Strato limite incompressibile

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1 Strato limit incomprssibil

2 Capitolo Strato limit incomprssibil Com dtto l condizioni di flsso a R sono tali pr ci è possibil in molti problmi applicativi sparar lo stdio dl campo di vlocità complssivo nl modo sgnt:. Flsso strno potnzial. Flsso intrno viscoso Com si vdrà lo stdio dl problma flsso intrno è fortmnt smplificato grazi alla toria dllo strato limit, nl caso in ci non si abbiano distacchi o ricircolazioni qali si vrificano ad smpio in prsnza di stallo o di corpi tozzi. In prsnza di strato limit la solzion strna pò in prima approssimazion ssr condotta sparatamnt dalla solzion intrna mntr qst ltima dipnd in modo rilvant dall solzioni strn. Pr capir il significato matmatico dl procsso di limit pr R ch tnd all infinito, nll qazioni di govrno di campi flidodinamici si sa il mtodo dlla prtrbazion singolar. Pr ridrr la complssità matmatica mantnndo gli asptti concttali di principi fondamntali dlla toria dllo strato limit si considra, a titolo di smpio, l qazion di consrvazion dll nrgia trmica in condizion stazionaria, in prsnza di condzion, convzion, sorgnti volmtrich di calor.. Mtodo dlla prtrbazion singolar applicato allo strato limit trmico in sitazion di flsso incomprssibil, stazionario, monodimnsional (D) Considriamo il problma fisico di n tbo di lnghzza L>>d (diamtro), ad smpio Lm, d.m. r Scambiator di calor TT min coibntazion TT max d x L Vlocità ntrant costant

3 S l parti sono adiabatich, possiamo ipotizzar ch valga n modllo monodimnsional (D): da o x x3 r dx 3 o r cioè l ara dlla szion non varia. r T T r T L qazion dll nrgia trmica in trmini di tmpratra (3.5) sotto l ipotsi dtt pr Ec<< d ipotizzando si tratti di n liqido ( c v c ), si ridc a : ρ c DT k T ρ q (.) Dt p + Si considri il caso stazionario qindi : r ρ c r T k T p + ρq T t ; St : (.) ch nl caso monodimnsional si ridc a: dt d T ρc k dx dx p ρq cioè rndndola in forma adimnsional : dt' k d T' q L + avndo sato dx' ρc L dx' c T p p T T T Tmin T' ; T T ΔT max min x' min x L Dfinndo il nmro di Pclt (P), com: c p μ Lρ P Pr R (.3) k μ

4 com scondo nmro adimnsional: ql q (.4) c T p si ottin (toglindo gli apici pr smplificar la notazion): dt d T LT ( ) + q (.5) dx P dx d avndo dfinito l oprator diffrnzial LT ( ) d dx + P dx con l condizioni al contorno : x, T x, T (.6) Si possono ottnr d formlazioni asintotich, la prima pr P ( R ), la sconda pr P ( R ). Com già dtto, la toria dllo strato limit si introdc pr R. Si ha cioè: dt lim LT ( ) q (.9) P dx ch dà la solzion: T( x) qx + cos t ( + q) qx (.) avndo imposto l condizioni al contorno (.6.b) x T + q Si noti ch qsta solzion dà pr i valori al contorno prtanto x T la (.6) pr x non è rispttata, il ch dimostra la ncssità di stdiar la solzion pr x in maggior dttaglio. Crchiamo ora, qal rifrimnto, la solzion gnral analitica pr P qalnq. Crchiamo prima la solzion gnral dll omogna associata: λx Tg ( x) λx λx λ + λ P La formlazion asintotica pr P ( R ) dà: d T lim L( T ) (.7) P dx avnt com solzion asintotica: T(x)x (.8) 3

5 cioè λ, λ -P P x T ( x) C + C (.) g Crchiamo qindi la solzion particolar: Tp ( x) q x (.) Dfiniamo i valori dll costanti slla bas dll condizioni al contorno (.6): λp T( x) C + C qx x, T x, T Cosi : C + C P C + C q C P + q C ( + q) ( ) P C + q ( ) P, La solzion dlla (.5) con l condizioni al contorno (.6), sarà : T(x) ( + q) ( ) ( xp ) q x P (.3) Vrifichiamo ch il valor asintotico dlla solzion gnral (.3) gagli l solzioni dll formlazioni asintotich. Pr qanto rigarda il lim, si ha: P lim Tx ( ) ( + q) qx (.4) P Pr P (solzion diffsiva o condttiva) si ottin (applicando l Hopital pr la forma indtrminata): lim Tx ( ) ( + qx ) qx x ch gaglia la (.8) P 4

6 Problma fisico con incognita ( x) L[ ( T), R] T Problma a d scal gomtrich Esmpio llnghzza tbo, δspssor strato limit lim R L [T] Trasformazion di coordinat T [x] L t [T] lim R +q T i [x] +q Sol. strna Critrio additivo Sol. intrna - (+q) T(x)T (x)+t i (x)-l in. comn Sol. complssiva ch, com attso, è gal alla (.) non soddisfa l (.6) ad x. 5

7 Pr sprar il problma dl non soddisfacimnto dlla condizion al contorno slla part (x) si introdc la toria dllo strato limit ch, matmaticamnt, corrispond al mtodo dlla prtrbazion singolar. Tal mtodologia si basa s na trasformazion di coordinat ch mdiant n ingrandimnto local vicino alla part, vrifica il comportamnto local, lo modifica pr soddisfar localmnt la condizion al contorno (solzion intrna) snza incidr significativamnt slla solzion complssiva (dtta solzion strna). Solzion strna La solzion strna è data dall (.4). Pr x pr T(x)(+q)-qx si ha il limit: lim T ( x) + q (.5) x Solzion intrna Opriamo n passaggio di coordinat: x xp (.6) cosi da avr n ingrandimnto local vicino alla part: P dt P d T q dx + (.7) dx Pr P dt d T dx + (.8) dx con l condizioni al contorno: x'' Ti ( x'') lim Ti ( x'') lim T ( x) (.9) x'' P x cioè si tilizza na condizion di raccordo ch mi dic ch il limit strno dlla solzion intrna è gal al limit intrno dlla solzion strna, ssndo la solzion: T( x) λ x λx λ + λ λx x T( x) C + C x, T( x'') C + C ; C C x T( x ) C La solzion intra è : ( ) i In ci la costant C si dtrmina con la condizion al contorno (.9b): (.) (.) 6

8 + q Ti( x) P T ( x) + q qx xp ( ) (.) Prtanto, ricordando l (.8), (.3) l (.) si ha il risltato riportato in figra: T i (x ) T(x) +q P T (x) (.4 (.3 ) (.8 ) x x Bisogna ora individar n critrio pr combinar l solzioni T i T (.)in modo da avr n solo T(x) ch poi confrontrmo con la solzion analitica(.3). Esistono d critri, no additivo d no moltiplicativo: Critrio additivo La solzion complta è data da : T( x) T( x) + Ti( x) limit comn cioè : + q xp T( x) ( + q) qx+ P ( ) ( + q) + q xp TA ( x) P ( ) qx (.3) Ch, nl prsnt caso linar, coincid con la solzion satta (.3) nl caso linar prtanto ritngo pinamnt soddisfacnt. 7

9 Critrio moltiplicativo [( + q) qx] T( x) Ti( x) + q xp TM ( x) P ( ) limit comn + q cioè: xp + q xp TM ( x) P ( ) qx P xp TM ( + q qx) P ch prò nl prsnt caso non smbra andar troppo bn. (.4) (.5) (.6) Vdiamo ora com qanto dtto pò stndrsi allo strato limit cinmatico. Ad smpio pr il cilindro : tot i (y) (y) limit com n Si pò scrivr : tot i + limit comn vtot vi + v limit comn v i Il problma è non linar, bisogna tilizzar n mtodo itrativo ssndo r r ϕ v com il limit comn pr la condizion di imprmabilità. 8

10 . Strato limit cinmatico (o dinamico) bidimnsional di n flsso incomprssibil, stazionario Vdiamo com l considrazioni fatt in qsto smplic smpio possono ssr sts allo strato limit (SL) cinmatico (dinamico) D ch pr la sa natra fisica è rtto da qazioni non linari. Prndiamo ad smpio n cilindro circolar la ci π solzion è stata prsntata al Pr ϑ, r a, θ pr qanto visto al tot i (y) (y) limit com n. Pr la toria allo strato limit, ci si pon (x R x ) molto vicino alla part qindi l qazioni sono scritt in coordinat cartsian di part (locali). In qsto sistma di coordinat si ha: Considriamo l qazioni di Navir-Stoks D pr flssi incomprssibili : y x δ y Strato limit scia L 9

11 ρ ρ x r ( ) r ( ) i i r r P x P x + μ xi + μ xi (.7. c) (.7. a) (.7. b) Poiché l scal gomtrich, na lgata a L (corda dl profilo) d na lgata allo spssor dllo strato limit δ, sono molto divrs (problma a d scal), l qazioni com vdrmo nl sgito, dvono ssr scritt in forma adimnsional tilizzando l d divrs scal. Slla bas dll considrazioni fisich matmatich si pò affrmar ch pr R alti :. In prossimità dlla part i gradinti normali dlla vlocità tangnt τ dvono ssr molto lvati in qanto la vlocità dv comnq annllarsi slla part la τ τ μ n dovrà ssr finita. La rgion dov i gradinti sono lvati si risnt dll inflnza dlla viscosità è dtta strato limit (SL) (in ingls Bondary Layr). In ttta la rgion strna l fftto dlla viscosità è trascrabil prtanto in tal rgion il flsso è gnralmnt irrotazional potnzial. Pr adimnsionalizzar l (.7) poniamo : x x L y x V ; ; ; ' δ v (.8) ssndo δ lo spssor convnzional dllo SL alla distanza dal bordo d attacco pari alla lnghzza di rifrimnto L. Consrvazion dlla massa V L x + v'' δ y V δ ' L x + v'' ' (.9) qindi affinchè i d trmini dll.9 si possano bilanciar V o δ δ ( ), cioè (.3) L V L

12 L qazion di consrvazion dlla massa nl novo sistma di coordinat (x,y ) divnta: + v'' x y (.3) Qantità di moto Considriamo l qazion scondo la tangnt alla part (.7.a). μ ρ ρ v'' δ L ' V ' P P' ' L ' ' + + ( + ) (.3) x' L x' L x' δ y'' r ch possiamo scrivr com L ( ) con L oprator diffrnzial. Facndo il limit lim L ( r ) bisogna imporr ch compaia almno n trmin viscoso R dll ordin di pr bilanciar i trmini d inrzia 3 portar la vlocità a zro slla part. ' ' ' ' lim ( ) ' '' RL r P L + v + (.33) x' y'' R x' Rδ y'' con R ρ L dfinito nl modo sal, consg ch μ L lim δ R R o() δ L R (.34) qindi δ o( L R ) (.35) δ L V R R (.36) R R Qindi : y x ; v L (.37) qindi mdiant l analisi dimnsional dlla prima qazion di Navir- Stoks abbiamo dtrminato l scal di ingrandimnto dll ordinat (y) dll vlocità normali (v) affinchè i valori adimnsionali siano dll ordin di. 3 Si assm nl sgito R cioè P ρ ch è qanto driva dal flsso potnzial strno.

13 Formalmnt la (.3) risltrbb: ' v'' ' P' ' ' ' + R + + R x' R y x' R x' y Prndo il limit pr R ch tnd all infinito d ottngo : ' ' P' ' ' + v'' x' y x' + (.38) y Analogamnt, dalla sconda qazion (componnt normal alla part) : ' v'' v'' + R x' R v'' x' R v'' P' y y v'' R y R + (.39) Dividndo ambo i mmbri dlla prcdnt con R si ha: ' R v'' x' + v'' R v'' y P' v'' v'' + + (.39 bis) y R x' R y Facndo il limit pr R si avrbb nllo strato limit è dll ordin di δ / L P' o( ) y cioè il salto di prssion R P' dy '' qindi in trmini adimnsionali δ P( ) P( ) L 3. Ciò ha na fondamntal importanza sia torico-matmatica R / ch pratica. Infatti dal pnto di vista torico-matmatico si ottin il risltato ch P dp dp cioè la prssion non è più incognita l qazion (.39) è x dx dx soddisfatta con notvoli smplificazioni. Inoltr nlla sprimntazion l prs di prssion statica possono ssr posizionat slla sprfici dl corpo (profilo), cioè dntro lo strato limit invc ch all strno dllo strato limit. Strato limit Prs di prssion statica Pr avr n ida dll variazioni di P con y poniamo

14 R R o( ) nll (.33) P ~ ρ Lρ o() μ ricaviamo P ~ μ L ad smpio pr aria a m/s ~ 4 P o( ) pasc P o( ) pasc. qindi la variazion di prssion nllo strato limit è dll ordin di -6 risptto alla prssion dinamica local (rror crtamnt accttabil slla misra). Prtanto il sistma (.7) in forma adimnsional con l scal assnt, si ridc a: ' ' d P ' ' ' + v'' + x' d x' ' v'' + x' (.4) ch è parabolico in qanto volv in x. Sono ncssari l condizioni al contorno (y y ) l condizioni iniziali a xx v sl corpo (y ) all strno dllo strato limit (y cioè y 6 7) ' '(y'' ~ ) pr x' x' ch si trasforma in ' ' ' ' + v'' ' x x' ' v'' + x' ' v'' ' ' pr ' '(y'' ~ ) pr y'' y'' pr ' + x' x ' (.4) 3

15 Tnndo conto ch è nota dalla solzion strna potnzial ch: - scritta fori dllo strato limit la (.4) risptta Brnoilli: infatti, pr Brnoilli imposto all strno : P + ρ cost dp d ρ dx dx ' ' dp ' d d in trmini adimnsionali ' ' dx dx ch po anch ssr ottnta dalla (.4) scritta fori dllo strato limit: prtanto pò ssr sostitita nlla (.4) dando l (.4) dp' dx' d' ' (.4) dx' Nll (.4) è la componnt dlla vlocità dl flsso strna lngo la tangnt al corpo. Si noti ch qst qazioni (.4) non dipndono dal R poiché anch l qazion dl potnzial non dipnd dal R si pò affrmar ch pr R sia la solzion strna (potnzial) ch la solzion intrna (strato limit) non dipndono dal R. Prtanto gli nici grppi adimnsionali ch potranno comparir sono qlli a carattr gomtrico (allngamnto, rgosità rlativa, cc.) 4. - scritta sl corpo (y v ) la (.4) dà: ' dp' (.43) dx' wall 4 L qazioni dllo strato limit in forma dimnsional risltano: ρ + ρ v ρ + μ x y x y v + x y v sl corpo (y ) all' strno dllo strato limit (pr y δ) r ~ r (y) pr x x 4 (.44)

16 .3 Eqazioni dllo strato limit in trmini di ψ (fnzion di corrnt) Essndo l qazioni dllo strato limit bidimnsionali d incomprssibili (campo solnoidal) si pò introdrr la fnzion di corrnt: ψ '( x', y '') tal ch: ψ ' ψ ' ' v '' (.48) x' La condizion r r (.3) è ovviamnt idnticamnt soddisfatta dall (.48). La qantità di moto in x dà: 3 ψ' ψ' ψ' ψ' ψ' ' ' d (.49) x' x' dx' da compltar con l condizioni al contorno: Imprmabilità Non scorrimnto v'' ψ ' wall ψ' ' wall ψ' Vlocità all' ' (.5) pi la condizion inizial pr x' ψ '( y'') ~ ψ '( y '') (.5) profilo di ψ ' o di assgnato. L qazion (.49) con l condizioni al contorno (.5) (.5) è n qazion diffrnzial dl III ordin all drivat parziali nll nica incognita ψ ' pò qindi ssr intgrata con mtodi nmrici all diffrnz (DFdiffrnz finit, VFvolmi finiti, EFlmnti finiti, cc.). Altr mtodologi applicabili in sitazioni particolari sono qll dll solzioni simili i mtodi intgrali ch vdrmo nl sgito. 5

17 .4 Mtodi intgrali pr lo strato limit (qazion di Von Karmann-Pholhasn).4. Spssor dllo strato limit Sono possibili divrs dfinizioni di spssor dllo SL: Blasis ha dfinito com spssor δ convnzionalmnt la distanza pr la qal ' '/ ' / 99,. s y.99 δ η 5 Si trova η 5 corrispondntmnt: δ B / 5L / Lμ ν x 5δ () ξ ξ 5 5 (.) R ρ L Pi intrssant è lo spssor di scostamnto δ ch rapprsnta lo spssor di ci bisogna amntar lo spssor dl corpo pr tnr conto di qanto si spostano l lin di corrnt pr fftto dllo SL. ψ pr prsn za di SL L ara dl rttangolo corrispond alla prdita di massa nllo SL δ spssor di s cos tamnto ψ sn za considrar lo SL Ar qivalnti 6

18 ( dy (.3) δ ( ) dy δ (.4) ma f ' (.5) qindi pr Blasis (lastra piana) si ha: δ ν x B max [ η f(η )] max (.6) da ci (con la formla di Blasis) si ottin: ν x δ B.78 ch è circa /3 dlla dfinizion dlla (.) δ δ Spssor di qantità di moto δ. Qsta qantità misra, analogamnt allo spssor di scostamnto δ, la distanza di ci si dv amntar lo spssor dl corpo pr riqilibrar la prdita di qantità di moto dovta allo SL. 7

19 δ dy (.7) y dy x La qantità di moto associata alla massa dm ρ dy (.8) sarà, alla vlocità strna : dm ρ dy (.9) La qantità di moto alla vlocità (alla distanza y), sarà dm ρ dy (.3) prtanto la prdita di qantità di moto dlla massa dm rislta: ρ δ ( ρ ρ ) dy ρ dy (.3) La (.3) gaglia l prdit dlla qantità di moto dlla massa dm alla qantità di moto possdta dal flido alla vlocità. ( ) dy (.3) δ Nl caso di lastra piana (Blasis): δ.664 vx ch è circa /8 di δ B. 8

20 .4. Eqazion di Von Karmann-Pholhasn Intgriamo l qazion dl moto pr lo strato limit in forma dimnsional (.44) s no spssor (h) maggior dllo strato limit: h y o +v x - y d d dx τw y ρ (.33) avndo dfinito con μ τ w μ la tnsion tangnzial alla part, d ssndo: y w h h dy μ μ y y (.34) y w Dall qazion di consrvazion dlla massa (.44): y v x dy o (.35) pr ci h y o - x y y dy - x d d dx τw y ρ (.36) Intgrando pr parti, si ottin pr il scondo trmin a primo mmbro: h y o y y h y h x dy d y x dy h h x dy x dy x dy (.37) pr ci si ottin: h y o d τw d y x x dx ρ cambiando di sgno riorganizzando i trmini: h y o x [ ( ] d )d y+ dx h y o ( )d y τw ρ (.38) (.39) 9

21 ma ricordando l dfinizioni di δ δ (par..6) facndo il limit pr h, si ha: d ( δ dx ) d τ w + δ (.4) dx ρ Qsta è l qazion intgral dlla qantità di moto pr no strato limit bidimnsional, incomprssibil stazionario, dtta qazion di Von Karmann. E na qazion diffrnzial all drivat ordinari in x (nota (x) ) ngli spssori δ δ d in τ.pò anch ssr riscritta com: dδ dx d τ w + (δ + δ ) (.4) dx ρ Com si pò vdr, fissata la forma di (η), ad smpio linar: l( η) aη + b con condizioni al contorno: η l( ) η 5 l(5) δ δ δ δ 6 δ δ δ o n polinomio dl qarto grado (proposta da Polasn) 3 4 l( η) aη+ bη + cη + dη + pr il qarto grado l condizioni sono: (.4)

22 nlla part η y o fori dallo SL η y δ L qazion (.4) si pò intgrar in x con δ com incognita, dtrminar sccssivamnt δ (x), δ (x) τ w (x) (tnsion tangnzial alla part). Ad smpio, pr il qarto grado l condizioni sono: ) η y ) 3) ν y dp d ρ dx dx η y δ 4) y 5) y Si considri ch la qantità τ w μ y y data la forma, è nota a mno di n fattor di scala δ(x). Si noti ch nl caso di na lastra piana, si pò porr: d d x pr ci l qazion (.4) divnta: dδ dx τ w ρ qindi dδ τ w ρ dx