Stima dei parametri. a cura del prof. Guida

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1 Stima dei parametri a ura del prof. Guida

2 Preedetemete soo state aalizzate le relazioi tra le statistihe ampioarie e i parametri della popolazioe: µ µ x σ 2 2 x σ σ x σ * per la distribuzioe ampioaria delle medie el aso di estrazioe beroulliaa * (errore medio di ampioameto)

3 µ µ x σ 2 x σ 2 N N 1 σ x σ N N 1 * per la distribuzioe ampioaria delle medie el aso di estrazioe i bloo * (errore medio di ampioameto) diap. 29 diap. 34 diap. 37

4 per la distribuzioe ampioaria della variaza el aso di estrazioe beroulliaa 1 µ M ( S 2 ) S 2 σ 2 per la distribuzioe ampioaria della variaza el aso di estrazioe i bloo N µ M ( S ) S N σ 2

5 per la distribuzioe ampioaria della frequeza dei suessi (el aso di ua popolazioe o distribuzioe biomiale) µ k M ( F) p σ k pq diap.. 45 diap.. 77

6 I risultati otteuti sulle statistihe ampioarie sarao utilizzati per risolvere problemi di Ifereza statistia

7 Rietrao i questa ategoria tutti i problemi he possoo riodursi a: STIMA dei parametri Verifia di IPOTESI STATISTICHE

8 Le STIME dei parametri possoo essere: STIME PUNTUALI STIME INTERVALLARI Soo stime putuali quelle defiite da u uio umero, la statistia ampioaria Soo stime itervallari le stime espresse o due umeri he idiao u itervallo etro il quale ade, o ua probabilità be defiita, u parametro della popolazioe

9 L ifereza statistia utilizza i risultati otteuti dalle idagii ampioarie per otteere STIME relative ai parametri della popolazioe dalla quale è stato estratto il ampioe

10 INDICHIAMO CON: ϑ θ (teta) o il parametro della popolazioe he deve essere stimato T (tau) o il geerio stimatore (variabile aleatoria he dipede dai dati del ampioe e possiede ua distribuzioe di probabilità be determiata) ϑˆ Diap. 50

11 AD ESEMPIO: La media ampioaria X è uo STIMATORE del parametro µ (media della popolazioe). Se si estrae u ampioe e si determia il valore x, tale valore, he varia da ampioe a ampioe, è ua STIMA di µ La frequeza ampioaria relativa è uo STIMATORE del parametro p (probabilità di suesso) di ua popolazioe o distribuzioe beroulliaa. Se si estrae u ampioe e si determia la frequeza relativa ampioaria dei suessi, tale valore, he varia da ampioe a ampioe, è ua STIMA.

12 E ituitivo ammettere he ua stima è tato migliore quato più si avviia al valore vero (iogito) del parametro da stimare. Poihé T (tau) è ua variabile aleatoria, questo equivale a hiedere he la distribuzioe di probabilità dello stimatore sia oetrata attoro al valore del parametro θ (teta) da stimare, ovvero he la dispersioe dei valori di T attoro al suo valor medio sia la miima possibile.

13 u oorrete i ua gara di tiro a bersaglio, desidera he i suoi olpi si distribuisao attoro al etro del bersaglio!!!!

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15 aalogamete, hi effettua ua stima statistia desidera avere la massima probabilità di avviiarsi al vero valore da stimare. Questo può essere espresso i termii matematii i base alle proprietà degli stimatori; tali proprietà soo:

16 PROPRIETA DEGLI STIMATORI Correttezza Effiieza Cosisteza

17 Correttezza Uo stimatore T del parametro θ si die orretto se il suo valor medio M(T) oiide o θ per qualsiasi valore di T M(T) θ Ad esempio X è uo stimatore orretto della media µ della popolazioe: ifatti M(X) µ diap.. 45

18 ..ahe la frequeza relativa dei suessi i u ampioe estratto da ua popolazioe di tipo biomiale è uo STIMATORE orretto del parametro p della popolazioe INFATTI Essedo si ha: Si può oludere he la frequeza ampioaria è uo STIMATORE orretto del parametro p della popolazioe o distribuzioe biomiale k p k P k 0 ) ( ) ( 1 ) ( 0 0 k P k k P k k M k k p p k M 1

19 Stimatore orretto M(T)θ M(T)θ

20 La variaza ampioaria S 2 risulta, ivee, uo stimatore distorto della variaza σ 2 della popolazioe ifatti: ( ) µ S 2 σ 2 ( ) risultado: µ S σ

21 Stimatore distorto M(T) θ θ M(T)

22 Effiieza La botà di uo stimatore o può essere valutata solo i base alla orrettezza. Si osideri u parametro θ he può essere valutato mediate due stimatori orretti, T 1 e T 2 ; Tra i due risulta migliore quello o variaza miore

23 PERTANTO Uo stimatore è tato più effiiete quato miore è la sua variaza

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25 Ad esempio la media µ di ua popolazioe può essere valutata sia mediate la media X ampioaria sia mediate la mediaa X ~ ampioaria ma tra i due stimatori la media ampioaria risulta più EFFICIENTE

26 Cosisteza Uo stimatore si die osistete quado, al resere delle dimesioi del ampioe, overge verso il parametro della popolazioe da stimare; i formula: lim P( T ϑ < ε ) 1 diap.. 45

27 Distribuzioe di T per ampioi di ampiezza diap.. 45

28 Ua volta selto lo stimatore he risulta migliore per stimare u parametro della popolazioe Si possoo effettuare due tipi di stime STIME PUNTUALI STIME INTERVALLARI

29 Le stime putuali di u parametro, soo quelle he si esprimoo o u valore umerio e soo più semplii da alolare: si assume ome stima il valore alolato dal ampioe assoiadogli lo sarto quadratio medio detto errore medio di ampioameto he idia l errore mediamete ommesso stimado, per mezzo del ampioe, il parametro iogito della popolazioe

30 Per hiarire quato detto fiora, svolgere i laboratorio la seguete attività: Si osideri ua popolazioe formata dalle misure: 130, 140, 180, 110. Ci propoiamo di stimare il parametro µ utilizzado ampioi beroulliai di dimesioe 3, mediate due stimatori: lo stimatore media e lo stimatore mediaa..fare riferimeto al file prodotto

31 Le stime itervallari di u parametro, soo quelle he si esprimoo o u itervallo (detto fiduiario) he otega o ua erta probabilità il parametro iogito della popolazioe. La stima per itervallo si applia se è ota la legge di distribuzioe dello stimatore e permette di valutare meglio l errore he si può ommettere. diap.. 50

32 STIME PUNTUALI STIMA PUNTUALE DI UNA MEDIA STIMA PUNTUALE DI UNA FREQUENZA STIME PER INTERVALLO INTERVALLO FIDUCIARIO PER LA MEDIA INTERVALLO FIDUCIARIO PER LE FREQUENZE RELATIVE

33 Per quato riguarda le STIME PUNTUALI, i rifaremo a quato preedetemete studiato riguardo alla valutazioe della media e della frequeza ampioaria uitamete alle rispettive relazioi o i parametri della popolazioe

34 Il problema della stima putuale di ua media osiste el valutare da u ampioe il valore µ della popolazioe; ome preedetemete visto tale valore (stima) orrispode alla media della popolazioe; a tale stima si dovrà assoiare lo sarto quadratio medio delle medie ampioarie (errore medio di ampioameto), he, ome preedetemete visto,, NON orrispode allo sarto quadratio medio della popolazioe

35 Per questo motivo si assume ome stimatore di σ 2 la VARIANZA CAMPIONARIA CORRETTA S ) 2 ) s 2 1 s 2 DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA CORRETTA ) s s 1 diap.. 71 (el aso di estrazioe beroulliaa)

36 Per questo motivo si assume ome stimatore di σ 2 la VARIANZA CAMPIONARIA CORRETTA sˆ 2 s 2 N 1 N 1 S ) 2 DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA CORRETTA sˆ s 1 N N 1 diap.. 71 (el aso di estrazioe seza ripetizioe) - u elemeto alla volta -

37 Per questo motivo si assume ome stimatore di σ 2 la VARIANZA CAMPIONARIA CORRETTA S ) 2 sˆ 2 N 1 s 2 N 1 DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA CORRETTA sˆ N 1 N 1 (el aso di estrazioe seza ripetizioe) - estrazioe i bloo - s diap.. 71

38 PERTANTO, el aso i ui o oosiamo σ, per determiare l errore di ampioameto sarà suffiiete sostituire a σ elle preedeti relazioi il valore di ŝ sˆ sˆ N σ x σ x N 1 estrazioe beroulliaa estrazioe i bloo Per redere miore l errore di ampioameto e avere quidi ua stima più preisa, oorre aumetare il umero degli elemeti del ampioe eserizi.

39 1 Valutare i risultati otteuti. 2 Ua popolazioe è omposta dai umeri 1,2,3,4. Estrarre tutti i possibili ampioi di dimesioe 2, dapprima seodo lo shema della estrazioe seza ripetizioe e suessivamete utilizzado lo shema della estrazioe i bloo; valutare i risultati otteuti. S

40 3 (stima putuale, ota la deviazioe stadard della popolazioe) 4 (stima putuale, seza la deviazioe stadard della popolazioe) S

41 5 Il diametro medio di alui usietti a sfera è di 0,60 m o ua deviazioe stadard di 0,01 m; effettuare ua stima putuale del diametro medio dei usietti e determiare l errore medio di ampioameto. Ioltre: a) qual è la probabilità he selezioado u ampioe asuale di 50 elemeti, si ottega u diametro medio del ampioe superiore a 0,601 m? b) qual è la probabilità he selezioado u ampioe asuale di 50 elemeti, si ottega u diametro medio del ampioe iferiore a 0,598 m? S

42 6 S

43 7 S

44 Il problema della stima putuale di ua frequeza osiste el valutare quate uità di ua popolazioe posseggoo ua erta aratteristia; ome preedetemete visto, per stimare il parametro della popolazioe (ioè la probabilità he u erto attributo della popolazioe ha di presetarsi), prederemo i osiderazioe l estrazioe beroulliaa he dà luogo ad ua distribuzioe biomiale

45 Riordado he la frequeza relativa del ampioe è: f - x umero degli elemeti del ampioe he posseggoo l attributo x - la dimesioe del ampioe e he tale stimatore oltre ad essere orretto è ahe osistete ASSOCIAMO alla stima f l errore medio di ampioameto he dalle formule preedeti è dato da: σ k pq

46 σ k pq essedo p igoto si stima l errore medio di ampioameto sostituedo a p e q rispettivamete f ed (1-f ) f ( 1 f ) s f he si può redere piolo, e quidi otteere ua stima più aurata, aumetado il umero degli elemeti del ampioe el aso di estrazioe beroulliaa

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48 8 9 U ampioe di 40 elemeti è estratto da ua popolazioe biomiale o parametro p0,9. Determiare la probabilità he el ampioe si verifihi ua peretuale di suessi maggiore dell 88%. S

49 10 Fare riferimeto al file.xls relativamete alla sheda Distribuzioe ampioaria delle frequeze

50 Rispetto a quato detto preedetemete (diap. 10 e diap.31) idihiamo o: ϑ ε ϑˆ ϑ + ε l itervallo fiduiario α il rishio di errore o livello di sigifiatività (geeralmete prefissato) 1 α il livello fiduiario o probabilità di ofideza

51 P( ϑ PERTANTO ˆ + ) 1 ε ϑ ϑ ε α idia he il valore dello stimatore ell itervallo di ofideza ϑˆ è oteuto [ ϑ ε; ϑ + ε ] o probabilità 1 α

52 P( MENTRE ϑˆ ε ϑ ϑˆ + ε ) 1 α idia he il valore del parametro ell itervallo di ofideza ϑ è oteuto [ ] ϑ ˆ ε; ϑˆ + ε o probabilità 1 α a hiarimeto osideriamo la seguete esemplifiazioe:

53 Si osideri il aso assai riorrete i ui il parametro da stimare è la media di ua popolazioe; si vuole determiare u itervallo fiduiario attoro alla media ampioaria, tale he, o ua probabilità prefissata (pari al livello fiduiario), iluda il valore della MEDIA della popolazioe.

54 PRENDIAMO IN ESAME DUE CASI: la popolazioe è distribuita ormalmete o variaza ota la popolazioe è distribuita ormalmete o variaza iogita

55 I^ CASO: la popolazioe è distribuita ormalmete o variaza ota I questo aso la media ampioaria X è ua variabile aleatoria o distribuzioe esattamete ormale o

56 µ µ x σ 2 2 x σ σ x σ el aso di estrazioe beroulliaa µ µ x σ 2 x σ 2 N N 1 σ x σ N N 1 aso di estrazioe seza ripetizioe (i bloo)

57 Di osegueza la v.. Z X µ σ ha distribuzioe ormale stadardizzata Fissato il valore di α (o il livello di ofideza 1-α), è possibile determiare, per mezzo della tavola delle aree delle superfii sotto la urva ormale stadardizzata, i due valori z 1 e z 2 detti valori ritii, tali he: P( z Z z ) α

58 P( z Z z 1 ) α

59 α 1 ( ) z Z z P Sostituedo a Z il valore si ha: σ µ X α σ µ 1 z X z P Moltipliado iasu termie della disuguagliaza per e aggiugedo µ si ha: σ α σ µ σ µ + 1 z X z P

60 α σ µ σ µ + 1 z X z P he esprime la probabilità he la media ampioaria appartega all itervallo z X z σ µ σ µ + risolvedo la disuguagliaza i fuzioe di µ si ottiee: α σ µ σ + 1 z X z X P he esprime la probabilità he la media della popolazioe appartega all itervallo aleatorio

61 Questa figura mette i evideza he, per ogi ampioe estratto (o ostate), si ottiee ua stima X metre la probabilità he sia eslusa è α

62 Esempio 1 (ostruzioe itervalli di ofideza) Selto il livello di ofideza 1-α 0,8664, vogliamo determiare l itervallo z Z z tale he P( z Z z ) 0, 8664 f (Z ) per la simmetria di si ha: P( 0 Z z ) 0,4332 Utilizzado la tavola perveiamo al valore z 1,5 Pertato l itervallo rihiesto è: 1,5 Z 1, 5

63 Esempio 2 (ostruzioe itervalli di ofideza) Costruire l itervallo di ofideza della variabile stadardizzata Z, al livello di sigifiatività: α 31,73% ; Per quato riguarda α 31,73% ioèα 0,3173 si ha: 1-α0,6827 ioè: P( z Z z ) 0, 6827 Essedo per la simmetria di f (Z ) P( 0 Z z ) 0,34135 i orrispodeza di questo valore, sulla tavola troviamo he z 1 Per ui possiamo essere fiduiosi he il 68,27% dei valori assuti dalla v.. Z sia ompreso fra -1 e +1; parimeti i aspettiamo he il rimaete 31,73% sia estero a questi limiti

64 Esempio 3 (ostruzioe itervalli di ofideza) U ampioe asuale beroulliao di dimesioe ha ome media e proviee da ua popolazioe distribuita ormalmete o σ10. Forire ua stima della media per itervallo, o livello di ofideza del 95%. Essedo (1-α)0,95 ioè P( z Z z ) 0, 95 x Per la simmetria di f (Z ) P( 0 Z z ) 0,4750 i orrispodeza di questo valore, sulla tavola troviamo he z 1, 96

65 Quidi la probabilità he la media della popolazioe appartega all itervallo aleatorio è: P X σ σ z µ X + z 1 α P 50 1,96 µ , ,95 P( 48,04 µ 51,96) 0,95 Siamo osì fiduiosi he o probabilità del 95% il valore della media dell uiverso sia ompresa ell itervallo trovato.

66 Esempio 4 (ostruzioe itervalli di ofideza) Da u uiverso ostituito da 2500 studeti, o σ 12,25. m variaza 2 2 è stato estratto u ampioe asuale seza ripetizioe o estraz. i bloo di 150 studeti. Determiare l itervallo di ofideza per la stima dell altezza media o probabilità di ofideza pari al 98%, sapedo he la statistia assume el ampioe il valore x 169,5.m X

67 Trattadosi di ampioe estratto SENZA RIPETIZIONE (estraz. i bloo), si tratta di determiare la seguete probabilità: P X σ N σ N z µ + X z 1 α N 1 N 1 Essedo (1-α)0,98 si ha: P( z Z z ) 0, 98 Per la simmetria di (Z ) f P( 0 Z ) 0,49 i orrispodeza di questo valore, sulla tavola troviamo mediate proedimeto di iterpolazioe he z per ui: z 2,326 3, , P 169,5 2, ,5 2,326 µ + 0,

68 Cioè: P ( 168,86 µ 170,14 ) 0, 98 Possiamo oludere diedo he l altezza media dei 2500 studeti è ompresa el suddetto itervallo, osapevoli he il rishio massimo di errore è del 2%.b. proedimeto di iterpolazioe : ( 2,33 2,32) : (0,4901 0,4898) ( z 2,32) : (0,49 0,4898)

69 Eserizi (ostruzioe itervalli di ofideza) Costruire gli itervalli di ofideza della variabile stadardizzata Z, ai livelli di sigifiatività: α 4,55% ; α 0,27%

70 II^ CASO: la popolazioe è distribuita ormalmete o variaza iogita Cosa mettere, elle formule per il alolo degli estremi di u itervallo di ofideza al posto di σ?

71 Se oosiamo la variaza S 2 di u ampioe, la variaza orretta può essere alolata direttamete osì, ome si evie ahe dalle preedeti formule: 2 ŝ 1 ˆ 2 2 s s Per ampioi o ripetizioe (beroulliai) 1 1 ˆ 2 2 N N s s Per ampioi seza ripetizioe (u elemeto alla volta) 1 1 ˆ 2 2 N N s s Per ampioi seza ripetizioe (estraz. I bloo)

72 Esempio 1 (ostruzioe itervalli di ofideza) Misurado la lughezza di u tavolo 65 volte, si è trovata ua media ed uo s.q.m. x 1,853.m s 0,012. m Stimare per itervallo la lughezza reale µ del tavolo o grado di fiduia del 95%, osiderado he il ampioe sia di tipo beroulliao. Possiamo utilizzare la ota relazioe: P X σ σ z µ X + z 1 α

73 α σ µ σ + 1 z X z X P Ma o abbiamo lo s.q.m. reale (σ), oosedo soltato quello del ampioe ( ); pertato possiamo utilizzare la relazioe: Sostituedo a s.m 0,012 µ α + 1 ˆ ˆ s z X s z X P ŝ 0, ,012 1 ˆ s s

74 Essedo (1-α)0,95 ioè P( z Z z ) 0, 95 Per la simmetria di (Z ) f P( 0 Z z ) 0,4750 i orrispodeza di questo valore, sulla tavola troviamo he Pertato si avrà: z 1,96 0, ,01209 P 1,853 1,96 µ 1, , P 0,95 ( 1,85006 µ 1,85594 ) 0, 95 Possiamo oludere diedo he la lughezza del tavolo è ompresa el suddetto itervallo, osapevoli di u margie di errore pari al 5%

75 11 U ampioe di 100 lampadie, estratto da u lotto di lampadie, preseta ua durata media di 900 ore o ua deviazioe stadard di 98 ore. Calolare i limiti etro i quali è oteuta la media della popolazioe al livello di ofideza del: a) 90% b) 95% ) 99% S

76 Si osideri il aso di ua popolazioe o distribuzioe biomiale. Si vuole determiare u itervallo fiduiario per la stima del parametro p della popolazioe, ioè della probabilità he si abbiao k suessi su N osservazioi. Dalla ota relazioe P X µ z 1 α z σ

77 α σ µ 1 z X z P Dalle formule preedeti, sostituedo σ si ha: Trattadosi di distribuzioe ampioaria delle frequeze, la variabile stadardizzata Z potrà sriversi: per ui σ p f Z r f f r r ) 1 ( risolvedo la disuguagliaza i fuzioe di p si ottiee: α σ 1 r z p f z P ( ) α σ σ + 1 r r z f p z f P α + 1 ) (1 ) (1 f f z f p f f z f P r r r r r r

78 Esempio 1 (ostruzioe itervalli di ofideza) Estraedo u ampioe di 80 elemeti da ua popolazioe di tipo biomiale si soo otteuti 20 suessi; determiare ua stima itervallare del parametro p della popolazioe ad u livello fiduiario del 95%. I questo aso: f r 20/800,25 Essedo (1-α)0,95 ioè P( z Z z ) 0, 95 Per la simmetria di (Z ) f P( 0 Z z ) 0,4750 i orrispodeza di questo valore, sulla tavola troviamo he z 1,96

79 Appliado la relazioe: P f r si ha: f r (1 f r ) f r (1 f r ) z p f + z r 1 σ 0,25 0,75 0,25 0,75 P 0,25 1,96 0,25 1,96 p ,95 ioè: P ( 0,155 p 0,345) 0, 95 Possiamo oludere diedo il parametro p della popolazioe è ompreso el suddetto itervallo, osapevoli di u margie di errore pari al 5%

80 12 E stata odotta u idagie su tutte le persoe di maggiore età allo sopo di aertare la frequeza relativa dei possessori di patete. A tale sopo è stato estratto u ampioe di 2000 persoe ed è stato aertato he 1850 di esse soo i possesso di patete. Vogliamo determiare la frequeza relativa dei possessori di patete dell uiverso delle persoe di maggiore età o u livello di ofideza del 95%. 13 Su u ampioe di 1800 abboati alla televisioe la peretuale di oloro he hao dihiarato di avere seguito u dato programma è risultata pari al 27%. Etro quali valori sarà ompresa, o probabilità uguale a 99%, la peretuale di oloro he hao dihiarato di avere visto quel programma ell uiverso di tutti gli abboati? S

81 RIFERIMENTO LIBRO DI TESTO pag FINE DELLA LEZIONE prof. C. Guida