RICHIAMI DI ELEMENTI DI ACUSTICA Generalità

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1 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti CAPOLO 7 RCHAM D ELEMEN D ACUSCA 7. Generalità L eserienza mostra che quando una suericie od una sua orzione vibra con requenza oortuna, le vibrazioni rodotte si trasmettono attraverso l aria ino a raggiungere il nostro orecchio ove vengono erceite come suono. Ad esemio, il movimento alternato di un istone all'imbocco di un tubo rigido genera un suono. c o m r e s s i o n e r a r e a z i o n e c o m r e s s i o n e c o m r. r a r e. c o m r. r a r e. c o m r. r a r e. c o m r. n queste condizioni la ressione P() e la densità dello strato assumono alternativamente nel temo valori sueriori ed ineriori risetto al luido indisturbato (P o, o ). La dierenza P() = P() - P o si trasmette nello strato adiacente e così via. n altre arole nel tubo si orma una erturbazione di ressione e cioè un onda sonora lungo l asse del tubo. Ogni strato luido viene oi a muoversi, avanti ed indietro nella stessa direzione in cui si muove l onda. Le onde sonore sono quindi onde longitudinali a dierenza delle onde elettromagnetiche ove si hanno erturbazioni (cami elettrici e magnetici) trasversali alla direzione di roagazione. È oortuno ricordare che la erturbazione P() è molto iccola risetto alla ressione atmoerica P o. Ad esemio, er i suoni usuali, la P() risulta comresa tra circa 0-5 [Pa] (soglia dell udibilità) e 0 [Pa] (soglia del dolore) e, comunque, di entità semre molto ridotta risetto a P o (circa 0300 [Pa]). n seguito, er semlicità, si indicherà semlicemente con = (x,) l'entità della erturbazione di ressione P = P (x,). RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7

2 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti 7. Suoni uri Si consideri il caso raresentato in igura e si suonga che il disco che aziona il istone ruoti con velocità angolare = cost =. Come illustrato la osizione x() del istone è determinata dal collegamento rigido con l asola rettangolare entro cui si osiziona un iolo issato sul bordo del disco. n conseguenza il moto del istone è armonico. Risulta cioè: x() = A cos ( + ) = A cos ( + ) dove: A = amiezza massima di sostamento del istone = angolo di ase che tiene conto della osizione iniziale del disco ( = 0). n questo caso anche l'onda iana che si roaga verso destra nel tubo è tio sinusoidale in accordo con la relazione: = (x,) = max cos [ (-x/c)] L equazione revede che: in ogni unto (x = cost.), la ressione vari nel temo come un coseno (ulsazione eriodo =/ = / in ogni istante ( = cost), la ressione sia distribuita nello sazio come un coseno (vedi igure). RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7

3 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti Durante un'oscillazione comleta (che si veriica nel eriodo ), la cresta dell'onda si sosta di una quantità x detta lunghezza d'onda. Pertanto, la velocità c è data da: c x Si uò dimostrare che in aria a ressione e temeratura di rierimento (P o = 0300 c [Pa]; o = 93 [K] e k. 4), risulta : c c P k Con P o = cost. risulta c = (). o o v k R a o [m / s] Si consideri ora il enomeno dal unto di vista energetico. Un'onda iana rogressiva che si roaga attraverso un mezzo trasorta energia. n rierimento ad un elemento di volume del mezzo, si osserva che questo si muove avanti ed indietro risetto alla sua osizione originaria; a questo movimento sono associate variazioni di energia cinetica e otenziale. Attraverso un area A normale alla direzione di roagazione delle onde transiti una otenza energetica istantanea (). Si deinisce intensità sonora istantanea (): () = () A [W/m ] Si uò dimostrare che l'intensità media trasortata attraverso la suericie A da un'onda iana rogressiva in un temo ari al eriodo risulta : d c 0 o c o 0 d e c o L'intensità media è quindi roorzionale alla quantità d 0 indicata come e e cioè al valore della ressione eicace al quadrato. La ressione eicace e viene anche detto valore quadratico medio di (): e 0 d RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 3

4 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti La igura evidenzia come il valor medio, ad esemio di una unzione () sinusoidale sia nullo sul eriodo mentre sia invece diverso da zero il valore medio della unzione (). Pertanto, una volta noto il valore locale della ressione e, sarà ossibile conoscere anche l'intensità energetica dell onda acustica. Dal unto di vista ratico, la misura della ressione sonora e è iù semlice strumentalmente rorio erché raresenta un raorto tra una orza e una suericie. 7.. Densità sonora La densità sonora è deinita come l'energia, associata alle onde acustiche, resente er unità di volume del mezzo e cioè: E D = [J/m 3 ] V Si consideri un'onda iana rogressiva che si roaga nella direzione x (vedi igura), attraverso la sezione di controllo A. RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 4

5 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti L energia E che, trascorso il temo è assata attraverso la suericie A è, ovviamente aria a l volume V in cui si trova tutta l energia transitata E è ari a V = A x = A c Pertanto, la densità sonora è: D E V A c c 7.3 Cenni circa la comosizione di onde sonore iane Si considerino due onde sonore iane rogressive che si roaghino nella direzione x ciascuna delle quali determini in un unto x risettivamente la erturbazione () e (). Se le due erturbazioni sono sovraoste la ressione risultante () sarà ari alla somma dei due contributi: () = () + () Nel caso osse = e max, : = max, si avrebbe: () = max, cos ( + ) () = max, cos ( + ) e, quindi, risulta: e = e + e + e e cos ( - ) Si uò notare che l esressione ottenuta ornisce risultati diversi in relazione alla dierenza di ase ) tra le due onde. natti, se ( - ) = 0 e cioè le onde sono ( in ase si ottiene e 4 mentre se ( - ) = e cioè le onde sono in antiase tra e loro risulta e 0.n altre arole, un onda sonora otrebbe essere comletamente annullata, mediante la sovraosizione a questa di un onda di identica amiezza ma emessa in eretta discordanza di ase. n generale erò se si sovraongono due onde caratterizzate da, max, max, e da e qualunque la ressione eicace e (mediata su un intervallo di temo suicientemente lungo) risulta: e = e + e n queste condizioni inatti risulta nullo il rodotto misto [ () ()] nell esressione () = () + () + () (). RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 5

6 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti n generale, ertanto, la ressione eicace risultante dalla comosizione di i onde qualunque con amiezza, requenza e asi diverse è ari alla somma delle ressioni eicaci delle singole onde: e i ei 7.3. Onde seriche rogressive Una sorgente costituita da una sera ulsante di iccole dimensioni e che generi ronti d'onda, non iù iani, ma a simmetria serica come raresentato in igura è un esemio di sorgente isotroa. All'allontanarsi dalla sorgente, la suericie interessata alla roagazione delle onde aumenta roorzionalmente al quadrato della distanza. ndicando con la otenza acustica comlessiva emessa, l'intensità relativa a una suericie di controllo da osta a distanza r dalla sorgente e normale ai ronti d onda emessi risulta ari a: d da 4r Se la sorgente non è isotroa, ma ad esemio emette reerenzialmente onde sonore in articolari direzioni, si introduce un attore di direttività Q deinito da: Q e e,is ove: e,is = ressione eicace che sarebbe rovocata dalla sorgente isotroa emettente la stessa otenza. 7.4 Suoni comlessi - Settri acustici Se la erturbazione acustica è di tio sinusoidale o cosinusoidale, il suono corrisondente è detto uro. suoni emessi dagli strumenti musicali, ur eriodici (requenza deinita), sono tuttavia suoni comlessi. Nell'esemio recedente una erturbazione sinusoidale di ressione veniva generata dal movimento sinusoidale del istone nel cilindro e il suono era uro. Si suonga invece, che il istone, come RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 6

7 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti raresentato in igura, si muova di moto eriodico ma non sinusoidale, ad esemio con collegamento che assicuri continua aderenza al erimetro della camma ellissoidale dell asta sostenente il istone. n queste condizioni il moto eriodico non risulta iù sinusoidale ma diende dalla orma della camma. La diversa orma d'onda di suoni con la stessa requenza viene avvertita dall'orecchio che attribuisce a quel articolare suono un attributo caratteristico (legato alla orma dell'onda) detto timbro. Ad esemio, si arla del timbro di una nota emessa dallo strumento musicale A e di un timbro diverso nel caso dello strumento musicale B. Una erturbazione eriodica (eorema di Fourier) uò essere esressa come la somma di un certo numero di comonenti sinusoidali o comonenti armoniche e cioè: (x,)= max, cos + max, cos +..+ max, sen + max, sen +... in cui: = ulsazione ondamentale;, 3,...= armoniche sueriori. Questa relazione uò anche essere osta nella orma : (x,) = max, cos (+ ) + max, cos (+ ) +... ove:,,... = angoli di ase. Si uò osservare che è quindi ossibile sintetizzare qualunque orma d'onda eriodica (x,), una volta note la requenza ondamentale = /e, er un numero suiciente di armoniche, le max,i e i relativi angoli di ase i. RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 7

8 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti l roblema uò essere semliicato erché l orecchio risulta solo sensibile al quadrato delle amiezze delle armoniche e cioè alle e,i senza avvertire gli angoli di ase i.n altre arole, l'orecchio è sensibile solo alle dosi d intensità i che caratterizzano le singole armoniche di un suono eriodico: e,i i c n uno settro acustico, le armoniche vengono raresentate con un segmento di lunghezza roorzionale al quadrato della ressione eicace e,i osizionato alla requenza che comete all'armonica stessa, come raresentato in igura. Per un suono eriodico con iù comonenti il quadrato della ressione eicace comlessiva e è ari a e,i. Una nota di un ianoorte è un esemio di suono comlesso le cui comonenti armoniche sono diverse risetto alla stessa nota di uno strumento musicale diverso. Le due note, di identica requenza ondamentale, hanno comonenti armoniche di diversa amiezza, er cui è anche diversa la orma dell'onda risultante. Si dice ertanto, come già osservato, che il timbro dei due strumenti è diverso. La sensazione rodotta dal suono sul nostro orecchio, oltre che dal timbro, diende da: - altezza tonale, cioè dalla requenza ondamentale; - amiezza, legata all'entità della variazione di ressione indotta nell'aria. Ovviamente nella realtà i suoni non sono in genere eriodici. l caso iù requente, inatti, è raresentato da una orma d'onda (rumore) assai irregolare nel temo (vedi ad esemio in igura). È oortuno recisare che col termine suono in genere si intende una erturbazione di carattere alquanto regolare, mentre col termine rumore si usa intendere una erturbazione () molto irregolare e di carattere erratico, anche se in realtà non esiste una dierenziazione iù oggettiva tra i due termini. alvolta, inatti, un suono musicale (e quindi gradito ad alcuni) uò essere RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 8

9 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti considerato, da altri, rumore, in altre arole come una erturbazione di carattere erratico. Un rumore in genere resenta uno settro di tio continuo in relazione alla requenza. l suo settro quindi non è raresentato con linee collocate a requenze in relazione armonica, ma in ratica viene raresentato er bande, e cioè suddividendo le requenze acustiche resenti in intervalli detti aunto bande. All'interno d ogni intervallo, comreso tra due requenze limiti (ineriore) e (sueriore), si uò, ad esemio, misurare la ressione sonora eicace escludendo con aositi iltri le requenze maggiori o minori all'intervallo in esame. Le bande iù comuni sono bande d ottava e bande di /3 d ottava. Nell'acustica musicale viene detto intervallo d'ottava l'intervallo comreso tra due requenze ed con =, ad esemio tra due DO successivi sulla tastiera di un ianoorte. Ogni ottava si identiica c mediante la requenza centrale di banda c ari alla media geometrica delle requenze estreme. n acustica si usano requentemente le bande d ottava normalizzate. Sono state normalizzate le seguenti requenze centrali c di banda [Hz]: Nel caso si desideri una suddivisione iù dettagliata si ossono suddividere le ottave in terzi d'ottava, e cioè ogni ottava (intervallo di requenza - ) viene suddivisa in tre intervalli ( - a, a - b, b - ) tali da ar sì che i raorti tra le requenze estreme siano gli stessi:. a b a b Si ottiene acilmente: b a 3 Nel caso di una suddivisione in n arti dell ottava vale la seguente relazione tra i due estremi di ogni suddivisione: b a n RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 9

10 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti Ad esemio, la scala musicale temerata, notissima in musica classica, si ottiene suddividendo ogni ottava in semitoni e cioè in intervalli con raorti eguali tra due generici semitoni successivi: b a Livelli sonori e scala dei decibel suoni ercettibili dall'orecchio umano variano in un camo di requenze comrese tra 0 e 0000 [Hz] e ertanto, in accordo con la relazione c =, le corrisondenti varieranno tra 7 [m] (0 [Hz]) e 0,07 [m] (0000 [Hz]). La ressione e e l'intensità sonora relative ai suoni udibili ossono variare entro un camo molto esteso: - suono aena udibile (soglia ercezione) a 000 [Hz] e,min 0-5 [Pa] - suono intollerabile (soglia del dolore) a 000 [Hz] e,max 0 [Pa]. Pertanto il raorto e,min / e,max assume valori dell'ordine di 0 6. Per semlicità d'ora in avanti con s intenderà semre la ressione eicace. n termini d intensità, ricordando la relazione che lega questa grandezza alla ressione eicace, si ottiene un raorto tra i corrisondenti valori dell intensità (soglia di ercezione e del dolore) dell'ordine di 0. n conseguenza er contrarre il camo numerico di variazione delle grandezze utilizzate è oortuno utilizzare una scala logaritmica. n articolare una qualunque grandezza W uò essere deinita sotto orma di scala di livello in decibel [db] nel seguente modo: L W 0 [db] W Questa relazione esrime in orma logaritmica un raorto tra due grandezze delle quali, al ine di deinire una scala, una viene assunta come rierimento. Se W è il rierimento, la relazione recedente deinisce il livello di W risetto a W esresso in decibel. l livello di 0 [db] corrisonde evidentemente a W = W. RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 0

11 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti livelli che vengono iù largamente utilizzati in acustica sono i seguenti: Livello di otenza sonora: L = 0 ri [db] rierimento ri = 0 - W Livello di intensità sonora: L = 0 ri rierimento ri = 0 - W/m [db] Livello di ressione sonora: L = 0 ri [db] rierimento ri = 0-5 Pa (soglia di udibilità a 000 [Hz]). Dei tre livelli introdotti, quello iù comunemente usato in acustica è il livello di ressione sonora, erché gli strumenti di misura utilizzati (onometri) sono sensibili alla ressione sonora. Per l aria a ressione atmoserica e a 0 [ C] =.7 [kg/m 3 ] e c = 340 [m/s] (aria) risulta semre suicientemente veriicato: L 0 ri L 0 ri Nella seguente tabella si riortano i valori di ressione e i corrisondenti livelli in alcune tiiche situazioni. [Pa] L [db] Situazione Orologio da olso Camera tranquilla 0-60 Automobile a 0 m 0-80 Radio volume elevato 00 Clacson 0 40 Martello neumatico (soglia del dolore) RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7

12 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti n igura, è riortato lo settro a bande d'ottava del livello sonoro di un rumore in unzione delle requenze in bande d ottava, si osservi come la scala logaritmica contenga il camo numerico di variazione dei relativi valori L [db] requenza [Hz] RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7

13 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti ESERCZ ED ESEMP ) Si valuti il livello d'intensità sonora nel unto A (vedi igura) ove con S ed S sono indicate due sorgenti sonore ciascuna delle quali rodurrebbe nel unto A un livello sonoro risettivamente ari a L ed L e che sia L = L = 60 [db]. L'intensità in A rodotta dalla sorgente S si ottiene immediatamente dalla deinizione di livello sonoro: Per le rorietà dei logaritmi si ha: L 60 0 ri = 0 6 ri = 0 6 ri l livello di intensità sonora risultante sarà: e cioè: L 0 ri 0 0 L = 0 ( 0 6 ) = = = 63 [db] 6 ri 6 0 ri ri Pertanto, ad un raddoio dell'intensità sonora in un unto del camo acustico, corrisonde un incremento di 3 [db] del livello corrisondente. Se L L e la dierenza tra i due livelli in valore assoluto è maggiore o uguale a 0, il contributo della sorgente iù debole al livello sonoro comlessivo è trascurabile. Ad esemio se osse L = 60 [db] e L = 50 [db] si otterrebbe: L = 0 ( + ) / ri = 0 (0 6 ri ri ) / ri = 60.4 [db] RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 3

14 Corso di mianti ecnici a.a. 009/00 Docente: Pro. C. setti ) Si suonga di considerare una sorgente S che emetta suono in condizioni di camo libero. Si osservi come la otenza acustica si distribuisca sulla suericie di una sera. Se si rescinde da un iccolo assorbimento di otenza acustica da arte dell atmosera (trascurabile su brevi distanze), la otenza in transito alle diverse distanze è costante ma risulta distribuita su una suericie semre maggiore come illustrato in igura. n conseguenza l intensità sonora diminuisce con la distanza r. n rierimento a due valori della distanza r ed r risulta: 4r L 0 ri 4r L 0 ri La dierenza tra i livelli sonori alle distanze r ed r è ertanto ari a: L 0 0 r r Ad esemio, se r = r si ottiene immediatamente: L - L = - 6 [db] E cioè il livello sonoro in camo libero diminuisce di 6 [db] in corrisondenza al raddoio della distanza dalla sorgente. RCHAM D ELEMEN D ACUSCA Caitolo 7 4