Gli itegrli
Gli itegrli. Itroduzioe Gli itegrli Le ppliczioi del clcolo itegrle soo svrite: esistoo, iftti, molti cmpi, dll fisic ll igegeri, dll iologi ll ecoomi, i cui tli ozioi trovo o poche ppliczioi. Per forire l ide ituitiv del cocetto crdie del clcolo differezile, ossi l derivt, imo itrodotto il prolem dell tgete; llo stesso modo, per presetre l ide di itegrle trtteremo il prolem del clcolo dell re. Si immgii di dover clcolre l re dell regioe S sottostte l curv y = f() d, rppresett i figur. Si oti suito che essedo S l regioe sottostte il grfico e delimitt dlle rette = 0 e =, mmetterà re compres tr 0 e ; tle risultto si potev che giugere immgido di rcchiudere S i u qudrto di lto ; prtire d tle riflessioe, cerchimo u stim migliore. Suppoimo di dividere S i quttro strisce S ; S 2 ; S 3 ; ed S 4 disegdo le rette verticli =/4 ; =/2; e =3/4 come i Figur Come si evice dll precedete figur S rppreset l regioe compres tr il grfico dell fuzioe f e le rette verticli = e = : Nel tettivo di clcolre l re dell regioe S, ci domdimo: qul è il sigificto dell prol re? L domd è semplice per regioi co i lti rettiliei; d esempio per u rettgolo l re è semplicemete il prodotto dell se per l ltezz. Per u poligoo, l re si trov suddividedolo i trigoli, come i figur, e sommdo l re dei trigoli così otteuti. Possimo pprossimre ogi strisci co u rettgolo vete l stess se dell strisci e ltezz pri l lto destro dell strisci, così come mostrto i Figur. Ivece, o è fftto semplice trovre l re di regioi delimitte d cotori curviliei. Illustrimo l ide ell esempio seguete: si y = 2 l prol rppresett i Figur; suppoimo di voler clcolre l re dell regioe sottostte l curv delimitt dlle rette = 0 e =, utilizzdo dei rettgoli.
Gli itegrli I ltre prole, le ltezze di questi rettgoli soo i vlori dell fuzioe f() = 2 ell estremo destro dei sotto itervlli [0; /4]; [/4; /2]; [/2; 3/4] e [3/4; ]: Ogi rettgolo h se ¼ e le ltezze soo (/4)2,(/2)2,(3/2)2 e 2. Se idichimo co R 4 l somm delle ree di questi rettgoli pprossimti, otteimo R 4 =0,46875. M dll figur è chiro che l re A di S è miore di R 4 e duque A<0,46875. Se, ivece di usre questo tipo di pprossimzioe, e usssimo u ltr crtterizzt d rettgoli le cui ltezze soo i vlori di f ell estremo siistro dei sotto itervlli, come mostrto i figur Nel XVII secolo lcui mtemtici trovroo ltri metodi per clcolre l re sottes l grfico di semplici fuzioi, e tr di essi figuro d esempio Fermt (636) e Nicolus Merctor(668). Nel dicissettesimo e diciottesimo secolo Newto, Leiiz, Joh Beroulli scopriroo idipedetemete il teorem fodmetle del clcolo itegrle, che ricodusse tle prolem ll ricerc dell primitiv di u fuzioe. L defiizioe di itegrle per le fuzioi cotiue i tutto u itervllo, itrodott d Pietro Megoli ed espress co mggiore rigore d Cuchy, vee post su se divers d Riemi modo d evitre il cocetto di limite, e d compredere clssi più estese di fuzioi. Nel 875 Gsto Drou mostrò che l defiizioe di Riem può essere eucit i mier del tutto simile quell di Cuchy, purché si ited il cocetto di limite i modo u po più geerle. Per questo motivo si prl di itegrle di Cuchy-Riem. Esistoo leggere differeze ell otzioe dell itegrle elle letterture di ligue diverse: il simolo iglese è piegto verso destr, quello tedesco è dritto metre l vrite russ è piegt verso siistr. Gli itegrli Il simolo che rppreset l itegrle ell otzioe mtemtic fu itrodotto d Leiiz ll fie del XVIII secolo. Il simolo si s sul crttere ſ (esse lug), letter che Leiiz utilizzv come iizile dell prol summ, i ltio somm, poiché questi cosiderv l itegrle come u somm ifiit di ddedi ifiitesimli. L re del cerchio è determit costruedo u successioe di poligoi che ssomiglio sempre di più l cerchio. Ad esempio, u successioe di poligoi regolri co umero crescete di lti: i figur, u petgoo, u esgoo e u ottgoo. A secod che si scelgo poligoi iscritti o circoscritti ell circoferez, l re di quest risulterà essere pprossimt iferiormete o superiormete. Etrme le scelte porto comuque l limite ll re del cerchio. L somm delle ree di questi rettgoli pprossimti è L 4 =0,2875; ioltre, essedo l re di S mggiore di L 4 otteimo u stim per difetto ed u per eccesso di A: 0,2875<A<0,46875. Ripetedo quest procedur co u umero mggiore di strisce, si ottiee u stim sempre migliore di A. L ide di se del cocetto di itegrle er ot d Archimede di Sircus, vissuto tr il 287 ed il 22.C., ed er coteut el metodo d lui usto per il clcolo dell re del cerchio o del segmeto di prol, detto metodo di esustioe. Primitive e itegrzioe idefiit Defiizioe: Si dice che u fuzioe f defiit i u sottoisieme X di R è dott di primitiv, se esiste u fuzioe F defiit i X, ivi derivile, tle che: F'( ) = f( ); X Proposizioe: Se F è u primitiv di f, llor, c R, F + c è ch ess u primitiv di f Dimostrzioe. L dimostrzioe di tle sserto è immedit se si tiee presete che u fuzioe costte i X h derivt ull i ogi puto di X. Il simolo di itegrle ell lettertur (d siistr) iglese, tedesc e russ. Proposizioe: Se f è defiit i u itervllo X, llor due primitive di f differiscoo per u costte. Dimostrzioe: Se F e G, iftti, soo due primitive di f, l fuzioe F - G è derivile i X e risult: ( F G)'( ) = f( ) f( ) = 0, X pertto F - G è costte i X e l tesi è dimostrt.
Gli itegrli L ozioe di itegrle idefiito è correlt quell di primitiv di u fuzioe rele f di u vriile rele. Sio I u itervllo di R ed F: I R u primitiv di f, co F derivile i I. Ricordimo che l fuzioe F è u primitiv dell f se per ogi pprteete I risult F'( ) = f( ); X E oto che se u fuzioe mmette u primitiv, llor h ifiite primitive che, come si è visto sopr, differiscoo tr di loro per u costte. L totlità delle primitive dell fuzioe f costituisce, duque, u isieme che si deot che co F + c. Itegrzioe immedit L seguete tell, ell prim colo, mostr le primitive delle fuzioi elemetri; metre ell secod colo mostr come l itegrzioe di u fuzioe elemetre può essere geerlizzt l cso di u fuzioe f() dell stess tur dell corrispodete fuzioe elemetre. Gli itegrli Defiizioe Si I u itervllo di R ed f u fuzioe defiit ell itervllo I di R; l isieme di tutte le primitive dell f i I si chim itegrle idefiito dell f e si deot co Osservzioe. L operzioe di itegrzioe idefiit può cosiderrsi come ivers dell operzioe di derivzioe. No isog, tuttvi, dimeticre che l operzioe di itegrzioe idefiit, qudo è possiile, ssoci d u fuzioe u clsse di fuzioi; metre l operzioe di derivzioe d ogi fuzioe ssoci u sol fuzioe. f ( ) d Defiizioe L itegrle idefiito è l opertore iverso dell derivt perché ssoci ll fuzioe itegrd f() l isieme di tutte e sole le fuzioi primitive di f() stess. Proposizioe L itegrle idefiito è u opertore liere. Iftti gode delle segueti due proprietà: Proprietà di lierità. U costte moltiplictiv si può trsportre detro o fuori del sego di itegrle idefiito k f ( ) d = k f ( ) d Proprietà di dditività. L itegrle di u somm lgeric di due o più fuzioi è ugule ll somm lgeric degli itegrli delle sigole fuzioi [ + ] = + f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d 2 2 Comido isieme le due proprietà si h: [ + ] = + k f ( ) k f ( ) d k f ( ) d k f ( ) d 2 2 2 2 Si può fcilmete otre che ell tell o si f riferimeto lcuo lle fuzioi irrzioli; questo perché, d e ote proprietà delle rdici, esse posso essere fcilmete ricodotte fuzioi potez. Ad esempio, si ricordio le segueti proprietà:
Gli itegrli Itegrzioe per sostituzioe Itegrzioe di fuzioi frtte Gli itegrli = = = /2 / m m / = = = m m / Il metodo di itegrzioe per sostituzioe si s sul teorem di derivzioe delle fuzioi composte. Si h: f ( ) d = f ( g()) t g '() t dt Dove g(t) è u fuzioe derivile co derivt cotiu e ivertiile. I prtic, qudo o sppimo clcolre l itegrle dell fuzioe f() operimo u sostituzioe itroducedo u fuzioe usiliri =g(t) per cui sppimo clcolre f ( g()) t g '() t dt e poi torre ll vriile sostituedo g-() l posto di t elle primitive trovte. Si procede ttrverso i segueti step:. Si poe =g(t) e si clcol d=g (t)dt; 2. Si riscrive l itegrle i termii di t, sostituedo g(t) l posto di e g (t)dt l posto di d e si clcol l itegrle ell vriile t così otteuto; 3. Si ritor, ifie, ll vriile, eseguedo sul risultto l sostituzioe ivers t=g-() N( ) Per clcolre l itegrle d D ( ) di u fuzioe i cui il grdo del deomitore si mggiore del umertore si scompoe D() el prodotto di fttori irriduciili; si riscrive l fuzioe itegrd come somm di frzioi semplici veti come deomitore i fttori di D(); si pplico le regole di itegrzioe immedit. Tvol delle pricipli sostituzioi Se il grdo del Deomitore è miore o ugule l grdo del Numertore si procede ll divisioe dei due poliomi N ( ) R ( ) d = Q( ) d + d D ( ) D ( ) dove R() e Q() soo rispettivmete il resto e il quoziete dell divisioe
Gli itegrli Nozioe di itegrle per u fuzioe rele cotiu i u itervllo chiuso e limitto ξ : = f ( ) d Gli itegrli Si cosideri l prtizioe P di u itervllo chiuso[;] i sottoitervlli [ k- ; k ] di ugule mpiezz, e si cosideri u fuzioe cotiu f() defiit su [;]. Per ogi itervllo dell prtizioe si possoo defiire due puti: e si chim itegrle defiito di f i [;]. I umeri e soo detti estremi di itegrzioe ed f è dett fuzioe itegrd. L vriile di itegrzioe è u vriile mut, e d è detto differezile dell vriile di itegrzioe. mk = if f( ) [ k, k] M = k e [ k, k] sup f( ) che corrispodoo ll ordit miore m k ell itervllo e ll ordit mggiore M k dell itervllo. Si defiisce somm itegrle iferiore reltiv ll prtizioe P il umero: k = ( ) sp ( ) = m k k k Ammettedo che f ssum vlori positivi ell itervllo, l somm itegrle iferiore è l somm dei rettgoli iscritti ll regioe del pio. Alogmete, si defiisce somm itegrle superiore reltiv ll prtizioe P il umero: Defiizioe: L itegrle secodo Riem di f ell itervllo chiuso e limitto [;] è defiito come il limite per che tede d ifiito dell somm itegrle: σ = f( tk) dett somm itegrle di Riem. Se tle limite esiste, è fiito e o dipede dll scelt dei puti t k, si h: k = f ( ) d = lim σ = f ( ts) + L esistez di u uico elemeto seprtore tr δ e Σ ell defiizioe è equivlete richiedere che: s= k = ( ) SP ( ) = M k k k L somm itegrle superiore è quidi l somm delle ree dei rettgoli circoscritti ll regioe. Si pog: [ ] m< f( ) < M, ; s( P) = S( P) = f ( ) d L fuzioe limitt f è itegrile i [;] se e solo se per ogi ε>0 esiste u prtizioe P di [;] per cui si h: SP ( ) sp ( ) < ε si dimostr che per ogi coppi di prtizioi P e Q di [;] si h: m( ) < s( P) < S( Q) < M( ) Per ogi possiile prtizioe P di [;] si defiiscoo: δ = sp ( ) Σ=SP ( ) Dl lemm precedete si può dedurre che gli isiemi δ e Σ soo seprti cioè: s<s L ssiom di completezz di R fferm che llor esiste lmeo u umero rele ξ pprteete R tle che: s ξ Se vi è u uico elemeto di seprzioe tr δ e Σ llor si dice che f() è itegrile i [;] secodo Riem. L elemeto ξ si idic co: S Se l fuzioe itegrile f() è positiv llor l itegrle ssume il sigificto di re dell regioe, metre se l fuzioe f cmi sego su [;] llor l itegrle rppreset u somm di ree co sego diverso Teorem dell medi Il teorem dell medi itegrle è u teorem che mette i relzioe le ozioi di itegrle e di fuzioe cotiu per le fuzioi di u vriile rele. U fuzioe cotiu f defiit su u itervllo h come immgie cor u itervllo: il teorem dell medi itegrle stilisce che l medi itegrle di f è u vlore icluso ell itervllo immgie. Il cocetto di medi itegrle è u geerlizzzioe dell ide di medi ritmetic. L ide è quell di clcolre il vlore medio ssuto d u fuzioe su u itervllo [,] clcoldo l medi ritmetic dei vlori che l fuzioe ssume su u isieme fiito (molto grde) di puti distriuiti uiformemete ell itervllo, cioè si suddivide l itervllo i N sottoitervlli
Gli itegrli Gli itegrli [, ] k k + tutti di lughezz (-)/N e si clcol l medi: f 0 + f + f N ( ) ( )... ( ) N Si ottiee quidi Md = M d = M ( ) quest può essere scritt che come N f ( i ) N i= 0 Dll defiizioe di itegrle di Riem segue che cosiderdo qutità N sempre mggiori di puti, quest espressioe covergerà l vlore che viee chimto medi itegrle di f. TEOREMA: Se f: [, ] R f ( ) d è cotiu e itegrile llor esiste u puto c pprteete d [,] tle che o equivletemete f () d f () c = f () d = ( ) f () c Dimostrzioe Essedo f cotiu i [,], per il teorem di Weierstrss ess è dott di mssimo M e di miimo m su [,], quidi si vrà m f( ) M Dll proprietà di mootoi dell itegrle risult md f ( ) d Md Nei memri destr e siistr dell disugugliz stimo itegrdo u fuzioe costte, quidi imo ovvero, se >, m( ) f( ) d M( ) m f ( ) d M Per il Teorem dei vlori itermedi f deve ssumere i [,] tutti i vlori compresi tr sup f( ) = M [, ] e if f ( ) = m [, ] quidi i prticolre esisterà u puto c pprteete d [,] tle che f () c = f () d Teorem fodmetle del clcolo itegrle Il teorem fodmetle del clcolo stilisce u importte coessioe tr i cocetti di itegrle e derivt per fuzioi vlori reli di vriile rele. L prim prte del teorem è dett primo teorem fodmetle del clcolo, e grtisce l esistez dell primitiv per fuzioi cotiue. L secod prte del teorem è dett secodo teorem fodmetle del clcolo, e cosete di clcolre l itegrle defiito di u fuzioe ttrverso u delle sue primitive. U prim versioe del teorem è dovut Jmes Gregory, metre Isc Brrow e forì u versioe più geerle. Isc Newto, studete di Brrow, e Gottfried Leiiz completroo successivmete lo sviluppo dell teori mtemtic i cui è mietto il teorem. Teorem di Torricelli-Brrow o primo teorem fodmetle del clcolo itegrle e logmete md = m d = m( ) Si f() u fuzioe itegrd, cotiu i u itervllo chiuso e limitto [,], llor l fuzioe itegrle F( ) = f () t dt
Gli itegrli Gli itegrli co è derivile i [,] e l derivt dell fuzioe itegrle coicide co l fuzioe itegrd; si h cioè: Dimostrzioe: F'( ) = f( ) F'( ) = f( ) Formul di Newto-Leiitz o secodo teorem fodmetle del clcolo itegrle Si f:[, ] R u fuzioe che mmette u primitiv F su [,]. Se f è itegrile si h: Ricordimo che u fuzioe è derivile se esiste ed è fiito il limite del rpporto icremetle l tedere 0 dell icremeto Δ dell vriile idipedete. Determiimo il rpporto icremetle F( + ) F( ) [ ] f ( ) d = G( ) = G( ) G( ) Tle relzioe è dett formul fodmetle del clcolo itegrle. A differez del corollrio ll prim prte del teorem, o si ssume l cotiuità di f. Dimostrzioe: Posto e osservimo cje Si h llor + F( + ) = f () t dt F( ) = f () t dt Ovvero l fuzioe itegrle ssocit ll fuzioe ssegt, F() e G() sio due primitive di f(). Sppimo che esse differiscoo per u costte. Possimo scrivere llor F( + ) F( ) = Per l proprietà dditiv dell itegrle: + f () t dt f () t dt f () t dt f () t dt f () t dt + f () t dt f () t dt f () t dt F( + ) F( ) = = = Per il teorem dell medi esiste u pprteete [,+ ] tle che + + + + f( ) f( t) dt = f( ) = = f( ) Clcolimo il limite del rpporto icremetle per che tede zero e si h, per l ipotesi di cotiuità, Cocludimo che lim f( ) = f( ) 0 Per = otteimo m pertto G()=c Duque potrò scrivere: Alogmete se = si h: G( ) = F( ) + c = f ( t) dt + c G( ) = f () t dt + c f () t dt = 0 G( ) = f () t dt + G( ) G( ) = f () t dt + G( )
Gli itegrli Gli itegrli e duque f () t dt = G( ) G( ) C.v.d. Il clcolo delle ree L itegrle defiito rppreset geometricmete l re dell regioe di pio limitt dl grfico dell fuzioe y=f() e dll sse ell itervllo [,]. Di due grfici si può vedere che il sego dell re è egtivo se l prte di pio si trov l di sotto dell sse metre è positivo se l prte di pio è l di sopr dell sse. Ad esempio che voglimo clcolre l re dell regioe di pio rffigurt, 3 2 compres tr l sse e l curv di equzioe f( ) = 4 + 3 doimo cosiderre l itervllo [0,3]. Questo itervllo deve essere diviso i due itervlli: ell itervllo [0,] l prte di pio si trov l di sopr dell sse e quidi h sego positivo, metre ell itervllo [,3] l prte di pio è l di sotto dell sse quidi ssume sego egtivo. Pertto doimo risolvere due itegrli: 3 3 2 3 2 37 ( 4 + 3) d ( 4 + 3) d = 2 0 Come si vede di grfici l re si ottiee come differez tr l re del trpezoide idividuto d f ell itervllo [,] e l re del trpezoide idividuto d g ell itervllo [,] Pertto, l re cerct risult essere espress dll formul f ( ) d g( ) d Si oti che l formul vle se f()>g() ltrimeti l differez v ivertit. Itegrli delle fuzioi pri e dispri Si f() u fuzioe dispri, ossi tle che f(-)=-f() e si cosideri il suo itegrle i u itervllo simmetrico rispetto ll origie f ( ) d E ituitivo e si potree dimostrre che l itegrle risult ullo: iftti ricorddo il sigificto geometrico di itegrle defiito, l itegrle rppreset l somm lgeric delle due ree (ros e lu). Per l simmetri del grfico di f(), tli ree risulto equivleti e quidi ho, i vlore ssoluto, l stess misur. Poiché u si trov l di sopr e u l di sotto dell sse, le loro misure vro segi opposti e l loro somm lgeric srà perciò zero. Si ivece, y=f() u fuzio pri il cui grfico, rppresetto i figur, è simmetrico rispetto ll sse y. I questo cso le due ree equivleti vo sommte. Pertto: f ( ) d = 2 f ( ) d 0 Clcolo dei volumi Ci poimo or il prolem di determire l re dell regioe di pio limitt di grfici di due fuzioi y=f() e y=g() ell itervllo [,] Cosiderimo u solido limitto d due pii perpedicolri ll sse pssti rispettivmete per i puti di coordite (,0) e (,0). Suppoimo ioltre di cooscere l re S() dell sezioe del solido otteut coducedo il pio perpedicolre ll sse, psste per il puto di coordite (,0). Voglimo clcolre il volume del solido così
Gli itegrli geerto. Cosiderimo izitutto i puti 0 =,, 2,, = che dividoo [,] i itervlli ciscuo di mpiezz = e suddividimo il solido i fette ciscu di spessore ugule coducedo i pii perpedicolri ll sse pssti per i puti 0,, i-, i,..,. Sceglimo quidi i ogi itervllo [ i-, i ] u puto ritrrio c i. Nell ipotesi che si ifiitesimo, è lecito pesre di pprossimre ogi fett i cui il solido è stto suddiviso co u cilidro vete come ltezz e si equivleti ll sezioe del solido otteut co il pio psste per (c i,0). Il volume di questo cilidro è S(c i ) e l somm dei volumi delle vrie fette è dt d: Sc + Sc + + Sc = Sc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Possimo defiire volume del solido origirio il limite di tle somm qudo tede ifiito. L somm ppe scritt è u somm di Riem dell fuzioe S() reltiv ll itervllo [,], il suo limite per che tede ifiito è l itegrle defiito dell fuzioe S() i tle itervllo. È rgioevole duque l seguete Defiizioe: dto u solido limitto d due pii perpedicolri ll sse, che iterseco l sse stesso ei puti di sciss e. si ioltre S() l re dell sezioe del solido otteut co u pio perpedicolre ll sse psste per (,0); llor il volume V del solido è dto dll formul i= i Si determi dpprim l re dell sezioe del solido otteut co u pio perpedicolre ll sse e psste per il puto di coordite (,0). Tle sezioe è u semicerchio. Idichimo co AB il suo dimetro. Risolvedo rispetto y si ricv: y =± + 4 Quidi le coordite di A e di B soo (, ± + 4). Il rggio del semicerchio è llor ( ) r = AB = 2 2 2 + 4 = + 4 E l re del semicerchio è: Il volume del solido è: π S r 2 2 ( ) 2 ( ) = π = + 4 0 π V = ( + 4) d = 4π 2 4 Volume dei solidi di rotzioe Gli itegrli V = S( ) d Clcolo del volume del solido co il metodo delle sezioi Determiimo il volume del solido che h come se il segmeto prolico limitto dll prol di equzioe =y2-4 e dll sse y, le cui sezioi co pii perpedicolri ll sse soo semicerchi