualmete) a ua fuzioe ƒ: E Â se, per ogi x E, si ha = f (x) = ƒ(x) I tal caso, diremo che la fuzioe ƒ(x) è la somma della serie Ache el caso delle serie, come già el caso delle successioi, ci si può chiedere se le proprietà delle fuzioi f si trasmettoo alla fuzioe somma (supposta esistete) La risposta è, i geerale, egativa Sappiamo che la somma di u umero fiito di fuzioi cotiue su u dato isieme è acora ua fuzioe cotiua; aalogamete per le fuzioi derivabili e le fuzioi itegrabili Ne viee che, se le f godoo di ua di queste proprietà, e godoo ache le fuzioi S Ci si ricoduce così al caso delle successioi di fuzioi Per quato visto el paragrafo precedete, si ha, per esempio, che o sempre la somma di ua serie di fuzioi cotiue è acora ua fuzioe cotiua Ache el caso delle serie si itroduce il cocetto di covergeza uiforme Precisamete: DEFINIZIONE Diremo che ua serie di fuzioi = f, co f : E Â, coverge uiformemete a ua fuzioe ƒ: E Â se, per ogi ε >, esiste u ν = ν(ε) ˆ tale che, per ogi > ν, e per ogi x E, si ha ƒ(x) - S (x) < ε Il Teorema visto el paragrafo precedete ci dice che: TEOREMA ' Se ua serie di fuzioi cotiue coverge uiformemete, allora ace la fuzioe somma è cotiua

Serie Di Fuzioi - PROBLEMA È dato u sistema ifiito di fuzioi Φ := {ƒ, ƒ, ƒ,, ƒ, } co ƒ : I = [a,b]  Si vuol vedere se, data ua fuzioe g : I Â, esiste ua successioe umerica (a ) tale che ( x I)(g(x) = = a f (x)) I caso affermativo, si dice che g è sviluppabile i serie di fuzioi rispetto al sistema Φ Ci soo due casi particolari di fodametale importaza: - Sviluppabilità i serie di poteze (o di Taylor), se è ƒ (x) = (x - x ), ˆ, x I - Sviluppabilità i serie di Fourier, se è: ƒ (x) = ; ƒ - (x) = si(x); ƒ (x) = cos(x), ˆ+ Noi ci occuperemo esclusivamete del primo caso 3 SERIE DI POTENZE DEFINIZIONE Fissiamo u x  Si dice serie di poteze di (x - x ) ua serie del tipo: = a (x - x ) = a + a (x - x ) + a (x - x ) + + a (x - x ) + dove i umeri reali a, a,, a, soo detti i coefficieti della serie ESEMPIO ) Cosideriamo le tre serie = x, x =!, =! x La prima coverge per ogi x reale co x < ; la secoda coverge per ogi x reale; la terza coverge solo per x = TEOREMA (Lemma di Abel) - Se la serie = a (x - x ) coverge per x = x, allora coverge assolutamete per ogi x per cui è x - x < x - x La stessa tesi sussiste ache sotto l'ipotesi più debole che la successioe (a (x - x ) ) risulti limitata DIM Sappiamo che, se la serie umerica = a (x - x ) coverge, allora la successioe (a (x - x ) ) tede a ed è, pertato, limitata Suppoiamo duque a (x - x ) < M, per ogi Sia ( ) x - x < x - x ; si ha: a (x - x ) = a x - x = a x - x x - x x - x M x - x x - x, da cui la tesi, essedo covergete la serie a termii reali positivi = M x - x x - x

- Capitolo Decimo DEFINIZIONE Sia A = { x - x : = a (x - x ) coverge} e sia R := ÉA, co R + R è detto raggio di covergeza della serie TEOREMA 3 Data la serie di poteze = a (x - x ), sia R il suo raggio di covergeza Allora: ) La serie coverge assolutamete per ogi x tale che x - x < R ) La serie o coverge per ogi x per cui è x - x > R DIM Se è x - x < R, esiste u x, co x - x < x - x R, tale che la serie = a (x - x ) risulta covergete Per il Teorema precedete, si ha subito la prima parte della tesi La secoda segue dal fatto che, per la stessa defiizioe di R, la serie o può covergere per essu x per cui sia x - x > R OSSERVAZIONE Sussiste ache l'implicazioe opposta di quest'ultimo Teorema, cioè: Se u umero reale R soddisfa alle proprietà () e () del precedete Teorema, allora R è il raggio di covergeza della serie di poteze COROLLARIO 4 Data la serie di poteze = a (x - x ), sia R il suo raggio di covergeza Se è R =, la serie coverge solo i x ; se è R = +, la serie coverge per ogi umero reale x; se è < R < +, la serie coverge i ogi puto dell'itervallo aperto ]x - R, x + R[, metre o coverge i ciascuo dei puti esteri a tale itervallo NB I puti x - R e x + R vao studiati a parte DEFINIZIONE Se il raggio di covergeza R di ua serie di poteze è fiito e positivo, l'isieme I R = ]x - R, x + R[ è detto l'itervallo di covergeza, metre è detto isieme di covergeza l'isieme D formato da tutti i puti di  i cui la serie coverge Si ha I R D I R = [x - R, x + R] ESEMPIO ) La serie = x coverge per - < x < La serie = - x < La serie x = coverge per - x + x + coverge per Stabiliamo due criteri per determiare il raggio R di covergeza di ua serie di poteze TEOREMA 5 Se esiste il lim a = L, allora si ha: R =, se è L = + ; R = +, se è L = ; R = /L, se è < L < + DIM Sia < lim a = L < + e si fissi u x tale che x - x < Si ha: L a (x - x ) = a x - x L x - x = K < ;

Serie Di Fuzioi - 3 la serie coverge per il Criterio dalla radice (caso del limite) Se, ivece, è x - x > L, si ha: a (x - x ) = a x - x L x - x = H > ; duque la serie o coverge (sempre per lo stesso Criterio) Se è lim a =, si ha lim a (x - x ) = lim a x - x =, per ogi x e quidi la serie coverge per ogi umero reale Se, i fie, è lim a = +, si ha lim a (x - x ) = lim a x - x = +, per ogi x x e quidi la serie o coverge per alcu umero reale diverso da x I modo perfettamete aalogo, si prova il a TEOREMA 6 Se esiste il lim + a = L, allora si ha: R =, se è L = + ; R = +, se è L = ; R = /L, se è < L < + ESEMPI 3) Si vuol studiare il carattere della serie = log( + ) (x - ) Si ha: a + a = ( + ) log( + ) log( + ) È duque R = La serie coverge per x ], 3[ Per x = o x = 3, la serie o coverge, dato che per il suo termie geerale b si ha b = log( + ) 4) Si vuol studiare il carattere della serie = + (x + ) Si ha: a = + È duque R = La serie coverge per x ]- 3, - [ Per x = - 3 o x = -, la serie o coverge, dato che per il suo termie geerale b si ha b = + > 4 SERIE DI POTENZE E DERIVAZIONE TEOREMA 7 Se la serie di poteze = a (x - x ) ha raggio di covergeza R, allora è R ache il raggio di covergeza della serie delle derivate = a (x - x ) -

4 - Capitolo Decimo DIM Siao R e R' i raggi di covergeza delle due serie Dato u x tale che < x - x < R', la serie di termie geerale b = a (x - x ) - a = x - x (x - x ) coverge assolutamete Per sufficietemete grade, si ha b = a x - x x - x > a x - x Per il criterio del cofroto, si ottiee che per x = x coverge ache la serie di parteza È duque R R' Sia ora x tale che < x - x < R; esiste pertato u x tale che x - x < x - x < R Duque la serie = a x - x coverge Ora, per sufficietemete grade, si ha: a x - x - = a x - x x - x - x - x x - x < a x - x, dato che il fattore x - x x - x - x - x tede a zero Per il criterio del cofroto, si ottiee che per x = x coverge ache la serie delle derivate È duque ache R R' Sussiste ioltre il seguete importate risultato: TEOREMA 8 (di derivabilità) - Data la serie di poteze = a (x - x ), co raggio di covergeza R >, la fuzioe somma f(x) è derivabile i ]x - R ; x - R[ e si ha f '(x) = = a (x - x ) - DIM Effettuado il cambio di variabile: x - x = u, si ottiee la serie = a u che, ovviamete, ha acora raggio di covergeza R Sappiamo che ache la serie delle derivate = a u - ha lo stesso raggio di covergeza Fissiamo u u co u < R Chiamiamo h e δ due umeri reali tali che < h < δ < R - u Si ha: f(u + h) - f(u) h - = a u - = = h = a ((u + h) - u ) - = a u - h = = h + = a [(u + h) - u - hu - ] = = a [ u + u - ] h + ( ) u - h + () = h 3 u - 3 h 3 + + h - u - hu - = = a [() ] u - h + () = h 3 u - 3 h 3 + + h =

= a [() ] u - + () = h 3 u - 3 h + + h - h = a [() ] u - + () 3 u - 3 δ + + δ - = [() ] δ u - δ + () = h a = 3 u - 3 δ 3 + + δ h δ = a ( u + δ) Serie Di Fuzioi - 5 Essedo, per ipotesi, u + δ < R, la serie a termii positivi = a ( u + δ) è covergete ad u valore K dato dall'estremo superiore dell'isieme delle sue ridotte (Teor sul limite delle fuzioi mootoe!) I coclusioe, risulta: che tede a al tedere a di h f(u + h) - f(u) h - = a u - h δ K COROLLARIO 9 Se è f(x) = = a (x - x ), co raggio di covergeza R >, allora la fuzioe somma f(x) è cotiua su ]x - R; x + R[ TEOREMA (di itegrabilità) - Sia data la serie di poteze = a (x - x ), co raggio di covergeza R > e sia f(x) la sua somma Allora la serie a = + (x - x ) + ha acora raggio di covergeza R e la sua somma F(x) è ua primitiva di f(x) sull'itervallo ]x - R; x + R[ DIM La tesi segue dai Teoremi 7 e 8, dato che la prima serie sopra scritta si ottiee derivado termie a termie la secoda Ricordiamo acora u utile risultato di cui o riportiamo la dimostrazioe: TEOREMA (di Abel) - È data la serie di poteze = a (x - x ), co raggio di covergeza R > Se la serie coverge per x = x + R [per x = x - R], allora la fuzioe somma f(x) è cotiua ache el puto x + R [el puto x - R]

6 - Capitolo Decimo 5 SVILUPPABILITÀ IN SERIE DI TAYLOR Dal Teorema 8 segue subito il TEOREMA Sia data la serie di poteze = a (x - x ), co raggio di covergeza R > La fuzioe somma f(x) è derivabile ifiite volte su I = ]x - R, x + R[ (ossia: f C (I)] e si ha: f (k) (x) = = k ( - ) ( - k + )a (x - x ) - k, dove la serie a secodo membro ha acora raggio di covergeza R COROLLARIO 3 Se è f(x) = = a (x - x ) su ]x - R, x + R[, si ha: a = f () (x )! È duque: f(x) = = f () (x )! (x - x ) DEFINIZIONE Sia f C (I), co I = ]x - h, x + h[ La serie f () (x ) =! (x - x ) prede il ome di serie di Taylor geerata da f o sviluppo di Taylor di f, co puto iiziale x Se la serie di Taylor geerata da f coverge i I alla fuzioe stessa, si dice che f è sviluppabile su I i serie di Taylor La ragioe di questo ome è data dal fatto che la ridotta k - ima S k (x) = f (x ) + f '(x ) (x - x ) + f "(x )! (x - x ) + + f (k ) (x ) k! (x - x ) k è il poliomio di Taylor di f di grado k co puto iiziale x Duque, la somma di ua serie di poteze è ua fuzioe sviluppabile i serie di Taylor (che coicide co la serie di parteza) Si poe, per cotro, il PROBLEMA Sotto quali codizioi ua fuzioe f è sviluppabile i serie di poteze? Itato, la f deve essere ifiitamete derivabile, ma questo o basta Può cioè accadere che la serie di Taylor di ua fuzioe o coverga alla fuzioe che l'ha geerata, come appare dal seguete ESEMPIO ) Sia f : Â Â la fuzioe defiita da f(x) = e- /x per x per x = Si ha f () () =, per ogi Quidi la serie di Taylor geerata da f, co puto iiziale x =, è la serie ulla che o coverge a f (trae che i x = )

Serie Di Fuzioi - 7 TEOREMA 4 Se è f C (I), co I = ]x - h, x + h[, e se esiste u M > per cui risulti f () (x) M! h, per x - x < h, allora, per tali x, è f(x) = f () (x ) =! (x - x ), dove la serie a secodo membro ha raggio di covergeza R h DIM Se è x - x < h, si ha: f(x) - S k - (x) = k f(x) - - = f(k) (ξ) k! essedo q = x - x h < = f () (x )! x - x k M k! x - x k h k k! (x - x ) f = (k) (ξ) (x - x k! ) k = M x - x k h = M q k, TEOREMA 5 Se è f C (I), co I = ]x - h, x + h[, e se esiste u L > per cui risulti f () (x) L, per x - x < h, allora la f è sviluppabile su I i serie di Taylor DIM Si ha: f(x) - S k - (x) = f (k) (ξ) k! x - x k Lk k! x - x k < (Lh)k k! COROLLARIO 6 Se è f C (I), co I = ]x - h, x + h[, e se esiste u H > per cui risulti f () (x) H, per x - x < h, allora la f è sviluppabile su I i serie di Taylor DIM Per > si ha: f () (x) H < (H + ), da cui la tesi per il Teorema precedete DEFINIZIONE Si dice che ua fuzioe f: I Â è aalitica i x I se esiste u h > tale che la f risulti sviluppabile i serie di Taylor i ]x - h, x + h[; la f è detta aalitica i I se è tale i ogi puto di I 6 SVILUPP IN SERIE DI TAYLOR DELLE FUNZIONI ELEMENTARI A) L'espoeziale f(x) = e x ; x = Si ha: f () (x) = e x ; f () () = e, ioltre: f () (x) e h, per ogi x per cui è x h È duque: e x = x =!, per x < h Essedo h arbitrario, e x è sviluppabile su tutto Â

8 - Capitolo Decimo B) Il coseo f(x) = cos x; x = Si ha: f (4) (x) = cos x; f (4 + ) (x) = - si x; f (4 + ) (x) = - cos x; f (4 + 3) (x) = si x; f () () = (-) ; f ( + ) () = e, ioltre: f () (x) per ogi x È duque: cos x = = (-) x ()! Dato che questo è vero i ogi itervallo ]-h, h[, si coclude che la fuzioe cos x è sviluppabile su tutto  C) Il seo f(x) = si x; x = Si procede esattamete come sopra Si ottiee: + si x = (-) x = ( + )!, su  D) Il coseo iperbolico f(x) = Ch x = cosh x = ex + e -x ; x = Si ha: f () (x) = cosh x; f ( + ) (x) = sih x; f () () = ; f ( + ) () =, e, ioltre: f () (x) cosh x < cosh h, per x < h È duque: cosh x = x = ()!, per x < h Essedo h arbitrario, cosh x è sviluppabile su tutto  E) Il seo iperbolico f(x) = Sh x = sih x = ex - e -x ; x = Procededo come sopra, si trova che è: sih x = x + = ( + )!, su  F) La fuzioe poteza f(x) = ( + x ) α ; x = ; α  Si ha: f () (x) = (α) ( + x) α - = α(α - ) (α - + )( + x) α - ; f () ()! = α = (α)! = α(α - ) (α - + )! Lo sviluppo di Taylor di ( + x ) α è duque dato dalla serie biomiale: = α x Proviamo che: ) Il raggio di covergeza di questa serie è R = ) La serie coverge a f(x) i ]-, [

Serie Di Fuzioi - 9 ) Si ha: a + a = (α) + ( + )!! (α) α - = + È duque, defiitivamete, a + a = - α + = L Il raggio di covergeza è quidi R = /L = ) Posto g(x) := = α x ; per x <, si ha: g'(x) = = α x - = = α α - - x - = α = α - - x - ; x g'(x) = α = α - - x ; ( + x)g'(x) = α = α - - x - + α = α - - x = α = α - x + α = α - - x = = α + α = α - α - + ( ) - Si ha duque: ( + x)g'(x) = α g(x); g() =, ossia: g'(x) g(x) = α + x ; g() = x = α = α x = α g(x) Si ottiee: D(log(g(x))) = D(log ( + x) α ); log(g()) =, da cui: log(g(x)) = log ( + x) α + c; log(g()) = = log( + ) α + c = c, e, i fie, log(g(x)) = log ( + x) α Ma ciò equivale a g(x) = ( + x) α È duque: ( + x) α = = α x ; per x <, Casi particolari di α per la fuzioe poteza (Sempre co x < ) ) La radice α = / Si ha: + x = = / x = + x + = (/)! x = = + x + ( - )( - )( - 3) ( - ( - )) = x! = = + x + (-) - ( - 3)!! = ()!! x

3 - Capitolo Decimo Si può provare che la serie coverge ache per x = (Leibiz); per il Teorema di Abel, si ha poi che la somma della serie è ESEMPIO ) Si ha 53 = 49 + 4 = 7 + 4 49 = 7 + 4 49-4 4 49 + 7 + 49-49 = 7 497 4 = 7,7988 (I realtà, è 53 = 7,8 ) ) α = - Si ha: + x = = (-) x ') Il logaritmo Posto g(x) = log( + x), si ha: g'(x) = + x = = (-) x, da cui g(x) = log( + x) = + (-) = + x + La serie è covergete ache per x = (Leibiz); ioltre essa coverge a log per il Teorema di Abel Lo sviluppo o è molto efficace, perché la covergeza è molto leta Ora, avedosi log( - x) = - = + x +, si ottiee: log + x - x = log( + x) - log( - x) = = (-) = + x + - - = + x + = = + x + Siccome, per ogi y > esiste uo ed u solo x ]-, [ tale che y = + x - x [x = y - y + ], si ha log y = log + x - x Sottolieiamo esplicitamete il fatto che questa formula permette il calcolo del logaritmo di u qualuque umero positivo ESEMPIO ) Si ha: log = log + /3 - /3 = = + 3 + = = 3 + 3 3 3 + 5 3 5 + 3 + 8 + 5,6934 (I verità, è log =,6934 ) 3) L'arcotagete Si ha: Posto g(x) = arctg x, si ha: g'(x) = + x = = (-) x + x = = (-) x,

da cui: Serie Di Fuzioi - 3 g(x) = arctg x = + x + (-) = + Per x = -, la serie diverge, metre, per x =, coverge (Leibiz) e la sua somma è, per il Teorema di Abel, arctg = π 4 Si ha, i particolare, arctg = π 4 = (-) = +, e quidi π = 4 = (-) + 4) α = - Si ha: + x = = -/ x = + = (-/)! x = = + (-) ( + )( + )( + 3) ( + ( - )) = x! = + ( - )!! (-) = ()!! x 4') L'arcoseo Si ha: - x = Posto g(x) = arcsi x, si ha: g'(x) = ( -/ ) = (-x ) = + = ( - )!! ()!! - x = + ( - )!! = ()!! x Ne viee: g(x) = arcsi x = + x + ( - )!! = ()!! ( + ) x + È immediato verificare che la serie coverge ache per x = - (Leibiz) La covergeza per x = segue dal fatto che, per la Formula di Wallis (cfr Cap 5, 6), il termie geerale della serie è strettamete equivalete a ( + ) π ed è quidi u ifiitesimo di ordie 3 Dal Teorema di Abel si ha poi che la somma della serie è data, rispettivamete, da - π e π I particolare, si ha: arcsi = π 6 = + ( - )!! = ()!! ( + ) +, da cui π = 3 + 6 ( - )!! = ()!! ( + ) + Si ha così ua formula per il calcolo di π più efficace di quella vista i precedeza Per esempio, già co S 4 si ottiee u valore di π dato da x 3 + 6 48 + 3 8 + 5 438 + 5 76947 3,45

3 - Capitolo Decimo 7 SERIE DI POTENZE NEL CAMPO COMPLESSO Ache le ozioi di successioe e di serie di fuzioi si estedoo i modo del tutto aturale al campo Ç dei umeri complessi È però ecessario riadattare alcue ote defiizioi DEFINIZIONE Dati u umero complesso z e u umero reale positivo r, si chiama sfera aperta di ceto z e raggio r l'isieme S(z, r) := {z: d(z, z ) < r} Si chiama poi itoro di z ogi sottoisieme di Ç che cotiee ua sfera aperta di cetro z DEFINIZIONE Dati u sottoisieme E di Ç e u umero complesso z, diremo che z è u puto di accumulazioe per E se i ogi itoro di z cadoo ifiiti puti di E DEFINIZIONE Dati ua fuzioe f: E ( Ç) Ç e u puto z E, la f è cotiua i z se, per ogi itoro V di f(z ), esiste u itoro U di z tale che f(u E) V, ossia se ( ε > )( δ > )( z E)(d(z, z ) < δ d(f(z), f(z )) < ε) Si dice che ua fuzioe f: E ( Ç) Ç è cotiua i E se è cotiua i ogi puto di E ESEMPIO ) Soo cotiue le fuzioi di Ç i Ç: z, ( ˆ), z, z; è cotiua ache la fuzioe di Ç \ {} i Ç defiita da f(z) = Posto z = x + yi, la fuzioe di Ç i Ç defiita da z f(z) = sig(y) o è cotiua ei puti del tipo z = x + i DEFINIZIONE Dati ua fuzioe f: E ( Ç) Ç, u puto z di accumulazioe per E e u umero complesso l, si dice che l è il limite della f per z che tede a z se, per ogi itoro V di l, esiste u itoro U di z tale che f(u E \ {z }) V, ossia se I tal caso si scrive lim z z f(z) = l ( ε > )( δ > )( z E)( < d(z, z ) < δ d(f(z), l) < ε) DEFINIZIONE Dati ua fuzioe f: E ( Ç) Ç e u puto z E, la f è detta derivabile i z se esiste fiito il limite del rapporto icremetale della f relativamete a z, ossia f(z) - f(z ) se esiste fiito il z z lim z - z ESEMPI ) Sia f(z) = z, ( ˆ+) si ha z - z z - z = z - + z - z + z - 3 z + + z - che tede a z - Si ha duque, per ogi z Ç: D(z ) = z - 3) Sia f(z) = z, co z = x + yi Si ha f(z) - f(z ) z - z = (x - yi) - (x - y i) (x + yi) - (x + y i) = x - x - (y - y )i x - x + (y - y )i Se è y = y, e quidi x x, il rapporto icremetale vale costatemete ; se è x = x, e quidi

Serie Di Fuzioi - 33 y y, il rapporto icremetale vale costatemete - No esiste duque il limite del rapporto icremetale e la fuzioe o è derivabile i alcu puto del suo domiio Segaliamo che cotiuao a sussistere le regole di derivazioe studiate el caso delle fuzioi reali di variabile reale, come si costata molto facilmete ripercorredo le dimostrazioi fatte a suo tempo DEFINIZIONE Data ua successioe (f ) di fuzioi a valori complessi e defiite i u isieme E Ç, diremo che essa coverge (putualmete) a ua fuzioe ƒ: E Ç se, per ogi z E, la successioe umerica (f (z)) è covergete a ƒ(z) Scriveremo f ƒ, o ƒ = lim f DEFINIZIONE Data la successioe di fuzioi f : E ( Ç) Ç, si defiisce la successioe (S ), acora co S : E ( Ç) Ç, delle somme parziali o ridotte poedo S (z) := f (z) + f (z) + + f (z) La coppia ((f ), (S ) ) si dice serie di fuzioi La idicheremo scrivedo = f DEFINIZIONE Data la serie di fuzioi = f, co f : E ( Ç) Ç, diremo che essa coverge (putualmete) a ua fuzioe ƒ: E Ç se ciò accade per la successioe (S ) Ci limiteremo a studiare il caso delle serie di poteze DEFINIZIONE Fissiamo uo z Ç Si dice serie di poteze di (z - z ) ua serie del tipo: = a (z - z ) = a + a (z - z ) + a (z - z ) + + a (z - z ) + dove i umeri complessi a, a,, a, soo detti i coefficieti della serie Per le serie di poteze el campo complesso cotiuao a valere tutti i risultati stabiliti ei 3 e 4 per le aaloghe serie el campo reale I particolare, si ha: TEOREMA ' Se la serie = a (z - z ) coverge per z = z, allora coverge assolutamete per ogi z per cui è z - z < z - z La stessa tesi sussiste ache sotto l'ipotesi più debole che la successioe (a (z - z ) ) risulti limitata DEFINIZIONE Sia A = { z - z : = a (z - z ) coverge}, e sia R = É A, co R R è detto raggio di covergeza della serie TEOREMA 3' Data la serie di poteze = a (z - z ), sia R il suo raggio di covergeza Allora: ) La serie coverge assolutamete per ogi z tale che z - z < R ) La serie o coverge per ogi z per cui è z - z > R NB I puti dell'isieme {z: z - z = R} vao studiati a parte

34 - Capitolo Decimo Cotiuao ioltre a sussistere i Criteri del rapporto e della radice per la ricerca del raggio di covergeza ESEMPI 4) La serie = z coverge per z < 5) La serie z = + 6) La serie z = + coverge per z, ma co z (Cap 9, Teor ) coverge per z 7) La serie = (!)z coverge solo i z = 8) La serie log( + ) = (z - ) + ha raggio di covergeza R = (Crit del rapporto) Essa coverge assolutamete per z - < Sia ora z - = Il modulo del termie geerale log( + ) della serie è che tede a co u ordie poco miore di (è, per esempio, maggiore di 3 ); la serie è duque assolutamete covergete ache per z - = + 8 LE FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO Come possiamo defiire le fuzioi elemetari (espoeziale, seo e coseo, fuzioi iperboliche, logaritmo) el campo complesso? Sappiamo che i Â, si ha, per esempio, e x = x =! L'idea è quella di estedere, per defiizioe, questa uguagliaza ache al campo complesso DEFINIZIONE Si defiiscoo el campo complesso le segueti fuzioi: Espoeziale: e z := z =! Coseo iperbolico: cosh z = Ch z := z = ()! Seo iperbolico: sih z = Sh z := z + = ( + )! Coseo: cos z := Seo: si z := = = (-) z ()! (-) z + ( + )!

Serie Di Fuzioi - 35 Si tega presete che ache el campo complesso sussiste il seguete risultato: TEOREMA 7 Per ogi z, w Ç, si ha e z + w = e z e w TEOREMA 8 Sussistoo le segueti Formule di Eulero: ) e iy = cos y + i si y; e - iy = cos y - i si y; ) cos y = eiy + e - iy Ioltre: 3) La fuzioe e z è periodica di periodo πi = Ch (yi) si y = eiy - e - iy i = Sh (yi) i DIM ) Si ha: i si y = i (y - y3 3! + y5 5! cos y = - y! + y4 4! - y6 6! +, - ) = iy + (iy)3 3! + (iy)5 5! + Per icastro, si ottiee l'uguagliaza: cos y + i si y = + iy - y! + (iy)3 3! = + iy + (iy)! + (iy)3 3! + (iy)4 4! + y4 + (iy)5 5! 4! + (iy)5 5! - y6 6! + = + (iy)6 6! + = e iy L'altra delle () si prova i modo aalogo Le () si ottegoo per somma e sottrazioe dalle precedeti La (3) segue immediatamete dalla prima delle () e dall'uguagliaza e z = e x + iy = e x e iy Evideziamo acora che, se è z = x + iy, si ha e z = e x + iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) e πi = - e z, z e iy = (cos y + i si y) = Si costata immediatamete che e z = e x + iy = e x (cos y + i si y) = e x TEOREMA 9 Le fuzioi di Ç i Ç sopra defiite soo derivabili e, azi, aalitiche Si ha ioltre, sempre aalogamete al caso reale: D(e z ) = e z ; D(Ch z) = Sh z; D(Sh z) = Ch z; D(cos z) = - si z; D(si z) = cos z Passiamo a defiire il logaritmo el campo complesso Dato w Ç \ {}, questo può essere scritto ella forma w = ρ (cos ϑ + i si ϑ) = ρe iϑ, co ρ > Cerchiamo ora tutti i umeri complessi z = x + iy per cui è (*) e z = w

36 - Capitolo Decimo Essedo e z = e z + iy, la (*) può essere scritta ella forma e x + iy = ρe iϑ o ache e x (cos y + i si y) = ρ (cos ϑ + i si ϑ), che equivale al sistema Si ottiee: ex = ρ cos y = cos ϑ si y = si ϑ x = log ρ y = ϑ + k π L'equazioe e z = w ha duque ifiite soluzioi, i accordo col fatto che, come si è visto, la fuzioe espoeziale è, el campo complesso, periodica di periodo πi Essa o è duque ivertibile Per rederla tale è ecessario cosiderare la sua restrizioe ad u opportuo sottoisieme E di Ç Da quato precede, si vede che la fuzioe espoeziale ristretta all'isieme E = {z = x + yi: -π < y π} è iiettiva ed assume tutti i valori complessi o ulli DEFINIZIONE La fuzioe iversa della fuzioe espoeziale ristretta all'isieme E = {z = x + yi: -π < y π} è detta fuzioe logaritmo Essa è duque ua fuzioe di Ç \ {} i E Il logaritmo di u umero complesso w = ρe iϑ Ç \ {} è duque l'uico umero complesso z = x + yi =: log w, co -π < y π per cui è e z = w Osservazioe Si usa talvolta chiamare logaritmo del umero complesso w = ρe iϑ Ç \ {} l'isieme (idicato co Log w) di tutti i umeri z Ç tali che e z = w, ossia l'isieme dei umeri complessi della forma z = log ρ + (ϑ + k π)i, co k Û Prededo k Û i modo che risulti ϑ + k π ]-π, π], si ottiee u uico valore di z che prede il ome di determiazioe pricipale del logaritmo di w e che è apputo quello che abbiamo idicato co log w Si tega be presete che, co questa defiizioe di logaritmo, o si ottiee ua fuzioe di Ç \ {} i Ç, ma u'applicazioe di Ç \ {} ell'isieme (Ç) delle parti di Ç ESEMPI ) Cerchiamo Log(-) Essedo - = e πi, si ha Log(-) = log + (π + k π)i e, quidi, log(-) = πi ) Cerchiamo Log( + i) Essedo + i = e (π/4)i, si ha: Log( + i) = log + ( π 4 + k π)i ; log( + i) = log + π 4 i

Serie Di Fuzioi - 37 9 ESERCIZI ) Trovare lo sviluppo i serie di Taylor della fuzioe f(x) = log + x [R f(x) = (-) = + (x ) + ] ) Trovare ua primitiva di ciascua delle fuzioi: f(x) = e x ; g(x) = si x x [R f(x) = x =! F(x) = x + =!( + ) + F(); x Â; g(x) = (-) x + x = ( + )! = (-) x (-) = ( + )! G(x) = x + = ( + )( + )! + G(); x Â] 3) Trovare gli sviluppi di Taylor, co puto iiziale x =, delle segueti fuzioi: a) f(x) = e 3x + ; b) f(x) = si(x + π/4); c) f(x) = si x cos x; d) f(x) = cosh x - cos x; e) f(x) = 4 + x [R a) f(x) = e e 3x = e b) f(x) = = (six - cosx) = (3x)! ; (- + x + x! - x3 3! - x4 4! + ); c) f(x) = (-) si(x) = x + = ( + )! ; d) f(x) = - (-) = ()! x = = (4 + )! x4 + ; e) f(x) = + x 4 = + x 8 + (-) - ( - 3)!! = ()!! 4 x, co raggio di coverga R = 4] 4) Trovare gli sviluppi di Taylor delle fuzioi: a) f(x) = e -x ; x = - ; b) f(x) = si x; x = π ; c) f(x) = x ; x = - [R a) Posto x = t -, si ha e -x = e e -t = e = (-t)! f(x) = e - x + = = (-) (x + )! b) Posto x = t + π, si ottiee si x = si(t + π (-) ) = cos t si x = (x - π/) = ()! c) Essedo x = d dx - x e - x = - (x + ) - = = x + = = si ottiee x = (x + ) - = +, co raggio di covergeza R = ] (x + ) +,

38 - Capitolo Decimo 5) Calcolare, co 3 cifre decimali esatte i umeri: a) e ; b) log(,9); c) cos 5 ; d) si 8 [R a) e = = 5-4 = (- )! ; serie di Leibiz; si ha: e - S < ; è sufficiete = 6 ( + )! ; basta che sia ( + )! < b) log(,9) = log 9 = log( + 9 ) = (- ) = + 9 + ; è log(,9) - S < + 9 + ; basta che sia + 9 + < ; per questo è sufficiete predere = 6 Per cotro, si ha: log(,9) = log + 9/9-9/9 = = + 9 9 + = 8 9 = + 8 84 = 8 9 = a Essedo, per ogi, < a + a <, si ha m = + a m < a + < a, da cui si ottiee log(,9) - S < 8 9 a = 8 9 + 8 84 Questa differeza è miore di 5-4 se è c) cos 5 = cos 5π 8 = cos π 36 = (-) = ()! π 36 ; è ua serie di Leibiz; si ha: cos 5 - S (( + ))! π 36 ( + ) < (( + ))! 9 ( + ) Quest'ultima espressioe è miore di 5-4 se è d) Basta osservare che è si 8 = cos = cos π 8 ] 6) Trovare i raggi di covergeza delle segueti serie e studiare il comportameto agli estremi dell'itervallo di covergeza: a) (!) = ()! x ; b) x x ; c) = ( - ) = log ( + ) ; e) = (-3) (x + ) ; f) e = 3 (4 - x) ; g) = d) = + 5! x x + ; [R a) a + a 4 ; quidi è R = 4 Per x = ± 4, si ottegoo serie umericche per il cui termie geerale si ha b e - π 4 e - = π e che quidi o covergoo 4π b) a ; è quidi R = c) a + a ; è quidi R = Per x =, è b = serie divergete Per x = -, è b = log( + ) ; ordie di ifiitesimo sottoreale, (-) log( + ) ; serie covergete (Leibiz)

Serie Di Fuzioi - 39 d) Posto x = y, si ottiee la serie di termie geerale y + ; per questa serie, è a + a ; il suo raggio di covergeza è, perciò, ; di cosegueza, quello della serie data è R = Per x =, si ottiee la serie umerica di termie geerale che è divergete + e) a = 3; si ha quidi R = 3 Se è x + = 3, si ottegoo serie umeriche il cui termie geerale, i valore assoluto, è uguale a e che, perciò, o covergoo f) a + a e; è quidi R = e Se 4 - x = e, si ottegoo serie umeriche il cui termie geerale, i valore assoluto, è uguale a 3 e che, perciò, covergoo assolutamete 5 g) Si ha < a = 5e e - < 5e = b Avedosi b = 5e, π π si ha R = 7) Trovare il raggio di covergeza e la somma delle segueti serie: a) = (-) (4x) ; b) = ( + 3)x ; c) x = + 3 ; d) = ( + )x [R a) Si ha a = 4 e, quidi, R = 4 La somma è f(x) = + 4x Per x = 4 coverge b) a + a = R Per x =, la serie o coverge Per x, si ha: = ( + 3)x = x = ( + 3)x + = x = x - = 3 = x - - x + = x - = x, la serie o d dx = x - - x = x d dx ( - x ) - - x = = x ( - x) - ( + x)( - x) - - x = x ( - x) = 3x - x 3 x ( - x) = 3 - x ( - x) Si costata poi che l'uguagliaza sussiste ache per x = c) a + a = R Per x =, la serie diverge, metre coverge per x = - Per x, si ha: x = + 3 = x + 3 x 3 = + 3 = x 3 - x - x + x = = x 3 - log( - x) - x - x = Per x =, si ha la serie = = - x 3 log( - x) - x - x = g(x) + 3 = 3 = lim x g(x) d) Posto x = y, si ha: = ( + )x =

4 - Capitolo Decimo = = ( + )y = d dy = (y + ) = d dy y - y = ( - y) = ( - x ) Il raggio di covergeza della serie = ( + )y è R =, avedosi a + a ; è duque ache il raggio di covergeza della serie di parteza Per x =, la serie diverge] 8) Si studio le segueti serie di poteze el campo complesso: a) = (z - i) (z + i) + 4 ; b) = ; c) = z ; d) = (- ) z (!) ; e) = ( + /) (z - ) [R a) a 4 ; R = 4; per z - i = 4, si ottegoo serie il cui termie geerale tede a ; b) il termie geerale della serie è (z + i/) ; si h R = ; per z + i/ =, la serie o coverge; c) a = ; R = ; la serie coverge solo i z = ; d) a + a ; R =, la serie coverge assolutamete per ogi z; e) a = R; per z - =, z, la serie coverge semplicemete, dato che si può applicare il Teor del Cap 9] 9) Si risolvao el campo complesso le segueti equazioi: a) e z = π 4 i; b) ez = + πi; c) log z = π 4 i; d) log z = + πi [R a) log π 4 + (π + kπ)i; b) log( + π ) + (arctg π + kπ)i; c) e (π/4)i = d) e ( + πi) = -e] ( + i); ) Si studi la seguete serie di poteze: - z + z - z3 + z4 - z5 + + z - z + + [R Si ha R = (Criterio della radice); si oti che per z = si ottiee la serie idetermiata ) Si studi il carattere della serie - + - + 3-3 + + - + ] = e - + i si + [R Per il Teorema del Cap 9, basta studiare la serie di termie geerale i si + Per il cos + i si Teor del Cap 9, è semplicemete covergete la serie di termie geerale + e quidi ache la serie data, acora per il Teor del Cap 9]