Proprietà dell operatore DFT

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1 Popietà dell opeatoe DFT Calcolo Scientifico

2 Calcolo della DFT di ettoi eali x (,..., ) x x R y ( y,..., y ) R DFT [ x ] X C DFT [ y] Y C DFT () complesse anche se x e y sono ettoi eali Calcolo Scientifico

3 MA.. Applicando le popietà dell opeatoe DFT si iesce a idue il numeo di opeazioni pe il calcolo di DFT di ettoi eali da DFT complesse a DFT complessa Calcolo Scientifico 3

4 Popietà di lineaità DFT (c f+ dg) c DFT( f) + d DFT( g) ( F ) c f + d g ( c f + d g ) w f w d g w c( F f ) + d( F ) g c + F è un opeatoe lineae Calcolo Scientifico 4

5 Popietà di simmetia Sia F DFT[ f ] f ( f, f,..., f,..., f, f ) / DFT [ DFT [ f ]] f ( DFT [ F] ) F F ( ) w w f K poiché πi πi (-) ( ) w e e w Calcolo Scientifico 5

6 Osseazione Pe dae significato alla popietà di simmetia il ettoe f e la sua DFT, F, sono polungati aggiungendo l (n+) mo elemento f n e F n in modo che: f n f o F n F o Calcolo Scientifico 6

7 ESEMPIO f(8+i, 5-3i,, 4-i, 6+i) completiamo il ettoe (f ) J,- aggiungendo l (n+) - simo elemento f n f f(8+i, 5-3i,, 4-i, 6+i, 8+i) con n5 [ ] ( 5, , , F DFT f i + i + i i, i,5 i) [ ] ( 8 +,6+,4,,5 3,8+ ) Calcolo Scientifico 7 5 DFT F i i i i i

8 Popietà di paità f eale DFT [ f] hemitiano simmetico f immag. DFT [ f ] hemitiano antismmet ico f hemitiano simmetico DFT [ f ] eale f hemitiano antisimmetico DFT[ f ] immaginaio Calcolo Scientifico 8

9 RICORDIAMO CHE: se h è un ettoe di lunghezza, h hemitiano simmetico se h h Ad esempio (+3i, -4, 5-i, -8-i, -8+i, 5+i, -4, -3i) h hemitiano antisimmetico se h h Ad esempio (+3i, -4, 5-i, -8-i, 8-i, -5-i, 4, -+3i) Calcolo Scientifico 9

10 Popietà di paità f eale DFT [ f] hemitiano simmetico f immag. DFT [ f ] hemitiano antismmet ico f hemitiano simmetico DFT [ f ] eale f hemitiano antisimmetico DFT[ f ] immaginaio Calcolo Scientifico

11 Popietà di paità f eale DFT [ f] hemitiano simmetico f immag. F hemit. antismm. Dim: F πi πi πi ( ) f e e f e F,,/ Coniugato di F - Calcolo Scientifico

12 Calcolo delle DFT di due sequenze eali Siano DFT DFT [ x] X C, x ( x,..., x ) R [ y ] Y C, y ( y,..., y R ). PASSO : costuiamo la sequenza complessa esempio z x + iy z ( z,..., z ) C x(5,,, -, 3) y(-, 4,, 7, 3) Calcolo Scientifico z(5-i, +4i, +i, -+7i, 3+3i)

13 . PASSO : Calcoliamo la DFT di z: DFT[ z] z, z ( z,..., z ) C La DFT è un opeatoe lineae: DFT [ z] z DFT[ x] + idft[ y] X + iy x e y Poiché: sequenze eali X e Y hemitiane e simmetiche Calcolo Scientifico 3

14 Calcolo Scientifico 4 Cioè: X X X X e Y Y Y Y e y x z i + Posso sostituie con - e passae ai coniugati Y X Y X Z i i Z Z,,/

15 3. PASSO 3:Aggiungiamo e sottaiamo ta di loo le due elazioni Z Z X X + i i Y Y,,/ X Y DFT di sequenze eali di lunghezza i [ ] Z Z + [ ] Z Z,,/ DFT di sequenza complessa di lunghezza. Calcolo Scientifico 5

16 Esempio: x(5,,, -, 3) R 5 y(-, 4,, 7, 3) R 5 calcoliamo le DFT dei due ettoi Calcolo di DFT di lunghezza 5 X(, i, i, i, i) Y(3, i, i, i, i) Calcolo Scientifico 6

17 Applicando le popietà della DFT... Costuiamo il ettoe z(x+iy) z (5-i, +4i, +i, -+7i, 3+3i) C 5. Calcoliamo la DFT del ettoe complesso z: Calcolo di DFT Calcolo Scientifico 7 Z (+3i, i, i, i, i)

18 XDFT(x) ed Y DFT(y) si possono calcolae a patie da Z X [ ] Z + Z,,/ Y i [ ] Z Z Z (+3i, i, i, i, i) X /*[ i i] i Y i/*[ i i] i X /*[ i i] i Y i/*[ i i] i Calcolo Scientifico 8

19 Calcolo DFT di ettoi eali x, y: ALGORITMO:. Costuiamo il ettoe z(x+iy). Calcoliamo la DFT del ettoe complesso z 3. Ricaae la DFT(x) e la DFT(y) a patie dalla DFT( z) Calcolo Scientifico 9

20 Calcolo DFT di un ettoe eale di lunghezza x,,..., ) ( x x x R DFT di ettoi eali di lunghezza Dalla popietà DFT di ettoe complesso di lunghezza Calcolo Scientifico

21 ALGORITMO: Sia x,,..., ) ( x R STEP : costuiamo due ettoi h e g R x x con,,- h x g x + h ( h, h,..., h ) g ( g, g,..., g ) x ( x, x, x, x,...,x, x ) 3 Calcolo Scientifico

22 Calcolo Scientifico π i e x X / + + e x e e x i i i / / / π π π + e g e e h i i i / / / π π π,, - G e H i / π + H G G e H X i / π +,,- H h DFT ] [ G g DFT ] [ STEP : effettuiamo la DFT di h e g R

23 Calcolo DFT di un ettoe eale di lunghezza : ALGORITMO: STEP : costuiamo i ettoi h, g ed y tali che STEP : calcolae la DFT del ettoe complesso y STEP 3: calcoliamo le DFT di h e g, a patie da Y STEP 4: calcoliamo le DFT di x, a patie da quella di h e g h()x() g()x(+) y()h()+ig() H G X X + e X Calcolo Scientifico 3 i [ Y( ) + Y() ] [ Y( ) Y() ] + H iπ G

24 Esempio: calcolae la DFT del ettoe x(, -5, 8, -3, -, 4) R 6 Pimo Passo: costuiamo i ettoi h, g ed y tali che h()x() g()x(+) y()h()+ig() h (, 8, -) R 3 g (-5, -3, 4) R 3 y (-5i, 8-3i, -+4i) C 3 Calcolo Scientifico 4

25 Secondo Passo: calcolae la DFT Y del ettoe complesso y: DFT [y] Y Y ( 8 4i, i. 5, i) Tezo Passo: calcoliamo le DFT di h e g, a patie da Y H G i [ Y( ) + Y() ] [ Y( ) Y() ] G H ( 8, 8 663i., i) ( 4, i., i) Calcolo Scientifico 5

26 Quato Passo X X + H + e X iπ G,,/ X DFT[ x] (4, i, i,, i, i) Calcolo Scientifico 6

27 Applicazione della DFT alle MATRICI CIRCOLATI Calcolo Scientifico 7

28 Calcolo Scientifico 8 Dato un ettoe la matice ),...,, ( n C n n n n L M O O O M M O O O M K K ) ( C n n n n L M O O O M M O O O M K K ) ( Il ettoe iga -mo è ottenuto dal ettoe taslato eso desta di posizioni MATRICE CIRCOLATE

29 C( ) F ΣF F F O F... w w ( ) w w ( (... ) )( ) Σ diag (DFT()) F matice di Fouie C() xy (F ΣF)x y F(F ΣF)x ΣF x Fy FFT() FFT(x) Fy FFT(y) Calcolo Scientifico 9

30 CALCOLO del podotto matice-ettoe, C() x y. FFT( x) x ~. FFT( ) ~ 3.. ~ * x ~ z 4. IFFT( z) y Podotto puntuale 3 DFT e podotto puntuale ta ettoi complessità O(n logn) Calcolo Scientifico 3

31 Calcolo Scientifico 3 Matici di Toeplitz, T R nxn, T 3 3 T n n 3 n 4 n n 3 n n n ) ( ) ( O O O O M pe n4

32 Calcolo Scientifico 3 Le matici di Toeplitz possono essee immese in Matici Cicolanti T C ) ( di odine 7x7 con (3,, 7, 6, 9,, 4)

33 Il ettoe (3,, 7, 6, 9,, 4) che genea la matice cicolante C() è : T Pima iga della matice di Toeplitz. Pima colonna della matice di Toeplitz, tanne il pimo elemento, pesa in odine ineso. In geneale T R x n C( ) R ( n) x( n n ) Calcolo Scientifico 33

34 T x y podotto matice-ettoe, con matice di Toeplitz T di odine n C() x y podotto matice-ettoe, con matice cicolante di odine n- C() è la matice cicolante costuita intono alla matice T, e x è il ettoe x a cui sono stati aggiunti n- zei. Calcolo Scientifico 34

35 Teoema di conoluzione Siano f, g C. Si ha DFT [ f g ] F G Conoluzione di due ettoi: f g t : t,,,- f g Podotto componente pe componente: F G t : t F G La DFT della conoluzione di due ettoi è il podotto puntuale delle DFT dei ettoi Calcolo Scientifico 35

36 Calcolo Scientifico 36 Podotto di due polinomi: n x x a x a a x a a n ) ( n x x b x b b x b b n ) ( Il loo podotto è un polinomio c di gado n- : x a x b a x b a b a b a x b a b a b a c n x n n ) ( ) ( ) ( Siano

37 c ( x) a( x) b( x) a b x c( x ) x c c a b Conoluzione di due ettoi Calcolo Scientifico 37

38 Se scio i due ettoi a e b come a ( a, a, a,..., a,,,..., ) C b ( b, b, b,..., b,,,..., ) C c a b F [ F C [ a ] F [ ] b - Calcolo Scientifico 38

39 Esempio: Moltiplichiamo i due polinomi a ( x) + 5x + 7x coefficienti a (, 5, 7) C 3 b ( x ) + 6x 4x b (, 6, -4) C 3 a (, 5, 7) b (, 6, -4) a (, 5, 7,, ) b (, 6, -4,, ) Di dimensioni *3-5 Calcolo Scientifico 39

40 A DFT [a] ( 3, i, i,.8 3.9i, i) B DFT [b] ( 3, i, i, i, i) Il podotto puntuale ta le due DFT è A B(99, i, i, i, i) La IDFT del ettoe ottenuto è il podotto di conoluzione dei ettoi a e b: a*b(, 6, 3, 8, -68) Calcolo Scientifico 4

41 La Tasfomata di Fouie (FT) e la Tasfomata Disceta di Fouie (DFT ) Calcolo Scientifico 4

42 Sia f(t) una funzione pe cui esiste la F Tasfomata di Fouie F(u): ( u ) F f(t) u (-,+ ) + [ ] f ( t ) πiut e dt Calcolo Scientifico 4

43 Esempi Funzione ettangolo: F( ω) sin πωt AT πωt f(t) F F(ω) ω Funzione tiangolo: F( ω) sin πωt AT πωt f(t) F F(ω) Calcolo Scientifico 43 ω

44 Esempi Funzione gaussiana: f( t) πσ t eσ F( ω) e ω π σ f(t) F F(ω) ω Calcolo Scientifico 44

45 Come calcolae una tasfomata di FOURIER? Calcolo Scientifico 45

46 . Tonchiamo l integale da [-,+ ] all inteallo [-τ,+τ], di ampiezza Tτ, con τ sufficientemente gande. F ( u ) + f ( t ) πiut e dt F ( u ) + τ τ f ( t ) e πiut dt Calcolo Scientifico 46

47 . Discetizziamo l integale mediante la fomula di quadatua tapezoidale composita b a f(x)dx f(a) + f(b) (b a) su + nodi (m) t h -m,,, m -τ t h h h τ t doe il passo h è h τ T τ m Calcolo Scientifico 47

48 Calcolo Scientifico 48 [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ~ m m iut iut m iut m e t f h e t f e t f h u F m m π π π + τ τ π dt e t f u F iut ) ( ) ( Da:

49 3. Valutazione di F ~ nei punti u Δ u τ T -m,,,m u τ τ e πiu e πi w Calcolo Scientifico 49

50 Calcolo Scientifico 5 [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ~ m m iu t m iu t m w t f h e t f e t f h u F m m π π Poiché w -m w m (sono esponenziali complessi i cui esponenti diffeiscono pe un multiplo inteo di πi) [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ~ m m w t f w f f h u F τ τ w -m -τ τ w m

51 4. Peiodicizzazione di f nei punti estemi t ±τ poniamo -τ f t ( t ) f ( t ) τ τ m m + h [ f ( ) f ( )] τ t ~ T m F ( u ) f ( t ) m w -m,,,m DFT del ettoe f, f f ) ( Calcolo Scientifico 5

52 Qual è l eoe che si commette appossimando la tasfomata di Fouie con la DFT? Calcolo Scientifico 5

53 Cosa abbiamo fatto?. sostituzione dell integale infinito con uno su un inteallo finito Eoe di toncamento. Discetizzazione con fomula di quadatua tapezoidale Eoe di discetizzazione Calcolo Scientifico 53

54 Eoe di toncamento douto alla sostituzione dell integale ta - e + con l integale ta -τ e +τ Eoe di discetizzazione douto alla fomula di quadatua che appossima l integale Calcolo Scientifico 54

55 Teoema Se F è la FT di f(t): F( u) F[ f ( )] posto Ω/T ( f ( t ) f ( t + lt ) F u ) Ω + F ( u + lω ) l si ha T + l F Ω ( Δu ) DFT ( f ( h oeo F Ω ( u ) DFT ( f ( t T T )) )),,,,- Calcolo Scientifico 55

56 f T (t) èla ipetizione peiodica di peiodo T della estizione di f(t) all inteallo T, T Se f(t) èa tempo limitato f T f -λ +λ Calcolo Scientifico 56

57 F Ω (u) è la ipetizione peiodica della estizione di F all inteallo Ω Ω,, T T Se la tasfomata è nulla al di fuoi dell inteallo [-Ω/,Ω/], la peiodicizzazione di F non cea soapposizioni e distosioni -/T /T Calcolo Scientifico 57

58 altimenti, le fequenze si sommano : ALIASIG (dal latino alias copia ). -/T /T Calcolo Scientifico 58

59 Se T (èsufficientemente piccolo), /T saàgande abbastanza, tale che [-/T, /T] [-Ω/, Ω/] T /Ω (fequenza di yquist). In tale situazione, l aliasing non può eificasi, peché la tasfomata iene eplicata esattamente laddoe temina la pecedente funzione. Calcolo Scientifico 59

60 In paticolae Se f è una funzione tale che la sua tasfomata di fouie è A suppoto nell inteallo [-ω c, ω c ], (f a banda limitata) non si ha l ALIASIG! basta scegliee /T > ω c Calcolo Scientifico 6

61 Esempi di aliasing: Funzione iniziale Calcolo Scientifico 6