Università degli Studi di Trieste Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile

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1 Univerità degli Studi di Triete Facoltà di Ingegneria Coro di Laurea Triennale in Ingegneria Civile Coro di Geotecnica Prof.a Darinka Battelino A.A Quaderno Degli Eercizi Studente: Paolo Martini

2 Indice Indice I TERRENI Analii granuloetrica 4 Eercizio. 4 Relazione tra le fai 6 Eercizio. 7 Eercizio. 7 Eercizio.4 7 Prova geoiica 8 Eercizio.5 9 Eercizio.6 0 TENSIONI LITOSTATICHE Tenioni erticali Eercizio. Eercizio. 4 Eercizio. 7 Eercizio.4 9 Sovraccarichi Eercizio.5 PROE DI LABORATORIO 5 Stati tenionali 5 Eercizio. 5 Pereabilità 6 Eercizio. 7 Eercizio. 7 Prova triaiale 8 Eercizio.4 8 Eercizio.5 9 CONSOLIDAZIONE 0 Conolidazione onodienionale 0 Eercizio 4. Dreni verticali 4 Eercizio 4. 6 OPERE DI SOSTEGNO 40 Analii liite 40 Eercizio Spinte 4 Eercizio 5. 4 erifiche di tabilità 45 Eercizio Paolo Martini

3 I Terreni I terreni cotituicono la parte più uperficiale della crota terretre e ono eenzialente il prodotto dell alterazione delle rocce dovuta a fattori cliatici e abientali. Dal punto di vita fiico i terreni ono ezzi ultifae: la fae olida è cotituita da granuli, in genere fraenti di roccia o particelle di argilla; le fai liquida e gaoa, cotituite da acqua, aria e vapore acqueo, occupano gli pazi tra i granuli olidi. Poiao definire il terreno: aturo quando viene a ancare la fae gaoa; aciutto quando anca la fae liquida; parzialente aturo o non aturo quando ono preenti entrabe le fai liquida e gaoa. Le proprietà eccaniche di un terreno, oia reitenza e rigidezza, dipendono: dalla natura dei granelli, oia dal ateriale che li cotituice; dallo tato del terreno, oia dalla utua dipoizione dei granelli. Dal punto di vita dell Ingegneria Geotecnica, la claificazione dei terreni conite nel raggrupparli in clai con coportaento eccanico oogeneo. Si è vito che tale coportaento dipende dalle dienioni dei granuli (granuloetria), che variano in un intervallo piuttoto apio ( ) e non ono ai unifori nello teo capione di terreno. L aortiento granuloetrico, oia il rapporto tra il nuero dei granuli di varie iure preenti nel terreno, ci perette di operare una pria ditinzione: i terreni a grana groa (ghiaie e abbie) ono quelli cotituiti da una frazione paante al etaccio 00 ( aglia 0,074) inore del 50%; il loro coportaento eccanico è olto iile a quello di un iniee di biglie di varie dienioni: e aciutti, le forze di uperficie ono tracurabili ripetto a quelle eccaniche derivanti dal peo proprio; i terreni a grana fine (lii e argille) ono quelli cotituiti da una frazione paante al etaccio 00 aggiore del 50%; tali particelle poono ubire ignificative variazioni di volue per effetto di applicazione di carichi o in eguito a variazioni del contenuto d acqua, e inoltre le forze di uperficie auono grande rilevanza nel loro coportaento eccanico. Eitono varie claificazioni dei terreni in bae alla loro granuloetria, il più uato dei quali è il Sitea Unificato (USCS): Quaderno degli eercizi di Geotecnica

4 Nel cao dei lii e delle argille il coportaento eccanico è aggiorente influenzato dal tipo di inerali che copongono i granuli piuttoto che dalla loro dienione: i fa ricoro quindi al itea di claificazione di Caagrande, baato ui liiti di Atterberg, che prede in coniderazione il liite liquido W L e l indice di platicità PI (la differenza tra liite liquido e liite platico). La claificazione i effettua oervando in quale capo della carta di platicità cadono i valori ottenuti dal notro provino: Analii granuloetrica Eercizio. La tacciatura di un capione di terreno del peo di 500g ha dato i eguenti riultati: Diaetro Trattenuto Setaccio g I liiti di Atterberg deterinano i paaggi tra gli tati olido, platico e liquido del ateriale e i ottengono con prove tandardizzate: il liite liquido (paaggio platico-liquido) è il contenuto d acqua in corripondenza del quale il terreno poiede una reitenza al taglio coì piccola che un olco praticato u di un capione rianeggiato i richiude quando il cucchiaio che lo contiene è ollecitato con 5 colpi; la ua deterinazione i eegue ripetendo le prove ullo teo capione con la progreiva aggiunta di acqua; il liite platico (paaggio platico-eiolido) è il contenuto d acqua in corripondenza del quale il terreno inizia a perdere il uo coportaento platico; viene deterinato forando con la ano dei batoncini di peore. u una latra di vetro che iniziano a feurari una volta raggiunto il liite; il liite di ritiro (paaggio eiolido-olido) rappreenta il contenuto d acqua al di otto del quale una perdita d acqua non coporta più alcuna riduzione di volue. Paolo Martini 4

5 Deterinarne il coefficiente di uniforità e diegnarne la curva granuloetrica. Soluzione La pria coa da fare è trovare la percentuale del paante per ogni etaccio: Setaccio Diaetro Trattenuto Paante g g % 4 4, % 6, % 0 0, % 40 0, % 50 0, % 60 0, % 80 0, % 00 0, % 0 0, % 70 0, % 00 0, % Poiao poi inerire i valori trovato in un grafico del tipo: Il coefficiente di uniforità è: D60 0,4 C u 5 D 0,088 0 Quaderno degli eercizi di Geotecnica 5

6 Paolo Martini 6 Relazione tra le fai Le forule che ettono in relazione le divere fai del terreno ono: olue totale g + + olue dei vuoti g v + olue pecifico e v + Poroità e e n v + Indice dei vuoti n n G W W e v n n e n n e g g Grado di aturazione e G e n n S v 00 Contenuto d acqua v S n n G S e G S W W Peo pecifico W + + Peo pecifico del volue olido W Peo pecifico ecco ( ) d G n e e G W Peo pecifico del terreno aturo ( ) at e e G n G n Peo pecifico del volue alleggerito at Denità relativa totale G Denità relativa dei grani G

7 Eercizio. Dato un capione con le caratteritiche: n 0% G,65 S 00% deterinarne il contenuto d acqua. Soluzione W vs S e W G G n n S 0, 0,,65 0,6 6% Eercizio. Dato un capione con le caratteritiche: e, S 70% 6,5 deterinarne il contenuto d acqua, il contenuto d acqua alla aturazione e il peo pecifico del terreno ecco. Soluzione W vs S 0,7 e, 0, % W 6,5 0 e, at 0,45 45% 6,5 0 e + e + e +, ( n) 6,5 d Eercizio.4 Da un terreno è tato prelevato un provino con le caratteritiche: W 895g 46c W 779g G,7 Deterinarne il contenuto d acqua, il peo pecifico ecco e l indice dei vuoti. Si peni poi di prendere un volue 76c di ateriale aciutto del peo di W 400g e di iurare un volue c a cotipazione ultiata; deterinare i valori inio e aio del peo pecifico ecco e dell indice dei vuoti. Quaderno degli eercizi di Geotecnica 7

8 Soluzione W W W ,5 5% W W 779 W 779 g d,8 46 c 46 e 0,48 W 779 G,7 W 400 g d,in,46 76 c W 400 g d,in,89 c ein 0,44 W 400 G,7 e in W G ,87,7 Prova geoiica La prova geoiica conente di deterinare lo peore di pochi trati di terreno. La prova conite nella iura degli intervalli di tepo ipiegati dalle onde iiche per raggiungere alcune tazioni di rilevaento pote a ditanze note dalla orgente. Le onde ono olitaente provocate da un eploione, entre le tazioni di rilevaento ono cotituite da apparecchi detti geofoni. Eitono tre tipi di onde iiche: onde priarie P, dette anche longitudinali o elatiche, ad alta velocità: λ + G E( υ) v p ρ ρ( + υ)( υ ) υe dove λ ( + υ)( υ ) E G è il odulo di taglio ( +υ ) onde econdarie S, dette anche traverali, con velocità: G E v ρ ρ( + υ) onde di Rayleigh o di uperficie S con velocità: v r Kv dove il coefficiente K può eere calcolato a partire da coniderazioni ulla geoetria della traiione delle onde Paolo Martini 8

9 La prova i baa ul principio che, eendo le reitenze degli trati olto divere tra loro, abbiao divere velocità di propagazione delle onde attravero i vari terreni. Per ogni tazione i rilevano i tepi, olitaente eprei in illiecondi (), che intercorrono tra l eploione e l arrivo dell onda ai enori del geofono. La velocità di propagazione è quindi facilente calcolabile a partire dai tepi rilevati e dalle ditanze alle quali ono tati poti i geofoni. Eercizio.5 Una prova geoiica ha fornito i eguenti riultati: i x t 0 9, 0 8,4 0 5, , , , , , , , , Deterinare la profondità del prio trato. Soluzione Innanzitutto ineriao i dati della prova in un grafico ditanza-tepo, dal quale: poter oervare la ditanza alla quale la ditribuzione dei valori cabia inclinazione, poiché ciò ignificherà che le velocità di propagazione cabiano e quindi che iao in preenza di uno trato divero dal precedente; poter ottenere la quantità t 0 i dall intercetta della retta ottenuta per interpolazione dei valori relativi al econdo trato con l ae tepo Tepo () Ditanze () Quaderno degli eercizi di Geotecnica 9

10 A partire dai dati poiao poi cotruire la tabella eguente: Tratto x t v p v p,edia / / 0-0 9, 0, ,40 0, ,7 0,580 0, ,90 0, ,40 0, ,, ,4, ,, ,,764, ,4, ,9,850 Poiao trovare lo peore del prio trato dalla forula: v p v p 0,5,7896 z t0 98 5,7 v v 0,5,7896 p p Eercizio.6 Una prova geoiica ha fornito i eguenti riultati: i x t 0 4,66 5 6,5 0 8, , , , , , , , ,8 0 5,00 Deterinare la profondità degli trati. Soluzione Ineriao i dati della prova in un grafico ditanza-tepo: Paolo Martini 0

11 Tepo () Ditanze () A partire dai dati poiao poi cotruire la tabella eguente: Tratto x t v p v p,edia / / 0-0 4,66 0, ,5 0, ,7 0,99 0, ,8 0, ,40, ,4, ,9, ,9,0, ,40, ,8,00 0-0,8, ,00,77,40 Poiao trovare lo peore dei prii due trati dalla forula: v p v p 0,67,6 z t0 65 8,8 v v,6 0,67 z t 0 p p z v p v v v p p p v p v p v p v 8,8,40 0, ,67,40 p,40,6,40,6 4,59 Quaderno degli eercizi di Geotecnica

12 Tenioni litotatiche Il coportaento eccanico dei terreni può eere viualizzato penando ad uno cheletro olido con dei vuoti intergranulari riepiti d acqua e aria. Le tenioni di taglio, in condizioni di carico uuali, ono opportate copletaente dallo cheletro olido; le tenioni norali ono invece oa di due coponenti: - quelle agenti ullo cheletro olido; - quelle del fluido che riepie gli pazi intergranulari. La legge di interazione tra cheletro olido e fluido è nota coe Principio degli forzi efficaci di Terzaghi: Le tenioni in un punto poono eere deterinate dalla conocenza delle tenioni totali principali σ, σ, σ. Se lo pazio intergranulare è riepito con acqua avente preioneu, le tenioni totali poono copori nella tenione u agente ull acqua (tenione neutra) e nelle differenze σ u, σ u, σ u (tenioni parziali o efficaci) Lo tato tenionale eitente in un punto del terreno dipende dal peo proprio del terreno, dalla ua toria tenionale, dalle condizioni di falda e dai carichi eterni adeo applicati. Le tenioni dovute al peo proprio ono chiaate geotatiche o litotatiche, e la loro conocenza è fondaentale per interpretare correttaente le prove di laboratorio e le prove in ito. Eite una precia relazione tra le tenioni efficaci verticali σ z e orizzontali σ h rappreentata dal coefficiente di pinta a ripoo K 0, la cui deterinazione è uno dei più coplicati apetti da riolvere nel capo dell Ingegneria Geotecnica in quanto dipende dalla equenza degli eventi che hanno intereato il depoito. Tenioni erticali Il cao più frequente nella realtà è un depoito tratificato con piano capagna orizzontale per il quale le variazioni della natura del terreno in direzione orizzontale ono tracurabili. Tale ituazione è relativaente eplice da analizzare, poiché: ogni ezione verticale può coniderari di ietria; le tenioni verticale σ z e orizzontale σ h ono principali; le tenioni verticali nel terreno ad una data profondità ono dovute al peo della colonna di ateriale (terreno, acqua e fondazioni) ovratante l eleento di terreno alla profondità in eae. Detta z la profondità del terreno e il peo dell unità di volue totale (grani ed acqua) avreo l epreione per la tenione verticale totale nel terreno oogeneo: σ z z e tratificato σ z z i i La preione dell acqua contenuta negli pazi interparticellari è chiaata preione idrotatica o intertiziale e, detta ξ la profondità ripetto al livello di falda, i ricava dalla forula: ξ u Paolo Martini

13 Il coportaento eccanico di un terreno dipende dal valore della tenione efficace o parziale, definita coe: σ σ u z z Eercizio. Abbiao un terreno con il eguente profilo tratigrafico: 4 di abbia con peo pecifico 9 ; 6 di lio con peo pecifico 9,6 ; 8 di argilla con peo pecifico 6,7. Sapendo che la falda è pota a 6 di profondità, deterinare le preioni parziali per i punti di profondità 4, 6, 0 e 8 e diegnare i profili delle preioni. Soluzione La ituazione è la eguente: Poiao cotruire la tabella: Punto z ζ σ u σ' / / / / ,6 5, 0 5, ,6 9,6 40 5, ,7 7, 0 07, ed inerire i valori nel grafico: Quaderno degli eercizi di Geotecnica

14 Tenioni (/ ) Profondità () Punti -4 Tenioni totali Tenioni parziali -8 5 Eercizio. Conideriao un terreno con il eguente profilo tratigrafico: 6 di lio ML con peo pecifico 9 e odulo edoetrico E ML 000 ed ; 0 di abbia SW con peo pecifico 0 e odulo edoetrico E SW 8000 ed ; Analizzare lo tato tenionale del terreno nelle configurazioni: a) terreno aciutto (aenza di acqua); b) livello di falda poto al livello del piano capagna; c) livello di falda poto a profondità 6; d) livello di falda poto opra il piano capagna per la cotruzione di un bacino di raccolta delle acque. Deterinare inoltre i cedienti uperficiali dovuti al paaggio dalla configurazione b) alla configurazione c) e confrontare le configurazioni b) e d). Soluzione Poiao riauere le quattro configurazioni con lo chea: Paolo Martini 4

15 Per la configurazione a) abbiao la tabella: Punto z ζ σ u σ' / / / / e il grafico: Tenioni (/ ) Profondità () -6-0 Punti Tenioni totali Tenioni parziali -4 Per la configurazione b) abbiao la tabella: Punto z ζ σ u σ' / / / / Per la configurazione c) abbiao la tabella: Punto z ζ σ u σ' / / / / Ineriao ora nello teo grafico i valori delle tenioni nelle configurazioni b) e c): Quaderno degli eercizi di Geotecnica 5

16 Tenioni (/ ) Profondità () Punti Tenioni totali Tenioni parziali c) Tenioni parziali b) Poiao notare coe le tenioni totali riangano invariate ia tra le due configurazioni ia ripetto alla configurazione a). Oerviao inoltre che le tenioni efficaci ono auentate nel paaggio dalla configurazione b) alla c): ciò coporta aggiori deforazioni, e quindi ad un abbaaento di falda corriponde un cediento uperficiale. Tale cediento può eere calcolato in ogni punto ediante l epreione: dh dσ dρ E dove dh è l altezza (intorno del punto) nella quale i ha l increento di tenione parziale; d σ è l increento di tenione parziale; E è il odulo edoetrico del terreno nel punto. Nell evidente ipoibilità di eeguire un analii infiniteia, calcolereo il cediento in uno trato di terreno con l epreione: h σ ρ E dove h è lo peore dello trato nel quale i ha l increento di tenione parziale; σ è l increento edio di tenione parziale; E è il odulo edoetrico edio del terreno nello trato. La quantità h σ arà, con riferiento al grafico, l area coprea tra le due rette delle tenioni parziali nelle divere configurazioni. Nel notro cao abbiao dunque: per lo trato di lio un cediento pari a: 6 60 h σ ρ ML 0,8 8c ML E ed 000 poiché l increento della tenione parziale va da 0 (punto ) a 60 (punto ); l increento edio è quindi la età di quello del punto (poiao anche dire che le due rette forano un triangolo di bae 60); per lo trato di abbia un cediento pari a: Paolo Martini 6

17 0 60 h σ ρ SW 0,075 7, 5c SW E ed 8000 poiché l increento di tenione parziale è cotante lungo tutto lo trato (poiao anche dire che le due rette forano un parallelepipedo di bae 60) Il cediento uperficiale (punto ) arà ovviaente la oa dei cedienti di ogni trato ottotante: ρ ρ ML + ρ SW ( 8 + 7,5) c 5, 5c Per la configurazione d) abbiao invece la tabella: Punto z ζ σ u σ' / / / / A Confrontando i valori delle tenioni parziali nelle configurazioni b) e d) poiao oervare che ee non cabiano. La cotruzione del bacino di cui alla configurazione d) in un terreno con lo tato tenionale in b) non produrrebbe quindi alcun effetto eccanico nel terreno, nonotante l increento delle tenioni totali. Se invece i alzae la falda a partire da una profondità inore di quella del piano capagna, coe ad eepio nel paaggio dalla c) alla b), avreo una diinuzione delle tenioni parziali: ciò non coporta alcuna deforazione nel notro cao. Avreo degli effetti unicaente e nel terreno foe preente uno trato di argilla rigonfiante, che produrrebbe un innalzaento uperficiale. Eercizio. Abbiao un terreno con il eguente profilo tratigrafico: 0 di abbia SW con peo pecifico SW 0 e odulo edoetrico E SW 0000 ed ; 0 di argilla CH con peo pecifico CH 0 e odulo edoetrico deterinato con una prova di laboratorio u di un provino di altezza iniziale H 4c che ha dato il eguente riultato: Tenione applicata (kpa) Cediento (c) Quaderno degli eercizi di Geotecnica 7

18 Il livello di falda è inizialente alla uperficie. Deterinare il cediento uperficiale e la falda i abbaa di 0. Soluzione Calcoliao innanzitutto le tenioni nella configurazione iniziale: Punto z ζ σ u σ' / / / / A e dopo l abbaaento della falda di 0: Punto z ζ σ u σ' / / / / A Ineriao poi i valori delle ole tenioni parziali per le due configurazioni nello teo grafico: Tenioni (/ ) A Profondità () Punti Tenioni iniziali -4-6 Tenioni finali -8-0 Pria di paare al calcolo dei cedienti è neceario deterinare il odulo edoetrico edio dello trato di argilla. Per fare ciò conideriao i valori delle tenioni parziali nella età dello trato (punto ) e cerchiao, nel grafico della prova edoetrica fornitoci, il corripondente cediento h. Il odulo edoetrico arà poi dato dalla forula: h σ E CH ed h dove h è l altezza del provino nella condizione di carico iniziale σ i. Nel punto abbiao σ i 50 e σ f 50 ; a tali valori corriponde un cediento h 4 ( 0,85 0,) c 0,064c 6,4 0 Paolo Martini 8

19 ed un altezza del provino nella condizione di carico iniziale pari a: h H h0 50 ( 4 0,) c,88c 0, 088 Abbiao allora 0,088 00kPa E CH ed ,4 0 Poiao ora calcolare i cedienti: 0 00 hsw σ ρ SW 0,05 5c SW E ed hch σ ρ CH 0,67 6, 7c CH E ed 6000 ρ ρ + ρ 5 + 6,7 c, Eercizio.4 ( ) c A SW CH 7 Abbiao uno trato di lio MH alto 0 con peo pecifico MH 0 e odulo edoetrico deterinato con una prova di laboratorio che ha dato il eguente riultato: Indice dei vuoti e Tenione applicata (kpa) Il livello di falda è alla profondità di 4. Deterinare il cediento uperficiale dovuto alla cotruzione di un terrapieno alto 6 di ateriale con peo pecifico. Soluzione Calcoliao innanzitutto le tenioni nella configurazione iniziale: Punto z ζ σ u σ' / / / / A e dopo la cotruzione del terrapieno: Quaderno degli eercizi di Geotecnica 9

20 Punto z ζ σ u σ' / / / / A È neceario deterinare il odulo edoetrico edio dello trato di lio. Per fare ciò conideriao i valori delle tenioni parziali nella età dello trato (punto ) e cerchiao, nel grafico della prova edoetrica fornitoci, la corripondente variazione dell indice dei vuoti e. Il odulo edoetrico arà poi dato dalla forula: MH ( ei + ) σ Eed e dove e i è il valore dell indice dei vuoti nella condizione di carico iniziale σ i. Nel punto abbiao σ i 90 e σ f ; a tali valori corriponde una variazione dell indice dei vuoti pari a: e,77,54 0,0 ed un valore dell indice dei vuoti nella condizione di carico iniziale pari a: e,77 coe poiao oervare dal grafico: Abbiao allora,77 kpa E CH ed 500 0,0 Poiao ora calcolare il cediento: 0 h MH σ ρ 0,056 0, 6c MH E ed 500 Paolo Martini 0

21 Sovraccarichi L analii delle tenioni del terreno in capo elatico dicende dalla più generale Teoria dell elaticità in ezzi oogenei. Nella Meccanica delle terre uno dei cai di più largo utilizzo di tale teoria è cotituito dalla deterinazione dello tato tenionale prodotto all interno del terreno da carichi applicati in uperficie. Abbiao oluzioni divere in bae alla natura ed all applicazione del carico: nel cao di un carico lineare infinitaente eteo in direzione verticale abbiao: Q z σ v π x + z ( ) ( co in ) Q σ x α α π z Q σ x ( co α inα) π z nel cao di un carico puntifore abbiao la oluzione di Bouineq: Pz σ v 5 π R P x z υ ( R+ z) x z σ x + 5 π R R( R+ z) R ( R+ z) R P x z υ ( R+ z) y z σ y + 5 π R R( R+ z) R ( R+ z) R Pxz τ zx 5 π R ; Pyz τ yz 5 π R ; P xyz υ ( R + z) xy τ xy 5 π R R ( R z) + nel cao di aree di carico, oia nei cai di aggiore interee applicativo, i integrano le oluzioni del cao precedente. ita la notevole difficoltà pratica di integrare le funzioni piuttoto coplee di Bouineq vari autori hanno diagraato le oluzioni principali. La più coune è la oluzione di Steinbrenner, che perette di valutare la tenione verticale otto lo pigolo di un area rettangolare: Quaderno degli eercizi di Geotecnica

22 Eercizio.5 Con riferiento alla figura i deterinino i cedienti della caa negli ai verticali A, B, C e D, aunti q 00/, q 50/ e q 0 Soluzione Partiao con l analii del cediento nel punto A. Per il calcolo delle tenioni verticali econdo la teoria di Bouineq dovreo effettuare una ovrappoizione dei rettangoli che hanno coe pigolo il punto A: Rettangolo Carico a b a/b AD4(+) q 0 5 AC4(+) q 0 0 AC5(-) q 0 5 AD4(-) q 0 5 AB5(+) q 5 5 Utilizzereo poi il diagraa di Steinbrenner per valutare le tenioni nei punti verticali ottotanti A in profondità divere: Rettangoli AD4 AC4 AC5 AD4 AB5 b Σ σ z q ariabili z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z Calcolereo infine i cedienti lungo l ae A con la forula σ ihi ρ Eed dove il pedice i i riferice agli trati di terreno deliitati dai punti verticali. Abbiao quindi: σ ihi ρ c Eed 000 Ripetiao il procediento per l ae B: Paolo Martini

23 Rettangolo Carico a b a/b AB5(+) q 5 5 5BD4(+) q 5 5 BD(+) q 5 5 Rettangoli AB5 5BD4 BD b Σ σ z q ariabili z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z ρ σ ihi c Eed 000 Per l ae C abbiao invece: Rettangolo Carico a b a/b AC4(+) q 0 0 CD(-) q 0 5 CD(+) q 0 5 CB(-) q 5 5 Rettangoli AC4 CD CD CB b Σ σ z q ariabili z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z Teoricaente arebbe σ ihi ρ c E 000 ed a oervando l andaento delle ovrapreioni poiao coniderare coe ee non decrecano con la profondità: ciò accade per le inevitabili ipreciioni nell utilizzo del diagraa di Steinbrenner. Del reto l unico punto nel quale abbiao valori precii è il punto, poto alla σ z uperficie, dove il vale epre 0.5: poiao coì auere nulle le ovrapreioni e, quindi, q il cediento lungo l ae C. Quaderno degli eercizi di Geotecnica

24 Infine, per l ae D abbiao: Rettangolo Carico a b a/b AD4(+) q 0 5 BD(+) q 5 5 Rettangoli AD4 BD b q Σ σ z ariabili z/b σ z /q σ z z/b σ z /q σ z σ ihi ρd c E 000 ed Paolo Martini 4

25 Prove di Laboratorio Stati tenionali La ripota di un terreno alle ollecitazioni eterne dipende dal tipo e dall entità delle tenioni applicate a anche dal odo in cui ciò avviene e dalla ua toria tenionale: diventa perciò iportante viualizzare le odifiche dello tato di tenioni nel terreno. Un etodo utile e intetico è la rappreentazione degli tre-path (percori di ollecitazione) nel piano di Mohr. Tale etodo conite in:. celta di un probabile eccanio di rottura o di deforazione;. individuazione di un eleento rappreentativo del terreno;. deterinazione del percoro di ollecitazione eguito dall eleento; 4. riproduzione del percoro in laboratorio e deterinazione dei paraetri geotecnici ignificativi per il problea in eae. σ, τ è olitaente preferita la Alla rappreentazione per cerchi ul piano di Mohr ( ) rappreentazione per punti ul piano ( t, ) dove: σ z + σ h σ z σ h t oppure, nel cao di tenioni orizzontali non radialente cotanti, epre per punti ul piano delle invarianti di tenione ( p, q ) dove: p ( σ + σ + σ ) q ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) dove σ è la tenione verticale entre σ e σ ono le tenioni orizzontali. Eercizio. Deterinare il percoro di carico di un eleento di terreno ollecitato in condizioni di ietria radiale econdo il eguente prograa di carico:. σ ', σ ', σ ' vengono increentati ugualente a partire da zero;. σ ' è ulteriorente increentato rianendo σ ' e σ ' cotanti;. σ ' e σ ' vengono increentati laciando σ ' cotante. Quaderno degli eercizi di Geotecnica 5

26 Soluzione Per il calcolo uiao gli invarianti efficaci: p' ( σ ' + σ ' ) σ ' OTT q' q σ ' σ ' τ OTT Analizziao le tre condizioni di carico e otituendo le relazioni i ottengono le epreioni: dσ 'dσ 'dσ ' dp'dσ ' dq'0 dσ 'dσ '0 dp'dσ '/ dq'dσ ' 4 dσ '0 dp' dσ '/ dq'- dσ ' Il percoro di carico, o tre-path, riulta coì eere: q' Stre-path p' Pereabilità Il paraetro che più icrocopicaente differenzia i terreni a grana groa da quelli a grana fine è il coefficiente di pereabilità k, le cui variazioni ono elevatiie paando dalle ghiaie alle argille. Il otivo di tale variazione è piegato dal fatto che la pereabilità è influenzata da variati fattori, quali la truttura del terreno, la acrotruttura del depoito e le variazioni dell indice dei vuoti prodotte dallo tato tenionale (nel cao dei terreni a grana fine). Definiao il gradiente idraulico coe il rapporto tra la perdita di carico idraulico ed il tratto in cui ea i verifica: dh i dx La velocità di filtrazione di un fluido all interno di un ezzo poroo può eere legata al gradiente idraulico attravero la legge di Darcy: v ki La deterinazione del coefficiente di pereabilità in laboratorio viene fatta generalente ediante due prove, epote negli eercizi eguenti. Paolo Martini 6

27 Eercizio. Si deterini il coefficiente di pereabilità, avendo a dipoizione i eguenti dati della prova di laboratorio: H H L 60c D 0c l t in Soluzione Il coefficiente di pereabilità i ricava dalla forula: 4 L c k 70 tπd H H 60 π 0 00 ( ) Eercizio. Si deterini il coefficiente di pereabilità di un argilla avendo a dipoizione i eguenti dati della prova di pereabilità edoetrica: σ 00 l.97c d c D 7c H 60c H 58c t 6h η 0.9 Soluzione Traforiao innanzitutto il tepo in econdi t 6h 600 e calcoliao la ezione del provino: πd π7 AD 8.48c 4 4 la ezione della buretta graduata: πd π Ad 0.78c 4 4 Il coefficiente di pereabilità i ricava dalla forula: H ln ln 60 Ad H c k ηl A D t Poiao coniderare il riultato attendibile dato il valore olto bao di pereabilità dell argilla. Quaderno degli eercizi di Geotecnica 7

28 Prova triaiale Eercizio.4 In una prova triaiale in condizioni drenate u un capione di abbia fine e pulita i è verificata la rottura quando la tenione verticale totale ha raggiunto il valore di σ v 400 e la tenione laterale il valore di σ r 0. Deterinare l angolo di attrito e le tenioni norale e tangenziale nel piano di rottura. Soluzione Poiché i tratta di un capione di abbia fine e pulita poiao coniderare nulla la coeione; per deterinare l angolo di attrito analizziao il cerchio di Mohr relativo alle tenioni principali: τ Piano di rottura τc+σtgϕ T O α C Dalle coniderazioni trigonoetriche arctan CT ϕ OT σϕ OT coϕ τϕ OT inϕ e dalle relazioni geoetriche σ + σ OC v r 60 σ σ CT v r 40 OT OC CT 95 σ abbiao ϕ σ ϕ 60 τ 40 ϕ Paolo Martini 8

29 Eercizio.5 I riultati di una prova triaiale in condizioni non drenate ono riaunti nella tabella eguente: σ -σ ε z / % 7 0.5% % 64.00% 89.00% 9.00% Deterinare l indice di Poion e il odulo di Young. Soluzione Il calcolo dell indice di Poion conite nella relazione ε ν r ε Poiché iao in condizioni non drenate avreo: ε r ( ε εz) ε ε + ε r 0 e quindi ε r ε z ε z ν 0.5 ε z Il calcolo del odulo di Young conite invece nella relazione: σ z 9 E ε z Quaderno degli eercizi di Geotecnica 9

30 Conolidazione I eccanii che governano l evolveri delle deforazioni del terreno nel tepo poono divideri in due categorie: eccanii dipendenti dalla variazione delle tenioni efficaci accoppiati a procei di diffuione dell acqua intertiziale (conolidazione o rigonfiaento); eccanii che avvengono in condizioni di tenioni efficaci e preione dell acqua cotanti (creep). Per quanto riguarda il proceo di conolidazione, l evoluzione nel tepo delle deforazioni dipende dalle proprietà del ezzo poroo, quali pereabilità e deforabilità, e dalla geoetria del problea, oia dalle condizioni al contorno e dai percori di drenaggio dell acqua all interno della aa pereabile. L applicazione di un carico u di un terreno coporta l inorgere di ovrapreioni nell acqua intertiziale. L entità di quete ovrapreioni varia da punto a punto all interno di un volue finito (bulbo tenionale) entre al di fuori di eo l acqua conerva il valore di equilibrio iniziale. iene coì a creari una differenza di energia (gradiente) che intaura un oto di filtrazione, la cui durata dipende fondaentalente dalla pereabilità del terreno. Man ano che l acqua viene epula dalla zona intereata dal carico i ha una riduzione dell indice dei vuoti e quindi, nel copleo, una diinuzione di volue. I fenoeni di filtrazione di tipo tranitorio i hanno anche nei cai in cui i verifica uno carico tenionale, ad eepio uno cavo, che portano ad una riduzione delle tenioni efficaci e a un coneguente auento di volue. Conolidazione onodienionale Eitono varie teorie della conolidazione che coniderano variati apetti del terreno e dell acqua per crivere le equazioni. La più eplice è la Teoria della conolidazione onodienionale di Terzaghi, che cotituice la bae per l interpretazione delle prove edoetriche e per un analii approiata dell andaento dei cedienti nel tepo. Le ipotei di bae della teoria ono: deforazioni e fluo avvengono in un unica direzione; il terreno è oogeneo e copletaente aturo; le leggi tenioni-deforazioni ono di tipo lineare; l acqua ed i grani olidi ono incopriibili; la legge di Darcy è valida. A partire dall equazione di continuità del oto di filtrazione, Terzaghi ottenne l equazione della conolidazione onodienionale: u u cv z t k dove cv è il coefficiente di conolidazione priaria v e v v e σ è il coefficiente di copreibilità + Paolo Martini 0

31 Governando un fenoeno di filtrazione in regie tranitorio, la oluzione dell equazione dipende: dalla ditribuzione della ovrapreione intertiziale u o all itante di applicazione del carico (iocrona iniziale); dalle condizioni di drenaggio al contorno. Il cao più eplice da trattare è un iocrona iniziale cotante con la profondità, con poibilità di drenaggio tanto dalla bae quanto dalla uperficie dello trato che i conolida. Chiaando H il aio percoro di drenaggio della particella d acqua (lo trato arà quindi alto H in queto cao) e facendo riferiento alle variabili adienionali ct v Tv H z Z H poiao epriere l equazione della conolidazione onodienionale coe u u Z Tv la cui oluzione analitica è eprea coe uo MTv u( z, t) ( inmz) e 0 M π con M ( + ) Solitaente tale oluzione, che conente di calcolare il valore della ovrapreione intertiziale alla generica quota z e ad un generico itante t, è diagraata in terini di grado di conolidazione verticale u0 u( z, t) u( z, t) U z u0 u0 ct v ke z ed in funzione del fattore di tepo adienionale Tv t : H H Per la oluzione con iocrona iniziale cotante e drenaggio u entrabe le etreità i guardi la curva ; le altre curve ono funzioni di divere iocrone iniziali e divere condizioni di drenaggio Quaderno degli eercizi di Geotecnica

32 A età dello trato il gradiente idraulico è epre nullo, e pertanto è lecito coniderare ipereabile la uperficie di ezzeria dello trato. Poiao coì etendere la oluzione anche al cao in cui lo trato ha drenaggio da una ola etreità, definendo il percoro di drenaggio pari all intera altezza dello trato. Eercizio 4. Con riferiento alla figura, deterinare lungo gli ai verticali A e B il cediento finale, il tepo di conolidazione finale e l andaento della conolidazione, dati: per il terrapieno ht 5, b 0, a 00 e t 9 ; uno trato uperficiale di 0 di argilla CH con peo pecifico 0, pereabilità verticale k z c. 7 CH 0 e odulo edoetrico Eed 000 Soluzione Calcoliao i cedienti finali negli ai A e B. Fiiao innanzitutto 4 punti per ogni ae verticale, poti a profondità 0, 5, 0 e 0 ripetto al piano capagna; per l ae A conideriao poi i 4 rettangoli di carico di figura, in odo che a abbiano tutti un rapporto 5 b : Avreo coì un epreione per le tenioni verticali lungo l ae A del tipo: A σ z σ 4 q t q e quindi dal diagraa di Steinbrenner abbiao Paolo Martini

33 Punti z z/b σ z /q σ A Il cediento nel punto 0 dell ae A arà quindi: σ ihi ρ A c Eed 000 Per l ae B conideriao invece i rettangoli di carico di figura, in odo che abbiano tutti un a rapporto.5 b : Avreo coì un epreione per le tenioni verticali lungo l ae B del tipo: B σ z σ q t q e quindi Punti z z/b σ z /q σ B Il cediento nel punto 0 dell ae B arà quindi: σ ihi ρb c Eed 000 Il tepo finale di conolidazione può eere calcolato uando la forula relativa al fattore tepo adienionale: ke z ed Tv t H coniderando H 0 poiché l acqua può defluire olo vero l alto e ponendo T v, relativo ad un grado di conolidazione del 00%. Abbiao quindi T H 00 9 tv 4 0 6anni 9 ke 0 0 z ed Quaderno degli eercizi di Geotecnica

34 Per deterinare la dinaica della conolidazione uiao il diagraa della conolidazione verticale coniderando l iocrona iniziale di tipo cotante (curva ), in quanto ea rappreenta counque una buona approiazione dello tato tenionale del terreno. Avreo quindi i valori: Tepo T U anni c c E % E % E % E % E % E % E % E % E % 95 5 Poiao coì inerire i valori in un grafico, per oervare l andaento della conolidazione e la differenza di entità dei cedienti tra l ae A e l ae B. 0 Tepo di conolidazione (anni) ρ A ρ B 0 Cediento (c) Dreni verticali I depoiti di terreni con caratteritiche eccaniche cadenti (argille tenere, lii copreibili, torbe, ) ui quali è neceario cotruire le opere vanno preconolidati in odo da evitare crolli o cedienti ecceivi in fae di eercizio. La preconolidazione avviene di nora ediante l applicazione di un precarico, che in eguito verrà rioo, in odo da ridurre i tepi di conolidazione. Talvolta, però, anche la preconolidazione riulta ecceivaente lenta o troppo oneroa ed è quindi neceario ricorrere all uo di dreni verticali, che odificano enibilente il percoro di drenaggio e quindi i tepi di conolidazione. Il itea di drenaggio può eere di due tipi: dreni in abbia, realizzati ediante infiione per battitura o vibrazione, trivellazione o jetting; dreni prefabbricati. Queti ultii ono i più uati oggigiorno, ia per la loro econoicità che per la facilità e rapidità di intallazione ad opera di ezzi eccanici. Sono cotituiti fondaentalente da un corpo centrale in Paolo Martini 4

35 platica in cui ono ricavati i canali per il drenaggio dell acqua e da un filtro eterno in carta o in teuto-non-teuto. Con queti tipi di dreno il diturbo del terreno dipende in larga iura dalla geoetria del dreno e dalla dipoizione. Poiao infatti ditinguere in dreni dipoti a aglia triangolare o quadrata, con una notevole differenza tra le ripettive aree di influenza. Il problea della conolidazione ediante dreni verticali può eere ricondotto a quello di un cilindro equivalente di terreno con la uperficie eterna ipereabile e un dreno centrale. Per i couni dreni di tipo laellare poiao definire un raggio equivalente pari a R per la dipoizione quadrata e R 0.55 per quella triangolare, più efficace a più difficile da realizzare. Il fattore d influo è definito coe il rapporto tra il raggio equivalente e la età della larghezza del dreno: R n r La trattazione della conolidazione radiale di un cilindro di terreno che drena vero il centro è tata elaborata da Barron e i baa ulla Teoria di Terzaghi. La oluzione porta ad una epreione della ovrapreione intertiziale in funzione del tepo analoga a quella trovata per la conolidazione verticale; coe pria è poibile viualizzare tale oluzione ediante il grado di conolidazione totale, definito coe: UT ( U )( UH ) dove U H è il grado di conolidazione orizzontale, che può eere trovato in un diagraa analogo a quello della conolidazione verticale in funzione del fattore del nuovo tepo adienionale ke y ed T h t 4R : Quaderno degli eercizi di Geotecnica 5

36 Eercizio 4. Deterinare lungo l ae verticale A, poto al centro del terrapieno, il cediento finale, il tepo di conolidazione finale e l andaento della conolidazione dati: per il terrapieno b 0, a 400 e qt 00 ; uno trato di 0 di argilla CH con peo pecifico 7, pereabilità verticale 8 c 8 c CH kz 0 ed orizzontale kh 60, odulo edoetrico Eed 000 ; uno trato di 0 di lio MH con peo pecifico 0, pereabilità verticale 6 c 6 c MH kz 0 ed orizzontale kh 0, odulo edoetrico Eed Eeguire poi il calcolo inerendo una aglia quadrata di dreni verticali. Soluzione Fiiao innanzitutto 5 punti per l ae verticale, poti a profondità 0, 0, 0, 0 e 40 ripetto al piano capagna; conideriao poi i 4 rettangoli di carico di figura, in odo che abbiano a tutti un rapporto 0 b : Avreo coì un epreione per le tenioni verticali lungo l ae A del tipo: A σ z σ 4 q t q e quindi dal diagraa di Steinbrenner abbiao Punti z z/b σ z /q σ A Il cediento nel punto 0 dell ae A arà quindi la oa dei cedienti nei due trati: Paolo Martini 6

37 σ ihi ρch c Eed 000 σ ihi ρmh c Eed 4000 ρ A ρch + ρmh 00c La oluzione di Steinbrenner della teoria della conolidazione onodienionale di Terzaghi è valida olo per trati oogenei di terreno. È quindi neceario oogeneizzare il terreno, nel eno di coniderare uno trato doinante dal punto di vita della pereabilità e valutare l altezza fittizia dell altro con la relazione: kz H H k z Scegliao coe doinante lo trato di argilla, poiché dotato di una pereabilità più baa e quindi di una aggiore lentezza nella conolidazione: avreo coì k 8 z 0 CH H MH HMH 0 6 kz 0 MH Htot HCH + H MH Sarà inoltre neceario coniderare il odulo edoetrico edio dei due terreni, che vale CH MH σihi ρch Eed + ρmh Eed E ed 40 ρi ρch + ρmh Coe nell eercizio precedente calcoliao il tepo finale di conolidazione con la forula T H 0 0 tv 0 anni 0 k E 0 40 z CH ed H tot dove abbiao coniderato H poiché, ponendo coe doinante lo trato di argilla, l acqua può defluire tanto vero l alto quanto vero il bao (lo trato di lio è 00 volte più pereabile di quello di argilla). Per deterinare la dinaica della conolidazione uiao al olito il diagraa della conolidazione verticale coniderando la curva : Quaderno degli eercizi di Geotecnica 7

38 Tepo T U anni c E % 5.0E % 8 6.0E % 4.4E % E % E % 5 9.9E % E % E % E % 97.00E % ρ A Tepo di conolidazione (anni) 0 Cediento (c) Ineriao ora nel terreno i dreni verticali a aglia quadrata, con le eguenti caratteritiche, fino alla profondità di 40: r c R R n r Dal diagraa della conolidazione orizzontale oerviao che per n 0 i ha T H.98 ; poiao coì calcolare i tepi di conolidazione finale per i due trati con i dreni verticali: CH TH 4R th ei fin CH CH 0 ky Eed MH TH 4R th gg fin MH MH 8 ky Eed Oerviao che il tepo di conolidazione per il lio con i dreni verticali è tracurabile. Per la dinaica della conolidazione totale dell argilla lungo l ae A poiao uare la forula di Barron: U U U ( )( ) T H Paolo Martini 8

39 Per trovare U H utilizziao il diagraa della conolidazione orizzontale riferendoci alla curva relativa ad n 0 : Tepo anni T U E %.0E % 5.50E % Poiao coì calcolare i cedienti nel terreno con l ineriento dei dreni verticali: CH MH t U U U H U H U T ρ CH U H U H U T ρ MH ρ e confrontarli con la conolidazione norale: 0 Tepo di conolidazione (anni) Cediento (c) Quaderno degli eercizi di Geotecnica 9

40 Opere di otegno Le opere di otegno dei terreni poono eere divie in due clai principali: opere rigide: quando i rope il terreno egue il oviento del uro coe un concio rigido e non odifica il proprio tato tenionale; opere fleibili: la truttura ed il terreno i deforano e quindi cabiano il proprio tato tenionale: l opera va fatta collaborare con il terreno ediante opportuni tiranti. Per dienionare correttaente le opere di otegno vanno condotte delle analii di reitenza trutturale ai carichi e di tabilità dell equilibrio, direttaente collegate al coportaento liite del terreno tanto in fae di eecuzione dell opera quanto in fae di eercizio. Analii liite La conocenza delle caratteritiche di reitenza a copreione e taglio dei terreni ono olto iportanti per l analii di: tabilità delle opere; capacità portante del terreno; pinte ulle opere di otegno. Per tali analii i devono conocere i diveri criteri di rottura del terreno: criterio di Mie; criterio di Treca; criterio di Mohr-Coulob, il più uato per procedienti analitici approiati; criterio di Drucker-Pragher, uato olitaente nell analii nuerica agli eleenti finiti. I procedienti di analii della tabilità poono eere ditinti in: il etodo dell analii liite, baata ulla teoria di Rankine che frutta il etodo cineatico; il etodo dell equilibrio liite globale, che i baa ulla teoria di Coulob; il etodo delle caratteritiche; il etodo agli eleenti finiti FEM. Tutte le teorie di tabilità partono dal preuppoto che il terreno civola coe un corpo rigido indeforabile econdo una linea di corriento pretabilita. Il etodo dell equilibrio liite globale è quello icuraente più noto ed uato in capo ingegneritico e i articola in:. individuazione della uperficie di corriento critica;. aunzione di una ditribuzione di tenioni lungo tale uperficie;. rioluzione del problea ediante un equazione di equilibrio globale del terreno coniderato coe corpo rigido all interno della uperficie di corriento. Eercizio 5. Deterinare la profondità critica di uno cavo in terreno argilloo del quale i conocono: Paolo Martini 40

41 c 50 0 Soluzione Poiao riolvere il problea fruttando etodo di Rankine, che i baa ul criterio di rottura di Mohr-Coulob. τ τrcu cavo Le tenioni nel terreno durante lo cavo ono date dalle relazioni: σ h 0 σ v h La rottura del terreno i ha per σ v c e pertanto c hc 5 Poiao anche utilizzare il etodo cineatico: Li Le Li τ ABd Le Wd Wdinϑa π ϕ π ϑa τ τ r c hc hc d in 45 c d in45 4c hc 0 Poiao facilente oervare coe i due riultati iano copletaente diveri. σ Quaderno degli eercizi di Geotecnica 4

42 Spinte Per la deterinazione delle pinte che il terreno opera ulle trutture dobbiao auere che eo ia in capo elatico, dove gli tati tenionali tanno al di otto della retta liite; in tal cao vale la relazione: σ h koσ v dove k o è detto coefficiente di pinta a ripoo. La retta liite può avere le tre configurazioni di τ figura in bae alla natura coeiva del terreno:. terreni coeivi (aggior parte). terreni puraente non coeivi (CH, OH). terreni puraente coeivi (SW, GW) Le condizioni di tato liite (oia le ituazioni tenionali del terreno a rottura) ono rappreentati, nel piano di Mohr, da due cerchi τc tangenti alla retta di rottura per la tenione verticale di equilibrio applicata: σ τ τc+σ'tanϕ' τσ'tanϕ' σ'h σ'v σ'h σ I cerchi ono due poiché poiao avere due diveri eccanii di deforazione del terreno; con riferiento alla figura della pagina precedente: e il uro i pota a initra il cuneo civola vero initra e vero il bao econdo la linea di corriento; in tal cao la pinta del terreno ul uro i dice attiva e l inclinazione della π ϕ uperficie di corriento è ϑ + ; 4 e il uro i pota a detra il cuneo civola vero detra e vero l alto econdo la linea di corriento; in tal cao la pinta del terreno ul uro i dice paiva e l inclinazione della π ϕ uperficie di corriento è ϑ. 4 Le pinte del terreno ul uro, ovvero le tenioni orizzontali del terreno a contatto con la parete del uro, i deterinano a partire dai coefficienti di pinta attivi e paivi. Queti ono: π ϕ k a tan ϑ a tan π ϕ k p tan ϑ p tan + Coì le pinte i ricavano dalle relazioni: p a σ h kaσ v c ka p σ k σ + c k p h p v p Paolo Martini 4

43 Poiché la ituazione di pinta attiva è olto più pericoloa di quella di pinta paiva, nel calcolo dei coefficienti di pinta i inericono dei fattori di icurezza, che valgono ripettivaente F a. e F p. a però tenuto conto del fatto che, per congruenza, gli ϕ' potaenti devono eere gli tei tanto dalla parte attiva quanto dalla parte paiva, e i otituice quindi all angolo di attrito gli angoli attivo obilitati: ϕ',a a tanϕ ϕ arctan F a p tanϕ ϕ arctan F p ϕ',p paivo Eercizio 5. Deterinare le pinte e le forze attive e paive agenti ulla truttura di otegno di figura potaenti avendo a dipoizione i dati eguenti: il prio trato dall alto è copoto da di abbia SW con peo pecifico SW 0, angolo di attrito efficace ϕ SW 8 e coeione efficace nulla; il econdo trato dall alto è copoto da 4 di lio MH con peo pecifico MH, angolo di attrito efficace ϕ MH 5 e coeione efficace c MH 0 ; il terzo trato dall alto è copoto da di argilla con peo pecifico C 9, angolo di attrito efficace ϕ C 0 e coeione efficace c C 40. Soluzione La pria coa da fari è quella di calcolare gli angoli d attrito e le coeioni obilitate: a tanϕ SW tan 8 ϕ arctan arctan SW F a. a tanϕ MH tan 5 ϕ arctan arctan 0 MH. F a Quaderno degli eercizi di Geotecnica 4

44 a tanϕ C tan0 ϕ arctan arctan 8 C F a. p tanϕ C tan0 ϕ arctan arctan 5 C F p c MH c 5 MH c C c 0 C Ora poiao calcolare i coefficienti di pinta per ogni trato: a a π ϕ SW k SW tan tan 0 0. a a π ϕ MH k MH tan tan a a π ϕ C k C tan tan p p π ϕ C k C tan + tan Poiao coì calcolare le pinte e le forze (per unità di profondità) agenti ulla truttura: z σ v u σ' v σ' v k a σ' v k p p' a p' p p,a p,p E a E p E,a E Punti,p / / / / / / / / / Paolo Martini 44

45 erifiche di tabilità Le verifiche di tabilità per le opere di otegno dovrebbero a rigore preupporre l analii dell interazione terreno-truttura: la copleità del problea è però tale che olaente nel cao delle opere fleibili i ricorre a tali chei di interazione. Per la totalità delle opere rigide i ricorre ad alcune verifiche baate u oluzioni approiate ricavabili con i etodi dell equilibrio liite globale, che ono fondaentalente 5. La pria conite nel verificare che il uro non effettui una rotazione rigida (ribaltaento), oia che la riultante dei oenti tabilizzanti il uro ripetto al punto più lontano dal terreno ul fondo del piede ia ufficienteente aggiore della riultante dei oenti ribaltanti ripetto a tale punto: A M tabilizzanti > F A R M ribaltanti Il fattore di icurezza F R è deterinato dal progettita in accordo con la norativa tecnica in vigore (per l Italia F R. ). La econda verifica conite nell accertare che il punto di applicazione della riultante dei carichi ulla ezione di fondazione ia contenuto nel nocciolo centrale di inerzia, in odo da prevenire delle tenioni di trazione che coporterebbero feurazioni del calcetruzzo e ancanza di attrito tra opera e terreno. Nel cao più coune dei uri di otegno a gravità olto lunghi la verifica conite nel verificare che l eccentricità del carico ia inore di un eto della larghezza della fondazione. La terza verifica conite nell accertare che il terreno non uperi il liite di elaticità perché ottopoto a tenioni di copreione uperiori o proie alla tenione di rottura. Oltre ai problei di potaenti ecceivi per la funzionalità dell opera o addirittura pericoloi per la icurezza della tea, il terreno platicizzato perde gran parte della ua reitenza. La condizione da verificare è σ rottura > FRS σ ax dove il fattore di icurezza F RS è deterinato dal progettita in accordo con la norativa tecnica in vigore (per l Italia F RS. ) La quarta verifica conite nell accertare che il uro non effettui una tralazione rigida (civolaento), oia che la forza di taglio agente ulla fondazione dell opera ia ufficienteente aggiore della riultante delle forze orizzontali agenti ulla tea: T S H > F Al olito il fattore di icurezza F S è deterinato dal progettita in accordo con la norativa tecnica in vigore (per l Italia F S.). La quinta verifica conite nell analii della tabilità globale del terreno, che potrebbe civolare aiee al uro di otegno econdo una linea di corriento lontana dalla uperficie di contatto, enza quindi la preenza di potaenti relativi tra l opera e il concio rigido di terreno. Tale verifica è olitaente condotta con il etodo FEM. Eercizio 5. Effettuare le verifiche di tabilità del uro di otegno a gravità di figura Quaderno degli eercizi di Geotecnica 45