Matematica di base per
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- Lorenzo Pinna
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1 Matematica di base per l Acustica lacustica - Parte 4 Massimo Garai DIENCA - Università di Bologna Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Numeri naturali Numeri 123 1, 2, 3,... Numeri relativi + a = b = b - a 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 2 Matematica di base per l'acustica 1
2 Numeri Numeri raionali Massimo Garai - DIENCA, a = Università b = b/a di Bologna (a 0) - Copyright 2009 Numeri irraionali 2,, e Numeri reali raionali + irraionali Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Numeri immaginari Non esiste un numero reale che sia soluione dell equaione equaione (4.3) Massimo Garai - DIENCA, Università = di 0 Bologna - Copyright 2009 Poiché dovrebbe essere 2 = -1??? Allora si introduce l unità immaginaria i i i i 2 = -1 per definiione 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 4 Matematica di base per l'acustica 2
3 Numeri complessi (rappresentaione algebrica) Sono del tipo (4.5) Massimo Garai - DIENCA, Università a + ib di Bologna - Copyright 2009 Parte reale Re[a + ib]=a Parte immaginaria Im[a + ib]=b Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Numeri complessi (rappresentaione algebrica) Numeri ireali Massimo Garai - DIENCA, b Università = 0 a + di ib Bologna = a - Copyright 2009 Numeri immaginari puri Massimo Garai - DIENCA, a Università = 0 a + di ib Bologna = ib - Copyright /05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 6 Matematica di base per l'acustica 3
4 Numeri complessi Eguagliana a + ib = c + id a= c e b= d Addiione (4.7) (a + ib) + (c + id)=(a + c) + i(b+ d) Moltiplicaione (4.8) (a + ib)(c + id)=ac + iad +ibc + i 2 bd = Massimo Garai =(ac - DIENCA, - bd) +i(ad Università + bc) di Bologna - Copyright 2009 Zero complesso (4.9) 0 = 0 + 0i Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Esempio (4.10) Si confrontino i due numeri complessi 1 = 8 + 2i e 2 = 3 + 9i 8 > 3 ma 2 < 9??? Massimo Garai La - DIENCA, proprietà di Università ordinamento di Bologna non è valida - Copyright 2009 per i numeri complessi 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 8 Matematica di base per l'acustica 4
5 Modulo (4.11) a ib a b (4.12) Massimo Garai (4.13) - DIENCA, 1Università 1 di Bologna - Copyright 2009, Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Modulo Massimo Garai (4.14) - DIENCA, Università 1 2 di 1 Bologna 2 - Copyright 2009 (4.15) /05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 10 Matematica di base per l'acustica 5
6 Rappresentaione algebrica astratta Numeri complessi = coppie ordinate di numeri reali del tipo (a,b) L ordine della coppia è esseniale (2,3) (3,2) Massimo Garai Eguagliana - DIENCA, (4.16) Università di Bologna - Copyright 2009 (a,b)=(c,d) a= c e b= d Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Rappresentaione algebrica astratta Addiione (4.17) Massimo Garai - DIENCA, (a,b) + Università (c,d)=(a di + c Bologna, b+ d) - Copyright 2009 Moltiplicaione (4.18) (a,b) (c,d)=(ac - bd, ad + bc) Moltiplicaione li i per uno scalare (4.19) m(a,b)=(ma, mb) 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 12 Matematica di base per l'acustica 6
7 Esempi Numero reale 1 (1,0) Numero reale -1 (-1,0) Numero reale 0 (0,0) Unità immaginaria i (0,1) (0,1)(0,1) = (-1,0) Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Rappresentaione geometrica Numero complesso (a,b) (,y) Massimo Garai Coordinate - DIENCA, di Università un punto del di Bologna piano - (,y) Copyright 2009 Vettore bidimensionale (,y) Rappresentaioni t i iequivalenti ti oggetti equivalenti 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 14 Matematica di base per l'acustica 7
8 parte immaginaria Piano di Argand-Gauss y coordinate di un punto (,y) = numero complesso vettore parte reale Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Complesso coniugato iy iy Massimo Garai - DIENCA, Università y di Bologna - Copyright /05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 16 Matematica di base per l'acustica 8
9 Complesso coniugato (4.22) (4.23) (4.24) 1 / 2 1 / 2 (4.25) 2 2 y 2 Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Rappresentaione trigonometrica y 2 2 y r y, tan r cos y r sin y r (,y) = 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 18 Matematica di base per l'acustica 9
10 Rappresentaione trigonometrica Massimo Garai (4.28) - DIENCA, Università iy r cos di Bologna i sin- Copyright 2009 r modulo di Massimo Garai 0- DIENCA, < 2 Università argomento g di Bologna principale p- Copyright di 2009 Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Formula di Eulero y B (0, 1) P T C (-1, 0) A (1, 0) O M D (0, -1) 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 20 Matematica di base per l'acustica 10
11 Formula di Eulero (4.29) e i cos i sin e i vettore di modulo uno ruotato di in senso antiorario Massimo Garai e- i DIENCA, operatore Università di rotaione di Bologna di in - senso Copyright 2009 antiorario Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Formula di Eulero y e i O 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 22 Matematica di base per l'acustica 11
12 Generaliaione i (4.30) re r cos i sin = + iy e w = u + iv w uiv Massimo Garai - DIENCA, iy euniversità e di ebologna cos v - i Copyright sin v 2009 r = e u e = v (4.30). Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright u Esempio Massimo Garai Quale - DIENCA, rotaione Università è rappresentata di Bologna - Copyright 2009 dall operatore e i? y i Massimo Garai e - DIENCA, 1 Università di Bologna e 1 - Copyright e i O 1 i 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 24 Matematica di base per l'acustica 12
13 Onda piana it i it i( t ) (4.40) 40) p ( t ) Pe P 0 e e P 0 e ampiea complessa P i ampiea reale P 0 P P0 e Massimo Garai fase - DIENCA, iniiale iiil Università di Bologna - Copyright 2009 i( t ) p( t) ReP e P cos( t ) Re 0 0 Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Onda piana y P 0 e i(t+) P 0 e i O 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 26 Matematica di base per l'acustica 13
14 Impedena acustica specifica p i r i e Massimo Garai - DIENCA, Università u di Bologna - Copyright 2009 resistena reattana Massimo Garai Analoga - DIENCA, alla legge Università di Ohm di dell elettrotecnica Bologna - Copyright 2009 v( t) Z i( t) Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Esempio: modello di Delany & Baley per materiali fibrosi Impedena d acustica caratteristica ti 0,754 0, 732 Massimo Garai - DIENCA, Università 0 f di Bologna - Copyright 0 f 2009 Z0( f ) 0c1 0,0571 i0, 087 r r Costante di propagaione p resistività al flusso Massimo Garai - DIENCA, Università 0,700 di Bologna - Copyright 0, f 0 ( ) 1 0, , 189 f f ik i r r 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 28 Matematica di base per l'acustica 14
15 Esempio: modello di Delany & Baley per materiali fibrosi Impedena d acustica di superficie i (strato t poroso di spessore d su fondo rigido) Z( f ) Z0( f )coth( ( f ) d) Massimo Garai Cotangente - DIENCA, iperbolica Università di Bologna - Copyright 2009 e e coth( ) e e Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Esempio: modello di Delany & Baley per materiali fibrosi Coefficiente i t di assorbimento acustico 2 Massimo Garai - DIENCA, Università Z( f ) 0c di Bologna - Copyright 2009 n( f ) 1 Z( f ) 0c Condiione di validità Massimo Garai - DIENCA, 0 f Università di Bologna - Copyright ,01 1 r 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 30 Matematica di base per l'acustica 15
16 Matematica di base per l Acustica lacustica - Parte 4 Fine Massimo Garai - DIENCA, Università Massimo Garai di Bologna - Copyright 2009 DIENCA - Università di Bologna Massimo Garai 20/05/ DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright Matematica di base per l'acustica 16
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