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1 INTERMEZZO 1: ua favola araba Uiversità di Torio Facoltà di Scieze MFN Corso di Studi i Iformatica Curriculum SR (Sistemi e Reti) Algoritmi e Laboratorio a.a Lezioi prof. Elio Giovaetti Parte Classificazioe delle fuzioi i base al loro adameto asitotico (otazioi O, Ω, Θ) versioe 7/10/006 U gioro u califfo chiese ad u giovae che gli aveva reso u servizio che ricompesa volesse. Il giovae rispose: Dammi tati chicchi di riso quati se e possoo porre sulle caselle di ua scacchiera ideale, mettedo u chicco sulla prima casella, due sulla la secoda, quattro sulla terza e così via raddoppiado ogi volta i umero di chicchi Il califfo accettò co etusiasmo, sembradogli quella richiesta poca cosa. Ma se e petì be presto. Si può vedere co u facile calcolo che i chicchi di riso richiesto dal giovae ( 6-1) sarebbero sufficieti a tappezzare ua strada larga circa 00 Km e luga quato la distaza dalla terra alla lua AlgELab Lez.0 INTERMEZZO : Piocchio i baca Il sigor Piocchio ha messo da parte uo zecchio d oro, che vuole saggiamete ivestire i buoi del Tesoro. Idividui come lui icotrao ievitabilmete i cosuleti fiaziari: Piocchio trascorre la otte facedo coti: Versameto 1ao ai ai ai Tree Bak Il gatto e la volpe gli propogoo u ivestimeto presso la Tree Bak, che assicura iteressi icomparabilmete più alti. Buoi del Tesoro 1 1, 1, 1,7... 6,19 Co la ostra opzioe l Istituto aggiuge al suo versameto la somma di cique zecchii l ao. Questa formula è eormemete vataggiosa i vista della cosisteza, diciamo così, o proprio elevatissima della cifra a sua disposizioe. D altra parte se i Buoi del Tesoro fruttassero ache il 0%, il suo zecchio si moltiplicherebbe solo per 1, ogi ao. Sta a lei decidere AlgELab Lez.0 E ha scritto ache le due equazioi che regolao la crescita degli zecchii: 1 + k, se iveste ella Tree Bak (1,0) k k = umero di ai se iveste i Buoi del Tesoro Piocchio accetta pertato il suggerimeto dei due cosuleti AlgELab Lez.0 Ua tabella rivelatrice Piocchio ha scelto bee? Tree Bak Buoi del Tesoro 10 ai 0 ai ai 0 ai 0 ai 0 ai ,19, 9,0 7,7 169, , La legge espoeziale fiisce iesorabilmete per vicere. Quado il suo valore supera quello di u altra fuzioe o espoeziale, se e stacca co rapidità strabiliate. Tutto però è relativo: se l ivestimeto è per meo di /6 ai coviee la Tree Bak! AlgELab Lez.0 Se u algoritmo è eseguito i tempo T(), dove è la dimesioe dell istaza i iput, quato tempo richiede risolvere u istaza del problema di dimesioe se u istaza di dimesioe 1 richiede 1 µs (10-6 s)? T() =10 =0 =0 =100 =1000 lg µs 6 µs µs 66 µs 10 ms 100 µs 00 µs ms 10 ms 1 s 100 ms s mi ore ai 1ms 1 s 6 ai x10 16 ai 10 7 ai! s 7717 ai 10 1 ai 10 1 ai 10 ai AlgELab Lez.0 6 1

2 U altra tabella rivelatrice Se u algoritmo è eseguito i tempo T(), qual è la massima istaza del problema che può essere risolta i u miuto? T() Il computer più veloce del modo el 1990 U computer 1000 volte piu veloce lg 1. x 10 miliardi 1 x 10 6 miliardi milioi 60 milioi ! 16 1 RICAPITOLANDO Classificare gli algoritmi a secoda della loro efficieza avere modi precisi per aalizzarli Misure di efficieza: spazio di memoria ecessario per l esecuzioe tempo di calcolo Siamo iteressati a determiare la dipedeza dello spazio utilizzato e del tempo di calcolo dalla dimesioe dell iput. I geerale il tempo aumeta co la dimesioe dell iput. AlgELab Lez.0 7 AlgELab Lez.0 DOMANDE 1. Qual è il modo corretto per misurare il tempo di calcolo?. Qual è il modo corretto per misurare lo spazio utilizzato? Nozioi matematiche: classificazioe delle fuzioi rispetto alla loro velocità di crescita (adameto asitotico) AlgELab Lez.0 9 Quali soo più simili fra loro? log logaritmica 1/ radice quadr lieare log pseudolieare quadratica cubica espoeziale 1000 Nota: L'uiverso cotiee circa 10 0 particelle elemetari. AlgELab Lez.0 11 AlgELab Lez.0 1

3 Le prime due! Quali soo più simili fra loro? poliomiali AlgELab Lez.0 1 AlgELab Lez.0 1 Le prime due! Come classificare le fuzioi? Fuzioi 1000 Quadratiche AlgELab Lez.0 1 AlgELab Lez.0 16 Classificare le fuzioi Come classificare le fuzioi? Fuzioi Costati Poli-logaritmiche (log ) AlgELab Lez.0 17 Esp. doppie AlgELab Lez.0 1

4 Classificare le fuzioi Poli-logaritmica Altre Cubiche Quadratiche Lieari log 7 () (log ) = log AlgELab Lez.0 19 AlgELab Lez.0 0 Logaritmica << Poliomiale Lieare << Quadratica log 1000 << << Per sufficietemete grade Per sufficietemete grade AlgELab Lez.0 1 AlgELab Lez.0 Poliomiale << Espoeziale Classificare le fuzioi Fuzioi 1000 << Per sufficietemete grade AlgELab Lez.0 Costati Poli-logaritmiche << (log ) << << << Esp. doppie << AlgELab Lez.0

5 Quali fuzioi soo quadratiche? Quali fuzioi soo quadratiche?? co u coefficiete costate. AlgELab Lez.0 AlgELab Lez.0 6 Fuzioi quadratiche log Adameto asitotico di fuzioi: defiizioi di O, Ω, Θ Scriviamo Θ( ). AlgELab Lez.0 7 AlgELab Lez.0 adameto asitotico O ("o grade") g() è O(f()) se due costati c>0 e 0 g() c f() per ogi 0 g cresce al più come f (o meglio, al più come u multiplo di f) g() = O( f() ) cf() g() adameto asitotico Ω ("omega grade") g() è Ω(f()) se due costati c>0 e 0 g() c f() per ogi 0 g cresce almeo come f g() = Ω(f()) g() cf() f() 0 AlgELab Lez AlgELab Lez.0 0

6 adameto asitotico Θ (theta) g() è Θ(f()) se tre costati c 1,c >0 e 0 c 1 f() g() c f() per ogi 0 g cresce esattamete come f c f() g() = Θ(f()) g() c 1 f() U abuso di otazioe cosolidato Per comodità si usa scrivere g() = O(f()) ivece di g() è O(f()), ecc. Ache i queste slides si adotta occasioalmete tale scrittura. Ma attezioe: ricordate che si tratta di u abuso di otazioe (vedi libro di testo), poiché il simbolo "=" i questo caso o deota u'uguagliaza, besì l'apparteeza ad u isieme: evidetemete, g() è O(f()) vuol dire: g() {h() c>0 e 0 h() c f() per ogi 0 } Aalogamete per Ω e Θ (vedi libro di testo). 0 AlgELab Lez.0 1 Quidi, ad es., dal fatto che g 1 () = O(f()) e g () = O(f()), NON deriva che g 1 () = g ()! AlgELab Lez.0 Proprietà della otazioe asitotica. Le segueti proprietà soo abbastaza ovvie: Trasitiva: f() = Θ (g()) e g() = Θ (h()) f() = O (g()) e g() = O (h()) f() = Ω (g()) e g() = Ω (h()) Riflessiva: f() = Θ (f()) f() = O (f()) f() = Ω (f()) f() = Θ (h()) f() = O (h()) f() = Ω (h()) Simmetrica: f() = Θ (g()) g() = Θ (f()) Simmetrica trasposta: f() = O (g()) g() = Ω (f()) Altre proprietà h() = O(f()) a. h() = O(f()), per ogi costate a > 0 d() = O(f()) & e() = O(g()) d() + e() = O(f() + g()) d() = O(f()) & e() = O(g()) d(). e() = O(f(). g()) f() fuzioe poliomiale di grado k: f() = a 0 + a a k k f() = O( k ) AlgELab Lez.0 AlgELab Lez.0 Esempio f() = O( g() ) se due costati c>0 e 0 f() c g() per ogi 0 f()= +10 f()=o( ): ua possibile scelta è: c= e 0 =10 = : f() = + 10 = > c = = 16 NO! =10: f() = = 10 c = 10 = 00 =0: f() = = 110 c = 0 = 1600 =0: f() = = 710 c = 0 = Ifatti: +10 c 10 (c - ) (10/(c-)) Scegliedo c= si ottiee 10 = va bee! Adameto asitotico: esempi Sia f()= +10 f() è O( ): scegliere c= e 0 =10 f() è Ω( ): scegliere c=1 e 0 =0 f() è Θ( ) f() è O( ) ma NON è Θ( ) AlgELab Lez.0 AlgELab Lez.0 6 6

7 Ricorda dall'aalisi matematica: il logaritmo "cresce meo" di qualsiasi poteza positiva, cioè: log = O( a ) per qualuque a > 0 Ifatti, applicado de l'hôpital, si ha: lim (log )/ a = lim (1/)/(a a-1 ) = lim 1/a a il limite è 0 per a > 0 (ota bee: è 0 ache per a < 1, ad es. a = 1/, 1/, ecc.) Quidi: log cresce meo di:, radice cubica di, ecc. (log ) cresce più di log, ma meo di qualuque poteza di (ad es. cresce meo di ) log cresce più di, ma meo di a per qualuque a > ad es. meo di,001 (è pseudocubica) log cresce più di, ma meo di a per qualuque a > 1 è pseudolieare Ricorda dall'aalisi matematica: l'espoeziale "cresce più" di qualsiasi poteza, cioè: co a > 1, a è Ω( k ) per qualuque costate k l'espoeziale è superpoliomiale Esempio: 1,001 cresce più di 1000 cresce più di a (è super-espoeziale) Ma... per quale valore di la fuzioe 1000 diveta miore di 1,001? U algoritmo di complessità T() = 1000 sarebbe davvero migliore di uo di complessità T() = 1,001?... Gli algoritmi poliomiali coosciuti hao quasi tutti complessità iferiore a AlgELab Lez.0 7 AlgELab Lez.0 Comportameti otevoli, i ordie crescete: Θ(1) costate Θ(log ) logaritmico Θ(log k ) poli-logaritmico Θ( 1/ ) radice quadrata Θ() lieare trattabili Θ( log ) pseudolieare Θ( ) quadratico Θ( ) cubico Θ( ) espoeziale Θ(!) fattoriale itrattabili Θ( ) (espoeziale i base ) AlgELab Lez.0 9 Alcue fuzioi ordiate per velocità di crescita log log 1 1, , , , x , ,0 x ,1 x , , x ,79 x 10 0 AlgELab Lez log 60 log rad log ^ ^ 0 rad log ^ ^ 7 7 ^ 0 ^ 6 6, ,7 1,1 1, 1,17,1,,,,6,,,,,6,16,, AlgELab Lez.0 1 AlgELab Lez.0 7