Prova scritta finale 16 giugno 2007

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1 Prova scritta final 6 giugno 007 Istituzioni di Fisica dlla Matria Prof. Lornzo Marrucci anno accadmico Tmpo a disposizion: 3 or Uso dgli appunti o di libri: NON AMMESSO uso dlla calcolatric: AMMESSO Nota: pr lasciar un margin di rcupro, il total di punti a disposizion è fissato a 3 invc ch a 30. ) Un lttron viaggia lungo un filo quantico (com s si trattass di un binario, si vda la figura) ch è avvolto in forma di crchio. Gli fftti dlla curvatura dl crchio possono ssr trascurati, pr cui l lttron va considrato a tutti gli fftti com una nomal particlla D, la cui posizion è cioè fissata da una sola coordinata x (corrispondnt ad un arco dl crchio misurato a partir da un punto di rifrimnto dato sul crchio) con una normal quazion di Schrodingr D, cctto pr il fatto ch lo spazio D su cui ssa si muov è chiuso in modo ciclico anziché stso all infinito. Il potnzial lungo il filo può ssr considrato nullo, cioè U(x) 0. L lttron è inizialmnt frmo sul filo, con nrgia total nulla, ma ad un crto istant assorb un foton di lunghzza d onda F 3.5 mm. Calcolar (a) l nrgia dll lttron dopo l assorbimnto dl foton. Calcolar (b) la lunghzza d onda dll lttron dopo l assorbimnto dl foton. Assumndo ch la lunghzza d onda dl foton assorbito sia anch la massima lunghzza d onda pr la qual l lttron potva assorbir un foton, dtrminar (c) il raggio dl crchio formato dal filo quantico su cui l lttron si muov. Suppont infin di avr du lttroni sul filo quantico a forma di crchio con il mdsimo stato di spin (pr smpio pr l fftto di un fort campo magntico) ch il sistma complssivo si trovi nl suo stato fondamntal. Considrando gli lttroni com non intragnti supponndo di sguir una misura simultana dlla posizion di du lttroni, dtrminat (d) la probabilità ch la distanza tra i du lttroni misurata lungo il crchio sia infrior o ugual a π/ (ossia un quarto di crchio) confrontatla con la probabilità ch ci si aspttrbb s i du lttroni fossro statisticamnt indipndnti.[punti: a ; b ; c; d] x ) Considrat un sistma D dato da una buca di nrgia potnzial infinita di forma quadrata di lato L Å (un rcinto quantico ), com rapprsntato in figura. Al tmpo inizial t 0, un lttron occupa uno stato quantistico ψ 0 (x,y) non stazionario, dato dalla sgunt formula: y N pr 0 < x< L/ 0 < y< L/ U 0 ψ 0( xy, ) 0 pr x> L/ o y> L/, U 0 fuori dalla buca dov N è una costant il sistma di rifrimnto è qullo mostrato in figura. x L La rgion dlla buca dov la funzion d onda è divrsa da zro pr t 0 è anch mostrata in figura com un ara trattggiata. Dtrminat: (a) l probabilità di trovar l lttron nlla mtà sinistra dlla buca (cioè 0 < x < L/ 0 < y < L) (b) l coordinat mdi x y dll lttron, s la misura dlla posizion dll lttron avvin al mdsimo istant inizial, cioè t 0; (c) l sprssion dll nrgi possibili dll lttron dll corrispondnti probabilità in caso di misura dll nrgia; (d) la probabilità di trovar l lttron nlla mtà dstra dlla buca (cioè L/ < x < L 0 < y < L) s la misura di posizion è sguita nll istant di tmpo dato dalla sgunt sprssion: t ml /(πħ) [punti: a ; b ; c3; d] 3) In non più di una pagina trattat uno di sgunti du argomnti, a sclta (MA NON PIÙ DI UNO) [punti: 8]: a. Enunciat l intrprtazion probabilistica (o statistica) dlla funzion d onda, chiarndo anch il significato di conctti statistici utilizzati (com ad smpio la dnsità di probabilità o altro), discutt un sprimnto (anch idalizzato) ch n ha confrmato la validità. b. Dscrivt qualitativamnt l ida alla bas dl mtodo dl campo mdio auto-consistnt utilizzato nlla trattazion dgli atomi a più lttroni mnzionatn anch la principal consgunza in trmini di livlli nrgtici. Carica dll lttron, C Costant di Planck ridotta ħ, J s Massa dll lttron m 9, 0 3 kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina sgunt...

2 sconda pagina - Prova scritta final 6/6/007 - Istituzioni di Fisica dlla Matria - Prof. Lornzo Marrucci 4) TEST (val punto pr ogni domanda, 8 punti in total) COGNOME: NOME: MATICOLA: a) Qual fnomno fisico fu spigato da Planck con la sua prima ipotsi di quantizzazion? La radiazion trmica dl corpo nro. b) Qual lgg prdiss Einstin pr la dipndnza dl potnzial di arrsto V 0 dalla frqunza ν dll onda incidnt nll fftto fotolttrico? V h ν Φ c) S una particlla prsnta un indtrminazion sulla quantità di moto pari a p 0 5 kg m/s, qual è la minima possibil indtrminazion x sulla sua posizion? x ħ/( p) 0.5 nm d) Quali sono l condizioni di raccordo da utilizzar pr risolvr l quazion di Schrodingr indipndnt dal tmpo in un sistma quantistico D quando l nrgia potnzial U(x) prsnta una discontinuità nl punto x 0? dφ dφ φ( x0) φ( x0) dx dx x0 x0 ) In cosa consist l fftto tunnl? Attravrsamnto da part di una particlla di una barrira di nrgia potnzial più alta dll nrgia total dlla particlla, sfruttando il fnomno dll onda vanscnt f) Scrivt l sprssion dlla funzion d onda ψ ( x, yzt,, ) di un lttron libro ch si muov in 3D nlla dirzion parallla all ass y con una quantità di moto di modulo p: ( ) i py Et ψ N con E p /( m) g) Quanto val il momnto angolar di un lttron ch si trovi nllo stato quantistico dscritto dalla funzion ar d onda ψ (, r ϑϕ, ) N, dov N è una costant r, ϑ, ϕ sono coordinat polari sfrich? zro h) L ossigno è un atomo contnnt 8 lttroni. Qual è la configurazion lttronica dl suo stato fondamntal di un suo qualsiasi stato ccitato (a vostra sclta)? SF (s) (s) (p) 4 SE (s) (s) (p) 5 oppur un altro

3 Soluzioni dgli srcizi Esrcizio Domanda (a). L nrgia dll lttron dopo l assorbimnto dl foton è ugual a qulla inizial (nulla) più l nrgia dl foton, quindi è pari a risposta a: hc E hν F J 0.38 mv Domanda (b). La lunghzza d onda dll lttron può ssr ricavata dalla rlazion di disprsion valida pr l particll libr (prché l nrgia potnzial è nulla), ossia p k 4π h E m m m m (allo stsso risultato si arriva ovviamnt anch risolvndo l quazion di Schrodingr con U 0) da cui risposta b: h hf 63 nm me mc Domanda (c). Pr rispondr a qusta domanda è ncssario risolvr l quazion di Schrodingr indipndnt dal tmpo trovar i livlli di nrgia possibili nl sistma. L quazion D è la solita (pr U 0): d φ Eφ mdx () ch ammtt com soluzioni pr E > 0 l ond armonich ikx φ ( x) N () con k ± me (3) (ch poi corrispond alla risposta (b), in bas alla rlazion k π/ ). La diffrnza risptto al caso D normal sta nl fatto ch la coordinata x è ciclica. Qusto vuol dir ch il punto di coordinata x + π coincid con il punto di coordinata x. Qusto a sua volta implica ch la funzion d onda φ(x) dbba ssr priodica con priodo π, cioè l soluzioni dvono soddisfar alla condizion aggiuntiva (qusta è una condizion di validità fisica da imporr sull soluzioni matmatich): φ( x) φ( x+ π) (4) Sostitundo la soluzion () in qusta condizion, ottniamo facilmnt ch πk πn k con n 0, ±, ±, (5) ik π n

4 Va notato in particolar ch il numro quantico n in qusto caso può anch ssr nullo o ngativo l soluzioni ch si ottngono sono ffttivamnt soluzioni indipndnti. In particolar, pr n 0 si ottin la soluzion φ(x) N costant, ch è una soluzion lgittima (è anch normalizzabil, dato ch la normalizzazion si dv far intgrando la x tra 0 π). E intrssant notar ch la condizion (5) sui k pr n > 0 corrispond alla condizion n π, ossia al fatto ch un numro intro n di lunghzz d onda dll lttron ntra nlla circonfrnza, cioè la normal condizion dl risonator circolar (di cui il nostro problma è un smpio). Prò, notat ch sist anch una lgittima soluzion con n 0 ( lunghzza d onda infinita), ch invc non abbiamo considrato nl ragionamnto sul risonator circolar (pr smpio nll intrprtazion dlla condizion di quantizzazion di Bohr basata sull ipotsi di D Brogli). Pr inciso, l soluzioni dlla () con E < 0 (ch sono sponnziali rali) non possono soddisfar la condizion aggiuntiva (4), pr cui non sono fisicamnt valid vanno scartat. Dalla (5), sostitundo nlla (3) risolvndo pr trovar E ottniamo i valori possibili dll nrgia: E En n m Il minimo salto nrgtico possibil è qullo ch porta l lttron dall nrgia nulla (n 0), ch poi è anch l nrgia inizial dll lttron, a qulla con n ±, cioè E E E m min ± 0 Prciò la massima lunghzza d onda lttromagntica ch può ssr assorbita è fissata dall quazion hc F E m isolvndo pr sostitundo la lunghzza d onda data nl tsto dl problma, ottniamo il risultato final (ch poi, guarda caso, coincid con il raggio di un crchio la cui circonfrnza sia ugual alla lunghzza d onda lttronica calcolata prima, ch corrispond infatti alla condizion pr n ±): risposta c: F 0 nm 4πmc π Domanda (d) S ci sono du lttroni con lo stsso spin, lo stato fondamntal dl sistma complssivo risulta dall occupazion dll unico stato di singola particlla con n 0 di uno qualsiasi di du stati con n ±. L corrispondnti funzioni d onda di singola particlla sono φ ( x) N 0 π φ± ( x) Nxp ik± x π ± / [ ] ix dov la costant N ni du casi è stata trovata imponndo la condizion di normalizzazion sul crchio Notat com in qusto problma, pur ssndo l lttron confinato, l nrgia di punto zro è nulla. Com mai non sono violat l rlazioni di indtrminazion di Hisnbrg? [Nota: la risposta a qusta domanda non è facil]

5 π 0 φ ( x) dx Ora, la funzion d onda antisimmtrica dllo stato fondamntal è data dalla sgunt sprssion: ± ix [ ] ( / ± ix / ψ ( x, x) φ0( x) φ± ( x) φ0( x) φ± ( x) ) π La dnsità di probabilità congiunta è dp x x ψ ( x, x) cos dxdx 4π (6) (ch divnta indipndnt dal sgno sclto pr il ±). Pr trovar la probabilità ch gli lttroni si trovino in du posizioni ch distano non più di π/ (ossia un quarto di crchio), ossia ch pr ciascun valor di x, la x sia comprsa tra x π/ x +π/, bisogna far l intgral sgunt: π x + π / π + π/ d d (7) 0 x π/ 0 π/ P dx dx ψ( x, x ) dx dx ψ( x, x ) dov nlla sconda sprssion abbiamo introdotto pr comodità la variabil distanza tra gli lttroni xd x x (ma qusto passaggio non è indispnsabil pr svolgr l intgral). Sostitundo l sprssion (6) nlla (7), l intgral in x si può far immdiatamnt (prché dopo il cambio di variabili la ψ non dipnd da x ma solo da x d ) ottniamo risposta d: + π / xd P dxd cos 0.8 8% π π π / S l particll fossro indipndnti la dnsità di probabilità foss distribuita uniformmnt sul crchio (com è pr tutt du l funzioni d onda), è ovvio ch la probabilità sarbb invc ½ 50%, prché corrispond alla probabilità ch la sconda particlla si ritrovi nl smicrchio cntrato nlla posizion dlla prima particlla (qualsiasi sia qusta posizion). La diminuzion di probabilità è ovviamnt dovuta alla natura frmionica dgli lttroni. Esrcizio Domanda (a). Al tmpo t 0, la dnsità di probabilità pr unità di ara pr la posizion dll lttron è data da dp dxdy ψ (, ) 0 x y Qusta è pari a N nl quadrato trattggiato di ara L /4 mostrato in figura nulla al di fuori. Ovviamnt, pr la condizion di normalizzazion, si ha L/ L/ L ψ0 4 ( x, y) dxdy N dxdy N N L La probabilità ch la particlla sia nlla mtà sinistra dlla buca corrispond ad un intgral ch copr tutta la rgion trattggiata, oltr ad una rgion in cui la funzion d onda si annulla. Quindi è chiaro ch la probabilità è risposta a: L/ L L/ L/ ψ 0 P( x < L / ) dx ( x, y) dxdy N dxdy 00%

6 Domanda (b). Pr calcolar l coordinat mdi possiamo sfruttar la simmtria dlla distribuzion di probabilità, pr cui i valori mdi dvono trovarsi nl cntro di simmtria dlla distribuzion, ossia nl cntro dl quadrato trattggiato. Ovviamnt si può anch applicar dirttamnt la dfinizion, con il mdsimo risultato, ossia risposta b: L/ L/ L x xψ0( x, y) dxdy xn dxdy 0.5 Å 4 L/ L/ L y yψ0( x, y) dxdy yn dxdy 0.5 Å 4 Domanda (c). L nrgi possibili sono tutt qull dlla buca rttangolar quadrata, ch si ricavano con il mtodo usual dlla sparazion di variabili, ch riconduc l nrgia alla somma dll nrgi di du buch D ciascuna con il suo numro quantico. Prciò si ottin π E E E 0 n + n con E0 n, n,,3, (8) ml risposta c prima part: nn ( ) A ciascuna di qust nrgi corrispond l autofunzion φ n, n nπ x nπ y ( xy, ) sin sin L L L (9) Ora, pr trovar l probabilità di ciascun valor di nrgia, è ncssario calcolar il prodotto scalar tra la funzion d onda inizial l autofunzion corrispondnt all nrgia in qustion poi farn il modulo-quadro, ossia: P c n, n n, n con LL L/ L/ * 4 π n, n φ n, n, ψ 0 φ (, ) ψ, 0(, ) sin sin n n n x n πy c x y x y dxdy dxdy L L L 4 nπ nπ 6 nπ nπ cos cos sin sin π nn π nn 4 4 (0) Prciò, l probabilità di livlli di nrgia dati nlla (8) (o mglio dgli stati quantistici corrispondnti ai numri quantici n, n ; pr un dato livllo nrgtico si dovrbb poi far la somma su tutti gli stati ch hanno la stssa nrgia) sono dat da: risposta c sconda part: Domanda (d) P nn 56 nπ n π sin sin π nn 4 4 Pr dtrminar l probabilità rlativ ad un istant di tmpo divrso da qullo inizial è ncssario calcolar la funzion d onda pr istanti di tmpo succssivi. Qusto può ssr fatto agvolmnt scrivndo la funzion d onda com combinazion linar dgli autostati, ossia com sgu: n n ( ) ψ ( x, y, t) c φ ( x, y)xp ie t nn nn nn

7 dov i cofficinti sono dati dalla (0), l autofunzioni dalla (9) l nrgi dalla (8). Sostitundo in qusta sprssion il tmpo t dato nl tsto, vdiamo ch gli argomnti dgli sponnziali immaginari ch forniscono la dipndnza tmporal divntano i sgunti: E0( n + n)ml ienn t i i6 π ( n + n) π Qusti sono tutti multipli di πi, pr cui gli sponnziali sono tutti pari a quindi la funzion d onda ritorna ad ssr sattamnt idntica a qulla inizial. Prciò la probabilità di trovar la particlla nlla mtà dstra dlla buca in qusto particolar istant di tmpo si annulla (risposta d).