FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [, l funzione integrle: I(b) b w dw ess è un funzione crescente dell vribile b, poiché l funzione integrnd è positiv. Dimostrimo che I(b) è limitt. D ( w ) ( w) si ottiene: b b dw w w dw w b ( b) Per il teorem sul limite dell funzione monoton, esiste finito il limite lim b I(b). Si pone per definizione: Poiché, si ottiene: b dw lim dw w b w d d dw w e inoltre: lim dw w per cui possimo dire che vle per. Se >, un nlogo significto h l integrle: w dw
Funzioni circolri Si s l doppi re del settore circolre di rggio e con centro l origine, il cui rco h estremi in A(, ) e in P (, y), con [, ] e y. Se fccimo un disegno ottenimo: s re tringolo OP P + re T con P (, ) e T il trpezoide definito dlle disuguglinze, y. Integrndo per prti l funzione y si ottiene: s y + y d [ y y + y + [( y) y y y ] dy d dy] d y d + d Poiché i primi due termini dell ultim espressione dnno s, portndoli ll inizio e dividendo per ottenimo: s d w dw Prendendo or (, y) vribile nell rco sul primo qudrnte, ottenimo l funzione re: s w dw Poiché non dipende dl rggio m solo dll mpiezz dell ngolo, per uno stesso ngolo l integrle definito non dipende dl rggio; il rpporto α s si chim misur in rdinti dell ngolo, per cui l re del settore è dt d s α. In prticolre per il circolo unitrio + y si ottiene: s α Se integrssimo in verticle otterremmo: s α y def dw rccos con [, ] w def dw rcsin y con y [, ] w Nelle formule precedenti il legme tr e y è dto d y. Le funzioni trovte sono derivbili con derivt continu, perché sono funzioni integrli. Derivndo si vede immeditmente che rccos è decrescente e concv mentre rcsin è crescente e convess, nei domini indicti. Chimndo π l misur in rdinti di un qurto di giro, si h rccos e rcsin mndno l intervllo [, ] su tutto l intervllo [, π ]; chimndo cos α e sin α le inverse di rccos
3. FUNZIONI IPERBOLICHE 3 e rcsin y nei domini indicti, si ottengono le equzioni prmetriche dell rco di circolo unitrio nel primo qudrnte: { cos α y sin α D qunto detto si possono dedurre le proprietà delle funzioni trigonometriche, interpretndo l funzione vvolgimento come l doppi re spzzt dl rggio vettore del circolo unitrio. Come esempio dimostrimo l formul di dupliczione, con y < π 4. Se α rcsin y y dw llor y sin α e cos α w y. Dobbimo dimostrre che y y y sin α, ovvero che se l estremo di integrzione è y y llor l ngolo è α. In formul: y y y du dv u v formul di fcile verific con l sostituzione u v v, oppure derivndo membro membro (per y < π 4 ). 3 Funzioni iperboliche Esercizio Sino f(s) e g(s) due funzioni derivbili tli che df g e dg che (f(), g()) (, ). Dimostrre che: f. Si suppong f(s) es + e s g(s) es e s (Sugg.: le funzioni e s (f(s) + g(s)) e e s (f(s) g(s)) hnno derivt... ) L equzione dell iperbole equilter di semisse >, riferit gli ssi, è: y Si osservi che l omoteti di rpporto b trsform tle iperbole nell iperbole y b (ovvimente due punti omotetici sono llineti con l origine). Considerimo il rmo di iperbole con e prendimo su di esso un punto P (, y) con y. Il settore iperbolico reltivo ll rco di estremi P (, y) e P (, y) è l regione pin delimitt dll rco e di rggi che congiungono il centro O con gli estremi dell rco. Voglimo determinre l re s del settore iperbolico. Se fccimo un disegno ottenimo: s re tringolo OP P re T ove T il trpezoide definito dlle disuguglinze, y.
4 Integrndo per prti l funzione y si ottiene: s y y d [ y y y [( y ) y + y + y + ] dy d dy] + d y d + d Poiché i primi due termini dell ultim espressione dnno s, portndoli ll inizio e dividendo per ottenimo: s d w dw Se or (, ỹ) è il trsformto di (, y) trmite l omoteti di rpporto b, si h + ỹ b e l ngolo del settore iperbolico individuto d quest ultimo punto sull nuov iperbole è lo stesso di quello individuto d (, y). Indicndo con s e s b le ree dei settori delle due iperboli, si h: s dw w b dw w s b b Per questo motivo non si perde di generlità supponendo. Per l iperbole y, indicndo con (, y) l estremo dell rco nel primo qudrnte, si h che l re del settore iperbolico è dt d: s w dw con Se integrssimo in verticle (esercizio) otterremmo (per l iperbole y ): Per definizione si pone: s s y s y dw con y w + dw settcosh w con () w + dw settsinh y con y Per l continuità già segnlt dell funzione integrle si h: settcosh settsinh Clcolndo le derivte si h: d settcosh d d y d settsinh y dy dy y +
3. FUNZIONI IPERBOLICHE 5 per cui le funzioni sono monotone crescenti. Il clcolo dell derivt second mostr che esse sono concve. Un minorzione sugli integrli mostr che il limite + vle +. Pertnto esse sono un omeomorfismo su tutto l intervllo [, + [. Le funzioni inverse, definite per or con s, si chimno cosh e sinh. Invertendo () bbimo le equzioni prmetriche del rmo di iperbole nel primo qudrnte: { cosh s s y sinh s Le funzioni cosh s e sinh s sono crescenti per s perché inverse di funzioni crescenti. Poiché y, settcosh settsinh, si h: Derivte: cosh s sinh s, cosh, sinh d cosh s d sinh s Per l esercizio () si ottiene: d d dy dy cosh s es +e s y sinh s es e s y sinh s y + cosh s Si osservi che le espressioni scritte hnno significto nche per s < ; cosh s risult pri, sinh s risult dispri. Pertnto sinh s è invertibile su tutto R, mentre cosh s è invertibile per s. Per i grfici si rimnd [DM.4]. Come nel testo, dll rppresentzione esplicit di cosh s e sinh s si ricv l rppresentzione esplicit di: settcosh log( + ) con settsinh y log(y + + y ) con y R È istruttivo ricvre le stesse formule d un ltro punto di vist, lvorndo sull rco di iperbole nel primo qudrnte. Ricordimo che settcosh h per differenzile d y d mentre settsinh y h per differenzile dy y + dy. Utilizzimo l sostituzione di Eulero, intersecndo l rco di iperbole con un fscio di rette prllele ll sintoto y t. Poiché e y deve essere t. Cercndo l intersezione bbimo: { y t + t d cui t + t e dunque: y +t t y t Se invertimo, tenendo conto delle condizioni, ottenimo: { t t t y + y +
6 Integrndo per sostituzione i differenzili y d e dy ottenimo: ( ) + t y d t t d t t + t t t dt log t t t t( + t ) dt Tornndo si ottiene: d log( ) log( + ) Poiché l primitiv trovt vle in, ess coincide effettivmente con settcosh. Anlogmente si trov che: dy... dt log t t Tornndo y si ottiene: y + dy log( y + y + ) log(y + y + ) Poiché l primitiv trovt vle in, ess coincide con settsinh y. BIBLIOGRAFIA [DM] G. De Mrco, Anlisi Uno, Decibel-Znichelli.