Il cemento armato Il problema dell aderenza e la disposizione delle armature Esempio di calcolo di una trave in C.A. BOZZA

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1 Lezione n. 4bi Il cemento armato Il problema ell aerenza e la ipoizione elle armature Eempio i calcolo i una trave in C.. La ipoizione elle armature La progettazione elle ezioni critiche in un elemento in c.a. comporta la einizione elle armature nelle ole ezioni maggiormente ollecitate. Il completamento ell armatura in una truttura in c.a. avviene teneno conto ell eetto i coninamento che è neceario ornire al calcetruzzo in moo a conentire un eicace unzionamento ella ezione in c.a. Occorre inoltre tenere preenti quelle che aranno le moalità i eecuzione ell opera (oia le ucceive ai i getto) per eterminare correttamente i coietti tagli i armatura, oia la conormazione elle armature e la einizione elle zone i ovrappoizione. Supponeno i operare con un elemento emplicemente inleo (a eempio, una trave), una volta progettate le ezioni più ollecitate, il progetto ell intera trave i eettua controllano che in ogni ezione il momento reitente M u ia empre uperiore al momento eterno M ru i calcolo: Mu M ru. Il controllo i ottiene cotrueno il iagramma ei momenti reitenti e aceno in moo che eo copra il iagramma el momento eterno i calcolo. In altre parole, è poibile ipotizzare elle riuzioni (o comunque elle moiiche) nelle armature metalliche per eguire l anamento ell eettivo iagramma ei momenti ollecitanti al ine i evitare un ecceivo preco i armatura metallica. Occorre notare che, teoricamente, arebbe anche poibile ottimizzare la conormazione ella ezione moiicanone la geometria, aottano cioè ezioni più groe ove le ollecitazioni ono maggiori e vicevera operano elle riuzioni nelle imenioni nelle zone meno ollecitate. Di olito i opera, per acilità i eecuzione, con elementi a ezione cotante, quini l unica operazione i ottimizzazione poibile è oerta alla moiica nella ipoizione elle armature reitenti. Il calcolo eettuato nella ezione maggiormente ollecitata conente quini la einizione ella geometria ell elemento, mentre l anamento ei iagrammi elle caratteritiche i ollecitazione uggerice la ipoizione ottimale elle armature. Si ipotizzano quini moiiche elle armature nelle zone i inverione elle ollecitazioni lettenti, e riuzioni elle tee ove i momenti ono ineriori, empre controllano che in neuna ezione i ornica una reitenza alla ezione ineriore ripetto alla ollecitazione. È coì poibile operare tagli nelle armature (oia interrompere alcune elle armature perché non necearie nella zona eaminata) oppure proceere a integrazioni elle armature (a eempio per coprire zone con momento i egno ivero). Nel cao in cui i procea a una riuzione elle armature preenti in una ezione occorrerà prolungare le armature che non riultano più necearie in termini i momento reitente ella ezione oltre la poizione in cui ee non vengono più utilizzate, i una lunghezza almeno pari a quella che è einita lunghezza i ancoraggio (inicativamente, 40φ) che arà introotta nel paragrao ucceivo. Nel cao in cui (a eempio nella realizzazione el primo pilatro che picca alla onazione ella truttura o nella realizzazione ella parte in elevazione i un muro i otegno) i ebba proceere a una riprea i getto, oia il getto avvenga in più ai ucceive, l ancoraggio elle armature eve eere preipoto prima el getto ella onazione: può quini eere opportuno pezzare tali armature in ue tratti, il primo ei quali preipoto all interno ella onazione, e il econo a iporre preliminarmente al getto ell opera in elevazione. I ue tratti evono eere ovrappoti Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

2 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. per un tratto che garantica la tramiione ello orzo i trazione a uno all altro, econo una moalità analoga a quella già illutrata per l ancoraggio elle barre. Di coneguenza i richieerà ancora una lunghezza i ovrappoizione pari a 40φ (aumentata, come i verà, a circa 60φ e in zona tea) per permettere l inorgere el meccanimo i tramiione egli orzi. La neceità i ornire un opportuno coninamento al calcetruzzo, richiee inoltre la preenza i armature lungo tutto il perimetro ella truttura, per cui occorrerà aggiungere armature (eppure in miura riotta) anche nelle zone compree. Riguaro al progetto i travi in c.a. è neceario a tal ine premettere ue oervazioni: - la preenza i una taatura (anche e minima) è obbligatoria: quini la neceità i orreggere gli pigoli elle tae comporta la ipoizione i almeno quattro barre i armatura (ue all etraoo e ue all intraoo ella ezione) che volgono il ruolo i reggitae (a) ; quete barre, che ovrebbero eere cotituite a parte ell armatura previta nel calcolo, vengono a volte aggiunte inipenentemente alle veriiche ella ezione, nelle zone ove i è operato al progetto (o alla veriica) con armatura emplice. In generale i preerice ipotizzare che almeno quete armature corrano lungo tutta la trave (e quini eventualmente i aggiungono le armature ove neceario), in moo a realizzare una gabbia i armatura (l inieme elle armature più le tae) che può eere aemblata a piè opera eternamente alla zona el getto, e ucceivamente collocata nelle caerature per proceere con il getto. - in zona imica (e quini praticamente u tutto il territorio italiano) è bene conerire una certa uttilità alle ezioni in c.a., caratteritica che i ottiene, tra l altro, attravero un buon coninamento el calcetruzzo compreo; è quini generalmente previto che, almeno alle etremità elle travi, i abbia empre la preenza i un armatura comprea non ineriore ella metà i quella ipota in zona tea, quini implicitamente aumeno un rapporto i armatura pari a α0.. Nel paragrao ucceivo i introurrà il concetto i lunghezza i ancoraggio, mentre nel paragrao ancora eguente i analizzerà il cao el calcolo completo i una trave in c.a., ove verranno evienziati tutti gli apetti legati alla ipoizione elle armature longituinali e a taglio. La lunghezza i ancoraggio Proceiamo alla eterminazione ella lunghezza i ancoraggio, conierano a eempio l etremità initra i una trave come chematicamente rappreentato nella igura eguente: L Supponiamo che, a partire a una itanza L all appoggio, i abbia la neceità i utilizzare una barra aggiuntiva i armatura, per cui arà neceario eterminare la itanza L a alla quale è poibile interrompere tale nuova armatura. La barra uperiore arà oggetta nel tratto compreo tra l etremo initro e la ezione C a una itribuzione i tenioni tangenziali, che per ipotei i aumono cotanti ull intero tratto L a ; la itribuzione i tenioni tangenziali a equilibrio alla orza i trazione F a alla quale è oggetta la barra per eetto el momento lettente nella ezione C. L a C F a F a (a) La normativa imica richiee che almeno ue barre i iametro non ineriore a mm evono eere preenti uperiormente e ineriormente per tutta la lunghezza ella trave Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

3 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.3 L τ F a τ C La conizione i equilibrio alla tralazione ella barra è pertanto eprea alla eguente relazione: φ τ π φla Fa π 4 ove π φ L a è la upericie laterale el tratto i barra i lunghezza L a, φ π è l area ella ezione traverale ella barra. 4 La orza i trazione a conierare nell equazione i equilibrio è quella che i ha nella ezione C, tuttavia in icurezza i può conierare il valore maimo ella orza i trazione che la barra può opportare, pari a: φ Fa,ma π 4 ove è la maima tenione che può eere aorbita ell acciaio. Sotitueno nell equazione i equilibrio il valore maimo i F a e un opportuno valore b per le tenioni tangenziali ultime i aerenza i ottiene: φ φ π b π φ La π 4 φ La. 4 b π φ 4 b La Normativa ia il valore elle tenioni tangenziali ultime i aerenza in b R ck in N / mm per barre lice γ c ctk - b. per barre a aerenza migliorata γ c Per cui, una volta nota la reitenza el calcetruzzo e ell acciaio, è poibile iniviuare il valore i L a. Conierano un calcetruzzo con R ck 30 e un acciaio FeB44k, i ottiene, per barre a aerenza migliorata: ctm 3 R ck / N / mm N / mm ctk ctm ctk.3 b...7 N / mm γ.6 c k N / mm γ. a cui, otitueno nell epreione opra i ottiene: φ 374 La φ 36φ. 4 b 4.7 Il valore appena ricavato viene i olito arrotonato per ecceo a 40 φ. Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

4 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.4 La lunghezza L a calcolata con la ormula vita opra è uiciente a ancorare le barre e l ancoraggio è realizzato in zona comprea. Vicevera e l ancoraggio è realizzato in zona tea, ove le conizioni i aerenza ono peggiori, nel calcolo i L a il valore ella tenione tangenziale i aerenza eve eere riotto, ino airittura al 0 % el uo valore nei cai meno avorevoli. Nel cao ell eempio eguente, eeno la barra centrale ancorata in zona tea, è pertanto opportuno conierare un valore riotto i b, a eempio el 30 %, che comporta una maggiorazione ella lunghezza i ancoraggio ella tea percentuale. Si aotta pertanto per L a un valore pari a: L a,3 40 φ φ Supponeno a eempio i overe ancorare una barra i 6 mm, l epreione preceente ornice: L a,6 3, cm cm. Α L φ6 C In alternativa i può piegare la barra vero la zona comprea, manteneno la lunghezza i ancoraggio i 40 φ ( 40,6 64 cm 6 cm). Α L 6 C φ6 Eempio i calcolo i una trave in cemento armato utilizzano il metoo agli tati limite D D 6 B C L L/ Per la trave in c.a. a ezione rettangolare riportata in igura, ove g k 00 kg/m q k 000 kg/m (carico variabile per civile abitazione) L.00 m b 0. m (bae ella ezione) eettuare il imenionamento ell altezza (unica per le ue ate) ella ezione e la ipoizione elle armature in moo a oiare le veriiche previte agli tati limite ultimi e agli tati limite i L L Β Β q k g k Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

5 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. eercizio (i conieri una ituazione i ambiente poco aggreivo). Materiali: calcetruzzo:r ck 30, acciaio per armature: FeB44k Caratteritiche ei materiali calcetruzzo: R ck 30 tenioni caratteritiche e i progetto a rottura ck 0.3 Rck N / mm 4.90 MPa 4.90 ck c.6 N / mm.6 MPa γc.6 reitenza meia a trazione ctm R ck.6 MPa acciaio per armature: FeB44k tenione i progetto k N / mm 374 MPa γ. 374 ε E Valutazione elle ollecitazioni Con un generico carico q, le reazioni vincolari ono pari a 3 L q L 4 3 V 3 9 q L VB q L V q L L Il momento maimo i ha tra e B a una itanza all appoggio pari a 0 (acia i taglio nullo): quini 3 3 T( ) q L q T( 0 ) 0 0 L 3 M( ) q L q 3 3 q 3 q 3 9 Mma M( 0 ) q L L L L q L Mentre il momento negativo ull appoggio B vale (trave a balzo) L q L q L M q B Il valore i M B è uperiore, in valore aoluto, al valore i M ma. Zona con momento negativo Ipotizzano una ezione i imenione 0 () cm, quini al peo proprio pari a gtrave γcl b h kg / m () In aenza i un calcolo più precio i preimenionamento, el reto peo non neceario, è poibile ipotizzare, per una trave u più appoggi e con balzi i lunghezza limitata (come orine i granezza, per balzi con luce non uperiore alla metà ella luce ella campata aiacente), una ezione i altezza intorno a /0 ella luce. Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

6 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.6 nella conizione i Stato Limite Ultimo il carico applicato è pari a q γg gk + γq qk.4 ( ) kg / m 690 kg / m i coneguenza il momento in B (che, riultano il più alto in valore aoluto, è a aumeri come valore conizionante il progetto ella trave) vale.00 4 Mu M B,SLU kgm.7 0 Nmm 7 knm Si può progettare la ezione econo i eguenti parametri: - α, con α0., - rottura bilanciata (/0.9) - b0 mm (al teto) Si ha quini 0.76 ω 0.3 b c ( α) Se i aume l acciaio compreo nervato (oia con una eormazione maggiore ell. ), il momento reitente aume il valore α 0.76 α 0.76 M ru c b 0. + ( α) ( α) [ ] Mru c b umeno 40 mm, i ottiene Mru c b Imponeno la conizione limite M ru M u i ottiene l eq.ne i econo grao in a cui i ricava la raice poitiva 40 mm e quini mm Occorre controllare una elle ipotei i partenza, oia il atto che l armatura comprea ia eettivamente nervata. Per l altezza eterminata, i ha che ε ( ) ( 09 40). 09 quini uperiore al limite i nervamento. Una volta conermate le ipotei, i poono cegliere le armature: ω b c mm 374 α mm Si può aottare: Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

7 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.7 Zona tea: Ø0 ( 3470 mm ) Zona comprea: 3Ø0 ( mm ) E eviente che: - il rapporto i armatura non corripone eattamente a quello impoto (i ha α0.60 anziché 0.0); - l armatura ipota non corripone eattamente a quella i calcolo (70 mm contro 3 mm ). Di coneguenza riulta neceario calcolare M ru con quete ue nuove armature (laciano inalterata l altezza): queto corriponerà a ottenere una rottura con ae neutro non coinciente con la poizione i rottura bilanciata. È eviente che il momento reitente ovrebbe ovviamente riultare maggiore i quello ipotizzato, aveno in generale aottato armature maggiori i quelle trettamente necearie. Calcolo i M ru Un oervazione: aveno ipoto un armatura comprea corriponente a un rapporto α maggiore i quello previto inizialmente, la rottura ella ezione i pota vero la rottura lato acciaio (i è inatti aumentata, in rapporto, l armatura comprea, e quini i è otata la ezione i una maggiore reitenza a compreione). Una ituazione ivera i arebbe ottenuta, come i oerverà alla ine el proceimento, e i oe celto un rapporto i armatura minore i quello inizialmente previto (oia α<0.). Per le armature introotte i ha, impotano l equilibrio alla tralazione e ipotizzano ancora l acciaio compreo nervato (α0.60): 0. 0.c b ( ) ( α) ( α) c b oia 0. 9 mm che corriponerebbe a una rottura lato acciaio con calcetruzzo a una eormazione ineriore a quella maima e pari a 0 0 ε c 9.69 ( ) ( 40 9) e nell acciaio compreo 0 ( ) 0 ε ( ) ( ) ( 9 40) Dal momento che l acciaio compreo non riulta nervato, occorre ripetere il proceimento laciano incognita la eormazione nell acciaio compreo. Si ha quini ( ) c b +. ( ) L equazione è a queto punto i econo grao in e i ottiene ( ) +.0 ( ) ( ) 0.6 c b riolveno i ha 96 mm Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

8 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. e quini La eormazione (e quini la tenione) nell acciaio compreo ripettivamente valgono 0 0 ε ( ) ( ) ( ) ( ) ε MPa εel. Riprova: C b ( 0. ) ( 0. ) N 4 kn c C N 33 kn T N 7 kn e quini la ituazione è otanzialmente i equilibrio, in quanto ( C + C ) kn T queto punto è poibile ricavare il valore el momento reitente M ru C ( 0.4 ) + C ( ) 0 ( ) ( 40 40).40 0 Nmm 4 MNm M ru.40 che riulta maggiore el momento ollecitante. Oervazione: queto moo i proceere è valio oltanto nel cao in cui i ricavi, alla ine el proceimento, una poizione ell ae neutro per cui l acciaio teo riulti ancora nervato, altrimenti occorrerebbe operare iveramente. La poizione ell ae neutro che corripone all acciaio teo al limite elatico è uguale a 3. :. : ( ) oia In generale, al momento che le armature celte aranno probabilmente poco ivere a quelle ottenute al calcolo, arà comunque improbabile che l acciaio teo riulti al i otto el limite i nervamento. Quini, nel cao in cui i ottenee una proonità ell ae neutro più alta i quella appena ricavata, potrebbe eere neceario moiicare le equazioni i congruenza, in quanto l acciaio teo non è più alla maima eormazione. E a ottolineare che l equazione i congruenza relativa alla eormazione eve eere impotata al lato acciaio teo per proonità ell ae neutro ineriori a quella corriponente a rottura bilanciata (/<0.9) oppure al lato calcetruzzo in cao contrario. titolo i eempio, e aveimo celto la eguente armatura: Zona tea: Ø0 ( 3470 mm ) Zona comprea: Ø0 ( 346 mm ) e quini α0.4, operano come in preceenza i arebbe ottenuto, ipotizzano inizialmente ancora l acciaio compreo nervato Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

9 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.9 ( ) ( α) 0. 0.c b ( α) c b oia mm che corriponerebbe a una rottura lato calcetruzzo con l acciaio teo a una eormazione ineriore a quella maima e pari a ε c ( ) ( 40 33) mentre per l acciaio compreo ε ( ) ( 33 40).4 33 conermano l ipotei i acciaio compreo nervato; il momento reitente riulta quini pari a (α0.4) α 0.6( / ) α 0.6( / ) M ru c b 0. + ( α) ( α) [( ) ] Nmm 0 knm M ru In queto cao, quini, il momento reitente riulta (anche e i poco) ineriore al momento ollecitante; era el reto abbatanza ovvio apettarelo vito che è tata ipota un armatura ineriore ripetto a quella inizialmente previta. Zona con momento poitivo Il maimo momento poitivo vale (allo Stato Limite Ultimo) 9 4 Mu M ma,slu kgm. 0 Nmm knm Per imenionare l armatura a momento poitivo i può proceere econo ue ivere vie. - i potrebbe moiicare l armatura, laciano ovviamente la tea imenione geometrica ella trave, in moo a ottenere una ituazione a rottura più vicina al valore el momento i progetto: al momento che l altezza è comunque iata, occorre proceere ipotizzano un armatura e veriicarne il comportamento a rottura. - un ulteriore poibilità è oerta alla ricerca i un armatura che oii contemporaneamente la conizione i equilibrio alla tralazione e i momento reitente maggiore o uguale al momento ollecitante, empre una volta che l altezza ia iata e ipotizzano un rapporto tra armatura comprea e armatura tea. Primo cao: veriica con una nuova armatura Si potrebbe ipotizzare i proeguire l armatura ineriore (cotituita a 3Ø0) e iminuire l armatura uperiore, a eempio riucenola a Ø0. La ituazione è quini la eguente: Zona comprea: Ø0 ( 346 mm ) Zona tea: 3Ø0 ( mm ) 40 mm 40 mm Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

10 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.0 E ancora probabile che la ezione arriverà a una rottura lato acciaio teo. Imponeno i coneguenza l equilibrio alla tralazione i ottiene (nellipotei i acciaio compreo non ancora nervato): ( ) c b +. ( ) ( ) +.0 ( ) ( ) 0.6 c b e riolveno 7 mm e quini che conerma l ipotei i rottura lato acciaio teo (/<0.9). La eormazione e la tenione nell acciaio compreo valgono ripettivamente 0 0 ε ( ) ( ) ( ) ( ) ε. 374 MPa εel. Riprova: C b ( 0. ) ( 0. ) N 06 kn c C N 43 kn T N 3 kn e quini la ituazione è otanzialmente i equilibrio, in quanto ( C + C ) 3 kn T Il corriponente valore el momento reitente è quini pari a M ru C ( 0.4 ) + C ( ) ( ) ( 40 40) 3443 knmm 34 knm M ru 06 maggiore el momento ollecitante. Secono cao: ricerca i una nuova armatura In queto cao, enza ipotizzare a priori neun tipo i armatura ma iano oltanto l altezza ella ezione, i può comunque imporre la conizione i equilibrio alla tralazione e i momento uguale al momento ollecitante i progetto. Ipotizzano l acciaio compreo nervato i ha (alla conizione i equilibrio) 0. 0.c b ( ) ( α) oia 0.6 c b ( α) Il momento reitente è oerto alla relazione Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

11 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. Mru 0.6c b ( 0.4 ) + ( ) otitueno l epreione preceente i ottiene (utilizzano la relazione α ) Mru 0.6 c b α α 0.6 c b ( ) α M ru 0.6 c b α Uguagliano l epreione preceente al momento ollecitante, iano il rapporto i armatura (a eempio poneno α0.) e utilizzano i valori geometrici ricavati in preceenza (40 mm, 40 mm) i ottiene l equazione i econo grao in / α M 0.4 u + + α 0.6c b a cui i ricavano le ue raici la raice corretta è ovviamente la prima (nel econo cao i avrebbe l ae neutro eterno alla ezione) e quini iamo nel cao i rottura lato acciaio teo (/<0.9), con corriponenti eormazioni nel calcetruzzo e nell acciaio compreo pari a mm 0 0 ε c 0.36 ( ) ( 40 0) 0 0 ε ( ) ( ) ( ) ( 0 40) al momento che ε è ineriore alla eormazione corriponente allo nervamento ell acciaio, occorre eettuare i nuovo il proceimento imponeno la conizione i acciaio compreo entro il limite elatico. Imponeno empre la rottura lato acciaio teo e laciano incognita la eormazione nell acciaio compreo, i perverrebbe alle equazioni i equilibrio eguenti: ( ) 0 ε 0 ( ) ε ( ) ε,el ( ). equilibrio alla tralazione: 0 ( ) 0. 0.c b +. 0 ( ) ( ) +.0 ( ) ( ) 0.6 c b Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

12 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE b.6 0 c α.0 b 0.6 c ( ) α + α + α.0.0 b b 0.6 c c ( ) B b 0.6 c ove i è poto.0 B.0 α + α + equilibrio alla rotazione: ( ) ( ) ( ) ( ) c ru b 0.6 M + ( ) ( ) ( ) B b b 0.6 M c c ru α + ( ) ( ) B b 0.6 M c ru α + ( ) ( ) ( ) α + µ B B.47 ru ove i è poto c ru ru b M µ Quet ultima epreione rappreenta un equazione i terzo grao nell incognita /. Riolveno i ottiene un unica raice reale comprea tra 0 e 0.9, oia 0.36

13 Lezione n. 4bi pag. XXIVb mm 0 0 ε c 7.7 ( ) ( 40 7) 0 0 ε ( ) ( ) ( ) ( 7 40) i coneguenza 0.6 c b +.0 α ( +.0 α) mm ( +.00.) α mm Si può controllare la correttezza el riultato veriicano l equilibrio alla tralazione ε MPa ε,el. C b ( 0. ) ( 0. ) N kn C N 3 kn c T N 73 kn per cui l equilibrio alla tralazione è ripettato, in quanto ( C + C ) kn T L armatura i progetto potrebbe corriponere a: Zona comprea: Ø0 ( 34 mm ) (b) Zona tea: Ø0 ( 346 mm ) Commento: Il econo moo i proceere, per quanto ormalmente corretto, è in generale abbatanza impegnativo al punto i vita el calcolo, e, nonotante conuca a una celta ottimizzata i armature per il momento ricercato, non comporta un eettivo miglioramento elle pretazioni ella ezione progettata in quanto a controllo ella proonità ell ae neutro. In altre parole, è otanzialmente inutile, operano a altezza iata, cercare i minimizzare a tutti i coti l armatura ipota nella ezione, in quanto comunque i ottiene una rottura bilanciata al lato acciaio teo (e la ezione è più alta i quello che arebbe trettamente neceario per reitere al momento i progetto) o al lato calcetruzzo (in cao contrario). In ultima analii, è preeribile, una volta che è iato il valore (b) In realtà arebbe meglio iporre, nella ezione, un armatura i area equivalente ma cotituita almeno a ue barre i armatura, a eempio ceglieno Ø4 ( 4 mm 30 mm ), in moo a realizzare un valio otegno per le tae Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

14 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.4 ell altezza, cegliere un armatura in bae a altri criteri (ripetto ei minimi i normativa, acilità i ipoizione elle armature, continuità i alcune barre ripetto alle ezioni più ollecitate) e quini veriicare l eettivo valore el momento reitente. Si proegue quini utilizzano le armature celte nella prima proceura. Dipoizione elle armature Ø 0 ltezza ella ezione: h + + Øt + c mm ove i è inicato con Ø il iametro elle barre, con Ø t il iametro (preunto) () elle tae (Ø t 0 mm) e con c il valore el ricoprimento i armatura (pari al minimo, oia 0 mm). Sezione B: armature: zona comprea (in.): 3Ø0 ( mm ) zona tea (up.): Ø0 ( 3470 mm ) momento reitente: M ru 4 knm Sezione ma M+: armature: zona comprea (up.): Ø0 ( 346 mm ) zona tea (in.): 3Ø0 ( mm ) momento reitente: ineriore: M ru 3 knm uperiore: M ru 9 knm Si può quini ipotizzare lungo tutto l ae ella trave un armatura compota a 3+Ø0 (3 erri ineriori e erri uperiori), e cercare i iniviuare la zona in cui iporre i retanti 3Ø0 uperiori per coprire la maima zona i momento negativo. Cotrueno un graico con i momenti lettenti i progetto e i momenti reitenti, i può iniviuare tale zona come quella comprea tra 3 cm prima ell appoggio e 4 cm opo i eo. Ricorano che occorre comunque prolungare i erri almeno 40Ø (quini nel cao in eame, 0 cm) oltre la zona in cui evono eettivamente reitere a trazione, i ecie i iporre l armatura aggiuntiva cotituita a 3Ø0 a una itanza pari a 0 cm prima ell appoggio ino a una itanza i 30 cm oltre l appoggio. Oervazione: l armatura ipota ripetta il limite minimo previto i normativa. La ipoizione normativa recita inatti che il minimo i armatura in zona tea, eve riultare maggiore ello 0.% ell area ella ezione traverale, quini 0. ρ min 0.% b h mm 00 Nel cao in eame, la conizione riulta oiatta eeno l armatura minima in zona tea pari a 3Ø0 ( mm ), oia pari a una percentuale i armatura 94 ρ % b h () Come i verà nel eguito, le tae eettivamente ipote aranno proprio el iametro 0 mm. Queto è otanzialmente ininluente nel calcolo che i ta eettuano: anche non operano una peciica veriica a taglio, e quini non conoceno il iametro eettivo elle tae, è comunque preumibile che il iametro elle tae ia compreo tra e mm (come accae nella grane maggioranza ei cai i interee comune) e proceere come inicato, oia ipotizzano un valore intermeio (0 mm appunto). Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

15 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. -0 knm Ø0+Ø0 3Ø0 3Ø0 3Ø0+Ø0 Ø0+Ø cm 00 Veriica allo tato limite ultimo per azioni taglianti llo S.L.U., i valori elle ollecitazioni taglianti riultano i eguenti 3 3 V u, q l kg 30 kn Vu,Bin q l kg 7 kn 4 4 V u, B q l kg 74 kn per cui la conizione peggiore i ha alla initra ell appoggio in B. La quantità minima i armatura traverale (tae) previta alla normativa riulta pari a 4 t,min b cm / m b in cui le lunghezze che compaiono nell epreione evono eere inicate in cm. Inoltre il pao non eve uperare il minimo tra mm min 3 tae al metro 333 mm Diponeno tae a ue braccia (n b ) a pao 300 mm (n t 000/300 tae/m) i ottiene quini un area minima per ogni braccio pari a Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

16 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.6 t,min min 0.47 cm 47 mm nb nt 000 i poono quini iporre tae Ø (0.0 cm ) a pao 300, per un area riultante pari a 000 tø br /300 t cm / m 300 Occorre ricorare che, in proimità i carichi appei o appoggi, per un tratto i lunghezza pari all altezza utile ella trave, il pao elle tae non può uperare il limite Øl 0 40 mm ove Ø l è il iametro minimo elle barre longituinali (nel cao in eame: Ø l 0 mm). La veriica a eettuare allo S.L.U. è rappreentata al oppio controllo ripetto alla compreione ella biella comprea in calcetruzzo e ripetto all armatura traverale anima. Nel primo cao occorre veriicare che Vu 0.30 c bw Nel cao in eame i ha Vru 0.30 c b w N 490 kn eettivamente maggiore el valore i progetto (V u 7 kn). La econa veriica richiee che V u Vc + Vw ove Vc 0.60ct bw δ 0.90 Vw w w ( in β + coβ) Nel cao in eame i ottiene ctk ctm ct.4 N / mm.4 MPa γc γc.6 Vc 0.60 ct b w δ N 7 kn in cui il coeiciente δ è tato poto uguale a non eeno preente orzo normale. Per quanto riguara il termine V w i ottiene Vw w w ( in β + coβ) ( 0) 374 ( 0 + ) 300 V w 474 N 47 kn in cui β (inclinazione elle armature traverali ripetto all ae ella trave) è tato poto pari a 90. Compleivamente i ha quini Vru Vc + Vw kn 9 kn che riulta ineriore al valore i progetto. Occorre quini aumentare il iametro elle tae e/o il loro pao. Le tae poono quini eere progettate imponeno che Vc + Vw Vu o anche (al momento che il termine V c non ipene alla ipoizione i armatura traverale) Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

17 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.7 Vw Vu Vc i ha quini 0.90 w w ( in β + coβ) Vu Vc e nel cao β90 w Vu Vc mm w quini i hanno le eguenti combinazioni poibili: taa pao minimo ipoizione Ø br. <97 mm Ø br./9 Ø0 br. <3 mm Ø0 br./0 Ø br. <9 mm Ø br./0 Si ipongono quini tae Ø0 br./0. Per veriica i può controllare che eettivamente il taglio reitente uperi il valore ella ollecitazione i progetto Vw w w ( 79) N 49 kn 0 Vru Vc + Vw kn kn eettivamente uperiore al taglio i progetto. Tale armatura è necearia oltanto nelle zone i taglio maimo, oia in proimità egli appoggi. una certa itanza a ei, il pao potrebbe eere aumentato (a eempio portanolo a 300 mm), laciano inalterato il numero ei bracci e il iametro elle tae. Si può quini calcolare il taglio reitente oerto a un pao più ampio e valutare in quali zone ella trave i potrebbe iporre queta nuova armatura. Ripeteno il calcolo con tae a pao 300 i otterrebbe Vw w w ( 79) N 7 kn 300 Vru Vc + Vw kn 47 kn Dai iagrammi el taglio (o: 690 kg/m69. kn/m): taglio a vero B il valore el taglio i progetto in (30 kn) è già ineriore al taglio reitente appena ricavato: in corriponenza ell appoggio in non occorrerebbe iporre tae a pao uperiore a 300 mm; va tuttavia ricorato che, in proimità egli appoggi, il pao non può uperare 40 mm, per cui occorre comunque proceere a una iminuzione el pao. taglio a B vero T ( ) q l q T( ) Vru m 4 taglio a B vero C T ( ) q l q T( ) Vru m Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

18 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. Il raittimento el pao a 300 a 0 mm è quini eettivamente neceario per una zona intorno all appoggio B pari a. m vero initra e 0.63 m vero etra. avore i icurezza i etene tale zona a.3 m vero initra e 0.7 m vero etra (in moo a avere un numero i tae a pao più itto multiplo el pao, 0 mm). Inoltre, alla etra ell appoggio in, i ipongono tae a pao 00 mm per i primi 60 cm (baterebbe inittire il pao per una zona pari all altezza ella trave: per acilità i ipoizione i etene tale zona alla lunghezza inicata). In proimità ell appoggio in (e in generale in tutte le etremità elle travi) occorre eettuare un ulteriore veriica: biogna inatti controllare che l armatura ineriore ia in grao, allo tato limite ultimo, i aorbire uno orzo i trazione almeno pari al taglio. Nel cao in eame i ha quini in (V Su, 30 kn), la neceità i iporre un armatura ineriore minima pari a : VSu, 30000,min 347 mm 374 Tale limite riulta ineriore ripetto all armatura eettivamente ipota (pari a 3Ø0, mm ). Oervazione: occorre comunque veriicare che la reitenza i calcolo ell armatura anima riulti non ineriore alla metà el taglio i calcolo. Nella ezione più ollecitata i ha 7 V w 46 kn > 09 kn nelle ezioni in cui i opera la moiica el pao elle tae i ha 46 V w 7 kn > 73 kn in tutte le altre zone la veriica è quini evientemente oiatta. In molti cai può eere più peitivo operare imponeno ubito tale conizione, oia eterminano il pao e il iametro elle tae alla relazione V V w e veriicare a poteriori le conizioni ul minimo i armatura obbligatorio. Veriica allo tato limite elle tenioni in eercizio llo SLE i hanno le eguenti azioni i progetto: Combinazione i carico rara: qrara gk + qk kg / m Combinazione i carico quai permanente: qq.perm gk + ψ qk kg / m in cui i è aunto per ψ il valore corriponente a un carico variabile per abitazioni (3). Nelle ue combinazioni e nella ezione più ollecitata, oia in B, i ha un momento i progetto (3) Nella veriiche ucceive i potrebbe anche correggere il valore el peo proprio ella trave con il valore eettivo, erivante al imenionamento appena eettuato. Tuttavia l altezza ella trave (46 cm) è talmente vicina a quella ipotizzata inizialmente (0 cm), che la ierenza in termini i peo proprio è irrilevante. Si avrebbe inatti gtrave γcl b h kg / m contro i 3 kg/m ipotizzati. Si continua quini, operano a avore i icurezza, a ipotizzare un peo proprio pari a tale quantità. Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

19 Lezione n. 4bi pag. XXIVb M,rara MB,rara kgm.040 Nmm 0. MNm.00 M,q.perm kgm.0040 Nmm 0.0 MNm La prima veriica a eettuare è controllare e la ezione, per la combinazione i carico rara, è in regime eurato o meno, controllano il valore ella maima tenione nel calcetruzzo teo in ipotei i ezione interamente reagente. Ricorano le caratteritiche ella ezione aottata: Zona tea: Ø0 ( 3470 mm ) Zona comprea: 3Ø0 ( mm ) 40 mm h460 mm 40 mm i ha ( ) 60 mm ci ( ) G mm ci ove i è aunto n (coe. i omogeneizzazione) e i è inicata con G la poizione el baricentro ella ezione ripetto al lembo teo. Di coneguenza il momento i inerzia ella ezione in regime non eurato vale Jci, G + [ 94 ( 40 G ) + 70 ( G 40) ] 9 4 Jci, mm In corriponenza el momento ollecitante i avrebbe una tenione maima nel calcetruzzo teo pari a M.04 0 c G 9.74 MPa J 9 ci, che riulta enibilmente maggiore el limite impoto alla normativa, pari a ctm (.6 MPa). Di coneguenza la ezione è in regime eurato: occorre quini calcolare la poizione ell ae neutro baricentrico e el momento i inerzia in tale ituazione. La poizione ell ae neutro (ripetto al lembo compreo ella ezione) è oerta alla oluzione ell equazione i econo grao in cui 0 rappreenta la poizione (al lembo compreo) el baricentro i tutte le armature e è oerto alla relazione n ( ) + b Si ottiene: Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

20 Lezione n. 4bi pag. XXIVb mm ( ) mm 0 e quini mm + + Di coneguenza i ottiene 3 J ci b + n [ ( ) + ( ) ] [ 70( 40 76) + 94 ( 76 40) ].0 mm 3 Jci E poibile a queto punto eettuare le veriiche richiete: le limitazioni impote alla normativa ono le eguenti (nel cao i ambiente poco aggreivo) Per la combinazione i carico rara: calcetruzzo: c,rara 0.60 ck 0.60 ( 0.330) 4.94 MPa acciaio:,rara 0.70 k MPa Per la combinazione i carico quai permanente: calcetruzzo: c,q.perm 0.4 ck 0.4 ( 0.330). MPa Si ottiene: combinazione i carico rara: M,rara.040 c 76.0 MPa < J 9 ci.0 ( ) c,rara M,rara n < J 9 ci.0 combinazione i carico quai permanente:.04 0 ( ) ( 40 76) 60 MPa ( ) M,q.perm c MPa < J 9 ci.0 La veriica riulta quini oiatta. ( ),rara c,q.perm Oervazione: la combinazione i carico rara corripone i atto alla combinazione che i arebbe aottata operano econo il metoo alle tenioni ammiibili. In queto cao però la veriica avrebbe impoto i eguenti limiti (vei DM 4..99), ripettivamente valii per il calcetruzzo e l acciaio FeB44k Rck 30 σ c MPa ( 0.33 Rck 0.39ck ) 4 4 σ MPa ( 0.9 k ) quini enibilmente ineriori. In altre parole, una ezione veriicata econo il metoo elle tenioni ammiibili riulta in genere empre veriicata e controllata attravero il metoo egli Stati Limite. Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

21 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. Veriica a eurazione Nel cao i ambiente poco aggreivo e armature poco enibili alla corroione, le veriiche a eettuari ono le eguenti combinazione i carico quai permanente: w k < 0. mm combinazione i carico requente: w k < 0.4 mm Il momento ella eurazione, corriponente al raggiungimento ella tenione ctm nella ibra i calcetruzzo più ollecitata a trazione vale (in ezione parzializzata) J 9 ci, Mcr ctm Nmm MNm G ove i ono utilizzate le ue granezze J ci, e G relative al regime non eurato. In corriponenza i tale momento, la tenione nell acciaio teo vale 7 M n cr σ r ( ) ( 40 76) 69.7 MPa J 9 ci.0 ove, queta volta, i ono utilizzate le ue granezze J ci e relative al regime eurato. Nelle ue combinazioni i carico i ottiene quini: Combinazione i carico quai permanente Il momento i progetto vale M,q.perm.0040 Nmm 0.0 knm In corriponenza i tale azione i ha una tenione nell acciaio teo pari a (in regime eurato) M,q.perm.0040 σ n ( ) ( 40 76) 73. MPa J 9 ci.0 Le armature ipote in zona tea (Ø0, corriponenti a 3470 mm ) ono compree all interno i una taa i iametro 0 mm (Ø t 0 mm). Di coneguenza i ottiene un ricoprimento i armatura pari a Ø 0 c Øt mm e una itanza relativa tra le armature pari a b c Ø Ø t 4. mm na ove i è inicato con n a il numero elle barre preenti. L altezza ella zona eicace è pari a e c Ø mm e quini i ha c,e b e 0. 3 mm È poibile a queto punto proceere alla quantiicazione ei vari termini nelle epreioni che cotituicono la veriica in oggetto. Ditanza meia tra le eure Ø rm c + + k k3 0 ρr ove Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

22 Lezione n. 4bi pag. XXIVb. k 0.4 (barre a aerenza migliorata) k 3 0. (ae neutro interno alla ezione) 70 ρ r c,e 3 e quini 4. 0 rm mm Deormazione unitaria meia nelle armature σ σ ε β β r m E σ ove σ 0.4 E β.0 (barre a aerenza migliorata) β 0. (azioni ripetute) e quini ε m al momento che la granezza ricavata riulta maggiore el limite σ ε m,min E il valore ricavato può eere utilizzato nella veriica. Valore caratteritico i ampiezza elle eure w k.7 w m.7 rm εm mm che riulta enibilmente ineriore ripetto al limite iato (0. mm). Combinazione i carico requente Ripercorreno gli tei pai eettuati in preceenza, i può ripetere la veriica anche nella combinazione requente. Il carico i progetto vale qreq gk + ψ qk kg / m in cui i è aunto per ψ il valore corriponente a un carico variabile per abitazioni. Il momento i progetto, nella ezione maggiormente ollecitata, vale.00 4 M,req MB,req 3.90 kgm.90 Nmm 0.9 MNm In corriponenza i tale azione i ha una tenione nell acciaio teo pari a (in regime eurato) M,req.90 σ n J 9 ci.0 ( ) ( 40 76) 0. MPa Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0

23 Lezione n. 4bi pag. XXIVb.3 Ditanza meia tra le eure Il valore ella itanza meia tra le eure ipene oltanto alla ipoizione i armatura e alla orma el iagramma elle tenioni preceente alla eurazione. Di coneguenza tale valore è lo teo ricavato in preceenza, oia rm.3 mm Deormazione unitaria meia nelle armature Con lo teo igniicato ei imboli el cao preceente, i ha ε m Valore caratteritico i ampiezza elle eure 4 k w.7 w m.7 rm εm ancora ineriore ripetto al limite iato (0.4 mm). 0.3 mm Gianni Bartoli/Maurizio Orlano ppunti i Tecnica elle Cotruzioni SOGGETT REVISIONE.0.0