Risoluzione di Sistemi lineari

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1 Cpitolo 1 Risoluzione di Sistemi lineri 1.1 Introduzione l Clcolo Numerico Il Clcolo Numerico è un disciplin che f prte di un mpio settore dell Mtemtic Applict che prende il nome di Anlisi Numeric. Si trtt di un mteri che è l confine tr l Mtemtic e l Informtic poichè cerc di risolvere i consueti problemi mtemtici utilizzndo però un vi lgoritmic. In prtic i problemi vengono risolti indicndo un processo che, in un numero finito di pssi, fornisc un soluzione numeric e soprttutto che si implementbile su un elbortore. I problemi mtemtici che srnno ffrontti nelle pgine seguenti sono problemi di bse: risoluzione di sistemi lineri, pprossimzione delle rdici di funzioni non lineri, pprossimzione di funzioni e dti sperimentli, clcolo di integrli definiti. Tli lgoritmi di bse molto spesso non sono ltro se non un piccolo ingrnggio nell risoluzione di problemi ben più complessi. 1.2 Metodi diretti per sistemi lineri Sino ssegnti un mtrice non singolre A R n n ed un vettore b R n. Risolvere un sistem linere vente A come mtrice dei coefficienti e b come vettore dei termini noti signific trovre un vettore x R n tle che Ax = b. (1.1) 1

2 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 2 Esplicitre l relzione (1.1) signific imporre le uguglinze tr le componenti dei vettori primo e secondo membro: 11 x x n x n = b 1 21 x x n x n = b 2.. n1 x 1 + n2 x nn x n = b n. (1.2) Le (1.2) definiscono un sistem di n equzioni lgebriche lineri nelle n incognite x 1,x 2,...,x n. Il vettore x viene detto vettore soluzione. Un metodo universlmente noto per risolvere il problem (1.1) è l ppliczione dell cosiddett Regol di Crmer l qule fornisce: x i = deta i deta i = 1,...,n, (1.3) dove A i è l mtrice ottenut d A sostituendo l su i-esim colonn con il termine noto b. Il determinnte dell mtrice A si definisce ttrverso l cosiddett Regol di Lplce. Definizione (Regol di Lplce) Se A R n n è un mtrice di ordine 1, si definisce determinnte di A il numero deta = 11, se l mtrice A è qudrt di ordine n > 1, llor fisst l i esim rig di A, il determinnte di A è: deta = ij ( 1) i+j deta ij j=1 dove A ij è l mtrice che si ottiene d A cncellndo l i-esim rig e l j-esim colonn. Se A è l mtrice di ordine 2 [ 11 A = ]. llor deta = Il determinnte h le seguenti proprietà:

3 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 3 1. Se A è un mtrice tringolre o digonle llor deta = n ii ; i=1 2. detab = detadet B (Regol di Binet); 3. se α R llor detαa = α n deta. 4. deta = 0 se un rig (o un colonn) è combinzione linere di due (o più) righe (o colonne) di A. 5. Se A è un mtrice tringolre blocchi [ ] B C A = O D con B e D mtrici qudrte, llor deta = detb detd. (1.4) Dll (1.3) è evidente che per ottenere tutte le componenti del vettore soluzione è necessrio il clcolo di n + 1 determinnti di ordine n. Vedimo or di clcolre im modo pprossimto il numero di operzioni ritmetiche richieste dl metodo di Crmer per risolvere il sistem linere ssegnto. In primo luogo clcolimo il numero di operzioni ritmetiche necessrie per clcolre il determinnte di un mtrice di ordine n usndo l regol di Lplce. Indichimo con f(n) il numero di operzioni necessrie per clcolre il determinnte di un mtrice di ordine n. Quindi, dll (1.3) è: f(n) = nf(n 1) + 2n 1 d cui, trlscindo gli ultimi due ddendi si h l uguglinz pprossimt: f(n) nf(n 1). Tenendo presente che se n = 2 il determinnte dell mtrice A = 21 22

4 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 4 è deta = il numero di operzioni necessrie per clcolrlo è 3, quindi f(2) = 3. In definitiv il numero di operzioni necessrie per clcolre il determinnte di un mtrice di ordine n può essere clcolto (con le opportune semplificzioni ftte) usndo l seguente relzione di ricorrenz: f(n) nf(n 1) f(2) = 3. Esplicitndo tle relzione di ricorrenz si ottiene f(n) nf(n 1) n(n 1)f(n 2) n(n 1)(n 2)f(n 3) n(n 1)(n 2)...3f(2) = n(n 1)(n 2) = 3 2 n! Se fosse n = 100 il il numero di operzioni per il clcolo di un solo determinnte srebbe ll incirc dell ordine di Visto che il numero di operzioni richieste è molto elevto llor dobbimo cercre degli lgoritmi lterntivi Risoluzione di sistemi tringolri Prim di ffrontre l soluzione di un generico sistem linere vedimo qulche prticolre sistem che può essere gevolmente risolto. Assumimo che il sistem d risolvere bbi l seguente form: 11 x x i x i n x n = b 1 22 x i x i n x n = b ii x i... + in x n = b i..... nn x n = b n (1.5) con ii 0 per ogni i. In questo cso l mtrice A è dett tringolre superiore. È evidente che in questo cso, l soluzione è immeditmente

5 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 5 clcolbile. Inftti: x n x i = = b n nn b i j=i+1 ij x j ii i = n 1,...,1. (1.6) Il metodo (1.6) prende il nome di metodo di sostituzione ll indietro, poichè il vettore x viene clcolto prtendo dll ultim componente. Anche per il seguente sistem il vettore soluzione è clcolbile in modo nlogo. 11 x 1 = b 1 21 x x 2 = b i1 x 1 + i2 x ii x i = b i n1 x 1 + n2 x ni x i... + nn x n = b n (1.7) In questo cso l mtrice dei coefficienti è tringolre inferiore e l soluzione viene clcolt con il metodo di sostituzione in vnti: x 1 = b 1 11 i 1 b i ij x j j=1 x i = i = 2,...,n 1. ii Concludimo questo prgrfo fcendo lcune considerzioni sul costo computzionle dei metodi di sostituzione. Per costo computzionle di un lgoritmo si intende il numero di operzioni che esso richiede per fornire l soluzione di un determinto problem. Nel cso di lgoritmi numerici le operzioni che si contno sono quelle ritmetiche che operno su dti reli. Considerno per esempio il metodo di sostituzione in vnti osservimo che per clcolre x 1 è necessri un sol operzione (un divisione), per clcolre x 2 le operzioni sono tre (un prodotto, un differenz e un divisione), mentre il generico x i richiede 2i 1 operzioni (i 1 prodotti, i 1 differenze e un divisione), quindi indicto con C s il numero totle di operzioni

6 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 6 necessrie è: C s = (2i 1) = 2 i=1 sfruttndo l proprietà: i i=1 i = i=1 i=1 n(n + 1) 1 = 2 n = n 2, 2 n(n + 1) Metodo di Eliminzione di Guss L ide di bse del metodo di Guss è ppunto quell di operre delle opportune trsformzioni sul sistem originle Ax = b, che non costino eccessivmente, in modo d ottenere un sistem equivlente, cioè un sistem che mmett l stess soluzione di quello di prtenz, m che si fcile d risolvere, per esempio uno vente come mtrice dei coefficienti un mtrice tringolre superiore. Prim di descrivere il metodo vedimo un esempio. Supponimo che il sistem d risolvere si: 2x 1 +x 2 +x 3 = 1 6x 1 4x 2 5x 3 +x 4 = 1 4x 1 6x 2 3x 3 x 4 = 2 2x 1 3x 2 +7x 3 3x 4 = 0. Il vettore soluzione di un sistem linere non cmbi se d un equzione viene sommt l combinzione linere di un, o più, equzioni dello stesso sistem. L ide ll bse del metodo di Guss è quell di ottenere un sistem linere con mtrice dei coefficienti tringolre superiore effettundo opportune combinzioni lineri tr le equzioni. Ponimo A (1) = , b(1) = rispettivmente l mtrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti del sistem di prtenz. Cerchimo or di determinre un sistem linere equivlente quello inizile m che bbi gli elementi sottodigonli dell prim colonn uguli zero. Lscimo inltert l prim equzione. Ponimo l 21 = = 6 2 =

7 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 7 e moltiplichimo l prim equzione per l 21 ottenendo: 6x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 3. L nuov second equzione srà l somm tr l second equzione e l prim moltiplict per l 21 : Ponimo 6x 1 4x 2 5x 3 +x 4 = 1 6x 1 +3x 2 +3x 3 = 3 x 2 2x 3 +x 4 = 2 [Nuov second equzione]. l 31 = (1) 31 = 4 (1) 2 = 2 11 e moltiplichimo l prim equzione per l 31 ottenendo: 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2. L nuov terz equzione srà l somm tr l terz equzione e l prim moltiplict per l 31 : 4x 1 6x 2 3x 3 x 4 = 2 4x 1 +2x 2 +2x 3 = 2 4x 2 x 3 x 4 = 0 [Nuov terz equzione]. Ponimo or l 41 = (1) 41 = 2 (1) 2 = 1 11 e moltiplichimo l prim equzione per l 41 ottenendo: 2x 1 x 2 x 3 = 1. L nuov qurt equzione srà l somm tr l qurt equzione e l prim moltiplict per l 41 : 2x 1 3x 2 +7x 3 3x 4 = 0 2x 1 x 2 x 3 = 1 4x 2 +6x 3 3x 4 = 1 [Nuov qurt equzione]. Al secondo psso il sistem linere è diventto: 2x 1 +x 2 +x 3 = 1 x 2 2x 3 +x 4 = 2 4x 2 x 3 x 4 = 0 4x 2 +6x 3 3x 4 = 1.

8 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 8 L mtrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti sono diventti: A (2) = , b(2) = Cerchimo or di zzerre gli elementi sottodigonli dell second colonn, prtire d 32, usndo un tecnic simile. Innnzitutto osservimo che non conviene prendere in considerzione un combinzione linere che coinvolg l prim equzione perchè vendo quest un elemento in prim posizione diverso d zero qundo sommt ll terz equzione cncellerà l elemento ugule zero in prim posizione. Lscimo quindi inlterte le prime due equzioni del sistem e prendimo come equzione di riferimento l second. Poichè (2) 22 0 ponimo l 32 = (2) 32 (2) 22 = 4 1 = 4 e moltiplichimo l second equzione per l 32 ottenendo: 4x 2 + 8x 3 4x 4 = 8. L nuov terz equzione srà l somm tr l terz equzione e l second ppen modifict: Ponimo 4x 2 x 3 x 4 = 0 4x 2 +8x 3 4x 4 = 8 7x 3 5x 4 = 8 [Nuov terz equzione]. l 42 = (2) 42 = 4 (2) 1 = 4 22 e moltiplichimo l second equzione per l 42 ottenendo: 4x 2 + 8x 3 4x 4 = 8. L nuov qurt equzione srà l somm tr l qurt equzione e l second ppen modifict: 4x 2 +6x 3 3x 4 = 1 4x 2 +8x 3 4x 4 = 8 14x 3 7x 4 = 9 [Nuov qurt equzione].

9 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 9 Al terzo psso il sistem linere è diventto: 2x 1 +x 2 +x 3 = 1 x 2 2x 3 +x 4 = 2 7x 3 5x 4 = 8 14x 3 7x 4 = 9. L mtrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti sono quindi A (3) = , b(2) = Rest d zzerre l unico elemento sottodigonli dell terz colonn. Lscimo inlterte le prime tre equzioni del sistem. Ponimo l 43 = (3) 43 (3) 33 = 14 7 = 2 e moltiplichimo l terz equzione per l 43 ottenendo: 14x x 4 = 16. L nuov qurt equzione srà l somm tr l qurt equzione e l terz ppen modifict: 14x 3 7x 4 = 16 14x 3 +10x 4 = 9 3x 4 = 7 [Nuov qurt equzione]. Abbimo ottenuto un sistem tringolre superiore: 2x 1 +x 2 +x 3 = 1 x 2 2x 3 +x 4 = 4 7x 3 5x 4 = 8 3x 4 = 7. L mtrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti sono diventti: A (4) = , b(4) =

10 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 10 I numeri l 21,l 3,1,... sono detti moltiplictori. Vedimo or di clcolre le formule che consentno di clcolre gli elementi dell mtrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti d ogni psso del metodo di Guss. Abbimo detto che A (1) e b (1) sono ssegnti inizilmente, ipotizzimo per il momento che (1) Clcolimo or gli stessi dti l psso 2 tenendo presente che: 1. L prim equzione del sistem rest invrit; 2. Gli elementi sottodigonli dell prim colonn di A (2) sono nulli; 3. L i esim equzione del sistem (i 2) è ottenut sommndo ll medesim equzione l prim moltiplict per (1) i1 /(1) 11. Fissimo quindi un equzione i, i 2, e clcolimone i coefficienti (2) ij e b (2) i : (1) i1 (1) i2 (1) i3... (1) ij... (1) in b (1) i + (1) i1 (1) 11 (1) 11 (1) 12 (1) (1) 1j... (1) 1n b (1) 1 = dove e 0 (2) i2 (2) i3... (2) ij... (2) in b (2) i (2) ij = (1) b (2) i = b (1) i ij (1) i1 (1) 11 (1) i1 (1) 11 (1) 1j, i,j = 2,...,n b (1) 1, i = 2,...,n. Se ipotizzimo che (2) 22 0 possimo clcolre gli elementi del sistem l psso 3 tenendo presente che: 1. L prime 2 equzioni del sistem restno invrite; 2. Gli elementi sottodigonli dell prime 2 colonn di A (3) sono nulli; 3. L i esim equzione del sistem (i 3) è ottenut sommndo ll medesim equzione l second moltiplict per (2) i2 /(2) 22.

11 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 11 Fissimo quindi un equzione i, i 3, e clcolimone i coefficienti (3) ij e b (3) i : 0 (2) i2 (2) i3... (2) ij... (2) in b (2) i + (2) i2 (2) 22 0 (2) 22 (2) (2) 2j... (2) 2n b (2) 2 = dove e 0 0 (3) i3... (3) ij... (3) in b (3) i (3) ij = (2) b (3) i = b (2) i ij (2) i2 (2) 22 (2) i2 (2) 22 (2) 2j, i,j = 3,...,n b (2) 2, i = 3,...,n. Avendo ricvto esplicitmente le formule per i primi due pssi del metodo di Guss è semplice ricvre quelle per un generico psso k. L mtrice A (k) h gli elementi sottodigonli delle prime k 1 colonne uguli zero, e, supposto (k) kk 0, gli elementi di A(k+1) e di b (k+1) sono quindi: e (k+1) ij b (k+1) i = (k) ij = b (k) i (k) ik (k) kk (k) ik (k) kk (k) kj, i,j = k + 1,...,n (1.8) b (k) k, i = k + 1,...,n. (1.9) Il vlore di k vri d 1 (mtrice dei coefficienti e vettori dei termini noti inizili) fino n 1, inftti l mtrice A (n) vrà gli elementi sottodigonli delle prime n 1 colonne uguli zero. Un ltr proprietà importnte delle mtrici che sono definite d ogni psso è il ftto che le operzioni effettute non lterno il determinnte dell mtrice, quindi deta (k) = deta, per ogni k. Poichè l mtrice A (n) è tringolre superiore llor il suo determinnte può essere clcolto esplicitmente n deta (k) = (k) kk, k=1

12 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 12 quindi bbimo trovto un modo, lterntivo ll regol di Lplce, per clcolrlo. Tutto il discorso ftto finor v bene se gli elementi (k) kk sono diversi d zero per ogni k Nel descrivere il metodo di Guss si è ftt l implicit ipotesi (vedere formule (1.8) e (1.9)) che i cosiddetti elementi pivotli (k) kk sino non nulli per k = 1, 2,...,n 1. Tle ipotesi non è tuttvi molto limitnte in qunto l non singolrità di A grntisce che nell k-esim colonn ci si sicurmente un elemento l di sotto dell digonle diverso d zero e quindi è possibile, con un opportuno scmbio di righe in A (k), trovre un elemento pivotle non nullo. Inftti scmbire due righe in A (k) signific sostnzilmente scmbire due equzioni nel sistem A (k) x = b (k) e ciò non lter l ntur del sistem stesso. Vedimo di provre quest proprietà. Supponimo che l mtrice A si non singolre, considerimo l mtrice A (k) e supponimo (k) kk = 0. Se tutti gli elementi (k) ik per i = k + 1,...,n, fossero nulli llor l mtrice A (k) vrebbe l seguente struttur: (1) (1) 1,k 1 (1) 1k (1) 1,k+1... (1) 1n A (k) = 0 (k 1) k 1,k 1 (k 1) k 1,k (k 1) k 1,k+1... (k 1) k 1,n 0 (k) k,k+1 Prtizionimo A (k) nel seguente modo [ ] A (k) A (k) 11 A (k) 12 = 0 A (k) 22 con A (k) 11 mtrice di ordine k 1. Poichè deta (k) = deta (k) 11 deta (k) 22 (k) kn... 0 (k) n,k+1... (k) nn si h deta (k) = 0 (inftti l mtrice A (k) 22 è singolre), m questo contrst con l proprietà vist in precedenz: deta (k) = deta 0 quindi possimo concludere che se (k) kk = 0 e deta 0 deve necessrimente esistere un elemento (k) ik 0, con i {k + 1,k + 2,...,n}. L esistenz

13 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 13 di questo elemento diverso d zero grntisce che il metodo di Guss poss essere pplicto nche se (k) kk = 0. Inftti in un simile eventulità si può pplicre l cosiddett strtegi di Pivoting przile: 1. si determin l elemento (k) rk tle che (k) rk = mx k i n (k) ik ; 2. si effettu lo scmbio tr l r-esim e l k-esim equzione. Un conseguenz nell ppliczione dell strtegi di pivoting przile è che i moltiplictori sono sempre, in modulo, minori o uguli uno. Inftti poichè (k) ik (k) kk, i = k + 1,...,n risult l ik = (k) ik (k) kk 1. In lterntiv si può dottre l strtegi di Pivoting totle che è l seguente: 1. determinre gli indici r,s tli che (k) rs = mx k i,j n (k) ij ; 2. effetture lo scmbio tr l r-esim e l k-esim rig e tr l s-esim e l k-esim colonn. L strtegi di pivoting totle è senz ltro migliore perchè grntisce mggiormente che un elemento pivotle non si un numero piccolo (in quest eventulità potrebbe ccdere che un moltiplictore si un numero molto grnde) m richiede che tutti gli eventuli scmbi tr le colonne dell mtrice sino memorizzti. Inftti scmbire due colonne signific scmbire due incognite del vettore soluzione pertnto dopo l risoluzione del sistem tringolre per ottenere il vettore soluzione del sistem di prtenz è opportuno permutre le componenti che sono stte scmbite Costo Computzionle del Metodo di Eliminzione di Guss Dlle relzioni (1.8), (1.9) è evidente che servono 3(n k) 2 operzioni per pssre d A (k) d A (k+1) e 2(n k) per pssre d b (k) b (k+1). Pertnto

14 CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI 14 per trsformre A in A (n) e b in b (n) sono necessri ovvero n 1 n 1 3 (n k) (n k) k=1 [ ] n(n 1)(2n 1) 3 6 k=1 n(n 1) = n 3 n 2 2 n 2. A questi vnno ggiunti le n 2 operzioni ritmetiche necessrie per risoluvere il sistem tringolre superiore.

15 Cpitolo 2 Interpolzione di Funzioni 2.1 Introduzione Nel cmpo del Clcolo Numerico si possono incontrre diversi csi nei quli è richiest l pprossimzione di un funzione (o di un grndezz incognit): 1) non è not l espressione nlitic dell funzione f(x) m si conosce il vlore che ssume in un insieme finito di punti x 1,x 2,...,x n. Si potrebbe pensre nche che tli vlori sino delle misure di un grndezz fisic incognit vlutte in differenti istnti di tempo. 2) Si conosce l espressione nlitic dell funzione f(x) m è così complict dl punto di vist computzionle che è più conveniente cercre un espressione semplice prtendo dl vlore che ess ssume in un insieme finito di punti. In questo cpitolo nlizzeremo un prticolre tipo di pprossimzione di funzioni cioè l cosiddett interpolzione che richiede che l funzione pprossimnte ssume in determinte scisse esttmente lo stesso vlore di f(x). In entrmbi i csi ppen citti è noto, dte certe informzioni supplementri, che l funzione pprossimnte v ricerct dell form: f(x) g(x; 0, 1,..., n ). (2.1) Se i prmetri 0, 1,..., n sono definiti dll condizione di coincidenz di f e g nei punti x 0,x 1,...,x n, llor tle procedimento di pprossimzione si chim ppunto Interpolzione. Invece se x [min i x i, mx i x i ] llor si prl di Estrpolzione. Tr i procedimenti di interpolzione il più usto è quello in cui si cerc l 15

16 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI 16 funzione g in (2.1) nell form g(x; 0, 1,..., n ) = i Φ i (x) i=0 dove Φ i (x), per i = 0,...,n, sono funzioni fisste e i vlori di i, i = 0,...,n, sono determinti in bse lle condizioni di coincidenz di f con l funzione pprossimnte nei punti di interpolzione (detti nche nodi), x j, cioè si pone f(x j ) = i Φ i (x j ) i=0 j = 0,...,n. Vedremo nel successivo prgrfo di dre un rispost l nostro problem nel cso in cui si cerchino le funzioni Φ i (x) di tipo polinomile. 2.2 Il Polinomio Interpolnte di Lgrnge Al fine di dre un form esplicit l polinomio interpolnte, scrivimo il cndidto polinomio nell seguente form: L n (x) = l nk (x)f(x k ) (2.2) k=0 dove gli l nk (x) sono per il momento generici polinomi di grdo n. Imponendo le condizioni di interpolzione L n (x i ) = f(x i ) i = 0,...,n deve essere, per ogni i: L n (x i ) = l nk (x i )f(x k ) = f(x i ) k=0 ed è evidente che se 0 se k i l nk (x i ) = 1 se k = i (2.3)

17 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI 17 llor esse sono soddisftte. In prticolre l prim condizione di (2.3) indic che l nk (x) si nnull negli n nodi x 0,x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n e quindi deve vere l seguente struttur: l nk (x) = c k n i=0,i k (x x i ) mentre impondendo l second condizione di (2.3) l nk (x k ) = c k n i=0,i k (x k x i ) = 1 si trov immeditmente: c k = 1. n (x k x i ) i=0,i k In definitiv il polinomio interpolnte h l seguente form: ( n ) x x i L n (x) = f(x k ). (2.4) x k x i k=0 i=0,i k Il polinomio (2.4) prende il nome di Polinomio di Lgrnge mentre i polinomi: l nk (x) = n i=0,i k x x i x k x i ; si chimno Polinomi Fondmentli di Lgrnge. k = 0, 1,...,n Il Resto del Polinomio di Lgrnge Assumimo che l funzione interpolt f(x) si di clsse C n+1 ([,b]) e vlutimo l errore che si commette nel sostituire f(x) con L n (x) in un punto x x i. Supponimo che l intervllo [,b] si tle d contenere si i nodi x i che l ulteriore punto x. Si dunque e(x) = f(x) L n (x) l errore (o resto) commesso nell interpolzione dell funzione f(x). Poichè e(x i ) = f(x i ) L n (x i ) = 0 i = 0,...,n

18 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI 18 è fcile congetturre per e(x) l seguente espressione: dove e(x) = c(x)ω n+1 (x) ω n+1 (x) = n (x x i ) è il cosiddetto polinomio nodle mentre c(x) è un funzione d determinre. Definimo or l funzione i=0 Φ(t;x) = f(t) L n (t) c(x)ω n+1 (t) dove t è un vribile ed x è un vlore fissto. Clcolimo l funzione Φ(t;x) nei nodi x i : e nche nel punto x: Φ(x i ;x) = f(x i ) L n (x i ) c(x)ω n+1 (x i ) = 0 Φ(x;x) = f(x) L n (x) c(x)ω n+1 (x) = e(x) c(x)ω n+1 (x) = 0 pertnto l funzione Φ(t; x) (che è derivbile con continuità n+1 volte poichè f(x) è di clsse C n+1 ) mmette lmeno n + 2 zeri distinti. Applicndo il teorem di Rolle segue che Φ (t;x) mmette lmeno n+1 zeri distinti. Ripplicndo lo stesso teorem segue che Φ (t;x) mmette lmeno n zeri distinti. Così proseguendo segue che ξ x [,b] Φ (n+1) (ξ x ;x) = 0. Clcolimo or l derivt di ordine n+1 dell funzione Φ(t; x), osservndo innnzitutto che l derivt di tle ordine del polinomio L n (x) è identicmente null. Pertnto Φ (n+1) (t;x) = f (n+1) (t) c(x) dn+1 dt n+1ω n+1(t). Clcolimo l derivt di ordine n + 1 del polinomio nodle. Osservimo innnzitutto che ω n+1 (t) = n (t x i ) = t n+1 + p n (t) i=0

19 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI 19 dove p n (t) è un polinomio di grdo l più n. Quindi Poichè e è fcile dedurre che d n+1 dt n+1ω n+1(t) = dn+1 dt n+1tn+1. d dt tn+1 = (n + 1)t n d 2 dt 2tn+1 = (n + 1)nt n 1 Pertnto e quindi cioè e in definitiv d n+1 dt n+1tn+1 = dn+1 dt n+1ω n+1(t) = (n + 1)!. Φ (n+1) (t;x) = f (n+1) (t) c(x)(n + 1)! Φ (n+1) (ξ x ;x) = f (n+1) (ξ x ) c(x)(n + 1)! = 0 c(x) = f(n+1) (ξ x ) (n + 1)! e(x) = f(n+1) (ξ x ) (n + 1)! ω n+1(x). (2.5) Esempio Supponimo di voler clcolre il polinomio interpolnte di Lgrnge pssnte per i punti ( 1, 1), (0, 1), (1, 1), (3, 2) e (5, 6). Il grdo di tle polinomio è 4, quindi definimo i nodi x 0 = 1, x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 5, cui corrispondono le ordinte che indichimo con y i, i = 0,...,4: y 0 = 1, y 1 = 1, y 2 = 1, y 3 = 2, y 4 = 6. Scrivimo or l espressione del polinomio L 4 (x): L 4 (x) = l 4,0 (x)y 0 + l 4,1 (x)y 1 + l 4,2 (x)y 2 + l 4,3 (x)y 3 + l 4,4 (x)y 4 (2.6)

20 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI 20 e clcolimo i 5 polinomi fondmentli di Lgrnge: l 4,0 (x) = (x 0)(x 1)(x 3)(x 5) ( 1 0)( 1 1)( 1 3)( 1 5) = = 1 48 l 4,1 (x) = x(x 1)(x 3)(x 5) (x + 1)(x 1)(x 3)(x 5) (0 + 1)(0 1)(0 3)(0 5) = = 1 (x + 1)(x 1)(x 3)(x 5) 15 (x + 1)(x 0)(x 3)(x 5) l 4,2 (x) = (1 + 1)(1 0)(1 3)(1 5) = = 1 x(x + 1)(x 3)(x 5) 16 l 4,3 (x) = (x + 1)(x 0)(x 1)(x 5) (3 + 1)(3 0)(3 1)(3 5) = = 1 x(x + 1)(x 1)(x 5) 48 l 4,4 (x) = (x + 1)(x 0)(x 1)(x 3) (5 + 1)(5 0)(5 1)(5 3) = = 1 x(x + 1)(x 1)(x 3) 240 Sostituendo in (2.6) il vlore dell funzione nei nodi si ottiene l espressione finle del polinomio interpolnte: L 4 (x) = l 4,0 (x) + l 4,1 (x) l 4,2 (x) + 2l 4,3 (x) + 6l 4,4 (x). Se voglimo clcolre il vlore pprossimto dell funzione f(x) in un sciss divers di nodi, per esempio x = 2 llor dobbimo clcolre il vlore del polinomio interpolnte L 4 (2). Nelle figure sono riportti i grfici dei cinque polinomi fondmentli di Lgrnge: gli sterischi evidenzino il vlore ssunto d tli polinomi nei nodi di interpolzione. Nell figur 2.6 è trccito il grfico del polinomio interpolnte di Lgrnge, i cerchi evidenzino ncor un volt i punti di interpolzione.

21 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI Figur 2.1: Grfico del polinomio l 40 (x) Figur 2.2: Grfico del polinomio l 41 (x).

22 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI Figur 2.3: Grfico del polinomio l 42 (x) Figur 2.4: Grfico del polinomio l 43 (x).

23 CAPITOLO 2. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI Figur 2.5: Grfico del polinomio l 44 (x) Figur 2.6: Grfico del polinomio interpolnte di Lgrnge L 4 (x).

24 Cpitolo 3 Formule di Qudrtur 3.1 Formule di Tipo Interpoltorio Sino ssegnti due vlori,b, con < b, ed un funzione f integrbile sull intervllo (, b). Il problem che ci ponimo è quello di costruire degli lgoritmi numerici che ci permettno di vlutre, con errore misurbile, il numero I(f) = f(x)dx. Diversi sono i motivi che possono portre ll richiest di un lgoritmo numerico per questi problemi, per esempio pur essendo not l primitiv dell funzione f(x), quest risult così complict d preferire un pproccio di tipo numerico. Non è d trscurre poi il ftto che il coinvolgimento di funzioni, elementri e non, nell primitiv e l loro vlutzione negli estremi e b comport comunque un pprossimzione dei risultti. Un ltr eventulità è che f si not solo in un numero finito di punti o comunque può essere vlutt in ogni vlore dell rgomento solo ttrverso un routine. In questi csi l pproccio nlitico non è nenche d prendere in considerzione. Supponimo dunque di conoscere l funzione f(x) nei punti x 0,x 1,...,x n, prefissti oppure scelti d noi, e che supponimo due due distinti, ed esminimo l costruzione di formule del tipo w k f(x k ) (3.1) k=0 24

25 CAPITOLO 3. FORMULE DI QUADRATURA 25 con lo scopo di relizzre I(f) w k f(x k ). k=0 Formule di tipo (3.1) si dicono di qudrtur, i numeri reli x 0,x 1,..., x n e w 0,...,w n si chimno rispettivmente nodi e pesi dell formul di qudrtur. Il modo più semplice ed immedito per costruire formule di tipo (3.1) è quello di sostituire l funzione integrnd f(x) con il polinomio di Lgrnge L n (x) interpolnte f(x) nei nodi x i, i = 0,...,n. Posto inftti f(x) = L n (x) + e(x) dove e(x) è l funzione errore, bbimo: Ponendo e ottenimo f(x)dx = = = = w k = [L n (x) + e(x)]dx = L n (x)dx + e(x)dx = l nk (x)f(x k )dx + k=0 ( k=0 ) l nk (x)dx f(x k ) + e(x)dx = e(x)dx. l nk (x)dx k = 0, 1,...,n (3.2) R n+1 (f) = I(f) e(x)dx (3.3) w k f(x k ) k=0 con un errore stbilito dll relzione (3.3). Le formule di qudrtur con pesi definiti dlle formule (3.2) si dicono interpoltorie. L quntità R n+1 (f)

26 CAPITOLO 3. FORMULE DI QUADRATURA 26 prende il nome di Resto dell formul di qudrtur. È fcile stbilire che le formule interpoltorie costruite sui nodi x 0,x 1,...,x n sono estte, cioè l errore è nullo, per ogni polinomio di grdo n. Inftti per ogni p Π n, dove Π n è l insieme dei polinomi di grdo n, risult: R n+1 (p) = p (n+1) (ξ x ) (n + 1)! n (x x k )dx = 0. (3.4) I pesi w k, k = 0,...,n, nelle formule di tipo interpoltorio sono determinti in modo univoco: ciò permette di ffermre che un volt fissti i nodi x 0,...,x n l corrispondente formul di qudrtur è unic, cioè non esiste lcun ltr scelt dei pesi w k in w k f(x k ) k=0 divers d quelli definiti in (3.2) in grdo di produrre formule estte ogni qul volt l funzione integrnd si un polinomio di grdo l più n. Un utile concetto per misurre il grdo di ccurtezz con cui un formul di qudrtur, interpoltori o meno, pprossim un integrle è nell seguente Definizione Un formul di qudrtur h grdo di precisione ν se è estt qundo l funzione integrnd è un qulunque polinomio di grdo l più ν ed inoltre esiste un polinomio di grdo ν + 1 tle che: k=0 R(p ν+1 ) 0. È evidente d quest definizione che ogni formul di tipo interpoltorio con nodi x 0,x 1,..., x n h grdo di precisione lmeno n. 3.2 Formule di Newton Cotes Suddividimo l intervllo [,b] in n intervllini di mpiezz h, con e definimo i nodi h = b n x i+1 = x i + h = + (i + 1)h i = 0, 1,...,n 1.

27 CAPITOLO 3. FORMULE DI QUADRATURA 27 L formul di qudrtur costruit su tli nodi, cioè f(x)dx = w i f( + ih) + R n+1 (f) i=0 è dett Formul di Newton Cotes di tipo chiuso. Qundo tr i nodi di interpolzione non vengono considerti i due estremi dell intervllo, ovvero si pone x i = + (i + 1)h i = 0, 1,...,n dove h = b n + 2 si ottengono le formule di Newton Cotes di tipo perto. Di norm le formule di Newton Cotes non vengono pplicte direttmente ll integrle in oggetto. Esse sono generlmente costruite su pochi nodi e quindi mnipolte in modo d fornire schemi di clcolo di tipo composto. Ciò cus del ftto che le formule di Newton Cotes hnno, l crescere di n, pesi di segno lterno e ciò è cus di instbilità delle formule stesse. In ogni cso le formule di Newton Cotes più note sono quelle di tipo chiuso. Un proprietà di cui godono i pesi delle formule di Newton Cotes è l cosiddett proprietà di simmetri. Inftti poichè i nodi sono due due simmetrici rispetto l punto medio c dell intervllo [,b], cioè c = (x i +x n i )/2, per ogni i, llor i pesi sono uguli coppie: w i = w n i, i = 0,...,n. Vedimo or lcuni esempi di formule di Newton Cotes L Formul del Trpezio L prim formul di qudrtur si ottiene ponendo n = 1 ed utilizzndo due nodi di interpolzione, che devono essere necessrimente gli estremi dell intervllo. Ponino quindi x 0 =, x 1 = b e h = b. w 0 = l 1,0 (x)dx = T 2 = w 0 f(x 0 ) + w 1 f(x 1 ) x x b 1 x b dx = x 0 x 1 b dx = h 2.

28 CAPITOLO 3. FORMULE DI QUADRATURA 28 Poichè i nodi scelti sono simmetrici rispetto l punto medio c = ( + b)/2 è Ottenimo dunque l formul w 1 = w 0 = h 2. T 2 = h [f() + f(b)]. 2 che viene dett Formul del Trpezio (o nche Formul dei Trpezi). L espressione del resto è R 2 (f) = 1 (x )(x b)f (ξ x )dx. 2 Prim di vedere come tle espressione può essere mnipolt dimostrimo il seguente teorem che è noto come teorem dell medi generlizzto. Teorem Sino f,g : [,b] R, funzioni continue con g(x) segno costnte e g(x) 0 per ogni x ], b[. Allor f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx ξ [,b]. Poichè l funzione (x )(x b) è segno costnte segue: R 2 (f) = 1 2 f (η) (x )(x b)dx Clcolimo or l integrle usndo il cmbio di vribile x = + ht, con h = b, cosicchè se x = llor t = 0 mentre se x = b llor t = 1 e quindi gli estremi di integrzione diventno rispettivmente 0 e 1. Inoltre x divent ugule ht mentre x b = + ht b = (b ) + ht = h + ht = h(t 1) ed il differenzile dx = hdt cosicchè l integrle divent (x )(x b)dx = 1 0 = h 3 [ t 3 1 hth(t 1)hdt = h 3 (t 2 t)dt = 3 t2 2 L errore ssume quindi l seguente espressione ] 1 0 = h3 6. R 2 (f) = f (η)h 3 t(t 1)dt = 1 12 h3 f (η). 0 0

29 CAPITOLO 3. FORMULE DI QUADRATURA Formul dei Trpezi Compost Come bbimo già visto le formule di qudrtur interpoltorie vengono costruite pprossimndo su tutto l intervllo di integrzione l funzione integrnd con un unico polinomio, quello interpolnte l funzione sui nodi scelti. Un volt pplict l formul costruit su n+1 nodi non è detto che il risultto ottenuto poss essere migliorto. In tl modo comunque, per ogni fissto n, bisogn costruire l corrispondente formul di qudrtur. Un strtegi lterntiv che h il pregio di evitre l costruzione di un nuov formul di qudrtur, e che spesso produce risultti più pprezzbili, è quell delle formule composte. Vedimo in prticolre l Formul dei Trpezi Compost. L ide ll bse è quell di suddividere l intervllo di integrzione [,b] in N sottointervlli, ognuno di mpiezz h, sicchè dove i punti x i sono: f(x)dx = h = b N N 1 i=0 xi+1 x i f(x)dx x 0 = x i = + ih i = 1,...,N 1 x N = + Nh = b. (3.5) (3.6) L formul di qudrtur viene pplict d ognuno dei sottointervlli [x i,x i+1 ]: f(x)dx = = N 1 i=0 N 1 i=0 xi+1 x i f(x)dx = [ h 2 (f(x i) + f(x i+1 )) 1 ] 12 h3 f (η i ) Scrivendo diversmente l stess espressione i=1 η i ]x i,x i+1 [. f(x)dx = h N 1 2 (f(x 0) + f(x N )) + h f(x i ) 1 N 1 12 h3 f (η i ) = i=0 = h N 1 2 (f(x 0) + f(x N )) + h f(x i ) 1 12 h3 Nf (η) i=1

30 CAPITOLO 3. FORMULE DI QUADRATURA 30 dove η ],b[. Dunque l formul dei trpezi compost è l seguente con resto T C (h) = h N 1 2 (f(x 0) + f(x N )) + h f(x i ) i=1 R T = 1 12 h3 Nf (η) = 1 (b ) 3 Nf (η) = 1 12 N 3 12 (b ) 3 f (η). Nell ottenere l espressione del resto per l formul dei trpezi compost è stto pplicto il cosiddetto Teorem dell medi nel discreto. Teorem (dell medi nel discreto) Si g un funzione continu nell intervllo [,b] e sino ξ 1,...,ξ N N punti pprtenenti llo stesso intervllo [,b]. Esiste un punto ξ [,b] tle che N f(ξ i ) = Nf(ξ). i=1 N 2