Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 15

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1 Interazioni Eettrodeboi prof. Francesco Ragusa Università di iano Lezione n Corrente adronica deboe Decadimento de mesone π Decadimento de eptone τ: τ π ν τ Proprietà isotopiche dea corrente adronica anno accademico 07-08

2 La corrente adronica Neo studio de decadimento beta abbiamo utiizzato 'operatore corrente adronica ˆ ˆ J h = ψγ κγ ψˆ ( ) n ( ) Ne abbiamo cacoato eemento di matrice fra due stati (i neutrone iniziae e i protone finae) Abbiamo inotre notato che i fattore κ diverso da è dovuto a fatto che gi adroni non sono puntiformi Pertanto occorre tenere conto de interazione forte Neo studio dee correnti degi adroni risuta conveniente utiizzare una corrente Iˆ generica (non definita espicitamente) È un operatore vettoriae (ne senso di Lorentz) Dagi esperimenti abbiamo visto che deve avere una parte vettoriae e una assiae Iˆ = V ˆ + A ˆ Gi esperimenti ci dicono quai regoe di seezione deve riprodurre p Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 436

3 La corrente adronica Per i cacoo dee quantità osservabii occorre cacoare eemento di matrice de operatore fra stati di particee Ad esempio, ne caso de decadimento β de neutrone si ha ( ),, ˆ pk s I nk,, s = F k, s, k, s p p n n p p n n Le funzioni F sono un insieme di c-numbers (non sono operatori) A seconda de tipo di accoppiamento ipotizzato e funzioni F hanno uno (o più, o zero) indici di Lorentz In dipendenza daa natura degi stati (iniziae e finae) e funzioni F hanno anche argomenti con degi indici Compessivamente hanno ben precise proprietà di trasformazione per trasformazioni di Lorentz Utiizzando e proprietà di invarianza (di Lorentz) e e regoe di seezione si può scrivere a forma più generae de eemento di matrice e confrontaro con i dati sperimentai per determinare e parti incognite (ad esempio 'origine de fattore κ.6) Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 437

4 I decadimento π ν Abbiamo visto che a teoria di Fermi de decadimento β permette di cacoare a vita media de processo n pe ν e Con a stessa Hamitoniana si può anche cacoare a vita media de processo np e ν e D atro canto sappiamo che i pione si accoppia a nuceone tramite interazione forte Ad esempio sono possibii i processi π p p p n n Negi stati intermedi, ovviamente, non si conserverebbe energia Sono pertanto stati virtuai Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 438 n n p π ΔEΔt p e ν e e ν e π

5 I decadimento π ν È quindi possibie i processo π p n ν e e Questi erano i ragionamenti che si facevano verso a fine degi anni 40 Bisogna tenere sempre presente che i diagrammi riportati sono divergenti e non si sa come cacoari. Pertanto, per cacoare sezioni d urto e arghezze si deve ricorrere a metodi e cacoi fenomenoogici L Hamitoniana de decadimento è π pn e ν e = H G ( I ) L Per sempicità non abbiamo indicato espicitamente a natura operatoriae Ne Hamitoniana L è a corrente eptonica e è a corrente adronica Lo stato iniziae e o stato finae sono rispettivamente i = π f = ν Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 439 I f H i = ν H π

6 I decadimento π ν Notiamo in particoare che f H i = ν H π Per gi adroni si passa da uno stato con un pione ao stato vuoto Ne caso de decadimento β si passa da neutrone a protone Per i eptoni, come ne caso de decadimento β si passa da uno stato vuoto ao stato con due eptoni Si può procedere come ne caso de decadimento β per giungere aa seguente espressione per ampiezza = G β 0 I ( 0 ) π ν L ( 0 ) 0 La parte eptonica è identica a quanto visto per i decadimento β ν L ( 0 ) 0 = u ( k ) γ( γ ) vν ( kν ) Consideriamo a parte adronica Deve essere proporzionae a q, i 4-momento de pione 0 I ( 0 ) π = fq La costante di proporzionaità deve essere una funzione invariante Può dipendere soo da quantità invarianti: q = m Pertanto f(q ) = f π è una costante 0 I ( 0 ) π = fπq Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 440

7 I decadimento π ν 0 I ( 0 ) π = fπq Per a conservazione de 4-momento totae abbiamo q = k + k La quantità f π è una costante che dipende daa natura de mesone che decade e ha e dimensioni di una energia L eemento di matrice diventa pertanto ν = G f u k q v k ( ) γ ( γ ) ( ) β π ν ν = / = + ν q γ q k/ k/ Si può uteriormente sempificare ricordando che ( k/ m) u = 0 ( k/ + m) v = 0 (/ m) = 0 u k Pertanto Gβ = f π u ( )( )( ) ( ) k k / + k / ν γ v ν k ν mu kv / =0 (/ + m) = 0 ( )( ) ( ) ν ν v k Gβ f π mu k v ν k ν = γ Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 44

8 I decadimento π ν I moduo quadrato sommato sugi stati di poarizzazione finae si ottiene con e usuai tracce G β = f m Tr k / + m γ k / + γ La traccia si cacoa facimente Si ha inotre G = f mu k γ v k ( )( ) ( ) β π ν ν π [(/ + )( γ )/ ( + γ )] Tr k m k ν mπ = q = ( k + ) k ν [( )( ) ( )] = Tr ( k/ )( ) + m γ k/ ν Tr [( k / m )( γ ) k / ] ν ν = + = [// ] ν ν = k + k k + k k k = ν m π m Tr k k ν = 8k k ν In concusione k ν mν = = 0 ( ) = Gβ fπ m mπ m Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 44

9 I decadimento π ν ( ) = Gβ fπ m mπ m Notiamo che eemento di matrice è costante, come ci si poteva attendere La arghezza di decadimento è Ricordiamo o spazio dee fasi per uno stato finae di due particee ne c.m. de π (vedi diapositiva ) L integrae è banae d m π m π Γ= Φ d f ( i f ) f ( 4 W W p Φ = δ π dw d Ω ) W pf dφ = δ ( Wi Wf ) dwfdω ( 4π ) W f f = dφ Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 443 p mπ m 4π mπ dφ = f π m m = W f = m m π π m m = dω ( 4π ) m m π Più grande per = e Più piccoo per = π π

10 I decadimento π ν In definitiva otteniamo per a arghezza di decadimento Γ= = dφ τ m π m Γ= Gβfπm ( mπm ) m 4π β m f m m π π π mπ G Γ= 8 π m mπ I pione decade circa ne 00% dei casi in muone ed ha una vita media π τ 8 =.6033 ± s Da questo vaore si può ricavare i parametro fenomenoogico f π f π = 30.7 ± 0.eV. Suzuki, PDG 006, J. Phys. G 33 pag. 3 Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 444

11 I decadimento π ν β m f m m π π π mπ G Γ= 8 I decadimento in eettrone è moto raro La misura dea frazione di decadimento dà Γ( π eν) Γ( π ν) =.30 ± Va confrontata con i risutato de nostro cacoo ( e ) ( ) Γ( π eν) me mπ m R = = Γ( π ν) m m m π Vediamo che i nostro cacoo riproduce moto bene ordine di grandezza L ingrediente chiave è a massa de eptone a cui origine è dovuta a accoppiamento di tipo vettoriae ( γ o γ γ ) 4 4 R = =.83 0 Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 44

12 Poarizzazione de eptone Come ne caso de decadimento β de neutrone è facie cacoare a poarizzazione de eptone carico ne decadimento de pione G β ± γ s / R RL = fπm ( ) ( ) ( ) Tr k/ + m γ k/ ν + γ Otteniamo pertanto Gβ R L = f π m [( ) ( ) ( )] Tr k / + m γ s / R γ k / ν + γ Si verifica facimente che Tr [( k/ + m ) γ s/ R( γ ) k/ ν( + γ )] = 8msR kν I vettore di poarizzazione ongitudinae de eptone è E s k k R =, m Daa cinematica si ottiene facimente m k mπ m m π + m k E k k ν = ( k, k = E = ) kν sr = + m m m k Ricordiamo In definitiva π R L k E = mπ m + R + k L π ( ) R + L = = Gβfπm mπm π π π π ( π ) ( ) m m m = 4 m m m m m Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 446 =

13 Poarizzazione de eptone I risutato precedente mostra che ne sistema di riposo de pione i eptone è poarizzato a 00% nea sua direzione di moto Questo risutato era prevedibie in considerazione dee seguenti circostanze I pione ha spin 0 π L antineutrino è right-handed Per a conservazione de momento angoare anche i eptone carico è right-handed Questo spiega quaitativamente perchè i decadimento in eettrone è moto più raro nonostante dovrebbe essere favorito per o spazio dee fasi mπ m dφ = dφ 4π = 0.04 e dφ = 0.07 m π La conservazione de momento angoare obbiga i eptone a essere emesso con a poarizzazione sbagiata (rispetto a quea imposta daa corrente V-A) Per eettrone (che è moto più eggero e che ha un β ) ciò è moto più difficie (probabiità β) Se i eptone avesse massa nua i decadimento avrebbe arghezza nua Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 447

14 I decadimento de eptone τ: τ π ν τ ostriamo come i formaismo fin qui sviuppato può essere utiizzato anche per i cacoo dea frazione di decadimento de eptone τ Osserviamo prima di tutto che per i cacoo dea vita media o dea arghezza totae occorrerebbe cacoare tutte e arghezze parziai τ + ν τ h + ντ h = π, K, ρ, a + ντ τ ( nπ) + ν Troppo avoro. Cacoiamo soo a arghezza de decadimento in π ν τ e confrontiamoa con a arghezza totae La arghezza totae può essere derivata daa vita media Da risutato sperimentae τ = s ricaviamo τ τ Γ( a ) = = Cacoiamo adesso a arghezza de decadimento π ν τ I cacoo è identico a queo fatto per i decadimento de pione Si utiizza Hamitoniana ev s s = H G ( I ) J Γ( τ a ) = ev τ Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 448

15 I decadimento de eptone τ: τ π ν τ La corrente eptonica J adesso contiene anche un termine per i eptone τ Lo stato iniziae e o stato finae sono rispettivamente τ π ν τ Notiamo in particoare che per que che riguarda gi adroni si passa dao stato vuoto ao stato con un pione La situazione opposta a quea de decadimento de pione Scriviamo pertanto ampiezza di decadimento = G β I ( 0 ) 0 τ J ( 0 ) π ν τ L eemento di matrice dea parte adronica è i compesso coniugato di queo che avevamo ne decadimento de pione Dato che era reae sono uguai I ( 0 ) 0 fπq π = I 4-vettore q è i momento de pione τ ν q = k k Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 449

16 I decadimento de eptone τ: τ π ν τ L eemento di matrice dea parte eptonica è Per finire ampiezza è τ J 0 = uν kν uτ kτ ν τ γ γ ( ) ( ) ( ) ( ) Gβ f u k q π ν ν γ γ u τ k τ = ( ) ( ) ( ) Sostituendo τ ν q = k k Gβ = f u k k / k / γ u k Con a soita tecnica troviamo ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) π ν ν τ ν τ τ Gβ f mu k π τ ν ν u τ k τ = + γ G β f m Tr k k m = π τ ν + τ + τ [(/ )( γ )(/ )( γ )] G f m Tr[ ( k/ )( k/ m )( = + )] = G f m Tr[ k// k ] β π τ ν τ τ γ β π τ ν τ β π τ ν kτ = 4G f m k Daa cinematica otteniamo mτ k k = τ ν mπ mτ mπ 4π mτ dφ = Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 40

17 I decadimento de eptone τ: τ π ν τ ettendo insieme i vari pezzi otteniamo Γ= = dφ τ m τ Γ= τ π τ π π mτ m m m m 4G f m 4m β π τ 4 τ media sue poarizzazioni iniziai τ πν G f m 6π 3 β π τ m m Γ( ) = π τ Notiamo i fattore ½ introdotto prima de eemento di matrice Questa vota i eptone è neo stato iniziae Bisogna mediare statisticamente fra e due poarizzazioni possibii Introduciamo i vaori dee costanti e dee masse G β =.378 ± GeV m π = ± ev f π = 30.7 ± 0.eV m τ = ± 0.9 ev Otteniamo 4 Γ( τ πν) =.43 0 ev Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 4

18 I decadimento de eptone τ: τ π ν τ Ricordando a arghezza totae ottenuta daa vita media Γ( τ a ) = ev Otteniamo a frazione di decadimento Γ( ) τ πν Γ( τ a ) = = % Da confrontare con i vaore sperimentae Γ Γ τ πν τ a ( ) ( ) =.06 ± 0.% Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 4

19 Poarizzazione de eptone τ Cacoiamo adesso a arghezza di decadimento ne caso in cui i eptone τ sia poarizzato. L ampiezza mediata Diventa G β f m Tr k k m = π τ ν + τ + τ [(/ )( γ )(/ )( γ )] G β ± γ s/ RL = fπmτtr k/ ν + k/ τ + mτ R ( γ )( ) ( γ ) [/ (/ + )( / )( )] R = G f m Tr k k m sr β π τ ν τ τ + γ γ ( ) G β f π m τ k τ k ν + m τ s R k ν = = / [/ / + m k/ s ] G β fπmτtr kνkτ τ ν R Adesso mettiamoci ne sistema di riposo de eptone s = ( 0, ξ ) R ( ξ ) = β π τ τ ν τ kν R G f m m E m 3 = G f m E + ξ k ( ) β π τ ν π = G f m m E m E k 3 RL β π τ ( ξ π ) = G f m E ± k ν ( ) β π τ τ ν τ νξ ν kπ =kν k ν τ mπ m = m τ Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 43

20 Poarizzazione de eptone τ Si ottiene infine a distribuzione angoare dei pioni ne sistema di riposo de eptone τ dnrl ΓRL = dω Γ R + ΓL Ne rapporto i termini costanti deo spazio dee fasi si eidono e pertanto possiamo sempicemente fare i rapporto fra i quadrati dee ampiezze dn RL d cos θ = + R RL L dn RL * d cos θ dn RL ( cos = ± ξ θ ) d cos θ = ± k ( ξ π ) Osserviamo infine che i segno di fronte a prodotto ξ k ν dipende da segno dea massa ne espressione R Gβ fπ mτ Tr[ k/ ν( k/ m )( sr )( = τ+ τ + γ / γ )] = G β f m k k + m s R k La massa compare con questo segno perchè ne ampiezza era presente o spinore u de τ (particea) Se invece ci fosse stato un τ + (antiparticea) aora ci sarebbe stato uno spinore v e quindi una massa con i segno opposto ( ) π τ τ ν τ ν Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 44

21 La misura dea poarizzazione de τ A LEP coppie di eptoni τ sono prodotti nee coisioni e + e a energia de centro di massa pari a Z I due eptoni hanno momento opposto (uguae in moduo) e energia E = Z / I eptoni sono prodotti con una poarizzazione che dipende dagi accoppiamenti dea Z 0 ai eptoni (o vedremo) Daa misura dea poarizzazione si possono misurare gi accoppiamenti Ne sistema di riposo de eptone τ, i π e i neutrino sono prodotti ad un angoo θ rispetto aa direzione di voo de τ π θ β τ ν τ I momento e energia de pione sono k π τ π τ + π Eπ mτ mτ m m m m = = Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 4

22 La misura dea poarizzazione de τ La massa de τ è m τ = ev e per i nostri scopi è possibie approssimare a zero a massa de pione mτ Eπ = kπ = Ne aboratorio, energia di un pione emesso ad un angoo θ ne c.m. è E = γe * + γβ k * cos θ π π π γ e β sono i fattori reativistici de eptone τ γ Z β m τ L energia de pione è pertanto Eπ γe π * ( cosθ Z + cosθ = + ) = A variare di cos θ energia de pione varia fra I vaore massimo Z / che si raggiunge per cos θ = i vaore minimo 0 che si raggiunge per cos θ = Se non si trascura a massa de eptone 'intervao è ridotto Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 46

23 La misura dea poarizzazione de τ dn RL Abbiamo visto che ne sistema di riposo de τ angoo di emissione de pione ha una distribuzione * ( π ) d cos θ = ± ξ k Ne sistema di aboratorio avremo pertanto dn dn de dn dn = = dcos θ de dcos θ de de d cos θ Dai cacoi cinematici precedenti d cos θ Z + cosθ deπ E π = Z 4Eπ = e inotre cos θ = d cosθ 4 Z ettendo insieme i vari pezzi dnrl 4 ± cosθ Eπ = Introduciamo a variabie x = cos θ = x de Z Z Si ottiene dn L dx dn R dx = cos = ( x ) θ = + cos = x θ La misura fatta a LEP =.49 ±.0% Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 47

24 Decadimenti deboi Abbiamo visto che interazione di Fermi (interazione corrente-corrente) può essere utiizzata con successo per descrivere i decadimenti deboi Assumendo universaità Hamitoniana può essere scritta come G α H ( x) = J ( x) J ( ) α x G G La corrente J α (x) è fatta da due pezzi: J α (x) = α (x) + h α (x) La corrente eptonica α (x) contiene i campi dee tre famigie di eptoni α α α α ψ γ γ ψν ψγ γ ψν ψτγ γ ψν ( x) = e ( ) + ( ) + ( ) e I eptoni sono soggetti soo a interazione eettrodeboe e a oro descrizione mediante campi iberi di Dirac è adeguata Notiamo che a presenza ne Hamitoniana sia dea corrente J che dea corrente J permette di descrivere processi coniugati Ad esempio e ν ν e richiede i campi ψ ψν α ψe ψν e τ α + + e ν ν e richiede i campi ψ ψν α ψe ψ νe α Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 48

25 La corrente adronica La corrente adronica h α (x) è più compicata Non può essere scritta in termini di campi iberi Deve descrivere fenomeni per un gran numero di decadimenti di adroni Decadimenti di bosoni ad esempio decadimento dei mesoni π o K Decadimenti di fermioni, ad esempio de neutrone n o dea Λ Ne seguito dedurremo acune proprietà e parametrizzazioni dea corrente adronica utiizzando e sue simmetrie dedotte dai dati sperimentai Innanzitutto ricordiamo che interazione deboe vioa a parità La corrente è a somma di due termini: h α (x) = V α (x) A α (x) Una componente vettoriae-poare V α (x) Una componente vettoriae-assiae A α (x) Inotre i decadimenti deboi adronici sono cassificabii in due grandi famigie Decadimenti adronici senza vioazione di stranezza per i quai ΔS = 0 Ad esempio i decadimenti 0 n pe ν e π π e νe π ν Decadimenti adronici con vioazione di stranezza per i quai ΔS 0 Ad esempio i decadimenti 0 Σ ne ν 0 Λ p π e K π e ν K ν 0 Ξ Λ π Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 49 e

26 La corrente adronica La corrente adronica contiene pertanto α α Un termine che conserva a stranezza hδ S = 0 J α α Un termine che vioa a conservazione dea stranezza hδs 0 S Studiamo dapprima e proprietà dea corrente J α, a parte ΔS = 0 I processi deboi studiati fino ad ora hanno tutti a proprietà che a carica eettrica deo stato adronico (o eptonico) cambia di una unità: ΔQ = ± Questa proprietà fissa dee regoe di commutazione fra e correnti e operatore carica eettrica Q α QJ, =+ α J α QJ, α = J Infatti dati due stati i> e f> Qi = qi i Q f = qf f Verifichiamo che a regoa di commutazione impica che ΔQ = ± α f J α i = f QJ, i f QJ α J α α = Q i = ( qf qi) f J i Pertanto, se eemento di matrice è diverso da zero Anaogamente per a corrente J α abbiamo Δ Q = qf Δ Q = qf qi qi = + = Pertanto e interazioni deboi (correnti cariche) hanno a regoa di seezione Δ Q = Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 460

27 Proprietà isotopiche dea corrente adronica Sappiamo che isospin è una simmetria dee interazioni forti Ad esempio per nuceoni e pioni se si trascurano e differenze di massa Anche se interazione deboe vioa a conservazione de isospin tuttavia o utiizziamo per descrivere gi stati adronici iniziai e finai Introduciamo pertanto i formaismo de isospin per i campi de protone e de neutrone Se utiizziamo i formaismo de isospin i protone e i neutrone sono un unica particea di Isospin T = ½ con due stati caratterizzati da T 3 = ±½ I campo Ψ de nuceone è un isospinore ψp I campo Ψ è una quantità a due componenti Ψ= ψ n Ciascuna dee due componenti è a sua vota uno spinore di Dirac a 4 componenti La Lagrangiana de nuceone si riscrive tramite i campo Ψ L ( m ) =Ψ + Ψ γ Espandendo a notazione compatta γ + m 0 ψp L = ( ψp ψn ) 0 γ m ψ + n Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 46

28 Proprietà isotopiche dea corrente adronica La simmetria de isospin si introduce richiedendo invarianza dea Lagrangiana rispetto a gruppo SU() neo spazio isospinoriae Una trasformazione è funzione di 4 parametri (α, Λ, Λ, Λ 3 ); si può scrivere U = exp ia A = αi + Λ τ τ i matrici di Paui A = A La trasformazione che si ottiene per Λ = 0 è invarianza per trasformazioni gobai di fase già vista 0 i e α Ψ Ψ α = α 0 L appicazione de teorema di Noether porta aa corrente conservata γ 0 ψ p J =Ψγ Ψ= ( ψp ψ n ) 0 γ ψ n La carica conservata associata è B = Ψ Ψ d r = ψψ ˆ ˆ + ψψ ˆ ˆ d ( p p n n ) 3 3 La conservazione di questa carica esprime a conservazione de numero barionico r B = N + N N N p n p n Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 46

29 Proprietà isotopiche dea corrente adronica L invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ 0 porta aa corrente (di Isospin) conservata τ τ J =Ψγ Ψ τ = τ τ 3 La corrente definita è un oggetto compesso È un operatore vettoriae (ne senso di Lorentz) rispetto a indice È un operatore vettoriae (neo spazio de isospin) rispetto a indice i degi operatori di Paui τ i Per ogni componente i si definiscono e cariche isotopiche 0 3 T = ( ) J x d r 0τ 3 0τ 3 = Ψγ Ψd r T = Ψγ Ψd r L operatore T appena definito È un operatore come gi operatori di campo Ψ Agisce sugi stati deo spazio di Fock (in particoare su vuoto) Gi stati hanno adesso anche i grado di ibertà isospin T può essere espresso in termini di operatori di creazione e distruzione Si possono verificare e seguenti regoe di commutazione TT i, j = iεijkt, Ψ τ = Ψ, Ψ = Ψ τ k T T Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 463

30 Proprietà isotopiche dea corrente adronica Consideriamo adesso a corrente di isospin τ m = ψγ ψ Da utima reazione dea diapositiva precedente si può ricavare J m [ T, J ] = iε J m mk k In anaogia a quanto si fa nea teoria de momento angoare (o deo spin isotopico) si possono definire e correnti J+ = J + ij J = J ij J = J+ Utiizzando e regoe di commutazione precedenti si ottiene [ T3, J ] + + =+ J [ T3, J ] =J Notiamo che e utime reazioni trovate sono formamente identiche a quee dea diapositiva La differenza è a sostituzione de operatore carica eettrica Q con operatore T 3 Questa circostanza suggerisce una reazione fra a corrente deboe carica J e a corrente di isospin J + Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 464

31 Proprietà isotopiche dea corrente adronica Gi operatori deo spazio isotopico sono cassificati secondo e oro proprietà di trasformazione sotto azione di un operatore U di SU() U = exp[ iλ T ] Operatori isoscaari: ad esempio i numero barionico B = Ψ Ψd Infatti i i B Λ T Λ T iλ T iλ T iλ T iλ T 3 = e Be = e Ψ e e Ψe d r iλ T iλ T iλ τ/ e Ψ e = e Ψ = Ψ e e Ψd r = Ψ Ψ d r = B iλ τ/ iλ τ/ 3 3 Operatori isospinoriai: ad esempio i campo Ψ Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore iλ i Ψ = e T e Λ Ψ T i = e Ψ Λτ/ iλτ/ Ψ = e Ψ Operatori isovettoriai: ad esempio a corrente La verifica che sia un isovettore è più compicata Si può verificare che per Λ infinitesimo iλ i Ψ = e T e Λ T τ τ J Ψγ Ψ+ Λ Ψγ Ψ Bernstein, Eementary Partices and their currents,w.h. Freeman & Company (968) ψp Ψ= ψ n J 3 τ =Ψγ Ψ r Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 46

32 Proprietà isotopiche dea corrente adronica B Discutiamo adesso importante reazione Q B T e = + 3 Consideriamo operatore B 3 B = Ψ Ψd r 0 = ( ψ ψ p ψn ) ψ p 3 0 d n r ( ψψ p p ψψ n n ) d 3 r B = ( Np Np + Nn Nn ) = + Consideriamo adesso operatore T 3 τ T = Ψγ Ψd In definitiva = Ψγ 0 3 Ψd r = Ψ Ψ T ( ψψ ψψ ) 3 p p n n d = r T 3 0 d N N N N = r r p p n n 0 ψ = ( ψp ψn ) ψ p 3 0 d n r Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 466

33 Proprietà isotopiche dea corrente adronica Per finire possiamo definire a carica eettrica de sistema (in unità di e) come i numero di protoni 3 0 ψp 3 Np = ψψ p pd r ( ψp ψ ) = n 0 0 ψ n Ψd r Q = Ψγ 0 0 Ψd e r Abbiamo utiizzato e seguenti matrici 0 0 Q B Ovviamente si ha = Utiizzando a reazione precedente si trova T Q B T e = + 3 Interazioni Eettrodeboi Francesco Ragusa 467