Cpitolo 6 Integrli 6.. Primitive di un funzione ontinu Si = f() un funzione ontinu definit su un intervllo I. Chimeremo primitiv di f ogni funzione = g() ontinu su I e derivile internmente d I, tle he g () =f(). L insieme delle primitive di f è detto integrle indefinito di f (reltivo d I) ed è denotto f() d [o, più sempliemente, f ]. è detto simolo di integrle, l funzione f() è dett funzione integrnd, il simolo d è detto differenzile di [e di esso i ouperemo nel seguito]. di f() in de. L espressione f() d si legge integrle Not. Qundo l intervllo I (su ui f è definit e ontinu) non viene speifito, si intende he le primitive di f sono definite su tutti gli intervlli he formno l insieme di definizione di f. Osservzione. (i) È del tutto evidente he f() f () d [inftti f = f ]. (ii) Vlgono le seguenti implizioni: () R, g() f() d = g()+ f() d [inftti (g + ) = g = f]; () g(), g () f() d = g () =g()+, R [inftti (g g) = g g = f f = 0. Dl Coroll. di Cp. 5. segue he g g =, R]. D () e() segue he le primitive di f differisono tr loro per un ostnte dditiv. Quindi f () d = {g()+, R} (se g () =f()). Si us srivere [dimentindo le prentesi grffe] he f() d = g()+ (se g () =f()). Si us nhe srivere [dimentindo nhe l ostnte dditiv ] he f() d = g() (sempre se g () =f()). M l notzione più orrett è ovvimente g() f() d. Le regole di lolo dell derivt prim i fornisono (lette ritroso) le primitive di molte funzioni elementri. Eo vri esempi. Esempio. n d = n+ n+ +, n 0, R. Esempio. os() d = sin()+; sin() d = os()+, R. Esempio 3. α d = log(α) α +, R [on α>0, α ]. In prtiolre e d = e +. Esempio 4. d = log()+, >0; d = log( )+, <0.
90 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO [Inftti, se <0, si h: D(log( )) = ( ) = ]. k Esempio 5. d = k+ k+ +, R, on k N, k. [Inftti D ( ) k+ k+ = k k k+ = k ]. Più in generle, α R, α : α d = α+ α+ +, >0. Esempio 6. log() d = log() +, >0. [Inftti D(log() ) =log()+ =log()]. Esempio 7. d = rtg()+, R; + d = rotg()+, R, + d = rsin()+, (, ); d = ros()+, (, ). Proposizione (linerità dell integrle indefinito). Sino, R e f,f su un intervllo I. Risult: ( f ()+ f () ) d = f () d + f () d. due funzioni ontinue Dim. L dimostrzione si può spezzre in due prti: () (f + f )= f + f ; () f = f, R. () Sino g f e g f. Allor g + g (f + f ) [inftti (g + g ) = g + g = f + f ]. Se vievers h (f + f ), llor R tle he h = g + g +. Ne segue he h = g +(g + ), on g f e g + f. () Se g f, (g) = g = f e quindi g f. Vievers, se h f, osservto he h = ( h), si h: ( h) = h = f = f, ioè h f. Dunque h f. Dlle regole di derivzione si rivno suito i seguenti risultti sul lolo dell integrle indefinito [tutti sono otteniili derivndo l primitiv sritt destr del segno di uguglinz]. Proposizione. Sino f, g due funzioni ontinue su un intervllo I ed internmente derivili. Risult [nelle ipotesi he rendono le funzioni en definite]: (i) ( f() g ()+g() f () ) d = f()g()+. (ii) f () f() d = log(f()) +. (iii) f () d = (f()) f() +. (iv) f () f() d = (f()) +. (v) f () e f() d = e f() +. (vi) f () os(f()) d = sin(f()) +. (vii) f () sin(f()) d = os(f()) +. Esempio 8. tg() d = log( os () )+, otg() d = log(sin()+, R [Inftti tg() d = sin() os () d = D(os ()) os () d = log(os())+ = log( otg() d = os () sin() d = D(sin()) sin() d = log(sin()+ ]. os () )+. Anlogmente, Esempio 9. os( ) d = )+, R. sin(
CAP. 6. PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE CONTINUA 9 [Inftti os( ) d = os( ) d = sin( )+]. Conludimo on un domnd ruile, he vremmo dovuto pori dll inizio: ssegnt un funzione ontinu su un intervllo I, esiste un su primitiv? Risponderemo positivmente quest domnd, nell ipotesi he I si un intervllo hiuso e limitto (fr. Coroll. del prossimo prgrfo). Si trtt di un immedit onseguenz del teorem fondmentle del Clolo. Per introdurre questo risultto vremo isogno di un nuov definizione di integrle, onettulmente molto divers, quell di integrle definito.
9 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO 6.. Integrle definito Arriveremo ll definizione omplet di integrle definito di un funzione ontinu proedendo per pssi suessivi. Considerimo un funzione ontinu = f(), definit su un intervllo hiuso e limitto [, ]. Supponimo he f si un funzione positiv (o, meglio, non negtiv, ioè he verifihi l ondizione f() 0, [, ]) e onsiderimo l seguente regione di pino: E = E(f,, ) ={(, ) R, 0 f()} f() E(f,, ) O [si trtt dell strisi vertile di se [, ] limitt inferiormente dll sse e superiormente dl grfio dell funzione]. L re dell regione E è dett integrle definito di f() sull intervllo [, ] (o nhe integrle definito di f() d ) ed è denott f() d. I numeri reli, sono detti estremi di integrzione. Essendo l re l misur di un superfiie, f() d è un numero rele 0. Ovvimente, se =, risult f() d =0. È inoltre del tutto evidente he, preso omunque [, ], si h: f() d = f() d + f() d [inftti E(f,, ) =E(f,, ) E(f,, )]. Eo l integrle definito di lune funzioni molto semplii. Esempio. Si = l funzione ostnte di vlore 0. Risult,, R, : d= ( ). Inftti ( ) è l re del rettngolo di se ed ltezz. E(,, ) 0 Esempio. Risult: d= 3.
CAP. 6. INTEGRALE DEFINITO 93 Dl disegno qui sotto segue suito he l re del trpezio ABCD è ottenut d esempio sottrendo ll re del tringolo OBC quell del tringolo OAD. Dunque d= = 3. C D O A B Esempio 3. Risult: d = π. Si noti inftti he l funzione =, definit per [, ], h ome grfio l semiironferenz unitri, entrt in O e ontenut nel semipino 0. Poihé l inter ironferenz h re π = π, segue he l semiironferenz in questione h re π. Se l funzione f è negtiv su [, ] (o, meglio, non positiv, ioè verifi l ondizione f() 0, [, ]), llor l funzione f è positiv e quindi possimo definire l integrle definito di f() d in questo modo: f() d = ( f()) d. Si trtt di un numero rele 0. Ponimo: F = F (f,, ) ={(, ) R, f() 0} [si trtt dell strisi vertile di se [, ] limitt inferiormente dl grfio dell funzione e superiormente dll sse ]. Si osserv suito he l re di F (f,, ) oinide on quell di E( f,, ), ome è evidente del resto dl grfio he segue. f() E( f,, ) O F (f,, ) f() Dunque f() d (on f 0) è l opposto dell re dell regione F (f,, ). Se or l funzione = f(), definit su [, ], è d esempio positiv su [, ] e negtiv su [, ], possimo definire l integrle definito di f() d ome l re di E(f,, ) ui si sottre l re di F (f,, ), ioè f() d = f() d + f() d = f() d ( f()) d.
94 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO E O F Più generlmente, l integrle definito di un funzione ontinu = f() su un intervllo [, ] è ottenuto sommndo le ree delle regioni limitte del grfio l di sopr dell sse e sottrendo le ree di quelle l di sotto. Infine, ssegnt un funzione ontinu = f() definit sull intervllo [, ], porremo: f() d = f() d. [Di questo smio degli estremi di integrzione fremo uso nell dimostrzione del Teorem ]. Aimo osì ompletto l definizione di integrle definito. Eo ltri semplii esempi. Esempio 4. Risult: π os() d = π sin() d =0. 0 0 Inftti, per le funzioni os e sin, le regioni limitte l di sopr ed l di sotto del grfio sull intervllo [0, π] hnno l stess re. O E F E O E F Esempio 5. Considerimo l seguente funzione grdini :, se 0 < f() =, se <, se 3. Risult (tenendo onto dell Esempio ): 3 f() d = + +. Inftti 0 3 0 3 f() d = d+ d+ d= ( 0) + ( ) + (3 ) = + + 0 Esempio 6. Risult: ( ) d =. Inftti l rett = pss per i punti A =(, 3) e B =(, ). nel punto C =(, 0). Allor Inoltre interse l sse
( ) d = / ( ) d + CAP. 6. INTEGRALE DEFINITO 95 / ( ) d = ( 3 3) + ( )= 9 4 + 4 =. B - 0 C A -3 Or voglimo provre il teorem fondmentle del lolo, noto nhe ome teorem di Torrielli- Brrow, he ollegherà le definizioni di integrle definito ed integrle indefinito. Ci servono l seguente definizione di medi integrle ed il orrispondente teorem dell medi integrle. Si = f() un funzione ontinu su un intervllo [, ]. Si him medi integrle di f su [, ] il numero rele f() d. Teorem (teorem dell medi integrle). Si = f() un funzione ontinu su un intervllo [, ]. Esiste 0 [, ] tle he f( 0 )= f() d. Per dimostrre questo teorem imo isogno di due lemmi. Lemm. Si = f() un funzione ontinu su un intervllo [, ] e si R. Se f è positiv (ovvero negtiv) risult: (f()+) d = f() d + ( ). Dim. Se d esempio f 0e 0, (f() + ) d oinide on l re di E(f,, ) diminuit dell re di F (,, ), ome dovree essere hirito dl disegno he segue. f() f()+ E(f,, ) F (,, ) Se invee f 0e 0, (f() + ) d oinide on l re di E(,, ) diminuit dell re di
96 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO F (f,, ), ome si vede nel disegno he segue. E(,, ) F (f,, ) f()+ f() In modo nlogo si proede se f 0e 0 o se f 0e 0. Not. Vedremo nel suessivo Coroll. 3, he, molto più generlmente, vle l seguente formul: (f()+g()) d = f() d + g() d, on f(), g() ritrrie funzioni ontinue su [, ]. Lemm. Si = f() un funzione ontinu su un intervllo [, ]. Sino rispettivmente m, M il vlore minimo ed il vlore mssimo dell funzione in [, ]. Risult: m( ) f() d M( ). Dim. L funzione = f() m è positiv e pertnto (f() m) d 0. Dl lemm preedente, f() d = ((f() m)+m) d = (f() m) d + m( ) 0+m( ) e quindi f() d m( ). Anlogmente, l funzione = f() M è negtiv e pertnto (f() M) d 0. Quindi f() d = ((f() M)+M) d = (f() M) d + M( ) 0+M( ) e pertnto f() d M( ). Dim. (Teorem ). Dl Lemm m f() d M. In se l teorem dei vlori intermedi (fr. Teorem 4 di Cp. 5.) si onlude he esiste 0 [, ] tle he f( 0 )= f() d. Simo or in grdo di provre il teorem fondmentle del lolo. Teorem. (teorem fondmentle del lolo). Si = f() un funzione ontinu, definit su un intervllo [, ]. Si definise: F () := f(t) dt, [, ]. Risult: = F () è un funzione ontinu, derivile in (, ), on F () =f(), (, ).
CAP. 6. INTEGRALE DEFINITO 97 Not. Si noti he nell definizione dell funzione F (), si è sritto f(t) l posto di f() [e dt l posto di d]. Ciò è ininfluente nel lolo dell integrle definito ed è stto ftto per non onfondere l vriile d integrzione on l estremo d integrzione. Dim. Poihé un funzione derivile è ontinu, st verifire he F () =f(), (, ). Si teng onto he, (, ) e per ogni h R suffiientemente piolo [in modo he + h (, )] si h: +h f(t) dt = +h f(t) dt + f(t) dt. +h [si noti he, se h<0, si h: f(t) dt = f(t) dt]. Allor: +h F F () =lim h 0 h = lim [ +h h 0 h f(t) dt ] +h f(t) dt = h 0 lim h f(t) dt. Applihimo or il teorem dell medi integrle ll funzione = f() sull intervllo [, + h]: +h esiste [, + h] tle he f(t) dt = f( ). Inoltre, per h 0. h Dunque, essendo f ontinu, F () =lim h 0 f( )=lim f( )=f(). Corollrio. un primitiv. Ogni funzione ontinu = f() definit su un intervllo [, ] mmette (lmeno) Dim. Si trtt dell funzione F () definit nell enunito del teorem fondmentle del Clolo. Corollrio. Si = f() un funzione ontinu, definit su un intervllo [, ], e si G() un primitiv di = f(). Risult: f() d = G() G(). Dim. Considerimo l funzione H() =G() f(t) dt, [, ]. Si trtt dell differenz di due dunzioni derivili e quindi di un funzione derivile. ) H () =G () D( f(t) dt = f() f() =0. H derivt Ne segue (in se l Coroll. di Cp. 5.) heh è un funzione ostnte. In prtiolre si h: H() = H(). Ne segue: H() =G() f(t) dt = G(); H() =G() f() d. Pertnto G() =G() f() d, d ui f() d = G() G(). D itudine, l differenz G() G() viene denott [ G() ]. Pertnto si h: f() d = [ G() ], se f() d = G()+. Dunque, per lolre l integrle definito f() d isogn determinre un primitiv G() [ioè lolre f() d] e poi lolre [ G() ]. Eo luni esempi desunti d quelli del prgrfo preedente. Esempio 7. (ii) (i) π π os() d = [ sin() ] π d = [ 3 ] 3 = 3 3 = 3. π = sin( π ) sin( π )=.
98 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO (iii) e [ ]e log() d = log() = elog(e) e ( log() ) =. Un ulteriore onseguenz del teorem fondmentle del Clolo è il seguente risultto (il primo dei quli è l proprietà di linerità dell integrle definito). Corollrio 3. Sino f,f funzioni ontinue, definite su un intervllo [, ]. Risult: (i) ( f ()+ f ()) d = f () d + f () d,, R. (ii) Se f () f (), [, ], llor f () d f () d. Dim. (i) Si trtt di provre: () (f ()+f ()) d = f () d + f () d; () f () d = f () d. Dimostrimo (). Sino G, G,G rispettivmente primitive delle funzioni f + f,f,f. Allor G + G è un primitiv di f + f e dunque G + G = G +, on R. Pertnto (f ()+f ()) d = G() G() =(G + G )() (G + G )() = =(G () G ())+(G () G ()) = f () d + f () d. Dimostrimo (). Se G è un primitiv di f, G è un primitiv di f G() G() = [G() G()] = f () d. e dunque f () d = (ii) L funzione f f è positiv su [, ]. Pertnto (f () f ()) d 0. D (i) segue: f () d = (f () f ()) d + f () d 0+ f () d.
CAP. 6.3 CALCOLO DELL INTEGRALE INDEFINITO 99 6.3. Clolo dell integrle indefinito Clolre l integrle indefinito di un funzione ontinu è in generle un prolem diffiile e spesso non elementrmente risoluile. Nel prgrfo imo visto luni semplii esempi ed imo elento, nell Prop., l integrle di luni tipi di funzione di integrzione immedit. Altri integrli si risolvono on rtifii (ioè on opportune trsformzioni). Altri nor si possono risolvere on regole he non portno direttmente ll soluzione, m he trsportno il prolem l lolo di un ltro integrle (forse più semplie). Queste regole sono due: l integrzione per sostituzione e l integrzione per prti. Prim di studire tli regole, onviene definire il differenzile di un funzione, he imo già ostntemente utilizzto sinor ome un semplie delimittore destr dell funzione integrnd. Si = f() un funzione ontinu su un intervllo I, derivile in I. Chimeremo differenzile di f (in ) l espressione df = f (), dove il numero rele è un inremento dell vriile (stnz piolo perhè + I). Se onsiderimo l funzione identi f() =, R, risult d =, ioè d =. Sriveremo llor [nhe se questo è un puro rtifiio]: df = f () d. A os serve il differenzile? Considerimo l differenz f df. Risult: f df lim 0 =0. Inftti: f df = f(+ ) f() f () = f f () f () f () =0. Dunque f df tende 0 più rpidmente di. Nelle sienze pplite si us sostituire f on df, ommettendo quindi un errore he è onsiderto trsurile. Qul è il signifito geometrio del differenzile? punto (, f()). L su equzione è Y = f()+f ()(X ). Considerimo l rett tngente = f() nel Clolndo tle funzione nel punto +, si ottiene he l inremento dell tngente è dto d Y = Y ( + ) Y () =f()+f ()( + ) f() =f () = df. Quindi df è l inremento dell rett tngente in, tr e +. f( + ) f() f df + Si or = f() un funzione derivile su un intervllo I e si = ϕ(t), t J, un funzione derivile sull intervllo J. Se ϕ(j) I è definit l funzione ompost = f(ϕ(t)), t J. Diremo he l funzione = ϕ(t) è un mimento di vriile (o di prmetro) per f. Ci hiedimo ome si esprime il differenzile df rispetto ll vriile t. derivzione dell funzione ompost, risult: Riordndo l regol di
00 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO df = f ( ϕ(t) ) d(ϕ(t)) = f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = d dt f( ϕ(t) ) dt. Inoltre, se un relzione tr le vriili, t è dt d h() = g(t) (on h, g funzioni derivili su opportuni intervlli) llor dh = dg e quindi h () d = g (t) dt. Di tle onsiderzione fremo uso nell illustrzione del metodo d integrzione per sostituzione. (A) Integrzione per sostituzione. Supponimo di voler lolre l integrle indefinito f() d, on f funzione derivile. Operimo sull funzione integrnd on un mimento di vriile = ϕ(t), dove ϕ è un funzione derivile. Si ottiene ( ) ( ) f() d = f ϕ(t) d(ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) dt. Pertnto, se F () è un primitiv di f() e G(t) è un primitiv di f ( ϕ(t) ) ϕ (t), llor F (ϕ(t)) = G(t)+. Assumimo he, invee di lolre f() d, si più semplie lolre f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt. In tl so, se simo in grdo di invertire il mimento di vriili = ϕ(t) e si h t = ψ(), si ottiene he l integrle f() d h soluzione G(ψ()) +. Supponimo poi he le vriili, t sino legte dll relzione h() = g(t) e he trmite quest relzione risulti f() d = l(t) dt. In tl so, se simo in grdo di lolre un primitiv G(t) di l(t) e se t = ψ(), llor G(ψ()) è un primitiv di f(). Eo luni semplii esempi. Esempio. Clolimo os(5) d. Utilizzimo il mimento di vriili 5 = t, ovvero = 5 t. Si h: d = 5 dt. Allor: os(5) d = os(t) 5 dt = 5 os(t) dt = 5 sin(t)+ = 5 sin(5)+. Esempio. Clolimo + d. Utilizzimo il mimento di vriili = t, ovvero = t. Si h: d = tdt. Allor: + d = +t t tdt= ( + t ) dt = dt + t dt =t + 3 + = + t3 3 +. Esempio 3. Clolimo d. Utilizzimo il mimento di vriili = sin(t), t ( π, π ). Sppimo he tle mimento di vriili si inverte on t = rsin(), (, ). Inoltre d = d sin(t) = os(t) dt. Infine os(t) > 0, t ( π, π ). Allor: d = sin(t) os(t) dt = os(t) dt. Essendo os(t) +os (t) =, si h: d = os(t) dt = +os (t) dt = dt + os (t) 4 dt = t + 4 sin(t)+ = = rsin()+ 4 sin( rsin()) + = = rsin()+ 4 sin(rsin()) os(rsin()) + = = rsin()+ +. Esempio 4. Clolimo 4 d.
CAP. 6.3 CALCOLO DELL INTEGRALE INDEFINITO 0 Utilizzimo il mimento di vriili =. Allor = + e d = d. Si h: 4 d = (+) 4 d = 4 +8 3 +4 +3+6 d = = 3 d +8 d +4 d+3 d +6 d = = 4 4 + 8 3 3 + +3 +6log()+ = = 4 ( )4 + 8 3 ( )3 +( ) +3( )+6log( ) + = = 4 4 + 3 3 + +8 +6log( ) + (on R). (B) Integrzione per prti. Dll Prop. (i) del prgrfo, sef, h sono due funzioni ontinue su un intervllo I ed internmente derivili, si h: (fh + hf )=fh+. Sfruttndo l linerità dell integrle indefinito, segue: (*) f() h () d = f() h() h() f () d. Utilizzndo il differenzile, l (*) divent (**) f() dh() =f() h() h() df(). [si noti he imo potuto omettere l ostnte d integrzione, in qunto inglot negli integrli indefiniti]. Se ssumimo he h () =g() [ioè h() = g() d + ], l (*) si risrive nell form f() g() d = f() ( g() d + ) ( f () g() d + ) d = = f() g() d + f() f () ( g() d ) d f () d. Poihé f() = f () d + d (on d R), si onlude he ) (***) f() g() d = f() ( g() d f () ( g() d ) d [imo nuovmente omesso l ostnte d integrzione d, in qunto inglot negli integrli indefiniti]. L (***) è dett formul d integrzione per prti. È utile qundo isogn integrre il prodotto di due funzioni ed uno dei due fttori è plesemente l derivt di un ltr funzione. L formul non port ll risoluzione dell integrle, m rinvi l lolo di un ltro integrle (forse più semplie). Per memorizzrl onviene utilizzre l formulzione (**). Eo luni semplii esempi. Esempio 5. Clolimo e d. Risult: e d = de = e e d = e e + = e ( ) +. Esempio 6. Clolimo sin() d. Risult: sin() d = dos() = os()+ os() d = os() + sin()+. Esempio 7. Clolimo log() d. Risult: log() d = log() dlog() =log() d = log() d = log() +. Esempio 8. Clolimo d. Risult: d = ( ) d d = ( ) dlog( ) =( ) log( ) log( ) d ( ) = =( ) log( ) log( ) d ( ) =
0 G. CAMPANELLA APPUNTI DI CALCOLO =( ) log( ) ( ) log( )+( )+ = = +( ) log( )+ [per un opportuno R]. Osservzione. L integrle di molte semplii funzioni non può essere ottenuto on metodi d integrzione elementre. Segnlimo lune di queste funzioni: = sin(),= os (),= e,= e log(),=. k Conludimo on due semplii esempi di integrli di funzioni rzionli, he si risolvono in generle on trsformzioni del tipo di quelle he or presentimo. Esempio 9. Clolimo ( )( ) d. Se determinimo A, B R tli he ( ) ( )( ) = A + B, srà poi semplie lolre l integrle di isuno dei due ddendi. Per determinre A, B st sommre i due ddendi del seondo memro di ( ) ed uguglire d il numertore ottenuto. Si h: Ne segue Dunque =A ( )+B ( ), d ui = (A + B) A B. { { A + B =0 A = ioè Pertnto A + B =, B = A. ( )( ) = ( ). ( )( ) d = [ d d] ] = [ log( ) log( ) +. Esempio 0. Clolimo ( ) d. Se determinimo A, B, C R tli he ( ) = A + B + C l integrle di isuno dei tre ddendi. Si h:, srà poi semplie lolre =A ( ) + B ( ) + C, ioè A A + B B + C =. Ne segue: = (A + C) +(B A) B e quindi A = B =, C=. Pertnto ( ) d = d + d + d = log()+log( ) + + = log( )+ +.