Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica. Cap. 2. Cenni sui meccanismi di trasmissione del calore

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1 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Appunti ed Eercizi di Fiica ecnica Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Paolo Di Marco Verione Introduzione Nel capitolo è tato introdotto il concetto di calore cabiato da un itea. Il econdo principio della terodinaica aerice, tra l'altro, che tale cabio avviene pontaneaente da un corpo a teperatura più alta ad uno a teperatura più baa. La terodinaica tuttavia non ci dà neuna ulteriore inforazione: in particolare non piega le odalità con cui tale cabio avviene, né deterina il tepo neceario per lo cabio teo. ali problei ono l'oggetto di una diciplina tecnica detta raiione del Calore. Lo copo della raiione del Calore è decrivere quantitativaente le odalità con cui la differenza di teperatura tra due corpi regola lo cabio di calore tra di ei. Quete conocenze ono indipenabili per deterinare il tepo in cui i copiono le traforazioni terodinaiche: infatti in terodinaica lo cabio di calore e di lavoro dipende olo dalle traforazioni del itea e non dal tepo in cui il itea evolve: a parità di traforazioni, il calore ed il lavoro cabiati ono gli tei ia che la evoluzione del itea avvenga in un illiecondo che in un ilione di anni. Le conocenze di traiione del calore ono anche indipenabile per riolvere altri problei tecnici: ad e. controllo di teperatura in ipianti indutriali, iolaento terico di acchinari ed edifici, raffreddaento efficiente delle acchine. Una parte iportante della traiione del calore riguarda lo tudio cabio terico nella perona uana e delle condizioni abientali per le quali l uoo i trova in tato di beneere. Ea verrà trattata nel Cap.0. E' neceario richiaare la definizione eatta di due grandezze che verranno uate nel eguito: Fluo terico totale o potenza terica (inglee: heat rate o heat flow ( Q & o W : il calore traeo attravero una uperficie per unità di tepo [W]; Fluo terico pecifico o epliceente fluo terico (inglee: heat flux (q": il calore traeo attravero una uperficie per unità di tepo e di uperficie [W/ ]. La preente dipena è redatta ad ecluivo uo didattico per gli allievi dei cori di tudi univeritari dell Univerità di Pia. L autore e ne rierva tutti i diritti. Ea può eere riprodotta olo totalente ed al fine uenzionato, non può eere alterata in alcuna aniera o eere rivenduta ad un coto uperiore a quello netto della riproduzione. Ogni altra fora di uo e riproduzione deve eere autorizzata per critto dall autore. L autore arà grato a chiunque gli egnali errori, ineattezze o poibili iglioraenti. Modalità di cabio terico Da un punto di vita tecnico, le odalità con cui il calore i traette poono eere raggruppate in tre categorie fondaentali: Conduzione: la traiione di calore nei corpi ateriali, non aociata a potaento di ateria. E' l'unica odalità di traiione del calore poibile all'interno dei olidi opachi (ovvero che non vengono attraverati da radiazioni elettroagnetiche. Convezione: la traiione di calore nei corpi ateriali, aociata a potaento di ateria. In genere, è il eccanio di cabio terico predoinante nei fluidi. Irraggiaento: la traiione di calore aociata alla propagazione della radiazione elettroagnetica. E' l'unica odalità di traferiento di calore poibile nel vuoto. Ad eepio, il calore i traette per conduzione all'interno di una barra di ferro, o di una parete di una caa. Alla uperficie di tali corpi, che ono in generale labiti da un fluido (l'aria lo cabio terico avviene principalente per convezione. Il ole traette invece calore alla terra (e a noi tei, attravero lo pazio vuoto, per irraggiaento; a riceviao calore con tale odalità anche quando iao di fronte ad un corpo olto caldo (un fuoco o la bocca di una fornace; bata tuttavia l'interpoizione di uno chero opaco per oppriere tale traferiento: non per nulla quando abbiao caldo ci potiao all'obra. -

2 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Dal punto di vita fiico, invece, le odalità fondaentali di cabio terico ono olo conduzione e irraggiaento, che avvengono econdo le leggi fiiche pecifiche epote nel eguito (potulato di Fourier, legge di Stefan-Boltzann; la convezione è invece una odalità coplea di traporto di energia, predicibile (in teoria traite le altre leggi fiiche, a che non è regolata da alcuna legge fiica particolare. La conduzione La conduzione può eere penata coe traferiento di energia a livello icrocopico per interazione tra le particelle più energetiche (dotate di energia vibrazionale a quelle eno energetiche. Il fluo terico (calore traeo per unità di tepo e uperficie è dato dal potulato di Fourier, che per una latra piana (in cui la teperatura è funzione della ola x è epriibile coe: d W q" x k dx ( notare il egno eno, in accordo con il econdo principio della terodinaica (il calore fluice vero le zone più fredde. Il fattore di proporzionalità k [W/ K] è detto conducibilità terica ed è una proprietà fiica della otanza: le otanze con alto valore di k (rae e etalli in genere ono buoni conduttori terici (ovvero traettono elevati flui terici con piccoli gradienti di teperatura e quelle con bao k (ughero, lana di vetro, politirolo epano ono detti iolanti terici e ono uati per coibentare le trutture. Il valore di k è in generale funzione della teperatura, a tale dipendenza può eere tracurata nella aggior parte dei cai. Alcuni valori di k per i ateriali più couni ono riportati in abella. Materiale k (W/ K Rae 400 Alluinio 40 Acciaio al carbonio Acciaio inox 5 Lana di vetro 0.04 Vetro -.5 Mattoni 0.7 Acqua 0.6 Ga abella : valori indicativi di k [W/ K] per i ateriali più couni. ESEMPIO - Conduzione in una latra piana Sia data una latra piana di acciaio al carbonio, di peore 3 c e uperficie A 4 (dato che l'altezza e la larghezza ono olto aggiori dello peore, la teperatura i può coniderare funzione della ola x. La latra i trova in condizioni tazionarie con le due uperfici ripettivaente a 300 C e 5 C. Deterinare il fluo terico totale attravero la latra tea. Non è difficile convinceri che il fluo terico totale attravero una qualunque uperficie della latra parallela alle facce deve eere cotante. Infatti ogni itea deliitato da due qualunque di tali uperfici è in condizioni tazionarie e quindi, dato che iao in aenza di lavoro, il calore che entra da detra deve eere uguale a quello che ece da initra, ovvero d k dx x xa d k dx x xb x, x coneguenteente (con k ricavato dalla ab. i ha W k A a b d cot dx.47 MW è da notare che il fluo terico totale è proporzionale alla differenza di teperatura tra le facce. Si può tabilire un'analogia tra una reitenza elettrica R ai cui capi ci ono le tenioni V e V, che è attraverata da una corrente I e la latra in quetione, ai cui capi ci ono le teperature e, che è attraverata da un fluo terico W. La "reitenza terica" i iura in [K/W] ed è data da R W k A ESEMPIO - Conduzione in una parete cilindrica Sia data una tubazione di rae, di peore, diaetro eterno D e lunghezza L 0.4. Il tubo i trova in condizioni tazionarie con le due uperfici ripettivaente a 8 C e 5 C. Deterinare il fluo terico totale attravero il tubo. Se i tracura il calore ucente dai due etrei del tubo, non è difficile convinceri che il fluo terico totale attravero una qualunque uperficie cilindrica interna al tubo e coaiale alle facce deve eere cotante. Infatti ogni itea deliitato da due qualunque di tali uperfici è in condizioni tazionarie, e quindi, dato che iao in aenza di lavoro, il calore che entra da detra deve eere uguale a quello che ece da initra. E' da notare che, a differenza del cao della latra piana, il fatto che W ia cotante non iplica che q" ia cotante, perché le due uperfici hanno area divera. In terini ateatici -3-4

3 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore W ( r cot W q"( r A( r W q"( r π rl W W rq"( r π L e fruttando il potulato di Fourier q - k d/dr d W r k dr π L in definitiva i ottiene un problea differenziale del prio ordine d W d( r π krl r la cui oluzione vale W r ( r ln π kl r ovviaente il valore di W è ancora incognito, a può eere deterinato fruttando la condizione non ancora utilizzata (r ` W πk L r ln r da cui, aunto k 400 W/ K (vedi tabella i ha W 8 5 π kW 6 ln 5 in queto cao la reitenza terica (definita coe nell'eepio della latra piana, vale R W A π r L, r ln r r r, π kl ka r r r r ln r dove olto peo nelle tubazioni i fa riferiento al fluo terico per unità di lunghezza, q' [W/], dato da W q' π k L r ln r 4.35 kw/ notare che e il ateriale foe tato vetro (k W/ K anziché rae il calore cabiato arebbe tato circa 400 volte inore: la verifica è laciata per eercizio all allievo. In definitiva, coa ditingue la conduzione in un gucio cilindrico da quella in una latra piana? Il fatto che nel cilindro la uperficie attraverata dal calore crece con il raggio dello teo, entre nella latra piana la uperficie riane cotante. Ne egue che quando lo peore della tubazione è piccolo ripetto al raggio, la variazione di uperficie è tracurabile e i può utilizzare anche per i cilindri l epreione più eplice valida per le latre piane. Nella pratica, queto è del tutto accettabile per peori inori di un decio del raggio. L allievo può verificare che, applicando l epreione della latra piana al cao in quetione (utilizzando il valore dell area della uperficie eterna della tubazione, i ottiene una potenza terica pari a 8. kw. L'irraggiaento Nell'irraggiaento, il calore è traportato dalle onde elettroagnetiche che tutti i corpi (olidi, liquidi o gaoi eettono ed aorbono coe riultato di cabiaenti nella configurazione elettronica degli atoi di cui ono copoti. La radiazione elettroagnetica può eere vita otto il duplice apetto di fenoeno ondulatorio (itei di capi elettroagnetici variabili che i propagano nello pazio o particellare (propagazione di particelle, dette fotoni. Se i aue il odello ondulatorio, la radiazione elettroagnetica viene eea in uno pettro continuo di lunghezze d'onda che vanno dalle onde radio (lunghezza d'onda da 0 k a fino alla radiazione gaa (lunghezze d'onda di 0-4 n. Lo pettro viibile è quella ezione dello pettro elettroagnetico a cui è enibile la retina dell'occhio uano (circa n. Le lunghezze d'onda iediataente al di otto della finetra viibile ono dette raggi infraroi; quelle iediataente al di opra ultravioletti. La radiazione terica è localizzata principalente nelle lunghezze d'onda dell'infraroo. Nonotante ciò, e un corpo viene ricaldato a teperatura ufficiente, eo eette una frazione ignificativa di energia anche alle lunghezze d'onda dello pettro viibile (ole, filaento delle lapadine. Coe già accennato, vito che le onde elettroagnetiche i propagano anche nel vuoto, queta è l'unica odalità di traiione di calore poibile nel vuoto teo. L'energia per unità di uperficie eea da un corpo a teperatura è data dalla legge di Stefan-Boltzann 4 W q" ε σ ( dove σ (iga è una cotante univerale (σ 5.67x0-8 W/ K 4 ed ε (epilon è un paraetro caratteritico della uperficie, detto eiività, il cui valore è copreo tra 0 ed. -5-6

4 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Lo cabio netto di calore per irraggiaento tra due corpi è il riultato del bilancio tra la radiazione eea dall'uno che viene aorbita dall'altro e vicevera; la ua deterinazione coinvolge la valutazione di fattori coplei, quali la poizione reciproca delle due uperfici e le loro proprietà di aorbiento o rifleione della radiazione elettroagnetica. Ci liitereo pertanto a coniderare il cao eplice di un corpo relativaente piccolo a teperatura contenuto in una grande cavità a teperatura (e. il filaento di una lapadina contenuto in una tanza il fluo terico cabiato per irraggiaento è dato da: W [ W] 4 4 ε A σ ( (3 dove ε ed A ono riferiti alla uperficie del corpo interno alla cavità. E' da notare che la legge di traiione del calore per irraggiaento non è lineare nella teperatura, e queto coplica olto i relativi calcoli. Si può ricondurre in fora approiata la legge precedente ad una lineare W ( + ( R A (, αr εσ + α (4 dove α R dipende ovviaente dalla teperatura. In alcuni cai, queta dipendenza può eere eplificata: ad eepio e conociao una delle due teperature (e. e non ci apettiao groe variazioni di teperatura poiao per calcolare α R. La reitenza terica per irraggiaento vale quindi (in queto cao eplificato R (5 α A R In generale quando è preente convezione forzata, il calore traeo per irraggiaento è tracurabile per teperature delle uperfici inferiori a 500 C. In cao di odalità di convezione caraente efficienti, l'irraggiaento acquita iportanza: ad eepio un norale teroifone doetico eette circa il 30% del calore per irraggiaento ed il rianente 70% per convezione. In una tanza dalle pareti più fredde (e. perché epota a nord, a parità di teperatura dell'aria, abbiao più freddo a caua dell'irraggiaento tra il notro corpo ed i uri. ESEMPIO 3 - Irraggiaento Il filaento di una lapadina ha una uperficie A 5.7 ed una eiività ε 0.9. Eo è contenuto in un globo di vetro di uperficie olto aggiore che i trova alla teperatura di 80 C. Dentro il globo è tato fatto il vuoto. Deterinare la potenza elettrica che è neceario fornire al filaento perché eo i antenga alla teperatura di 700 C. La oluzione è riportata nel file CLAMP.XLS Non eendoci alcun ezzo fiico interpoto tra il filaento ed il vetro, l unica odalità di cabio terico poibile è l irraggiaento. Eendo il filaento di uperficie olto più piccola del uo contenitore, il problea i riolve con la equazione: 4 4 W ε A σ ( f f f v dove gli indici f e v i rifericono ripettivaente al filo ed al vetro. Quindi W x0 ( W Notare che in queto cao è indipenabile epriere le teperature in kelvin. Da riarcare anche che il riultato è praticaente inenibile al valore della teperatura del vetro (a caua della preenza delle quarte potenze. La convezione La convezione (dal latino conveho, traporto iniee è la odalità di cabio terico che i ha alla uperficie di un olido labito da un fluido per l'effetto cobinato della conduzione nel fluido e del traporto di energia aociato allo potaento di ateria, dovuto al oto del fluido teo. E' da notare che perché i abbia convezione è neceario che il fluido ia in oto: nei fluidi in quiete la traiione del calore avviene per conduzione (ed irraggiaento e il fluido è traparente. Dal punto di vita pratico la convezione può eere claificata in Convezione naturale: quando il oto del fluido è dovuto alle differenze di denità indotte dalle differenze di teperatura (ad eepio, un fluido più caldo tende generalente a alire: è il cao ad eepio dell'acqua in una pentola pota ul fuoco, o dell aria ull afalto caldo; convezione forzata: quando il oto relativo tra il fluido e la uperficie è indotto dall'eterno traite appoiti organi (in genere, pope o ventilatori; ed anche in: convezione interna: quando il fluido corre internaente ad un condotto (in genere una tubazione; convezione eterna: quando il fluido labice dall'eterno un oggetto (e. l ala di un aereo, la pala di una turbina. Inoltre la convezione, ia forzata che naturale, può eere onofae o con cabio di fae: quando il fluido cabia fae (evapora o condena a contatto delle uperficie. Per calcolare il fluo terico traeo per convezione è neceario riolvere conteporaneaente le equazioni di oto (di Navier-Stoke e di traporto di energia nel fluido: un problea ateatico foridabile, che a tutt'oggi è tato riolto olo in pochi cai eplici. Pertanto i ricorre generalente a deterinazioni perientali. Il fluo terico per convezione è epriibile ediante l'epreione epirica (anch'ea dovuta originariaente a Fourier, che viluppò una precedente oervazione di Newton: W ( q" α (6 r dove rappreenta la teperatura della uperficie. r è invece un'opportuna teperatura di riferiento del fluido: più preciaente, in cao di convezione eterna r è data dal valore aintotico che la teperatura raggiunge a ufficiente ditanza dalla uperficie e che non è influenzato dalla preenza della uperficie tea; in cao di convezione interna r è la coiddetta teperatura di icela (ovvero un'opportuna edia della teperatura nella ezione traverale del condotto. -7-8

5 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Nella Eq. 6 i conidera poitivo il fluo terico ucente dalla uperficie. Per uniforari alle convenzione adottata in terodinaica, ovvero che il calore è poitivo quando entra nel itea, in alcuni cai è neceario aggiungere un egno negativo nella Eq.6 (in particolare, quando il itea è cotituito dalla parete olida e l eterno dal liquido che lo labice. Il coefficiente α [W/ K] è detto coefficiente di convezione, e (al contrario di k non è olo una proprietà del fluido: eo è un coefficiente epirico che incorpora gli effetti dovuti alla natura del fluido, al capo di velocità in proiità della uperficie, alla geoetria del itea. anto più α è elevato, quanto aggiore è lo cabio terico convettivo (ovviaente, a parità di differenza di teperatura. Riflettendo ci i può rendere conto che l'eq.(6, ben lungi dall'eere una legge fiica, è epliceente la definizione di α. Liquidi Ga Convezione naturale Convezione forzata Convezione con cabio di fae (ebollizione, condenazione abella : valori indicativi di α [W/ K] per i cai più couni. Noi tutti appiao per eperienza che in generale lo cabio terico in convezione forzata (e quindi il valore di α è aggiore che in convezione naturale (per queto offiao ulla inetra e la riecoliao col cucchiaio per raffreddarla e che i liquidi aportano calore per convezione eglio dei ga (per queto tiao bene in aria a 0 C e abbiao freddo e ieri in acqua alla tea teperatura. Alcuni valori indicativi di α per i cai più couni ono riportati in abella. ESEMPIO 4 Valutazione della teperatura uperficiale di un corpo. Una tufa avente uperficie epota all aria A.5 diipa nell abiente eterno una potenza terica W t 0.8 kw. La tufa è circondata da aria cala, alla teperatura a 0 C, per cui i può tiare un coefficiente di convezione naturale α 0 W/ K. Valutare la teperatura della uperficie della tufa. Il problea i riolve epliceente applicando la Eq.( q α W ( " a da cui, coniderando ai valori aoluti per liberarci dei problei di egno W q" A α A t ( Wt a C α A 0.5 a Da notare che la teperatura della uperficie della tufa eccede quella di icurezza per un contatto accidentale, per cui la tea andrebbe protetta opportunaente. L allievo può verificare che in cao di convezione forzata (α 00 W/ K tale teperatura i ridurrebbe notevolente. Per copletezza, aggiungiao che non abbiao coniderato eplicitaente il contributo dello cabio terico dovuto all irraggiaento (v. paragrafo ucceivo che può eere olto ignificativo. Di eo i tiene in genere conto in odo eplificato aggiorando opportunaente il coefficiente di convezione. Analogaente a quanto fatto per la conduzione negli Eepi e, poiao introdurre anche una reitenza terica convettiva, data da a R W α A ESEMPIO 5 Irraggiaento e convezione cobinati Una terocoppia è ituata ull ae di un condotto etallico in cui corre aria a a 300 C, per iurarne la teperatura. Il rivetiento della terocoppia ha una eiività ε 0.9. Le pareti della tubazione i trovano alla teperatura p 600 C. Il coefficiente di convezione tra l aria e la terocoppia vale α 00 W/ K. Deterinare la teperatura iurata dalla terocoppia. La oluzione è riportata nel file CCMEAS.XLS Dato che la terocoppia è a regie, il uo cabio terico globale deve eere nullo. In particolare, ea riceve calore per irraggiaento dalle pareti calde della tubazione e lo cede per convezione all aria circotante. Detta quindi la teperatura della terocoppia, i ha q" q" 0 irr + conv ed eendo la terocoppia tea aiilabile ad un corpo olto piccolo contenuto entro uno olto grande (vedi Eq.5 ε σ 4 4 ( + α ( 0 p a Il valore della teperatura della terocoppia i ottiene quindi riolvendo una equazione di quarto grado. Dato che ea non è riolvibile in fora chiua, i può utilizzare un riolutore (e. tipo quelli ipleentati ulle calcolatrici portatili, od il riolutore di EXCEL oppure il etodo coiddetto di tentativo ed errore, illutrato nel eguito. a Si riarrangia l equazione precedente nella fora: 4 4 α ε σ ( ( a p b Si tia un valore di tentativo, ad eepio * a c Si otituice il valore di * a nel ebro detro dell equazione d Si ottiene un nuovo valore di tentativo traite ε σ * ( * i a p i α Si procede alternando c e d fino a quando le due tie ucceive non differicono di una quantità tracurabile. I ucceivi valori ottenuti ono riportati nella tabella eguente, da cui i vede che il etodo converge in poche iterazioni. ale etodo è di eplice applicazione e generalizzabile a olti -9-0

6 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore altri problei. uttavia la convergenza non è epre aicurata (provare ad eepio con α0 W/ K. i *(i *(i+ (K (K Si nota anche che la teperatura iurata dalla terocoppia differice enibilente da quella effettiva dell aria. Queto eepio illutra coe le iure di teperatura poano eere notevolente falate in preenza di irraggiaento con uperfici più calde o più fredde del fluido. Coe già detto, la deterinazione di α è nella aggior parte dei cai affidata all'eecuzione di eperienti. ali eperienti hanno coe riultato delle epreioni ateatiche, dette correlazioni di cabio terico, che danno (generalente in fora di gruppi adienionali il valore del coefficiente di convezione per deterinate clai di fluidi, condizioni di oto e configurazioni geoetriche. A olo titolo di eepio, i riporta una correlazione abbatanza faoa, detta correlazione di Dittu-Bölter, che fornice il valore di α per convezione forzata nel cao di oto a velocità relativaente elevata (oto turbolento di fluidi (tutti ad eccezione dei etalli liquidi all'interno di condotti e: D k w c p Nu 0.03 Re dove αd Nu k ρwd Re µ cp Pr µ k 0.8 Pr 0.4 diaetro del condotto; conducibilità terica del fluido; velocità del fluido; calore pecifico del fluido; (7 ρ denità del fluido; µ vicoità dinaica (una proprietà che eprie la reitenza del fluido allo corriento, iurata in Pa. Si può notare che i tre gruppi (Nu, Re, Pr che appaiono nell Eq.(3 ono adienionali: ei ono detti ripettivaente nueri di Nuelt, Reynold e Pranl (ripettivaente da Willel Nuelt, , Oborne Reynold, 84-9, e Ludwig Pranl, E' inutile iparare a eoria le correlazioni di cabio terico: ee i trovano in gran nuero ui anuali ed hanno tutte una fora analoga a quella uddetta (anche e un po' più coplea, e talvolta contengono ulteriori gruppi adienionali. Ogni correlazione i riferice ad un particolare tipo di convezione (e. convezione naturale, o forzata e a deterinate geoetrie (e. tubazioni. Utilizzare le correlazioni al di fuori del loro capo di validità in genere porta ad errori olto gravi. L uo delle correlazioni di cabio terico è illutrato nel eguente eepio. ESEMPIO 6 - Calcolo del coefficiente di cabio convettivo. In una tubazione di uno cabiatore di calore, di diaetro interno, corre una portata G 0. kg/ di acqua alla teperatura di 0 C. Deterinare il coefficiente di cabio convettivo utilizzando la correlazione di Dittu-Bölter. La oluzione è riportata nel file CDIUS.XLS Le proprietà terofiiche dell acqua a 0 C ono ricavabili da un anuale k 0.6 W/ K; c p 480 J/kg K; ρ 997 kg/ 3 ; µ Pa. entre la velocità va ricavata dalla portata G G w ρa πd ρ π ( / A queto punto non reta che valutare i gruppi adienionali Re e Pr, ρwd Re 698 µ cpµ Pr 6.8 k 0.6 da cui i ottiene il valore di Nu ed infine 0. 8 Nu 0.03 Re Pr α Nu k D W/ K 0.0 Cabiando i dati, i può notare coe il coefficiente di cabio auenti con la portata del fluido e diinuica con il diaetro: tuttavia, coe vedreo nei proii capitoli, agendo in queto odo i ottiene anche un notevole auento delle perdite per attrito (perdite di carico nella tubazione. - -

7 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore La convezione avviene in proiità di una parete labita da un fluido, ed è quindi peo aociata alla conduzione all interno della parete tea. ale odalità copota di cabio terico è illutrata nell eepio eguente. ESEMPIO 7 - Latra piana labita da due fluidi. Sia data una latra piana di vetro (k.5 W/ K, di peore 5 e uperficie A 0.5 (dato che l'altezza e la larghezza ono olto aggiori dello peore, la teperatura i può coniderare funzione della ola x. La latra i trova in condizioni tazionarie; ul lato initro è labita da acqua a 50 C e coefficiente di convezione α 50 W/ K, e u quello detro da aria a 5 C e coefficiente di convezione α 0 W/ K. Deterinare il fluo terico totale attravero la latra e la teperatura delle ue facce. Dette ' e " le teperature delle due facce della latra, i ha che il fluo terico totale per conduzione al uo interno (vedi E. è dato da d ' " W k A k A dx il problea è riolto dal itea di equazioni eguenti, nelle incognite ', ", W, dove i è aunto poitivo il calore che fluice vero detra (v. Fig. W α A( ' ' " W k A W α A( " in olti cai ha interee eliinare ' e " dalle equazioni di cui opra per ottenere una relazione che lega direttaente W a e.il problea è analogo a deterinare la reitenza equivalente a tre reitenze elettriche in erie, in cui la teperatura è analoga alla tenione ed il fluo terico alla corrente (v. anche E.. Lo chea elettrico equivalente è riportato in Fig., dove le tre reitenze teriche (vedi Eepi e 4 ono date da: Rt, Rt, Rt 3 α A k A α A La oluzione è data da W R R Rt + Rt + Rt 3 Nel notro cao i ha: R K/W Figura : q" α ' α " andaento qualitativo della teperatura in una latra labita da due fluidi. Wt Rt Rt Rt3 ' " Figura : Rete elettrica equivalente al fenoeno di cabio terico in una parete labita da due fluidi. E' da notare che, coe peo accade, uno olo dei tre addendi in parentei prevale di uno o più ordini di grandezza ugli altri (nel cao in eae, il terzo; è del tutto inutile quindi deterinare accurataente i due rianenti. Svolgendo i calcoli: Wt 63 W Wt q" 36 W/ A ' W Rt 48.6 C " + W R 47.6 C t In queto cao quai tutto il alto terico è localizzato alla uperficie della latra in contatto con il fluido di inore coefficiente di convezione, dove i ha la aggiore reitenza terica. Nella tecnica i fa peo riferiento al reciproco della reitenza terica R, che i indica con U ed è detta conduttanza di parete; detta grandezza i iura in [W/K]. Si ua peo anche il coefficiente globale di cabio, o conduttanza unitaria di parete, già introdotto nel cap., che è riferito all unità di uperficie e vale quindi u U/A e i iura in [W/ K]. In intei, la relazione tra quete tre quantità è quindi R U u A Il valore della reitenza terica nei cai più couni è riportato in ab.3. Nei anuali ono diponibili anche valori della reitenza terica per cai bidienionali (e. tubazioni interrate, pigoli di pareti. Nell eepio che egue facciao invece uo della conduttanza di parete. x -3-4

8 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Configurazione Reitenza terica [K/W] Note Conduzione onodienionale v. Eepio parete piana R W k A Conduzione onodienionale parete cilindrica Convezione Irraggiaento (cao eplificato A r r R ka dove r r π ln a R W α A ( r / r L R α A abella 3: valori della reitenza terica per i cai più couni. R v. Eepio Per r -r < 0. r la parete i può coniderare piana. v. Eepio 4 v. Eq.5 ESEMPIO 8 Perdite teriche da una tubazione. In una tubazione di acciaio inoidabile (k 6 W/ K, di peore 5 e diaetro eterno D 40, di lunghezza L 0, corre vapore aturo a teperatura 300 C, con coefficiente di convezione α 5000 W/ K. La tubazione i trova in condizioni tazionarie, e ul lato eterno è labita da aria a 0 C e coefficiente di convezione α 5 W/ K. Deterinare la perdita di calore dalla tubazione (ovvero, il fluo terico totale. Dato che la tubazione è olto più lunga del uo diaetro e non vi ono diuniforità circonferenziali, la teperatura può eere coniderata funzione unicaente del raggio. Il problea i può riolvere deterinando la conduttanza di parete dalle tre reitenze teriche in erie (vedi Eepi e 7 e ab.3: W U ( U t t ( R + R + R t3 + + A α A k A α notare che in queto cao, a caua della geoetria cilindrica, le aree di cabio che copaiono nelle tre reitenze teriche ono divere. In particolare i ha quindi A A A π ( D L 0.94 π L.09 D ln D π D L U ( kW W 8.7 W/K Fino a queto oento, abbiao coniderato la traiione del calore in condizioni tazionarie. Il concetto di reitenza terica, o del uo reciproco, la conduttanza di parete, perette di riolvere agevolente tali problei. Nei cai più coplei, è neceario coniderare reti di reitenze teriche in erie ed in parallelo, che poono eere riolte traite i etodi apprei in elettrotecnica. Nell eepio che egue, affrontereo invece un eplice cao di tranitorio terico. ESEMPIO 9 - Studio eplificato della tepra di un cilindro etallico. Un cilindro acciaio al carbonio (c p 434 J/kg K, ρ 7830 kg/ 3 di diaetro D 0 e lunghezza L 40, inizialente alla teperatura unifore 0 00 C, viene gettato in un bagno di tepra alla teperatura a 5 C. Si può coniderare che il bagno i antenga a teperatura cotante (capacità terica infinita e che il coefficiente di convezione, anch'eo cotante, valga α W/ K. Deterinare dopo quanto tepo il cilindro raggiunge la teperatura di 300 C. La oluzione è riportata nel file CEMPRA.XLS In queto cao dobbiao trattare un problea di tranitorio. Il cilindro può eere coniderato un itea chiuo, e poiao adottare le eguenti ipotei: il lavoro cabiato con l'eterno (dovuto unicaente alla variazione di volue del cilindro può deciaente eere tracurato (in altri terini, il ateriale può eere coniderato indilatabile; e il ateriale è indilatabile, c p c v c la teperatura all'interno del cilindro può eere ritenuta unifore (ovvero indipendente da z ed r: una giutificazione accurata di tale ipotei eula dagli copi del coro, a i può intuire che la elevata differenza di teperatura tra interno ed eterno (dovuta alla elevata reitenza terica alla uperficie rende tracurabili le diuniforità di teperatura all interno della billetta (dove la corripondente reitenza terica è inore. In tali condizioni l'equazione di bilancio dell'energia (I principio della t.d. può eere critta coe ricordando che du W du du du M ρv du d c (aterialeindilatabile W α A( ( t a -5-6

9 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore i ottiene infine il problea differenziale del prio ordine d ρv c α A( ( t a ( t 0 0 Il problea può eere riarrangiato in una fora più generale introducendo le due grandezze auiliarie Θ (theta e τ (tau ρvc τ αa Θ ( t a τ [] è detta cotante di tepo, per otivi che appariranno evidenti nel eguito. Sotituendo i ottiene dθ Θ τ Θ( t 0 Θ0 0 la cui oluzione è data da Θ ( t Θ 0 exp t τ Nel cao in eae i ha quindi a π D 6 3 V L π D A π DL ρ c V τ α A 0000 Θ t τ ln 0.378ln 0.55 Θ L'eepio trattato cotituice un cao di itea dinaico del prio ordine (in quanto governato da una equazione differenziale del prio ordine. Molti altri itei fiici i coportano econdo queto odello: ad eepio, la carica e carica di un condenatore in un circuito RC, od il riepiento di una vaca che ha una perdita proporzionale al livello di liquido in ea. Non è difficile verificare che, ebbene in teoria il tranitorio i etingua in un tepo infinito (il cilindro ipiega un tepo infinito a raggiungere la teperatura del bagno in pratica eo può eere coniderato concluo dopo un intervallo pari a 4-5 cotanti di tepo. Queto è ben viibile anche nel grafico di Fig.3 che rappreenta l'andaento di Θ/Θ 0 (che varia dal valore iniziale a quello aintotico finale 0 in funzione di t/τ E' noto che affinché il pezzo i tepri il tranitorio deve eere il più veloce poibile; dall'eae dell'epreione della cotante di tepo τ i vede che ea diviene più piccola (e quindi il tranitorio i accorcia e α auenta: per queto peo i ricorre a fluidi che cabiano più efficaceente o all'agitazione del bagno (convezione forzata; il rapporto V/A diinuice: tale rapporto è inore per pezzi ottili ripetto a quelli tozzi (è aio nella fera, che ha la inor uperficie a parità di volue e non è difficile verificare che per corpi geoetricaente iili crece all'auentare di V. Inoltre i vede ovviaente che il tranitorio è tanto più rapido quanto è inore la capacità terica ρcv del corpo Θ/Θ t/τ Figura 3. Andaento della teperatura adienionalizzata in funzione del tepo adienionalizzato. BIBLIOGRAFIA Per approfondienti ulla traiione del calore può conultare: Y.A. Cengel, erodinaica e raiione del Calore, McGraw-Hill, 998, capp Inoltre eitono nueroi teti italiani ed inglei dedicati ecluivaente alla traiione del calore. ra ei i citano G. Guglielini, C. Pioni, Eleenti di raiione del Calore, Vechi, 990. A. Bejan, Heat ranfer, Wiley, 993. F.P. Incropera, D.P. De Witt, Fundaental of Heat and Ma ranfer, Wiley,

10 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore ESERCIZI ESERCIZIO. Una parete in uratura di dienioni 4x3 reca al centro una finetra di.5x. Il ateriale della parete, che i può coniderare oogeneo, ha uno peore c ed una conducibilità terica k 0.5 W/ K. La finetra, in vetro, ha uno peore ed una conducibilità terica k. W/ K. Il coefficiente di convezione interno vale α I 5 W/ K e quello eterno vale α E 5 W/ K. Entrabi i coefficienti ono tati già corretti per tenere conto dell irraggiaento. La teperatura interna all abiente vale I 0 C e quella eterna vale E 5 C. Nell ipotei che la parete i poa coniderare piana ed infinita, in odo che la teperatura in ea vari olo con lo peore, deterinare la potenza terica cabiata attravero la edeia e le percentuali di detta potenza cabiate attravero il uro ed attravero la finetra. [395 W, di cui il % attravero la finetra] ESERCIZIO. L involucro di un frigorifero i può coniderare un parallelepipedo di dienioni LxPxH 0.6x0.6x.5. La parete è cotituita da uno trato di chiua epana di peore 3 c e di conducibilità terica k 0.05 W/ K, ricoperto da una laiera in acciaio di peore 0.5 e di conducibilità terica k 40 W/ K. La bae del frigorifero i può coniderare adiabatica. Le altre pareti hanno un coefficiente di convezione interno α I 3 W/ K e uno eterno α E 0 W/ K. La teperatura interna all abiente vale A 0 C e quella interna vale i -5 C. racurando l effetto degli pigoli, valutare la potenza terica che è neceario aportare traite la acchina frigorifera in condizioni di regie per copenare l affluo di calore attravero le pareti tee [7 W] (NOA: queta cotituice olo un aliquota della potenza del frigorifero, dato che ulteriore potenza è necearia per refrigerare i cibi introdotti e per copenare gli influi di aria calda dovuti alle aperture dello portello. ESERCIZIO.3 Una reitenza da caldabagno ha la fora di un cilindro di lunghezza L 500 e diaetro D 0. In condizioni norali ea diipa una potenza W 0.5 kw, tando oera in acqua alla teperatura 0 C, avente un coefficiente di cabio convettivo di h w 300 W/ K. a Quale è la teperatura della uperficie eterna della reitenza? (Si tracuri il calore diipato dalle bai del cilindro. b Quanto diverrebbe a regie tale teperatura e venie a ancare l acqua e la reitenza venie a trovari in aria a 0 C con coefficiente di convezione h a 0 W/ K? (Si upponga di poter tracurare l effetto dell irraggiaento. [73 C; 86 C] (NOA: in queto econdo cao il riultato abbatanza irrealitico è indice del fatto che in realtà la reitenza brucia. ESERCIZIO.4 La uperficie di abbia di una piaggia riceve dal ole in una giornata etiva una potenza W irr 400 W/, che viene integralente aorbita da ea. Il coefficiente di cabio terico con l aria opratante (corretto per tener conto dell irraggiaento vale α 5 W/ K e la teperatura dell aria eterna vale A 35 C. Lo cabio terico tra la abbia ed il uolo ottotante è tracurabile. Calcolare la teperatura a cui i porta la abbia in condizioni di regie. Ripetere il calcolo per una uperficie che, eendo opportunaente verniciata, rinvia enza aorbire il 90% della potenza olare incidente. [6 C; 38 C] ESERCIZIO.5 Il tetto di una baracca in laiera, di dienioni PxL 4x3.5, è cotituito da un laierino di acciaio di peore.5 e di conducibilità terica k 40 W/ K. Il coefficiente di convezione interno vale α I 5 W/ K e quello eterno vale α E 5 W/ K (entrabi i coefficienti ono tati già corretti per tenere conto dell irraggiaento. La teperatura interna all abiente vale I 0 C e quella eterna vale E 5 C. Valutare la potenza terica cabiata attravero il tetto. Deterinare quale peore,, di conducibilità terica k 0.05 W/ K debba eere poto ul tetto per ridurre del 90% tale potenza. [787 W; ] ESERCIZIO.6 Si calcoli la peore di lana di vetro iolante (k 0,03 W/ K neceario affinché la teperatura della uperficie eterna di un forno da cucina non ia aggiore di 50 C. Un terotato garantice che la teperatura dell aria interna del forno non uperi I 300 C, la teperatura dell'abiente eterno vale E 4 C e il coefficiente di convezione tra la parete del forno e l'abiente circotante (ia interno che eterno è α E α I 0 W/ K. (Sugg. Si può tracurare il contributo delle pareti etalliche del forno teo. [7.8 ] ESERCIZIO.7 Una barra di rae di un conduttore elettrico, di peore t c, di altezza H e di lunghezza L olto aggiore delle due dienioni precedenti, è percora da una corrente di 5000 A. La potenza diipata in ea è data, coe è noto, da W RI, dove R ρ L / t H è la reitenza elettrica della barra e la reitività elettrica del rae vale ρ 0.07 µoh. Il coefficiente di cabio terico con l aria circotante (corretto per tener conto dell irraggiaento vale α 0 W/ K e la teperatura dell aria eterna vale A 0 C. Calcolare quale altezza deve avere la barra affinché la ua teperatura uperficiale non uperi i 40 C. [0.3 ] ESERCIZIO.8 Una certa quantità di carbone giace dipota in poizione orizzontale u una uperficie. Lo peore dello trato di carbone è di etri. ale letto genera una quantità voluetrica di calore pari a 0 W/ 3. La teperatura del carbone è unifore. La teperatura dell abiente è pari a 5 C e il coefficiente di cabio terico tra la aa di carbone e il ga è pari a 5 W/ K. Calcolare la teperatura della uperficie uperiore della aa di carbone. La uperficie inferiore è iolata. [33 C] ESERCIZIO.9 Conideriao una parete di laterizio di peore 0.5. Il laterizio ha una conducibilità pari a 0.4 W/K. ale parete epara due abienti, a teperatura i e e pari ripettivaente a -9-0

11 Cap.. Cenni ui eccanii di traiione del calore 0 C e 0 C. Suppoto che i coefficiente di cabio terico lato eterno e lato interno iano α i 0 W/ K e α e 5 W/ K, calcolare: a la conduttanza della parete b il fluo terico dipero c le teperature delle due etreità della parete [a.56 W/ K; b 3.5 W/ ; c 6.9 C,.5 C] ESERCIZIO.0 In una barra cilindrica di un ateriale etallico del diaetro di 3 c è preente una generazione voluetrica di calore pari a q 0 6 W/ 3 che upponiao uniforeente ditribuita. La barra è labita da un ga alla teperatura a 30 C con coefficiente di cabio terico α 00 W/ K (convezione forzata. Calcolare: a la teperatura uperficiale p della barra; b la potenza terica ceduta dal ga per unità di lunghezza. [a 05 C; b 707 W/] -