APITOLO VII ONFRONTI TRA RETTE, ALOLO DELLA RETTA ON Y RIPETUTE, ON VERIFIA DI LINEARITA E INTRODUZIONE ALLA REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 7.. ofroto tra due rette d regressoe co l test t d Studet e calcolo della retta comue 7.. ofroto tra put su due rette d regressoe 4 7.3. ofroto tra pu rette d regressoe co l test F, calcolo della retta comue e tervall d cofdeza 7 7.4. ofrot multpl tra pù coeffcet agolar 7 7.5. Aals della relazoe dose-effetto co y rpetute: calcolo della retta d regressoe e test per la learta' 8 7.6. alcolo de term della regressoe, medate coeffcet polomal 40 7.7. Test d learta co y rpetute, campo o blacat 47 7.8. e sulla regressoe pesata e della sua calbrazoe 55 7.9. La regressoe ell aals della varaza a pu crter 58 7.0. odzo d valdta della regressoe co l aals de resdu; test per la costaza della varaza d errore (Levee modfcato e Breusch-Paga o oo-wesberg), trasformazo per la retta 6 7.. Scelta de valor d x, per ua regressoe sgfcatva 69 7.. La regressoe leare multpla e l modello geerale d regressoe leare 7
APITOLO VII ONFRONTI TRA RETTE, ALOLO DELLA RETTA ON Y RIPETUTE, ON VERIFIA DI LINEARITA E INTRODUZIONE ALLA REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 7.. ONFRONTO TRA DUE RETTE DI REGRESSIONE ON IL TEST t DI STUDENT E ALOLO DELLA RETTA OMUNE I coeffcet agolar delle rette d regressoe possoo essere post a cofroto, co cocett e metod del tutto aalogh a quell utlzzat per le mede. Ache sotto l'aspetto cocettuale, le rette soo mede, quato - dcao la rsposta meda d Y per u dato valore d. Quest test, dett d parallelsmo poché le rette co lo stesso coeffcete agolare soo parallele, servoo per - verfcare la sgfcatvtà delle dffereze tra due o pù coeffcet d regressoe, medate la dstrbuzoe t o la dstrbuzoe F. Grupp J P Id. Y Y... Y... p Y p x y y... x y... p y p x y y... x y... p y p ---.............................. I x y x Y... x y... p y p ---.............................. M x m y m x m y m x m Y m mp y mp Mede Y Y... Y... p Yp
Quado s dspoe d dat d regressoe che soo stat classfcat due o pù grupp, all'tero d oguo d ess è possble ammettere l'essteza d ua regressoe leare d Y su. ome esempo, può essere cosderato l cofroto - della relazoe tra l peso e l'altezza u gruppo d masch ( b ) - u altro della relazoe tra l peso e l'altezza u gruppo d femme ( b ) oppure tra pù grupp classfcat per classe d età (gova( b ), adult( b ), aza( b 3 )). I dat d p grupp, oguo co osservazo spermetal, possoo essere rportat ua tabella come la precedete, utle per la presetazoe de dat e per la compresoe delle formule. I essa per og gruppo soo rportat valor sa della varable sa della varable Y. Due o pù rette d regressoe possoo dfferre per - la pedeza o coeffcete agolare b, - la poszoe (elevato), che rappreseta u cocetto leggermete dfferete da quello dell tercetta, ache se fodametalmete cocdete Metre - per la pedeza l cofroto utlzza valor de coeffcet agolar b, - per l tercetta l cofroto utlzza valor a, - per la poszoe (elevato) l cofroto verfca la stessa potes dell tercetta, ma seza utlzzare l cofroto tra valor delle tercette a perché per 0 l valore d Y potrebbe essere prvo d sgfcato o comuque o segure la legge leare stmata u campo d osservazo lotao da esso. Ad esempo, ella stma della relazoe tra altezza () e peso (Y) u gruppo d persoe, o esste ua persoa co altezza 0. Se s msura la relazoe tra la capactà respratora (Y) persoe d vare età () ma sempre adulte, o è detto che la stessa relazoe sa valda ache per u eoato (co 0). Ioltre, l uso statstco dell tercetta a elle dscple bologche s scotra co l grave lmte che - ha u errore stadard molto grade, come mostrato el captolo precedete. D cosegueza, per valutare la sgfcatvtà della dffereza tra due poszo (elevatos), var autor rtegoo pù corretto e vataggoso rcorrere a altr metod. Il rsultato de cofrot tra rette mplca scelte successve. Se l test sulla pedeza tra pù grupp o rfuta l potes ulla (β β β 3 ), può essere utle stmare u coeffcete agolare comue.
Se ache l test sulla poszoe o rfuta l potes ulla (α α α 3 ), per gl stess grupp s può calcolare ua retta comue, che esprma la relazoe tra le e le Y d tutta la popolazoe. Il cofroto per l parallelsmo tra due rette d regressoe, - la prma co coeffcete agolare b calcolato su u campo d dat - la secoda co coeffcete agolare b calcolato su u campo d dat può essere realzzato co l test t d Studet, per verfcare l potes ulla H 0 : β β cotro ua delle potes alteratve (che possoo essere sa blateral che ulateral) H : β β ; oppure H : β < β oppure H : β > β Questo test t d Studet ha u umero d gdl ( ) + ( ), quato utlzza le varaze d errore delle due rette; spesso gdl complessv soo dcat come N - 4, dove N è l umero totale d osservazo de due grupp. Il valore d t (N-4) è calcolato co b b t (N-4) es dove - ( b b) ( bb ) es è l'errore stadard della dffereza tra due coeffcet agolar b e b e è otteuto da dove es ( b b ) S( bb ) + ( Y Y ) + ( Y Y ) S ( b b) + + ( ) ( ) Se l potes ulla H 0 : β β o vee respta, partcolare quado la probabltà P rsulta alta, maggore d 0.0-0.0, è accettable assumere che due coeffcet agolar b e b sao ugual. 3
Se s rfuta l potes ulla, a volte è utle cooscere quale sa l loro puto d tersezoe, che ha coordate e Yˆ : - dapprma s calcola l valore d - successvamete da esso s rcava la stma d Yˆ a a b b co oppure co Yˆ Yˆ a b + a b + Quado o s rfuta l potes ulla, molto frequetemete s rchede ache d calcolare - l coeffcete agolare medo o comue b che è otteuto el modo pù rapdo dal rapporto tra - la somma delle due codevaze e - la somma delle due devaze d b ( ) ( Y Y ) + ( ) ( Y Y ) ( ) + ( ) La sua varaza S b( ) è uguale alla S rportata sopra. ( b b ) ome è stata verfcata l potes ulla sulla pedeza, pure co lmt evdezat precedeza può essere verfcata quella sulla tercetta, co l potes ulla H 0 : α α cotro potes alteratve che possoo essere sa blateral che ulateral: H : α α ; oppure H : α < α oppure H : α > α S utlzza acora u test t, sempre co gdl N - 4 t N 4 a a S aa 4
5 dove ( ) ( ) + + + ) ( e a a S S Per stmare la sgfcatvtà della dffereza tra le due poszo (elevatos), co u test t che può essere sa ulaterale sa blaterale, s può applcare (co gdl N 3) ( ) ( ) ( ) + + + e A S b Y Y t ) ( 3) ( dove - e( ) S rappreseta la varaza d errore comue, rcavata da due grupp ( e ) de dat orgar co la sere d passagg logc e calcol successv. Dapprma dalle devaze e codevaze s stmao - ( ) ( ) + A - ( ) ( ) ( ) ( ) + Y Y Y Y B - ( ) ( ) + Y Y Y Y Da quest s rcavao - l coeffcete agolare comue b A B b - la devaza d errore comue ) SQ e( e A B SQ ) (
cu gdl soo N-3 e fe la varaza d errore comue S e( ) S e( ) SQe( ) N 3 sempre co gdl N-3 s applca l test t, che ha DF N 3(come la devaza e la varaza d'errore), co t ( N 3) S ( Y Y ) b ( ) ( ) e ( ) + + A Se le due rette a cofroto o soo sgfcatvamete dfferet (co ua probabltà alta, o prossma al valore crtco sgfcatvo) - é per l coeffcete agolare - é per la poszoe (elevato) s può dedurre che appartegoo alla stessa popolazoe e qud hao la stessa equazoe d regressoe o la regressoe comue: Yˆ a + b dove - b è calcolato come dcato precedeza, metre - a è rcavato da a Y P b P co Y P e P che soo le mede poderate de due grupp Y + Y Y P + e + P + ESEMPIO. ome dmostrazoe d tutt passagg logc e metodologc descrtt precedeza, s assumao due campo ( e ) o blacat d dvdu adult che svolgoo ua attvtà fsca dversa, per valutare se hao u valore d pressoe saguga dfferete (Y), rapporto all'età (). Svluppado tutt suo passagg l esempo tratto dal testo d Zar, 6
) calcol prelmar dedott dalla sere d dat (due sere campoare d,y e,y ) hao forto seguet rsultat: Stme prelmar dalle dstrbuzo de dat ampoe ampoe ( ) ( Y Y ) ( ) ( Y Y ).0.659 Y.68 3.849 Y Y Y.585.475 54,6 56,9 Y 70, 6,9 3 5 ) Da ess s rcavao due coeffcet agolar co le loro tercette e qud le rette Rette ampoe ampoe b.585,566.0.475,.659 49 a 70,,566 54,6 84, 7 6,9,49 56,9 78, 0 Yˆ a + b Yˆ 84,7 +, 566 Yˆ 78,0 +, 49 3) Per gugere al test d sgfcatvtà della dffereza tra due coeffcet agolar e la poszoe, 7
s rcavao le devaze d errore e df relatv ampoe ampoe Devaza d errore.585.68 36.0.475 3.849 57.659 DF 3 5-3 e da ess s pervee alla varaza d errore assocata o comue che è S e ( ) 36 + 57 93, + 3 4 4) Ife l test per l parallelsmo, coè per la verfca dell potes H 0 : β β cotro H : β β (potrebbe ache essere ulaterale, ma questo caso la domada è d tpo blaterale), può essere effettuato co l test t d Studet t (+ 3),566,49,.0 +,.659 t 0,074 0,074 0,095 0,396 ( 4) e s ottee (t 4 )0,53 E' u rsultato o sgfcatvo, poché l valore d t calcolato (0,53) è ettamete ferore a quello crtco per α 0.05 ua dstrbuzoe blaterale co gdl 4. Az, l valore è addrttura vco a quello per α 0.5; la probabltà P così alta che s può affermare che le due rette soo parallele. 0,53 5) Successvamete s passa al cofroto tra le due poszo, per verfcare l potes H 0 : le due rette hao la stessa poszoe cotro H : le due rette o hao la stessa poszoe 8
Dopo aver calcolato - ( ) + ( ) A.0 +.659.67 - ( ) ( Y Y ) + ( ) ( Y Y ) B.585 +.475 4.060 - ( Y Y ) + ( Y Y ).68 + 3.849 6.467 s rcavao - l coeffcete agolare comue b B 4.060 b, 500 A.67 - la devaza d errore comue SQ e( ) SQ B 4.060 6.467 6.467 6.7 96 A.67 e ( ) cu gdl soo N-3, coè 7-3 4 - e fe la varaza d errore comue S e( ) SQ e( ) 96 Se ( ), 3333 N 3 4 6) Per la verfca s applca l test t co DF N 3 (coè 7 3) 4 t ( N 3) S ( Y Y ) b ( ) ( ) e ( ) + + A ( 70, 6,9),5 ( 54,6 56,9) ( 54,6 56,9),33 + + 3 5.67 7,3 ( 3,5) 0,8,33 0,46,34 ( 4) t 8,06 otteedo (t 4 )8,06. 9
Poché la tabella de valor crtc per α 0.00 blaterale (a causa della domada sulla essteza della sola dffereza) rporta 3,745 s rfuta l potes ulla co probabltà P ettamete more d 0.00. 7) S deve qud cocludere che esstoo due rette d regressoe, che - hao lo stesso coeffcete agolare b - ma o hao la stessa poszoe (elevato). I altr term, due grupp soo caratterzzat da due rette dfferet, che hao lo stesso coeffcete agolare b ma due tercette a dfferet. La rappresetazoe grafca evdeza l loro parallelsmo: - hao coeffcet agolar b ugual, ma tercette a dfferet. Le statstche delle due rette stmate soo - per l gruppo - per l gruppo Yˆ Yˆ a + b 84,7 +, 5 a + b 78,0 +, 5 0
8) Se l ultmo test o fosse rsultato sgfcatvo, s sarebbe dovuto cocludere che esste ua sola retta d regressoe, che ha - l coeffcete agolare comue b,5 - e la poszoe d Y comue (o tercetta a comue poché l cocetto rmae valdo, ache se l metodo o le ha utlzzate per l cofroto). Questa tercetta comue può essere calcolata a partre dalle due mede poderate - delle Y, coè YP Y P Y + Y + 3 70, + 5 6,9,6 + 443,5 3 + 5 8 66,3 - e delle, coè P e rsulta uguale a 8,5. P a + + 3 54,6 + 5 56,9 709,8 + 853,5 3 + 5 8 YP b P 55,8 66,3,5 55,8 66,3 84,8 8,5 I coclusoe, se essuo de due test (l prmo sulla dffereza tra b, l secodo sulla dffereza fra a) fosse rsultato sgfcatvo, la retta comue sarebbe stata ˆ a + b coè Yˆ 8,5 +, 5 Y Altr test lmtao l cofroto delle rette a due coeffcet agolar. Ifatt l'tercetta quas sempre o ha sgfcato bologco. Qualuque sa l rsultato statstco d b e a, è sempre mportate evdezare l terpretazoe bologca e ambetale. ESEMPIO. S cofrota la capactà respratora (Y, msurata ltr) d 40 soggett espost da a alle esalazo d admo (gruppo ) co quella d 44 lavorator o espost (gruppo ), cosderado l effetto dell età (, msurata a). ) Dalla dstrbuzoe de dat s rcavao le stme prelmar per l test, otteedo
Stme prelmar dalle dstrbuzo de dat ampoe ampoe ( ) ( Y Y ) ( ) ( Y Y ) 4.397 6.97 Y 6,58 0,6 Y Y Y -36,39-89,7 4,38 39,80 Y 3,9 4,46 40 44 ) Da ess s rcavao due coeffcet agolar, co le loro tercette e qud le due rette Rette ampoe ampoe b 36,39 0,0538 4.397 89,7 0,0306 6.97 a 3,9 ( 0,0538 4,38) 6, 5 4,46 ( 0,0306 39,80) 5, 68 Y ˆ a + b Yˆ 6,5 + ( 0,0538 ) Yˆ 5,68 + ( 0,0306 ) 3) Per gugere al test d sgfcatvtà della dffereza tra due coeffcet agolar, s devoo rcavare le loro devaze d errore (d solto co la formula abbrevata come per calcol rportat) e df relatv come ella tabella seguete
Devaza d errore ( ) ampoe ampoe Y Yˆ 36,39 89.7 6,58 3, 87 0,6 4, 80 4.397 6.97 DF 40 38 44-4 e da ess pervere alla loro varaza assocata o comue S e( ) che è 3,87 + 4,80 8,76 38 + 4 80 S e ( ) 0,3584 4) Ife l test per l parallelsmo, coè la verfca dell potes H 0 : β β cotro H : β β (potrebbe ache essere ulaterale, ma questo caso la domada era d tpo blaterale), può essere effettuato co l test t d Studet t (38+ 4) 0,0538 ( 0,0306) 0,3584 4.397 + 0,3584 6.97 t 0,03 80 0,0004,966 Poché valore assoluto l rsultato (,966) è more del valore crtco (,990) rportato ella tabella del test t d Studet co gdl 80 per la probabltà α 0.05 blaterale, - o è possble rfutare l potes ulla. Tuttava, dato l umero o molto alto d osservazo e la vcaza al valore crtco, s può parlare d sgfcatvtà tedezale. Acora ua volta è utle sottoleare l mportaza dell potes che s vuole verfcare e qud della esatta coosceza del problema dscplare, che o deve ma essere dsguta dalla coosceza della tecca statstca: se la domada fosse stata d tpo ulaterale, la probabltà stmata sarebbe stata leggermete maggore d 0.05 e qud s sarebbe evdezata ua dffereza sgfcatva tra due coeffcet agolar. 3
7.. ONFRONTO TRA PUNTI SU DUE RETTE DI REGRESSIONE Quado el cofroto tra due rette s è rfutata l potes ulla per uo solo de parametr ( α, β ) o per etramb, qud s hao due rette sgfcatvamete dfferet, può essere utle - verfcare se soo tra loro sgfcatvamete dfferet due put Yˆ collocat sulle due rette dfferet, ma avet lo stesso valore d. Ad esempo, ella rcerca applcata può essere chesto d verfcare - medca se la capactà respratora ( Yˆ ) d due persoe della stessa età ( ), l prmo apparteete al gruppo degl ammalat ( Y ˆ ) e l secodo al gruppo d cotrollo ( Yˆ ), soo statstcamete dfferet e loro valor med; - chmca se l volume ( Yˆ ) d due sostaze dfferet ( e ), per le qual esste ua crescta leare dfferete al varare della temperatura, è sgfcatvamete dverso alla stessa temperatura ( - farmacologa se l effetto d due farmac ( Yˆ e ma sempre d tpo leare, è sgfcatvamete dfferete alla stessa dose ( Yˆ ); ) co ua relazoe dose - effetto dfferete, ). I term pù formal, s vuole verfcare H 0 : µ ˆ µ Y Yˆ cotro H : µ ˆ µ Y Yˆ co u test t che può essere sa blaterale che ulaterale. Il valore del t co df N - 4 è dove t N 4 Yˆ ˆ Y S Yˆ Yˆ S S + + ( ) ( ) Yˆ Y e ( ) + ( ) ( ) co la stessa smbologa utlzzata el paragrafo precedete. 4
ESEMPIO. Relaborado dat d Jerrold H. Zar el testo del 999 Bostatstcal Aalyss (4 th ed. Pretce Hall, Upper Saddle Rver, Ney Jersey II + 663 + App. pp.), s suppoga d aver stmato la relazoe dose - effetto d due farmac ( e ) Y 97 ˆ 0,57 +, Y 7 ˆ 4,9 +, co due campo ( e ) cu valor hao dato Stme prelmar dalle dstrbuzo de dat ampoe ampoe ( ) ( Y Y ).47.7 3.300 0.964 ( ) ( Y Y ) 4.363 499,93 8,95 6 30 S vuole sapere se per la dose 3, l effetto de due farmac è sgfcatvamete dfferete. Rsposta. ) o valor gà calcolat e due grupp per stmare le due rette, s rcavao le due devaze d errore e df relatv ampoe ampoe Devaza d errore ( SQ e ) 4.363 3.300 359,3.47 4.99 0.964 70,8.7 DF 6 4 30-8 5
e da ess s pervee alla loro varaza assocata o comue che è S e ( ) 359,3 + 70,8 630,, 4 + 8 5 ) Successvamete, per la dose potzzata ( 3), s calcola - l effetto sulle dverse rette ( Y ˆ e Y ˆ ) che s vogloo cofrotare Y 0,57 +,97 3 49,8 ˆ Y 4,9 +,7 3 53, ˆ otteedo Y ˆ 49,8 e Y ˆ 53, 3 ) Ife co l test t t 4 + 8, 6 + 30 49,8 53, + ( 3,93) ( 3 8,95).47 +.7 t 3,94 3,94, 0,544,37 5,87 s ottee t -,87 co gdl 5. La tabella de valor crtc co df 5 rporta -,674 per α 0.0 u test blaterale e per α 0.005 u test ulaterale. D cosegueza, - s rfuta l potes ulla alle due probabltà dcate. Ovvamete tra esse deve essere utlzzata quella collegata al tpo d potes alteratva che è stata formulata al mometo dell eucazoe del problema. Acora ua volta rtora l problema d o effettuare e u test per ua sgfcatvtà geerca, ma rapporto stretto co l potes che s tede verfcare. 6
7.3. ONFRONTO TRA PIU RETTE DI REGRESSIONE ON IL TEST F, ALOLO DELLA RETTA OMUNE E INTERVALLI DI ONFIDENZA Tutt test attuat e due paragraf precedet su due campo dpedet possoo essere estes al caso d pù campo. ome el cofroto tra mede, s passa dall uso del t d Studet al test F d Fsher. La sgfcatvtà delle dffereze tra pù coeffcet d regressoe può essere verfcata medate l aals della varaza, co potes ulla H β β... β... β 0 : p ed potes alteratva H β β β β o soo tutt ugual :,,...,,..., p ella codzoe che - le varaze d errore de var grupp sao omogeee. I passagg logc soo: ) Se s assume come vera l'potes ulla che soo tra loro tutt ugual, var coeffcet agolar calcolat ( b ) rappresetao varazo casual dell'uco vero coeffcete agolare ( β ), la cu stma mglore è forta dal coeffcete d regressoe comue ( b ), calcolato come rapporto tra la sommatora delle codevaze e quella delle devaze total d : b c ( ) ( Y Y ) ( ) ) A questo coeffcete agolare comue è assocata ua quota d devaza della Y (Dev. c devaza comue) par a Dev b ( ( ) ( Y Y ) ( ) 3) Per og -esmo gruppo la retta d regressoe è data da ( ) $Y Y + b 7
Y Y^ Y^ (c) _ Y Y Se le vare rette a cofroto possoo essere cosderate tra loro parallele, ello stesso modo la stma del valore medo comue della Y ( Y $ c ) per è data da Yˆ c Y + b ( ) 4 ) ome rportato el grafco precedete, lo scostameto d og sgola osservazoe Y dalla meda del propro gruppo Y può essere dvso tre quote: - del puto dalla retta del suo gruppo (Y Y ), - della retta del gruppo da quella comue ( Y $ Y $ ), - della retta comue dalla meda geerale ( Y $ Y ) c c ( ) ( $ $ ) ( $ ) Y Y Y Y + Y Y + Y Y J c c 8
5) Le rspettve devaze, ossa la somma de quadrat d quest scart, co grupp o rette a cofroto e co u umero totale d osservazo par a N possoo essere rpartte modo del tutto smle a quato gà fatto ell ANOVA a u crtero: I - devaza totale etro grupp co gdl N- corrspodete alla somma delle devaze total d og gruppo, II - devaza resdua toro alle rette separate co gdl N- corrspodete alla somma delle devaze d errore d og retta, III - devaza della regressoe d og retta co gdl otteuta sottraedo la alla, IV - devaza dovuta alla retta comue, co gdl o d parallelsmo, data dal rapporto tra l quadrato della somma delle codevaze e le devaze d, V - devaza dovuta alle dffereze tra rette, co gdl - o d scostameto dal parallelsmo, otteuta sottraedo la 4 alla 3. 6) Idcado - la somma de quadrat degl scart d rspetto alla sua meda el gruppo -esmo co ( Sx ) ( ) - la somma de quadrat degl scart d Y rspetto alla sua meda Y co ( Sy ) ( Y Y ) - la somma de prodott degl scart d e Y rspetto alle loro mede co l calcolo delle devaze è mostrato co semplctà. ( xy) ( ) ( Y Y ) Utlzzado, per semplctà d calcolo, le formule abbrevate s ottee - la devaza etro grupp co ( Sy ) 9
co gdl N- (dove è l umero d grupp o rette) - la devaza dovuta alla retta comue o al coeffcete agolare comue co co gdl ( Sxy) ( Sx ) - la devaza dovuta alle dffereze tra coeffcet o alle dffereze tra rette: co gdl. ( Sxy) ( Sx ) ( Sxy) ( Sx ) Dal loro rapporto s rcava la varaza dovuta alle dffereze tra coeffcet agolar ( S ) b - la devaza resdua toro alle rette separate: co gdl N. ( Sy ) ( Sxy) ( Sx ) Dal loro rapporto s ottee la varaza d errore toro alle rette separate ( S ) e 7) L'aals della varaza per verfcare la sgfcatvtà delle dffereze tra coeffcet d regressoe è u test F co gdl - e N-. E otteuto medate l rapporto tra S F, N S - la varaza delle dffereze tra coeffcet d regressoe leare scostameto dalla regressoe - la varaza del resduo toro alle rette separate b e S e o varaza d errore. S b detta ache varaza d ESEMPIO. Svluppado u esempo rportato u testo a grade dffusoe terazoale (Armtage e Berry rpetutamete ctato come testo d rfermeto), s suppoga d voler verfcare se esste ua dffereza sgfcatva tra coeffcet agolar d tre rette dfferet, stmate ella relazoe tra 0
capactà respratora ( ltr) e età ( a tre grupp (o blacat) d persoe dversamete esposte a fattor d rscho. Rsposta. ) Per verfcare l potes ulla H 0 : β β β3 cotro l potes alteratva H : β, β, β3 o soo tutt ugual dalla dstrbuzoe de dat Grupp 3 Id. Y Y 3 Y 3 y x y x 3 y 3 y x y x 3 y 3 ---.................. m y m x m y m x m3 Y m3 Mede Y Y 3 Y3 soo stat rcavat seguet valor Stme prelmar da dat ampoe ampoe ampoe 3 ( ) ( Y Y ) ( ) ( Y Y ) 9.8 6.97,74,55 0,6-77,64-06, -89,7 b 77,64-0,085 9 06, -0,0465.8 89,7-0,0306 6.97 8 44
) Da ess, per semplce somma delle devaze e delle codevaze de var grupp, s ottegoo valor total e l coeffcete agolare comue b Somme d Devaze e odevaze de grupp Valor e Total ( ) J ( Y Y ) J 9 +.8 + 6.97 9.39,74 +,55 +,6 44,90 ( ) ( Y Y ) J b (-77,64)+ (-06,) + (-89.7) -373,57 373,57-0,0398 9.39 N 84 evdezado che la devaza d errore totale è SQ e(tot ) 44,90 e ha gdl N - coè 84 3 8 4) Da quest Total de grupp s rcavao: I - La devaza dovuta alla retta comue o al coeffcete agolare comue ( SQ ); co b ( Sxy) ( Sx ) 9. 39 373,57 4,86 è SQ b 4,86 e ha gdl II La devaza d errore per le rette separate ( SQ ); co b
ampoe ALOLI SQ b 77,64,74,74 6, 6 5,3 9 06,,55.8,55 4,94 7,6 3 89,7 0,6 0,6 5, 8 6.97 4,80 TOTALE ------------- 7,54 è SQ b 7,54 e ha gdl N coè 84 6 78 III La devaza dovuta alla dffereza tra coeffcet agolar SQ b può essere otteuta (D) due mod dfferet: a) per sottrazoe da quella d errore totale delle due dovuta alla regressoe comue e alle sgole rette d regressoe SQ e(tot ) - SQ b - SQ b SQ b ( D ) co gdl ugual a 44,90 4,86 7,54,50 (N ) (N ) - 8 78 coè 3 b) da sgol valor delle codevaze de coeffcet agolar e quello comue 77,64 9 06, +.8 89,7 + 6.97 373,57 9.38 6,6 + 4,95 + 5,8 4,87,50 5) Allo scopo d avere ua vsoe geerale e per meglo compredere successv test F, è sempre utle costrure la tabella dell ANOVA 3
Fote d varazoe Devaze DF S F P Etro grupp 44,90 8 --- --- --- oeff. Ag. omue 4,86 4,86 4,09 < 0.00 Fra oeff. Ag.,50,5 3,54 > 0.05 Errore per oeffcete 7,54 78 0,353 --- --- S verfca - la sgfcatvtà del coeffcete agolare comue b medate l test F F 4,86 0,353,78 4,09 Poché l valore crtco co df e 70 (78 è rportato poche tabelle) alla probabltà α 0.00 blaterale è 3,3 s rfuta l potes ulla: esste ua tedeza comue altamete sgfcatva, ella relazoe tra età e capactà respratora. - la sgfcatvtà della dffereza tra coeffcet agolar b medate l test F F,5 0,353,78 3,54 Poché l valore crtco co df e 70 (78 è rportato poche tabelle) - alla probabltà α 0.0 blaterale è 3,3 - alla probabltà α 0.05 blaterale è 3,89 o s può rfutare l potes ulla, ache se la probabltà abbastaza vca al 5%. S può affermare, apputo perché è collocato tra l 55% e l 0%, che - o è dmostrata ma potrebbe esstere ua tedezale dffereza tra coeffcet agolar a cofroto. E sempre mportate osservare attetamete l grafco: la o sgfcatvtà della retta potrebbe suggerre che essta ua relazoe d tpo curvleo. Se questo metodo fosse stato applcato al caso precedete d due sol campo, s sarebbe otteuto u valore d F uguale a t. 4
Il cofroto tra tre coeffcet agolar è avveuto seza calcolarl e seza stmare é rappresetare grafcamete le tre rette. I vare stuazo, può essere utle pervere ache alla stma delle rette. Per questo dalla dstrbuzoe de dat e dalle stme precedet s rcavao Stme prelmar da dat ampoe ampoe ampoe 3 Totale Y 3,95 4,47 4,46 4,39 49,75 37,79 39,80 40,55 b - 0,085-0,0465-0,0306-0,0398 8 44 84 e co la formula geerale s stmao prma a Y b ampoe ALOLI a 3,95 (-0,085) 49,75 8,8 4,47 (-0,0465) 37,79 6,3 3 4,46 (-0,0306) 39,80 5,68 omue 4,39- (-0,0398) 40,55 6,00 e fe le rette ampoe 3 omue Y Retta 8,8 + ( 0,085) ˆ Y 6,3 + ( 0,0465) ˆ Y 5,68 + ( 0,0306) ˆ3 Y 6,00 + ( 0,0398) ˆ 5
U ulterore aspetto mportate per meglo compredere e terpretare rsultat è l calcolo dell tervallo d cofdeza de coeffcet agolar stmat. A questo scopo s utlzza - la varaza d errore 0,353 co suo 78 gdl - l valore d t che, scelto dalla tabella co gdl 78 e per α 0.05 blaterale, è uguale a,99 - la devaza della del gruppo oggetto otteedo per og gruppo e comue ampoe Lmt d cofdeza d b per α 0.05 L b L 3 omue 0,085 ±,99 0,353 9-0,4-0,085-0,0460 0,0465 ±,99 0,353.8-0,73-0,0465-0,07 0,0306 ±,99 0,353 6.97-0,0456-0,0306-0,056 0,0398 ±,99 0,353 9.39-0,0437-0,0398-0,0359 l lmte ferore L e quello superore L de rspettv coeffcete agolare b. Ua lettura atteta degl tervall d cofdeza mostra che l coeffcete agolare del campoe 3 è fuor dell tervallo d cofdeza d quello del campoe. Ma trattados d cofrot tra valor, o è corretto dedure ua dffereza sgfcatva, peraltro o dmostrata co l aals della varaza. Per valutare tra qual coeffcet agolar la dffereza campoara sa sgfcatva, è ecessaro - prma rfutare l potes ulla co l test F tra tutt campo, - successvamete rcorre a cofrot multpl, llustrat el paragrafo successvo. La lettura delle età mede ( 49,75; 37,79; 3 39,80) evdeza u forte effetto della dversa età meda e tre grupp sulla capactà respratora. Per cofrotare le mede delle Y 6
elmado l effetto delle età, s deve rcorrere all aals della covaraza, rporta ella parte fale del captolo dedcato alla regressoe. E la parte coclusva de test parametrc: abba l aals della regressoe a quella dell ANOVA. ome mostrato el caso d due campo, ache quello co campo l aals statstca può essere estesa a altre caratterstche della retta. E possble cofrotare - oltre a coeffcet agolar, - le tercette o poszo (elevatos), - l valore medo atteso su rette dverse, per la stesso valore della, - e valutare se soo complessvamete ugual (test for cocdetal regressos) oppure o. Per quest approfodmet s rva a altr test, tra qual - Zar Jerrold H., 999, Bostatstcal Aalyss, (fourth ed., Pretce Hall, Eglewood lffs, New Jersey, USA, pp.663 + 03app) 7.4. ONFRONTI MULTIPLI TRA PIU OEFFIIENTI ANGOLARI Rfutata l potes ulla H 0 : β β β p s tratta d verfcare tra qual coppe de p coeffcet agolar b la dffereza sa sgfcatva. La rsposta può vere da cofrot multpl a posteror, co metod del tutto aalogh a quell descrtt per l cofroto tra p mede, qual: - l metodo d Tuey, per cofrot semplc; - l metodo d Scheffé, per cofrot compless; - l metodo d Duett, per l cofroto d u cotrollo co p trattamet. Tra p coeffcet agolar (b, b,, b p ) è possble verfcare la sgfcatvtà della dffereza tra due qualsas b e b co potes ulla e potes alteratva blaterale H 0 : β β H : β β co l metodo d Tuey q α, ν, p b b s dove - q è l valore crtco rportato ella tabella del q studetzzato o ua sua evoluzoe, che cosdera ache pass d dstaza tra ragh de valor a cofroto, bb 7
- α è la probabltà prefssata per la sgfcatvtà, - ν soo gdl d sb b - p è l umero d grupp a cofroto. Il valore d sb b è sb b p s e [ ( ) + ( ) ] co gdl corrspodet a quell della varaza d errore, ell aals della varaza tra p coeffcet agolar a cofroto. Nel test d Scheffé e el test d Duett, vara solo la stma della probabltà α d og cofroto. 7.5. ANALISI DELLA RELAZIONE DOSE-EFFETTO ON Y RIPETUTE: ALOLO DELLA RETTA DI REGRESSIONE E TEST PER LA LINEARITA'. Nella rcerca d laboratoro e ella verfca d u prodotto farmacologco, spesso s rchede d saggare la rsposta bologca a dos varabl d u prcpo attvo, sa esso u farmaco o u tossco. S mpostao espermet e qual vegoo sommstrate quattà progressvamete crescet, per verfcare come vara la rsposta meda grupp d cave o pazet. I altr cas, s aalzza come - gl effett d ua dose varao el tempo o come ua sostaza attva s degrada. o valor d Y rpetut per la stessa dose, l aals della regressoe prevede che, per attuare la scelta pù adeguata fra var tp d curve, s rspoda a 4 domade: Il farmaco ha u azoe che vara co la dose? La rsposta è proporzoale alla dose? I term pù tecc, esste regressoe della rsposta sulla dose? 3 La regressoe è d tpo leare oppure può essere meglo espressa da ua curva d grado superore? 4 Se o è leare, quale è l tpo d curva pù adeguato? Queste quattro domade rchedoo l applcazoe d quattro test. 8
A - Il prmo è u'aals della varaza ad crtero d classfcazoe. Affché l aals della regressoe sa gustfcata, deve esstere varabltà elle rsposte mede: l test sulla dffereza tra le mede deve rsultare sgfcatvo. B - Il secodo è l test per la leartà, che ha lo scopo d valutare se ua retta d regressoe s avvca a put med delle rsposte ( Y ), forte per la stessa dose ( ), modo sgfcatvo rspetto alla meda geerale (Y ) delle Y. Ache questo caso, sempre per gustfcare l calcolo della retta, l test deve rsultare sgfcatvo. - Il terzo è l test per la o-leartà, allo scopo d verfcare se curve d grado superore passo pù vco a put med delle rsposte ( Y ) per la stessa dose ( ) modo sgfcatvo rspetto alla retta. S parla d verfca de term o lear o degl scart dalla regressoe. Per poter cocludere che la retta è la stma mglore della relazoe dose - rsposta, questo test deve rsultare o-sgfcatvo. D - Se vece rsulta sgfcatvo, medate l uso de coeffcet polomal per l aals delle regresso, co u quarto test s deve valutare quale sa l tpo d curva pù adeguata, ache se quas sempre s scegle quella d secodo grado. A causa della semplctà d terpretazoe e al fatto che solo esse soo geeralmete valde quas tutte le stuazo spermetal, le prefereze de rcercator vao alla retta e alla curva d secodo orde. Quelle pù complesse, d orde superore, soo regresso troppo specfche, soo troppo legate a dat campoar per esprme ua legge uversalmete valda. I questo paragrafo, soo presetat cocett e metod che rspodoo alle prme tre domade. Per la quarta, su come valutare quale sa la curva pù adeguata, è possble utlzzare coeffcet polomal, che rappresetao l metodo pù semplce e rapdo. I cocett e metod soo espost el paragrafo successvo. Nella mpostazoe d u espermeto cu s rcheda l aals della regressoe co Y rpetute, l prmo problema è quat grupp formare. Se, oltre al calcolo della retta d regressoe leare semplce, s tede effettuare ache le aals successve su term o lear, è vataggoso che grupp sao almeo 4. Spesso come massmo soo 6, quato le formazo aggutve soo rdotte e o gustfcao temp e cost dell espermeto. 9
Per la scelta del umero d grupp, è ecessaro decdere atcpatamete quale sa l tpo d curva desderato e l lvello della verfca. Ifatt - tra due sol put passa ua retta, rappresetata da u equazoe d prmo grado: Y a + b - fra tre put s può fare passare ua lea, rappresetata da u equazoe d secodo grado: Y a + b + c - tra quattro put s può fare passare ua lea, rappresetata da u equazoe d terzo grado: Y a + b + c + d 3 - e così d seguto, fo a 5-6 put med programmat. Nell aals della regressoe leare semplce, l operazoe rchesta cosste ell solare l terme leare. Tra le applcazo della regressoe, lo studo delle rsposte a dos progressve d ua sostaza attva è la pù frequete e forse la pù mportate. Otteere, come desderato, ua retta o sempre è facle. La lea che esprme la relazoe tra gl effett med ( Y ) d dos crescet d ua sostaza attva ( ) raramete è perfettamete leare, ache su tervallo breve, se la scelta de dosagg o è predsposta modo accurato e cetrata. Spesso se e dscosta modo rlevate, poché - dos molto pccole producoo effett ull o dffclmete rlevabl, quato collocat sotto l lvello d sogla; - solo dos mede producoo effett crescet; - dos elevate forscoo spesso la rsposta massma, avedo ragguto la saturazoe. Per otteere la leartà, è vataggoso che - le dos sommstrate seguao ua progressoe pertete al problema duscplare che s affrota. Essa può essere scelta etro ua varetà ampa. Nel paragrafo successvo, dedcato all uso de coeffcet polomal, sarà rchesto ecessaramete. Ad esempo, può essere d tpo - leare, 4, 6, 8, 0 (, +.. ); 3, 6, 9,, 5 (3, +3 ); - espoezale o logartmca, 4, 8, 6, 3 (,, 3, 4, 5 ) - o acora, 4, 9, 6, 5 (,, 3, 4, 5 ), - ma ache,4;,00;,45;,83; 3,6 (, 4, 6, 8, 0 ) 30
oppure qualsas altra progressoe. Tra queste, per otteere u arco suffcetemete ampo d rsposte co poche dos, spesso è preferto l logartmo della dose (, 4, 8, 6, 3). Ifatt è dmostrato che, ella maggor parte delle attvtà bologche, l effetto aumeta co progressoe artmetca, qud leare, quado la sostaza attva è sommstrata proporzoe geometrca. Ma o sempre questa legge è vera; o per tutt prcp attv, o per tutt dosagg sommstrat, é per tutt feome bologc. Da qu l mportaza d testare sempre la leartà della regressoe dell effetto sulla dose o su ua trasformazoe qualsas della dose. I molte dscple, - l calcolo e l aals della regressoe o clude ecessaramete l cocetto d ua relazoe d causaltà tra la e la Y, é che essa sa ella drezoe segalata mplctamete dalla dcazoe d varable (la causa) e varable Y (l effetto). Spesso, s vuole semplcemete - utlzzare la capactà predttva della regressoe per stmare Y cooscedo, allo scopo d otteere la descrzoe d ua relazoe emprca u campoe; successvamete s effettua l test, come cotrollo della sua essteza ache ella popolazoe. Nel caso cu s abbao pù osservazo Y per lo stesso valore d dalla retta Y $ (qud Y Yˆ ) può essere separata due part: - lo scostameto dell'osservazoe Y dalla meda del suo gruppo Y (qud, lo scarto d og puto Y Y Y ), - lo scostameto della meda Y del gruppo dal valore stmato sulla retta Y $ per la stessa (qud Y ˆ ). Y Tra ess esste la relazoe ( ) ( ) Y Y$ Y Y + Y Y$ Da questa relazoe derva che la devaza resdua o d errore della retta d regressoe, che el caso d sgole Y per og el caso d Y rpetute è scompoble è ( ) Y Yˆ, - ua prma devaza, dovuta alla dspersoe de sgol valor toro alla meda del loro gruppo, coè ( Y Y ) e che rappreseta l errore 3
- e ua secoda devaza, dovuta alla dspersoe delle mede dalla retta d regressoe e che rappreseta term o lear, $. coè ( Y Y ) o Y rpetute per lo stesso, tra queste devaze esste la relazoe ( Y Y ) ( Y Y ) + ( Y Y ) $ $ Quado l'aals della varaza porta alla coclusoe che esste ua dffereza altamete sgfcatva tra le mede Y de grupp, sussste la codzoe logca per verfcare, medate ua ulterore specfca aals della varaza, se sa d tpo leare. Per quest test sulla leartà, s rchedoo le seguet stme: - la devaza tra grupp (df -) otteuta co l'aals della varaza; - la devaza dovuta alla regressoe (df ), chamata ache della regressoe leare, medate ( od. Y) Dev. 3 - la devaza delle mede dalla regressoe (df -), chamata ache della regressoe oleare, è rcavable dalla relazoe Devaza delle mede dalla regressoe Devaza tra grupp - Devaza della regressoe; 4 - la devaza resdua etro grupp o errore (df -) rcavable da Devaza d errore o resduo Devaza totale - Devaza tra grupp rcordado che, co la cosueta smbologa, - umero d grupp - umero d replche del gruppo ; - umero totale d osservazo Le devaze soo calcolate pù faclmete e rapdamete co le formule abbrevate. Ua presetazoe stetca e chara d quest metod è forta dalla tabella 3
DEVIANZA FORMULA ABBREVIATA DF Totale Y Y - Tra grupp Y Y - Della regressoe Y Y Delle mede dalla regressoe Tra grupp Della regressoe - Resduo (etro grupp) Totale - Tra grupp - Dopo l calcolo delle varaze relatve, co le ultme tre (della regressoe, delle mede dalla regressoe e resduo etro grupp) s effettuao test F. Il prmo F co df e - F, - Varaza della regressoe Varaza resdua o etro grupp per verfcare l'potes ulla β0 ovvero se la regressoe leare sa sgfcatva (rspetto alla meda). Il secodo F co df - e - F -, - Varaza delle mede dalla regressoe Varaza resdua etro grupp 33
per verfcare l'potes se esstao curve d orde superore che sao grado d rappresetare modo sgfcatvamete mglore della retta la relazoe esstete tra dose e rsposte mede. Per gl tervall d cofdeza della retta, coè per l calcolo - dell tervallo d cofdeza del coeffcete agolare β β e b ± t( α /, ) S ( ) - dell tervallo d cofdeza della tercetta α α a ± t ( α /, ) + Se ( ) - dell tervallo d cofdeza d u valore medo d Yˆ per la specfca dose Yˆ l ± t ( α /, ) S + ( ) ( ) e - dell tervallo d cofdeza d u sgolo valore d Yˆ Yˆ ± t ( α /, ) S + + ( ) ( ) e s utlzza la varaza d errore o resduo Nell esempo successvo S e e la devaza delle ( ) S e 0,3783 e la devaza delle è ( )..000. ESEMPIO E dmostrato che l'quameto da cromo dos subletal agsce modo egatvo sull'accrescmeto somatco d molte spece acquatche. 34
o u espermeto d laboratoro, s vuole stablre la relazoe che tercorre tra la cocetrazoe della sostaza e la rsposta bologca alcu grupp d crostace della stessa spece, de qual vegoo forte le dmeso dopo ua settmaa dalla schusa delle uova. Le dos soo crescet modo leare: 5, 0, 5, 0, 5. Le replche (da I a IV) cosderao 4 cas per gruppo Dose () Replche 5 0 5 0 5 I II III IV 0,5,3,,4 8,4 8,6 9, 9, 7,7 6,9 5,8 7, 5,3 4,3 4,8 5,0 4,6 5,6 3,9 4,8 Verfcare se l effetto rsete della sommstrazoe d dos dverse; caso postvo, stmare se la retta è adeguata a descrvere la relazoe dose-effetto. Rsposta. Per rspodere a quest propost, la prma verfca è l'aals della varaza ad u crtero d classfcazoe. Dopo aver calcolato le somme delle Y per og gruppo e la somma totale de quadrat delle Y (le mede servoo per l grafco) Dose () 5 0 5 0 5 TOTALI Y 45,3 35,3 7,6 9,4 8,9 46,5 Y,35 8,85 6,900 4,850 4,75 7,35 ( Y ) 54,3 3,97 9,38 94,6 90,77 04,05 s rcavao - la devaza totale co df 9 35
SQ Tot 04,05 ( 46,5) 0 30,94 - la devaza tra grupp co df 4 SQ Tra ( 45,3) ( 35,3) ( 7,6) ( 9,4) ( 8,9) ( 46,5) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 0 5,65 - la devaza etro grupp o errore co df 5 SQ Errore 30,940 5, 65 I rsultat soo rportat el solto schema dell aals della varaza DEVIANZA DF VARIANZA F P Totale 30,940 9 --- --- --- Tra grupp 5,65 4 3,36 8,7 <0.00 Errore 5,675 5 0,3783 --- --- Per valutare se esste u effetto dfferete alle vare dos, s calcola u test F che rsulta uguale a 8,78 co df 4 e 5. F 3,35 0,3783 4,5 8,78 Se l test F o rsultasse sgfcatvo e pertato o permettesse d rfutare l'potes ulla, s deve gugere alla coclusoe logca che, al varare della dose, le rsposte mede de grupp a cofroto o mafestao dffereze sgfcatve. D cosegueza, la meda geerale rappreseta la stma leare mglore dell'effetto medo delle vare dos ed è utle procedere al calcolo della retta d regressoe. I questo caso, poché l valore tabulato d F (4,5) per α 0.0 è uguale a 4,89 s deve cocludere che le rsposte dfferscoo modo sgfcatvo al varare della dose. I modo pù precso, la probabltà è ferore a 0.00. 36
Le due domade successve soo: - La retta rappreseta ua stma accettable dell effetto bologco al crescere della dose? - Oppure è pù adeguata ua curva d grado superore? Alla prma s rspode medate l test per la leartà, per l quale è ecessaro calcolare la devaza dovuta alla regressoe leare SQ dovuta alla regressoe leare Y Y o dat dell esempo Y (5 x 45,3) +(0 x 35,3)+ (5 x 7,6)+ (0 x 9,4)+ (5 x 8,9).854 4(5 + 0 + 5 + 0 + 5) 300 4(5 + 0 + 5 + 0 + 5 ) 5500 Y 46,5 s ottee SQ dovuta alla regressoe leare 46,5 300 854 0 ( 343,5) 300 000 5500 0 7,99 Rportado questo rsultato ella tabella precedete, s ottee ua uova tabella che evdeza: 37
Fote d varazoe DEVIANZA DF S F Totale 30,940 9 --- --- Tra grupp 5,65 4 3,36 --- Dovuta alla regressoe leare 7,99 7,99 3,90 Dovuta alla regressoe o-leare 5,65-7,99 7,73 3,44 6,4 Resduo o etro grupp 30,940-5,65 5,675 5 0,3783 --- - la scomposzoe della devaza tra grupp (5,65) co df 4 - devaza dovuta alla regressoe leare (7,99) co df - e, per dffereza, devaza dovuta alla regressoe o-leare (7,73) co df 3 Per valutare se la retta d regressoe rappreseta u mglorameto sgfcatvo rspetto alla meda geerale delle Y, s effettua u test F F 7,99 0,3783,5 3,90 o dat dell esempo, s ottee F 3,9 co df e 5. Esso dmostra che la regressoe leare semplce è altamete sgfcatva: la retta passa molto pù vco alle mede de 5 grupp d quato facca la meda geerale. D cosegueza, è molto vataggoso calcolare la retta, per evdezare la relazoe tra dose e rsposta meda. Per valutare se ua curva d grado superore rappreseta ua stma statstcamete mglore s effettua u secodo test F F,44 0,3783 3,5 6,4 o dat dell esempo, s ottee F 6,4 co df 3 e 5 che rsulta sgfcatvo. E statstcamete dmostrato che ua curva d grado superore s avvca alle mede delle 5 dos modo sgfcatvamete mglore della retta. 38
Rassumedo cocett llustrat el paragrafo, all zo è stato evdezato che co Y rpetute l aals della varaza permette d rspodere a 4 domade Il farmaco ha u azoe che vara co la dose? La rsposta è proporzoale alla dose? I term pù tecc, esste regressoe della rsposta sulla dose? 3 La regressoe è d tpo leare oppure può essere meglo espressa da ua curva d grado superore? 4 Se d grado superore quale è l tpo d curva pù adeguato? o le aals fo a ora codotte s è rsposto alle prme tre, arrvado alle cocluso seguet: - Le rsposte bologche alle vare dos soo sgfcatvamete dfferet. Le rsposte soo proporzoal alle dos e ua retta descrve modo sgfcatvamete pù accurato della meda la relazoe tra dose e rsposta. 3 Ma ua curva d grado superore la descrve modo sgfcatvamete mglore della retta. 4 0 8 6 4 0 5 0 5 0 5 30 39
La rappresetazoe grafca delle sgole rsposte alle vare dos e delle loro mede evdeza vsvamete come la retta pass effettvamete molto pù vco a put med, d quato facca la meda geerale delle Y. (I cerch vuot rappresetao le sgole osservazo. Soo quattro per gruppo, ma appaoo umero more poché alcu cas rsultao sovrappost. I cerch er soo le mede de sgol grupp) I valor med o soo collocat esattamete sulla retta. Questa o esatta leartà lasca oltre ture come - ua curva d grado superore possa effettvamete passare pù vco a ess d quato facca la retta. Ma per rspodere modo dettaglato alla quarta domada (Se è d grado superore, quale è l tpo d curva pù adeguato?) - è ecessaro valutare l cotrbuto che ogua delle 3 curve d orde superore forsce alla devaza dovuta a term o lear: Questa rsposta rchede calcol lugh e compless, molto pù d quato sa stato fatto per la regressoe leare. Nel paragrafo successvo, soo presetat coeffcet polomal, che soo l metodo pù semplce e rapdo - sa per calcolare la devaza dovuta alla regressoe leare, foredo lo stesso rsultato gà otteuto, - sa per calcolare la devaza dovuta a og curva d grado superore. 7.6. ALOLO DEI TERMINI DELLA REGRESSIONE, MEDIANTE I OEFFIIENTI POLINOMIALI I coeffcet polomal facltao la scomposzoe ortogoale de trattamet, - per cofrot tra le mede. I cocett e metod soo gà stat llustrat ella scomposzoe della devaza tra grupp per cofrot multpl a pror. Nel caso della regressoe, - grad d lbertà della devaza tra grupp soo scompost altrettat term, passado progressvamete dalla retta a curve d orde superore. 40
OEFFIIENTI POLINOMIALI PER IL ALOLO DELLA REGRESSIONE OEFFIIENTI Grupp 3 A B Grado - 0 + Grado + - + Grupp 4 A B D Grado -3 - + +3 Grado + - - + Grado 3 - +3-3 + Grupp 5 A B D E Grado - - 0 + + Grado + - - - + Grado 3 - + 0 - + Grado 4 + -4 +6-4 + Grupp 6 A B D E F Grado -5-3 - + +3 +5 Grado +5 - -4-4 - +5 Grado 3-5 +7 +4-4 -7 +5 Grado 4 + -3 + + -3 + Grupp 7 A B D E F G Grado -3 - - 0 + + +3 Grado +5 0-3 -4-3 0 +5 Grado 3 - + + 0 - - + Grado 4 +3-7 + +6 + -7 +3 Grupp 8 A B D E F G H Grado -7-5 -3 - + +3 +5 +7 Grado +7 + -3-5 -5-3 + +7 Grado 3-7 +5 +7 +3-3 -7-5 +7 Grado 4 +7-3 -3 +9 +9-3 -3 +7 4
Nella paga precedete soo rportat coeffcet polomal dal caso d 3 grupp fo a 8 grupp, per le prme 4 regresso (leare, quadratca, cubca e d quarto orde). Gà oltre quella d secodo orde l uso è raro e o sempre gustfcato, ella rcerca della curva pù adeguata. I prcp baslar del metodo de coeffcet polomal, soprattutto d come soo stat otteut, rchedoo ua llustrazoe luga e complessa. Ma all utete della statstca serve soprattutto capre l loro uso, che è semplce. Ess godoo delle due propretà gà ctate: - la somma de coeffcet della stessa rga è uguale a 0; - due rghe qualsas forscoo rsultat tra loro ortogoal, poché la somma de prodott de coeffcet è uguale a 0. Ad esempo, co 5 grupp per qual coeffcet soo A B D E Grado - - 0 + + Grado + - - - + Grado 3 - + 0 - + Grado 4 + -4 +6-4 + è semplce osservare che la retta o curva d grado è ortogoale a quella d grado, poché (- x +) + (- x ) + (0 x ) + (+ x ) + (+ x +) (-4) + (+) + (0) + (-) + (+4) 0 Lo stesso rsultato è otteuto tra due sere d coeffcet qualsas. Per l aals delle regresso, o sempre è possble l uso de coeffcet polomal. Ifatt devoo essere soddsfatte due codzo: - l umero d replche deve essere detco tutt grupp, valor della devoo avere ua progressoe regolare (come quelle gà llustrate el paragrafo precedete). Medate total delle Y d og gruppo ( T ) e coeffcet - la devaza d og terme: d og regressoe, s calcola 4
SQ r T dove r è l umero d dat o replche d og gruppo e è l umero d grupp. ESEMPIO. Rprededo lo stesso esempo del paragrafo precedete Dose () Replche 5 0 5 0 5 I II III IV 0,5,3,,4 8,4 8,6 9, 9, 7,7 6,9 5,8 7, 5,3 4,3 4,8 5,0 4,6 5,6 3,9 4,8 calcolare le devaze dovute alla regressoe leare e alle curve d orde superore. Rsposta. Poché grupp soo 5, è possble calcolare 4 devaze, dal terme leare a quello d quarto grado. Dopo aver calcolato total ( T ) e cosderado che le replche per gruppo soo r 4 Dose () 5 0 5 0 5 TOTALI T 45,3 35,3 7,6 9,4 8,9 46,5 co coeffcet polomal Grupp 5 A B D E Grado - - 0 + + Grado + - - - + Grado 3 - + 0 - + Grado 4 + -4 +6-4 + 43
- per l terme leare s ottee T ( 45,3) + ( 35,3) + ( 0 7,6) + ( + 9,4) + ( + 8,9) 68, 7 r 4 [( ) + ( ) + ( 0) + ( + ) + ( + ) ] 4 ( 0) 40 SQ ( 68,7) 40 7,99 - per l terme quadratco s ottee T ( + 45,3) + ( 35,3) + ( 7,6) + ( 9,4) + ( + 8,9) + 8, 5 r 4 [( + ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( + ) ] 4 ( 4) 56 (,5) 8 SQ 6, 56 - per l terme cubco s ottee T ( 45,3) + ( + 35,3) + ( 0 7,6) + ( 9,4) + ( + 8,9) + 5, 4 r 4 [( ) + ( + ) + ( 0) + ( ) + ( + ) ] 4 ( 0) 40 SQ ( 5,4) 40 0,79 - per l terme alla quarta s ottee T ( + 45,3) + ( 4 35,3) + ( + 6 7,6) + ( 4 9,4) + ( + 8,9) +, 0 r 4 [( + ) + ( 4) + ( + 6) + ( 4) + ( + ) ] 4 ( 70) 80 (,0) SQ 0,43 80 E semplce osservare che - la devaza dovuta al terme leare o d I grado (7,99) è detca a quella calcolata co la formula classca, molto pù luga; 44
- la somma delle 4 devaze cocde esattamete co quella tra grupp: 7,99 + 6, + 0,79 + 0,43 5,65 Sulla base d quest rsultat, s può rscrvere la tabella delle devaze, co la scomposzoe completa della devaza tra grupp: Fote d varazoe DEVIANZA DF S F Totale 30,940 9 --- --- Tra grupp 5,65 4 --- --- Dovuta al terme leare 7,99 7,99 3,9 Dovuta al terme quadratco 6, 6, 6, Dovuta al terme cubco 0,79 0,79,93 Dovuta al terme alla quarta 0,43 0,43,4 Resduo o etro grupp 30,940-5,65 5,675 5 0,3783 --- Nel test F che valuta la sgfcatvtà - per la devaza dovuta al terme leare rspetto alla meda s ottee ua rsposta altamete sgfcatva; F 7,99 0,3783 (,5) 3,9 - per la devaza dovuta al terme quadratco rspetto a quello leare s ottee ua rsposta sgfcatva; F 6, 0,3783 (,5) 6, - per la devaza dovuta al terme cubco rspetto a quello quadratco s ottee ua rsposta o sgfcatva; F 0,79 0,3783 (,5),93 - per la devaza dovuta al terme alla quarta rspetto a quello alla terza 45
F 0,43 0,3783 (,5),4 s ottee ua rsposta o sgfcatva. o quest rsultat, per la regressoe (coè per predre Y sulla base d ) è corretto calcolare ua curva d secodo grado. Tuttava può essere accettata ache ua coclusoe dfferete, quale la scelta della retta, se motvata etro la dscpla sulla base d altre rcerche o d ua dfferete terpretazoe del feomeo bologco. La retta è pù semplce da terpretare; questo caso, passa molto vco put, ache se la curva forsce u mglorameto statstcamete sgfcatvo. La procedura presetata è llustrata el testo d L. Lso, dal ttolo Statstca Applcata alla Bologa Spermetale (asa Edtrce Ambrosaa, 99, Mlao), ella parte scrtta da G. A. Maccacaro. Ad essa s rmada per approfodmet. Il metodo, dscusso egl a 50, o ha rscosso l successo atteso. I quel perodo e egl a successv, era dffusa la covzoe che l aals de term della regressoe per dvduare la curva pù adatta fosse u problema d estrema mportaza e che ella pratca spermetale dovesse essere sempre applcata. Uo degl artcol pù mportat sul metodo de coeffcet polomal è del 953, dovuto a Wshart e Metades, dal ttolo Orthogoal Polyomal Fttg (pubblcato su Bometra, Vol. 40, pp. 36 369). La codzoe d uguaglaza degl tervall e sull uso corretto de coeffcet polomal è dscusso ache ell artcolo Orthogoal oeffcet for Uequal Itervals pubblcato sulla rvsta Bometrcs dell ao 958, (Vol. 4, -4, pp. 87 89), della quale era edtore George Waddel Sedecor, statstco matematco amercao, ato ell ao 88 e morto 974. I suo cotrbut pù mportat soo relatv al dsego spermetale, al campoameto e all aals della varaza, per la quale ha modfcato la proposta d Fsher ella forma attuale. Nel 937 ha pubblcato la prma versoe del volume Statstcal Methods, uo de test terazoal pù dffus, fo alla settma edzoe del 980. I modo polemco, o credble per la sua alta competeza statstca, afferma d o cooscere l metodo de coeffcet ortogoal per tervall egual e d spegarglelo: I a expermet performed here, I used four levels of a utret: 0, 5, 0, 0 mg. I caot fd a method for calculatg the three sets of orthogoal coeffcets for these uequal tervals. If t ca be doe, please advse me. Nella rsposta, A. Gradage rmada all artcolo d Wshart e Metades, valdo o solo per tervall egual ma ache per pes dfferet a var lvell. Gradage afferma che l metodo è semplce quado l umero d lvell è pccolo, come 4 lvell utlzzat da Sedecor, oppure quado 46
soo rcheste regresso fo al terzo grado; ma gà regresso d terzo grado soo ecessare raramete: I pratce, the coeffcets for the thrd degree regresso are rarely eeded. Su come costrure coeffcet ortogoal geerale e el caso d tervall egual e su come stmare coeffcet per la regressoe leare, quella quadratca e quella cubca, s rva pubblcazo specfche. I programm formatc hao reso obsolete queste tecche maual; hao mposto u approcco fodato pù su cocett e meo sulle modaltà d calcolo. 7.7. TEST DI LINEARITA ON Y RIPETUTE, IN AMPIONI NON BILANIATI No sempre campo soo blacat. I var espermet d laboratoro e farmacologa, può sempre succedere che almeo ua cava o u pazete o permettao d msurare l effetto della dose sommstrata. Le cause possoo essere umerose, dal decesso alla macata rsposta bologca, per motv fsologc o geetc. L aals dveta meo semplce e o permette d calcolare tutt term della regressoe, che o è pù cetrata sulla dose e sulla rsposta mede. Nell dustra farmaceutca, la regressoe leare semplce co Y rpetute è spesso utlzzata per la covalda d metod aaltc, att alla determazoe quattatva d prcp attv e de possbl degradat forme farmaceutche. Uo degl passagg mportat della covalda cosste el verfcare la leartà della rsposta al varare della cocetrazoe. Per tal test, s preparao cocetrazo scalar (almeo 5) della sostaza da quatfcare, replcado u certo umero d volte (da tre a se) la determazoe per og cocetrazoe. Nell esempo successvo è llustrata modo dettaglato questa metodologa, applcata al caso pù geerale d campo o blacat. ESEMPIO. S assuma che per 5 cocetrazo crescet () sao state effettuate msure sul tempo d effcaca (Y) d u farmaco. Per og dose soo state prese 5 cave, ma per alcue o è stato possble otteere la rsposta bologca. ocetrazo Rsposte 30 06, 08, 0 40 8, 0, 5, 9 50 37, 34, 3 60 44, 47, 5, 48, 46 70 59, 6, 56, 64, 58 47