MATEMATICA FINANZIARIA. Docente: prof. Filippo Petroni

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1 ATEATIA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni

2 Problemi base della matemaaca finanziaria FaDore tempo: una somma a disposizione oggi è diversa dalla stessa somma a disposizione tra 1 anno Avere a disposizione una somma oggi può essere fonte di ricchezza I parte del corso: somme certe disponibili in tempi diversi onfrontare tra loro somme diversi disponibili in tempi diversi II parte del corso: considereremo l incertezza

3 Interesse e ontante Operazioni d invesamento Si rinuncia all istante t ad avere a disposizione la somma (capitale) per recuperare in un tempo t 1 una somma (montante) in generale diversa da La differenza tra montante prododo e capitale impiegato prende il nome di interesse I I (1) In generale I può essere posiavo, negaavo o nullo

4 Interesse e ontante Dalla equazione (1) segue banalmente +I (2) Il rapporto tra interesse generato I e capitale impiegato è dedo tasso di interesse o anche tasso di rendimento i I I i L interesse I è proporzionale al capitale impiegato

5 Interesse e ontante Il rapporto tra montante e capitale prende il nome di fadore di capitalizzazione r r r Il prododo tra capitale e fadore di capitalizzazione r relaavo ad una operazione che duri tra t e t 1 prende il nome di capitalizzazione di tra t e t 1 + I + i (1 + i) r 1+ i

6 Interesse e ontante Preso > N.B. il tasso di interesse i viene espresso in percentuale, ad esempio 5.25% > > > > r I i 1 r I i 1 1 r I i 1 r I i

7 SONTO E VALORE ATTUALE Operazione di sconto anacipazione adualizzazione à problema inverso: valore aduale (in t ) di una somma disponibile al tempo t 1 Sconto D è la differenza tra capitale a scadenza t 1 K e la somma P disponibile in t D K P P valore aduale (o anacipato o scontato) del capitale K P K D Indichiamo con d (tasso di sconto) il rapporto tra sconto e capitale a scadenza d D K D Kd

8 SONTO E VALORE ATTUALE Il rapporto tra valore aduale P e capitale a scadenza K è dedo fadore di anacipazione (o adualizzazione o sconto) P ν P Kν K Il prododo tra capitale K e fadore di anacipazione ν corrisponde ad una operazione di sconto tra i tempi t 1 e t P K Kd K(1- d) > ν 1 d

9 SONTO E VALORE ATTUALE Preso K> 1 1 ν K P K D d 1 ν P K D d 1 ν K P D d 1 > > ν K P D d

10 Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali Se adraverso un invesamento si può trasformare tra t e t 1 il capitale nel montante > avere in t è la stessa cosa che avere in t 1 > è il valore aduale di > ed sono equivalena Un credito di K euro esigibile tra un anno può essere scambiato con P euro subito ó K in t 1 e P in t sono equivalena > K può essere considerato come il montante di P Un operazione finanziaria determina una relazione di equivalenza tra due somme disponibili in epoche diverse

11 Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali Se è il montante di allora è il valore aduale di r ν ν fadore di anacipazione, r fadore di capitalizzazione ν 1 r

12 Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali Se P è il valore aduale di K > K sarà il montante di P ν P K r K P I fadori r e ν e i tassi i e d determinaa da una medesima operazione si dicono mutuamente corrispondena, o associaa νr1 r 1 ν

13 Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali i r d ν i i r- 1 d/(1- d) (1- ν)/ν r 1+i r 1/(1- d) 1/ν d i/(1+i) (r- 1)/r d 1- ν ν 1/(1+i) 1/r 1- d ν E importante notare la relazione tra tasso d interesse i e tasso di sconto d i /(1+i) Questa implica che il tasso di sconto è sempre minore del tasso d interesse (quando i diverso da zero e i>-1).

14 Interesse anacipato Operazione elementare di presato: à Operatore a presta in t a b una somma in cambio della somma al tempo t 1. Visto da a si trada di un normale invesamento. à a presta a b la somma in t e b paga in t (anacipatamente) l interesse I (> riceve - I) La stessa operazione può essere vista come presato di in t con pagamento di I in t 1 e resatuzione di in t 1 > + I O anche come presato di in t con pagamento anacipato di I e quindi - I e resatuzione quindi di in t 1

15 Interesse anacipato Quello che cambia è la definizione di tasso d interesse, uno anacipato e uno posacipato I I tasso d interesse anacipato tasso d interesse posacipato

16 Interesse anacipato Il tasso d interesse posacipato è quello definito in precedenza I i entre: I 1 È il tasso di sconto se si interpreta come valore aduale di i r (d) > l interesse posacipato è lo sconto capitalizzato d ν (i) > lo sconto è il valore aduale dell interesse d

17 r Operazione di capitalizzazione t t 1 ν Operazione di attualizzazione t t 1

18 Leggi finanziarie ad una e due variabili In generale le grandezze considerato fino ad ora dipenderanno dalla durata t dell operazione finanziaria: I(t), (t), D(t), P(t), i(t), d(t), r(t), v(t) Più in generale la dipendenza sarà funzione di due variabili: data di inizio x e data di fine y dell operazione finanziaria in esame: I(x,y), (x,y), D(x,y), P(x,y), i(x,y), d(x,y), r(x,y), v(x,y) Devono valere le seguena condizioni: per una variabile i()d(); r()v()1; I()D(); (); P()K per due variabili i(x,x)d(x,x); r(x,x)v(x,x)1, I(x,x)D(x,x); (x,x); P(x,x)K Le relazioni tra le grandezze fondamentali conanuano a valere e devono essere verificate per ogni t o (x,y)

19 Leggi finanziarie ad una e due variabili La conoscenza di una qualunque delle 4 funzioni i, r, v, d determina una legge finanziaria ADraverso una legge finanziaria restano determinate le grandezze equivalena Va notato che l equivalenza tra grandezze finanziarie non è assoluta ma dipende appunto dalla paracolare legge in uso: operatori diversi possono ualizzare leggi diverse

20 Leggi finanziarie ad una e due variabili Le leggi ad una variabili possono essere ricondode a leggi a due variabile. In paracolare se poniamo ty- x In casi paracolari anche il viceversa è possibile > leggi a due variabili possono essere ricondode a leggi ad una variabile ponendo yx+t e se risulta r(x 1,x 1 +t) r(x 2,x 2 +t)

21 Leggi finanziarie ad una e due variabili Se r(x,y) è un legge di capitalizzazione derivabile rispedo ad x e y la condizione che permede di scriverla come legge ad una variabile, posto ty- x, è la seguente: rxyxt (, (, )) r r y r r + + x x y x x y Valgono anche le seguena proprietà r t r y dy dt r y r x 2 r 2 t 2 r 2 y 2 r y x 2 r 2 x