Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica

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1 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia i/161 Comportameto delle strutture i C.A. i Zoa Sismica Prof. Paolo Riva Dipartimeto di Progettazioe e ecologie Facoltà di Igegeria Uiversità di Bergamo V. Marcoi, Dalmie (BG) paolo.riva@uibg.it

2 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia ii/161 INDICE pag. 1. INRODUZIONE Performace Based Desig RICHIAMI DI DINAMICA DELLE SRUURE Oscillatore ad 1 Grado di Libertà Equazioe del moto: Vibrazioi Libere di u oscillatore NON smorzato: Risposta di u oscillatore o smorzato soggetto ad u carico impulsivo Risposta di u oscillatore o smorzato soggetto ad ua forzate qualsiasi Vibrazioi Libere di u oscillatore smorzato: Risposta di u oscillatore smorzato soggetto ad ua forzate qualsiasi Risposta di u oscillatore smorzato soggetto ad ua Sollecitazioe Sismica Defiizioe di Spettro di Risposta Sistemi a N Gradi di Libertà Risposta Sismica di Sistemi ad gradi di libertà Il Metodo delle Spettro di Risposta per Sistemi ad N g.d.l Metodo di Rayleigh-Ritz per l aalisi modale Il Metodo delle Forze Statiche Equivaleti... 37

3 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia iii/161.5 Esempio di calcolo di telaio piao Risposta diamica di uo Shear Buildig Esempio di aalisi Spettro di risposta Aalisi modale Combiazioe modale Aalisi statica lieare Determiazioe del I Modo di vibrare: metodo di Rayleigh EORIA DEL FAORE DI DUILIÀ NORME ECNICHE DELLE COSRUZIONI Vita Nomiale, Classi d Uso e Periodo di Riferimeto Classi d Uso Periodo di Riferimeto per l Azioe Sismica Stati Limite e Relative Probabilità di Superameto Azioe Sismica di Progetto Categorie di Sottosuolo e Codizioi opografiche Spettro di risposta elastico (compoete orizzotale) Spettro di risposta elastico (compoete verticale) Spettri di Progetto per gli Stati Limite di Esercizio Spettri di Progetto per gli Stati Limite Ultimi... 83

4 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia iv/ Impiego di accelerogrammi Combiazioe dell azioe Sismica co le altre Azioi Pericolosità Sismica Criteri Geerali di Classificazioe Esempi INRODUZIONE ALLA PROGEAZIONE SISMICA Regole Base Misure Specifiche erreo di Fodazioe DEERMINAZIONE DELLE FORZE DI PROGEO CAPACIY DESIGN Esempio Portale Semplice Verifica delle Deformazioi (Duttilità Locale) Duttilità dei Pilastri Esempio di Calcolo di elaio Piao Dimesioameto Verifica Collasso CARAERISICHE GENERALI DEGLI EDIFICI Regolarità... 15

5 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia v/ Elemeti strutturali secodari MODELLAZIONE DELLA SRUURA ED ANALISI Aalisi da Normativa Aalisi Statica Lieare Aalisi Diamica Modale Aalisi Statica No Lieare (Aalisi Push-Over) Combiazioe delle Compoeti dell Azioe Sismica Fattori di Importaza (No per NC Utilizzati i EC8) Valutazioe degli Spostameti Cosiderazioe di elemeti o strutturali Impiati VERIFICHE DI SICUREZZA Duttilità e capacità di spostameto Stato Limite di dao Giuti sismici Diaframmi orizzotali REQUISII SRUURALI DEGLI ELEMENI DI FONDAZIONE Collegameti orizzotali tra fodazioi

6 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia vi/161 BIBLIOGRAFIA. Paulay, M.J.N. Priestley, Seismic Desig of Reiforced Cocrete ad Masory Buildigs, Joh Wiley, 199. G.G. Peelis, A.J. Kappos, Earthquake Resistat Cocrete Structures, E&FN Spo, R.E. Eglekirk, Seismic Desig of Reiforced ad Precast Cocrete Buildigs, Joh Wiley, 003. A.K. Chopra, Dyamics of Structures: heory ad Applicatios to Earthquake Egieerig d Editio, Pretice Hall, 000.

7 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 7/ INRODUZIONE MAPPA DELLA PERICOLOSIÀ SISMICA MONDIALE

8 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 8/161 MAPPE DELLA PERICOLOSIÀ SISMICA IALIANA E LOMBARDA

9 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 9/161 CLASSIFICAZIONE SISMICA 004

10 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 10/ Performace Based Desig Processo di Progettazioe per il Performace Based Desig (Progetto Prestazioale) Selezioare Obiettivi Prestazioali Effettuare il Progetto Prelimiare Verificare l Effettiva Capacità di Soddisfare il Criterio Prestazioale Progetto Esecutivo Sperimetazioe Verifiche Costruzioe

11 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 11/161 ipici criteri prestazioali e deformativi per Strutture Duttili ipici criteri prestazioali e deformativi per Strutture No Duttili Esemplificazioe del Performace Based Desig.

12 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 1/161 ipici Stati Limite e Livelli Prestazioali Associati co Probabilità di Occorreza (FEMA) Stato Obiettivi Limite Fuzioale Daeggiameto Servizio Dao Ultimo Pre Collasso Occupazioe cotiua delle strutture seza sigificative iterruzioi di servizio Possibilità di cotiuare ad usufruire delle strutture, dopo qualche iterruzioe di servizio. Occupati o corroo rischi vitali. Mateere la poteziale operatività degli uteti o del proprietario. Occupati o corroo rischi vitali, ma l edificio difficilmete può essere riparato Nessu dao sigificativo alle strutture, agli elemeti o-strutturali, o al coteuto dell edificio Dao limitato agli elemeti o-strutturali ed al coteuto dell edificio, ma essu dao sigificativo alle strutture. Struttura riparabile. Sopravviveza degli occupati. Nessu collasso o sigificativi rischi di crolli. Limitare il dao strutturale alla soglia che e coseta ua riparazioe ecoomicamete coveiete. Dao severo, ma collasso strutturale impedito. Elemeti o strutturali possoo collassare, Riparazioe geeralmete o possibile. Criterio Prestazioale Forze iferiori al valore di servameto (comp.elastico). Spostameti e sbadameto iferiori alla soglia di dao. Accelerazioi limitate per miimizzare il rischio di crolli. Forze appea superiori al limite elastico. Spostameti e sbadameti leggermete superiori alla soglia di dao. Accelerazioi limitate per miimizzare il rischio di crolli. Meccaismo di deformazioe plastico, co rotazioi plastiche iferiori alla soglia di capacità ultima. Limitare sbadameto e spostameti per evitare istabilità. Limitare le accelerazioi per evitare crolli o aggiugere elemeti che cosetao di preveire il distacco e la caduta di parti. Limitare rotazioi e spostameti a valori che cosetao la riparazioe. Localizzare il dao a zoe facilmete riparabili. Meccaismo di deformazioe plastico, co rotazioi plastiche appea iferiori alla soglia di capacità ultima. Limitare sbadameto e spostameti per evitare istabilità. Ci possoo essere crolli parziali. Probabilità Eveto Sismico x 1 % i y 1 ai (50% i 30 ai) Frequete (43 ai) x % i y ai (50% i 50 ai) Raro (73 ai) x 3 % i y 3 ai (10% i 50 ai) Raro (475 ai) x 4 % i y 4 ai (10% i 100 ai) Molto Raro (970 ai)

13 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 13/161 ipici Livelli di sbadameto Laterale (Drift) Ammissibili (FEMA) Stato Limite Massimo Valore Ammissibile del Drift (%) Drift Permaete Ammissibile (%) Servizio 0. trascurabile Dao 0.5 trascurabile Ultimo Pre Collasso.5.5 PERFORMANCE BASED DESIGN COME SI FA? Approccio agli Stati Limite (evidete dalle defiizioi!) Capacity Desig (Criterio della Gerarchia delle Resisteze) EC8, Ordiaza 374, Praticamete tutte le Normative Modere; Displacemet Based Desig (Criterio Basto sul Cotrollo degli Spostameti) Approccio Futuro. Argometo di ricerca, ma o acora recepito dalle ormative.

14 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 14/161 PERFORMANCE BASED DESIGN APPROCCIO INERDISCIPLINARE Diagramma di flusso che illustra le disciplie che cotribuiscoo alla Performace Based Seismic Egieerig e le coessioi che itercorroo tra esse (Chadler & Lam, 001).

15 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 15/161. RICHIAMI DI DINAMICA DELLE SRUURE.1 Oscillatore ad 1 Grado di Libertà.1.1 Equazioe del moto: Forzate Geerica F I (t) + F D (t) + F E (t) F(t) Equilibrio all istate t F I ( t) mu& ( t) Forza d ierzia F D ( t) mu& ( t) Forza dovuta allo smorzameto F E ( t) ku( t) Forza di richiamo elastico t u g Moto del erreo u & u&& + & Accelerazioe della massa FI ( t) mu& t ( t) Forza d ierzia F D ( t) mu& ( t) Forza dovuta allo smorzameto F E ( t) ku( t) Forza di richiamo elastico m u& + cu& + ku F(t) m u& + cu& + ku 0 mu&& + cu& + ku m& t u g

16 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 16/ Vibrazioi Libere di u oscillatore NON smorzato: u& 0 u& + ω u 0; u( t) siωt + u0 ω cosωt dove: ω k / m (rad/sec) è la frequeza circolare dell oscillatore, u& 0 e u0 soo la velocità e lo spostameto iiziali del sistema, rispettivamete. La frequeza ed il periodo proprio dell oscillatore si esprimoo come: f ω 1 π ( Hz) e (sec.). π f ω L ampiezza del moto risulta ifie: u& 0 R + u ω 0

17 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 17/ Risposta di u oscillatore o smorzato soggetto ad u carico impulsivo Se t 1 << u(0) 0 Poedo: m u& Fdt quatità di moto dell impulso u& 0 Fdt m u u & siωt ω 0 Fdt siωt mω.1.4 Risposta di u oscillatore o smorzato soggetto ad ua forzate qualsiasi La risposta può essere vista come la somma delle risposte ad ua sequeza di carichi impulsivi. Defiedo co du(τ) l icremeto di spostameto per u impulso che termia al tempo τ ed ha durata dτ si ottiee: F( t) dτ F( t) du ( τ ) siωt' siω( t τ ) dτ mω mω t F( t) u( t) siω( t τ ) dτ mω 0 (Itegrale di Duhamel) Essedo la soluzioe basata sul pricipio di sovrapposizioe degli effetti, è valida solo per sistemi elastici lieari

18 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 18/ Vibrazioi Libere di u oscillatore smorzato: Equazioe del Moto: u& + ξω u& + ω u 0 Dove: c ξ ω m c c cr è lo smorzameto relativo allo smorzameto critico (fattore di smorzameto). Per valori del fattore di smorzameto iferiori ad 1, le vibrazioi libere risultao: ξωt u0 + ξωu0 u( t) e & ( siωdt + u0 ω D cosω t) D Dove: ω D ω 1 ξ è la frequeza circolare dell oscillatore co smorzameto L ampiezza del moto risulta: Vibrazioi libere di u oscillatore smorzato R t u0 + u0ξω ρe ξω & ρ ωd + u 0 Risposta di u oscillatore co smorzameto critico

19 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 19/ Risposta di u oscillatore smorzato soggetto ad ua forzate qualsiasi L itegrale di Duhamel per u sistema smorzato risulta: τ τ ω ω τ τ ξω d t si e m F t u D t t D ) ( ) ( ) ( ) ( Risposta di u oscillatore smorzato soggetto ad ua Sollecitazioe Sismica La risposta di u oscillatore soggetto a sollecitazioe sismica si ricava dall itegrale di Duhamel impoedo che la forzate sia uguale a: ) ( ) ( τ τ g mu F & & Ioltre, se ξ 0.0 ω ω D (strutture i c.a. ξ , strutture i acciaio ξ ) Si ottiee: ) ( 1 ) ( si ) ( 1 ) ( ) ( 0 t V d t e u t u t t g ω τ τ ω τ ω τ ξω & & (1) Si poe ifie: ) ( ) ( ) ( ) ( t V m t u m t ku t Q ω ω (Forza sismica efficace taglio alla base) NB Il sego è irrilevate ai fii della valutazioe della risposta.

20 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 0/161 La struttura tede ad oscillare co periodo proprio prossimo a quello del sistema; Gli spostameti massimi tedoo a crescere all aumetare del periodo proprio; Gli spostameti massimi dimiuiscoo all aumetare del fattore di smorzameto.

21 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 1/ Defiizioe di Spettro di Risposta Otteere la risposta sismica ad ogi istate tramite l eq. (1) è estremamete oeroso. Dal puto di vista della progettazioe, i molti casi è sufficiete valutare lo spostameto relativo massimo, il che equivale a valutare il valore massimo di V(t). ale valore viee idicato co S v (pseudo-velocità spettrale): S t v u& g 0 ξω( t τ ) & ( τ ) e siω( t τ ) dτ (pseudo-velocità spettrale) () max Sv S d (spostameto relativo massimo o spostameto spettrale) (3) ω S ω (pseudo-accelerazioe spettrale) (4) a S v da tali relazioi si ottiee: Sv Sa u max Sd (spostameto relativo massimo) (5) ω ω Q ksd mω max Sd mωsv msa (taglio alla base massimo) (6) valutado l eq.() per sistemi caratterizzati da ω diversi e diagrammado i valori di S v, si ottiee ua curva di pseudovelocità spettrali che viee detta spettro di risposta.

22 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia /161 OSSERVAZIONI 1 1. S v ha le dimesioi di ua velocità. Si chiama PSEUDO Velocità poiché umax Sv è esatta, a meo ω dell approssimazioe ω D ω, metre la effettiva velocità massima dell oscillatore sarebbe data da: u& t ξω( t τ ) max u&& g ( τ ) e cosω( t τ ) dτ ξωu( t) 0 max ale relazioe potrebbe essere utilizzata per costruire u vero spettro di velocità. Peraltro, S v è più utile, essedo correlata al massimo spostameto, e quidi alle massime forze di richiamo elastico.. Dall equazioe del moto si ha: ξω u& + ω u ( u&& g + u& ) Se lo smorzameto è piccolo, il primo termie è trascurabile. Quidi si ottiee: Sa ω Sd ( u& g + u& ) (Pseudo-accelerazioe spettrale) da cui si deriva che la massima forza d ierzia dell oscillatore risulta essere uguale a F i,max ms a. 3. La massima forza di richiamo elastica per l oscillatore risulta pari a: F e,max ks d ω ms d ms a S v

23 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 3/161

24 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 4/161

25 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 5/161 Spettri di risposta per il terremoto di El Cetro, 1940

26 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 6/161 Per periodi propri alti ( ) la pseudo-accelerazioe massima tede a zero; Per periodi propri bassi ( 0) la pseudo-accelerazioe massima tede all accelerazioe del suolo massima.

27 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 7/161. Sistemi a N Gradi di Libertà Equazioe del moto: M u& + Cu& + Ku f (t) dove M, C, K soo le matrici delle masse, di smorzameto e di rigidezza, rispettivamete, u è il vettore degli spostameti ed f(t) è il vettore delle forze odali. Vibrazioi Libere (No Smorzate): M u& + Ku 0 moto armoico u φsiω( t t0 ); u& ω φsiω( t t0 ) t i ( K ω M) u 0 ω, φ co φ Mφ 0; φ Kφ 0 se i j (autovettori ortogoali) i i j t i j

28 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 8/161 Disaccoppiameto delle equazioi del moto: Def. 1 1 ];,,, [ ω ω ω O L Ω φ φ φ Φ u Φy φ φ φ y y y L 1 1 dove y i soo dette coordiate pricipali. eq. del moto: ) (t f y K y C y M + + Φ Φ Φ & & & (..1) premoltiplicado la (..1) per φ, teedo presete che per l ortogoalità degli autovettori si ha: m K m m M m m m 0 ; 0 φ φ φ φ K M ed assumedo: m C m m 0 φ φ C si ottiee: ) ( ) ( t f t y K y C y M + + f φ & & & (..) ioltre: M K 0 ω ω φ φ φ φ M K poedo ifie: M C ω ξ si ottiee : M t f y y y ) ( + + ω ω ξ & & & (..3)

29 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 9/ Risposta Sismica di Sistemi ad gradi di libertà Nel caso di sisma: g u g u t & & & m& Mr f ) ( dove, co le ipotesi di edificio tipo shear buildig, [ ],1, 1 L r g g u u t f & & & & L Mr φ ) ( dove L fattore di partecipazioe modale g u M y y y & & & && L + + ω ω ξ ) ( 1 ) ( si ) ( 1 ) ( ) ( 0 t V M d t e u M t y t t g ω τ τ ω τ ω τ ξω L L & & (.3.1) i i i t V M t y t u 1 1 ) ( 1 ) ( ) ( ω φ φ L (.3.) ) ( 1 ) ( t V M t ω L Φ Φy u (.3.3) per quato riguarda le forze di richiamo elastiche si può scrivere: y K Ku f Φ (t) S osservado che Φ MΦΩ K si ottiee: ) ( ) ( t V M t S ω L ΦΩ MΦ y M f (.3.4) la (.3.4) forisce la distribuzioe di forze lugo la struttura al tempo t.

30 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 30/161 Nel caso di shear buildigs, il taglio alla base può essere calcolato come: L V0(t) f Si ( t) r fs ( t) r MΦ ωv ( t) 1 M L poiché r MΦ [ L1 L L L ] si ottiee: V (t) 0 ωv ( t) 1 M dove: L ha le dimesioi di ua massa e viee detta massa modale efficace; M L fattore di partecipazioe modale; M massa modale. (.3.5)

31 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 31/161 Per shear buildigs, la massa modale efficace può essere iterpretata come la quota parte della massa totale che rispode al sisma per ciascu modo proprio. Ifatti, per edifici tipo shear buildig si può scrivere: r Mr M, dove r è il cosueto vettore co compoeti 1. ale vettore può essere espresso i coordiate pricipali come: r Φy, dove le quatità scalari y possoo essere determiate pre-moltiplicado r per M φ : M M y y M y L L L Φ φ φ Φ φ φ r M y M Mr 13 M M M di matrice M M M 1 L L L L Φ Φ MΦ M r QED Ioltre, se i modi propri vegoo ormalizzati i modo che: ) ) ( ( 1 1/,, j j φ φ φ φ M M φ φ si ottiee 1 M. Quidi, la massa modale efficace è pari a L, cioè al quadrato del fattore di partecipazioe modale, metre la massa totale della struttura risulta essere pari alla somma dei quadrati dei fattori di partecipazioe. ale metodo per la ormalizzazioe dei modi propri viee detto orto-ormalizzazioe ed è adottato da diversi codici di calcolo commerciali, quali quelli della famiglia SAP ed affii.

32 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 3/161.. Il Metodo delle Spettro di Risposta per Sistemi ad N g.d.l. Adottado la tecica della sovrapposizioe modale la soluzioe di u sistema a N g.d.l. può essere affrotato come sol. di N sistemi ad 1 g.d.l. g u M y y y & & & && L + + ω ω ξ ) ( 1 ) ( si ) ( 1 ) ( ) ( 0 t V M d t e u M t y t t g ω τ τ ω τ ω τ ξω L L & & per shear buildigs si può scrivere: ) ( 1 ) ( ) ( t V M t y t u i i i ω φ φ L spostameto piao i per il modo ) ( ) ( ) (., t V M t y t u i i eff i L φ ω φ ω & & accelerazioe efficace al piao i per il modo ) ( ) ( ) (, t V M m t y m t f i i i i si L φ ω φ ω forza al piao i per il modo Dal puto di vista del comportameto sismico, siamo iteressati ai valori massimi dello spostameto e della forza a ciascu piao. Dalla defiizioe di pseudo-velocià e pseudo-accelerazioe spettrale possiamo scrivere:,max,max a v S M S M y ω ω L L φ φ φ u

33 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 33/161 L f s, max Mφ & y, max Mφ Sa M Mφ L M ω S v dove u è il vettore degli spostameti massimi, f s è il vettore delle forze massime di piao, S v è la pseudo velocità spettrale, e S a è la pseudo-accelerazioe spettrale relativamete al modo. PROBLEMA: modo per modo coosco i valori massimi di forza e spostameto, ma o gli istati i cui essi si maifestao e eppure il loro sego. Come si defiiscoo pertato i valori massimi per la struttura? Gli effetti vegoo geeralmete combiati sulla base di cosiderazioi statistiche. Il metodo di combiazioe più comue è la SRSS (Square Root of Sum of Squares): max u max q ( t) [,max ] k u k 1 ( t) [,max ] k q k 1 Questa approssimazioe è geeralmete (ma o ecessariamete) coservativa e si basa sull ipotesi che i modi siao completamete scorrelati. Da buoi risultati quado le frequeze proprie soo distati.

34 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 34/161 Altre alterative che riducoo gli errori soo: CQC (Complete Quadratic Combiatio): max u ( t) u ρ u ; max q ( t) k i j ki ij kj k i j q ki ρ q dove i coefficieti ρ ij vegoo detti coefficieti di cross-correlazioe modale e soo fuzioe della durata e del coteuto i frequeza dell iput sismico, delle frequeze modali, e del coefficiete di smorzameto della struttura. Se la durata del terremoto è luga rispetto al periodo proprio della struttura, se lo spettro di risposta è cotiuo su u campo ampio di frequeze per u dato smorzameto, il coefficiete di cross-correlazioe può essere approssimato come: ρ dove: ij r ji 8 ( ξ + r ξ ) 3 / ji ( 1 r ) + 4ξ ξ r ( 1 + r ) + 4( ξ + ξ ) r i ji ξ ξ i i j j ji i ji ji j r i j ji ω j, ρ ij 1 se ω i ω j, ρ ij 0 se ω i >> ω j, ξ i, ξ j soo i coefficieti di smorzameto relativi ai modi i e j. ω NUREG 1.9 (Nuclear Reg. Commissio 10% method): ( u ) max u ( t) + u k k i< j dove i e j icludoo tutti i modi vicii, per i quali: ω ω i ω j j < 0.1 co i < j ki u kj ij kj

35 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 35/161.3 Metodo di Rayleigh-Ritz per l aalisi modale Dato u sistema ad N gradi di libertà, si voglioo determiare le frequeze proprie del sistema e le forme modali. La deformata modale può essere defiita come: u ( t) ψ0z0 siω0 t dove: ψ 0 è la forma modale, arbitrariamete assuta e Z 0 è l ampiezza, la velocità risulta pertato: u &( t) ω0ψ0z0 cosω0 t Sotto tali ipotesi, la massima eergia cietica del sistema risulta ( 1 mu& per sistemi ad 1gdl): max 1 1 max u& maxmu& ω0 Z0ψ0 Mψ0 Similmete, la massima eergia poteziale del sistema risulta ( V 1 ku per sistemi ad 1gdl): 1 1 V max umaxku Z0ψ0Kψ0 Dal pricipio di coservazioe dell eergia ( max V max ) si ottiee: ω 0 ψ ψ 0 0 Kψ Mψ 0 0 max se ψ 0 approssima sufficietemete bee la I forma modale, ω 0 è ua buoa approssimazioe della pulsazioe propria del primo modo di vibrare. max max

36 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 36/161 L approssimazioe può essere migliorata utilizzado come uova forma modale la deformata che si ottiee applicado alla struttura la distribuzioe di forze di ierzia che risulta dalla iterazioe precedete. 0 u max ψz 0 spostameto massimo dall iterazioe iiziale; 0 fi, max 0 Z0 u ω Mψ massime forze di ierzia all iterazioe iiziale; max K f I, max spostameto massimo all iterazioe 1 dovuto alle forze di ierzia dell iterazioe 0; u I, max K f siω t ω Z K Mψ siω t spostameto relativo all iterazioe 1; La massima eergia poteziale e la massima eergia cietica risultao pertato: 1 0, Vmax fi,maxu ω 0 Z 1 1, 1 max u& max Mu& 1 ω 1 0 ψ ω Z MK 0 ψ 1 0 Dal pricipio della coservazioe dell eergia si ottiee ifie l autovalore cercato: Mψ MK 0 1 MK 1 Mψ 0 ω 1 ψ0 ψ 0 MK MK 1 1 MK Mψ 1 0 Mψ 0

37 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 37/161.4 Il Metodo delle Forze Statiche Equivaleti Il Metodo delle Forze Statiche Equivaleti si basa sull ipotesi che la risposta sismica della struttura possa essere caratterizzata solamete dal I modo di vibrare. I particolare, se la risposta fosse goverata esclusivamete dal I modo di vibrare, il massimo valore delle forze elastiche ageti su di ua struttura può essere valutato come: max f S ( t) max Ku Mφ 1 1 L M 1 1 Kφ S a1 1 y 1,max Kφ 1 L M 1 1 S ω v1 1 Kφ 1 L M 1 1 S ω a1 1 Pertato, osservado che i questo caso la massa totale può essere espressa come: M r Mφ L 1 1 M 1 si ottiee che la forza totale agete sulla struttura è pari a: 1 F f M S (.4.1) 1 S, k a1

38 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 38/161 IL MEODO DELLE FORZE SAICHE EQUIVALENI SI ARICOLA NEI SEGUENI PUNI: 1. Stima del I Modo di vibrare;. Scelta del coefficiete sismico appropriato (ordiata dello spettro di risposta); 3. Calcolo della risultate delle Forze Sismiche Equivaleti; 4. Distribuzioe sulla struttura delle Forze orizzotali sismiche; 5. Aalisi statica della struttura soggetta alle forze sismiche equivaleti; 6. Stima degli spostameti e dello spostameto di iterpiao. 1. Valutazioe del I Modo di vibrare Si può usare l aalisi modale ed estrarre solo il I modo. Altrimeti, utilizzado il metodo di Rayleigh il I modo è dato da: 1 π W 1 i g F 1 i i i dove F i è u sistema di forze orizzotali di tetativo co distribuzioe qualsiasi (ad esempio lieari co l altezza), W i è il peso del piao i-esimo, i è lo spostameto elastico del piao i-esimo dovuto alle forze F i,, e g è l accelerazioe di gravità.

39 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 39/161 Ifie, possoo essere usate formule approssimate quali quella suggerita dalla Normativa che, per edifici che o superio i 40m di altezza forisce il seguete valore di 1 : 3/ 4 1 C1H, co H altezza dell edificio dal piao di fodazioe, espressa i metri, C 1 0,085 per edifici co struttura a telaio i acciaio, C 1 0,075 per edifici co struttura a telaio i c.a., C 1 0,050 per edifici co qualsiasi altro tipo di struttura.. Scelta del coefficiete sismico ale coefficiete è dato dall ordiata dello spettro di risposta di progetto, defiito dalla ormativa i fuzioe della tipologia strutturale, dell importaza dell edificio, delle caratteristiche del sito, ecc. 3. Calcolo della risultate delle Forze Sismiche Equivaleti (aglio alla Base) F M S a ( 1 ) 4. Distribuzioe sulla struttura delle Forze orizzotali sismiche La forza al piao i-esimo può essere defiita come: uiwi F i F co u i ed u j spostameti dovuti al modo 1. u W j j Oppure, assumedo ua distribuzioe lieare di forze: ziwi F i F dove z i e z j soo le quote dei piai i e j. z W j j

40 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 40/161 Gli effetti torioali accidetali possoo essere cosiderati amplificado le forze da applicare a ciascu elemeto verticale co il fattore δ risultate dalla seguete espressioe: δ 1 + 0,6x/L e dove: x è la distaza dell elemeto resistete verticale dal baricetro geometrico dell edificio, misurata perpedicolarmete alla direzioe dell azioe sismica cosiderata; L e è la distaza tra i due elemeti resisteti più lotai, misurata allo stesso modo. 5. Aalisi statica della struttura soggetta alle forze sismiche equivaleti ale aalisi può essere effettuata co qualsiasi metodo di aalisi strutturale. 6. Stima degli spostameti e dello spostameto di iterpiao Gli spostameti effettivi della struttura soo otteuti moltiplicado gli spostameti ricavati dall aalisi statica per u coefficiete di struttura che cosete di cosiderare il comportameto o-lieare della struttura.

41 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 41/161.5 Esempio di calcolo di telaio piao.5.1 Risposta diamica di uo Shear Buildig Le ipotesi alla base del modello cosiderato soo: o Le masse soo cocetrate a livello dei piai. o Gli impalcati soo ifiitamete rigidi. o Le coloe soo assialmete ideformabili. o No si tiee coto dello smorzameto e si suppoe u comportameto perfettamete elastico della struttura. y3(t) m3 m3 a3, y(t) m k3(y-y3) m a, y1(t) m1 k(y1-y) m1 a1, k1(y1) ag ai, ag + ai ( ) ( ) ( ) + ( ) m m1a1+ k1y1 k y y1 m1ag ma + k y y1 k3 y3 y ma m3a3 k3 y3 y 3ag Fig Equilibrio diamico. g (1) M a K y M r ag + () M m m m 3 k1+ k k 0 K k k + k3 k3 0 k3 k 3 a y 1 a y r 1 1 a y 1 a 3 y 3 1

42 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 4/ Esempio di aalisi I questo paragrafo viee presetato il calcolo delle azioi sismiche su di u telaio piao i acciaio. Lo scopo è di forire u esempio per il calcolo della risposta diamica di ua struttura tipo Shear Buildig Specifiche Si aalizza u telaio i acciaio di u edificio multipiao. L orditura i piata è a maglia quadrata co lato di 6 m, l iterpiao è di 3.5 m per u totale di 3 piai fuori terra (Fig. -) Fig. - - Schema del telaio.

43 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 43/ Profili Le coloe che compogoo l edificio soo HE 400 B, co mometo d`ierzia pari a m 4. Le travi soo HE 360 B, co mometo d ierzia pari a m 4. Il modulo di elasticità dell acciaio è stato assuto pari a kn/m Carichi Si cosidera u carico permaete g pari a 8 kn/m e u carico variabile q pari a 3 kn/m Ipotesi sul modello di calcolo Nel modello si soo adottate le segueti ipotesi: o Le masse soo cocetrate a livello dei piai. o Gli impalcati soo ifiitamete rigidi. o Le coloe soo assialmete ideformabili. o Si trascura la massa delle coloe. o No si tiee coto dello smorzameto e si suppoe u comportameto perfettamete elastico della struttura.

44 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 44/ Spettro di risposta Lo spettro di risposta di progetto è calcolato i base Ordiaza 374 del 0/03/003. Si suppoe che la struttura sia ubicata su u terreo di categoria C, utilizzado i segueti parametri per il calcolo delle forze sismiche ageti sul telaio: Fattore di struttura q: 6,5 Accelerazioe orizzotale massima del terreo a g : 0,35 g Fattore del profilo stratigrafico S: 1,5 Periodi che separao i diversi rami dello spettro dipedeti dal profilo stratigrafico del suolo: B 0,15 sec C 0,50 sec D sec S d () a g S a g S.5/ q 0,0a g B C D g D C g d D C g d D C g d C B B g d B a q S a S q S a S q S a S q S a S 0,,5 ) (,5 ) (,5 ) ( 1),5 ( 1 ) ( 0 > + Fig. -3 Spettro di progetto per il calcolo delle azioi sismiche orizzotali.

45 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 45/ Aalisi modale y3 m3 y m y1 m1 Fig Gradi di libertà della struttura. Fig Modello di calcolo. Calcolo delle masse: m m m ( ) / t 1 3 Matrice delle masse M: M (3)

46 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 46/161 Calcolo del coefficieti di richiamo elastico per ua coloa del telaio (Fig. -6): 1 k k E J s c h kn/m Fig Coefficieti di richiamo elastico. Il calcolo della matrice di rigidezza è effettuato tramite la sovrapposizioe degli effetti, impoedo uo spostameto uitario a tutti i gradi di libertà e sommado i diversi cotributi: 1 k Fig Procedura per il calcolo della matrice di rigidezza.

47 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 47/161 Matrice di rigidezza K: K (4) Calcolo autovalori e frequeze proprie del sistema: ( K M) det ω 0 (5) ω ω ω (6) 1 3 j π 1 f j ω j j (7) Primo modo Secodo modo erzo Modo ω (rad/sec) ω ω f 1.33 (Hz) f 6.67 f (sec.) abella 1 - Valori della pulsazioe, frequeza e periodo proprio per ogi modo.

48 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 48/161 Calcolo degli autovalori del sistema (forme modali del telaio): K ω M φ 0 (8) φ j φ 0.45 φ ( j ) Fig Modi pricipali di oscillazioe del modello. Ortoormalizzazioe dei modi pricipali: φ j φ ( φ M φ ) 1/ j j j φ φ φ (9) 1 3 (10) dove: φ φ i 0 j

49 Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia 49/161 Calcolo dei fattori di partecipazioe: 1 L φ M r r 1 (11) L j j L 5. L 3.00 Calcolo della massa modale efficace per ciascu modo ( L j ) e relative percetuali rispetto alla massa totale ( L j / Mot. 100 ): Primo Modo Secodo Modo erzo modo Massa modale efficace (t) Percetuale (%) Calcolo le azioi sismiche di progetto per ciascu modo i base ai periodi propri: Primo modo: Secodo modo: erzo modo:,5,5 S a S m sec q 6,5 0,35 9,81 1, 5 1,65 / (1) d,1 g,5,5 S a S m sec q 6,5 0,35 9,81 1,5 1,65 / (13) d, g,5 0,11,5 S a S 1 1 0,35 9, ,88 m/ sec d,3 g + q + 0,15 6,5 B (14)