del Calore Appunti del Corso

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1 Trasmission dl Calor Appnti dl Corso Appnti dl corso tnto dalla profssorssa Adriana Grco Anno 2016/2017

2 Indic Conctti bas 1 Eqazioni di bilancio di na proprità stnsiva: bilancio di massa... 4 I Principio dlla Trmodinamica... 6 II Principio dlla Trmodinamica Trasmission dl calor: mccanismi di scambio 15 Condzion Convzion Irraggiamnto Condzion 19 Condcibilità trmica (k) Eqazion diffrnzial dlla condzion Rgim stazionario monodimnsional: snza gnrazion Lastra 29 Lastra con K(T) 31 Lastr in sri 34 Lastr in paralllo 36 Gscio cilindrico 37 Gscio Sfrico 40 Raggio critico Gomtria Piana 42 Gomtria Cilindrica 42 Rgim stazionario monodimnsional: con gnrazion Sistmi Alttati 52 Il rndimnto dll altt Condttanza global pr part alttata Mtodo nmrico 65 Mtodo all diffrnz finit Mtodo di volmi finiti Rgim non stazionario 75 Adimnsionalizzazion Sistmi a paramtri concntrati Sistmi a paramtri distribiti Rgim non stazionario: modllo dl corpo smi-infinito Rgim non stazionario: mtodo nmrico all diffrnz finit... 88

3 Sistma non stazionario bidimnsional Irraggiamnto trmico 96 Modllo dl corpo nro Carattristich radiativ dll sprfici. Fattor di configrazion gomtrica Scambio trmico radiativo in cavità, in condizioni di rgim stazionario Covzion 120 Eqazion di continità dlla massa Eqazion dlla qantità di moto Eqazion dll nrgia Convzion forzata Convzion forzata in rgim laminar in rgim trbolnto Convzion forzata: flsso all strno di sprfici crvilin Moto intrno in convzion forzata (condotti) Convzion natral Scambiatori di calor 169 Gnralità. Tipologia di più comni scambiatori di calor La mdia logaritmica dll diffrnz di tmpratra Efficinza di no scambiator di calor Appndic Solzion problma non stazionario: Lastra Solzion problma non stazionario: Cilindro Solzion problma non stazionario: Sfra Error Fnction

4 Conctti bas In qsto corso ci intrssrmo di com l nrgia pò ssr scambiata sotto forma di qllo ch si chiama calor, ci occprmo dnq dlla trasmission dl calor ch pò avvnir ssnzialmnt in tr modalità divrs ch sono la condzion, la convrsion l irraggiamnto. L approccio ch srmo sarà qllo macroscopico, cioè considrrmo la matria nl so insim attribndol dll proprità disintrssandoci di ciò ch avvin a livllo atomico molcolar, farmo inoltr l ipotsi ch la matria costitisc n contino, ipotsi ch fallisc pr noi solo nl caso in ci si considra n gas strmamnt rarfatto. Dobbiamo introdrr anch alcni conctti prliminari ch ci accompagnranno drant il corso: Sistma porzion di matria oggtto dl nostro stdio; Ambint ci rifriamo invc a ciò ch è strno al sistma ma è in grado di intragir con sso; Sprfici di sistma (Sc) na sprfici ral o immaginaria ch dtrmina il sistma. Sottoliniamo ch non è n trzo lmnto, ma smplicmnt la division tra sistma ambint. Inoltr pò ssr fissa o mobil; Sistma isolato (SI) non pò intragir con l ambint né in modalità calor né in modalità lavoro, né tantomno sono consntiti flssi di massa, ad smpio Sistma + Ambint = Sistma Isolato; Sistma Adiabatico, non è consntito scambio di calor con l strno Un sistma è chiso qando è in grado di intragir solo nlla modalità calor lavoro, non sono consntiti flssi di massa. Un sistma è aprto qando invc sono consntiti flssi di massa. Vdiamo alcni smpi: Nl nostro corso stdirmo principalmnt sistmi chisi, lo farmo con l approccio dlla massa di controllo MC, si fissa cioè na massa si fanno i bilanci in bas a qsta, In altrnativa, i sistmi aprti possono ssr stdiati con l approccio dl volm di controllo VC, si fissa cioè il volm pr far i bilanci. Un sistma pò avr sia proprità intnsiv, ch non dipndono dalla qantità di matria o dall dimnsioni dl campion considrato ma soltanto dalla sa natra dall condizioni nll qali si trova, sia proprità stnsiv ch dipndono dall dimnsioni dl corpo a ci ci si rifrisc. Intrssant è anch il conctto di qilibrio, n sistma infatti pò star in vati tipi di qilibrio com l qilibrio trmico, qllo mccanico, qllo fisico a sconda di ch tipo di qilibrio abbiamo qsta parola assm n significato spcifico. Pr avr comnq n conctto gnral possiamo rifrirci alla dfinizion matmatica rigorosa scondo la qal pr n sistma il pnto di qilibrio è tal pr ci lo stato dl sistma non varia nl tmpo. Un sistma chiso è carattrizzato dall avr n nica tmpratra (T), prssion (P), massa (m), nrgia (U o E), ntropia (S) volm (V): approfondirmo in sgito cosa sono qst grandzz dov sarà ncssario. 1

5 Possiamo anch dir ch tmpratra prssion sono proprità intnsiv prché non dipndono dall stnsion dl sistma considrato, al contrario sono proprità stnsiv la massa, l nrgia, l ntropia ovviamnt il volm: alla lc di qsta considrazion, s prndiamo n sistma chiso carattrizzato da qst 6 proprità lo dividiamo in d mtà gali, vdiamo ch mntr T P sono l stss in ntramb l mtà si ha ch massa, nrgia, ntropia volm dimzzano. Rigardo all proprità stnsiv diciamo ch si pò normalizzar la proprità stnsiva alla massa abbiamo così qlla ch si chiama proprità spcifica: la proprità spcifica vin indicata con la lttra corrispondnt alla proprità stnsiva, ad smpio s abbiamo l nrgia, ch sappiamo ch si misra in Jol [J] possiamo indicar l nrgia pr nità di massa com E = E m J kg o anch possiamo indicar ad smpio il volm spcifico com v = V m m 3 kg Cogliamo l occasion pr pr dir ch n altra grandzza ch ci intrssa è la dnsità spcifica ch non è altro s non l invrso dl volm spcifico kg m 3 È important anch ricordar ch i tr stati classici dlla matria sono solido, liqido ariform in particolar n ariform pò ssr considrato n gas idal s siamo a bassa prssion: in ql caso l qazion di stato ch lo carattrizza è con n nmro di moli dl gas pari a PV = nrt n = m con MM massa molar MM L qazion di stato pr il gas idal lo possiamo scrivr anch introdcndo la qantità qsta dnq divnta ρ = 1 v = m V PV = mrt ancora, s dividiamo primo scondo mmbro pr la massa possiamo scrivr R = R MM Pv = RT 2

6 Diciamo ch pr n gas idal l nrgia intrna è fnzion soltanto dlla tmpratra U = U(T ) Concldiamo chiarndo n asptto ch rigarda l nrgia: con rifrimnto all nrgi spcifich possiamo scrivr = + c + p cioè l nrgia è la somma dll nrgia intrna U, dll nrgia cintica Ec dll nrgia potnzial Ep: l nrgia intrna è n aliqota di potnza microscopica, nl snso ch è nrgia accmlata a livllo atomico all intrno dl sistma pr misrarla srv n sistma di rifrimnto intrno al corpo considrato, al contrario nrgia cintica potnzial costitiscono n aliqota macroscopica di nrgia ch vin misrata con n sistma di rifrimnto strno al corpo ch si sta analizzando. 3

7 Eqazioni di bilancio di na proprità stnsiva: bilancio di massa Nll analisi ch farmo assmono n rolo important l qazioni di bilancio, cioè qazioni ch mttono in rlazion ingrssi, scit variazioni di na grandzza dntro n sistma da n sistma: l qazion di bilancio è smpr dl tipo ingrsso + gnrazion = scita + distribzion + variazion Pr scrivr più formalmnt l qazion di bilancio diciamo G la grandzza stnsiva slla qal si va a far il bilancio, con Δθ andrmo ad indicar l intrvallo di tmpo in ci agiscono i singoli addndi poi individiamo il sistma attravrso na sprfici di controllo (Sc), l qazion sarà G + G gn = G + G dis + ΔG In gnral convin oprar con qantità istantan, cioè dobbiamo prndr in considrazion l qazion dl bilancio far così. indicando con!g la grandzza stnsiva istantana, abbiamo!g +!G gn =!G +!G dis + G Facciamo il caso particolar di n bilancio di massa, ricordando ch la massa non si cra non si distrgg iniziamo a considrar n sistma chiso: siccom non sono prmssi flssi di matria nl bilancio di massa non ci saranno né ingrssi né scit l qazion dl bilancio è allora cioè abbiamo ottnto l qazion = Δm Δm = 0 ch dic ch la massa è costant in particolar è possibil scrivr pr ci la massa non varia nl tmpo. m θ = 0 Rifrndoci invc a n sistma aprto possiamo avr na o più ntrat na o più scit, prciò qllo ch scriviamo è m = m + Δm vc dov il pdic vc sta ad indicar ch qlla è la variazion di massa s n vrso di controllo con il qal si stdia il sistma aprto; possiamo in particolar avr q.bilancio lim Δθ 0 Δθ Δm vc > 0 oppr Δm vc < 0 Scriviamo l ltima qazion di bilancio com qazion istantana ottniamo facilmnt ch!m =!m + m vc θ θ 4

8 si dic ch la portata massica in ingrsso è pari alla portata massica in scita più la variazion di portata massica nl vrso di controllo; la portata massica si misra in [kg m -1 ]. Si possono distingr d casi in rlazion alla variazion di portata massica: parlrmo di rgim stazionario s m vc θ = 0 al contrario parlrmo di rgim non stazionario s m vc θ 0 Un caso di intrss pò ssr qllo di rgim stazionario con n solo ingrsso na sola scita, in qsto caso!m =!m =!m Ora considriamoci dll grandzz niformi risptto alla dirzion ortogonal dl moto in ogni szion, cioè s scgliamo n pnto x a qlla szion abbiamo n nica T, n nica m possiamo scrivr il volm occpato dalla massa in ingrsso in n tmpo finito Δθ com V = A ω Δθ ricordandoci ch m = ρ V = (ρ A ω )Δθ = (ρaω ) Δθ possiamo passar al limit pr l intrvallo di tmpo ch tnd ad annllarsi ottniamo: m lim Δθ Δθ =!m = ρ A ω = ρ!v cioè siamo arrivati a scrivr la portata massica in ingrsso in trmini dlla portata volmtrica, rigardo la qal tra l altro è facil capir ch si misra in [m 3 s -1 ]. Concldiamo s qsto dicndo ch i bilanci non si fanno in trmini di portata volmtrica ma smpr in trmini di portata massica prché ad smpio s!m =!m possiamo dir ch ρ!v = ρ!v ma qsto non vol dir ch la portata volmtrica si consrva prché non sappiamo s ρ = ρ, potrmmo dir na cosa dl gnr solo s siamo sicri ch qsto accad cioè s stiamo considrando il cadi di mzzo incomprimibil. 5

9 I Principio dlla Trmodinamica Passiamo invc a parlar di bilanci di nrgia diamo prliminarmnt di postlati sll nrgia intrna ch valgono sia pr sistmi chisi ch aprti: Esist l nrgia di n sistma, grandzza stnsiva propria di n sistma in qilibrio, d è indicata da U; U è na grandzza consrvativa, cioè non si gnra non si distrgg ma pò trasformarsi (primo principio dlla trmodinamica) Qsta nrgia intrna pò intragir con l ambint con d modalità: com calor (Q) o com lavoro (L), in particolar s la forza spingnt in na trasformazion è la variazion di tmpratra, cioè s è n crto ΔT a spingr n qalsiasi procsso in ci è coinvolta na trasformazion di nrgia, allora siamo in modalità calor, al contrario sarmmo in modalità lavoro. Diciamo anch ch, pr convnzion, s il calor è ntrant nl sistma parliamo di na Q +, cioè il calor è positivo, al contrario s il calor sc abbiamo na Q - ; pr il lavoro accad la cosa opposta, il lavoro ntrant L - sarà ngativo il lavoro scnt dal sistma sarà L + ch è positivo. Calor lavoro sono nrgi, ma non sono proprità dl sistma prché dipndono dalla trasformazion in atto, al contrario U, ch è na proprità dl sistma, non dipnd dalla trasformazion infatti, s considriamo d stati dl sistma divrs trasformazioni, vdiamo ch in ogni caso la variazion di nrgia è costant pari a du = U 2 U 1 prché l nrgia intrna è na fnzion di stato dl sistma dipnd dnq solo da stato final d inizial, al contrario s andassimo a vdr la qantità di calor ci accorgrmmo ch qando facciamo 1 2 δ Q = Q c è na dipndnza dalla trasformazion prciò pr il calor siamo il δ pr indicar ch non abbiamo n diffrnzial satto, mntr pr l nrgia intrna abbiamo sato il d ch indica ch stiamo parlando di na diffrnzial satto; lo stsso di pò dir pr il lavoro qindi Q d L non sono fnzioni di stato. Diciamo anch ch non ha mai snso parlar dl modlo di fnzioni di stato, si parla invc smpr solo di variazioni di ssr. Dobbiamo pr ricordar qalch nità di misra, in particolar rifriamoci al calor ricordiamo ch si misra in Jol, poi si pò dfinir da qsto la potnza trmica facndo la drivata tmporal dl calor!q [W ] particolar rilvanza ha anch la potnza trmica pr nità di ara ch va sotto il nom di flsso trmico: Q!q =! A [Wm 2 ] Laddov la notazion non è qivoca possiamo vitar di mttr il pnto sopra il flsso trmico sopra la potnza trmica, pnto ch sta ad indicar ch intrvin na drivata tmporal, qsto lo farmo nl sgito pr smplicità di notazion qindi stiamo smpr attnti agli oggtti di ci 6

10 stiamo parlando altrimnti ci potrmmo trovar a scrivr forml ch smbrano sbagliat, almno dimnsionalmnt. Prso n sistma chiso n intrvallo di tmpo finito Δθ si pò vdr ch val il primo principio dlla trmodinamica ch, dat l convnzioni fatt si sgni di calor lavoro, si scriv com Q L = ΔU S il sistma è isolato qsto non scambia né massa, né calor né lavoro dnq ΔU=0 in ql caso particolar, pr ci ci ritrovrmo l gaglianza tra calor lavoro. Possiamo pr drivar tmporalmnt l qazion ora scritta ottniamo dov la drivata dll nrgia intrna è total prché in n sistma chiso U dipnd solo da θ. Passiamo ad n sistma aprto, in qsto caso nl sistma avrmo no o più varchi di ingrsso di scita si vd ch l nrgia intrna dipnd sì dal tmpo ma anch dallo spazio; in qsto caso dobbiamo considrar anch n nrgia convttiva, indicata con m, lgata ai flssi di massa scnti d ntranti prciò abbiamo scritto na massa ch moltiplica n nrgia pr nità di massa (). Iniziamo ad analizzar ch sccd in ingrsso: possiamo vdr ch c è na prssion ch si oppon all ingrsso dlla massa, d altra part prò c è na forza di prssion ch la vinc, d è na forza propria dl sistma ch agisc sll ambint; s invc andiamo a vdr ch sccd in scita abbiamo la cosa opposta, l ambint srcita na forza di prssion sl sistma d altra part la massa sping dall intrno dl sistma pr scir. Scrivndo in forml qllo ch abbiamo dtto, in ingrsso si ha n crto lavoro di plsion alla szion!q!l = du dθ P 1 A 1!! ω Δθ = L 1 p 1 forza di prssion spostamnto S in qsta formla moltiplichiamo dividiamo pr la dnsità volmtrica ottniamo L p1 Ora vogliamo scrivr il bilancio com abbiamo fatto pr il sistma chiso, in qsto caso si parla di calor ntto Q, cioè il calor total tra qllo scnt qllo ntrant nl sistma, poi si parla di lavoro ntto L: si scriv Pr nità di tmpo qsta qazion si scriv com = P A 1 1ω 1 Δθ 1 ρ 1 = ( ρ 1 A 1 ω 1 )P 1 Δθ =!m 1 P 1 ν 1 Δθ ρ 1 ρ 1 ( ) Q L + m + %mpv Δθ = m!# " $#! #" ## $!# " $# n. convttiva ntrant ( ) lavoro di plsion ntrant ( ) n. convttiva scnt ( ) + %mpv Δθ + ΔE vc! #" ## $ lavoro di plsion scnt!q!l + (!m ) + (!mpv ) = (!m ) +!mpv ( ) + E vc θ in particolar possiamo svilppar l nrgia pr nità di massa com 7